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Research Collection
Monograph
Übungen zur Zahlentheorie
1891-1918
Author(s):
Hurwitz, Adolf
Publication Date:
1993
Permanent Link:
https://doi.org/10.3929/ethz-a-001313794
Rights / License:
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ETH Library
I
Schriftenreihe der ETH-Bibliothek, 32
Adolf Hurwitz
••
Ubungen zur Zahlentheorie
1891-1918
Umschrift von Barbara Aquilino
Als vervieWiltigtes Manuskript herausgegeben
von Herbert Funk und Beat Glaus
Zürich: ETH-Bibliothek 1993
SchriftenreihederETH-Bibliothek, 32
Adolf Hurwitz
••
Ubungenzur Zahlentheorie
1891-1918
Umschrift von Barbara Aquilino
Als vervielfältigtes Manuskript herausgegeben
Von Herbert Funk und Beat Glaus·
Zürich: ETH--Bibliothek 1993
Inhaltsverzeichnis
Seite
Porträt von Prof. Hurwitz
Kopie der Einband-Vorderseite
Vorwort
Frontispiz
1ll
v
"Ubungen zur Zahlentheorie"
Übungen Nr. 1 ff.
Kopie: Aufgabe 1-3, Lösungen 1-2
Kopie: Aufgabe 89, Lösuugen hierzu .undzu 88
1 ff.
nach S. 2
. nach S. 96
Adolf Hurwitz (1859-1919)
Professor für höhere Mathematik an der ETH
in jüngeren Jahren
iii
Sb
~,~7~; ~
1:1~Kopie
der Einband-Vorderseite
v
Vorwort
Vorliegende Ausgabe der "Übungen zur Zahlentheorie, Soinmer 1891" von Adolf
Hurwitz hat eine längere Entstehungsgeschichte. Den Anstoss zu einer Umschrift des
nur autograph yorliegenden Notizbüchleins gab unser Mathematikprofessor Ernst
Speck er noch zu seinen Amtszeiten. Obschon das Manuskript hohe Ansprüche
bezüglich Lesbarkeit, Genauigkeit und Umsetzung der Formeln stellte, konnte es
lediglich als sogenannte 'Neben- und Füllarbeit' umgesetzt werden. Schwierigkeiten
herrührend aus Zeitmangel, längere Kämpfe mit Software--:Problemen oder Formelinterpretationen und dergl. waren damit sozusagen vorprogrammiert.
Das Hautpverclienst am steten Fortschreiten und endlichen Gelingen des Werkes
•
kommt unstreitig Frau Barbara Aquilino, Sekretärin im Departement oMathematik,
zu. Ohne ihr beharrliches Festhalten am Projekt wäre dieses wohl in einem der
ersten Arbeitsgänge steckengeblieben! Ihr ist es zu verdanken, dass Hurwitz' komplexe Formelsprache schliesslich auf ansprechende Weise gedruckt werden konnte:
während die ersten Versuche noch in WordMARC vor sich gingen, benützte Frau
Aquilino schliesslich das ebenso aufwendige wie ästhetisch viel mehr befriedigende
Satzprogramm 11\TEX; doch hielt sich die Transliterierung so getreu wie möglich ans
Manuskript. Korrektur lasen Beat Glaus (Dr.phil.I) und Herbert Funk (Dr.sc.nat.)
von der ETH-Bibliothek.
Hurwitz war s.eit 1884 ausserordentlicher Professor an der Universität Königsberg
und von 1892 bis zu seinem Tocle 1919 Professor für höhere Mathematik an der
Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich. Hier wie dort hielt er Vorlesungen und Übungen über Differential- und Integralrechnungen, Zahlentheorie, Algebra
sowie Funktionentheorie. Mit seinem zweitletzten Königsberger Sommersemester
setzt unser Notizbüchlein "Übungen zur Zahlentheorie" ein, welches Hurwitz Schrift und bibliographische Zitate belegen es, - auch in der Zürcher Zeit voll
weitergeführt hat. Es dürfte von einigem Interesse sein, welchen Ausdruck Hurwitz'
"zahlentheoretisches Talent"l (das bekanntlich nicht sein einziges war!) in den doch
eher ausbildungs- und lehrbezogenen Übungen fand. Sowohl als Gelehrter wie auch
als Mensch ist AdolJ Hurwitz verschiedenenorts gewürdigt worden 2 ; diesbezüglich sei
auf diese Darstellungen verwiesen - auch wenn die gebührende Biographie offenbar
noch nicht geschrieben ist, wie Hans Freudenthal beklagt 3 •
Knobloch, in Neue Deutsche Biographie, 1974
2Z uletzt z.B. von Günther Frei im Schweizer Lexikon 1992
3Dictionary of Scientmc Biography, 1972.
1 Eberhard
vi
Der wissenschaftliche Nachlass von Hurwitzgelangte 1921 als Schenkung seiner
Angehörigen an die ETH-Biobliothek. 1932-1933 edierte Georg Polya namens der
Abteilung für, Mathematik und Physik derETH Hurwitz' "Mathematische Werke" ,
die auch eine kurze Beschreibung des Nachlasses enthalten4 • Ausführlicher verzeichnete ihn 1972 Alvin .E: Jaegglis.Katalog "Die mathematisch~Ji Tagebücher und
der übrige handschriftliche Nachlass von AdoljHurwiti's. Polya zufolge "enthalten'
wohl auch die Vorlesungen von Hurwitz, seine Aufgabensammlungen usw.interessantes Material, jedoch den wertvollsten Teil der Manuskripte bilden zweifelsohne
die Tagebücher" ... Indessen vermochten alle diese "nachgelassenen Manuskripte
von Hurwiti' die Mathematikhistoriker bis dato kaum zu interessieren; einzig
die Nachschrift einer Weierstrass- Vorlesung des Studenten Hurwitz wurde daraus
publiziert 6 ••.
Die "Ubungen zur Zahlentheorie", ein Halbleinenbändchen in Kleinoktav von gut
90.Blatt Umfang, tragen die Archivnummer Hs 582:5(f, Drei Viertel der Seiten sind
beschrieben, der Rest blieb' leer. Hurwitz numerierte die Übungen fortlaufend, und
zwar trug er auf den linken Seiten die Aufgaben und rechts Lösungen ein; diese fehlen
gelegentlich. Unsere Umschrift ordnet der Einfachheit halber beide untereinander,
wobei Asterixe die Trennung markieren. Hurwitz schrieb zumeist mit Tinte,nahm
Ergänzungen aber öfters auch mit Bleistift vor. Unsere Übertragung folgt dem Ori..
ginal Wort für WortS und Formel um Formel. Fortlaufendem Text musste allerdings
die Zeilenanordnung des Originals geopfert werden; Durchstrichenes wurdeausgelassen. Damit geht unserem Typoskript leider der "lebendige Eindruck" ab, den
manche von Hurwitz' Eintragungen mit ihren Einschiebseln, verschiedenen Duktus,
Tinten usw. ervvecken. Bewusst verzichteten wir auf Kommentare und dergleichen,
wie denn unsere Ausgabe nicht mehr sein will, als das Impressungandeutet:, eine
als Manuskript vervielfältigte Umschrift zum Zwecke bequemeren Zugriffs für Interessierte. Kritisches Eingehen auf den Inhalt oder gar Bearbeitung für eine· "richtige"
Edition muss Leuten vom Fach vorbehalten bleiben!
B. Glaus
4 ..
,
Bd. 2, S. 752.
•
5Schriftenreihe der ETH- Bibliothek, 14.
6Einleitung in die Theorie der analytischen Funktionen. Vorlesung Berlin 1878 in einer Mitschrift
von AdolJ Hurwitz; bearbeitet von Peter Ullrich. Braunschweig (etc.): Vieweg 1988 (= Dokumente
.
zur Geschichte der Mathematik, ed. W. Scharlau, Bd. 4).
71921-ca. 1970 trug der Hurwitz-Nachlass allerdings "gewöhnliche" Standortnummern der ETHBibliothek (vgL Polya l.c.); unser Manuskript z.B. hatte die Signatur 77707/27.
8So beispielsweise, wenn Hurwitz in älterem Modus "giebt", "theilbar", "reducirt" usw. schrieb.
Adolf Hurwitz
••
Ubungen zur Zahlentheorie
1891-1918
Umschrift von Barbara Aquilino
Als vervielfältigtes Manuskript herausgegeben
von Herbert Funk und Beat Glaus
1
1.) Zwischen zwei Primzahlen p und q, von denen q = p + 2, liegt immer eine
durch 6 theilbare Zahl. Ausgenommen p = 3, 9. = 5 . Besser:
Sind zwei Primzahlen in der natürlichen Reihenfolge der Zahlen nur durch eine
Zahl getrennt, so ist letztere durch 6 theilbar. Ausgenommen sind die Zahlen
3,5.
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19, ...
*****
1) Ist P = 6k - 1 , so ist P + 1 = 6k,
p + 2 = q = 6k + 1
2) Ist P = 6k + 1 , so ist P + 1 = 6k + 2,
p + 3 = 6k + 4,
+ 2 - 6k + 3
p + 4 = 6k + 5
p
Fall 2) ist ausgeschlossen.
2, 3, 2 . 3 + 1 = 7,
2 . 3 . 7 + 1 = 43 .
a, a + 1, a(a + 1) + 1, a(a + l)[a(a + 1) + 1] + 1, ...
2
2.) Bildet man. die Reihe von Zahlen
2+1=3
deren allgemeines Glied
so sind je zwei Zahlen dieser Reihe zu einander theilerfremd.
r = 2a + 1 und s = 22ka + 1 sind teilerfremd. -
Denn 2a
.
=-l(r)- s =(_1)2k + 1 =2(mod r)
*****
Es ist zu beweisen, dass
V
_2 n
= 24 -1
U.S.w.
keinen gemeinsamen Theiler haben, wo· zur Abkürzung p, =. 2m ,
geschrieben ist.
Dieser Satz zeigt zugleich~ dass es unendlich viele Primzahlen giebt.
Nun geht 2'" + 1 in
2~
-1 auf.
Es ist nämlich (2 -1)(2 +1)
= 22 -1,
(2,....1)(2 + 1)(22 + 1)
(2 -1)(2 +1)(2~ +1)(24 + 1)... (2"+1) = 2 2 "_~
Ein gemeinsamer Factor von 2'" + 1 und 2"
und 2" + 1 also auch in 2 aufgehen.
+1
müsste also auch in 2" - 1
Aufgaben 1 - 3 (vergrössert)
:Tl ~.
-._.
,...... ....
. ff
••
•
.,~' <1~
\~.
, j ;hilf'
;=0
.y#fi '::
°t/t-i /.u ';'L jt.
~J1,f/ I ~
'"
h7t.
r/.:
,;I /tri.:
jtlß -
/.
/1'-2 =1
CO'
M~/
6./'1'-2/ ?-r~= b4?'.1
h.f'~-6 /tri
~.tII4/1~dkr,
=
b4rf
.
."~ ....:':....
"Lösungen" der Aufgaben 1 - 2
(vergrösserte Kopie, u.linksm.Gebrauchsspuren)
.
I
3
2211
+ I, = 2(rnod.2 + 1)
1t
(;:: : ) = (2 1t
~ 1) = -1
P, <2v
für p,-1,2
= +1 für p,
> 2.
Bezüglich eines gern. Prirnteilers p von 21t + 1 und 211 + 1 , wäre
21t
211
=-l(p)
= -1 . also
2Jt
= +l(p).
4
3.) Derselbe Sat.z gilt. für die Zahlenreihe
b2 a4 + b4 ,a8 +. b8 ,... a2
a+ b,a2 +,
ß
+ b2ß ,...
wenn a und b relative Primzahlen sind, welche nicht heide ungerade. In letzterem Falle gilt der Satz für die Reihe
2"1(a +b), 2"1 (22)
a + b , 2"1 (4
a + b4)., ...
4.) Wie viele reducirte echte Brüche giebt es, deren Nenner die ZaW n nicht
überschreiten?
*****
ep(2) +ep(3) +... + ep(n)
5
5.) Man bildet, unter PllP2,'" Pk die verschiedenen in n aufgehenden Primzahlen
verstanden, das Produkt
n
Siehe unten
103 ff.
(1 ~ .1..)
(1 - -1..)
... (1 -. -1..)
PI·
P2
Pie
und nennt
die positiven
die negativen Glieder
dieses Produktes.
Z.B.
n
~)
(1 - ;1) (1 -
n
n,-'-,
n
P1P2
P1P3
n
n
-- ,
PI - P2'
,
(1 -- ;3) ,
so sind
n
die positiven
P2P3
n
n
P3
P1P2P3
-- ,
die negativen Glieder.
Man bezeichnet ferner mit d irgend einen Theiler von n. Es ist zu zeigen, dass
d in ebenso viele der Zahl~n p" wie der Zahlen !I aufgeht, ausgenommen für
d = n, Wo d nur in einer Zahl p" nämlich in P,1 = n aufgeht.
*****
Die Zahlen p, sind
(1),
2)
n
,
n
,
n
., ...
P1P2 PIP3 P2P3
k2 die Anzahl der Zahlen (2)
6
3)
n
, ...
k4 die Anzahl der Zahlen (3)
PIP2P3P4
Wenn nun d die Primfaktorenpll P2, ••• Pr und nur diese in niedrigerer Potenz
enthält wie n, so geht d in T2 der Zahlen 2) in T4 der ZaWen 3) U.S.w.
auf. Unter den Zahlen Jl giebt es also
M = 1 + T2 + T4
+ Ta +...
Ebenso unter den Zahlen
N =
durch d theilbare.
v;
Tl + T3 +TS + T7 + ...
durch d theilbare.
Es ist aber
M - N = 1 für
M- N
= (1 -
T
1t
=0, d.h. d = n
=0
fürT
> O.
7
6.) Wenn zwischen den Funetionen fund 9 für jeden ganzzahligen Werth n die
Gleichung
(1) ...
L:
Siehe unten 103 ff.
f(d) =g(n)
besteht, so ist
f(n)
.
= ~g(/l) -
~g(v)
.
n
= ~ B(d)· gd'
d:n
wobei B(n) = 0,1, -1 je nachdem n gleich ein Quadrat, theilbar oder eine
gerade oder eine ungerade Zahl ungleicher Primfactoren.
*****
Man stelle in Eg(/l) -'- Eg(v) jedes einzelne Glied nach (1) dar. Bedeutet
dann d einen beliebigen Theiler von n und ist d < n, so tritt f (d) ebenso
häufig durch Eg(/l) wie Eg(v) auf. Nur für d =n tritt f(n) nur ein Mal
in E g(./l) auf.
8
7.) Wie viele Zahlenpaare (a, b) giebt es, wo a,b aus der Reihe
1,2,3, ... n
entnommen sind, so dass a, bund n keinen gemeinsamen Theiler, ausser 1
besitzen.
Wenn· 'P2(n) diese Anzahl bezeichnet, so zeige man' zunächst, dass
'P2
(~)
die Anzahl der Zahlenpaare (a, ~)
angiebt, welche mit n den
g~össten
gemeinsamen Theiler fJ besitzen.
Sodann zeige man, dass
,.
ist, und folgere nach (6), dass
'P2(n) = n 2
'(I -~) (1 - P21 (1 - Pk1
PI .
2 )",
2)
8.) Die Anzahl der Gruppen von r Zahlen
die aus der Reihe 1,2,3, ... n gebildet werden können und, welche .mit n
keinen Theiler ausser 1 haben, heträgt
'Pr(n) = n r
(1 - Ir) (1 - Ir)'" (1 - Ir)
Ih .
P2 .
.
Pk
9
8a.) Bezeichnet. x irgend eine positive (rat. oder irrat.) Grösse und epz(n) die'
Anzahl der zu n theilerfremden Zahlen < xn so ist
[nx]
=L
tpz(d).
Also tpz(n) = ~]Jlx] --
IJvx]
d:n
*****
Die Zahlen < nx, welche mit n den grössten Theiler i gemein haben sind:
1 i, 2 . i, ... A• i wo A< dx diejenigen, deren erster Faetor 1,2, ... x theilerfremd zu d ist. Also etc....
9.) Sind die Zahlen c und a theilerfremd
und nicht beide ungerade, so sind auch
.
c + a und c - a theilerfremde, Zahlen.
,
10
10.) Man soll die Lösungen der Gleichung
in ganzen Zahlen finden.
*****
Man darf sich auf die Lösungen beschränken, bei welchen a, b, c und also
a, bja, Cj b, C keinen gemeins~en Theiler ausser 1 haben.
Man darf ferner annehmen, dass b gerade ist, da q, und b niCht heide ungerade
sein können. Sonst wäre
C
2
,
1
+ 1 =2(mod4)
Aus b2 ::::: (c + a)(c- a) folgt, da c + a und c - a nur 2 als gemeinsamen
Theiler besitzen,
c+ a::::: 2/12,
b::::: 2/1v
b . 2/1v,
Eine der beiden Zahlen /1 modv ist gerade, die andere ungerade.
Setzt man
.
a + b - c :::::
'c-a :::::
Z}
X
so kommt
Z2:::::
2xy
c- b ::::: y
a ::::: 2/1(/1 + A), b::::: A('\ + 2/1)
c:::::
/12+ (/1 + A)2
11
10. a ) Man soll die geraden vollkommenen Zahlen bestimmen.
Sei a = 21''''':1 • beine völlkommene Zahl, 'somuss 2a= Summe der Teiler
von a = -(21' - l)'!f'(b) - 21'· b, sein wo- '!f'(b) die Summe der Divisoren von
b. Es kommt '!f'(b) = :!1 b+ 2P~1 . Folglich sind bund 2P~1 die einzigen.
Divisoren von b; daher b Primzahl und 2P~1 = 1 . Folglich
wo p so zu bestimmen, dass 21' - 1 Primzahl, was jedenfalls erfordert, dass p
selbst Primzahl, weil sonst
21'
~
1 = 2TS
-
1, durch 2T
Vgl. Encyclopädie d. math. WJ 2. p;578.
-
1 teilbar.
12
11.) Man soll beweisen, dass die allgemeinste Auflösung der Gleichung
XIX2··. X r
= YIY2··· Ys
in ganzen positiven Zahlen auf folgende Weise erhalten wird. Man bildet eine
Matrix von r· s ganzen ,Zahlen
YI
Y2
Y3
Ys
und setzt die Xl, X2, ••• ,Xr gleich den Produkten der Zahlen einer Horizontal-,
die Yl, Y2, ••• Ys' gleich den Produkten der Zahlen einer Vertical-;-Reihe.
Vgl. 75.)
*****
Man nehme den Satz für die Werthe 2 + 3, ... r
Dann kann man setzen
+ s -1
der Yariabelnzahl an.
so braucht nur der Fan s = 2 , bewiesen zu werden. Der Satz sei nun für
YIY2 ....:.: XIX2 •• • x,,;
und r = 1,2, ... r - 1 hewiesen.
13
Dann kann man setzen
Yl
Y2
Nun ist
XIX2
=
YIY2
Ist nun
X2
Xl
al ~
und der Satz braucht nur für
bewiesen werden.
Xl X2
=
Y~Ö,
X~ Ö
= Y~€, Y2 = X~€, also
Yl
Y2
X'1
wo
x~y~
r
-
2, s
-
2, also
theilerfremd, so kommt
14
11. a) Man behandle die diophantische Gleichung,
,
x 2 + y2
= Z2
= (~- x 2) = (z -
d.i.y2
x)(z + x)
mit Hülfe des Satzes 11.)
*****
z+ x - dlla2h y= an a12 = a21a22 }
z - x = a12a22
und
oder
Also an = aß
y = ~ß'Y6, z + x = a 2 ß'Y, z - X = 62 /3'Y
y =A· a6,x =~(a2 - 62 ), z = ~(a2 +62)
\
11 b.) Aehnlich x 2+ ay2 = Z2 .
lZ12= 1 8
a21= a:y
a22=ß6 '
15
12.) Bezeichnet pA die höchste Potenz der Primzahl p welche in a! == 1 ·2·3 ... a
aufgeht, so ist
A _ a - (TO + Tl +... + TaJ
p-1
'
wenn a-in dem Zahlsystem mit der Basis' p die Gestalt·
.
a == TO + TIP + T2P
2
+.... + T,,:Pa
besitzt. Die Summe TO + Tl +... +ra ist also die Quersumme von a in diesem
Zahlsystem.
*****
Die Zahl A ist [~l + [;;]
+ [;a] +...
woraus die Behauptung leicht folgt.
A
==
Tl
+ T2P + .... + Tapa - l
+ (T2
+
+ T3P + ...
== Tl +T2(P+ 1)+
+ Ta p - 2)
a
+T3{p2 + p+ 1)
+ T4(p3 + p2 + p + 1)
+
.
16
13.) Der Bruch (aatb~)! ist stets eine ganze Zahl.
Wann ist die letztere durch die PrimzaW p nicht theilbar?
*****
a +b -
Sei,
a
-
b -
.
+" + tnpn
2
Tn + TIP + T2p +
+ Tnpn
, 2
n
80 + 8lP + 82P +"." + 8 n p
t o + tlp + t 2p
2
Dann istpk der Factor von (:t~)!, wo
N .t
k -- Er+Es-Et
p-l
"un lS
TO
+ 80 =
Tl
t o + Vo . P ,
+ 81 + Vo
T2+ S 2+ V l
Hieraus ,k = Vo
wo Vo = Q oder 1 ist"
- t l + VI" P
- t 2 + V2" P
= 0 od. 1
V2 - Q,od. 1
VI
+ VI + V2 +.". + Vn-l
Akso k = Q nur, wenn die Ziffern der· Zahl a + b einzeln der Summe der
entsprechenden Ziffern der Zahlen a und b gleich sind.
17
14)
•
(2a)!(2b)! • t t' t '
a!(a+b)!b! 18 8 e 8 eme
ganze 'Zahl .
(Bachmann im Schlömilch Bd. 20.
Bourguet in Nouv. Annales de Girono Bd. 14.)
Vgl. mein Tagebuch-{1901-1904) pag. 104 (auch 27. Dec. 1912 - pag. 30 ff.),
auch Bachmanns Niedere Zahlentheorie Bd. 1, S. 64. Ich finde
r(a+j)r(b+~)
4(o+b)
1
_
(Meyer-Dirichlet p.224)
r(a+b+l)
11"
f xa-~(1 -
4(o+b)
0
11"
x)b-~dx
Hieraus,
und endlich
1
(u)a (V)b
(2a)!(2b)!
I: a!(a + b)!b!4
"4 = 1 + )(1 - u)(1 - v)
[1
1]
vr=u + vr=u
*****
(2n)n ist für n > 0
2 theilbar.
\oll ,
00
4u = 1 -
,
un
"(2n
)n-:-n-1
LJ
2
1
durch
18
0 .••00
~.
Setzt man
(2a)!(2b)! Ua vb
a!b!(a +'b)! a! b!
eE
"4v
=
I - -4v ~ (2a)!(2b)!. Ua vb
-: e
.L...J a!b!(a
+ b)!
a! b!'
00
so
(U - V)n
n! (2n)n
81 +81 =0.
8u
8v
Es sei indem Zahlsystem mit der Basis p
-a
b
a+b
2a
2b
-
-
rn
Sn
tn
Un
Vn
r2 r1rO
S2 S1 S0
t 2t 1t o
U2 U1UO
V2VI Vo
wobei eine der Ziffern
rn, Sn) tn, Un Vn von Null
verschieden vorausgesetzt
werden kann.
(2a)!(2b)!, L h
.
Ist pk di'e P otenz von- p, welOh
c ein a!(a +b)!b! aUlge t, so 1st
K= Et+Er+Es-Eu-Ev
p-l
Nun ist
ro+so
r1 +Sl +t~
= t()+t~
= t1+t~P
2ro
= uo+u~
2r1+u~
-
U1+U~P
2s o
2S1+V~
..
= vo+v~p
= V1+V~P
:
rn+sn+t~_l
=tn
2rn+u~":'1
= Un
2Sti;+V~"'1
-
Vn
und K = (u~ + v~ - t~) + (u~ -t v~ -.tD +... + (U~;"'l + V~_l - t~_l)'
Das einzelne Glied dieser Summe z.B. u~ + vi - ti kann nur negativ werden,
wenn u~t = .v~t =0 , t~t = 1 • Dann ware
19
Wird nun schon als bewiesen angenommen, dass uLl + VLI - tLl nicht nega- .
tiv ist, so ist die linke Seite mindestens 2p - 1 , was nicht sein kann, da Ui + Vi
höchstens 2p-2 ist. Also ist allgemein ui+vi-ti nicht negativ, da u&+v&-t&
nicht negativ sein kann. · f ach er Bewe1S.
" Se1' C·a,b = a!2aa+b
! 2b!
. t Ca+l,b+ Ca,b+l =
And erer seh rem
!b!' Dann 1S
4Ca,b • Wenn also Ca,b und Ca+l,b ganz sind, so auch Ca,b+l' Darum Ca,o eine
.
ganze Zahl, so auch Ca,l u.s.f. -
20
15.) Es seien (r) die Zahlen der Reihe
1,2,3, ..• n
welche relative Primzahlen zu n 'sind, und die Summe der Aten Potenzen
dieser Zahlen, also
Dann ist
n~E ~~ <p~(d) = 1~ + 2~ + 3~ +... + n~.
d:n
Man soll hieraus <P~ (n) berechnen.
(A. Tharker, ereIle 4089 ) Siehe unten 106.)
*****
Man setze wie in 5.)
, i = Eil-LV
'.
1
n(l ~ - ) .. ;(1- -')
. 'PI
Pk
und
1~
+ 2~ + 3~+ ... + n~ =
F~(n)
Z.B. für A = 1 :
<PI (n) = n
L: .!. J.t(J.t + 1) _ n E Lv(v + 1) =
2
J.t
v
2
1
'
n i
1
1
n
=-2( -'-)(1--) ... (1--)=-2<P(n)j n>l.
2
Pt
P2
'
Pk
A=2:
_n ,(
<P2(n) -
3'
1 ) ... (I - 1 )
1- PI
Pk
(2n +-·-2-PIP2
,(-l)k,
)'
.. ·Pk
_ 1
(, 2 (_l)k
)
- 3<p(n) n + -2-PtP2" ·Pk .
21
16.) Bedeutet n eine ungerade Zahl> 1 und 'Pk(n) die Anzahl der Gruppen von
k auf einander folgenden Zahlen < n und theilerfremd zu n, so ist
.
'.
k
k
k
PI
P2
Pr
'Pk(n) = n(l - -)(1 - -) ... (1 - - )
Pl,P2, .. 'Pr die.verschiedenen in.n aufgehenden Primzahlen bedeuten.
(V. Schemmel, erelle 7019d Hierfinden sich noch einige Sätze.)
WO
*****
Man beweist den Satz leicht für eine Primzahlpotenz und zeigt sodann, dass
<h(n'n") = 'Pk(n')'Pk(n"), wenn n' und n" relative Primzahlen.
. 16. a )n· 6·n'jr=x.6+y bilden ein Restsystem mod(n=6n'),wenn x(modn')
und y(mod 6) ein Restsystem durchläuft.
22
17.) Bilden die Zahlen
ein volles System relativ pr. Reste (mod. n) und ist 6 ein Theiler von n, so
zerfallen jene Zahlen in ip(6) Gruppen von unter einander (mod.6) congruenter Zahlen.
Z.B.
n
(r)
= 60,
.6 = 10
= 1, 7, 11, 13, 17, 19,23,29,31,37,41,43,47,49,53,59
(modp)
= 1,7,1,3,7,9,3,9,1,7,1,3,7,9,3,9
*****
Es mögen kl = 1, k2 , ••• kl()(6) ein System rel. pr. Reste (mod 6) bilden und es
seien A Zahlen r etwa
rl
=
T2 -
•• ,,:::::
r~
=1
(mod 6)
Die Zahlen k2 , •• • dürfen nun rel. pr. zu n vorausgesetzt werden. Denn hätten
k; und n einen gemeinsamen Theiler so darf derselbe nicht in 6 aufgehen und
man kann t so bestimmen, dass k 2 + t6 rel. prim zu n.
Dann bilden
rl, r2, . .. r~
k2rl,k2r2" .. k2r~
ein System Tel. primer
Reste (mod. n) etc.
23
18.) Sind
f(3:)
g(x)
= aoxn + alXn- 1 + a2Xn-~ + + an
= boxm + b1xm - 1 + b2x m- 2 + + bm
für einen Werth von x durch p theilbar, so geht p in der Resultante
R=
(1)
ao al
(2)
ao
...
an
an
(m)
(1)
ao
bo
ht
bo
bm
'"
(n)
•
11
'"
••
'"
•••
'"
bm
bo
auf.
*****
Man hat
xm-1f(x)
x m- 2f(x)
J<x)
x n- 1 g(x)
= aox n+m- 1 +
+ anXm- 1
=
a ox n+m- 2 +
+
anX m- 2
=
= box n +m- 1 +
g(x)
Hieraus
R· xi = f(x) . .Pi(x) + g(x)· Gi{x)
[i=O,1,2 ... n+m-1]
wo .Pi und Gi ganze ganzzahlige Functionen höchstens m -1 bez. n _1 sten
Grades.
19.) Wenn die Determinante
zen
laikl = 0 (mod.p) , so besitzen die linearen Congruen-
=0
a21xI + a22X2 ••• a2nXn = 0
all Xl
anixi
eine, von ,Xl
+ al2 x 2
••• all'tXn
+ a7i2x2
., •• annx'Il,
(modp)
0
= =... = = verschiedene Lösung.
X2
Xn
0
*****
Man kann durch Einführung neuer Unbekannter
(wo I,ß.JkI
= ±1)
den Congruenzen die Gestalt geben
O:l1YI
0:2lYI
=0
+ 0:22Y2 = 0
(modp), wobei
0:110:22'" O:nn
= laikl = 0 (modp)
O:nlYt
+ ... + O:nnYn= 0
Von den Zahlen a nn , an-l,n-l,'" 0:11 können nicht alle relativ prim zu p sein.
Sei 0:# die erste, welche es nicht ist. Dann setze man
=0, =0, ...
=
0, YiO:ii
0 (modp) , und bestimme
eindeutigaus den folgenden Congruenzenj Yi nicht = 0 (mod p)"
YI
Y2
Yi-l -
YHr,··· Yn
25
20.) Ist die Resultante von f( x) und g( x) durch die Primzahl p theilbar, so haben
fex) und g(x) (mod.p) einen gemeinsamen Theilerj d.h. es ist
fex) = ep(x) . fl(X)}.
._ g(x) . ep(~) ~gl(X)
(mod.p)
wo <pe x) eine ganze ganzzahlige Funetion von höhetem als dem oten Grade.
Vorausgesetzt ist, dass die Coefficienten der höchsten Potenzen in fex) und
g( x) nicht durch p theilbar shJ.d.
*****
Nach 19.) kann man
26'
2L) In der Reihe a, a+ 1, . .. 2a ~ 2
kommt sobald a> 5(mindestens ein Quadrat vor.
2a - 2< (h + 1)2
Denn sollte h2 < a
sein, so müsste h>2 2h 2 -2< h 2 +2h + 1; h 2 _ 2h < 3
(h - 1)2 < 4 h- 1 < 2,h < 3, also h = 2 -sein.
Also a > 4 2a;- 2 < 9; a < 5~, was der Annahme a > 5 widerstreitet.
(Vgl. Humbert, Darboux Bulletin II 15 p.51 wo der
Satz aufgestellt wird, dass unter
+ 1, .. ; p --1 eine
Quadratzahl, wenn p ~ine Primzahl > 3 .)
P;l
*****
Man stelle sich die allgemeine Frage:
Unter welcher Bedingung findet sich zwischen den Grenze!). a und
(1 + p)a + q + 1 > a wo 1+ p > 0, p, q beliebige reelle Grössen bedeuten,
keine Quadratzahl?
Offenbar dann und nur dann, wenn eine ganze Zahl h existirt, welche
h 2 < a< (1 + p)a + q + 1< (h + 1)2 befriedigt.
Dies giebt (1 + p )h 2 + q + 1 < (1 + p)a + q + 1 < (h + I? ;
ph2 - 2h + q < O;ph < 1 + VI - pq (pq < 1). Und hieraus eine Grenze
unterhalb welcher a liegen muss, nämlich
a<
.
h
2
+1 2h -
. +p'
q
d'
.1.
a<
(. I+Vl
p
_ pq) 2
Ist P = 1, q = -3, so folgt h < 1 + v'4 = 3; h < 2, a < 4±~±3
= 5 1/2.
27
22.) Wenn
xn
+ al x n-l + a 2n-2
X+
· . • • + an =
0
eine rationale Wurzel besitzt, so ist dieselbe eine ganze Zahl.
23.) Es ist
2P - 2
p
wo ~ diejenige Zahl
1
1
1
= 1 - 2 + 3 - 4 +... Xa
1
p_ 1
(mod. p)
bedeutet, welche der Congruenz
aX a
=1
(modp)
genügt.
*****
Es ist 2P - 2 = (1 + 1)P - 2 = p[l + P;l +(P-IJ.~-2) + ...]
Setzt man P;l = p' so ist (für jede ungerade Pri~ahl p)
etc.
28
24.) Man beweise, dass
p-1
Ur 2
E::1
br + 1).2
= -2
(mod.p)
1
ist, unter p eine Primzahl verstanden.
.(Gauss Theorie der biquadr. Reste.)
Siehe unten 114) zu NQ 24 & 25.
=
24. a ) 1>' +2>' + ..• + (p- 1)>' 0 od. -1 (modp)
je nachdem
A 't 0 oderA 0 (modp -1)
=
*****
+ Cl = 0 .
82 + C1 8 1 + 2C2 = 0
83 + C1 S 2 + C283 + 3C3 =
81
0
1>' + ... + (p - 1)>'
wenn
81 -
und
Cl, C2,'"
(x - 1)(x ~ 2) ... (x - (p
!
=xp-1
8p-1
+ C1 8 p-2+ ••••••••••
die Coeff. in
+(p -1)ep-1
=0
~ 1»
+ C1X p-2 + ••• + Cp-1
29
25.) Bezeichnet man mit 0" b,€ bez. die Anzahl der Reste, Nichtreste, durch p
theilbaren Zahlen in der Reihe r 2 + 1 (r = 1,2, ... p - 1) so ist
Man berechne hieraus
a und b.
a+b+€=p-1}
a-b=J{p-2
*****
•
Ist p
I
= 3(modA), so ist € = 0,
a --
(K+l)p-3 }
2
b = (l-~)P+l
- p-3 b _
2'
0, -
Ist p - 1 (mod 4) so ist
€
P+l
2 •
-
= 2;
a _-
(K+l)p-5 }
b=
(l-K)p-1
.
2
_ p-5
a-
folglich J{ = 0
2
2
,
b_
-
folglich J{
p-l
2
=0
•
Wenn nun gezeigt werden soll, dass
ax 2 + by2 + c = 0 (modp)
(p Primzahl)
stets lösbar, wenn a und b nicht durch p teilbar, so führt folgende Ueberlegung zum Ziel: Durchlaufen x, y die Werte 0,1,2, ... P;lso sind ax 2 ~
und ebenso -(by~ + c)Pi1 unter sich incongruente Werte. Da es zusammen
Pi1 + Pi1 = P + 1 Werte sind, müssen 2 congruente vorhanden, also für
geeignetes x und y
ax 2 = _(by2 + c) (modp)
sein, q.e.d.
(Monatshefte f. Math.·und Phys. 1904.)
30
26.) Die Summe der Theiler einer Zahl ist nur dann. ungerade, wenn die Zahl ein
Quadrat oder das Doppelte eines Quadrates ist.
'~ann, ist jene Summe das Doppelte einer ungeraden Zahl?
Ähnliche Sätze über Zahl der Theiler, Summen der höheren Potenzen der·
Theiler etc.
Wiederholt unter 78) 79)
27.) Wenn rl, rz, , .. r p-l in irgend einer Reihenfolge mit 1, 2, 3, ... p - 1 identisch
sind, so giebt es unter den Zahlen
I
mindestens ein Paar congruentet.:.
Siehe unten No 119
*****,
Nach dem Wilson'schen Satze ist
lr1)2rz ... (p -J)rp_l- 1 (modp)
also können 1rh 2rz, ... (p - l)rp-l kein Restsystem bilden.
31
28.) Ist ein Cubus nicht durch 7 theilbar, so ist entweder die folgende oder die
vor.hergehende Zahl durch 7 theilbar.
Z.B.
7,8,9;
26,27,28;
63,64,65; ...
*****
(a 3 - 1)(a3 + 1)
= a6 -1 = 0 (mod 7).
32
29.) Sind
rp(n) relative Primzahlen zu n, so kann manaufeinanderfolgende so bestimmen, dass
*****
Man betrachte die rp(n) +·1 Zahlen
unter ihnen. sind zwei congruente. Entweder ist nun
oder
ai ••• aep - ak+l ••• aip
(mod.n)
also etc....
Z.B. 3,3,2,5,5,6 (mod.7) 2·5·5
1 (mod.7)
33
30.) Die Summe der
Potenzen aller Theiler der Zahlen
sten
1,2,3, ... n
ist
18
[~] + 2 [~] + 3
8
•
+ ... + n [~]
8
8
•
• [;]
•
;
Die Anzahl der Theiler also
n
n
n
.
n
-1 + [-]
+ [-3 + ....+ [-].
2
n
Allgemeiner:
Ist
I: cp(d) = f(m)
wo die Summe über alle Theiler d vonm erstreckt wird, so ist
/(1) + f(2)
+... +f(n) =
n
k=l
*****
Die Zahl d kommt als Theiler bei den Zahlen
n
n
l:[k]cp(k).
1d, 2d, . .. [d]dvor.
34
3L) Die Congruenz
x3
+1 -
0 (mod.175)
.besitzt drei Lösungen.
*****
x3
+ 1 = O(mod.25)
x
x3
+1
x
. 0(möd.7)
== -1(mod.25).
= -1, -2,3(mod.7)
x .-51 = 124(mod.175) ;
x . -1(mod.175),
24(mod.175)
x
32.)
1
1 1 2 3
60 = -2 + "2 + :4 +3 +5
Die Bernoulli'schen Zahlen
1 1 1 1 5 691 7 3617
6'30'42'30'66'2730'6' 510'
in Partialbrüche zu zerlegen.
j
33.) Ist p eine Primzahl von der Form 4n +1 , so sind die Lösungen der.Congruenz
x 2 + 1 =0
x
p-l
= (-2-)!
(mod.p)
und x
p-1
= -(-2-)!
35
34.) Es wird angezeigt, dass 3 Reisfässer, deren jedes gleichviel Reis enthält, von
Dieben zu Theil geleert worden sind. Man wusste nicht wieviel Reis sich im
Ganzen darin befand, jedoch weniger als 1000 Ho, aber es ergab sich, dass in
dem einen Fasse noch 8 Ho, in dem zweiten noch 1 Ho und in dem dritten
ebenfalls noch 1 Ho-übrig gelassen war. Als man der Diebe habhaft wurde;
gestand A, dass er mit ein Schaufel mehrere Male aus dem ersten Fass den
Reis in einen Sackgefüllt habej B, dass er in der Eile einen hölzernen Schuh
ergriffen, und diesen mehrere Mal aus dem zweiten Fass vollgeschüttetj C dass
er eine Schüssel mehrere Male aus dem dritten Fasse gefüllt habe. Diese drei
Gefässe, deren sich die Diebe bedie~t haben, sind zur Stelle, und es ergiebt
sich, dass die Schaufel 11 Ho, der Holzschuh 17 Ho und die Schüssel 12 Ho
enthält. Wie viel Reis befand sich in jedem Fasse?
(Aus einer alten chines. Arithmetik. Siehe Westheim, Zahlentheorie p. 45.)
*****
.. 613 Ho
x
x
x
=8(mod ll) }
=1(mod 17) .
x
= 12 "17 . 11t + 613
= 1(mod 12)
35.) Hat die Gleichung
eine rationale Wurzel, so ist die letztere nothwendig eine ganze Zahl.
Dabei bedeutet aI,a2, ... am ganze Zahlen.
36
36.) Die Wurzeln der Gleichung
sind irrational.
[Man betrachte f(x)= 0 (mod.5)]
37
37.) Es soll bewiesen werden, dass
(a > 0)
oder
ist, wenn po. die höchste Potenz der Primzahl p ist, welche in n aufgeht.
Und zwar findet die erste Congruenz Statt wenn A kein Multiplum von. p-1
die letzte, wenn A ein Multiplum von p -1 ist. Wenn p =2 ist
I" + 2" + ... + n" _
-~
o
(modpo.)
(modpo.)
wenn A = 1 oder gerade
wenn A > 1 u. ungerade
*****
Es sei n = po. . v. Dann bilden die Zahlen 1,2, ... n gerade v Restsysteme
(mod.po.)
Es ist also
S
= 1" + 2" +... + n" = v[l" + 2" +... + (pa)"]
(mod.po.)
Sei nun A kein Multiplum von p -1 . Da "2,, ... pa, wieder ein Restsystem
(mod.po.) bilden, falls, theilerfiemd zu p, so ist
oder
Wählt man nun für , eine primitive Wurzel der Zahl p, so ist ," - 1 theilerfremd zu po. und also
1" +... + (pa)"
und auch S
=0
(mod.po.).
Sei zweitens A ein Multiplum von p - 1 . Dann können wir beweisen, dass
38
ist. Diese Congruenz ist offenbar für 0: = 1 richtig. Wir zeigen, dass sie auch
für pO+1 gilt, wenn sie für pOt gilt. Nun ist
p-l.
E
~=o
==
{(kpa + I)>' + (kp~ +
.
.
2l + ... + (kpa + pa)>.}
p-l
E {I>' + 2>' + ... + (pa)>. +A(l>.-l + 2>'~1 + ... + (pa)>'-l)pO'k}
o
=~pO'
,q.e.d.
Dies gilt nicht für p =2 und X ungerade. Dann ist für
je nachdem A
38.) Die Zahl
=,1
0:
>1
oder A > 1;
I" + 2" +... + n . 1 1
-.,.----'--.,.----+ - + - + ... + -1
A
n
v
ist eine ganze Zahl, wenn p, q, ... v die verschiedenen in n aufgehenden Primzahlen bedeuten, welche unter den Zahlen
p
q
vorkommen, wo SI, 62, ... Sv die pivisoren der Zahl Ahedeuten.
Die Primzahl 2 ist fortzulassen, wenn A ungerade
~nd
grösser als 1 ist.
39
39.) Aus der Formel
12m+22mn+···+n2m
=
2m
n
2m+l
+ (_l)m B m
2m - 1 + (2mh B n 2m - 2 _
+ ln
2
2
1
-+-
i2m)s B
6
3
n 2m"-'6 _+
(2m)3
4
B n 2m - 4
2
± -f2mhm-3
B m-l n 2
•: •
2m-2
folgt, wenn wir
n=Nl
setzen, wo N das Produkt.aller oder den grössten der Nenner bedeutet, welche
\
in den Zahlen
1
1 BI B 2
Bm- 1
2m+ 1 '2'2'4"" 2m-2
auftreten,
der Clausen-v.Staudt'sche Satz, nach welchem
m
1
p
B m = G +(-1) [-
1
1
1
+ -q+r- +... + -]
v
wo p, q,r, ... v alle in der Reihe
enthaltenen
verstanden.
Pri~ahlen
bedeuten, unter 81 ,82 , ••• 811 die Divisoren von 2m
Diejenigen B m , welche die ungerade PrinizaW p im Nenner haben sind also
die Bk'
P;1 .
*****
(Vgl.unten unter 62.)
40
40.) Es ist' 1.\ + 2.\ +... + ('h,- 1).\ der Coefficient von ~~ m
Es ist aber
u. also (für A >0 )
wo die Coefficienten Co, Ob C2 , ••• durch die Gleichung
erklärt sind.
Es ist
.1
-
Co = 1;01 = ---,C
2 3 =Os = ... = C2k. +l = ... - O.
Ci = BI, C4 = -B2 , Ca = +B3 , ••• C2k '..
(_l)k+l Bk,
wo BI, B2 , B 3 , ••• die Bernoulli'schen Zahlen.
.
1
l'
1\
1
5
BI = 6,B2 = 30,B3 = 42,B4 = 30,Bs = 66""
.Die n te Bernoulli'sche Funktion ist
xn+l
xn
B
B
B
··
,(x)'
=
--'~ - + n _1 xn- 1 _ n ---'!Xn- 3 +,
±n,
--!LX n- 2g - 1 (_1)g+l
rn
n +1
2
1 2'
3 4
...
2g-1 2g
'lIJ
wobei 9
= [~]
ist.
(Vgl. 94)
*****
Setzt man r.p(x) = e"':'1
.
,,'
so findet man r.p(-x) - r.p(x) = x, also C3 = Cs = ... =
o.
41
Ferner
Die linke Seite ist
{iX
2
1
ei:c -
1-
-iX}
1 .
e-i:c -
.
_
-
1 + eZ:C
2 ei:c - 1
x
x
cotg
'2
'2
'tX
i!l:;3:
'tX
=_:e
2
eT
+ e- T
eT
~ e- ':
und die Bernoullischen Zahlen sind durch die Gleichung
definirt.
Ausgehend von (x + l)n+l - xn+l -1 - (n + 1hxn +... + (n + l)nx
(x = 1,~, 3, (r -1) und Addition) ergiebt sich
(I)
(n + 1hSn + (n + 1hSn-1 +... + (n + 1)nS1
S>.
= rn+l -
r,
= 1>' + 2>' + ... + (r ~ 1)>'.
Hieraus
+ C~n)rn +... + c~n)r = 'Pn(r).
'Pn(x + 1) - 'Pn(x) = x n und" durch diese Eigensch. und
Sn=::::' CJn)rn+l
Man beweise, dass
'Pn(O) = 0, die g.rat. Funktion 'Pn(x) völlig bestimmt ist.
=
Aus (I) schliesseman für n = p - 1 den Satz rP r (mod p)
ferner für r"= p, dass S1 = S2= ... = Sp-2 = 0, Sp-1 = -1 (mod p).
42
41.) Man kann auch, wenn allgemein.
gesetzt wird, von der Gleichung
S>.(ab)
=
bS>.(a) + Ala8>'_I(a)81(b - 1)
+
.+
A2a28>'_2(a)S2(b - 1) +...
A>.a>'8o(a)S>.(b -
Ir
ausgehen.
Man findet hieraus
und (indem a = pa, b = p genommen wird)
Ferner:
(mod.p)
Also für eine ungerade Primzahl p
8>.(pa)
pa-l
= 8 >. (P)
(mod.p),
Ebenso für"p = 2· und gerades A.
Für p = 2 und ungerades A kommt
8>.(2a +l) = 8>.(4)
, 2a
2
8>.(4)
-.-2-
= 8>.(2) + 8>':"'1(2)
I
(mod.2)
(mod.2)
43
42.) Ist
n = a·b
wo a und b theilerfremd, und durchläuft rein Restsystem (mod.b)
ferner sein Restsystem (mod.a)
so bilden die Zahlen
ar+bs
ein Restsystem (mod.n) .
Dies gilt sowohl für volle Restsysteme, wie für theilerfremde Restsysteme.
43.) Ist
wo ab a~h' .. ak theilerfremde Zahlen sind, und durchläuft
,
rl
ein Restsystem
(mod.al)
r2
ein Restsystem
(mod.a2)
rk
ein Restsystem
(mod.ak)
sa bilden die Zahlen
ein Restsystem (mod.n).
Restsystem kann hier in 2 Bedeutungen geno:punen werden.
44
43.) Bezeichnet p einePrimzaW und q eine Primzahl, welche nicht von der Form
. pn + 1 ist, so besitzt die Congruenz
xp
=1
(mod.q)
nur die eine Auflösung x -:- 1 (mod.q).
*****
Siehe unten 109- 111.)
sind: die PrimzaW p und die Primzahlen von der Form pn + 1 .
*****
Eine Lösung von
fex)
= x + x 2 +... + x + 1
p l
"':
p
-
.0
(mod:q)
befriedigt auch x P . 1 (mod.q)
ist also = 1 (mod.q) , wenn qnicht von der Form pn + 1
Ist aber x ::: 1 so ist fex)
=p
: also q
= p.
45
45.) Es giebt unzählig viele Primzahlen in der Reihe
1,
1+2p,
1+4p,
1+6p,
Denn wären qt, q2, ... qr alle in der Form 2np + 1 enthaltene Primzahlen, so
könnte
keinen Primfactor enthalten.
*****
(Siehe unten 113.)
46.) Es soll die Krönecker'sche Formel
1
[x] = 2
•
r
E [1 + sgn(px ~ ph)]
1
wo x positiv, keine ganze Zahl und< r+1 ist, ferner p eine beliebige positive
Grösse bezeichnet, durch Anwendung der Formel
Jsm. d u
00
sgn ()
x = -2
'Ir
umgeformt werden.
.
ux . -
o
U
·46
47.) Ist p eine Primzahl von de~Form 4n+·1, so ist die ~umme der quadratischen
Reste von p, welche in.der Reihe
1,2,3, ... p-1
,
enthalten sind, gleich
[Für p
= 4n + 3
P(P.;l).
hängt die Summe von .der Classenzahl ab.]
. *****
Bezeichnen a die Reste, b die Nichtreste,so ist
E a+~
_
b = p(p; 1)
p-l
k
1
P
~ a-~ b=E(-)·k=O
Denn E(~)k
p
= E(~)(p
p
k)
= p. E(~)
p
E(~)k
P
=-
E(~)k.
P
47
48.) Es ist
E [h
~
2
]
= (p- l)(p -
P
1
c
5)
24
wennp eine Primzahl der Form 4n. +1 .
*****
Da h2 =. p . [~]
+ ah ,woah
die quadr. Reste durchläuft, so ist
oder
p'(p' + 1)(2p' + 1) = p .~]h2] + pCP -1) = (p -l)(p+ l)p
h·
p
2:[h
2
424
= (p-l)(p-5) .
p
24
]
48
49.) Es ist
[v'Pl + [V2Pl +... +
IJ(p
4 j).
p] =P'j;l
wenn p eine Primzahl der Form 4n + 1.
Z.B.
p
=5
hl5]' 2 = 5:;1
p
= 13
[v'l3] + [J26]
+ [V39] = 14==13;;1
Siehe Boimiakowsky, Petersb. Bulletin 28 p. 257 ti.p. 411.
C.R.94, p. .1459 (Fortschr. 1893 p. 139)
*****
Man betrachte
die Parabel. y2
,
= px, welche das Rechte~k OAPQ
in 2 Theile zerlegt: 0 A = P~1
•
r
Die Zahl der Gitterpunkte in diesem
Rechteck ist Cf-lYP-l), und also
J!::!
!cl
4
2
h2
E [JkP] + E [-] =
1
(
p
P
1
2: [JkP] '= (p ~ 1) [3p -
~
1)2,
.
und folglich nach (48)
3- p + 5] = p2 ; 1 ,
1
Für Primzahlen p von der Form 4n + 3 .ist
E±!.
4
zt:!.
2
h2
E1 [JkP] + E1 [-.]
= p
P
2
-
1
8 .
q.e.d.
49
Nun ist
L: a - L: b - -
2-<1) • h.
p
.also 2 L: a = p[P;l - 2-~~) wok die Zahl der Classenerster Art der Determinante -p bedeutet. Daher kommt
.ld.
t
1
[h = (p-:l)(p-5) +
2
]
P
24
r;;:.
(vPJ + [y2p} + ... +
h
2(2-(~»
[r:P+T:].
V(---;;--4-))PP
[p = 3 mod 4}
(p - 1) (p + 4)
=.
12
und
h
. - 2[2 - (~)J'
50
50.) Die Gleichung
x 2 _2 y 2 = 3z2
besitzt keine Lösung in ganzen Zahlen x, y,z .
****'*
x und y können ohne gemeinsamen Theiler angenommen werden.
Da (i)....: -1, so ist 3 kein Theiler der der Form x 2 ~2y2 •
51.)
n-l
km
1
E1 [_.
J= -(m -l)(n -1)
n
2
~enn mund·· n ungerade Zahlen ohne gemeinsamen Theiler.
(Kronecker, Grelle 106 p.346)
*****
[k:J
_ 1n\l + sgn(! _ l!.)}
m
2
1
n
m
-
l(m
- l)(n
-- 1) + 12 k,h
E sgn(!n-, l!.)
2
.
m
-
l(m - l)(n -1)
-
l(m -l)(n -1) - 1 Esgn(! _l!.)
2
2
+12 k,h
E sgn(n-k _ m-h)
n
m
2 k,h
n
m
51
52.) Es sei
eine positive ungerade Zahl, D theilerfremd zu mund ml das Produkt aller
in m aufgehenden Primzahlen von welchen D quadr. Rest, m2 das Produkt
aller in m aufgehenden Primzahlen von welchen m quadr. Nichtrest.
Dann ist die über alle Divisoren 6 von m erstreckte Summe
gleich Null, wenn m2 kein Quadrat ist und gleich der Zahl der Divisoren von
ml, wenn m2 ein Quadrat ist.
*****
Ist m.1 -so ist
ßl ß2
ß•
r' m·2 - ql q2 - .•• qs
pO'l . 0'2
pO'r
1 p 2 •••
52
53.) Zerlegt man eine ganze positive Zahl m auf alle möglichen Arten in 2 Factoren,
vo~ denen der eine ein Quadrat 82 ist, und bezeichnet man mit v jedesmal die
Anzahl der· in dem anderen Factor € aufgehenden von einander verschiedenen
Primzahlen, so ist E 2'" gleich der Anzahl aller Divisoren der Zahl m.
m =
72
=
2.62
-
v=1
= 1
2+2+2 +2 =,12.
V
2
8.3 2
_
18.2 2
11
=2
_
23 .3 2 .1 2
v= 2
2
*****
- Ql Q2 . Qr
Ist m -=Pt P2 :. 'Pr
so entstehen die Zahlen
€,
wenn wir bilden
und jeden Factor der ersten Reihe mit jedem der zweiten etc. zu einem Produkte vereinigen.
Es sei e(p:I1)
so ist
= 2, wenn
x> 0,
=1
wenn x =0
2"'= e(pfl )e(p~2) ... e(p:r)
E
2'" =
E e(pfl) E
e(p~2) ... E e(p:r)
= (0:1 + 1)(0:2 + 1) •.•
53
54.) Es soll untersucht werden
1)
ob (37,53, 78), (53,73,102)
(D =-77)
2)
ob (5,14,41), \ (10,11,13)
(D= -9)
aequivalent sind.
55.) Wählt man unter allen Formen einer Classe von. positiven Formen diejenigen
aus, deren erster Coefficient einen möglichst kleinen Werth besitzt, sodann
unter diesen wiederum diejenigen deren letzter Coefficient möglichst klein ist,
so giebt. es deren eine oder zwei.
Lässt. man im letzteren Falle diejenige mit negativem mittleren Coefficienten
fort, so ~at man die reducirte.
(Besser stylisiren!)
54
56.) Setzt man eine positive Form (a, b, c) in die Gestalt
so bilden die Punkte
~ ~:::~:}
(x = -00
(y =-00
+ 00)
+ 00)
die Ecken eines parallelogrammatischen Netzes. Diese Punkte hängen nur von
der Form, nicht aber von der besonderen Darstellung ab; sie bleiben in ihrer
Gesammtheit ungeändert, wenD; die Form durchein~ aequivalente ersetzt wird.
*****
Eine ;Drehung des Coordinatensystems führt nämlich die Punkte des Netzes
in eine neue Lage und zwar so, dass die Punkte der neuen Lage durch
gegeben sind, wobei identisch
in x + y
(c~x + ~y)2 + (d~x+ d~y)2
= (CI X + C2Y)2 + (d1 x + d2y)2
ist. Dies lässt sich auch umkehren. _.
55
57.) Auf wie viel Weisen lässt sich 38025 = 1952 als Summe zweier Quadrate
darstellen, auf wie viel Weisen zerlegen?
*****
Die Teiler sind von der Form 3a 5ß 13"Y. Von der Form 4k +- 1 sind 18, von der
Form 4k + 3 sind 9. Also die Zahl der Darstellung - 4 . 9
Die Zahl der Zerlegungen ~. 10 = 5.
56
58.) Man' kann,' wenn A, B, C keinen geIIleinsamen Theiler besitzen x, Y immer so .
wählen, .dass
Ax 2 + Bxy + Cy 2
theilerfremd zu der beliebig gegebenen Zahl k wird.
*****
Seien Pi'P2, .... ,Pr die verschiedenen Primfaktoren von k. Geht nun PI in A
nicht auf, so werde x p 1 , Yp o gesetzt. Es ist dann,
2
2
fex, y) = Ax + Bxy + Cy gesetzt, f(xp,Yp) = A nicht durch PI teiibar.
Geht PI in C nicht auf, so werde X p = 0, YP = 1 gesetzt und es wird dann
f(XHYI) = C nicht durch PI 'teilbar.
Geht PI sowohl in A, wie in C auf, so sicher nicht in' B. Dann sei
Xl = 1, YI = 1 und es wird dann f(XbYI)
B (modpd also nicht'
durch PI teilbar. Entsprechend kann man zu Pk die Zahlen Xk, YkSO bestimmen, dass f(Xk, Yk) nicht durch Pk teilbar ist. Wählt man nun X und
Y so, dass x - Xk (modpk), y .Yk(modpk) (k = 1,2, ... r) so wird
f(x,y) = f(Xk,Yk) (modpk) und also· f(x,y) durch keine der Primzahlen
PbP2, ... pp teilbar, also zu k teilerfremd.
=
59.) In jeder Classe primitiver Formen erster Art, giebt es solche deren erster Coefficient theilerfremd zu einer beliebigen Zahl k ist..
60.) In jeder Classe primitiver Formen zweiter Art giebt es Formen"deren halber
erster Coefficient theilerfremd zu p.
57
61.) Ist p eine Primzahl und sind a und b zwei positive Zahlen, deren Summe
gleich p - 1 ist, so besteht die Congruenz
alb!
= (-l)a+I(mod.p)
*****
Es sei
alb!
so ist
x. (p ~ ~)!
= x(mod.p)
=x . (p- l)(p -
2)
(p --- a)
a.b.
1· 2 a
(p - 1)!1·2 ... a =x' (-1)(-2) ... (-a) (mod.p)
(p _ 1)!
also
58
62.) Zum Staudt-Clausen'schen Satze:
Man geht von der Gleichung aus
Vgl. Tagebuch
27. Dec. 1912 pag. 22
Hieraus
~
n _ x(x '-1) L1 nX(x -1)(x - 2) L12n
x 1.2 . 0 +
1.2.3
0
L.J
1
..
+...
und indem man den Coefficienten von x nimmt:
Man zeigt nun, dass
je nachdem n Primzahl und zugleich ~. ganze Zahl
n =4 und q ungerade in allen anderen Fällen.
Siehe.unten 97.)
1ucas, Theorie des Nombres, Bd I p. 433. Paris 1891.
Catalan, Melanges I: p. 320.
.,
*****
Man hat
:&
l=ez -
-1
:r;2"
+ 21 X + ~ ..·(')n
-1 B n · (2n)!
00
+ ~ft + ~~ +...
1 + ~(1- e:&) + 1(1- e:&)2 + ~(1- e:C)3 +.. ,
-
1!e",ig(1 - (1 - e3:))
-
- [
.
1 -'e:& --
_"" _ :r;2 _
.....
2!
:r;3 _
3!
= bo + 1h TI
+f(l- e:&)h-l+ • •• ]
•••
ist eine ganzzahlige Reihe im Sinne meiner Arbeit.
Es ist also (1- eZ)m durch m! teilbar, daher
~(1 _ .z)h-I = (h - .1)! . (1 - ez)h-I
h
e
h
(h;...- I)!
ganzzahlige Reihe, wenn h eine zusammengesetzte Zahl
Hl-e )3 _
Hl - 3eZ + 3e2z -
-
E ![-3 + 3· 2n n=3 4
Z
00
>4
ist.
eSz )
3n]z~
n.
= E ~[1 - (_l)n]~~
+Ganzz. Reihe.
Ist h Primzahl, so kommt
(1 - ez)h-I
= 1- (h -1)eZ + (h - 1)2 e2Z (= 1 + e:c. + e2z +... + e(h-I)Z)
-
= -
z{h-l)
(h-I)! -
,x2(h-l)
(2(h-I»! ••• mo
.•. ± e(h-~)z
d h)
Besitzt r,o(x) = E Cn ~~ die Eigenschaft Cn + (p - 1) = Cn(p) sobald n ;;::: N,
so besitzt auch Ar,o(x) diese Eigenschaft, wo A beliebig, ebenso r,o(ax) , wo
a 1= 0 (p) und endlich r,o(x) + .,p(x) , wenn .,p(x) dieselbe Eigenschaft hat, wie
r,o(x).
Es ist daher
bi~
x 2n
00
~ (-ltB
auf eine ganzzahlige Reihe
n
(2n)!
=L
1 ( x p-
I
X 2(p-I)
X 3(p-l)
P (p -I)! + (2(p -I))! + (3(p -
I))!
)
+...
die Summe über alle Primzahlen erstreckt. Also (_I)n Bn = Qn + E ~, die
Summe über diejenigen Primzahlen p erstreckt, für die p - 1 in 2n aufgeht.
Der Beweis von Kluyver, Math. Ann. Bd 53 p. 591 ist im wesentlichen mit
vorstehendem identisch. Er ist übrigens aus den allgemeinen Sätzen meiner Arbeit über die Entwicklungs-Coefficienten der Lemnisc. F. sofort zu abstrahiren.
60
62. 4 ) Beim Beweise unter 62 für den Staudt-Clausenschen Satz wird benutzt, dass
(a - I)! durcha nur dann nichtteilbar ist, falls a = 4 oder eine Primzahl p
ist. Man soll diejenigen Zahlena bestimmen, für welche (a -I)! nicht durch
a2 teilbar ist.
,.
J
Die einzigen Zahlen dieser Eigenschaft sind die fQlgenden:
a
= 4, 8, 9, p, 2p,
wo p eine ungerade p'rimzahl.
61
63.) Die Zahl
(h Potenz von 2)
ist Primzahl oder nicht, je nachdem sie in
aufgeht oder nicht. (Lucas, preface.)
Z.B.
p _
_
2k(2 7 )k
-
+ 1, 327 + l' (1 + 2?7 + 1 2 + 2 7 • 2 + (2 7 h .2 2 + ...
28
7
7 7
2 .(2 -1).(2 -k+l)
1·2....k
= (_l)k . 1·3·5...
t·2o..-k
*****
Wenn p
= 2h + 1
Primzahl, so ist
(;) = (K) =(-ä) = -1,
3~ = 32h - =-1
t
also
Vg168)
(mod.p)
(woraus beiläufig folgt, dass 3 primitiv~ Wurzel von p).
Wenn umgekehrt für·die ·Zahl p = 2h + 1
32
h- t _ .
= -1
)
(mod.p,
so folgt leicht, dass p-l der kleinste Exponent S für welchen 36 . 1 (modp).
Denn S muss 2h theilen, weil 32h 1 (modp) und kann also als Potenz von
t
2 nur = 2h sein, weil sonst s~hon 32h - = 1 (modp) wäre.
Also p - 1 Divisor von cp(p) ~P""7 1 j also cp(p) = p - 1 also p Primzahl.
=
62
64.) Ist p. eine Zahl die theilerfremd zu 6 ist sd ist
Beweis:
2
wo 0: = e ;i . Berücksichtigt man, dass (1- 0:)2
so findet man.leicht den zu ~eweisenden Satz.
(Fortschritte, Bd. 22,
p~
257.)
= -30:,
(1 ~ 0:2 )2= -30:2 ,
63
65.) Wie häufig lässt sich die Zahl n in drei Summanden zerlegen?
Andeutung: n =k1 + (k 1 + k 2 )
+ (k 1 +k2 + k3 )
ist die allgemeine Zerlegung, wenn die Summanden nach steigender Grö~se
geordnet werden. kll k2 , k3 sind Zahlender Reihe 0,1,2, .... Ist F(n) die
gesuchte Zahl, so hat man
Eo
00
F(n )xn
'
1
= I: x 3k1 +2k2+ ka = ..,...-.,..--....,.....,....,..-----,.....,..-----,,2
3
(1 - x)(1 - x )(1 - x
.
)
Man zerlege in Partialbrüche und entwickle die einzelnen Brüche.
Das Resultat lässt sich so formuliren:
Es ist
F(n) = [n(n ; 6)]
1
+ 1,
wo die eckige Klammer das grösste Ganze andeutet.
*****
1
(1 - x)(l - x2 )(1- x 3 )
-
17
1 + 41(l-x}2
1 + Ei1(l-x)3
1
72 . I-x
+11
a
+.9(aa22-x)
. 8· 1+x + 9(a":"x)
2
(a-_ -1+11-3)
Coefficient von x n ist:
= 0(6)
n = 3(6)
n = 2,4(6)
1. .. n
~
=n 12±6n + [.2...
12 + 17
72 +. (_I)n+
8· !(an
9· + a2n)] -_
2
~
1;
. n(n + 6)
F(n) =
12
Daher
+1-
€
(0 <
€
n
=1,5(6)
< 1)
Es ist
47 + (_I)n. 9 + 8(an + a 2n ) = n(n + 6)
12
+
72
12
'Tl> 0 weil I( -lt9 + 8(an + a 2n )1 < 9 + 16 = 25
und
77 < 1 weil . 172771 < 47 + 9 + 8 + 8 = 72
F(n)
= n(n +6)
+ 77
64
65. a ) Wie viele Lösungen hat aXt
+ bX2
= n, wo a, b, n positive ganze Zahlen, gr.
Th. (a, b) = 1, in nicht negativen g. Zahlen
Xl,
X2?
*****
wo die
Co, Ck, CA,
von nunabhängig.
Andere Behandlung in Hermite, Oevres Ip. 440.
Weitere Ausführungen in meinem Tagebuch 1910 p. 53 u.ff.
Siehe die Unters. von Cayley & Sylvester in Bachmann's "Niedere Zahlentheorie" Bd. II.(Leipzig 1910)
65
66.) Ist 8 der grösste gemeinsame Theiler von mund n, so ist
[2m]
+
- + [3m]
+ ... + [(n - l)mj -_ (m [-m]
n
n
n
. n
l)(n -1) +8- -1
2
2
Anleitung : Man beweise den Satz zuerst für zwei theilerfremde Zahlen (8= 1)
und zerlege dann
.
,
m-um,
~
n = 8n'
setzend
n-l
E
[r:]
In
o .
n'-l
n'-l
n'-l
E [r;'] + E + [Cr+:;)m'] + ... +E [Cr+(6:~)n')m]
0
0
0
n'.;....l
= 8· E [r:,'] + n'm'(l + 2 +... + 8 - 1) etc.
o
*****
Sind mund n theilerfremd, so ist
m
-
2m -
(n-l)m -
[:]n + 1.'1
wo
[2:]n +
1,2, ... n - 1 in anderer Reihenfolge.
1'2
1.'1 •••
rn-l die Zahlen
[(n-:)m]n+rn_l
Also
m
n-l
n-l
. n-l
Er
= n· E [r:] +Er
o
n-l
l n(n - 1) = n . E [r:]
0
(m - 1) .
0
q.e.d.
o
Die allgemeine Summe ist
8 (m'-l)(n'..,.l) + n'm' 6(6"':1)
2
2
_
-
8 (m-6)(n-6) + nm(6-l)
262
_ mn6-mn-(m+n)6+62 +mn _ (m-l)(n-l)+
-
26
-
2
26
6-1
2
66
67.) Aus 66.) schliesse den Werth der Summe
\
wo
Nur
cr
.
[rnr'.]
EE
I
I
n-l n-'l
n-l
.
C_ 1
I
I
2
2
n-l 6. - 1
= (n _2)(n;l) + ~ r
2
= n;l
n-I
E (r -'- 1) + E
_r_
den grössten gemeinsamen Theiler von rund n bedeutet.
wen~
r
n Primzahl ist, fällt 2: C
n-I'Cr
EI
-1
-2-=2:
6
;
1 fort.
,'(71)'
C-,ln -1"8 -2-'--2-'
Cf)
wo C alle Divisoren von n durchläuft.
67
68.) Zu Lucas Satz.
Giebt es eine Zahl die nach dem Modul P zum Exponenten P - 1 gehört, so
ist P Primzahl. Denn ist qP-I = 1 (modp) und keine niedrige Potenz von q,
so ist <p(p) durch p - 1 theilbar, also = P - 1. Wenn man nun x p - I - 1 in
seine irreducibeln Factoren zerlegt, so erhält man
wo das Produkt tiber alle eigentlichen Divisoren S von P - 1 zu erstrecken.
Darf man stets, resp. in welchen Fällen aus
(1) ...
(modp)
Fp-I(q) - 0
schliessen, dass q (mod p) zum Exponenten p - 1 gehört?
Wenn(1) besteht ist q jedenfalls so besch. dass qP-l 1(modp).
t=
Wäre schon q6 = 1 (modp), so würde die Resultante von x 6 -1 und Fp_I(x)
durch p theilbar sein.
Die Resultante ist aber
IJ
(
e
211"i6r
p-l
)
-
1
wo r ein System relativ primer Reste (mod p -1) durchläuft. Ist p -1 = SS' ,
so ist jenes Produkt eine Potenz von
F6,
= 1oder
PI je nachdem
S' mehrere Primfactoren, oder nur einen PI enthält. Da jedenfalls PI relativ
prim zu p so kann .die Resultante nicht durch p theilbar sein.
Dies alles folgt leicht aus der Theorie der Kreistheilung:
Fp-I(x) - 0
(mod.r)
ist nur lösbar, wenn die Primfactoren von r die Form n(p - 1) + 1 haben
oder wenn sie sich unter den Factoren von p - 1 befinden. Für r = p kann
die Congruenz also nur Lösungen haben, wenn p Primzahl ist. Dann besitzt
sie auch nur zwar <p(p - 1) Lösungen, nämlich die Primitivwurzeln von p.
68
69.) Man sollalle Lösungen der Gleichung
in rationalen Zahlen finden'.
S~ehe
wegen dieser schon 1728 von Daniel Bernoulli gestellten Aufgabe: Intermediairedes Mathematiciens Bd 7 (1900) pag. 369.
*****
Man hat
.egx x a
-.-=-=-,
.eg y y b
wo a, b als positive ganze ZaWen ohne gemeinsamen Theiler vorausgesetzt
werden und x > y angenommen werde.
Sei ~ = ~ = .egr, also x = r a ,y
=rb •
Dann ist r rational, da a' und b' so bestimmt werden können, dass
aa' + bb' ~ 1 und dadurch ,;ra' yb' = raa'+bb' = r wird~
Sei
r
= .~ , wo
p und q wieder ohne gem. Theiler. Dann folgt
; - (~r-b = i,
i:t _
also
pa-b, b = qC-b, a _ b = pa-b _ qa-b
Da x> y also a> b, muss p.>q, also mindestens q + 1
also a - b> (q + l)a-b - qa-b = (a - b)qa-b-l + (a- bh qa-b-2 ... + 1
was nur für a - b = 1. möglich· ist. Dann ist a = pa-b. = p, b =qa-b = q und
wo nun a eIne
beliebige ganze Zahl
sein kann.
>1
69
I
70.) Man discutire in ähnlicher Weise die Gleichungen
und
etc~
)
70
71.) Ist a die Anzahl der durch p theilbaren Zahlen in der Reihe
so ist
wodurch a bestimmt ist, falls
11
< p. Hiernach ist
[f(l)JP-l + [f(2)]P-l+ ... + [f(p - l)JP-l = -(a + l)modp
wo a die Anzahl der von 0 verschiedenen Lösungen der CongruEmz
f(x) =O(modp)
bedeutet..
Ist nun
so wird
•
p~1
L
1
[!(x)JP- = - [Co + Cp - 1 + C2p- 2 + ... + Cr(P-l)] (modp)
:1:=1
Daher
a + 1 . Co + Cp_1 + C2p - 2 + ... + Cr(p-l) (modp)
Z.B. Man soll die Congr.
x:f +
X
+ 1 = 0 (mod 11
r
untersuchen. Man hiMet
(1+x+x3 )10 und behä~tnur die Glieder mit durch 10theilbaren Exponenten
bei
1 +
10(x + x 3) + 102x2(1 + X 2)2+ 103x3(1 + X 2)3·+ 104 x 4 (1 + X 2)4
+ 10sxS(1 +X2)5 + 106 x 6 (1 + X 2)6 + 107x7 (1 + x 2f + 108 x 8 (1 + X 2)8
+ 109x9 (1 +
2
X )9
+ x 10 (1 +
X 2 )10
1 + 104 .4 + 10s+ 106 + .62 + 107 . 74 + 108 (&2 + 86) + 109(93 + 88 ) + 1 + lOs + 1
== a + 1 (mod 11)
Man findet a = 1 .
71
72.) Es sei
f(x}
= aoxV + a1 Xv - 1 + ... + a v
eine ganzzahlige Funetion v ten Grades, v
A die Anzahl aller Lösungen von
<p -
1
= 0 (modp)
f(x)
so ist nach 71
A
wo Cp -
b
C2(P-1)
•••
= Cp- 1 + C2(p-1) + ... + CV(P-1)
(modp)
durch
definirt sind. Man hat
[f(X)]P-1
= L: ,(p~ 1)1
,agoar1 ••• 0~vXGYOV+GYl(V-1)+GY2(V-2),
...•
°0.°1 •••• Ov·
Daher ist
'"
A=
-L-,
(.p - 1)'.
aGYOa GY1
"
,0
°0.°1 ..•• 0v-
1·'·
'
oGYv
v
(modp)
wobei die SUIIiInation über
00 +01 +
oov+ 01(V -1) +
zu erstrecken ist.
Z.B.
für
+ov + 0v-1 -
p-1
}
k(p -1) ..
(k= 1,2,3, ..• ,v)
72
Nach 61 ist nämlich
(p - I)!
_ (2ao)!
ao!ao!(p - 1 - 2ao)! = ao!ao!
und
(P":-1)
2
Qo
,
.
73
73.) Dass die Funktion
keinen linearen Faktor haben kann ist klar, weil für jedes ganze
xP - x + 9
Ebenso
9~0
x
(mod p) .
X J!=!2
+ ax + b = 0
(modp )
ist ohne Lösung, wenn
a(x + 1) + b
=0
a(x -1) + b
=0
einenNichtrest x und
einen :Rest x als Lösung giebt.
b = 1- ar
D.h.
und
ax +2 - ar
Also'
=0
=2
n) = r -
muss einen Nichtrest x
=n
a(r - n)
b( r -
n - r . 2r
=-( n + r) .
Daher:
(r - n)x
J!=!2
+ 2x -
(r + n)
=0
(mod p)
hat keine Lösung, wenn r ein Rest und nein Nichtrest von p ist.
liefern.
74
74.) Jede ganze 'Zahl ist die Summe von 21 Cuben, von denen höchstens 16 von
o und 1 verschieden sind.
Jededurch 6 teilbare ganze Zahl ist von einer endlichen Grenze ab, die Summe
von 12 Cuben.
Jede über einer gewissen Grenze liegende ganze Zahlist Summe von 17Cuben,
von denen höchstens 12 von 1 und 0 verschieden sind. (Ed. Maillet, Association fran~ise,Bordeaux 1895.)
Nach Fleck ist jedeZaW .eine Summe von höchstens 13 Cuben. (Sitzungsber.
der Berl. Math. Gesellsch. Jahrgang V, S. 2, 1906)
Vgl. auch mein Tagebuch (8 Dec. 1906 - ) pag. 144.
. hi~Math. Ann. Bd. 66 (1908)S. 95 hat A.Wieferich bewiesen, dass jede Zahl
eine Summe von 9 Cuben ist; die Zahlen 23 und 239 sind auch nicht durch
weniger Cuben darstellbar; E. Landau beweist ebenda p. 102 dass von einer
gewissen Grenze ab, jede ZaW durch eine Summe von 8 Cuben darstellbar ist.
Die Tabellen führen zu der Vermutung, d&ss von einer gewissen Grenze ab jede
Zahl durch eine Summe von 6Cubendarstellbar ist. Hilbert hat das allgemeine Waring'sche Problem in Math. Ann. Bd. 67 p . 281
erledigt.
*****
Die Beweise beruhen auf der Identitä.t
Aus ihr folgt
4
L {(a +Xi)3 + (a:- Xi)3} = 2a [4a 2 +3 (x~ + x~ + x~ + x~)]
i=l
Da jede Zahl als Summe von 4 Quadraten darstellbar ist, so folgt
2a [4a2 ·+3m] ,wo 0 ~ m ~ a~
(damit
Xi ~ a
ist als Summe von höchstens 8 Cuben darstellbar. Also.
'wird)
75
2A = 8o? + 8a 13 + 6(am + {im')
o< m < a 2 ,
0 < m' < a 12
ist als Summe von höchstens 16 Cuben darstellbar.
Wenn nun
a < a' < a 2 , a prIm zu a',
{ aa' ~ A' < a 13
so können mund m' so gewählt werden, dass
2A = 8a3 + 8a13 + 6A'
wird. Denn unter den Zahlen
A'-ma
a'
(m = 0,1, ... a' - 1)
ist notwendig eine ganzzahlig, positiv und ~ a 12 •
Die Zahlen
8 (a 3 + a 13 )
+ 6aa' ,
8 (a3+ aß)
+ 6(aa' +'1), ... 8 (a 3 + a'3) +6a'3
sind also durch höchstens 16 Cuben darstellbar. Und die Zahlen B, für die
durch höchstens 21, von welchen höchstens 16 von 0 und 1 verschieden sind.
Dabei ist a < a' < a 2 , und a', a prim.
Nimmt man a = 2, a' = 3, dann a = 3, a' - 4, ... a == , ,a' - , + 1, ... so
greifen die suc.cessiven Intervalle für B von , = 10 ab, in einander über, so
dass B jede Zahl ~ 14372 sein kann. Für die kleineren B folgt die Darstellung
durch 21 Cuben aus den Tabellen von Jacobi.
76
75.) Die allgemeine Lösung von
X1 X2·'· XI"
= Y1Y2··· Ys
Yk
'ß'
soll durch den Ansatz
-
,
pOtkq kr'Yk
wo p, q,?,", •.. Primzahlen bedeuten, gefunden werd.en. Man hat in nichtnegativen Zahlen die GI.
zu lösen.
Als Fundamentallösungen von
seien beZeichnet die Lösungen
fi,k, in welchen ai
Wenn
= 1, a~ = 1 alle anderen a
,
und cl Null sind.
.e = (all a2, ..• ar;ai ,a;, ..• a~), m = (
)
Lösungen an~euten, so möge af + bm die Lösungsein, die durch MultipI. der
Zahlen von f mit a, der von m mit bund nachheriger Addition entsteht.
,Dabei sind .a & b nicht-negative ganze Zahlen.
Index von. f sei der gemeinsame Wert von a1
+ a; + ... + a r
und.
ai +a~ + ... +a~. .
Alle Lösungen sind inder' Form E Cikfik enthalten, unter Cik nicht-negative
.
~k
ganze Zahlen verstanden.
*****
77
°
Ist Index von f gleich oder 1 so ist der Satz klar. Er sei für alle Lösungen,
deren Index < n ist, schon bewiesen.
.Ist dann f von Index n > 1', sodass
so sei etwa al das kleinste von Null verschiedene Glied der linken und der
rechten Seite. Dann ist
al(l,O, ... 0; 1,0, 0 ... 0) +(0, a2, •.. a r ; a~
= a l f 1 ,1 + f' wo f' niedrigeren Index hat.
f -
-
ab
a~, .. ; a~)
Damit ist der Beweis geführt.
Bezeichnet man mit 8~,k, 8~k , ••• 8~,k, €;,k , €~k , ••• €~,k
die Zahlender Lösung fi,k, so dass 8t,k = 1, €~k 1 sonst alle
sind, so hat man
al - E
a2 - E
.:
"
ar
- E
d.i.
Ci,k
Ci,k
8 i ,k
I
a'I
-
E
i,k
Cik €l
8 i ,k
2
a'2
- E
i,k
Cik €2
und 8 Null
c'I, k 8ri ,k
r
s
= k=1
E CI,k
s
a2 = E C2,k
k=1
a~-ECiI
al
i=1
a~
s
ar
€
r
'
= 1=1
.L Ci,2
r
= k=1
E er,k
a~=ECis
i=1
'
Man setze nun
' -a,Ik
pc;,k 8;,k
q
•••
wo die8ik • •• dieselbe Bedeutung für die ß1
besitzen, wie die Cik für die a.
Dann ist offenbar
+ ß2 + ',' .+ ßr = ßi + ... + ß~
(i=1,2,
r)
= 1,2,
s)
(k
78
76.) Die allgemeinere Aufgabe, alle Lösungen in positiven ganzen Zahlen der
Gleichung
CXl
Xl
mit gegebenen Exponenten
behandeln.
cx>. _.
CX2
X2 ••• X>.
a,ß
-
ßl
ß2
ß
YI Y2.··· Y p. IJ
aufzustellen, lässt sich wie die vorhergehende
Sei
8kl
8k2
Yk = Pl P2 ..•
so muss
>.
L
p.
aiTij
i=l
=
L
(j
ßkSkj
= 1,2, ...)
k=l
erfüllt sein.
Jede Lösung von
>.
L
i=l
p.
aiTi
=L
ßkSk
k=l
ist darstellbar in der Form
Tij
= CljT~ + ...
Skj
= CljS~+
•••
Wo die
Fundamentallösungen sind.
Daher
oder'
willkürliche ganze Zahlen.
79
77.) Die Aufgabe, alle nicht-negativen Lös. eines Systems linearer diophantischer
GI.
Xl
> 0,oX2 > 0, . . .
aufzustellen,
ist als specieller Fall in der Aufgabe enthalten:
Alle Systeme ganzer Zahlen Xl' X2, ••• , X n zu bestimmen, welche gegebenen
diophantischen Ungleichungen
(i=1,2, ... k)
wobei unter den linken Seiten n linear unabhängige Funktionen von
Xl, X2 ••• X n vorhanden sind.
Nämlich jede Gleichung
kann durch die beiden Ungleichngen
}
ersetzt werden.
80
78.) Vgl. 26.)
Die Summe der Divisoren einer ZaW ist danntind nur, dann ungerade, wenn
die Zahl ein Quadrat oder das Doppelte eines Quadrates ist.
HT
nenn, n
=
2CX
• t
PtCXl P2CX2 ... so tS
L: B = (1 + 2 + 2 +... + 2
cx
2
)
Rechter Hand ist der erste Faktor immer
at gerade ist etc. . ..
(1 + Pt
+ P~ +... + p~l ) ...
unge~ade,
der zweite nur dann, wenn
Daraus folgt, dass
CX
2ß1
2{h
n= 2 PtP2 .•• =
, ist, falls
"ErB
{
od.
ungerade und umgekehrt.
79.) Vgl. 26.)
Man soll alle ZaWen bestimmen, deren Divisorensumme das Doppelte einer
ungeraden Zahl ist.
Wenn
n = 2cxpi1p~2 ...
so darf und muss ein Faktor
1
p~l
vorhanden seih, so daSs
+Pt + P~ +... + p~l = 2. ungerade, also
at ~ 2ß + 1 .
Die 'Übrigen p~2,... müssen Quadrate sein.
Nun muss ferner Pt von der Form 4k + 1 sein, widrigenfalls
1 + Pt
+ P~ +... + pfß+t = 1-1 + 1-1 +... + 1 -1 = O(mod4)
wäre.
Man hat also
cx 4ß
2
p. m 2 ,od.
n, = 2 p +l • u =
{ 2p'm 2
,
wo P eine PrimzaW von derFon;n 4k + 1 bedeutet.
"
81
80.) Jede ungerade Primzahl p ist als Summe von vier Quadraten darstellbar.
1.) Man kanna, b, c, d so bestimmen, dass
a 2 + b2 + c2 + d2
l
= pq und
0< q<P
Denn nach 25) ista2 + b2 + 1 \ O(p) zu befriedigen möglich. Hier kami
a < ~,b < ~ vorausgesetzt werden und es wird
a2 + b2 + 1 p2 + b p 1 p 1
----.< --- < -+- < - P
2p
2 p
2
+
2.) Wäre nun qgerade und zugleich
q
-b-da=
=c=
=2
(modq) ,
so ist
a = 0: • !l.,
2
b = ß!l.,
.
2
c= ,,/!l.,
d = ~!l.
2·2
und q(0:2 + ß2 + "/2 + ~2) = 4p. Da aber 0:, ß, ,,/, ~ ungerade, sowäre die linke
Seite durch 8 teilbar, die rechte durch 4. -
3.) Da der Fall 2:) ausgeschlossen ist, so sind die absolut kleinsten Reste von
a, b, c, d (mod q) nicht alle 4 gleich ~,und daher wenn 0:, ß,,,/, ~ diese Reste
sind
0:
2
+ ß2 + "/2 + ~2 =
q.r ,
wo qr
< 4 . (~) 2
also r<q
Der Fall' r
=0
ist dabei ausgeschlossen.
Nun kommt
(aa+bß~CY+dS)2 + (aß-ba;cHd-y
f
+ (a1'+bS~COt-dß) 2 + (as-/ry~cß-da) 2
Ist hier r noch nicht 1, so kann
anwenden u.s.f.
~an
=pr
(r<q<p)
auf diese GI. dieselbe Betrachtung
*****
Die Behandlung ist der in Serret's Algebra Bd. II gegebenen nachgebildet.
Letztere ist indessen unvollständig. (Vgl.Kempner, Deber das Waring'sche
82
Problem, Göttinger Dissertation 1912.) Aus dem bewiesenen Satze folgt unmittelbar, dass jede positive ganze Zahl als Summe von 4 Quadraten darstellbar ist, da aus
s
0"
sO"
-
a2 .
a2
raa
+
.b2
+
+
ß2
+[aß
+[a,
+[a8
folgt .. --.
bß
ba
+
+ c2 + d?+ ,2 + 82
+ c, + d8]2
c8 + d,12.
M
b,
+
ca
dß]2
cß·
da] 2
83
81.) Ist D teilerfremd zu mund -D quadratischer Rest von m, so kann a so
bestimmt wer~en, dass
Da 2 + 1 = O(m)
Dann wird
2 +. D (aXl
Xl
+ mX2 )2 =
m •
q
Einfacher ist es
(mXl
+ aX2)2 + Dx~ = :mq
wo a 2
= ~D
(pXl
(modm) .-
+ aX2? + x~ -
IpXl
zu betrachten,
pq, a2 + 1 = O(p)
+ aX21 < VfI, IX 21 < VfI
Nun ist die Determinante der Linearformen
x
gleich m. Daher können
Xl,
= Xl
X2 so gewählt werden, dass
wobei einmal mindestens das Zeichen
Ix2 + Dy 2
1
=
< gilt. Dann wird
m. Iql < m(1 + IDI)
und· folglich
Iql < 1 + IDI
Wenn D > 0 so folgt, dass eine der ZaWen
m,2m,3m, ... Dm
in der Form
darstellbar ist.
Anwendung auf die Fälle D - 1,2,3,5.
(Auch Tagebuch 1899/1900 p.132)
*****
84
Benutzt man, dass für jede positive binäre Form f(xt, X2) stets
f(Xt,X2) ~ ,*vIL1 für geeignete (Xt,X2) =/:. (0,0) wird, so kommt, da
xl+ D(ax1 + mX2)2 die Det. L1 = Dm 2 hat,
.
~4D
-
2
2
m.q< -.-v'J5.m
und q <-VIi
=
-0
-J3
3
Wenn also g= grösste ganze Zahl in ~, so ist eine der Zahlen
m, 2m, ...'qm inder Form x 2 + D y2 darstellbar.
Die Ungl. f(xt, X2) ~,*vIL1 folgt natürlich aus der Reduktionstheorie.
, Man hat f(Xt,X2) = a(x1 -WX2)(X1-WOX2), wobei f aequivalentzu f
und W = x+ iy dem Fundamentalgebiet
angehört. Man hat dann
f(X1' X2) ist aequiv.'zu(a, b, C), wobei
( ab)'~ a~
C·,
a2c-b2-='L1
a2~
ac
-,
2
> b2
a4 -
Macht man
IX 21 < rvm
Imx 1 + aX21 < ~vm
so wird
q< ~ +Dr 2
~
,
+ Dx= f(x)
-;2 + D =J'(x)
Minimum von. f( x) für x
und zwar
Also q < 2VIi. -
= 2VIi .
=-jn
85
82.) Ist p eine Primzahl und
so ist
Man kann nun
XI, X2, X3, X4
so wählen, dass sie einzelnen Linearformen
< W = v'P werden. Es wird dann q < 4.
Daraus folgt: eine der Zahlen
p, 2p, 3p
ist als Summe von 4 Quadraten darstellbar.
Aus
folgt aber
p=
. (a"_b)2 (c+. d)2 (C_.d)2
- + - - + - - +-(-a+b)2
2
2
2
2
und map. kann sich immer so einrichten, dass rechts lauter ganze Quadrate
stehen.
Aus
folgt, da a, b, c, d nicht alle durch 3 teilbar sein können, wenn p > 3 vorausgesetit wird, etwa
Also kann
a =b
= =1, d =0(3)
C
vorausgesetzt werden. Es kommt
*****
86
Es ist
wo cpeine positive quadratische Form der Determinante J ist. Wenn also
der Satz vorausgesetzt wird, dass diese Formen nur eine Classe bilden, so
.
folgtcp(xl,x2,x3,.;r4) allg. x~ + x~ + x~ +x~also: cp(al,a2,a3,a4) = 1 und
p Summe von 4' Quadraten. Wird der Satz (Korkine & Zolotaroff, S. Ency~
clopädie der math. Wissensch. Bd. III pag 598) vorausgesetzt,' dass jede positive quadrat. Form für ganzzahlige (Xl,X2, X3, X4) =/: (0,0,0,0) der Bedingung
. f(Xl' X2, X3, X4). < V2. -ifl5 genügen kann, so entsteht folgende Anordnung des
Beweises, dass jede ganze Zahl Summe von 4 Quadraten ist:
1;) 1 + a 2 + ß2
=° (mod m) ist lösbar, wenn m ungerade oder
das Doppelte einer ungeraden Zahl
1/
2.) f(Xl,X2,X3'X~)
=
x~ +x~ +(ax l
+(ßXl -
+ ßX2 +mx3)~
aX2 + mX4)2 < V2 . m < 2m
Folglich, da f(xll X2,X3,$4) ein Multiplum von mist,
Man darf m also durch kein Quadrat ausser 1 teilbar voraussetzen, denn d/-m
ist sicher durch x~'+x~ +x~ + x~. darstellbar, wenn m es ist.
Vgl. Hermite, Oeuvres I p. 288.
Beispiel für die Reduktion eines Moduls von Linearformen:
87
83.) Man soll alle Lösungen der Gleichung
in positiven ganzen Zahlen x, y, z bestimmen.
(A. Markoff, Math. Ann~ Bd. 17 pag..396 in Sur les formes binaires indefinies.)
Man bezeichne mit
x,Y,z
eine Lösung und nenne x + y + z = h die Höhe der Lösung.
Sind nun x, y, z nicht alle drei gleich, so sei z die grösste unter diesen Zahlen.
Man setze
= x, y' = y, z' = 3xy - z
zz' = 3xyz - Z2 = x 2 +y2 und
x 12 + yl2 +zl2 = zz'+ zl2 = 3x'y'z'
x'
. so ist
Aus
3x'y'z'
>0
folgt
z' >0
M"an kann beweisen, dass z' < z sein muss.
(z - z'? - (2z - 3xy?
= 4z2 -
12xyz + 9X 2y 2
= 9x 2y 2 _ 4x 2 - 4y 2
oder
(2z-3xy)2 = X2y2 + 2 [(2x 2 -1)(2y2 -1) -1]
Wäre z' ~ z ,so z' - z
3xyz ~ 3z 2
= 3xy -
x 2 + y2 ~ 2z2
2z ~ xy od. z ~ xy
während doch x 2 + y2
< 2z 2 .
Da z' < z, so hat (x', y',z') eine kleinere Höhe etc.
Ausgehend von
x=y=z=l
erhält man daher sämmtliche Lösungen durch die Anwendung der Gleichungen
x'
= x,
y'
= y,
z'
= 3xy. -
z.
88
Betrachtet man
und setzt
x'
= x,
y'
= y,
z'= bxy - z
so hat man
und
(2z - bxy)2 = ll-X 2y2 _ 4(x 2+ y2)
. = (b2 - 8)X 2y2+ 2 [(2x 2 - 1)(2y2 -1) - 1]
Ware bxy - 2z ~ 0 , so folgte bxy - 2z ~ Vb2 - 8 xy
(b -
b-Yf9(x2 + y2 + Z2) > 2z2
Vb2 - 8)xy > 2z
2 + y2)" >btv'P=8z2. Z2 < b-'!j?-S (x2 +"y2)
b-v'P=8(x
b
.
b
,
- bt b2 -S
Die hieraus durch Vertauschung von x,y, Z folgenden Ungl. können zusammen
nur bestehen, wenn
1~ 2:+~~=:, d.i.
ll-~
3Vb2 - 8 ~ b,
9b2 -'-
9.
Für b = 3 nur, wenn überall das Gleichheitszeichen
also x = y = z gilt. - Aus
x 2 + y2
3
+ Z2
.
_ bxyz
-" 3
> .3/
= Vx
2 2 2
y
Z
.c
I
J.o gt
72 ~ b
2
89
84.) Aus vorstehender Analyse folgt, dass
I
keine Lösung in positiven ganzen Zahlen zulässt, sobald die ganze Zahl a
ist.
>3
Denn ist x, y, z eine solche Lösung, so ist eine der Lösungen
X,
y,
axy - z
(L)
x,
axz - y,
z
{
ayz - x,
y,
z
eine von kleinerer Höhe unter Höhe die Summe x
+y +z
verstanden.
d
*****
Dass die Gleichung überhaupt positive Lösungen zulässt, zeigt die folgende
Form der Gleichung
(1)
... (z _
~axy) 2 = ~ X2y2 _
_ (.!!x 2 _
2 .
x2 _ y2
.a)
(.!!y2 _ .a) _ .i..
a
a
a
2
2
Werden x 2 und y2 gross genug, so folgt ein positiver Wert von z aus vorstehender Gleichung. - Sei x, y, z eine Lösung. Aus
x 2 + y2 + (axy - Z)2 = axy(axy - z)
folgt, dass
axy - z
>0
Wäre nun
axy -z >z,
so würde aus (1) folgen
d.i.
1
-axy > z
2
-
90
wenn a 2
Also
> 8. D.i.
a > 3.
z ~ l(a -va 2 - 8)xy
2az 2 ~ (a_-va2 - 8)xyza =(a - Ja 2 - 8)(x 2 +y2 + Z2)
Wären sämmtliche 3 Lösungen L von nicht kleinerer Höhe als die Lösung
(x, y, z), so würde vorstehende Ungleichung bei Vertauschung von x, y, z
bestehen bleiben.
Folglich durch Addition der Ungleichungen
2a ~ 3(a-va2-8)
a 2 ~ 9(a2
-
8)
a ~ .3Va2 - 8
8a 2 < 8· 9
a~
3
85.) Die vorstehende Betrachtung lässt sich leicht auf die diophantische Gleichung,
ausdehnen, welche für a >n keine Lösung besitzt, deren Lösungen für a =,n
alle aus der evidenten Xl - X2 = . - X n = 1 abgeleitet werden können.
91
86.) Auch die Gleichungen
x 2 + y2
+ Z2 = xyZ
x 2 + y2 + Z2 = 2xyZ
lassen sich vollständig nach derselben Methode behandeln. Vermutlich auch .
für einen beliebigen ganzzahligen Wert von a.
*****
Die Behandlung von
ist so anzustellen:
Ist (x, y, z) eine Lösung, so heisst x + y + z ihre Höhe,
und (x".y,xy-z), (x,xz-y,z), (yz-x,y,z) ihre. benachbarten Lösungen.
Manu.D.t~rsucht nun, wann eine Lösung
(x, y, z) nur benachbarte Lösungen
von nicht geringerer Höhe besitzt. Hat ·(x, y, xy - z) nicht geringere Höhe als
(x, y, z) .so ist
.
xy - z
(xy - 2Z)2
> z , xy - 2z > O. Aber
= X2y2 _ 4(xyz _ Z2) = X2y2 _
= X 2 y2 (1 - ~ - ~ )
4(x 2 + y2)
Aus dieser Gleichung folgt, dass x > 3 sein muss. Wenn f. x = 1,2
0
1 - .1..
a;2 - .1..<
y2
wird
Wegen der Symmetrie ist ebenfalls sicher y > 3,z > 3 .
1-
-!
-:!
~ 1_ 1 _ 1 = 1,
a;
y 99
9
Also
\
xy - 2z
> ~, 3z < xy, 3z 2 < xyz = x 2 + y2 + Z2.
2z2 < x2 +y2.
Wenn die beiden anderen benachbarten Lösungen ebenfalls nicht geringere
Höhe als die Lösung (x, y, z) haben, so ist ebenso
92
2y2 < Z2
+x2
Hier müssen überall die Gleichheitszeichen gelten, weil sonst durch Addition
2z 2 + 2x2 + 2y2 < (x 2 + y2) (11 + Z2) + (Z2 + x 2 )folgen würde. Also nur für
t
x=y=z=3
wird (x, y, z) keine benachbarte Lö~ung von geringerer ~öhebesitzen. Jede
Lösung lässt sich also durch successive Bildung benachbarter Lös. aus
x = y = z =.3 erzeugen.
Es stellt sich so heraus, dass alle Lösungen von
die Form x ='3x',y
= 3y',z = 3z'
haben wobei dann
ist. - Dies folgt aber auch sofort, wenn man die Congruenz
betrachtet.
Ueberhaupt gilt dasselbe, wenn x 2 +y2
teilbar. .
+ Z2
:.:... axyz und a nicht durch 3
Fürx 2 +Ti + z2 = 2xyz folgt die Unmöglichkeit sofort, wenn eine der Zahlen
x gerade, die beiden anderen ungerade. vorausgesetzt werden, weil darin die
linke Seite ,2 die rechte 0(4) . Werden·· x, y, z .alle 3 gerade vorausgesetzt,
=
=
so geht die GI. in (~r +(~r+ (~)2 4· (~) (~) (~) über und ist unmöglich,
da dies für x 2 + y2 + Z2 = axy z für. a > 3 schon nachgewiesen.
--;-
93
87.) Man soll alle Lösungen der GI.
XIYl
+ X2Y2 + X3Y3 = 0
in ganzen Zahlen bestimmen.
Wen.n Xt,-X2, X3 ~einen gemeinsamen Faktor haben, so lässt sich derselbe fortdividiren.
Seien X2,X3 nicht beide Null, dann muss
YI
=
X2 Z 2 -
sein, weil der grösste gem. Teiler von
X2(Y2
X3 Z3
in
X2, X3
+ XIZ2) =
YI
X3(XIZ3 -
aufgehen muss. Nun kommt
Y3)
Also
7f t l
XI Z 2 }
Y2
=
Y3
= -1ftl + XIZ3
-
Betrachtet man also zwei Lösungen
(Xb X2, X3
I y'b Y2, Y3)
und
(pXb
PX 2, PX 3
I UYb UY2, UY3)
als nicht verschieden, so ist die allgemeinste Lösung
= X2 t 3 Y2 = X3 t l Y3 = x l t2 -
YI
X3 t 2 )
(t 3
= 8z2 , h = 8z3 )
Xl t 3
X2 t l
wo Xb X2, X3,t l , t 2 , t 3 beliebig, und
befreien.
YI,Y2, Y3
von gemeinsamen Faktoren zu
Man. sieht dasselbe durch Behandlung der GI.
alYI
+ a2Y2 + a3Y3 = 0
od.
alYI
+ a2Y2 + ... + anYn = 0
in bekannter Weise.
. *****
Bedient man sich der Sprache der Geometrie, so kommt die Aufgabe:
Man soll alle "ganzzahligen" Geraden (Yb y~, Y3) bestimmen, die durch einen
"ganzzahligen" Punkt (Xl, X2, X3) hindurchgehen.
94
88.) Die Zahl 30 ist die grösste Zahl von der Beschaffenheit, dass alle Zahlen der
Reihe 1,2, 3, ~ .. ,30 die teilerfremd zu 30 sind, absolute Primzahlen sind.
Beweis "leicht mit Hülfe des Bertrand'schen Postulatums. (Maillet, Intermediaire 1900)
Vereinfachter Beweis von Landau (Archiv f. Math. u. Physik, III Serie Bd 1
(1901). Ganz elementarer Beweis von H. Bonse daselbst Bd 12 (1907.)
Atl-f der nebenstehenden Seite ist letzterer Beweis reproducirt.
*****
Es wird zunä~hst bewiesen, dass unter Pl,P2,P3, ... die aufeinanderfolgenden
Primzahlen PI = 2, P2 = 3, . .. verstanden
P~H
< PIP2· •• Pn von n =
1
Ist n > "6, also PIP2'" Pn = 2
2
4 ab gilt.
6
3
4
5
3· 5
7
P5
P6' .. Pn
11
13
so wird pl+1=3, p2+2=5, P3+3='8, ... Pn-l+n-1~n+10
Es sei Pi die erste Primzahl für die Pi + i > n
weil Pn-3 (n - 3) >P3 + (n - 3) > n + 2 ist.
+
+ 2, so wird i < n -
3 sem,
Nunistplp2 •. . Pi < Pi+1Pi+2 .. 'Pn' Denn dies istJür n = 6 richtig; wo i = 3
und 2· 3 . 5 < 7 . 11. Weiterer Beweis durch Induktion.
Ist Pi + i ~ n + 3 , so folgt PIP2··· Pi, ~ Pi+l .•. Pn < Pi+l ... PnH
Ist aber Pi +i = n + 2 ,
so ist
Pi-l + (i - 1) = Pi + i - (Pi - Pi-l + 1) < n - 1.
Folglich
PIP2" ·Pi <PHI" 'Pn-2
PIP2' . •PiPiH
< PHI·· 'Pn-2Pn-l < Pi+I·· ·Pn
< Pi+2 ... Pn-2 . PiHPiH< Pi+2 . ··Pn-2Pn-lPn q.e.d.
Nun giebt es in der Reihe PIP2" . Pi-l -:-1 + APIP2" •Pi-l (A = 0,1, .. . Pi -1)
höchstens je ein durch Pi, Pi+h ... Pn teilbares Glied. Da Pi > n - 2n + 1,
95
so bleibt sicher ein zu PI'" Pn teilerfremde Zahl p < PIP2'" Pi und
> PI" ·Pi-I- 1.
· P2 < PI"
2 ,Pi2 < PIP2" .Pn und P ent h"l'
, hl > Pn'
Es 1st
at eme p'
rlmza
2 =< P2< PIP2 .•• Pn
Pn+I
Also
q.e. d.
Hat nun N = PIP2." PnN' die Eige~schaft, dass die zu N teilerfremden
Zahlen < N Primzahlen sind, so folgt PIP2'" Pn N' < P~+I < PIP2 ..• Pn also
n<4.
Es bleiben die Fälle n = 3, n = 2, n = 1, n = 0 zu discutiren.
Fall 1.) N= 2·3· 5N' ,.wo N' nicht durch 7 teilbar. Also N < 49;
folglich N = 30 .
Fall 2.) N = 2·3· N', wo N' nicht durch 5 teilbar. N < 25
N = 6,12,18,24;
Fall3.) N
N
= 2N' , wo
= 2,4;
N' nicht durch 3 teilbar. N< 9
Fall 4.) N = N' , wo N' nicht.durch 2 teilbar. N < 4
N = 1,3.
Etwas vereinfacht ist der Beweis von Bonse in Landau's Primzahlbuch p.231/32
wiedergegeben. Man kann vielleicht noch besser den Beweis so darstellen.
1) Wenn,\
> 2 ist, hat man
PIP2 ••• P>. >P>'+i für j
=P>. -1.
Es ist PI = 2, P2 = 3, P3 = 5, P4 = 7, Ps = 11, Ps = 13, Pr = 17 , Ps = 19,
PIP2 - 6 > P3 , ,PIP2P3 = 30 > P4, Ps, p' PIO
P9 = 23, PIO = 29
PIP2P3P4 = 210 >P46
Also für ,\ = 3 und ,\ = 4 erfüllt.
Zum allgern. Beweise betrachte man die Zahlen
aI -PI·· ,P>'-1 -1, a2
a p>.
= 2Pb"
,P>'-I -1, ...
= PI ... P>.-IP>. -1
und' es sei P>'+p die erste Primzahl > ap>" Die Primfaktoren von aI,"" a p>.
finden sich in der Reihe P>.,P>'+I," ,P>'+p-I'
Es ist also
wenn
96
(p,x)
die Zahl der durch
(p~+t'lp,x)
"
teilbaren,
p,x'
unteilbaren, aber durch
"
P,x+t teilbaren
"
"
p,x,p,x+t
unteilbaren, aber durch
PH2teilbaren
etc.. der' Zahlen al, a2, ... ,apA bedeuten.
Jede dieser Anzahlen ist aber 0 oder 1 ,weil in der Reihe
höchstens eine durch P>'+k teilbare Zahl sein kann. Also kommt
Ist also
PHp > PIP2" .p,x > P>'+p-l, so ist P ~ P>.,
P>'+p-l ~ P>'+p-l
Also PIP2 •.• P>. > P>'+PA-l von A =3 ab.
2) Es ist p,x
.~
A+ 3 von A = 4 ab.
Für A = 4 gilt diese Ungleichung. Aber f\ir A > 4 ist
P,x+t = P>. + (P>'+t~ p,x) > P>.
+ 2 >A + 5 >
(A + 1) + 3.
Also überträgt -sich die Behauptung von P>. auf PHI'
3) Combiriation von 1 und 2 liefert
PIP2 . .• p,x > P2>'+2 vonA = 4 ab;
aber da auch für A = 3 gültig, von A ~ 3 ab.
4) Für v= 2A (A
PIP2 • .• Pv
Für v
~
3) ist
= PIP2 ••• p,x • P,x+t ... P2).. >
= 2.\ + 1
(A
(PIP2 ••. p>.)2 > P~~+2
> P~,x+t == P~+t
> 3)
, )2
2
2
PIP2 ••• Pv = PIP2 ••• P>.P,x+t ••• P2Hl > (PIP2'" P>. > P2,x+2 > Pv+t
Also von v = 6 ab
PIP2 • ••Pv
2
> Pv+l' .
Dies ~lt aber auch für 11":'" 4 & v = 5. Also von v = 4 ab.
-
: ,:- ..'-~.:~ .;';' ";'
"Lösung" zur Al1fgabe 89 (vergrössert
97
89.) Wenn die Zahlen der Reihe 2,3, ... N, welche teilerfremd zu N sind, sich
sämmtlich aus höchstens a Primfaktoren zusammensetzen, so ist N < F( a) ,
wo F(a) eine von a abh. positive ganze Zahl.
Die Verallgemeinerung von 88), welcher Satz a - 1,F(1) = 30 entspricht.
Nach Bonse ist
F(2) = 1260, F(3) = 30030.
*****
Es sei Pn+l die letzte Zahl der Reihe
Po
= 1,Pl =2,P2 = 3,Pa = 5, ... ,
Pn
= die
n te Primzahl,
welche nicht in N aufgeht. Es ist dann
N
= Pop! ... Pn N'
und es muss p:tl > N sein, weil sonst p:tl eine relative Primzahl zu N, die
< N und a + 1 Primfaktoren enthält, sein würde.
Daher POPl'" Pn N' < p:tl. Zu einem bestimmten n kann es nur endlich
viele N geben. Wenn aber p:tl < PlP2'" Pn kann es überhaupt kein N
geben, weil
N - POPl ... Pn N'
< Pn+l
a+l <' PlP2 ... Pn, 'N'
' <1
bedingen würde. Der Satz ist also bewiesen, wenn gezeigt wird:
Von einem bestimmten n, ab ist beständig
(1)
p:tl < PlP2·· ·Pn·
Um dieses zu zeigen, wird bewiesen, dass von einem gewissen n ab
wo Pi die kleinste Primzahl für die Pi + i ~ n + a' (unter a' eme von
a abhängende positive Zahl verstanden). Es folgt dann, wie oben, dass ein
98
p < PIP2 .•. Pi und ~ PI' .. Pi-I - 1 existirt, das zu PI ... Pn teilerfremd und
also
p:tl < pa+I < (PI"
i.
. Pi)a+I < PI ... Pn'
Mit Hülfe des Bertrand'schen Postulatums ist (1) kurz so zu beweisen:
p:tl
< 2a+Ip:. Pn < 2(a+I)+ap:=lPn_IPn
< 2(a+I)+a+(a-I)p··a-.2p
n-2n-2Pn-I Pn'"
(0+1)(0+2)
< 2,2 Pn-aPn-a+I .•. Pn
< PIP2 ... Pn, wenn nurn so gross, dass
(0+1)(0+2)
22
< PtP2 .•• Pn-a-I .
>
99
90.) Ist p eine ungerade Primzahl, f(x) eine Funktion mit der Periode p , e eine
beliebige ganze Zahl, SO ist
p-l
p
p
E f(m+em')-:-(!)2Ef(m)+E
m=l
(mm'
Dabei bedeutet
= 1 (modp))
(~)
(
2
m -4e
PlI
)
f(m)
P
das Legendre'sche Zeichen und
a
(....) = 0 wenn
a
p
= 0 (modp)
E. Jacobsthal, Crelle's Journal, Bd. 132, p. 239 in der Anmerkung.
Fiire = 0 ist die Formel evident, also nur fiir e
t= 0 (modp) zu beweisen.
Noch besser, wenn E f(x + y, xy) betrachtet wird, wo iiber Restsystem summiert wird und f(a + kp, b+ hp) = f(a, b).
*****
Der Beweis ist sehr leicht zu fü.hren, indem man feststellt, wie oft f( m) in der
Summe links auftritt. Offenbar so oft als in einem reduc. Restsystem
x + ex' = moder x 2 - mx + e = 0 (mod p)
Lösungen hat od.
(2x - m)2
=m
2
-
Die Anzahl dieser Lösungen ist aber genau
4e(modp)
(m ;4e) + 1
2
q.e.d.
Betrachtet man
x 2 + 2ax +b = m(modp) od,
(x+a?=m+a 2 -b
so hat man
(m±;2-b) + 1 Lösungen. Also
1: f(m? +2am + b) = 1: f(m) + 1: (m + a -.b) f(m)
P
P
P
1
1
1
2
P
100
Ersetzt man links m durch m - a so erkennt man, dass die Formel enthalten'
ist in der specielleren
.I: f(m + b)= I: J(m) + I: (m
p
p .
2
P
1
1
1
--=-b)
P
f(m)
Allgemeiner kann man die Summe
~ f (a~:::: : ~:~)/
betrachten, wobei dann f(;) wenn ~ O(modp) den Wert f(r') bedeutet,
wo r' -. ; (mod p) d.i. r's _ r(p) und wenn s 0 (mod p) einen bestimmten
Wert f(oo).
=
Das glei~hzeitige Verschwinden von am 2 +bm+c und a'm 2 +b'm 2 +c' (modp)
kann ausgeschlossen werden.
101
91.) Nach Jacobsthal setzt man
und hat dann <p(0) = 0 und allgemein:
<p(e)
= (~) <p(er2),
wenn r "1= 0 (modp)
Also
<p2(e) = <p2(a) od. <p2(b), wo a ein Rest
b ein Rest
Es ist auch <p(e) "1= (mod2)
I: <p2(e) T
1
=
p
1
[<p2(a) + <p2(b)]
p
Andererseits
2
2
I: <p2(e) -:- I:(~) (~)p(mp
+ e) (n + e) = (1 + (-1)) pep _ 1)
. p
p
P
m,n,e
e
r r.-
und hieraus für p == 1(4)
p=
(\'~a) + (\'~b)
*****
zu 91) Aus 90) leitet man für f(m)
I:P(m2 - 4e)
p
1·
=1
ab. ~
2
p
(m - e.. )
=p-1- (e)2
·P=I:
P
l·P
Hieraus
P (a+m)
(b+m)
~
p
-p_.
= p ,-1- p (a_b)2
-p- = p<p(a -
wo
<p(r) = Iod. 0 je nachdem r
i
= 0 od.
"1= O(p)
b) -1,
102
91.) Wenn
>
a
= (aba2,
an)
b = (b1 ,b:z, b n )
zwei Sy.steme von je n ganzen Zahlen sind, so heisse b zu a benachbart, wenn
eine von folgenden Beziehungen gilt
1.)
2.)
3.)
= ab b2 = a2 + '\a1, b3 =, a3,
bn = an
also a1'= b1,a2 = b:z - ,\b1,a3 = bJ,
an -bn
unter ,\ eine (positive oder negative) ganze Zahl verstanden
ht
bi =ab b1 = -ai, bj =aj
also ai - -bI, a1 - bü aj = bj
(j
i- 1, i)
bi = -al, ht= ai, bj= aj (j i- 1, i)
also ai = ht, a1 =-bi , aj = bj
unter i einen von 'l'verschiedenen Index verstanden. Ist b zu a benachbart, so .auch a zu b.
Ferner heisse a aequivalent zu' l, wennef:ne Reihe existirt
a, b, c, ... l
in der jedes System zum folgenden benachbart ist. Durch folgende Operationen
geh~ man demnach von einem System (al, a2, ... , an) zu· einem benachbarten
über:
1) Addition eines Vielfachen von a1 zu a2
2) Vertauschung von a1 mit ai und nachheriger Vorzeichenänderung einer
der beiden Zahlen.
Ma;n beweise:
1) Jede in den Zahlena1,a2, ... an aufgehende ganze Zahl geht auch in den
Zahlen b1 , b:z, ••• bn auf, wenn die beiden System aequivalent sind.
2) Es ist (a1,a2, ... an ) ....... (d,O,O, ... O),wo d~O '
a1 a2 •• • ein
X1 X 2 •• :X n
=1
lösen.
103
92.) Die Gleichung
, ist unmöglich, wenn
a
= 4A2 +B3 ,
wobei B = 1 (mod4) und A 1) keinen Primfaktor von der Form 4k + 3, der
in B aufgeht, quadratisch als Faktor hat, 2) falls B nicht durch 3 teilbar,
ebenfalls' nicht durch 3 teilbar ist, 3) falls B durch 3 teilbar, nicht durch
33 , teilbar ist.
L. Aubry im Intermediaire, 1912 pag.232. (Heft 10).
*****
Die Schlüsse treten schon bei
hervor. Man hat
x 2 + 42
'
(y3 -1) = (y -1)(y~ + y + 1)
Ist 1) x ungerade, so sind alle Primfaktoren vonx 2 +42 von der Form 4k+l,
folglich y - 1 - 1, y2 + y + 1 = 1 (mod4) , was unmöglich. Ist 2) x - 2x'
gerade, so folgt, da y2 + y + 1 stets ungerade ist, y- 1 ~ 0 (mod4) ,
y2 + y + 1 = 1 (mod 4) was wieder unmöglich.
104
93.) Man soll beweisen, dass zwei quadratische bin. Formen aequivalent sind, wenn
jede Zahl die durch die eine eigentlich darstellbar ist, auch die durch andere eigentlich darstellbar ist. Die Aequivalenz ist hier "eigentlich" od. "uneigentlich" gemeint.
*****
Der verlangte Beweis scheint im Fall positiver Formen nicht schwer zu führen
zu· sein. Man darf voraussetzen, dass die beiden Formen reducirt seien. ISt nun
= ax 2 + 2bxy + cy2
I
eine reducirte Form so ist
(a + 2b)(x2 + xy + y2) ~+ (a - 2b)(x 2 - xy + y2)
21 -
> (a + 2b)
+
(a - 2b)
+
2(c - a)y2
-
2a
Also ist a überhaupt die kleinste durch I darstellbare ZaW. - Ist zunächst
o::; ; 2b a < c, so sind die durch 1 eigentlich darstellbaren Zahlen der Grösse
nach geordnet
<
a, c, a - 2b + c, ...
Nämlich
2(f - c) . (a
+ 2b)(x2 + xy +y2 -1) + (a -
2b)(x2 - xy +y2 - 1)
+2(c - a)(y2 - 1)
kann negativ werden nur für y = 0, also x
2(1 -(a-2b+c))
=-
=1 .
also
I =a.
(a + 2b)(x 2 + xy+ y2 -1) + (a+ 2b)(x2 - xy + y2 - 3)
+2(c - a)(y2 - 1)
kann negativ nur werden, wenn .mindestens eine der ZaWen y2 - 1 . und
x 2 - xy + y2 - 3 negativ ist. Dies giebt die folgenden Möglichkeiten:
1.) y
=0
also x
=1 f =a
105
2.) y~ 1, (x - ~)2 + 3(y2;4) < 0, also y = ±1
-' x 2 ± x - 2< 0 . (2x ± 1? - 9< 012x± 1/ < 3, .
2x ± 1 = ±1
also x = 0 und x - ±1 . Dies giebt f = c resp. a ±2b + c
106
94.) Die Funktion
X 2n
X
1
y = ~(~lt+IBn(2n)! =ex ":-1 -1 +2 x
00
genügt der
'.
Differentic~.lgleichung
y2 + (yx)'
1
= 4X2 .
Bernoulli~schen
Welche Formel folgt hieraus für die
Man beweise aus dieser Formel, dass die
Zahlen?
Bernoulli'sc~en
Zahlen positiv sind.
*****
y2 =
f( _1)n+I.(2n).
Bn ,x2n . I:(
1
_l)m+l B m ~x2m
(2m).
und (yx)' hat als Coeff. von x2r :
~
(_l)r L..J
BnBm
b'
n+m=r ( 2n )'(')'
. 2m .
zw.
()r+I B n (2
-1
(2r)'., r
Also
fürr~2.-
Die DifferentialgI.' rechnet man am besten so: Man hat
a:
e
1
=+
x
1
1 - '2x+y
1 +~x + y.
,= -'-:l~""'-;'"
1 - '2x + y
und also
folglich
1
4
(1 + y? - _x 2 = 1 + y ""- xV'
oder,
)
+ 1,
107
95.) Die Funktion
e:r:t _
1
x
x2
y = ex _ 1= 'Po + 'PI (t)-1'.
+ 'P2(t)-2'
.
.
xn
+ ... + 'Pn(t)-,
+ ...
n.
in der 'Pn(t} die n t !! Bernoulli'sche Funktion, genügt der Differentialgl.
yt(l - t)
+ y't(2 -
t) - (1 - t)yll = y 2t(1 - t)
+ yy'(2t -
1) - 2y,2
woraus für die Bernoulli'schen "Funktionen
(1 - t)'Pk+2 = t(l - t)'Pk + t(2 - t)'PkH
+
t(l-t) {'PO'Pk
(2t - 1) {'PO'Pk+l
2 {'PI'PkH
+ k1'P1'Pk-1 +
+ k1 'PI'Pk +
+
k1'P2'Pk
k2'P2'Pk-2
+
+
+ kk'Pk'PO}
+ kk'Pk'Pd
+ kk'PkH'PO}
96.) Jede rationale ganze Funktion, die für ganzzahlige Argumente ganzzahlige
Werte annimmt, hat die Form
Co
+ C1X + C2
x(x-1)
1.2
+ C3
+ Cn x(x-1)1·2 (x-nH)
·n
x(31-1)(x-2)
1.2.3
+ ...
wo Co, Cl, ... Cn ganze Zahlen bedeuten. Anwendung auf 'Pn (x) .
108
97.) Um für die Bernoulli'sche Funktionen diese Darstellung zu erhalten, kann man
so verfahren:
Also:
e2 -1 _.
x(x -1)( Z', 1) x(x-1)(x - 2)(, Z 1)2
e~-l -x+ 1.2 e + 1.2.3
e +...
$
Setzt man also
so kommt
'Pn ()
x
=
x(x - 1). (1)
1.2
cn
+
x(x - l)(x - 2) (2,)
1.2 .3
Cn
x(x-1) ... (x-'-n)
(n)
+1 ·2· .... (n+1
)cno
+.:.
109
98, ) A
. US
z - 1 - '2z + T
~(l)n+lB
Z2n
n (2n)!
abzu1el't en:
eZ-l -
~cot~ z
sinz
Z
Da
Z1rcot1rZ
tg Z
00
2n
1 - ~ B n (~n)!
2n 1
1 + ~ 2 2 - - 1 Bn (2n)!
-
~ 22n (2 2n - 1)Bn (~:)!
00
~ kL
z2 2 ~. 1 = 1- 2L.,.
z
1
(
2 L.,.
~(Z2
~
*****
<:; k
2:(-) > 0
1
P
z2n
+ p:z4 +", )
so kommt
Wiener ,Berichte 1914
)
-
110
99.) Auf einer Geradensind die Punkte mit ganzzahligen Abscissen markiert.
---11------11----'----+-1--11----+--"'---1--2
-1
0
1
2
3
.
Man soll alle Systeme von je 4 unter diesen Punkten bestimmen, die 4 harmonische Punkte bilden.
Man kann annehmen, dass einer der 4 Punkte im Nullpunkt, die andern in
den Punkten x > 0, Y > 0, z > 0 liegen. Es muss dann
x
z
v-x
z-y
,
oder xz - xy = zy - zx; y(x
,
- = --,-
+ z)' =
2xz
sein. Man löse zuerst ; = ~ + ~ und nehme von den Lösungen diejenigen, bei
welchen x & z gerade sind. (Siehe 100.)
*****
Die allgem.
Lösung von 1=
1
+ 1z oder xz =yz + 1/x ist durch den Ansatz
,
y
:c
x
= 6vwx' ,
y = 6wuy' ,
z :..:. 6uvz'
zu erhalten.
vx'z' - uy'z' + wy':e' .
Hieraus, da (y', vx'z') = 1 etc.:e' = y' = z' = 1, v = u + w·
x = 6w(u + w),
y = 6wu,
z -:- 6u(u +w)
(u,w) = 1-
Sollen, x undz ,gerade sein, so muss entweder u + w oder 6 gerade sein. Es
ergeben sich also die "primitiven" Lösungen für y(x + z) - 2xz:
(1)
x = w(u+w),
(2)
x=~w(u+w), y=wu,
y = 2wu , z
= u(u + w)
u +w
z=~u(u+w) u+w
ungerade
gerade~
,'J'
111
100.) Drei positive ganze Zahlen x,y, z lassen sich stets in die Form bringen
x =svwx'. .}
y = Swuy'
z = Suvz'
wobei
, (x,y,z)
= S,
(x,y)
= Sw,'
(y,z)
= Su,
(z,x)
= Sv
ist. Dann sind
u, v, w untereinander,
x', y', z' untereinander
x'zu u, y' zu v; z' zu w teilerfremd.
101.) 2n + 1 ~nn keine vollständige Potenz sein, ausgenommen den Fall n
= 3, wo
23 + 1 = 32 ist.
(Zeitschrift für mathem. & naturwiss. Unterricht, Jahrgang 1914)
*****
Aus 2n = am -1 = (a _1)(am- 1 +am- 2 + .. , + l),m
gerade sein muss, weil a _ 1 (mod 2)
am - 1 am - 2 +... + 1
=m
>
1, folgt, dass m
(mod 2)
Sei m = 2m' , so folgt
2n = (a ml ._ 1)(ami + 1). Die heiden Faktoren können nur den grössten
gern. Teiler 1 oder 2 haben. Also muss entweder ami. - 1 = 1, ami = 2;
m' = 1, a = 2, was ausgeschlossen ist.
Oder ami - 1 = 2 , ami = 3, m' -=- 1, a _ 3; am - 1 = 32 - 1 -:- 23 sein,
112
102.) Die grösste Zahl a von der Eigenschaft, dass alle Zahlen < .jä Divisoren von
a' sind, ist q .·24
(Dr. G. P6Iya.)
Die Zahlen a von der Eigenschaft, dass alle Zahlen < {jä Divisoren von a
sind, liegen unter einer von r abhängenden Grenze. (Dr. P6lya)
*****
Es habe adie gewollte Eigenschaft und seien 1, 2, 3, ... b die Zahlen <.jä,
also b < .jä <b + 1. Wenn b > 3 ungerade ist haben b, b - 1, b - 2 zu
zweien keinen geJll. Teiler, also sind beb -l)(b - 2) Teiler von a und folglich
b(b-1)(b- 2) ~ a ~ eb +1)2. Ist b gerade, so werden b & b- 2 den gem.
Teiler 2 haben, und jedenfalls b(b - 1) (b - 2) ~ (b + 1)2
!
. Die erste Ungleichung giebt b ~ 4; also
b=3
I
Die zweite Ungl. giebt b3 - 3[,2 + 2b ~ 2(b2 +2b + 1),
b3
-
Also
5b2
a'~
-
26
< 2 b< 5 -(weil für b == 6
(b + 1)2
~25.
a ~ (b
+ 1)2
d.i. a < 16.
d.i.
b[b2 .;.. 5b - 2]
schon
> 2) .
-,Die weitere Discussion leicht.
Nach. Mitteilung von Dr. Polya hat Dr. Bernays den Satz so bewiesen: akann
kein Quadratb2 sein, weil a = b2 nicht durch b - 1 teilbar. Also liegt a
zwischen b2 und (b+1)2 tmdda a durch b teilbar sein soll muss a= b(b+l)
od. a = b(b + 2) sein. SoU nun b(b + 1) durch b - 1 teilbar sein, so muss es
b + 1 = (b -1) + 2 sein. Also b -1 = Iod. 2, ,a= beb + 1) = 6 od. 12. Soll
a = b(b+2) durch b-1 teilbar sein, so muss es b+ 2· . (b -1) + 3 sein, also
b - 1 - 1 od.3 und a = beb + 2) - 8 od. 24
a = 6, 8, 12, 24
b = 2, 2, 3, 4
sind also die einzigen Zahlen der gewollten Eigenschaft.
I
113
103.) Haben h(n) und f(n) die Eigenschaft
h(ab) ,= h(a)h(b) }
f(ab) = f(a)f(b)
so hat
g(n)
(a, b)
=1
n
=2: h(d)f( d)
d:n
dieselbe Eigenschaft.
*****
=E
g(ab)
h(d)f(a;)
,d:a.b
=
= E
d':~,d":b
h(d'd")f(!j;j,,)
E h(d')f(;,) 'Eh(d")f(j,,) :..- g(a)g(b)
Dies nimmt man zuerst. Dann, 104), indem aus p(a)p(b)
E p(d) = Il(E p(d)) = 0 für n> 1 ist.
d:n
'".
= f(a, b)
d:ß
Dann 105) Zu 105 kann man bemerken:
Sind g(n), G(n)., h(n) zahlentheoretische Funktionen und
2:
f(n) =
g(d')h(d")
d'd"=n
F(n)
= L
G(d')h(d") ,
d'd"=n
so ist
n
2:g(d)F(d)
d:n
wie die Betrachtung der Summe
Für h(n)
= 1;
G(n)
n
= 2: G(d). f(J)
d:n
E g(d)G(d')h(d") zeigt.
dd'd"=n
= p,(n) , ergiebt sich 105.)
folgt, dass
114
104.). Die Möbius'schen Zahlen p,(n) sind definirt durch p,(1) = 1,
P, ( PI'Cl1 P2Cl2 •• ·PkCl" = 0 , ' wenn aI a 2" ak = 1
P,(PIP2" .. Pk) = (_l)k
oder für ' ((s)
= E -\
,
.
n ,
l' -- II' (1 - p
1)"-- Jt(I)+#(2)
. #(n)+ ••• un d' h a b en'd'le 'E'Igensch a ft e~
d ureh C(s)
I"
2" +.. '+n"
,
I
p,((Lb) 'p,(a),.,,(b), wenn (a,b)
Ep,(d)
= 0, wenn
~
1
n> 1.
d:n
*****
= p,(a)p,(b) ist richtig, wenn a = Iod. b = 1.
ß1
ßh
• t 'b
I St '' a = PI •.• Pk', b = qI
••• qh ,so IS a = PI ••. Pk
und p(ab) = p,(a)p,(b) = 0, wenn ein Exponent ai od.
p,(ab) = p,(a)p,(b) . (_l)k+h.
p,(ab)
Cl1'
105.) Ist
Cl,.
Cl1
Cl,.
ß1
qI •..
ßh
%
ßj > 1, sonst
f(n) = E g( d), so ist .
d:n
g(n) = ~ p,(d) . f(J)
*****
Ist l(n)
= = E g(d) , so ist cE p,(d)f(d') = E p,(d) E g(d")
d:n
dd'=n
dd'=n
d":d'
.
= E p,(d) Eg(d")E(d"') , wo E(d) immer
dd'=n
=
E
dd"d"'=n
= g(n)
d"d"'=d'
p,(d)g(d")E(d"') = E g(d"). E
.
.
q.e.d.
p,(d)E(d"')
dd"'=;i".
.:... 1.
115
106.) Ist 'l/J(z) eine beliebige Funktion und
+ 'l/J(~) + .. + 'l/J(n~l) + ~(;)
'l/J (::) + 'l/J (';) + .. + 'l/J (r:)
J(n) ='l/J(*)
gen) =
unter TI, T2, • •• Tk die zu n teilerfremden Zahlen der Reihe 1,2,3, ... n ver-,
standen" so ist
J(n) = Eg(d)
und also'nach
105)
d:n
gen} =
Anwendung auf 'l/J(z)
E ß(d)J (i)
d:n
= Z2.
(Siehe oben 15.)
107.) Man setze
Fn(x) - x n -1
Gn(x)
=
= r=l
11 (x -
e2?l'i'f;)
IIk ( x - e2?l'1'. !h.)
n
.
h=l
so dass· Fn(x) - o die n ten Einheitswurzeln, Gn(x) = 0 die primitiven n ten
Einheitswurzeln zu .Lösungen hat. Dann ist
und
Gn(x)
= d:n
H
n
(
Xd -
1
)P(d)
*****
Man wende 106) auf
'l/J(;)
an. Es wird dann J(n)
= Ig(x -
= 19 Fn(x),
gen)
e2?l'iz)
= Ig Gn(x).
116
108.) Ist n eine g. Zahl > 1 und d ein eigentlicher Divisor von n, so können die
Congruenzen
nur dann eine gemeinsame Lösung haben, wenn n durch p teilbar ist.
"
.
*****
Es ist x n -1 = Gn(X)Gd(X)·'lj1(x). Wenn also x = k ,'elne gemeinsame Lösung
von Gn(x) 0, Gd(x) 0 (modp) ist, so kommt
xn -1. (x - k)2F(x)(mo<;lp) und durch Differentiation
nx n - 1 - (x - k)F1(x)(modp) , folglich nkn - 1 = O(modp) und da k = O(p)
ausgeschlossen ist, so muss n . 0 (modp) sein.
=
=
109.) Die Congruenz
Gn(x)
=0
(modp)
p
teilbar ist, nur solche Lösungen haben,. die
kann, wenn n nicht durch
(modp) zum Exponenten n gehören. Daraus folgt, dass sicher keine Lösung
vorhanden ist, wenn n nicht in p-1 aufgeht, da ja jede Zahl zu einem Divisor
von p - 1 als Exp, gehört.
*****
Ist x eine Lösung von Gn(x) = 0 (modp) so ist x n - 1 - 0 (modp). Ist
nun d der Exponent zu dem x gehört, so ist n = d . e, und nach 110) ist
Gd(x) 0 (moclp). Folglich nach 108) d = n, q.e.d.
=
117
110.) Ist d ein Divisor von p-1, so hat die Congruenz Gd(x) = 0 (modp) diejenigen Zahlen zu Wurzeln, die (mod p) zum Exponenten. d .gehören.
*****
Vor 109.) zu stellen. Da
=
so verteilen sich die Wurzeln 1, 2, .. p - 1 von x p - 1 - 1
0 (mod p) auf
die Congruenzen Gd(X) = 0 (modp). Für ein bestimmtes d befriedigen die
Wurzeln von Gd(x) O(modp) auch x d - 1 O(p) da Gd(X) in xd - 1 als .
Faktor steckt. Sie gehören daher ZUm Exponenten d', der Divisor von d ist.
Also ist auch Gd'(x) = 0 (mod p) und folglich nach 108) d' = d .
=
=
118
111.) Die Prim-Divisoren der Funktion Gn{x) sind die Primzahlen von der Form
nk + 1 und eventuell die in n aufgehenden Primzahlen. D.h. wenn x eine
beliebige Zahl bezeichnete, so ist ~n(x) eine Zahl die keine andern Primzahlen.
als· Faktoren besitzt, als die angegebenen und jede solche Primzahl tritt auch
wirklich, bei geeigneter Wahl von x , als Faktor von Gn(x) auf.
*****
=
Gn(x) 0 (modp) hat nach 109) 1l0), falls p nicht in n aufgeht, dann und
nur dann Auflösungen, wenn n in p ~ 1 aufgeht, also p - 1- nk ist.,
Geht p in n auf, so ist n
= pOln'
GpOn' ()
X
=
und nach 1l2)
Gnl(XPO~ = [Gnl(X)}p°
Gn,(XPo ·) - Gnl(x)]po-I
_ [Gn l(X)]pO-l(P-l) (modp).
Soll alsop Teiler von Gn(x)
= GpOn'(X)
sein, so muss p = kn' + 1 sem.
119
112.} Es ist nach .107)
Gn(X) = II(x7I - l)~(d)
d:n
Hier braucht d nur die quadratfreien Divisoren von n zu durchlaufen. Daraus
folgt leicht:
Wenn n' keinen Primfaktor hat, der nicht auch in n aufgeht, so ist
(1)..
Ferner gilt:
(2) ..
wenn
(a, b) = 1
Spedell:
(2')
wenn
b ~ 0 (modp).
113.) Es giebt unendlich viele Primzahlen von der Form nk + 1 .
*****
Es sei Gn(x) = 0 die GI. der primitiven n ten Einheitsw.
Gn(x) = xc,o(n)
+ ... + 1.
Bildet man Gn(An) , wo A eine ganze Zahl, sbgross, dass Gn(AN) > 1, so
hat' Gn(An) jedenfalls einen Primfaktor, der nach 111.) von der Form nk + 1
ist. Es gibet also sicher mindestens eine solche Primzahl. Seien Pb P2, ... Pk
.k solche Primzahlen, so hat Gn(AnpIP2" .Pk), wo Aso gewählt, dass diese
Zahlen > 1 , nur Primfakt. nk + 1 , die von PI, P2, ..• Pk verschieden. Also etc.
120
114.) Zu N2 24 & 25.
Man kann so verallgemeinern:
oder
(modp)
,
Dabei ist (~) = 0, wenn k
=0
(modp).
Ist a t= 0 (modp), so ist die rechte Seite vorstehender Congruenz gerade,die
linke Seite auch, folglich
. (~) +
C'; a) e'; a) +... +
((p -~' +
a) + 1 = 2kp = 0
weil die .linke Seite zwischen -p + 1 und +p +1 liegt.
Diese Gleich~ng folgt aber 'auch direkt aus der von Jacobsthal (siehe N2 90.) ,
indem man indieser f(m) -1 ,nimmt. Ist nur R die Anzahl der Reste, N dieAnzaW der Nichtres.te in der Reihe
12 + a, 22 + a, ... (p- 1)2. + a
(a
~
0
(modp))
so ist
}
R- N = -1- (:)
R + N _, p -2 _ (-;,a)
und hieraus R undN ..
*****
VgI. die unter 90citirte Arbeit von JacobsthaLin Crelle B. 132 p. 238. Man kann die GI.
(r+b) -p-1-p (a_b)2
f (r+a)
pp
P -p'<p(a-b)-l
'p
(wo <p(r) = Iod. Oje nachdem r
so beweisen:
= 0 od.
~ 0 (modp))
121
newpage Es ist E (r;a) (r~b) =E (~) (r~d)
wo d = a - b.Ferner, wenn h ~ O(p)
Also (1)
= (2) = .. = (p -
1) j ferner (0)
= (d)
= p. -1, und
IJd) = L (:) (r+d) - 0 :
d=l
Also
d.i.
d,r
P
P
(d)(p - 1) + (0)
. (d) = -1,
=0
wann d ~ 0
q.e.d.-
122
115.) Ist p eine ungerade Primzahl und betrachtet man die diophantische GI.
xy =
2pz....,.1
mit den Bedingungen
1 <"z' < P - 1 .
2
,xl> 1, lyl > 1,
so geben' die Zahlen
x-I
y+l
- 2- ' . -2- (mod.p)
alle Zahlen t, welche der Bedingung
genügen. (L. v. Grossschmid, Crelle's Journal Bd. 145 pag. 254).
123
116.) Die Zahlen t von 115) sind dieLösungen der Congruenz
t(t + 1) Rest (mod p) oder also die Lös. von
=
t~(t
+ 1)~ = 1 (modp).
Diese Congruenz gieot entwickelt
tp- 1
oder da t p - 1
=1
+ (P 2 1) t p - 2 +... ~ t~ = 1
(modp)
(modp)
(P 2,1)1 t~ + (P 2 1)
2
t~-1 +... + (P 2 1)1 t + 1 = 0
(modp)
Diese Congruenz hat genau so viele Lösungen wie ihr Grad anzeigt, also
9
*****
Es giebt nämlich wie aus Früherem (z.B. 114) folgt, genau
die (~) (~) == 1 ist. Einfacher folgt dies jetzt direkt so:
Diejenigen t, für welche t(t
t
~
2
(t
+ 1)
=1
2
(mod p) odo
~
2
(t
+ 1)
~
2
=-1
+ 1)
0
p~tP'-1
(t
~
+ 1)
2
=t
~
2
(mod p)
Nichtrest ist, sind durch
(modp) od.
bestimmt. Die erste Congruenz giebt (p' =
(1).
Zahlen t für
Rest ist, sind durch
~.
Diejenigen t, für welche t(t
t
+ 1)
p-3
2
+ p~tP'-2 + ... + 1
0
=
(t +1)
~.
2
9
gesetzt)
-t
~
2
(modp)
(modp) ,die zweite
,
(2)..
+ p~tP'-1 + p~tP'-2 +... + 1 _ 0 (modp).
Congruenzen zusammen haben p - 2 = 2p' - 1 Lösungen,
2· t P'
Beide
nämlich
1,2,3, ... p - 2. Also hat jede so viel Lösungen, wie 'ihr Grad angiebt. Es giebt
Zahlen t in der Reihe 1,2,3, 0" p - 2, für die (~) = (~)
also p' - 1 =
P;3
und p' = P;1, für die (~) = - (7) und die ersteren sind die Wurzeln der
Congruenz (1) , die letzteren die Wurzeln der Congruenz (2).-
0
124
117.) Das kleinste gemeinsame Vielfache von n Zahlen al, a2, a3" . an lässt sich so
darstellen
II(ab a2, a3) • n( ab a2, a3, a4, as) . ..
ala2 a3.. · an
II (al, a2 ).' II (ab a2, aa, a4 ) ...
Dabei bedeutet lI(at,a2) das Produkt der grössten gemeinsamen Teiler der
n Zahlen, diese zu je zweien combinirt,
II(al, a2, a3) das Produkt der grössten gemeinsamen Teiler der n. Zahlen, diese
zu je dreien combinirt u.sJ.
Entsprechend wird sich, der grösste gemeinsame Teiler von n Zahlen al, a2, .. . an
durch die kleinsten gemeinsamen Vielfachen gebildet aus allen möglichen
Zusammenstellungen
aufbauen lassen.
*****
Beweis durchPnmzahlzerlegung
wobel·
'<
< an vorausgesetzt WIr
'd.
= a2 -< ... =
al
Anwendung: Kleinstes g. Vielfaches von a, a + 1, a + 2 ist
a(a + l)(a + 2) .
. (a; a+ 1,a + 2)
= a(a+ l){a + 2)
,
,(a,a+1)(a+1,a+2)(a,a+2)
(a,2)
Kleinst~ g. Vielfaches von a, a + 1, a + 2, a + 3 ist
ara ~ 1)(a + 2)(a + 3).
,
1
. ' =.a(a + 1)(a+ 2)(a +3)
(a,2)(a,3)(a+1,2)
2·(a,3)
Kleinstes g. Vielfaches von a,a + 1, a +2, a + 3, a + 4 ist
.
(a, a + 2, a + 4)
a{a+1)(a+2)(a+3)(a+4)· (a,2)(a,3)(a,4)(a+ 1,2)(a+ 1,3)· (a+2,2)
~,
.
.
(a+23)
= a(a +1)(a + 2)(a + 3)(a + 4) • 2. 3(a: 4)
a=O,1~2,3,4,5,6,7,8,9,10,11
(mod.12).
125
Beispiele aus
2 = 21
3 = 31
4 = 22
5 = 51
6 =2·3
7 = 71
8 =2 3
9 = 32
10 = 2·{)
11=11
.12 = 22 .3
13 = 13
14 -2·7
15"- 3·5
•
.
.
126
118.)
Zu 91.
<p(a)
(1) ..
p-'l ( (
= m=l
E !!!:) m+a) = .p-l
E. ( m+am)
p
.
p
m=l
p
3
2
(a
~ 0
(p))
steht in einfachem Zusammenhang mit der Anzahl L( a, b) der Lösungen
Congruenz
(2) ..
x3 + ax- by2 = 0 (modp)
d~r
in nicht durch p teilbaren Zahlen x, y. Ist nämlich R die Anzahl der +1, N die der -1 in der Summe <p( a) , so ist
[<p(a)
=R -
N,. p-1 - R + N
+ 1 + (~a)]
2R die Anzahl L( a, b) , wenn bquadr. Rest von p,
2N die Anzahl L(a, b), wenn b quadr. N Rest von p ist
und folglich
L(a,b)=p
( b)"'<p(a)+p-2-
(-a)'
p-
Ersetzt man b durch bh, a durchah 2 und dann x durch xh, y durch' yh,
so erkennt man, dass
'.
L(ah2 ,bh)- L(a,b)
ist und ~olglich <p(ah 2 ) = (~) <p(a), wie auch direkt aus (1) folgt.
Setzt man statt x : xy 2 in (2), so sieht man dass L(a, b) auch die Zahl der
Lös. von
(2')
X 3 y4
+ ax
. b (modp)
ist.
*****
Man müsste auf die Congruenzen die Beh~ndlung meiner Arbeit in Crelle über
. ax e + l7ye +cze = O(p) anwenden. -
127
119.) Vgl. oben 27.)
Für eine gerade Zahl 2n selen (r) und (s) zwei vollständige Restsysteme.
Dann bilden die Zahlen (r + s) kein vollständiges Restsystem (P6Iya.)
*****
=1 + 2 + ... + 2n == n(2n + 1) =n(mod2n). Ebenso
Es ist L:r
L:s . n(mod2n). Folglich L:(r + s) =2n = 0(mod2n). Würde (r + s) em
Restsystem bilden, so müssteL:(r+s) = n(2n) sein. De~ Satz unter 27) folgt,
indem man die Restsysteme (modp) durch g,g2, ..• gn-l darstellt.-
120.) Für eine durch 3 teilbare Zahl können die Systeme (r), (s), (r+s),(r~s) nicht
gleichzeitig vollständige Restsysteme"bilden. (Hurwitz.) (Von P6lya vermutet)
*****
Es ist
:L: r
2
=P + 2 + ...+ (3n)2 = 2~3
2
I
_
n
='2
•
3n(3n + 1)(6n + 1)
(mod3n)
Die Congruenzen
"" r 2_
L-
n
= 2'
liefern aber
2E
s - . (r+s)
- (r-s)
E r +2 E2E
.
+2.
2
was widersinnig.
2
'Ti
n n n = +n (mod 3n )
=
- 0=
- +2-+2----2
2 22-
128
121.) Ist p eine ,Primzahl, n eine durch. p teilbare' Zahl, so können die Systeme '
(r), (s),(r + s), (r + 2s), . .'. (r + (p -l)s) nicht gleichzeitig vollständige Restsysteme (modn) bilden. - Man kann ohne Beeinträchtigung der Allgemeinheit
p als kleinsten Primfaktor von n voraussetzen. - (Von P6lya vermutet.)
Die Sätze 119) und 120) sind die einfachsten Specialfälle von 121.)
;
(
Dagegen können (r) und (s) so bestimmt werden, dass
(r)und (s) und (r+ks) für k=1,2, .. p-2
Restsysteme bilden. Denn
(r) = 0,1,2, .. n -1,
(s)
= 0, 1,2, .. n -
1,
}
befriedigen diese Bedingung (P6Iya.)
*****
Man betrachte die Summen
die zu 11'-1 + 21'-1 +... + n p - 1 (modp) congruent sind.
Ist R der Rest letzterer Summe, so kommt
~:Cr+ks)p-l
oder
. R+(p-1hk Erp-2s+(p-1hk2ErP-3s2+ ...+k p- 1 R -R
p
kS1 + k 2S 2 +... + kP- 2Sp_2 + k - 1 R
=0
(k
= 1,2, .. p -
Da die Determina~te Ik,k 2, ... k p- 1 1 relativ prIm zu
SI = S2 = ... = R = o(modn) folgen.
Es ist aber nach 37)
R = 11'-1 + 21'-1 +... + n p - 1
=-~p
(modpCl')
wenn pcl' 4ie höchste in n aufgehende Potenz von p ist.
Also kann R nicht . 0 (mod n) sein.-
1).
n, so würde
129
122.) Es sei weine reelleirrationale Zahl und w = (ao, ab a2, ...) ihre natürliche
Kettenbruchentwicklung,
PI
ao P2 aOai +1
Pn
.
QI = l' Q2 al
... Qn = (ao,aI, ... an-I) .. '
ihre Näherungsbrüche, so dass
n
= 1,2,3,... )
( Po
= 1,Qo = 0
.
und
w=
W
-En..
Qn -
ist. - Dann gelten die Sätze:
1)
Mindestens einer von drei aufeinanderfolgenden Näherungsbrüchen
erfüllt die Relation
w-
2)
~:
<
~Q~
(Borel, Liouville's Journal (5), 9 (1903»
Wenn w nicht zu ~ aequivalent ist, aber die Relation
w - Pn < 1
QTI;
y'8Q~
(Fujiwara, Tohoku Mathem. Journal, Bd. 11 (1917»
DieseSätze bilden eine Ergänzung zu meinen Sätzen in Math. Annalen Bd. 39
(1891.)
*****
Angenommen es sei· für ein n
> 2:
130
Dann folgt )..Qk
> WkQk + Qk~1 (k = n-1, n, n + 1)
oder
Also:
().._~) ().. _qQ:1) ~ 1 ,}
().. - qQn1) ().. -' q~~~) > 1
)..2 ..,... 4 ~(-9..rL- _ 9
)2
,
qn-1
qn
n_1
~
Daher).. ~ 2 und da Qn ~' Qn-l
V)..2
- 4 -~ ~
/
qn-1
J)..2 -
~ 9n-1
qn "}
4 ~ qnti _ ...9!!....
-
q..
qn+1
;\+v>:g
2"
, qn±1
qn
~...9!!....
-
qnt1
q..-1' q..
= an + qn-1
qn'
+ qqn
..-1 < ~±yxg'
a +
2
< a + qn-1 < ~±yxg.e
= 2
n
~±J~2-4 = n
qn' =
2
'
~-yxg ~ ~;...@3 .
an +
2
2
,
~
"n
an'~
V)..2 -
4 und a< J)..2- 4, wenn ;\+'0/3 irrational
Ist ).. = ~, so würde an < 1 folgen" was ausgeschlossen.
Ist ).. = VB, so würde an < 2, also an = 1 und also W
2
+ ../5-1
~ l'
ao 1+\15
~ ao
2 ' 10 g~n.
+
= (ao, 1, 1, 1 ...) =
'
131
123.) Der Beweis von 122) führt, wie auf nebenstehender Seite ersichtlich, zu dem
Satze:
. Ist A - Max (
-
.1
.'
1
.
.
1
Qn-lIQn-1W-Pn-ll ' QnlQnw-Pnl ' Qn+lIQn+l w-Pn+ll
)
so ist
und das Gleichheitszeichen ist sicher ausgeschlossen, wenn >.+~ irrational
ist. ./