IIS-FORMELSAMMLUNG ELEKTRODYNAMIK Prof. Dr. Jens Anders 26. MAI 2020 UNI STUTTGART Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Definitionen Formelzeichen Elektrisches Potential ππ Magnetisches Vektorpotential π΄π΄ Magnetisches Skalarpotential ππ D-Feld (elektrische Flussdichte) π·π· Elektrischer Fluss Ω E-Feld (elektrisches Feld) πΈπΈ Polarisation ππ H-Feld (magnetische Feldstärke) π»π» Magnetisierung ππ Stromdichte π½π½ B-Feld (magnetische Flussdichte) π΅π΅ Magnetischer Fluss Φ Flächenstromdichte π½π½S Linienladung ππ Ladung Q Oberflächenladung Ladungsdichte Permittivität Permeabilität ππ C οΏ½ππ0 = 8,854 ⋅ 10−12 VmοΏ½ N οΏ½ππ0 = 4ππ ⋅ 10−7 A2οΏ½ -1- ππ ππ = ππ0 ππππ ππ = ππ0 ππππ SI Einheit V T⋅m= Vs m A V m C m2 C m2 C = As A m Vs T= 2 m A m Wb = Vs A m2 A m C = As C m C m2 C m3 C Vm N A2 Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Wellenausbreitungsgeschwindigkeit ππ Wellenlänge ππ P Energie πΈπΈ Leistung Kraft πΉπΉ Impuls ππ -2- Formelsammlung Elektrodynamik m s m Nm W= s J = Nm N kg m s Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Maxwellsche Gleichungen Gaußsches Gesetz Magnetische Quellenfreiheit div π·π· = ππ Induktionsgesetz rot πΈπΈ = − Integralsätze div π΅π΅ = 0 Durchflutungsgesetz πππ΅π΅ ππππ Gaußscher Integralsatz: Stokessches Integralsatz: Randbedingungen rot π»π» = π½π½ + οΏ½ Rand(ππ) πΉπΉ β dπ΄π΄ = οΏ½ πΉπΉ β dπ΄π΄ = οΏ½ divπΉπΉ dππ ∂V ππ οΏ½ πΉπΉ β dπ π = οΏ½ πΉπΉ β dπ π = οΏ½ rotπΉπΉ β dπ΄π΄ Rand(π΄π΄) ∂A π΄π΄ Der Normaleneinheitsvektor auf Grenzfläche ππ zeigt von Gebiet 1 nach Gebiet 2. Normalkomponente Tangentialkomponente Potential-Stetigkeit πππ·π· ππππ οΏ½π·π·2 − π·π·1 οΏ½ β ππ = ππ ππ × οΏ½πΈπΈ2 − πΈπΈ1 οΏ½ = 0 ππ2 = ππ1 1 οΏ½π΅π΅2 − π΅π΅1 οΏ½ β ππ = 0 ππ × οΏ½π»π»2 − π»π»1 οΏ½ = π½π½S π΄π΄2 = π΄π΄1 Polarisation und Magnetisierung Allgemeiner Zusammenhang Lineare, isotrope Materialien Elektrischer und magnetischer Fluss durch Fläche π΄π΄ π·π· = ππ0 πΈπΈ + ππ π·π· = πππΈπΈ = ππ0 ππππ πΈπΈ Ω = ∫π΄π΄ D β dπ΄π΄ π΅π΅ = ππ0 οΏ½π»π» + πποΏ½ π΅π΅ = πππ»π» = ππ0 ππππ π»π» Φ = ∫π΄π΄ B β dπ΄π΄ Ausnahme: An einer Doppelschicht ist das Potential unstetig. Eine Doppelschicht ist eine Anordnung aus zwei mit verschiedenen Vorzeichen geladenen Flächen, welche im Grenzfall Abstand gegen null betrachtet wird. 1 -3- Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Strömungsfeld Leitfähigkeit Kontinuitätsgleichung Ohmsche Verlustleistung (Joulesches Gesetz) Formelsammlung Elektrodynamik allgemein: π½π½ = πποΏ½πΈπΈοΏ½ linear: π½π½ = π π πΈπΈ (Ohmsches Gesetz) ππππ div π½π½ + =0 ππππ ππV = οΏ½ π½π½ ⋅ πΈπΈ dππ ππ Spiegelungsmethode in der Elektrostatik Spiegelung von… Zusammenhänge …Punktladung an ideal leitfähiger Kugeloberfläche mit Kugelradius π π π π ππ′ = −ππ , ππ ′ = ππ …Linienladung an unendlich ausgedehnter ideal leitfähiger Zylinderoberfläche mit Zylinderradius π π ππ = −ππ′ , ππ ′ = π π 2 ππ π π 2 ππ Dirac- bzw. Delta-Distribution Für jedes ππ ∈ βππ und π΅π΅ ⊆ βππ erfüllt die Dirac-Distribution πΏπΏ(ππ − ππ ′ ) für alle Funktionen ππ: βππ βΌ β die sogenannte Sieb- oder Ausblendeigenschaft: οΏ½ πΏπΏοΏ½ππ − ππ ′ οΏ½πποΏ½ππ ′ οΏ½ dππ ′ = οΏ½ π΅π΅ -4- πποΏ½πποΏ½ , 0 , ππ ∈ π΅π΅ ππ ∉ π΅π΅ . Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Spezielle Lösungen der Maxwell Gleichungen im stationären Fall 1 1 Kirchhoffsche πποΏ½πποΏ½ = οΏ½ πποΏ½ππ′οΏ½ dππ ′ ′ Lösungsformel 4πππ οΏ½ππ − ππ οΏ½ ππ = konst., E-Statik, dπ΄π΄′ = ππ ⋅ dπ΄π΄′ Elektrische Multipolentwicklung ππ = konst., E-Statik Vektorpotential + ππ ′ (grad ππ)οΏ½ππ′οΏ½ 1 1 − πποΏ½ππ′οΏ½ ⋅ grad οΏ½οΏ½ οΏ½ οΏ½οΏ½ dπ΄π΄′ ′ ′ 4π οΏ½ππ − ππ οΏ½ οΏ½ππ − ππ οΏ½ ∂ππ ′ 1 ππ ππDP β ππ 1 πποΏ½πποΏ½ = + πͺπͺ οΏ½ + οΏ½ οΏ½οΏ½, 4πππ ππ ππ 3 ππ 3 ππ = οΏ½ πποΏ½ππ ′ οΏ½dππ ′ , ππ ′ ππ ′ ππ ππ − ππ ′ π΅π΅οΏ½πποΏ½ = οΏ½ π½π½οΏ½ππ′οΏ½ × dππ ′ 3 4π οΏ½ππ − ππ ′ οΏ½ Biot-Savart-Gesetz ππ = konst., stationär ππ ′ ππ ππ − ππ ′ π΅π΅οΏ½πποΏ½ = οΏ½ π½π½ππ οΏ½ππ′οΏ½ × dπ΄π΄′ 3 4π οΏ½ππ − ππ ′ οΏ½ Biot-Savart-LaplaceGesetz π΄π΄′ ππ = konst., stationär ππ = konst., stationär Magnetische Multipolentwicklung ππ = konst., stationär, div π΄π΄ = 0 ππ ′ ππ 1 π΄π΄οΏ½πποΏ½ = οΏ½ π½π½οΏ½ππ′οΏ½ dππ ′ ′ 4π οΏ½ππ − ππ οΏ½ ππ = konst., stationär, kartesische Koordinaten, div π΄π΄ = 0 Biot-Savart-LaplaceGesetz ππDP = οΏ½ ππ ′ πποΏ½ππ ′ οΏ½dππ ′ π΄π΄οΏ½πποΏ½ = ππ ππππ ππ − ππ ′ π΅π΅οΏ½πποΏ½ = οΏ½ dππ′ × 3 4π πΆπΆ ′ οΏ½ππ − ππ ′ οΏ½ οΏ½ 4π ππ×ππ ππ 3 1 1 + πͺπͺ οΏ½ 3οΏ½οΏ½ , ππ = ⋅ ∫ ππ ′ × π½π½οΏ½ππ ′ οΏ½dππ ′ ππ 2 Spezielle Lösungen der Maxwell Gleichungen im quasistationären Fall ππππ0 ππ ππ Hertzscher Dipol im Ursprung π΄π΄οΏ½πποΏ½ = cos − οΏ½ππππ οΏ½πποΏ½οΏ½ ππ π§π§ ππ, ππ, ππ, ππ, ππ0 = konst., ππ(π‘π‘) = ππ0 sin(ππππ) ππ π§π§ , ππ 4ποΏ½πποΏ½ kartesische Koordinaten ππππ0 ππ 2 ππ 1 ππ πποΏ½πποΏ½ = − sin οΏ½ππππ − οΏ½πποΏ½οΏ½οΏ½ οΏ½ 4π ππππ οΏ½πποΏ½ ππ -5- Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Spezielle Lösungen der Maxwell Gleichungen im dynamischen Fall Retardiertes Potential ππ, ππ, ππ = konst. Retardiertes Vektorpotential ππ, ππ, ππ = konst., div π΄π΄ + ππππ ππππ ππππ 1 1 οΏ½ππ − ππ ′ οΏ½ ′ πποΏ½ππ, π‘π‘οΏ½ = οΏ½ ππ οΏ½ππ , π‘π‘ − dππ ′ οΏ½ ′ 4πππ ππ οΏ½ππ − ππ οΏ½ ππ ′ ππ 1 οΏ½ππ − ππ ′ οΏ½ ′ π΄π΄οΏ½ππ, π‘π‘οΏ½ = οΏ½ π½π½ οΏ½ππ , π‘π‘ − dππ ′ οΏ½ ′ 4π ππ οΏ½ππ − ππ οΏ½ ππ ′ =0 Feldenergiedichten Energiedichte π€π€ Feldenergieflussdichte 1 π€π€elek = πΈπΈ β π·π· 2 1 π€π€mag = π»π» β π΅π΅ 2 Poynting-Vektor ππ = πΈπΈ × π»π» Konzentrierte Bauelemente Strom-Spannungsrelation Kapazität πΆπΆ Induktivität πΏπΏ πΆπΆ = ππ/ππ L = Φ/I πΌπΌ = πΆπΆ Definitionsgleichung ππππ ππππ 1 Gespeicherte Energie πΈπΈ πΈπΈ = πΆπΆππ 2 2 ππ = πΏπΏ ππππ ππππ 1 πΈπΈ = πΏπΏπΌπΌ 2 2 Kapazitäts- und Induktivitätskoeffizienten Maxwell Kapazitätskoeffizienten Ladung ππππ , Potential ππππ auf Elektrode ππ, ππ (Netzwerk-)Kapazitätskoeffizienten Eigenkapazität πΆπΆππππ , Spannung ππππππ von ππ-ter Elektrode zur Referenzelektrode auf 0 V Induktivitätskoeffizienten Definition ππππ οΏ½ ππππ ππ =0,ππ≠ππ ππ ππππππ , ππ ≠ ππ ππππππ = − πΆπΆππππ = οΏ½− οΏ½ ππ πΏπΏππππ = − Magnetischer Fluss Φππ , elektrischer Strom πΌπΌππ durch Leiterschleife ππ, ππ -6- ππ ππππ , ππ = ππ Φππ οΏ½ πΌπΌππ πΌπΌ =0,ππ≠ππ ππ Anwendung Kapazitätsmatrix ππππ = οΏ½ πΆπΆππππ ππππππ ππ Induktivitätsmatrix Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Coulomb-Kraft Kraft πΉπΉ 21 von ππ2 auf ππ1 πΉπΉ 21 = ππ1 ππ2 4ππποΏ½ππ 1 − ππ 2 οΏ½ Lorentzkraft 2⋅ ππ 1 − ππ 2 οΏ½ππ 1 − ππ 2 οΏ½ Als Lorentzkraft bezeichnet man die elektromagnetische Kraft πΉπΉ L = πποΏ½πΈπΈ + π£π£ × π΅π΅οΏ½ auf ein Teilchen mit der Ladung ππ und der Geschwindigkeit π£π£. Für einen vom Strom πΌπΌ durchflossenen Leiter lässt sich die magnetische Komponente der Lorentzkraft auf ein infinitesimales Wegelement dππ darstellen als: Wellen dπΉπΉ L,mag = πΌπΌοΏ½dππ × π΅π΅οΏ½. Wellenzahl Ausbreitungsgeschwindigkeit ππ = Phasengeschwindigkeit Gruppengeschwindigkeit ππ = 1 √ππππ ππ = ππππ = π£π£Ph = π£π£G = 1 Ebene Welle in ππππ -Richtung 2ππ ππ(ππ) ππ dππ(ππ) dππ π»π» = ππππ × πΈπΈ ππ Wellenwiderstand ππ = οΏ½ -7- ππ ππ ππ ππ Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Mathematische Identitäten rot(rot πΉπΉ) = grad(div πΉπΉ) − Δ πΉπΉ div(rot πΉπΉ) = 0 (Vektorfeld πΉπΉ) rot(grad π’π’) = 0 (Skalarfeld π’π’) divοΏ½π’π’πΉπΉοΏ½ = grad(π’π’) ⋅ πΉπΉ + π’π’ ⋅ div πΉπΉ rotοΏ½π’π’πΉπΉοΏ½ = grad(π’π’) × πΉπΉ + π’π’ ⋅ rot πΉπΉ divοΏ½πΉπΉ 1 × πΉπΉ 2 οΏ½ = rotοΏ½πΉπΉ 1 οΏ½ ⋅ πΉπΉ 2 − πΉπΉ 1 ⋅ rotοΏ½πΉπΉ 2 οΏ½ Fourier-Reihe ∞ ππ0 2ππππππ 2ππππππ ππ(π‘π‘) = + οΏ½ ππππ cos οΏ½ οΏ½ + ππππ sin οΏ½ οΏ½ 2 ππ ππ ππ 2 ππ=1 ππππ = 2 2ππππππ οΏ½ ππ(π‘π‘) cos οΏ½ οΏ½ dπ‘π‘ , ππ ≥ 0 ππ ππ ππππ = 2 2ππππππ οΏ½ ππ(π‘π‘) sin οΏ½ οΏ½ dπ‘π‘ ππ ππ − − ππ 2 ππ 2 ππ 2 (Vektorfeld πΉπΉ) und , ππ ≥ 1. -8- (Vektorfeld πΉπΉ, Skalarfeld π’π’) (Vektorfeld πΉπΉ, Skalarfeld π’π’) Vektorfelder πΉπΉ 1 , πΉπΉ 2 ) , wobei Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders Formelsammlung Elektrodynamik Koordinatensysteme Kartesische Koordinaten z Zylinderkoordinaten z ez 0 x P (x , y ,z ) ex ez ey z y x πποΏ½πποΏ½ = πππ₯π₯ οΏ½πποΏ½ππ π₯π₯ 0 y +πππ¦π¦ (ππ)ππ π¦π¦ + πππ§π§ (ππ)ππ π§π§ P ( r ,Ο , z ) Ο x r z er πποΏ½πποΏ½ = ππππ οΏ½πποΏ½ππ ππ οΏ½πποΏ½ +ππππ οΏ½πποΏ½ππ ππ οΏ½πποΏ½ +πππ§π§ (ππ)ππ π§π§ ππ cos ππ π₯π₯ π¦π¦ ππ = οΏ½ οΏ½ = οΏ½ ππ sin ππ οΏ½ π§π§ π§π§ dπ΄π΄οΏ½π₯π₯=π₯π₯ = dπ¦π¦ dπ§π§ ππ π₯π₯ dπ΄π΄οΏ½ππ=ππ = ππ0 dππ dπ§π§ ππ ππ dπ΄π΄οΏ½π§π§=π§π§ = dπ₯π₯ dπ¦π¦ ππ π§π§ dπ΄π΄οΏ½π§π§=π§π§ = ππ dππ dππ ππ π§π§ dπ΄π΄οΏ½π¦π¦=π¦π¦ = dπ§π§ dπ₯π₯ ππ π¦π¦ 0 0 dππ = dπ₯π₯ dπ¦π¦ dπ§π§ ππππ βππππ β ππππβ grad ππ = β βππππβ β β ππππ β ππππ β div ππ = πππππ₯π₯ πππππ¦π¦ πππππ§π§ + + ππππ ππππ ππππ 0 dπ΄π΄οΏ½ππ=ππ = dπ§π§ dππ ππ ππ 0 0 dππ = ππ dππ dππ dπ§π§ ππππ β ππππ β 1 ππππ β grad ππ = β βππ ππππβ β β ππππ β ππππ β div ππ = z eΟ π₯π₯ π¦π¦ ππ = οΏ½ οΏ½ π§π§ 0 Kugelkoordinaten 1 ππ 1 ππππππ ππππππ + ππ ππππ ππ ππππ πππππ§π§ + ππππ 0 y er θ Ο r eΟ eθ P ( r ,θ ,Ο ) y x πποΏ½πποΏ½ = ππππ οΏ½πποΏ½ππ ππ οΏ½πποΏ½ +ππππ (ππ)ππ ππ (ππ) + ππππ (ππ)ππ ππ (ππ) (Darstellung eines Vektorfelds ππ(ππ)) π₯π₯ ππ sin ππ cos ππ ππ = οΏ½π¦π¦οΏ½ = οΏ½ ππ sin ππ sin ππ οΏ½ π§π§ ππ cos ππ (Umrechnung für Ortsvektoren ππ) dπ΄π΄οΏ½ππ=ππ = ππ02 sin ππ dππ dππ ππ ππ 0 dπ΄π΄οΏ½ππ=ππ = ππ sin ππ0 dππ dππ ππ ππ 0 dπ΄π΄οΏ½ππ=ππ = ππ dππ dππ ππ ππ 0 dππ = ππ 2 sin ππ dππ dππ dππ ππππ ππππ β β 1 ππππ β β grad ππ = β β β ππ ππππ β 1 ππππ βππ sin ππ ππππβ div ππ = 1 ππ 2 ππ ππππ ππ 2 ππππ 1 ππ sin ππ ππππ ππ sin ππ ππππ 1 ππ + ππ ππ sin ππ ππππ ππ + (Fortsetzung auf nächster Seite) -9- Institut für Intelligente Sensorik und Theoretische Elektrotechnik (IIS) Prof. Dr. Jens Anders βππ = Kartesische Koordinaten ππ 2 ππ ππ 2 ππ ππ 2 ππ + + πππ₯π₯ 2 πππ¦π¦ 2 πππ§π§ 2 βπππ₯π₯ βππ = οΏ½βπππ¦π¦ οΏ½ βπππ§π§ πππππ§π§ πππππ¦π¦ − ππππ β β ππππ ππππ ππππ π₯π₯ π§π§ β rot ππ = β β ππππ − ππππ β β β πππππ¦π¦ πππππ₯π₯ − β ππππ ππππ β Formelsammlung Elektrodynamik Zylinderkoordinaten βππ = 1 ππ ππππ 1 ππ 2 ππ οΏ½ππ οΏ½ + 2 2 ππ ππππ ππππ ππ ππππ 2 ππ ππ + 2 πππ§π§ 2 ππππππ ππππ − ππ 2 ππππ ππ 2 β β 2 ππππππ ππππ β βππ = β βππππ + 2 − ππ ππππ ππ 2 βπππ§π§ β β βππππ − 1 πππππ§π§ ππππππ − ππππ β ππ ππππ β ππππ ππππ ππ π§π§ β β rot ππ = β − β ππππ ππππ β β 1 ππ 1 ππππππ οΏ½ππππππ οΏ½ − βππ ππππ ππ ππππ β - 10 - Kugelkoordinaten βππ = 1 ππ 2 ππππ 1 ππ ππππ οΏ½ππ οΏ½+ 2 οΏ½sin ππ οΏ½ ππ 2 ππππ ππππ ππ sin ππ ππππ ππππ + ππ 2 ππ 1 ππ 2 sin2 ππ ππππ 2 2 ππ ππ 2 ππ β β 2 ππππππ β βππ + βππ = β ππ β ππ 2 ππππ β β β 2 ππππππ βππ + β ππ ππ 2 sin ππ ππππ β βππππ − β β +β β β − 2 ππ(ππππ sin ππ) 2 ππππππ − 2 ππππ ππ sin ππ ππ sin ππ ππππ β 2 2 cos ππ ππππππ β − 2 2 ππππ − 2 2 ππ sin ππ ππ sin ππ ππππ β β 2 cos ππ ππππππ 2 + 2 2 − 2 2 ππππ ππ sin ππ ππππ ππ sin ππ β 1 ππ 1 ππππππ οΏ½sin ππ ππππ οΏ½ − ππ sin ππ ππππ ππ sin ππ ππππ β β 1 ππππ ππ 1 ππ β rot ππ = β − οΏ½ππππππ οΏ½ β β ππππ ππ sin ππ ππππ ππ β β 1 ππππππ 1 ππ (ππππππ ) − β β ππ ππππ ππ ππππ
