Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I Universität Leipzig

Mathematik für Wirtschaftswissenschaften I
Universität Leipzig
Lösungsskizze Präsenzaufgaben 7
1. Aufgabe
Sei z ∈ Z. Da g surjektiv ist, existiert ein y ∈ Y mit g(y) = z. Da f surjektiv ist, existiert
ein x ∈ X mit f (x) = y. Also gilt
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(y) = z.
Also haben wir gezeigt, dass es für jedes z ∈ Z ein x ∈ X gibt mit g ◦ f (x) = z. Damit
ist g ◦ f surjektiv.
2. Aufgabe
Durch quadratische Ergänzgung erhalten wir
f (x) = x2 − 6x + 10 = x2 − 6x + 9 − 9 + 10 = (x − 3)2 + 1
Damit ist der Scheitelpunkt
S(3|1).
Also ist f auf (−∞, 3) und [3, +∞) jeweils injektiv. Lösen wir die Gleichung y = f (x)
bzw.
y = (x − 3)2 + 1
nach x auf, erhalten wir
x=3±
p
y−1
also sind die Umkehrfunktionen der Einschränkungen von f auf (−∞, 3) bzw. [3, +∞)
gegeben durch
p
(f (−∞, 3))−1 (y) = 3 − y − 1
und
(f [3, +∞))−1 (y) = 3 +
1
p
y−1
3. Aufgabe
Zu zeigen: Falls f (x) = f (x0 ), so folgt x = x0 .
Seien also x, x0 ∈ D mit f (x) = f (x0 ). Für zwei reelle Zahlen gibt es genau 3 Möglichkeiten:
1. x < x0 , 2. x > x0 , 3. x = x0 .
1. Fall: x < x0 . Wegen der strengen Monotonie von f folgt dann f (x) < f (x0 ). Dies
ist ein Widerspruch zu f (x) = f (x0 )!
2. Fall: x > x0 . Wegen der strengen Monotonie von f folgt f (x) > f (x0 ). Auch dies
ist ein Widerspruch zu f (x) = f (x0 )!
Da einer der 3 oben beschriebenen Fälle vorliegen muss und Fall 1 und 2 zu Widersprüchen führen, muss zwangsläufig Fall 3 vorliegen. Also gilt x = x0 . Damit ist f
injektiv.
4. Aufgabe
1. Aus der Schule sollte bekannt sein, dass es eine Funktion arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ]
gibt mit
sin(arcsin(x)) = x ∀x ∈ [−1, 1]
wobei arcsin(sin(x)) = x für beliebiges x ∈ R im allgemeinen falsch ist (z.B. ist
arcsin(sin(π)) = arcsin(0) = 0). Definieren wir also g durch
g(x) = earcsin x
haben wir für alle x ∈ [−1, 1]
f ◦ g(x) = sin(ln(earcsin(x) )) = sin(arcsin(x)) = x.
2. Da f nicht injektiv ist, kann es die gesuchte Funktion h nicht geben: Nehmen wir
an, es gäbe h mit h ◦ f (x) = x für alle x > 0. Dann folgt aber wegen
0 = sin(0) = sin(ln(1)) = f (1)
und
0 = sin(π) = sin(ln(eπ )) = f (eπ )
dass
1 = h(f (1)) = h(f (eπ )) = eπ .
Das ist offensichtlich ein Widerspruch, weshalb die Annahme, dass ein solches h
existiere falsch ist.
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