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97
KOMPLEXE RECHNUNG III (Funktionen, SMITH - Chart)
97.1 Funktionen
Die komplexe Zahl z sei ein Element der Menge A: z A und die Menge A sei
eine Teilmenge der Menge der komplexen Zahlen: A .
Der komplexen Zahl z werde durch eine Abbildungsvorschrift f die komplexe
Zahl w zugeordnet. Die komplexe Zahl w (das Bild von z) sei Element einer
Menge B: w B und die Menge B eine Teilmenge der komplexen Zahlen: B .
f
z
w
A
Fig. 97-1
B
Abbildung z in w
Begriffe und Konventionen
Die Abbildungsvorschrift f bezeichnen wir als komplexe Funktion. Die Menge A
wird als Urmenge oder Definitionsbereich bezeichnet. Die Menge B bezeichnen
wir als Bildmenge oder Wertebereich.
In w = f(z) bedeuten z das Argument der Funktion f und w den Wert der Funktion f zum Argument z. Die komplexe Zahl z = a + j⋅b wird durch f abgebildet in die
komplexe Zahl w = u + j⋅v.
Für grafische Darstellungen werden zwei GAUSS’ sche - Zahlenebenen verwendet. In der z-Ebene finden wir die Urmenge (zum Beispiel die Menge aller
Punkte eines Kreises │Z│⋅ e jωt ) und in der w-Ebene die Bildmenge (zum Beispiel die Menge aller Punkte eines Tragflügelprofils).
Beispiel
w = f(z) =
1 
1
⋅ z + 
2 
z
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Kurt Steudler
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1j
jb
Im
Im
jv
1j
z2
z1
1
z1 = 1
w2
a
Re
1
w1 = 1
Re
w2 = 0,75 + j
z2 = 1 + j
Fig. 97-2
u
w1
Beispiel zu Abbildung z - w
Die Abbildung w = f(z) =
j⋅α
1 
1
⋅  z +  , angewendet auf den Kreis
2 
z
z = -0,5+j + 1,803⋅e , zeigt ein Flügelprofil:
z - Ebene
4
2
2
1
0
0
2
Fig. 97-3
w - Ebene
4
2
0
1
2
2
1
0
1
Flügelprofil
97.2 Die Umkehrfunktion
Jene Abbildung, die dem Bild einer Funktion f(z) wieder die Urbilder zuordnet,
-1
bezeichnen wir als Umkehrfunktion f (z).
f
z
w
A
Fig. 97-4
f-1
B
Umkehrfunktion
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-1
Funktion f(z)
Umkehrfunktion f (w)
a)
w=z-a
b)
w = a⋅z
c)
d)
w=e
w = cos(z)
z=w+a
w
z=
a
z = ln(w)
z = arccos(w)
z
Beispiel:
Berechnung von w = arccos(z)
Aufgelöst nach z wird
1
und mit der Euler-Relation
j⋅w
Mit 2⋅e
w = arccos(z)
z = cos(w)
jw + -jw
e
z= e
2
j⋅w
2⋅z⋅e
multipliziert wird
j⋅w
j⋅2⋅w
=e
+1
2
und durch Substitution r=e
r - 2⋅z⋅r + 1 = 0
Daraus wird
r=e
und durch logarithmieren
ln(r) = j⋅w = ln( z ± z 2 - 1 )
Womit
j⋅w
2
= z ± z2 - 1
w = -j⋅ln( z ± z 2 - 1 )
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97.3 Transformationen
z = x + j⋅y sei die kartesische Darstellung des Punktes z in der z-Ebene. Diesem
Punkt wird durch die Abbildungsvorschrift f ein Punkt w in der w-Ebene zugeordnet. Die kartesische Darstellung von w sei angegeben mit w = u + j⋅v. Damit gilt:
u + j⋅v = f(x + j⋅y)
Vergleichen wir die Realteile und die Imaginärteile beider Seiten, erhalten wir
u = (x,y)
und
v = v(x,y)
u = u(x,y) und v = v(x,y) nennen wir Transformation.
1
2
Umformung aus (95.5). Es gelten folgende Beziehungen:
e jα - e-jα
e jα + e-jα .
sin(α) =
und cos(α) =
2⋅ j
2
Wenn z gegeben ist, lässt sich der Ausdruck weiter verarbeiten nach den Regeln in 95 und 96.
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Beispiel 1 :
2
Gegeben sei die Abbildungsvorschrift w = f(z) = z .
Damit wird z = x + j⋅y abgebildet in
2
2
2
2
w = u + j⋅v = z = (x + j⋅y) = (x - y ) + j⋅2xy
Daraus lässt sich die Transformation ablesen:
2
2
u = u(x,y) = (x - y ) und v = v(x,y) = j⋅2xy
Anwendung:
In der w-Ebene seien zwei spezielle Geraden gegeben, nämlich einerseits die
Gerade u = 1 und andererseits die Gerade v = 1.
Frage: wie sehen die Urbilder der beiden Geraden in der z-Ebene aus ?
2
2
Aus u = 1 = x - y und v = 1 = j⋅2xy erhalten wir
x2 - 1
y=
und
y=
1
2x
Die beiden Urbilder stellen in der z-Ebene demnach Hyperbeln dar.
z - Ebene
w - Ebene
2
2
1
1
0
0
1
2
2
Fig. 97-5
1
0
1
2
1
1
0
1
Hyperbel
2
Durch die Transformation w = z werden Hyperbeln in Geraden abgebildet.
2
Die Transformation w = z liefert eine Koordinatentransformation von kartesischen auf hyperbolische Koordinaten.
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Beispiel 2 :
Gegeben sei r = e jα = cos(α) + j⋅sin(α). Frage: was für eine Transformation liefert die lineare Abbildung w = r ⋅ z ? (z = x + j⋅y)
= r⋅z = [cos(α) + j⋅sin(α)]⋅(x + j⋅y)
= [x⋅cos(α) - y⋅sin(α)] + j⋅[x⋅sin(α) + y⋅cos(α)]
= u + j⋅v
Für x und y lesen wir folgende Transformationen ab:
w
u = u(x,y) = x⋅cos(α) - y⋅sin(α) und v = v(x,y) = x⋅sin(α) + y⋅cos(α)
Sind x und y die kartesischen Koordinaten eines Punktes, dann sind u und v
die Koordinaten desselben Punktes in einem um den Winkel α gedrehten Koordinatensystem. Die Transformation w = r⋅z bewirkt eine Drehung des Koordinatensystems.
Transformationen dienen der einfacheren
Handhabung in der Bildebene
gegebener Problemstellungen in der Urebene
97.4 Die SMITH - Chart
Aus der Transformation w =
3 4
z -1
entsteht das SMITH - Diagramm oder die
z +1
SMITH - Chart. ,
Die Besonderheit dieser Transformation liegt darin, dass die ganze rechte Halbebene der GAUSS’ schen Zahlenebene (Re > 0) auf eine Kreisfläche mit dem
5
Radius 1 abgebildet wird.
Normierte Impedanzen, Spannungsverhältnisse, Reflexionskoeffizienten und so
weiter weisen in ihrer komplexen Darstellung einen positiven Realteil auf; sie
bewegen sich in ihrer Frequenzabhängigkeit in der rechten Hälfte der GAUSS’
schen Ebene.
Aus diesem Grund ist die Transformation gut geeignet für die Lösung von Problemen in elektrotechnischen und elektronischen Anwendungen.
Die Abbildung von Geraden z = a ± j⋅Ω mit a ≥ 0, 0 ≤ Ω < ∞
3
4
5
SMITH P.H., beschreibt 1939 diese Transformation erstmals im Artikel «Transmission Line Calculator» in
ELECTRONICS Nr.1
Das SMITH - Diagramm gehört zum Handwerkzeug in der Elektronik. Netzwerk-Analysatoren arbeiten auf
der Basis der SMITH - Chart; ohne Kenntnis der Transformation nach SMITH lassen sich diese Instrumente nicht einsetzen
Die SMITH - Chart holt die Unendlichkeit in einen endlichen Kreis.
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Diese beliebigen Parallelen zur imaginären Achse, miteingeschlossen die imaginäre Achse selbst und mit dem Parameter a bilden sich folgendermassen ab
w
=
z -1
a - 1± j ⋅ Ω
=
= u + j⋅v
z +1
a + 1± j ⋅ Ω
worin u = u(a,Ω) =
v = v(a,Ω) = ±
a2 - 1 + Ω 2
(a + 1)2 + Ω2
und
2⋅Ω
(a + 1)2 + Ω 2
Für die imaginäre Achse selbst gilt a = 0. Damit bildet sich der Ursprung (Ω = 0)
ab an den Ort -1 , 0. Für Ω → ∞ wird der Ort +1 , 0 erreicht. Für beliebige Ω liegen die abgebildeten Punkte auf einem Kreis mit dem Radius 1 und dem Zent6
rum im Ursprung des Koordinatensystems.
Alle übrigen Parallelen zur imaginären Achse mit a > 0 bilden sich ebenfalls ab
als Kreise, die durch +1 , 0 gehen, symmetrisch zur reellen Achse liegen und
den Radius r = 1/(1+a) aufweisen.
2
1
1
0.5
0
0
1
2
Fig. 97-6
0.5
0.5
0
0.5
1
1.5
1
1
0.5
0
0.5
1
Smith – Chart 1
Die Abbildung von Geraden z = Ω ± j⋅b mit b ≥ 0, 0 ≤ Ω < ∞
Diese beliebigen Parallelen zur reellen Achse, miteingeschlossen die reelle Achse selbst und mit dem Parameter b bilden sich folgendermassen ab
w
6
=
z -1
Ω - 1± j ⋅ b
=
= u + j⋅v
z +1
Ω + 1± j ⋅ b
2
2
Die Aussage ist beweisbar aus der Bedingung u + v = 1, die dann gelten muss.
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worin u = u(a,Ω) =
v = v(a,Ω) = ±
Ω 2 - 1 + b2
(Ω + 1)2 + b2
und
2⋅b
(Ω + 1)2 + b2
Für die reelle Achse selbst gilt b = 0. Damit bildet sich der Ursprung (Ω = 0) ab
an den Ort -1 , 0. Für Ω → ∞ wird der Ort +1 , 0 erreicht. Für beliebige Ω liegen
die abgebildeten Punkte auf der reellen Achse an den Orten (Ω-1)/(Ω+1). Die
Abbildung für Ω = 1 liegt im Ursprung des Koordinatensystems.
Alle übrigen Parallelen zur reellen Achse mit b > 0 bilden sich ebenfalls ab als
Kreisausschnitte, die in +1 , 0 enden und symmetrisch zur reellen Achse liegen.
Mit b = 1 bilden sich Viertelkreise mit dem Radius 1, die in ±j , 0 beginnen und in
+1 , 0 enden.
1
1
0
0
1
2
Fig. 97-7
0
0.5
1
1
1
0.5
0
0.5
1
Smith – Chart 2
Spezielle Eigenschaft:
1
Wird y =
transformiert, entsteht ein Zeiger w(y), der zu w(z) um π (180°) gez
dreht erscheint.
1
-1
z -1
y -1
7
= - w(z)
== z
w(y) =
1
y +1
z +1
+1
z
8
Für die praktische Anwendung wird spezielles Nomogramm-Papier hergestellt. Eine
solche SMITH-Chart ist nachstehend gezeigt.
7
8
Diese Eigenschaft erlaubt es, den Kehrwert komplexer Grössen in der SMITH-Chart zu konstruieren. Die
Konstruktion wird oft genutzt, um die Admitanz zu einer gegebenen Impedanz und umgekehrt aufzufinden.
Ebenfalls Nomogramm - Papiere sind das einfachlogarithmische und das doppeltlogarithmische Papier.
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