Vorkurs Mathematik - Hochschule Ruhr West

Vorkurs Mathematik
Akiko Kato
21. August 2016
1
Zahlenbereiche und Rechenoperationen
1.1
Zahlenbereiche
Die Zahlengerade stellt die Menge der reellen Zahlen R dar.
-2
u
√
1
9
−1, 5
-1
0
u
1
e
2
u
2
u
π
3
u
-
Wichtige Teilmengen von R sind:
• die Menge der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .}
• die Menge der ganzen Zahlen
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
• die Menge der rationalen Zahlen
o
n m
Q=
m, n ∈ Z, n 6= 0
n
d.i. die Menge aller Brüche
ungleich 0 ist.
m
,
n
wobei m und n ganze Zahlen sind und n
Es gilt
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
1
1.2
Rechenoperationen
Es gibt vier Grundrechenarten in R.
• Addition
3
+ |{z}
4
= |{z}
7
|{z}
Summand Summand Summe
• Subtraktion
12 − 4 =
8
|{z}
Differenz
• Multiplikation
3 · |{z}
4 = |{z}
12
|{z}
Faktor Faktor Produkt
• Division
Zähler
z}|{
12
12 : 4 =
= |{z}
3
4
|{z}
Quotient
Nenner
Die Division durch 0 ist nicht definiert.
Für die Addition und Multiplikation in R gilt
• das Kommutativgesetz
a+b = b+a
a·b = b·a
für alle a, b ∈ R
• das Assoziativgesetz
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
für alle a, b, c ∈ R
sowie
• das Distributivgesetz
a · (b + c) = a · b + a · c
für alle a, b, c ∈ R.
2
Enthält ein mathematischer Ausdruck verschiedene Rechenoperationen, werden
sie in folgender Reihenfolge ausgeführt:
1. Klammern, von innen nach außen
2. Multiplikation und Division
3. Addition und Subtraktion
Beispiele
(a)
(5 · (−2) + 3) · (−2) = (−10 + 3) · (−2) = −7 · (−2) = 14
(b)
−(2, 3 − (5, 6 − 6, 3)) = −(2, 3 − (−0, 7)) = −(2, 3 + 0, 7) = −3
Das Minuszeichen vor der Klammer entspricht der Multiplikation des Ausdrucks in der Klammer mit (−1).
(c)
1.3
10
6
6
6+4
=
=2
,
= =2
3+2
5
1+2
3
Ist der Ausdruck im Nenner oder Zähler eine Summe oder eine Differenz,
so wird er erst berechnet, dann die Division ausgeführt.
Dezimalzahlen und Rundung
Jede reelle Zahl kann als Dezimalzahl dargestellt werden.
Eine rationale Zahl x ∈ Q besitzt eine
• abbrechende Dezimalzahldarstellung mt endlich vielen Nachkommastallen,
z. B. 1, 23 = 1, 230̄
oder eine
• periodische Dezimalzahldarstellung, z. B. 0, 3̄.
Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist, x ∈ R\Q.
Sie ist
• weder abbrechend noch periodisch, z. B.
√
2 = 1, 414213562 . . .
π = 3, 141592654 . . .
Für praktische Zwecke werden lange Dezimalzahlen auf eine bestimmte Anzahl
von Nachkommastellen gerundet. Bei einem häufig benutzten Rundungsverfahren wird zunächst die Dezimalzahl an der vorgesehenen Nachkommastelle
abgeschnitten. Die letzte Ziffer der abgeschnittenen Zahl wird
3
• beibehalten, wenn die erste weggefallene Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4 ist:
Abrunden.
• um 1 erhöht, wenn die erste weggefallene Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9 ist:
Aufrunden.
Beispiele für das
√
2 ≈
π ≈
9, 9985 ≈
9, 9995 ≈
2
Runden auf 3 Nachkommastellen:
1, 414
3, 142
9, 999
10, 000
Rechnen mit rationalen Zahlen: Bruchrechnung
• Erweitern, Kürzen
a
a·c
=
b
b·c
für alle a, b, c ∈ Z, b, c 6= 0
Das Erweitern oder Kürzen ändert den Wert einer rationalen Zahl nicht.
Erweitern
−−−−−−−−→
3
3·7
21
=
=
= 0, 75
4
4·7
28
Kürzen
←−−−−−−−−
• Addition, Subtraktion
a·d c·b
a·d+c·b
a c
+
=
+
=
b d
b·d d·b
b·d
für alle a, b, c, d ∈ Z, b, d 6= 0
Für die Addition bzw. Subtraktion müssen alle beteiligten Brüche den selben Nenner haben. Falls nicht, erweitere oder kürze man die Brüche. Die
Zähler werden unter Beibehaltung des gemeinsamen Nenners zusammengefaßt.
Beispiele
(a)
3 2
3·3 2·5
9
10
9 − 10
−1
1
− =
−
=
−
=
=
=−
5 3
5·3 3·5
15 15
15
15
15
4
(b) Man kann geschickt vorgehen, indem man den kleinsten gemeinsamen Nenner findet.
5
1 2
5
1
2
5·3+1·6−2·4
+ −
=
+
−
=
12 6 9
2·2·3 2·3 3·3
2·2·3·3
13
15 + 6 − 8
=
=
36
36
statt so:
(c)
5
1 2
5 · 6 · 9 + 1 · 12 · 9 − 2 · 12 · 6
270 + 108 − 144
+ −
=
=
12 6 9
12 · 6 · 9
648
18 · 13
13
234
=
=
=
648
18 · 36
36
• Multiplikation
a c
a·c
· =
b d
b·d
für alle a, b, c, d ∈ Z, b, d 6= 0
Überprüfe, ob eine Vereinfachung durch Kürzen möglich ist, bevor man die
Multiplikation ausführt.
Beispiele
7 15
7 · 15
7·3·5
5
5
·
=
=
=
=
9 14
9 · 14
3·3·2·7
3·2
6
3 5
15
5
(b)
3· = · =
7
1 7
7
• Division
(a)
a c
: =
b d
a
b
c
d
=
a d
·
b c
für alle a, b, c, d ∈ Z, b, c, d 6= 0
Beispiele
(a)
(b)
(c)
3
4
9
10
1
5
=
3 9
3 10
3·2·5
5
5
:
= ·
=
=
=
4 10
4 9
2·2·3·3
2·3
6
1
1 1
1
:2= · =
2
5
5 2
10
1
2
3
=3· =6
1 = 3 :
2
1
2
=
Brüche können das Verhältnis zweier Zahlen oder den Anteil einer Zahl zu einem
Bezugswert beschreiben. Sind z. B. genau 7 von 20 Teilnehmern eines Kurses
7
35
männlich, so entsprechen sie einem Anteil von 20
= 100
= 35 % an der Gesamtteilnehmerzahl.
5
3
Potenzen
• Exponenten aus Z
– Seien a ∈ R, n ∈ N.
an = a
| · a ·{z. . . · a}
n Faktoren
a heißt Basis, n Exponent der Potenz an .
– Sei a ∈ R, a 6= 0.
a0 = 1
– Seien a ∈ R, a 6= 0, n ∈ N.
a−n =
1
an
• Exponent aus Q
Seien a ∈ R, a ≥ 0, n ∈ N.
1
an =
√
n
a
Seien im folgenden a, b ∈ R, a, b > 0 und p, q ∈ Q. Es gelten folgende Rechenregeln für Potenzen.
(a)
(b)
ap · aq = ap+q
ap
= ap−q
aq
Beispiel
23−5
2−2
1
1
23 · 2−5
−2−4
−6
=
=
=
2
=
2
=
=
24
24
24
26
64
ap · bp = (a · b)p
ap a p
(d)
=
bp
b
Beispiel
(c)
43
6−5 · 43 · 33 = 2−5 · 3−5 · 43 · 33 = 2−5 · 3−2 · 43 = 5 2
2 ·3
3
3
3
1
2
2
4
4
· 2 2 = 2 2 =
= 3 2 2 =
2 ·2 ·3
2
2 ·3
2 ·3
9
6
(e)
(ap )q = ap·q = (aq )p
Beispiel
6−5 · 43 · 33 = 2−5 · 3−5 · 22
Weitere Beispiele
(a)
0, 003 = 3 · 0, 001 = 3 ·
3
· 33 = 2−5 · 3−2 · 26 = 2 · 3−2 =
2
9
1
= 3 · 10−3
1000
3000 = 3 · 1000 = 3 · 103
(b)
(c)
(d)
5
5
1
15
1
1
1
5
5
=
(−1)
·
=
−
=
(−0,
5)
=
−
=−
−5
5
(−0, 5)
2
2
2
32
3
−2 4
83 · 4−2 · 16 = 23 · 22
· 2 = 29 · 2−4 · 24 = 29
210,4 · 3 2 · 71,5 = 21 5 · 3 2 · 7 2 = 21 5 · 21 2 = 21( 5 + 2 ) = 21 10
3
2
3
3
2
3
2
3
19
1 19
√
√
1
10
10
= 2119 = 2119 10 = 2119
= 21 10
4
Termumformungen
Im folgenden beschäftigen wir uns mit Termen, die eine oder mehrere reelle Variablen enthalten, die durch lateinische Buchstaben dargestellt werden, z. B. 5x−y 2 .
Durch Einsetzen geeigneter reeller Zahlen wird der Ausdruck zu einer reellen Zahl.
Es gelten also alle Rechengesetze des Kapitel 1.
Unter Anwendung des Distributivgesetzes kann man beispielsweise umformen:
Distr.
=
Distr.
=
Distr.
=
=
−(2x + 3y)(x + y) = (−1)(2x + 3y)(x + y)
((−1) · 2x + (−1) · 3y) (x + y) = (−2x − 3y)(x + y)
(−2x − 3y) · x + (−2x − 3y) · y
−2x · x − 3y · x − 2x · y − 3y · y
−2x2 − 3xy − 2xy − 3y 2 = −2x2 − 5xy − 3y 2
“Ausmultiplizieren”. Zwei Summanden werden ausmultipliziert, indem man
jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe
multipliziert und die Produkte addiert.
7
c
d
a
ac
ad
b
bc
bd
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Der Term gibt den Flächeninhalt des Rechtecks an.
Das Distributivgesetz kann auch so angewandt werden:
(3x − 4y)(5y − 7z) + 3xy − 4y 2
Distr.
Distr.
=
(3x − 4y)(5y − 7z) + (3x − 4y)y = (3x − 4y)(5y − 7z + y)
=
(3x − 4y)(6y − 7z)
“Ausklammern”.
Es gelten folgende binomische Formeln1 für reelle Zahlen, die man durch Anwendung des Distributivgesetzes, d.h. durch Ausmultiplizieren verifizieren kann.
1.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2.
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
3.
(a + b)(a − b) = a2 − b2
Beispiele
(a)
1
2
x2 − y 3
1
1 2 2 2
2
4
3. binomi
x2 + y 3
=
x2 − y 3 = x − y 3
Ausmultiplizieren mit binomischer Formel
8 2 40
20
50 2 2
25 2
2
(b)
4u − uv + v
u − uv + v =
9
27
81
9
3
9
2. binomi 2
=
9
2
5
2u − v
3
Faktorisieren mit binomischer Formel
1
nach Alessandro Binomi (1727-1643)
8
für alle x, y ≥ 0
Für das Rechnen mit Bruchtermen gelten die gleichen Regeln wie bei der
Bruchrechnung im Kapitel 2. Es ist zu beachten, daß möglicherweise die Variable nicht durch jede reelle Zahl ersetzt werden kann. Beispielsweise ist der Term
1
1
= (x+1)(x−1)
für x = 1 oder für x = −1 nicht definiert, da die Division durch
x2 −1
0 nicht definiert ist. Der Funktionsgraph der Funktion f (x) = x21−1 sieht nämlich
so aus:
4
y
2
0
-2
-4
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
• Erweitern, Kürzen
Erweitern
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
(7 − x)2 (7 + x)(7 − x)
(7 − x)2
(7 − x)2 (49 − x2 )
=
=
−
(x − 7)(x + 7)2
−(7 − x)(7 + x)2
7+x
Kürzen
←−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
• Addition, Subtraktion
Erweitere oder kürze die Summanden so, daß sie den gleichen Nenner haben. Wähle dabei möglichst den einfachsten gemeinsamen Nenner. Fasse
die Zähler zusammen unter Beibehaltung des gemeinsamen Nenners.
a − 3b
b
a − 3b
b
+ 2
=
+
2
2
a −b
a − ab
(a + b)(a − b) a(a − b)
a2 − 3ab + ab + b2
a2 − 2ab + b2
(a − 3b)a + b(a + b)
=
=
=
(a + b)(a − b)a
(a + b)(a − b)a
(a + b)(a − b)a
2
(a − b)
a−b
=
=
(a + b)(a − b)a
(a + b)a
• Multiplikation, Division
2x + 4y
x2
2(x + 2y)x2
2
2x + 4y x + 2y
:
=
·
= 3
=
3
2
3
x
x
x
x + 2y
x (x + 2y)
x
9
5
5.1
Wurzeln und Logarithmen
Wurzeln
5.1.1
Die Quadratwurzel
√
Sei a ∈√R, a√≥ 0, dann ist a diejenige nicht-negative Zahl, deren Quadrat a
ergibt, a · a = a. Beispielsweise gilt:
√
p
√
100 = 10 ,
(−7)2 = 72 = 7.
√
1
Es gilt a = a 2 , und es gelten für die Quadratwurzel die Rechenregeln für
Potenzen aus Kapitel 3.
√
√ √
1
1
1
a · b = a 2 · b 2 = (ab) 2 = ab
für alle a, b ∈ R, a, b ≥ 0
r
√
1
a 12
a
a
a2
√ = 1 =
=
für alle a, b ∈ R, a ≥ 0, b > 0
b
b
b
b2
Beispiele
√
(a)
√
√
√
√
√
75 + 4 27 − 3 = 25 · 3 + 4 9 · 3 − 3
=
√
√ √
√
√
√
√
√
√
25 · 3 + 4 9 · 3 − 3 = 5 3 + 12 3 − 3 = 16 3
(b) Seien x, y ∈ R, x, y > 0.
5.1.2
s
p
r
3
2xy
2xy 3
1
1 y>0 1
p
=
=
=p
=
5
2
5
8xy
4y
2y
8xy
4y 2
Allgemeine Wurzeln
√
Zahl, die hoch
Seien n ∈ N, a ∈ R, a ≥ 0.
Dann ist n a die nicht-negative
√
√
1
3
n
n genommen a ergibt, z. B. 1000 = 10. Es gilt a = a n , und es gelten die
Rechenregeln für Potenzen. Insbesondere gilt für a > 0, z ∈ Z, n ∈ N
√ z √
z
a n = n a = n az .
Beispiele
(a)
(b)
q
3
42,5
·
√
q
5 1 31
√
1
3
5
= 43 3 = 4
4 = 42 · 4 = 42+2
√
√
√
√
2
1
1
3. binomi 24
4
4
4
4
9− 4
=
9 − 44 = 92 − 42 = 3 − 2 = 1
9+ 4
10
Beim Vereinfachen von Bruchtermen mit Wurzeln eliminiert man falls möglich
Wurzeln im Nenner.
Beispiele
√
√
1
5
5
1
√ =√ ·√ =
(a)
5
5
5
5
durch Erweitern.
√
√
√ √
√
√
3
3
2−1
3( 2 − 1) √
√
=√
·√
=
= 6− 3
(b)
2−1
2+1
2+1
2−1
durch Verwendung der 3. binomischen Formel.
5.2
Logarithmen
Sei a ∈ R, a > 0, a 6= 1. Sei x ∈ Q. Für y = ax nennt man x = loga y den
Logarithmus von y zur Basis a. Er ist diejenige Zahl, mit der man a potenzieren
muß, um y zu erhalten.
Beispiele
(a)
log2 8 = 3
(b)
log3
da 23 = 8.
,
1
= −3
27
,
da 3−3 =
1
1
= .
3
3
27
Die am häufigsten verwendeten Basen sind 10 und die Eulersche Zahl e.
• der Zehnerlogarithmus
Sei y ∈ R, y > 0. Üblich ist die Schreibwese lg y für log10 y.
Beispiele
lg 1000 = 3
lg
√
1000 =
lg 0, 001 = −3
,
3
2
,
lg 10 = 1
• der natürliche Logarithmus
Sei y ∈ R, y > 0. Üblicherweise schreibt man ln y für loge y. Dabei ist
e = 2, 718281828 . . . die Eulersche Zahl.
Beispiele
ln
1
= −3
e3
ln 1 = 0
,
,
ln e = 1
eln 5 = 5
11
Man beachte, daß der Logarithmus nur für positive reelle Zahlen definiert ist.
Als Basis sind alle positiven reellen Zahlen außer 1 zugelassen. Es gelten folgende
Rechenregeln für Logarithmen. Seien dabei a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x, y ∈ R,
x, y > 0, p ∈ Q.
loga (x · y) = loga x + loga y
x
loga
= loga x − loga y
y
(a)
(b)
loga (xp ) = p · loga x
(c)
Die Rechenregeln sind direkte Folgerungen aus den Rechenregeln für Potenzen.
(a)
loga (x · y) = loga aloga x · aloga y = loga aloga x+loga y
= loga x + loga y
(b) analog zu (a)
loga (xp ) = loga
(c)
aloga x
Beispiele
(a)
(b)
6
6.1
p = loga ap·loga x = p · loga x
lg 25 + lg 55 = lg 25 · 55 = lg(2 · 5)5 = lg 105 = 5
√
36
1
log2 36 − log2 81 = log2 36 − log2 81 = log2
= log2 4 = 2
2
9
Lineare Gleichungen und Funktionen
Lineare Gleichungen
Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten x kann durch Äquivalenzumformungen in die Gestalt a · x = b gebracht werden, wobei a, b ∈ R.
Beispiele
(a)
⇔
⇔
⇔
⇔
5(x − 1) = 3x + 7
5x − 5 = 3x + 7
5x = 3x + 12
|+5
| − 3x
1
|·
2
2x = 12
x = 6
Das Ergebnis wird als Lösungsmenge angegeben: L = {6}. Die lineare Gleichung besitzt eine eindeutige Lösung, da nur für die Belegung x = 6 die
ursprüngliche Gleichung erfüllt ist.
12
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung ändert sich nicht bei
• Addition der gleichen Zahl auf beiden Seiten der Gleichung
• Multiplikation beider Seiten mit der gleichen Zahl 6= 0
• Addition des gleichen Vielfachen der Unbekannten
(b)
1
2
7
2x = 2x −
2
7
0x = −
2
7
0 = −
2
2x + 3 = 2x −
⇔
⇔
⇔
|−3
| − 2x
Die lineare Gleichung ist nicht lösbar. Die Lösungsmenge ist die leere Menge,
L = ∅ oder L = {}.
(c)
⇔
⇔
⇔
1
x+4
2
1
x+4
2
0x
0
1
(x + 8)
2
1
=
x+4
2
= 0
= 0
=
Die lineare Gleichung ist erfüllt durch alle reellen Zahlen. L = R.
6.2
Lineare Funktion, Gerade
Eine lineare Funktion hat die Gestalt
f :R → R
x 7→ f (x) = ax + b,
wobei a, b ∈ R. Jedem x aus dem Definitionsbereich R wird ein eindeutiger Funktionswert f (x) = ax + b zugeordnet. Der Graph einer linearen Funktion ist eine
Gerade, z. B.
13
4
2
f (x) = 21 x − 2.
y
0
-2
-4
-6
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
x
Die Steigung der Geraden ist konstant und hat den Wert a. Entlang einer Geraden ergibt eine Veränderung um eine Einheit in der positiven x-Richtung eine
Veränderung um a Einheiten in der positiven y-Richtung.
• Falls a > 0, steigt die Gerade.
• Falls a < 0, fällt die Gerade.
• Falls a = 0, verläuft die Gerade parallel zur x-Achse.
Sind zwei verschiedene Punkte (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) der Geraden bekannt, kann die
−y1
. Im obigen Beispiel sind die Punkte
Steigung bestimmt werden durch a = xy22 −x
1
(0, −2) und (6, 1) in der Geraden enthalten, somit folgt
3
1
1 − (−2)
= = .
6−0
6
2
Der Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ist (0, b). Die Schnittstelle mit
der x-Achse wird bestimmt
durch Lösen der linearen Gleichung f (x) = ax+b = 0.
Sofern a 6= 0, ist − ab , 0 der Schnittpunkt.
a=
Die Schnittstelle zweier Geraden f (x) = ax + b, g(x) = cx + d mit geeigneten
a, b, c, d ∈ R bestimmt man durch Lösen von f (x) = g(x), also durch Lösen der
linearen Gleichung ax + b = cx + d. Man überlege, wie die beiden Geraden in den
obigen Beispielen (a)-(c) verlaufen, wenn man die Terme auf beiden Seiten der
Gleichung als lineare Funktionen interpretiert.
7
7.1
Quadratische Gleichungen und Funktionen
Quadratische Gleichungen
Eine quadratische Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen in die Form
x2 + px + q = 0
(1)
gebracht werden, wobei p, q ∈ R. Es gibt drei Fälle für die Lösbarkeit von (1).
14
x2 − 16 = 0
1.
x2 = 16
⇔
besitzt genau zwei Lösungen x = 4 oder x = −4, bestimmbar auch durch
Faktorisierung
x2 − 16 = (x + 4)(x − 4) = 0.
x2 − 6x + 9 = 0
2.
⇔
(x − 3)2 = 0
besitzt die eindeutige Lösung x = 3.
x2 − 6x + 10 = 0
3.
⇔
(x − 3)2 +1 = 0
| {z }
≥0
|
{z
}
≥1
besitzt keine Lösung.
Lösen von (1) durch quadratische Ergänzung:
x2 + px + q = 0
p 2 p 2
⇔ x2 + px +
−
+q =0
2
2
p 2 p 2
−
+q =0
⇔ x+
2
2
p 2 p 2
⇔ x+
=
−q
2
2
Beispiele
(a)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
x2 − 6x + 8 = 0
x2 − 6x + 9 − 9 + 8 = 0
(x − 3)2 − 1 = 0
(x − 3)2 = 1
(x − 3 = 1
oder
x − 3 = −1)
(x = 4
oder
x = 2)
L = {2, 4}
(b)
7
49
x2 + x +
=0
5
100
2 2
49
7
7
7
2
−
+
⇔ x + x+
=0
5
10
10
100
15
(2)
2
7
⇔
x+
=0
10
7
⇔ x=−
10
7
L= −
10
(c)
√
7
3x + = 0
8
√ !2
√
3
⇔ x2 + 3x +
−
2
√ !2
3
1
+ =0
⇔
x+
2
8
x2 +
√ !2
3
7
+ =0
2
8
L=∅
Aus (2) leitet man die sogenannte p-q -Formel her.
!
r r 2
2
p
p
p
p
x+ =+
−q
oder
x+ =−
−q
2
2
2
2
!
r r 2
2
p
p
p
p
⇔
x=− +
−q
oder
x=− −
−q
2
2
2
2
Also folgt
x1/2
7.2
p
=− ±
2
r p 2
− q,
2
sofern
p 2
2
− q ≥ 0.
Quadratische Funktionen, Parabeln
Eine quadratische Funktion hat die Form
f :R → R
x 7→ f (x) = ax2 + bx + c
(3)
wobei a, b, c ∈ R, a 6= 0. Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist
eine Parabel. Der Graph der Funktion f (x) = x2 wird Normalparabel genannt.
Für a = 1 ist der Graph der quadratischen Funktion (3) eine ggf. verschobene
Normalparabel, deren Lage nach der quadratischen Ergänzung des Funktionsterms abgelesen werden kann.
Beispiele (s. o.)
16
7
49
f (x) = x + x +
=
5
100
2
(b)
2
7
x+
10
{z
}
|
≥0
7
Der Scheitelpunkt, d. h. das Minimum liegt bei − 10
, 0 an der einzigen
7
Nullstelle − 10
.
4
3
y
2
1
0
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
g(x) = x2 − 6x + 8 = (x − 3)2 −1
| {z }
≥0
{z
}
|
(a)
≥−1
Das Minimum liegt in (3, −1), da der kleinste Funktionswert -1 bei 3 angenommen wird.
3
2
y
1
0
-1
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x
√ !2
7
1
3
+
(c)
h(x) = x2 + 3x + = x +
8
2
8
√ Das Minimum liegt in − 23 , 81 .
√
17
4
3
y
2
1
0
-1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Falls a 6= 1, kann die Gestalt der Parabel folgendermaßen beschrieben werden:
• falls a > 0 nach oben geöffnet
• falls a < 0 nach unten geöffnet
• falls |a| < 1 gestaucht, breiter und flacher als die Normalparabel
• falls |a| > 1 gestreckt, schmaler und steiler als die Normalparabel.
8
Winkel, rechtwinkliges Dreieck, Kreis
8.1
Winkelmaße
Für die Größenangabe eines Winkels sind folgende zwei Winkelmaße gebräuchlich.
1
• das Gradmaß: 360
eines Vollwinkels wird als Grad bezeichnet und mit
gekennzeichnet. 1 Vollwinkel entspricht 360◦ .
◦
• das Bogenmaß: Die Göße des Winkels wird durch die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Kreis mit dem Radius 1 angegeben. 1 Vollwinkel
entspricht dann dem Umfang des Kreises 2π oder 2π rad, wobei rad als
Kennzeichnung der Einheit Radiant oft weggelassen wird.
Die Umrechnung zwischen dem Gradmaß α und dem Bogenmaß x eines Winkels
erfolgt durch folgende Beziehung
α
x
= .
◦
180
π
Beispiele
(a) Gegeben sei α = 30◦ , dann x =
(b) Gegeben sei x = π6 , dann α =
π
180◦
180◦
π
·α=
·x=
18
π
180◦
180◦
π
·
· 30◦ = π6 .
π
6
= 30◦ .
y
1
π
6
30◦
0
8.2
1
x
Der Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck heißen die den rechten Winkel einschließenden
Seiten Katheten, und die ihm gegenüberliegende Seite heißt Hypotenuse.
aa
Kathete
·
aa
aa
aaHypotenuse
aa
aa
aa
a
aa
a
·
Kathete
aa
aa c
aa
aa
a
aa
a
a
b
Bezeichnet man die Längen der beiden Katheten mit a, b, die Länge der Hypotenuse mit c, gilt im rechtwinkligen Dreieck der Satz des Pythagoras a2 +b2 = c2 ,
z. B.
13
5
·
12
Der Satz des Pythagoras wird verwendet, um den Abstand zweier Punkte in der
Ebene zu bestimmen. Gegeben seien (x1 , y1 ), (x2 , y2 ).
y
6
u
y1
H
·
(x1 , y1 ) HHH
HH
d HH
HH
H
Hu
(x2 , y2 )
y2
-
x1
x2
19
x
Der Abstand d beträgt
q
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 .
Beispielsweise beträgt der Abstand zwischen den Punkten (1, 2) und (3, 1)
p
√
√
d = (1 − 3)2 + (2 − 1)2 = 4 + 1 = 5.
8.3
Kreise
Ein Kreis besteht aus allen Punkten, die in einem festen Abstand r von einem
bestimmten Punkt (a, b) liegen. Der Abstand r ist der Radius, der Punkt (a, b)
der Mittelpunkt des Kreises. Im Kreis enthalten sind also alle Punkte (x, y) mit
der Eigenschaft
p
r = (x − a)2 + (y − b)2
bzw.
r2 = (x − a)2 + (y − b)2 .
(x, y)
t
r
t
(a, b)
Beispiel
x2 + (y + 1)2 = 9
⇔
(x − 0)2 + (y − (−1))2 = 32
beschreibt den Kreis mit Mittelpunkt (0, −1) und dem Radius 3.
Der Umfang U eines Kreises mit Radius r beträgt U = 2πr, sein Flächeninhalt
A beträgt A = πr2 .
8.4
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck nennt man das Verhältnis zwischen der Gegenkathete a (gegenüber dem Winkel α) und der Ankathete b (am Winkel α) den
Tangens des Winkels α.
20
s
tan α =
a
s
a
=
b
t
·
α
-
b
t
-
Der Wert des Tangens hängt nicht von der Größe des Dreiecks ab, sondern nur
vom Winkel α. (Das ist ein Spezialfall des 2. Strahlensatzes.)
Weiterhin nennt man das Verhältnis zwischen Ankathete b und Hypotenuse c den
Kosinus des Winkels α
c a
α
b
c
cos α =
,
sin α =
a
c
·
b
sowie das Verhältnis zwischen Gegenkathete a und Hypotenuse c den Sinus des
Winkels α. Die Werte von Sinus und Kosinus hängen wieder nicht von der Größe
des Dreiecks ab, sondern nur vom Winkel α (Spezialfall des 1. bzw. des 2. Strahlensatzes).
Beispiel: Für α = 30◦ , a = 5 ergibt sich:
tan 30◦ = tan
sin 30◦ = sin
5
π
=
6
b
5
π
=
6
c
⇒
⇒
b=
c=
5
≈ 8, 660
tan π6
5
= 10.
sin π6
Man stelle den Taschenrechner auf den passenden Modus ein: “RAD” bei Rechnungen im Bogenmaß, “DEG” bei Berechnungen im Gradmaß.
DEG
RAD
sin 30◦ = 0, 5 = sin
π
6
Aus den obigen Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck liest man ferner ab:
tan α =
sin α
.
cos α
21
9
Trigonometrische Funktionen
9.1
Spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen
Betrachte das rechtwinklige, gleichschenklige Dreieck mit der Kathetenlänge
√1.
√
Nach dem Satz von Pythagoras hat die Hypotenuse die Länge 12 + 12 = 2.
Es gilt somit
tan 45◦ = tan
sin 45◦ = sin
π
= 1,
4
1
π
=√ ,
4
2
cos 45◦ = cos
π
1
=√ .
4
2
45◦
√
30◦
2
1
45◦
1
1
·
1
60◦
1
2
·
60◦
Betrachte das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge 1. Durch Einzeichnen einer
Winkelhalbierenden (Seitenhalbierenden) erhält man für die Höhe h des Dreiecks:
s
r
√
2
2 r
1
1
3
3
1
2
2
=
+h =1
⇒
h = 12 −
= 1− =
2
2
4
4
2
sowie
1
π
sin 30 = sin = ,
6
2
◦
π
1
=√ ,
6
3
√
π
3
◦
,
sin 60 = sin =
3
2
π √
tan 60◦ = tan = 3.
3
√
π
3
cos 30 = cos =
,
6
2
◦
tan 30◦ = tan
cos 60◦ = cos
22
π
1
= ,
3
2
9.2
Die trigonometrischen Funktionen
Die Werte der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel α ∈ R definiert
man anhand des Einheitskreises mit dem Radius 1 und dem Mittelpunkt (0, 0).
cos α ist die x-Koordinate, sin α die y-Koordinate des Schnittpunktes des Einheitskreises mit der Geraden mit dem Winkel α zur positiven x-Achse.
y
1
sin α
(cos α, sin α)
α
0
cos α
1 x
Tangens ist definiert durch
sin α
für alle α ∈ R mit cos α 6= 0.
tan α =
cos α
Beispiele
(a)
2
π π
α= π= +
3
2
6
Am Einheitskreis liest man ab:
√
π
1
π
3
,
cos α = − sin = −
sin α = cos =
6
2
6
2
y
y
1
sin α
α = 23 π, β = 31 π
1
sin α
π
6
cos α
α
0
1 x
oder auch:
cos α
α β
0 − cos α 1 x
√
π π 3
π
π
+
−
sin α = sin
= sin
= sin =
2
6
2
6
3
2
π π π π 1
π
+
−
= − cos
= − cos = − .
cos α = cos
2
6
2
6
3
2
π
23
(b)
3
α= π
2
cos
3π
=0
2
y
sin
,
3π
= −1
2
1
α
1x
0
Zusammenfassung
x
0
π
6
sin x
0
1
2
cos x
1
tan x
0
√
3
2
√
3
3
π
4
π
3
√
√
2
2
√
2
2
1
π
2
3
2
1
1
2
0
√
–
3
24
Durch Auftragen der x- bzw. y-Komponente der Punkte des Einheitskreises erhält
man den Funktionsgraphen von sin bzw. cos.
1.5
y
1
sin x
y
0.5
0
x
-0.5
-1
-1.5
0
y
2
4
6
x
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
cos x
2
4
x
6
8
10
25
8
10
3
sin(x)
2
y
1
0
-1
-2
-3
-Pi
0
Pi
2*Pi
3*Pi
x
3
cos(x)
2
y
1
0
-1
-2
-3
-Pi
0
Pi
2*Pi
3*Pi
x
3
tan(x)
2
y
1
0
-1
-2
-3
-Pi
0
Pi
2*Pi
3*Pi
x
• Periodizität
Sinus und Kosinus sind periodisch mit der Periode 2π bzw. 360◦ .
sin x = sin (x + k · 2π)
cos x = cos (x + k · 2π)
für alle x ∈ R, k ∈ Z
Der Tangens ist periodisch mit der Periode π bzw. 180◦ .
tan x = tan (x + k · π)
für alle k ∈ Z und
x ∈ R so, daß tan x definiert ist, d. h.
x ∈ R\ π2 + kπ k ∈ Z
26
• Beziehung zwischen sin und cos
Der Graph von sin entsteht durch Verschiebung des Graphen von cos um
π
nach rechts.
2
π
sin x = cos x −
2
für alle x ∈ R
Der Graph von cos entsteht durch Verschiebung des Graphen von sin um
π
nach links.
2
π
cos x = sin x +
2
für alle x ∈ R
Außerdem gilt weiterhin der Satz des Pythagoras.
(sin x)2 + (cos x)2 = 1
für alle x ∈ R
Anmerkung: folgende Schreibweisen sind üblich.
sin2 x = (sin x)2
,
cos2 x = (cos x)2 .
• Symmetrien
Der Sinus und der Tangens sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
sin (−x) = − sin x
für alle x ∈ R
tan (−x) = − tan x
für alle x ∈ R\
Der Kosinus ist symmetrisch zur y-Achse.
cos (−x) = cos x
10
1
+ k π k ∈ Z
2
für alle x ∈ R
Einführung in die Differentialrechnung
Es wird untersucht, wie sich der Wert einer Funktion verändert, d.h. ob der
Funktionsgraph steigend oder fallend ist und wie steil er ist. Die Änderungsrate
des Funktionswertes zwischen zwei Punkten des Funktionsgraphen (x1 , f (x1 ))
und (x2 , f (x2 )) mit x1 < x2 wird berechnet durch
∆y
f (x2 ) − f (x1 )
.
=
x2 − x1
∆x
27
y
f
f (x2 )
(x2 , f (x2 ))
x1
f (x1 )
x2
x
(x1 , f (x1 ))
Der Quotient heißt Differenzenquotient und entspricht der Steigung der Sekante (Gerade, die durch mindestens zwei verschiedene Punkte des Funktionsgraphen verläuft) durch die beiden Punkte.
Beispiele
(a) Bei linearen Funktionen (Kapitel 6) ist die Änderungsrate bzw. der Differenzenquotient konstant und entspricht der Steigung.
(b) Für f (x) = 4x − x2 hat man zwischen (1, f (1)) und (2, f (2)) die mittlere
Änderungsrate bzw. den Differenzenquotienten
f (2) − f (1)
4−3
=
= 1,
2−1
2−1
zwischen (1, f (1)) und (4, f (4))
0−3
f (4) − f (1)
=
= −1.
4−1
4−1
5
•
4
•
y
3
Steigung 1
2
1
•
0
Steigung -1
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
28
6
Um die momentane Änderungsrate der Funktion in einem Punkt P = (x, f (x))
zu berechnen, führen wir einen weiteren Punkt Q = (x + h, f (x + h)) in der Nähe
von P ein, berechnet den Differenzenquotienten
f (x + h) − f (x)
f (x + h) − f (x)
∆y
=
=
∆x
(x + h) − x
h
und läßt Q immer mehr an P annähern.
y
f (x + h)
Q
f
f (x)
P
x
x+h
x
y
Sekante
Q
f
Tangente
P
x
Wenn schließlich P und Q zusammenfallen, erhalten wir die “momentane” Änderungsrate im Punkt P , die wir als erste Ableitung von f an der Stelle x
bezeichnen, Schreibweise f ′ (x),
f (x + h) − f (x)
,
h→0
h
f ′ (x) = lim
falls der Grenzwert, der Differentialquotient heißt, existiert. f ′ (x) entspricht
der Steigung der Tangente des Graphen an der Stelle x.
Analog zu S. 14 kann man schließen:
• f ′ (x) > 0, dann ist f an der Stelle x steigend,
29
• f ′ (x) < 0, dann ist f an der Stelle x fallend.
Beispiel
Betrachte f (x) = x2 , dann gilt für den Differenzenquotienten an der Stelle x
(x + h)2 − x2
x2 + 2xh + h2 − x2
f (x + h) − f (x)
=
=
h
h
h
2
2xh + h
=
= 2x + h,
h
somit folgt
f (x + h) − f (x)
= lim (2x + h) = 2x.
h→0
h→0
h
f ′ (x) = lim
Allgemein gilt für n ∈ N, f (x) = xn
f ′ (x) = nxn−1
für alle x ∈ R.
Seien c ∈ R eine Konstante, f (x) = c, dann gilt f ′ (x) = 0 für alle x ∈ R, denn
die konstante Funktion hat überall die Steigung 0.
Existieren die Ableitungen von f und g, und sind a, b ∈ R Konstanten, so gilt
(a · f (x)) + b · g(x))′ = a · f ′ (x) + b · g ′ (x).
Beispiel
f (x) = 3x42 − x2 + 2x − 8
f ′ (x) = 126x41 − 2x + 2
Weitere wichtige Funktionen und deren Ableitung sind:
Funktion
Ableitung
Bedingung für x ∈ R
xn ,
nxn−1
x 6= 0, falls n ≤ 0
wobei n ∈ Z
ex
ex
ln x
1
x
sin x
cos x
cos x
− sin x
tan x
1
(cos x)2
x>0
cos x 6= 0
30
11
Einführung in die Integralrechnung
Gegeben sei eine Funktion f , die auf einem Intervall I (Zahlengeradenabschnitt
zwischen zwei Zahlen) definiert ist. Jede Funktion F mit der Eigenschaft
F ′ (x) = f (x)
für alle x ∈ I
heißt Stammfunktion von f . Die Gesamtheit aller Stammfunktionen von f
wird durch das unbestimmte Integral
Z
f (x) dx = F (x) + c,
c∈R
bezeichnet. c heißt Integrationskonstante, f Integrand.
Beispiel
Z
4x3 dx = x4 + c,
c∈R
Wie auch bei der Differentiation gilt hier die Linearität:
Z
Z
Z
(af (x) + bg(x)) dx = a f (x) dx + b g(x) dx,
wenn a, b ∈ R Konstanten und f, g integrierbare Funktionen sind.
Beispiel
Z
4x3 + 3ex − cos x dx = x4 + 3ex − sin x + c,
c∈R
Mit Hilfe der Stammfunktion ist es möglich, den Flächeninhalt zwischen dem
Funktionsgraphen und der x-Achse zu berechnen.
y
f
a
b x
Dazu wollen wir annehmen, daß der Funktionsgraph eine durchgehende Kurve
auf einem Intervall ist und die Funktion nur endliche Werte annimmt. Dann wird
der Flächeninhalt durch das bestimmte Integral
Z b
f (x) dx
a
31
angegeben, und es berechnet sich durch
Z b
f (x) dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a),
a
wobei F eine Stammfunktion von f ist.
Beispiel
Z π
sin x dx = [− cos x]π0 = − cos π − (− cos 0) = 1 + 1 = 2
0
y
1
0
π
2π
x
Ist der Funktionswert negativ, so wird der entsprechende Flächeninhalt negativ
gezählt.
Beispiel
Z 2π
sin x dx = [− cos x]2π
π = − cos 2π − (− cos π) = −1 − 1 = −2
π
Im folgenden sind einige wichtige Stammfunktionen aufgelistet:
Funktion f
Stammfunktion F
Bedingung für x ∈ R
xn ,
1
xn+1
n+1
x 6= 0, falls n ≤ 0
wobei n ∈ Z, n 6= −1
ex
ex
1
x
ln |x|
cos x
sin x
sin x
− cos x
12
x 6= 0
Schlußbemerkung
Die Autorin wünscht allen Studienanfängerinnen und Studienanfängern viel Erfolg im Studium.
32
Folgende Literaturquellen wurden zur Fertigstellung des Skriptes verwendet.
[1] Online Mathematik Brückenkurs der Technischen Universität Berlin,
http://www.math.tu-berlin.de/omb/v-menue/home/
[2] Brüning, Spallek: Zahl und Zuordnung 7-10, Schroedel Schulbuchverlag
Hannover 1986–1988
[3] Griesel, Gundlach, Postel, Suhr: Elemente der Mathematik 11. Schuljahr
Nordrhein-Westfalen, Schroedel Verlag Braunschweig 2007
33