Übungen Grundlagen der Schwingungslehre

Nur zu Lehrzwecken
Übungen
Grundlagen der Schwingungslehre
Aufg. 1: Fundamentale Begriffe der Systemtheorie und Schwingungslehre (Linearität und Zeitinvarianz)
In der Systemtheorie geht es um den Zusammenhang zwischen Signal-System-Signal unter Anwendung der Black-Box-Methode im weiteren Sinne. Die systemtheoretische Betrachtung schließt eine
vertiefte Darstellung der Signal- und Systembegriffe mit ein.
•
Im Fall linearer zeitinvarianter Systeme herrscht völlige Gleichberechtigung zwischen Zeit- und
Spektralsignalen bzw. -begriffen.
•
Es existieren Querverbindungen verschiedener Beschreibungsformen (Abtasttheoreme, Faltung,
Korrelation).
Ingenieurmäßiges oder zweckmäßiges Arbeiten gestattet die Reduzierung auf die wesentlichen Zusammenhänge. Auf eine Wahrung des Abbildes der tatsächlichen Verhältnisse auf die Modellbildung kann
verzichtet werden, da es in der Regel um das Erkennen der wesentlichen Zusammenhänge geht.
Dies rechtfertigt das System näherungsweise zu beschreiben. In diesem Sinne stellen die linearen
zeitinvarianten Systeme eine wichtige Klasse von Modellen dar. Für eine große Zahl von Anwendungsfällen können die Nichtlinearitäten und Zeitabhängigkeiten vernachlässigt werden oder aber die
Betriebsbedingungen sind so zu gestalten, dass diese vernachlässigbar sind.
a) Definieren Sie die analytischen Eigenschaften einer linearen zeitinvarianten Abbildung (Linearität
und Homogenität)
b) Bei der dynamischen Untersuchung Ihrer Konstruktion in Abb. 1
Abb.: 1: Mechanischer Schwinger (Rad auf Fahrbahn)
erhalten Sie eine gewöhnliche Differentialgleichung vom Typ:
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a
d2 f
df
(t ) + b
(t ) + c f (t ) = e(t ) .
2
dt
dt
Handelt es sich bei Ihrer Konstruktion um ein lineares zeitinvariantes System? Beweisen Sie Ihre Aussagen.
c) Bei einer anderen Aufgabenstellung erhalten Sie die Differentialgleichung
df

 dx

( x) 

2
+ x f ( x) + sin( f ( x)) = 0 .
Es stellt sich die Frage, ob hier ein lineares zeitinvariantes System vorliegt? Beweisen Sie Ihre Aussage.
d) Für eine Kraftmessung bei einem mechanischen schwingungsfähigen Gebilde verwenden Sie eine
DMS-Messbrücke mit integrierter Elektronik. Die Sensorgleichung folgt im Arbeitsbereich
DF = [-10N,10N] dem Gesetz:
uF = mF F + cF .
Stellt dieses Messsystem ein lineares zeitinvariantes System dar?
Aufgrund von Raumtemperaturschwankungen verändern sich die Eigenschaften der elektrischen und
mechanischen Komponenten des Messsystems. Nehmen wir an, der wesentliche Effekt artikuliert sich
in den elektronischen Komponenten des Kraftaufnehmers, indem die Offsetspannung cF und der
Sensorparameter mF sich in Abhängigkeit von der Temperatur ändert. Die typischen Werte der linearen
Terme der Temperaturfunktionen liegen hierbei in der Größenordnung von:
d cF
d mF
(τ A ) ≈ 1 mV / °C und
(τ A ) ≈ 100 µV / °C .
dτ
dτ
Definieren Sie die allgemeine temperaturabhängige Sensorgleichung und untersuchen Sie, ob ein
lineares zeitinvariantes System vorliegt oder nicht.
Aufg. 2: Die Idee des komplexen Ansatzes
Das Ausgangssignal eines physikalischen Systems berechnet sich über den das System charakterisierenden Operator zu
a(t ) = L {r (t )} , mit L : r (t ) ∈ » → a (t ) ∈ » und r : t ∈ » → r (t ) ∈ »
Führt man nun nach Garbor eine komplexe Erweiterung i(t)
i : t ∈ » → i (t ) ∈ »
zum physikalischen Signal r(t) ein, so erhält man das komplexe Signal
φ (t ) = r (t ) + j i(t ) , j = −1 .
Wobei zu bemerken ist, dass offen gelassen wurde, wie die komplexe Ergänzung i(t) auszusehen hat.
An sie wird nur die Forderung gestellt, ein physikalisches Signal zu sein.
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Wendet man den Systemoperator L auf das komplexe Signal an, so erhält man formal
a(t ) = L {r (t ) + j i (t )}
Bei einem linearen Operator oder System gilt der Superpositionssatz, so dass man ferner
a(t ) = L {r (t )} + L { j i(t )}
notieren kann. Zur Erinnerung sei bemerkt, dass die komplexen Zahlen auf einer Erweiterung der
reellen Zahlen beruhen. Ihre Entstehung verdanken die komplexen Zahlen historisch im wesentlichen
den Bemühungen, die Probleme der Auflösung algebraischer Gleichungen in einer abgerundeten Form
darstellen zu können.
In der Systemtheorie und Schwingungslehre erlaubt die komplexe Erweiterung in der Regel eine transparente Darstellung der Operationen, die das System charakterisieren.
Aufgrund der Einbettung der komplexen Zahlen in die Arithmetik der reellen Zahlen, kann man die
imaginäre Einheit als Faktor deuten, so dass der Homogenität der linearen Abbildung zur Folge, ferner
auch
a(t ) = L {r (t )} + j L {i(t )}
notiert werden kann. Wir definieren hierbei letztlich nur formal die Benutzung der komplexen Einheit
im Zusammenhang mit dem Systemoperator. Da i(t) ein physikalisches Signal repräsentiert, kann formal eine Systemantwort L{i(t)} berechnet werden. Bildet man den Realteil des komplexen Ausgangssignals, so erhält man
Re { L {φ (t )}} = L {r (t )} .
Da ferner r (t ) = Re {φ (t )} ist, gilt
Re { L {φ (t )}} = L {Re {φ (t )}} .
a) Interpretieren Sie das Ergebnis.
b) Verwenden Sie die Garborsche Idee der komplexen Ergänzung bei dem System mit dem Operator1
L {r (t )} = r 2 (t ) . Berechnen Sie die Systemantwort über den komplexen Ansatz und vergleichen Sie das
Ergebnis mit der klassischen Berechnungsmethode. Welche Schlussfolgerung lässt sich ziehen? Was
hätten Sie erwartet?
c) Welche komplexe Ergänzung halten Sie bei den Signalen r(t) für sinnvoll
r(t)
i(t)
xk cos ( k ω0 t )
xk cos ( k ω0 t + ϕ0 )
1
Leistungsbegriffe in der Mechanik und Elektrotechnik sind proportional zu Signalquadraten.
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Begründen Sie Ihre Entscheidung und geben Sie ein Beispiel für die Vorteile der Garborschen Idee an
(z. B. Differential des Zeitsignals berechnen).
d) Lässt sich das komplexe Signal messtechnisch erfassen? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie
einen Messaufbau an.
Aufg. 3: Faltungssatz und Anwendungen (Fourier-, Laplace-Transformation und Fremderregung harmonischer Schwinger)
Für lineare zeitinvariante Systeme gilt der Faltungssatz:
a(t ) = L {e(τ )} (t ) =
+∞
∫ g (t − τ ) e(τ ) dτ .
−∞
a) Zeigen Sie, dass die Linearität und Zeitinvarianz eine hinreichende Bedingung für die Gültigkeit des
Faltungssatzes ist. Die Linearität und Zeitinvarianz ist zugleich auch eine notwendige Bedingung.
b) Mit Hilfe der Fourier- oder Laplace-Transformation lässt sich die Faltung in ein Produkt der Fourieroder Laplace-Transformierten der Gewichts- und Eingangsfunktion g(t) und e(t) überführen:
L{e(τ)}(t)
e(t)
L{}
L {e(τ )} (t ) =
A ( jω )
+∞
∫ g (t − τ ) e(τ ) dτ
−∞
= G ( jω ) E ( jω ) , mit
F ( jω ) = ℑ{ f (t )}( jω )
Sie stehen vor der Aufgabe, das unbekannte Übertragungsverhalten G ( jω ) zu bestimmen. Welche
Möglichkeiten stehen Ihnen zur Verfügung? Geben Sie einige typische Erregungsfunktionen und deren
Spektren an und diskutieren Sie die praktischen Gesichtspunkte bei der Auswahl und Erzeugung von
Erregersignalen.
c) In einem Sensorsystem wird der Betrag eines physikalischen Signals bestimmt. Das Messsystem hat
folgende Struktur:
xI
xS
Sensor
xSB
y= x
Abb. 2: Blockschaltbild eines betragsbildenden Sensorsystems
Sie stehen vor der Aufgabe das Gesamtübertragungsverhalten des Sensorsystems zu bestimmen. Wenn
möglich, geben Sie die Übertragungsfunktion G ( jω ) an. Diskutieren Sie Ihr Ergebnis. Wie wäre die
Gesamtübertragungsfunktion prinzipiell zu bestimmen?
d) Es liege ein fremderregtes Feder-Masse-System mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung vor
(siehe Abbildung Abb. 5). Die Masse des Systems sei in der punktförmigen Masseverteilung m vereinigt. Die Feder und das Dämpfungssystem seien masselos.
Stellen Sie die Bewegungsgleichung auf. Zur Standardisierung gehen Sie anschließend von der DGL
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a
d2
d
a (t ) + b a(t ) + c a (t ) = e(t )
2
dt
dt
aus. Mit Hilfe der Laplace-Transformation und unter Annahme verschwindender Anfangsbedingungen
bestimmen Sie die Laplace-Transformierte G(s) der Gewichtsfunktion.
Für die anschließende Diskussion können Sie von einer weiteren Standardisierung Gebrauch machen.
Gegen Sie hierzu von der Laplace-Transformierten
G( s) =
A( s )
k
= 2 2
E ( s ) T0 s + 2 D T0 + 1
aus. Diese Form der Darstellung hat, wie Sie sehen werden, gewisse Vorteile.
Bestimmen Sie Eigenresonanzfrequenz f 0 = 1 T0 und das Lehrsche Dämpfungsmaß D aus den Koeffizienten der standardisierten DGL.
Wählen Sie als Sprungfunktion den Einheitssprung und geben Sie die Systemantwort im Laplace- und
Zeitbereich an. Unterscheiden Sie hierbei zwei Fälle:
a) Fall 1 für 0 ≤ D < 1 und
b) Fall 2 für 1 < D
Charakterisieren Sie diese beiden Fälle bzw. geben Sie eine physikalische Interpretation an.
Vergleichen Sie die Operatorenschreibweise der DGL mit der Laplace-Transformierten. Welche formale Analogie fällt Ihnen auf?
Bemerkung: Die Laplace-Transformation führt die Lösung von linearen zeitinvarianten Differentialgleichungen auf die Lösung von algebraischen Gleichungen zurück. Nutzen Sie diese Tatsache bei der
Bestimmung der Sprungantwort und greifen Sie ferner auf Korrespondenztabellen zurück.
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