Der „Schwarzsche Zylinder“
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Praktikum Analysis I
Thema:
Der Schwarzsche Zylinder
Inhaltsmessung für Flächen im R3
Erarbeitet von
Diana Sarbak & Robert Nickel
April, 1999
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Einleitendes Vorwort
„Gegeben sei eine Fläche im Raum...“
Dies ist sicher ein Satz, der in den auf den nächsten Seiten dargelegten Ausführungen mehr
als nur einmal gebraucht werden wird.
Da geht es um Oberflächen von Körpern wie der Kugel, ein- und zweischaligen
Hyperboloiden und letzten Endes dem von uns persönlich am interessantesten empfundenen
Torus (Ist dies vielleicht auf seine Donut-ähnliche Form zurückzuführen, die uns
zwischenzeitlich sogar dazu getrieben hat, den nächsten McDonalds® aufzusuchen, um uns
eines dieser Exemplare zu genehmigen ?).
Wie berechnet man den Inhalt einer Fläche im Raum ?
Sicherlich bietet die Integralrechnung in der Beziehung zahlreiche Lösungsmöglichkeiten,
doch soll in unseren Darlegungen diese Form der Lösung weitgehend vernachlässigt werden
und nur wenn nötig als Vergleichsmöglichkeit dienen.
So werden wir uns ausführlich dem Verfahren widmen, welches eine gegebene Fläche in
Dreiecke zerlegt und dadurch mit Summation der Flächen aller Teildreiecke eine Näherung
für deren Inhalt liefert.
Wir werden uns diesem Verfahren nähern, indem wir zuerst das der Triangulation
(Dreieckszerlegung) sehr ähnlichen Verfahren der Berechnung der Länge einer Kurve durch
Polygonzugapproximation erklären, um dann zur Zerlegung einer Fläche in Trapeze und
später in Dreiecke überzugehen.
Weiterhin wird diese Arbeit Aufschluß darüber liefern, ob dieses Verfahren zwangsläufig
zum Ergebnis führt, und wenn ja, warum ?
Zu guter Letzt werden wir die aufgeführten Verfahren durch graphische Veranschaulichung
gegenüberstellen und miteinander vergleichen.
Alles in allem ist dies nur ein winziger Auszug aus den Möglichkeiten der
Flächenberechnung, doch wir hoffen, damit einen interessanten Beitrag geleistet zu haben.
Diana Sarbak & Robert Nickel
2
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Inhaltsverzeichnis
Einleitendes Vorwort ________________________________________________________ 2
Inhaltsverzeichnis___________________________________________________________ 3
Berechnung der Länge einer Kurve durch Polygonzugapproximation _________________ 4
Anwendung am Beispiel des Halbkreises ___________________________________________ 4
Herleiten der Näherungsformel __________________________________________________________ 4
Exakter Wert für die Länge der Kurve ____________________________________________________ 4
Anwendung am Beispiel einer Parabelkurve ________________________________________ 5
Herleiten der Näherungsformel __________________________________________________________ 5
Exakter Wert für die Länge der Kurve ____________________________________________________ 5
Abschließende Betrachtung ______________________________________________________ 7
Oberflächeninhaltsberechnung durch Triangulation ______________________________ 8
Ausblick ______________________________________________________________________ 8
Erste Triangulation am Beispiel einer Halbkugel ____________________________________ 9
Triangulation durch gleichschenklige Trapeze _____________________________________ 11
Entwickeln einer allgemeinen Formel zur Polygonzugapproximation ___________________________
Allgemeine Formel zur Unterteilung eines Rotationskörpers in Trapeze _________________________
Anwendung der entwickelten Formel ____________________________________________________
Kegelmantel _____________________________________________________________________
Rotationsparaboloid _______________________________________________________________
Zweischaliges Hyperboloid (Nordhälfte) _______________________________________________
Einschaliges Hyperboloid ___________________________________________________________
Torus ___________________________________________________________________________
Nachtrag zur Halbkugel ____________________________________________________________
Parabolisches Prisma ______________________________________________________________
11
13
15
15
16
17
18
19
20
21
Der „Schwarzsche Zylinder“ ____________________________________________________ 22
Definition des Inhalts einer glatten Parameterfläche ________________________________ 25
Voraussetzungen für eine Triangulation __________________________________________________ 32
Abschlußerklärung __________________________________________________________________ 32
Triangulation durch Dreiecke ___________________________________________________ 33
Anwendung der Triangulation __________________________________________________________ 35
Gesammelte Abbildungen ___________________________________________________ 36
Programmbeschreibung „RotationskoerperApplet“ _________________________________ 36
Abbildungen aller Körper durch Triangulationen ___________________________________________ 37
Fehlerbetrachtung ___________________________________________________________________ 40
Besonderheiten bei der Umsetzung des Programms _________________________________________ 40
Vergleich der Annäherung über Trapeze und Dreiecke ______________________________ 41
Literaturverzeichnis ________________________________________________________ 42
Abbildungen ______________________________________________________________ 42
Programmcodes ___________________________________________________________ 42
3
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Berechnung der Länge einer Kurve durch
Polygonzugapproximation
Um später ganze Flächen im R3 berechnen zu können, wollen wir erst einmal versuchen, die
Länge einer Raumkurve zu bestimmen.
In der Aufgabenstellung war uns dazu der folgende Satz gegeben:
Satz 1: Die Länge einer Raumkurve C wird bestimmt, indem man eine Folge von
Polygonzügen {Pn} angibt, so daß die Endpunkte der Strecken jedes Polygonzugs Pn
auf C liegen und das Maximum ihrer Längen gegen Null strebt. Die Länge von C ist
dann das Supremum der Längen der Pn.
Anwendung am Beispiel des Halbkreises
Herleiten der Näherungsformel
Als Beispiel für die Anwendung der Polygonzugapproximation sei ein Halbkreis parallel zur
xy-Ebene gegeben, der wie folgt definiert ist:
CK x, y, z R 3 | x 2 y 2 2, y 0, z 1
Dieser Halbkreis hat einen Radius von 2 und seinen Mittelpunkt im Punkt [0,0,1].
Da er parallel zur xy-Ebene liegt, kann man die im R3 definierte Punktmenge problemlos
auch als Punktmenge des R2 betrachten, ohne daß dies irgendwelche Auswirkungen auf die
Länge der Kurve hat:
~
C K x, y R 2 | x 2 y 2 2, y 0
1.4
1.2
1
Wir beginnen damit, den Kreisbogen durch zwei
gleich lange Sehnen anzunähern, die sich wie in der
Skizze ersichtlich im Punkt 0, 2 schneiden.
Der Winkel (Skizze) beträgt in diesem Fall 4 .
0.8
0.6
90°
0.4
s
0.2
0
-1
-0.5
0
0.5
Also gilt für die Länge der Sehne 2s 2 2 sin .
Wenn man für die Zahl der Sehnen eine Variable n definiert, so ergibt sich für die erste
Näherung des Kreisbogens die Formel L( Pn ) 2n 2 sin 4 4 2 sin 4 .
Wenn man jetzt wie im Bild ersichtlich die Zahl der gleich langen Sehnen verdoppelt, um
damit eine bessere Näherung zu erzielen, so halbiert sich der Winkel mit jeder weiteren
Näherung. Der Winkel ergibt sich also durch n 2n .
Die Länge des Polygonzugs beträgt dann in Abhängigkeit von n L( Pn ) 2n 2 sin 2n .
Die Länge des Kreisbogens ergibt sich dann aus dem Grenzwert L(C K ) lim L( Pn ) .
n
Da nun lim nsin n , ist lim 2n 2 sin
n
n
2n
2 .
Exakter Wert für die Länge der Kurve
Dieser Wert berechnet sich über die Hälfte des Umfangs eines Vollkreises u 2r und
beträgt damit ebenfalls 2 .
4
1
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Anwendung am Beispiel einer Parabelkurve
Herleiten der Näherungsformel
In ähnlicher Weise kann man auch mit einer im R3 gegebenen Parabelkurve verfahren, die
durch die folgende Punktmenge gegeben ist:
CP x, y, z R3 | y x2 ; z x, 1 x 1
Diese Funktion hat die Eigenschaft, daß man sie durch eine Drehung um 45° um die y-Achse
im mathematisch negativem Sinn (also im Uhrzeigersinn)
in eine zweidimensionale Form überführen kann, die dann
durch die Funktionsgleichung f ( x) 1 2 x 2 mit 2 x 2
dargestellt werden kann.
Da die Funktion nur gerade Exponenten hat ( f ( x) f ( x) )
und damit symmetrisch zur y-Achse ist, betrachten wir nur
den positiven Teil der Funktion und verdoppeln den sich
ergebenen Näherungswert.
f(xk)
xi i
n
Man teilt nun den positiven Teil des vorgegebenen Intervalls in n
gleiche Abschnitte und betrachtet die Funktionswerte an den so
entstehenden Stellen.
Die Länge einer Strecke des so entstandenen Polygonzugs
berechnet man nun laut Satz des Pythagoras wie folgt (siehe
Abbildung links):
2
Lk
n
xk
xk-1
2
2
n
k
n
2 f
k 1
n
2
2
Diese Berechnung führt man für jeden Abschnitt durch, summiert
die Werte auf und erhält so eine Näherung für die Länge der
Parabel im positiven Intervallabschnitt. Nach Verdoppeln (wegen
der vorhandenen Achsensymmetrie ist das möglich) entsteht nun für
die Polygonzugapproximation die folgende Formel:
f(xk-1)
2
f
2 2k 1
2 n
2
2n 2 2k 1
n
n
n
2
4
2
n
n
n k 1
k 1
k 1
k 1
Um den Wert dieser Summe ( 3.5957 ) zu berechnen, haben wir einen Computer zurate
gezogen.
n
n
LPn 2 Lk 2
f
2
2
k
2 f
k 1
2
2
n
2
2
Exakter Wert für die Länge der Kurve
Nachdem wir nun die Formel für die Berechnung der Länge eines n-teiligen Polygonzugs auf
der Funktion f ermittelt haben, wollen wir die Näherungswerte für einige n der tatsächlichen
Länge des Kurvenstücks gegenüberstellen.
Um diese Länge zu berechnen, müssen wir uns, obwohl dies der Vorlesung bereits voraus ist,
der Integralrechnung bedienen.
5
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Hierzu benutzen wir den folgenden Satz (Quelle [4] S.315):
Satz : Die Länge eines Kurvenstücks einer Funktion f im Intervall [a,b] mit
b
f (x) R berechnet sich durch das folgende Integral: L 1 f ' ( x) dx .
2
a
Macht man sich nun wieder die Achsensymmetrie der Funktion zunutze und benutzt man
f ' ( x)2 x 2 , so ergibt sich somit die Formel
2
L 2 1 x 2 dx .
0
Um diesen Ausdruck berechnen zu können bedienen wir uns eines weiteren Satzes der
Integralrechnung:
x2 a2
arsinh
Satz : x 2 a 2 dx
2
2
a
a2
x
x
Beweis :
Diese Aussage ist leicht zu beweisen, indem man zeigt, daß die Ableitung des rechten Terms
der Gleichung genau die Funktion unter dem Integral des linken Terms ist.
Die rechte Seite kann summandenweise abgeleitet werden:
1
x
x 2 a 2 x 4 a 2 x 2
2
2
Durch Anwendung der Kettenregel ( f ( g ( x)) g ( x) f ( g ( x)) ) gilt dann:
1 4
x a2 x2
2
3
2
3
2
2
2
4 x 2a x 2 x a x 2 x a
4 x4 a2 x2
2x x 2 a 2
2 x2 a2
Wegen arsinh(x)
1
x 2 1
ist dann also durch nochmalige Anwendung der Kettenregel
a2
x
a2
1
a2
arsinh
2 a x 1 2 x2 a2
a
2
a
2
2
Für den Gesamtausdruck ergibt sich nun wie erwartet
x
a2
2x 2 a 2
a2
2 x 2 2a 2
x2 a2
x
2
2
x
a
arsinh
x2 a2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
2 x a
2 x a
2 x a
x a
q.e.d.
Damit haben wir uns das nötige Werkzeug geschaffen, um die tatsächliche Länge des
Parabelbogens zu berechnen:
2
2
0
1
x 2
1 x dx 2
x 1 arsinh
2
2
2
2
2
1
x 2
3 arsinh 2 2 3 arsinh 2 3.5957
2
0
2
6
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Abschließende Betrachtung
Anhand dieses Wertes läßt sich nun ermitteln, wie genau unsere oben hergeleitete Formel für
die Länge des Parabelbogens wirklich ist. Dazu dienen folgende Wertetabelle und Graphik:
Die Tabelle zeigt die Ergebnisse der hergeleiteten Näherungsformel für verschiedene n und
der Graph zeigt den Verlauf der Näherung.
3.6
n
2
4
6
8
10
20
30
100
200
300
400
T ( Fn )
3.46410
3.56155
3.58055
3.58719
3.59025
3.59434
3.59510
3.59565
3.59569
3.59569
3.59570
3.58
3.56
3.54
3.52
3.5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Es ist erkennbar, daß man schon bei n=10 eine auf zwei Kommastellen genaue Näherung
erhält. Für eine Genauigkeit von 4 Stellen nach dem Komma muß man jedoch n deutlich
größer als 300 wählen, was schon etwas mehr Rechenleistung beansprucht.
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Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Oberflächeninhaltsberechnung durch Triangulation
Definition Triangulation : Wir nennen eine Folge {Fn} von Polyederflächen Triangulation
des Flächenstücks S, wenn
(1) jede Fläche Fn nur aus Dreiecken besteht,
(2) deren Eckpunkte sämtlich zu S gehören und
(3) das Maximum der Flächeninhalte der Dreiecke von Fn bei
n gegen Null strebt.
Ausblick
Der folgende Abschnitt soll uns in die Lage versetzen, die Oberfläche der folgenden Körper
näherungsweise durch Triangulation bestimmen zu können:
I) Nordhälfte einer Halbkugel
II) Zylinder
III) Kegel
IV) Rotationsparaboloid
V) Nordhälfte eines zweischaligen Hyperboloids
VI) Parabolisches Prisma
VII) einschaliges Hyperboloid
VIII) Nordhälfte des Torus
Es fällt auf, daß mit Ausnahme der Figuren (II) und (VI) alle Flächen durch Rotation einer
stetigen Funktion entstehen, was wir uns in den folgenden Ausführungen zunutze machen
werden.
Obwohl es in der Aufgabenstellung heißt, die Oberfläche einer glatten Raumkurve in
Dreiecke zu zerlegen und damit den Flächeninhalt annäherungsweise zu bestimmen, soll an
dieser Stelle damit begonnen werden, eine Zerlegung in gleichschenklige Trapeze
vorzunehmen, was nicht weiter gegen die Aufgabenstellung verstößt, da ein Trapez ja auch in
zwei Dreiecke unterteilt werden kann (Bedingung (1)) und mit der Bedingung, daß alle Ecken
des Trapezes auf der Fläche liegen, trifft dies zwangsläufig auch für die Ecken der Dreiecke
zu (Bedingung (2)). Stellen wir nun noch die Bedingung, die Längen der Diagonalen der
Trapeze mögen für steigende n gegen Null streben, so ist auch das letzte Axiom einer
Triangulation erfüllt (Bedingung (3)).
8
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Erste Triangulation am Beispiel einer Halbkugel
Wir beginnen nun damit, die Oberfläche einer
Halbkugel der Form
S x, y, z R 3 | x 2 y 2 z 2 1, 0 z 1 in
gleichschenklige Trapeze zu zerlegen.
Hierzu verwenden wir die Polygonzugapproximation
des Halbkreises aus dem vorigen Abschnitt, betrachten
jedoch nur einen Viertelkreis.
Wir nehmen also die Formel für die Länge einer Sehne
im Halbkreis s 2r sin 2n und betrachten sie nur für
gerade n.
Sei also k : n2 , dann ergibt sich für die Sehne: s 2r sin
4k
.
Diesen Viertelkreis drehen wir nun schrittweise so
um die z-Achse, daß eine Näherung für eine
Halbkugel entsteht, die als Grundfläche ein N-Eck
mit 4k Ecken besitzt und somit parallel zur xy-Ebene
in k Schichten unterteilt ist.
Damit haben wir die Oberfläche der Halbkugel in
gleichschenklige Trapeze unterteilt. Durch diese
Anordnung sind die Schenkel b in jedem Trapez
gleich groß.
Man kann sich vorstellen, man hätte die Halbkugel in gleich lange Meridiane und
Breitenkreise unterteilt, so daß die Teilstrecken auf einem Meridian von Breitenkreis zu
Breitenkreis gleich groß sind.
c
Allgemein für den Flächeninhalt eines Trapezes gilt: A a2b h ,
a
wobei h b 2 a2c .
Da b die Länge eines Schenkels des Trapezes ist, der genau eine
Teilstrecke des gedrehten Polygonzugs darstellt, ist b in
Abhängigkeit von n konstant mit b 2 sin 4k
2
b
b
h
Die Radien der Schichten ergeben sich wie aus der
Zeichnung ersichtlich aus
ri rk sin 2ik sin 2ik
b
r2
Durch Einsetzen in die Gleichung für die Sehne si ergibt
sich dann si 2 sin sin 4k 2 sin 2ik sin 4k .
Nun können wir die Seiten des oben in der Skizze
dargestellten Trapezes wie folgt beschreiben:
a si
c si 1
b sk 2 sin
r1
b
rk-1
rk
b
rk=1
4k
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Da die Trapeze, die in einer „Schicht“ liegen, also als Grundseite die gleiche Seitenlänge
haben, gleich groß sind, kann man den Flächeninhalt der Trapeze einer Schicht berechnen
si si1 2 si si1
sk
.
2
2
2
durch Ai 4k
Die Spitze der Polyederfläche ( i=1) setzt sich aus gleichschenkligen Dreiecken zusammen,
2
s1 2 s1
s k berechnen läßt, was genau der Formel Ai
2
2
welche sich durch die Formel A1
für ( i=1) und s0=0 entspricht.
Durch Summieren über i erhalten wir den Gesamtflächeninhalt T Fk der durch die
Zerlegung in Trapeze entstandenen Polyederfläche Fk .
T Fk
k
4k
s s
s s
4k i i 1 sk2 i i 1
2
2
i 1
k
2 sin
i 1
4k
sin 2ik 2 sin
2
k
4k sin
i 1
4k
sin i2k1
4k
k
i 1
2ksk2 ri ri 1 1
i 1
k
2ksk2
i 1
2 sin 4k
2
2 sin
4k
sin 2ik 2 sin
2
4k
sin i2k1
sin 2ik sin i2k1 2 sin 4k 2 sin 4k sin 2ik sin i2k1 2
2ksk ri ri 1 sk2 sk2
k
2
ri ri 1 2
2
ri ri1 r 2r
2
i
ri ri 1 2
2
2
i 1
2
Den Grenzwert T S ,{Fk } dieser Formel haben wir mit dem Computer ermittelt als
T S ,{Fk } 6.2831 , was dem Wert 2 entspricht.
Da sich die Oberfläche einer vollständigen Kugel durch die Formel A(S ) 4r 2 4
berechnet, wird damit unsere Triangulation bestätigt.
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2
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Triangulation durch gleichschenklige Trapeze
Mit den nun folgenden Ausführungen werden wir uns zunächst nur auf die im Ausblick
genannten Oberflächen beschränken, die durch Rotation einer stetigen Funktion entstehen.
Doch wie ist es nun möglich, die Oberfläche eines beliebigen Rotationskörpers in
gleichschenklige Trapeze zu zerlegen ?
Wir beginnen damit, vorerst nur die Länge der Kurve der Funktion zu bestimmen, durch die
der Rotationskörper entsteht. Im Abschnitt Polygonzugapproximation wurden bereits mit dem
Kreisbogen und der parabolischen Kurve Beispiele gegeben, mit deren Hilfe wir nun eine
Formel zur näherungsweisen Bestimmung der Länge einer Kurve mit beliebiger
Funktionsgleichung entwickeln werden.
Entwickeln einer allgemeinen Formel zur Polygonzugapproximation
In den folgenden Abbildungen sind zur Verdeutlichung des Sachverhalts ausgewählte
Funktionen dargestellt, durch deren Rotation die oben aufgeführten Körper entstehen:
Funktion für Rotationsparaboloid
Funktionsgleichung:
f ( x) x 2 x [0,1]
Funktion für Torus
Funktionsgleichung:
f ( x) 1 ( x 2) 2 x [1,3]
Funktionen für einschaliges Hyperboloid
Funktionsgleichungen:
f 1 ( x)
x2 1
f 2 ( x) x 2 1
x [1, 2 ]
Besonderheit: zwei Funktionsgleichungen
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Die Graphen der letzten beiden Funktionen haben
gegenüber der ersten Funktion die Besonderheit, daß
sie im Intervall um den Nullpunkt nicht definiert sind.
Um also eine allgemeine Formel für die Länge einer
Kurve bestimmen zu können, müssen wir auch die
Intervallgrenzen mit in die Herleitung einbeziehen.
Li
Im ersten Abschnitt wurde bereits für das Intervall
[0, 2 ] eine allgemeine Formel entwickelt:
h
Li
g
ba
k
a=x0
i
xi= k (b a) a
2
2
k
i
k
2 f
i 1
2
k
2
Dabei bezeichnet der linke Summand unter der
Wurzel die Länge der Kathete g des in der Abbildung
schraffiert dargestellten rechtwinkligen Dreiecks und
der rechte Summand die Länge der Kathete h. Für
variable Intervallgrenzen stellen sich die Längen der
Katheten dann folgendermaßen dar:
f xi1
f xi
f
b=xk
g
ba
k
i
i 1
h f ( x i ) f ( x i 1 ) f (b a) a f
(b a) a
k
k
Für die Länge der Hypothenuse gilt dann also laut Pythagoras:
ba k
k 1
Lk g h
(b a) a
f (b a) a f
n n
n
2
2
2
2
Bei k-facher Unterteilung der x-Achse ergeben sich nun genau k dieser Hypothenusen, die
zusammen den Polygonzug bilden, der die Kurve annähernd beschreibt. Zählt man die
Längen Li dieser Teilstrecken zusammen, so ergibt sich eine allgemeine Formel zur
Berechnung der Länge stetiger Kurvenstücke im R2 auf dem Intervall [a,b]:
Sei Pk ein wie oben verdeutlichter Polygonzug, so gilt für die Länge L(Pk) dieses
Polygonzugs:
k
k
i 1
i 1
L( Pk ) Li
ba i
i 1
(b a) a
f (b a) a f
k k
k
2
12
2
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Allgemeine Formel zur Unterteilung eines Rotationskörpers in Trapeze
Mit Hilfe der Längen Ln der Teilstrecken der Polygonzüge kann nun durch n-schrittige
Drehung um die y-Achse ein Körper definiert werden, dessen Oberfläche in Abhängigkeit
von n und k annähernd so groß ist wie die Oberfläche des Rotationskörpers der durch
Rotieren der tatsächlichen (nicht durch einen Polygonzug angenäherten) Funktion entsteht.
Die folgende Abbildung zeigt dies anhand
des Rotationsparaboloids.
Aus der Abbildung ist ebenfalls erkennbar,
daß bei dieser Art der Annäherung
gleichschenklige Trapeze entstehen,
dessen Schenkel jeweils die Länge einer
Teilstrecke des Polygonzugs haben, durch
die die Funktion zuvor angenähert wurde.
Die Grundseiten haben jeweils die Länge
einer Seite des n-Ecks, das bei der
Rotation des Polygonzugs entsteht.
Trapeze, die gemeinsam auf einer Ebene liegen, d.h. ihre Grundseiten gehören dem gleichen
n-Eck an, haben dann auch die gleiche Größe.
Mit Hilfe dieser Feststellungen ist es uns nun möglich, die Flächen der Trapeze zu bestimmen
und damit eine Näherung für den Oberflächeninhalt zu geben.
Für den Radius des i-ten n-Ecks gilt dann:
i
ri (b a ) a
k
Die Variable k bezeichnet wie auch oben bereits eingeführt die Genauigkeit der
Polygonzugapproximation.
Damit haben die Schenkel des i-ten n-Ecks die folgende Länge:
si 2ri sin
n
Um nun den Flächeninhalt des Trapezes zu berechnen, bedienen wir uns der folgenden
Formel:
s s
Ai i i 1 h
si
2
Mit Hilfe der Skizze rechts läßt sich die Höhe anhand des Satzes von
Pythagoras wie folgt bestimmen:
s s
h L2i i i 1
2
Li
Li
h
2
si-1
si si 1
2
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Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Wir werden nun durch Umformung versuchen, die Formel zur Berechnung der Fläche eines
Teiltrapezes zu vereinfachen:
2ri sin n 2ri 1 sin n
2
sin n ri ri 1
si si 1
2
sin n ki (b a) a i k1 (b a) a
sin n 2ik1 (b a) 2a
sin 2 n ri ri 1
si si 1
sin 2 n 1k (b a )
si si 1 2
bk a sin 2 n
2
4
Damit ergibt sich für die Flächenformel des Trapezes nach Einsetzen aller Variablen:
Ai sin n 2ik1 (b a) 2a
2
bk a 2 f ki (b a) a f ik1 (b a) a 2 bk a 2 sin 2 n
sin n 2ik1 (b a) 2a
bk a 2 bk a 2 sin 2 n f ki (b a) a f ik1 (b a) a 2
sin n 2ik1 (b a) 2a
bk a 2 cos 2 n f ki (b a) a f ik1 (b a) a 2
Bedenkt man nun noch, daß die Trapeze, deren Grundseiten gemeinsam ein n-Eck bilden, alle
gleich groß sind (also n Trapeze mit gleicher Größe) und summiert man dann über alle i, d.h.
man zählt die Flächeninhalte der Trapeze aller „Ebenen“ zusammen, dann führt das zu
folgender Formel für den Flächeninhalt der Triangulation Fn :
k
T Fn nAi
i 1
k
n sin
i 1
n
2ik1 (b a) 2a bk a 2 cos 2 n f ki (b a) a f ik1 (b a) a 2
Vorerst wollen wir annehmen, k und n mögen in gleicher Weise gegen Unendlich streben
(also: k=n). Im Kapitel „Triangulation durch Dreiecke“ gehen wir, bereichert mit den
Kenntnissen des nächsten Kapitels, darauf ein, warum es bei der Unterteilung in Trapeze
nicht darauf ankommt, in welcher Weise k und n verlaufen.
14
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Anwendung der entwickelten Formel
Wir wollen nun beginnen, diese Formel auf alle genannten Körper anzuwenden und die
ermittelten Werte mit den tatsächlichen Oberflächeninhalten zu vergleichen, die wir über
Integrale oder bekannte Formeln aus der Geometrie berechnen werden.
Kegelmantel
Gegeben: S x, y, z R 3 | x 2 y 2 z 2 0, 0 z 1
Die Funktion, die beim Kegel rotiert werden muß
ist linear, nämlich genau die Winkelhalbierende
der Koordinatenachsen:
f ( x) x
Die Funktion soll im Intervall x [0,1] um die zAchse rotiert werden, da die Grundfläche des
Kegels einen Radius von 1 haben soll.
Setzt man die Intervallgrenzen in die oben hergeleitete
Summenformel ein, so ergibt sich der Ausdruck
k
T Fn n sin
i 1
n
2ik1 1k 2 cos 2 n f ki f ik1 2
Da nun f ( x) x folgt:
k
T Fn n sin
i 1
k
n sin
i 1
k
n sin
i 1
n sin
n
n sin
n sin
n
n
n
n
n
2ik1 1k 2 cos 2 n ki ik1 2
2ik1 1k 2 cos 2 n 1k 2
2ik1 1k 2 1 cos 2 n
k
1 cos 2 n
i 1
2 i 1
k2
Nebenrechnung:
k
Behauptung: 2i 1 k 2
i 1
1
Ind.anf.für k=1: 2i 1 2 1 12
i1
k 1
Ind.schr.: 2i 1
i1
k
1 cos 2 n k12 2i 1
i 1
1 cos
Sei nun T S , Fn : lim T Fn
2
n
k
2i 1 2k 2 1
i1
2
2
k 2k 1 k 1
(siehe Nebenrechnung)
q.e.d.
n
dann ist T S ,{Fn } lim n sin n 1 cos 2 n 2 .
n
Dies bestätigt die Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Kegels: A( S ) rs , wobei
s h2 r 2 11 2 .
15
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Rotationsparaboloid
Gegeben: S x, y, z R 3 | x 2 y 2 z 0, 0 z 1
Beim Rotationsparaboloid wird die
Normalparabel f ( x) x 2 um die z-Achse
im Intervall x [0,1] rotiert.
Durch Einsetzen der Grenzen in die
Summenformel ergibt sich
k
T Fn n sin n 2ik1
i 1
k
n sin
i 1
n
1k 2 cos 2 n f ki f ik1 2
2ik1 1k 2 cos 2 n 2ik1
2
4
Der Grenzwert T S ,{Fn } lim T Fn 5.3304 wurde von uns mit Hilfe eines Programms
k
n
ermittelt, das im Anhang näher beschrieben wird.
Wir ermitteln nun den tatsächlichen Flächeninhalt des Rotationsparaboloids mit Hilfe der aus
der Integralrechnung gegebenen Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines
Rotationskörpers (Rotation um die z-Achse): A( S ) 2
f (b )
f 1 ( x) 1 f 1 ( x)
2
dx
f (a)
Integrationsgrenzen: x 0 y 0 ; x 1 y 1
1
f 1 ( x) x
2 x
1
1
0
0
A( S ) 2 x 1 41x dx 2 x 14 dx
Zum besseren Verständnis führen wir hier nochmals die Formel für die Substitution an:
Sei u g (x ) , dann gilt:
b
g (b)
a
g (a)
f ( g ( x)) g ' ( x)dx f (u)du
Setzt man u : x 14 als innere Funktion und
1
A( S ) 2 x 14 dx 2
0
5
4
1
u als äußere Funktion, so ergibt sich:
u du 2
2
3
5
u3
1
4
4
4
Dies bestätigt unsere Näherung über die Summenformel.
16
43
5
4
3
1
4
3
5.3304
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Zweischaliges Hyperboloid (Nordhälfte)
Gegeben: S x, y, z R 3 | x 2 y 2 z 2 1, 1 z 2
Rotiert wird bei diesem Körper die
Hyperbel f ( x) x 2 1 im Intervall
x [0, 3 ] .
Der Grenzwert
k
T S ,{Fn } lim T Fn lim n sin
k
n
2 i 1
n
k
k
n i 1
3
cos
3
k
2
2
n
2
2
2
3 ki 1 3 i k1 1 ist mit
Hilfe eines Programms (siehe Anhang) folgendermaßen ermittelt worden:
T S ,{Fn } 11.6635
Auf den gleichen Wert kommt man durch Integration.
f (b )
A( S ) 2
f 1 ( x) 1 f 1 ( x)
f (a)
f
1
( x)
x 2 1
x
x 1
2
2
dx (wie bereits oben eingeführt), wobei
.
2
Die Mantelfläche A(S ) ist also gleich dem Integral 2 x 2 1 1
x2
x 2 1
dx was nach
1
2
Umformung das Integral 2 2 x 2 1dx ergibt.
1
Gegeben sind nun die Stammfunktionen
und
dx
ax2 bx c
1
a
ln
2 axb
2 a
ax 2 bx c dx
2 axb
ax2 bxc
4a
4 acb 2
8a
dx
ax2 bxc
ax 2 bx c (gilt, da 4ac b 2 0 ).
(siehe [5] S.836)
Mit a=2, b=0 und c=-1 ergibt sich dann
2
2 2 x 2 1dx
x 2 x 2 1
2
1
2
12
7
1
2
2
dx
2 x 2 1
1
8
2 2 x 2 1dx
ln
1
x 2 x 2 1
2
12
2 1 ln 8 7 2
17
1
2
ln
2x
2
7 12
2x 2 1
1
8
ln
2 1
8 7
11.6635
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Einschaliges Hyperboloid
Gegeben: S x, y, z R 3 | x 2 y 2 z 2 1, 1 z 1
Das einschalige Hyperboloid entsteht durch
Rotation zweier Hyperbeln um die z-Achse
im Intervall x [1, 2 ] .
f1 ( x ) x 2 1
f 2 ( x) x 2 1
Zur Berechnung der Oberfläche betrachten wir nur
f1 und verdoppeln das Ergebnis, da f2 die gleiche
Kurvenlänge aufweist (Spiegelung an der x-Achse).
Die Summenformel ergibt näherungsweise das
Ergebnis T S ,{Fn } 15.9752 .
Zur Überprüfung dieses Wertes verwenden wir
wieder das Integral
f (b )
A( S ) 2
1
f ( x) 1 f ( x)
f (a)
f
1
( x)
1
x2 1
2
dx .
x
x2 1
1
A( S ) 2 2 2 x 2 1dx
0
Die beim zweischaligen Hyperboloid verwendete Stammfunktion kann in diesem Fall nicht
angewendet werden, da 4ac b 2 0 (siehe [5] S. 836). Deshalb verwenden wir für 2dx
die Stammfunktion
Mit
1
a
arsinh
2 ax b
4 ac b 2
ax 2 bx c dx 2ax b
1
A(S ) 4 2 x 2 1dx 4 4 x
0
2
4
3
2
2 1 2 arsinh
3
1
2
arsinh
.
ax2 bx c
4a
2 x 2 1
8
12
ax bx c
4 acb 2
8a
1
2
arsinh
2
2
15.9752
18
dx
ax2 bx c
4x
8
1
0
und a 2, b 0, c 1 gilt dann:
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Torus
3
Gegeben: S
x, y, z R |
x
2
2
y 2 2 z 2 1, 0 z 1
Der Torus wird durch Rotation eines entlang der
x-Achse verschobenen Halbkreises erzeugt. x muß
hierbei Element des Intervalls [1,3] sein.
f ( x) 1 x 2
2
Auch hier werden lediglich die Grenzen
und die Funktionsgleichung in die
hergeleitete Summenformel eingesetzt, und
der Wert wird mit dem Computer ermittelt.
So ergibt sich T S ,{Fn } 39.4784 .
r
Elementargeometrisch berechnet sich die Oberfläche
eines (ganzen) Torus durch die Formel A( S ) 4 2 Rr
(siehe [5] S.542), wobei r der Radius des Kreises ist, der
beim Torus rotiert wird ( r=1) und R bezeichnet den
Rotationsradius (R=2).
Somit ist A(S ) 12 4 2 2 1 4 2 39.4784
R
Nun berechnen wir noch den exakten Flächeninhalt über
Integration:
Bildet man von der Funktionsgleichung die Umkehrfunktion
1
( f ( x) 1 z 2 ), so fällt auf, daß dies ein Halbkreis ist,
der entlang der y-Achse verschoben wurde und nicht wie
erwartet die Spiegelung der Funktion f an der
Winkelhalbierenden der Koordinatenachsen. Dies passiert
genau deshalb, weil der Halbkreis nicht umkehrbar ist, wie
die Abbildung rechts zeigt. Daher fallen wie auch beim
Umkehren der quadratischen Parabel einige Informationen
weg und beim Halbkreis kommen dafür andere hinzu.
2
3
sqrt(1-(x-2)**2)
sqrt(1-x**2)+2
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Daher betrachten wir nun die beiden Funktionen f1 ( z ) 1 z 2 2 und f 2 ( z ) 1 z 2 2
und rotieren diese um die x-Achse, wodurch ein ganzer Torus beschrieben wird, der die
gleiche Form und Größe wie der ursprüngliche Torus hat und nur um 90° um den
Koordinatenursprung gedreht wurde. Die neuen Integrationsgrenzen sind dann also [-1,1]
(siehe Abbildung).
19
3
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Wir berechnen nun also die Oberfläche des gesamten gedrehten Torus:
1
1
Nebenbemerkungen:
1
2
2
A(S ) 2 f1 ( z ) 1 f1 ' ( z ) dx f 2 ( z ) 1 f 2 ' ( z ) dx
2 1
1
1
1
f1 ' ( z)2 2 z 2
2
2
2 1 z
1 z 2 2 1 1z z 2 dz 1 z 2 2 1 1z z 2 dz
1
1
1
1
2
2
1 z 2 2 1 1z z 2 dz 1 z 2 2 1 1z z 2 dz
1
1
1
1
1
2
2
2 1 1z z 2 dz 2 1 1z z 2 dz 4
1
1
1
1
1 z 2
dz
4 arcsin x1 4 2 2 4 2
1
1
z2
1 z 2
dx
a2 x2
2
z2
1 z 2
f 2 ' ( z)
11z z2z 11z 2
2
2
arcsin
x
a
(Quelle: [5] S.835)
Nachtrag zur Halbkugel
Die letzten Seiten haben uns nun die Erkenntnis eingebracht, daß wir die anfangs durch
Triangulation (durch Trapeze) berechnete Oberfläche der Halbkugel auch über unsere im
Nachhinein hergeleitete allgemeine Summenformel zur Berechnung der Oberfläche von
Rotationskörpern durch Unterteilung hätten berechnen können. Dies wollen wir nun zur
Bestätigung der Formel kurz durchführen:
Sei gegeben: S x, y, z R 3 | x 2 y 2 z 2 1, 0 z 1 ,
dann rotieren wir also die Funktion f ( x) 1 x 2
im Intervall [0,1].
Durch Einsetzen in die Summenformel ergibt sich dann
k
T Fn n sin n 2ik1
i 1
1k 2 cos 2 n f ki f ik1 2
Für den Grenzwert gilt dann also: T S ,{Fn } 6.2831
20
2
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Parabolisches Prisma
Das parabolische Prisma fällt von seiner Form her völlig aus dem Konzept, da es nicht durch
Rotation einer stetigen Funktion entsteht.
Es ist gegeben: S x, y, z R 3 | y x 2 oder y 1, 1 x 1, 0 z 1
Die Mantelfläche des parabolischen Prismas berechnet sich
nun wie folgt:
A(S ) L( x 2 ) h , wobei L(x2) die Länge der Parabel x2 im
Intervall [-1:1] ist und h die Höhe des Körpers ( h=1).
1
Wir müssen also, um den tatsächlichen Inhalt zu berechnen, das Integral 2 1 4 x 2 dx lösen.
Dazu verwenden wir für
Mit
dx
ax2 bx c
ax 2 bx c dx 2ax b
1
L( x 2 ) 2 1 4 x 2 dx 2 8 x
4 x 2 1
16
die Stammfunktion
ax2 bxc
4a
4 ac8 ab
16
32
arsinh
1
4
2
1
a
dx
ax2 bxc
x
1
8x
16 0
arsinh
2 axb
4 acb 2
.
0
und a 4, b 0, c 1 ergibt sich
4 x 2 1 12 arsinh 2 x 0
1
0
was dann zu folgendem Ergebnis führt: L( x 2 ) A( S ) 5 12 arsinh 2 2.9579 .
Die Triangulation gestaltet sich nun einfach, da
wir nur die Parabel, die die Grundfläche
aufspannt, durch einen Polygonzug approximieren
und durch Multiplikation mit der Höhe einen wie
in der Abbildung links dargestellten Körper
aufspannen, der nur aus Rechtecken besteht, die ja
bekanntlich in Dreiecke unterteilt werden können.
Rechnerisch sieht das ganze dann folgendermaßen aus:
Wir bedienen uns der im Abschnitt Polygonzugapproximation hergeleiteten Formel zur
näherungsweisen Berechnung der Länge einer Kurve:
k
L( Pk )
i 1
ba i
i 1
(b a) a
f (b a) a f
k k
k
2
2
2
2
2
2
k
2 2i k
2i 1 k
2 2i k 2i 1 k
f
f
k
k2
k k
k
i 1
i 1
2.9579
Dieser Wert mußte wieder computertechnisch ermittelt werden.
2
k
21
2
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Der „Schwarzsche Zylinder“
Wir haben in den letzten Abschnitten erfolgreich die Oberflächen verschiedener Körper im R3
durch Unterteilung in Trapeze und damit im übertragenen Sinne durch Triangulation
bestimmt.
Nun stellt sich uns die Frage, ob eine Unterteilung in Dreiecke immer zwangsläufig zum
richtigen Ergebnis führt.
Hierfür hat Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) ein einfaches Gegenbeispiel anhand der
Mantelfläche eines geraden Zylinders geliefert, das wir an dieser Stelle mit Hilfe der Quelle
[2] darlegen möchten.
Dazu unterteilen wir den Zylinder in m gleich hohe
Schichten und nähern die Kreisgrundfläche des
Zylinders durch n-Ecke an.
Nun verdrehen wir jedes zweite n-Eck um den Winkel
n , so daß immer die Ecke eines n-Ecks über der Mitte
der Seite der benachbarten n-Ecke liegt.
Dadurch beschreiben wir die Mantelfläche des
Zylinders in angenäherter Form durch 2mn gleich
große Dreiecke.
Jetzt müssen wir nur noch den Flächeninhalt eines
dieser Dreiecke berechnen, um daraus den gesamten
Flächeninhalt unserer Triangulation zu ermitteln.
B
0
A
C
r
h
Definieren wir uns wie
in der Skizze dargestellt
die Seite eines n-Ecks als Grundseite
des Dreiecks, dann hat diese die
Länge 2r sin 2 AD mit n .
C
A
0 A r cos
AC 0C 0 A r r cos r 1 cos n
h
BC
m
Somit gilt laut Pythagoras für die Höhe des Dreiecks:
D
0
AB AC BC r 2 1 cos n mh
2
2
2
2
Der Flächeninhalt eines Dreiecks beträgt also r sin n r 2 1 cos n mh .
2
2
Haben wir einen Zylinder der Form Z x, y, z R 3 | x 2 y 2 1, 0 z 2 gegeben und
definieren wir Fn als die Triangulation des Zylinders, so folgt für die gesamte Fläche der
Triangulation: T ( Fn ) 2mnr sin n r 2 1 cos n mh
2
22
2
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Da unser gegebener Zylinder Z den Radius r=1 und die Höhe h=2 hat, ergibt sich also
folgender Ausdruck:
T ( Fn ) 2mn sin n
1 cos n 2 m2 2
Wir bilden nun den Grenzwert T Z ,{Fn } lim T Fn :
m
n
1 cos n 2 m2 2
lim T Fn lim 2mnsin n
m
n
m
n
lim (2n sin
m
n
m 2 1 cos n 4 )
2
n
Aus der Halbwinkelformel sin 2
1cos
2
folgt, daß 1 cos n 2 sin 2
Also ist lim m1 cos n lim m2 sin 2
2n
Wegen n sin n 2 gilt nun lim
m
2n sin 2n 2 mlim
2 n .
m
n
m
n
2
m
2
m 2 n
n
lim 2m2n 2 sin 2
m
n
2n
21n2 lim
2n
m
2
m 2 n
n
.
2n sin 2n 2 .
2
2
n
Wenn wir definieren, daß m in gleicher Weise gegen Unendlich streben soll wie n, also m:= n,
so gilt für den Grenzwert:
lim 2n sin n
n
2
2n
4 4
Denselben Wert liefert uns die Formel zur Berechnung des Zylindermantels
A( Z ) 2rh 4 .
Wenn aber m und n unabhängig gegen Unendlich streben, so ist nicht in jedem Fall
gewährleistet, daß der Ausdruck 2n sin
2
n
2
nm2 4 auch wirklich konvergiert.
Wenn nun zum Beispiel m:= n3 ist, so divergiert
nicht. Also muß
m
n2
m
n2
und somit existiert auch der Grenzwert
gegen Null konvergieren, damit der Grenzwert T Z , Fn und der
tatsächliche Inhalt A(Z ) übereinstimmen.
Nun stellt sich uns die Frage, ob denn T Z , Fn gegen jeden beliebigen Wert konvergieren
kann, also ob für alle K>0 eine Triangulation existiert, so daß T Z ,{Fn } K A( Z ) . Dazu
betrachten wir die Fälle 0 K 1, K 1.
1) K<1: A( Z ) T Z ,{Fn }
4 2 lim
m
n
2
2
2
lim
2
2
nm2 4 2
2
2
lim
4
4
m
2
m n
n
m
2
m n
n
Da beide Seiten der Ungleichung positiv sind, darf man sie quadrieren:
2
4 2 lim nm2 4
0 lim
m
n
m
2
m n
n
Da jedoch m, n N1 , kann der rechte Term der Ungleichung niemals kleiner als 0 werden.
Also gilt in jedem Fall T Z ,{Fn } A(Z ) .
23
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
2) K 1 : Dazu verwenden wir die Umformungen von Fall (1) mit umgekehrten
Relationszeichen und kommen zu dem Schluß : 0 lim nm2 . Da dies unbedingt der Fall
m
n
ist, kann also für alle K 1 eine Triangulation gefunden werden, so daß
T Z ,{Fn } K A( Z ) gilt.
0 ist, da dann
m
2
m n
n
Bemerkung : Zu K=1 gehört nun genau die Triangulation, bei der lim
nämlich 2 lim
2
2
m
n
nm2 4 genau gegen 4 konvergiert.
In den nun folgenden Graphiken ist der eben geschilderte Sachverhalt verdeutlicht:
Man kann erkennen, daß der Winkel der Teildreiecke der Polyederfläche zur Oberfläche des
Zylinders immer größer werden und daß jeweils ein Winkel eines jeden Dreiecks sich einem
Wert von beliebig stark zu nähern scheint. Daraus folgt dann, daß der
Inhalt der Polyederfläche immer größer wird, wenn man m und n in
ähnlicher Art gegen Unendlich streben läßt, wie oben dargestellt.
T(Fn)
In dieser Graphik wurden Verlaufskurven
erstellt für bestimmte Verhältnisse
zwischen m und n bei stärker werdender
Annäherung.
So wurde in einem Fall m=n angenommen
und im anderen Fall m=n2. Wie man sieht,
konvergiert der Graph für m=n gegen den
korrekten Wert 4, während die anderen
Kurven zwar konvergieren, jedoch gegen
völlig andere Werte.
m=n
m=n2
m=0.5n2
30
25
20
15
10
5
10
15
20
25
30
35
40
45
n
24
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Definition des Inhalts einer glatten Parameterfläche
Mit dem soeben aufgezeigten Beispiel des Schwarzschen Zylinders wurde gezeigt, daß eine
Triangulation eines räumlichen Flächenstücks nicht zwangsläufig zum gewünschten Ergebnis
führen muß. Es wurde sogar gezeigt, daß man nicht einmal dann von der Richtigkeit seiner
Triangulation ausgehen kann, wenn diese gegen einen festen Wert konvergiert. Wir konnten
lediglich feststellen, daß der kleinste aller dieser Grenzwerte verschiedener Triangulationen
des gleichen Flächenstücks, d.h. das Infimum zwangsläufig dem tatsächlichen Flächeninhalt
entsprechen muß.
Also ist es nötig, eine solche einbeschriebene aus Dreiecken zusammengesetzte
Polyederfläche bestimmten Bedingungen zu unterziehen, um dennoch zum gewünschten
Ergebnis zu gelangen.
Hierzu definieren wir uns ein glattes
Flächenstück F in einem
xyz-Koordinatensystem und einen
abgeschlossenen Bereich B auf der xyEbene (schraffiert dargestellt)
zusammen mit dem Bereich B1, der den
Bereich B und alle seine Randpunkte
ganz im Inneren enthalten soll.
B1
B
Weiterhin definieren wir drei Abbildungen in
der folgenden Art und Weise:
( x, y ) : x
( x, y ) : y
( x, y ) : F ( x, y )
Bzw. wir definieren eine Vektorfunktion der
Form
x
: y
F ( x, y )
F(x,y)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
2
1.5
0.5
1
0.5
1
1.5
2
0
F
y
F(x,y)
F
y
Somit gilt für die Richtungsableitungen dieser
Abbildungen:
x 1, y 0
x 0, y 1
x Fx , y Fy
25
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Außerdem seien die Unterdeterminanten der Matrix der Richtungsableitungen
x
x x
x x
x x x
so definiert, daß A x
ist.
,
B
und
C
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Wegen A x y y x , B x y y x , C x y y x läßt sich das Kreuzprodukt der
oben definierten Vektorfunktion wie folgt umformulieren:
x y A
x y x y B
C
x y
Der Leser möge an dieser Stelle wegen der zahlreichen Definitionen nicht verzweifeln. Er
kann gewiß sein, daß diese Festlegungen zu einem späteren Zeitpunkt ihre Begründung finden
werden.
Wir setzen nun das Flächenstück F so voraus, daß jedem Punkt von B genau ein Punkt von F
entspricht (wie bereits oben in der Abbildung durch die Funktion F(x,y) verdeutlicht) und
auch umgekehrt jedem Punkt von F genau ein Punkt von B entspricht.
Desweiteren sei der Winkel so beliebig angenommen, daß 0 3 gilt.
B1
B
Wir bedecken nun wie links dargestellt den
Bereich B1 mit Dreiecken, so daß
(1) keiner der Dreieckswinkel größer als
ist (also immer <120°) und
(2) jedes Dreieck mit mindestens einem Punkt zu
B gehören muß, auf jeden Fall aber ganz im
Inneren von B1 zu liegen hat.
Damit haben wir eine Dreieckszerlegung von B1 vorgenommen.
Projizieren wir dann die Eckpunkte jedes dieser Dreiecke
auf das Flächenstück F und verbinden diese abgebildeten
Punkte jeweils wieder zu einem Dreieck, so entsteht eine
neue polyedrische Fläche GZ, die ebenfalls nur aus
Dreiecken besteht, deren Eckpunkte sämtlich auf F
liegen.
26
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Auf dieser Grundlage stellen wir nun den von uns noch unbewiesenen Satz über den Inhalt
des Flächenstücks F auf:
Satz : Gegeben sei z1 , z1 ,..., z k als eine Folge unbegrenzt kleiner werdender
Dreieckszerlegungen des Bereiches B1, d.h. von Zerlegungen, für die lk 0 strebt,
wenn mit lk die längste bei der Zerlegung auftretende Dreiecksseite bezeichnet wird.
Weiterhin sei Gk die der Zerlegung zk entsprechende, dem Flächenstück F in der eben
abgegebenen Weise einbeschriebene polyedrische Fläche und Jk ihr Flächeninhalt als
Summe der Flächeninhalte der Teildreiecke.
Dann strebt für k die Folge der Zahlen Jk gegen einen bestimmten Grenzwert J,
der gleich der tatsächlichen Fläche von F über dem Bereich B, also dem
Gebietsintegral über B ist:
A 2 B 2 C 2 db x y db
B
B
Beweis :
Es ist zu zeigen, daß für beliebig angenommene 0 sich ein 0 bestimmen läßt, so
daß für jede Zerlegung z, bei der alle Dreiecksseiten < sind, gilt:
Jz J ,
daß also der Inhalt der polyedrischen Fläche Gz dem tatsächlichen Inhalt J der Fläche F
beliebig nahe kommt.
B
B1
B2
Zunächst denke man sich den Bereich B2 so bestimmt,
daß jeder in ihm enthaltene Punkt zum nächsten Punkt
aus B maximal einen Abstand einer positiven
Konstante hat.
Mit der Bedingung, daß alle Dreiecksseiten kleiner als
sein mögen hat man dann also gewährleistet, daß
sämtliche Dreiecke vollständig in dem
notwendigerweise abgeschlossenen Bereich B2 liegen.
Wir numerieren nun alle durch den Bereich B2 erfaßten Dreiecke
über den Index 1,2,..., n , wobei n die Zahl der Dreiecke
bezeichnet.
Die Koordinaten der Ecken des -ten Dreiecks auf der xy-Ebene
bezeichnen wir mit x , y , x/ , y/ , x// , y// , ihre Seiten
x
//
, y//
s/
s
ausgehend von Punkt x , y mit s und s/ und deren Winkel
zur x-Achse mit und . In der Skizze rechts ist dies nochmals x , y
veranschaulicht. Wichtig ist, daß die Seiten des Dreiecks so
bezeichnet werden, daß < ist.
Damit lassen sich aus dem Punkt x , y mühelos die Koordinaten der anderen beiden
Punkte bestimmen:
x/ x s cos
y/ y s sin
x// x s/ cos
y// y s/ sin
27
x
/
, y/
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Auf dieser Grundlage können wir die Koordinaten der Ecken des dem -ten Dreieck
entsprechenden Dreieck auf der polyedrischen Fläche Gz mit Hilfe der Abbildungen ,
und angeben:
Ecke 1: x , y , x , y , x , y x , y , F x , y
Ecke 3: x
, x , y x
Ecke 2: x/ , y/ , x/ , y/ , x/ , y/ x/ , y/ , F x/ , y/
//
, y , x , y
//
//
//
//
//
//
//
//
, y , F x , y//
Unter der Bedingung, daß < ist, berechnet sich dann der Flächeninhalt des -ten
Dreiecks auf der xy-Ebene durch die Formel 12 s hs mit hs s/ sin .
Laut Additionstheoremen gilt dann 12 s s/ cos sin sin cos .
Der Term in der Klammer entspricht nun genau der Determinante
cos
cos
sin
, was
sin
für uns später noch von Bedeutung sein wird.
Wie berechnet sich nun aber der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks der
Polyederfläche Gz ?
Hierzu benutzen wir den
Satz über den Flächeninhalt eines Dreiecks im R3: xy yz xz
Also in Worten: Die Fläche eines Dreiecks im R3 wird berechnet, indem man die
Wurzel aus der Summe der Quadrate der Flächeninhalte der Dreiecke bildet, die
durch Projektion des Dreiecks an den Koordinatenebenen entstanden sind.
Dieser Satz wird später bewiesen werden.
2
2
2
Zur Berechnung der Projektionen ziehen wir folgenden Hilfsbeweis zurate:
Hilfsbeweis :
Zu zeigen: Die Fläche eines Parallelogramms, das in der xy-Ebene durch die
Vektoren v1 a, b, v2 c, d aufgespannt wird berechnet sich durch Lösung der
a b
Determinante M
.
c d
Zunächst drehen wir das Parallelogramm so, daß v1 genau auf der x-Achse liegt und
der so entstehende Vektor die Form v1/ 0, a 2 b 2 hat. Der zweite Vektor sei nun
mit v2/ c, d gegeben. Dann hat die so entstehende Matrix die Form
0
a 2 b 2
M
M O , wenn mit O diejenige orthogonale Matrix bezeichnet
c
d
wird, durch die die Drehung hervorgerufen wurde. Aufgrund ihrer Orthogonalität gilt
dann O 1 (die letzten Aussagen wurden der Quelle [6] entnommen und deren
ausführliche Erklärung würde hier den Rahmen sprengen).
Die Determinante von M‘ berechnet sich nun durch M ' c' a 2 b 2 , was genau der
Flächeninhalt des durch die Vektoren v1/ und v2/ aufgespannten Parallelogramms ist
(c‘ entspricht der Höhe und a 2 b 2 bezeichnet die Grundseite).
Wegen M M O M O M errechnet sich also der Flächeninhalt des
ursprünglichen Parallelogramms durch die Determinante von M. q.e.d. (Hilfsbeweis)
28
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Mit dem soeben bewiesenen Satz haben wir nun die Möglichkeit, den Flächeninhalt der
Dreiecksprojektionen auf die Koordinatenebenen zu berechnen, und zwar wie folgt:
Interpretiert man die Seite des -ten Dreiecks der
Polyederfläche Gz als Vektor, so ergibt sich dieser
wie in der Nebenrechnung verdeutlicht durch
x/ , y/ x , y
s x/ , y/ x , y x/ , y/ x , y
x / , y / x , y
Nebenrechnung:
x , y
x/ , y/
s x/ , y/ x , y
s
Für die Projektionen wird dann immer eine Koordinate außer Acht gelassen, so daß sich
der Flächeninhalt beispielsweise durch
x/ , y/ x , y x/ , y/ x , y
xy
, wenn mit xy die Projektion des
2
//
//
//
//
x , y x , y x , y x , y
Dreiecks auf die xy-Ebene bezeichnet wird.
Analog gilt dies für yz und xz .
Um weiter fortfahren zu können, benötigen wir den
Mittelwertsatz der Differentialrechnung für mehrere Veränderliche
(Quelle [5] S.619):
z f x1 ,..., xn sei an der Stelle x10 ,..., xn0 stetig differenzierbar. Alle Punkte
x
0
1
h1 ,..., xn0 hn mit 0 1 seien im Definitionsbereich von f. Dann gibt
es ein mit 0 1 , so daß gilt:
f x10 h1 ,..., xn0 hn f x10 ,..., xn0 f xi x10 h1 ,..., xn0 hn hi
n
i 1
Da x/ x s cos und y/ y s sin ( h1 ist also gleich s cos und
h2 s sin ) läßt sich dieser Satz auf die in der oben beschriebenen Matrix für die
Dreiecksprojektionen anwenden:
x/ , y/ x , y s cos x x s cos , y s sin
s sin y x s cos , y s sin
Wenn nun eine mit s beliebig klein ausfallende Korrektion bezeichnet, so läßt sich
der rechte Term in der Weise vereinfachen, daß
x/ , y/ x , y s x x , y cos y x , y sin
Auf gleiche Art kann man die anderen Komponenten der Matrix umformen und man
erhält so
s x cos y sin 1 s x cos y sin 2
xy
2 /
, wobei i
s x cos y sin 3 s/ x cos y sin 4
Korrektionen in gleicher Art wie vorher bedeuten.
s und s/ können nun durch Determinantenumformung vor die Determinante
geschrieben werden. Führt man nun eine weitere Korrekturzahl ein, dessen Wert bei
beliebig klein werden Dreiecksseiten unter einem konstanten Wert bleibt, so kann man
29
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
nach Addition dieser Zahl auf die i in der Determinante verzichten und erhält den
wesentlich einfacheren Ausdruck
x cos y sin x cos y sin
1
xy s s/
.
x cos y sin x cos y sin
2
Auch dieser Ausdruck läßt sich weiter vereinfachen, indem wir folgende Umformung
beweisen:
1a 2b 1c 2 d 1 2 a c 1 2
,
0
3 a 4b 3c 4 d 3 4 b d 3 4
Hilfsbeweis :
1a 2b 1c 2 d
1a 2b3c 4 d 1c 2 d 3 a 4b
3 a 4b 3c 4 d
1a3c 1a4 d 2b3c 2b4 d
1c3 a 1c4b 2 d3 a 2 d4b
fällt weg
14 ad 2 3bc 14bc 2 3 ad
14 2 3 ad bc
1 2 a c
3 4 b d
q.e.d. (Hilfsbeweis)
Für xy gilt dann also:
xy
x x cos
1
s s/
y y cos
2
sin
sin
Diese beiden Determinanten in der Gleichung sind uns nun bereits vom Anfang des
Beweises bekannt. So haben wir C
cos
cos
x x
definiert und die Determinante
y y
sin
cos sin sin cos genau gleich dem Sinus des Winkels
sin
zwischen den Dreiecksseiten s und s/ ist, der in der Formel zur Berechnung des -ten
Dreiecks auf der xy-Ebene enthalten ist: 12 s s/ cos sin sin cos
Damit bieten sich weitere Möglichkeiten zur Vereinfachung der Gleichung:
x x
1
xy s s/ cos sin sin cos
cos sin sin cos
y y
2
C , wenn man cos sin sin cos setzt, was wiederum ein Wert ist, der
/
/
für kleiner werdende Dreiecke gegen Null strebt.
Auf gleiche Weise kann man dann yz und xz umformen, so daß
//
///
yz A und xz B .
30
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Bevor wir nun damit beginnen können, den Flächeninhalt des Dreiecks herzuleiten,
müssen wir noch den bereits aufgeführten Satz über den Flächeninhalt eines Dreiecks
2
2
2
im R3 mit xy yz xz beweisen.
Hilfsbeweis :
T
T
Dazu seien zwei Vektoren v1 ,v2 R 3 gegeben, mit v1 a, b, c , v2 d , e, f .
Projiziert man diese Vektoren auf die Koordinatenebenen, so kann man die so
entstehenden Vektoren als Vektoren des R2 wie folgt vereinfachen:
T
T
xy-Ebene: v1/ a, b , v1/ d , e
yz-Ebene: v1// b, c , v1// e, f
T
T
xz-Ebene: v1/// a, c , v1/// d , f
Daß die so aufgespannten Dreiecke jeweils die Flächeninhalte
a b
b c
a c
haben, wurde bereits bewiesen.
A 12
, B 12
, C 12
d e
e f
d f
Es ist zu bemerken, daß die Vektoren v1 und v2 ein Parallelogramm aufspannen, das
bekanntermaßen den Flächeninhalt FP v1 v2 sin (v1 , v2 ) v1 v2 hat.
Das durch die Vektoren aufgespannte Dreieck hat dann also den Flächeninhalt
bf ce
2B
1
1
1
2 v1 v2 2 cd af 2 2C A 2 B 2 C 2
ae bd
2A
T
T
Dies entspricht jedoch genau unserer geäußerten Vermutung, daß der Inhalt des
Dreiecks im R3 gleich der Wurzel der Quadrate der Inhalte der Projektionen auf die
Koordinatenebenen ist.
q.e.d. (Hilfsbeweis)
Und nun endlich haben wir uns die Mittel geschaffen, den Flächeninhalt des über dem
-ten Dreieck auf polyedrischen Fläche abgebildeten Dreiecks durch die Formel
xy 2
yz 2
xz 2
darzustellen.
C A B A B C
Da der Ausdruck eine an jeder Stelle stetigen Funktion mit drei
/
2
//
2
///
/ 2
// 2
/// 2
2
// 2
/// 2
/ 2
Veränderlichen darstellt, können wir nun eine weitere Korrektion einführen, deren Wert
in Abhängigkeit der Länge der Dreiecksseiten unter jede beliebige Schranke gedrückt
werden kann, so daß A 2 B 2 C 2 ist.
Der Inhalt der gesamten polyedrischen Fläche Gz wird dann also wie folgt gebildet:
n
n
n
1
1
1
J z A 2 B 2 C 2
Damit ist dann auch schon der Satz, der hier gerade von uns bewiesen wird, bestätigt, läßt
sich doch nun ein positives (Inhalt der Dreiecke auf der xy-Ebene) so wählen, daß
n
n
sowohl als auch A2 B 2 C 2 A2 B 2 C 2 .
2
2
1
1
B
n
1
2
Somit ist J z J J z J
2
31
Jz J
q.e.d.
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Voraussetzungen für eine Triangulation
Nun stellt sich noch die Frage, an welcher Stelle des Beweises die Bedingung 0 3
vorausgesetzt werden muß, also daß die Winkel der Dreiecke möglichst im Intervall
, liegen sollten.
Dazu erinnern wir uns an den Ausdruck
x x
1
s s/ cos sin sin cos
cos sin sin cos
2
y y
der den Inhalt der Projektion eines Dreiecks der Polyederfläche auf die xy-Ebene darstellt
(ähnliches gilt natürlich für die Projektionen auf die anderen Koordinatenebenen). Besonderes
xy
Augenmerk sei hierbei auf den Korrekturterm
cos sin sin cos
gerichtet, dessen Nenner
genau den Sinus des Winkels zwischen den Schenkel s und s/ bezeichnet.
Geht dieser Winkel gegen einen der Werte 0 oder , so nähert sich der Sinus dem Wert 0.
Strebt der Wert im Nenner jedoch stärker gegen Null als der Korrekturwert im Zähler, so hat
dies die Divergenz des gesamten Ausdrucks und damit auch des Flächeninhalts der
Polyederfläche zur Folge.
Weiterhin erinnern wir uns an die Umformung
x cos y sin x cos y sin cos
x cos y sin x cos y sin cos
sin x x
.
sin y y
Die linke Determinante des rechten Terms bezeichnet genau wieder den Sinus des Winkes
zwischen den Schenkeln s und s/ den -ten Dreiecks auf der xy-Ebene. Wird dieser Wert im
Grenzfall 0, so wäre diese Umformung nicht mehr äquivalent und würde unseren Beweis
zunichte machen und falsche Ergebnisse liefern.
Der Sinus des Winkels wird aber genau dann 0, wenn sich der Winkel beliebig nah den
Werten 0 oder nähert.
Nehmen wir also unseren Dreieckswinkel
solcher Fall nicht eintreten kann.
3
2
3
an, so können wir sicher sein, daß ein
Abschlußerklärung
Ist ein räumliches Flächenstück F in der eben dargelegten Art und Weise gegeben, so
bezeichnet man es als meßbaren Bereich, dem ein Inhalt J zukommt, der durch das
bereits verwendete Integral
A 2 B 2 C 2 db x y db gemessen wird.
B
B
32
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Triangulation durch Dreiecke
Da wir nun im Verlauf des letzten Abschnitts gezeigt haben, daß eine Triangulation
bewiesenermaßen nur unter bestimmten Bedingungen zum Ziel führt, wollen wir noch
ausführen, warum die Unterteilung in Trapeze so zuverlässig zum Erfolg geführt hat.
Einbeschriebene Trapeze haben den Vorteil, daß sich unabhängig von der Art, in der sich k
und n gegen Unendlich bewegen, ihr Winkel zur Oberfläche annähernd gleich bleibt, oder daß
in dem durch ein einzelnes Trapez beschriebenen Flächenteilstück immer eine
Tangentialebene gibt, die parallel zum Trapez verläuft. Im Fall der Dreiecke kann sich ihr
Winkel zur Oberfläche sogar beliebig dem Wert 2 nähern. Daher kommt es auch, daß der
Oberflächeninhalt der Polyederfläche gegen Unendlich streben kann, was bei den Trapezen
nicht der Fall ist.
Wir versuchen nun auf ähnliche Weise wie beim Schwarzschen Zylinder auch für die anderen
Körper (das parabolische Prisma wird hierbei ausgeklammert, da es kein Rotationskörper ist)
Beispiele zu finden.
Hierzu leiten wir zuerst eine Formel her, die den Mantelflächeninhalt eines in Dreiecke
unterteilten Kegelstumpfes berechnet.
Dazu stellen wir uns zwei n-Ecke mit unterschiedlichen
Radien r und R vor, welche genau um die Höhe H
voneinander entfernt sind und deren Mittelpunkte genau
übereinander liegen. Nun drehen wir eins der n-Ecke um
und verbinden jede Ecke mit den Endpunkten der nun genau darunterliegenden n-Ecksseite
des anderen n-Ecks zu Dreiecken.
Die Sehnen dieser n-Ecke haben dann die Längen
s R 2 R sin n
h1
s r 2r sin n
lR
Die in der Skizze verdeutlichte Strecke l, d.h., der maximale Abstand zwischen n-Ecksseite
und ursprünglichem Kreisbogen beträgt dann bei beiden n-Ecken
l R R R cos n
lr r r cos n
Nun haben zwei benachbarte Dreiecke unterschiedliche Höhen, die sich laut Pythagoras mit
h1
l R (r R)2 H 2
R cos n r 2 H 2
berechnen lassen.
h2 lr ( R r ) H R r cos n H
Dann kann man leicht die Flächeninhalte der benachbarten Dreiecke berechnen:
A1 12 s R h1
2
2
2
2
A2 12 sr h2
Da nun der Kegelstumpf durch genau 2n Dreiecke angenähert wurde, läßt sich der gesamte
Mantelinhalt mit
Ai nA1 nA2 n sin n r
errechnen.
R r cos n 2 H 2 n sin n R R cos n r 2 H 2
33
n
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Nach Herleitung dieser Formel zur Berechnung des Flächeninhalts einer durch Dreiecke
angenäherten Mantelfläche eines Kegelstumpfes läßt sich daraus nun mühelos eine Formel
entwickeln, mit der man die Oberfläche einer in Dreiecke zerlegten Oberfläche eines
beliebigen Rotationskörpers einer stetigen Funktion berechnen kann, was wir schon in den
vorigen Kapiteln anhand einbeschriebener aus Trapezen bestehenden Polyederflächen
durchgeführt haben.
Zur Erinnerung: Die Funktion, durch deren Rotation der Körper entsteht, wird durch einen
Polygonzug entsprechend den Ausführungen zu Anfang des Kapitels Triangulation
angenähert, der aus k Teilstrecken besteht. Diese Funktion wird dann in n Schritten rotiert, so
daß dadurch mehrere übereinander liegende regelmäßige n-Ecke mit verschiedenen Radien
entstehen.
Dreht man nun wie beim
Schwarzschen Zylinder jedes zweite
n-Eck um n , so daß dessen Ecke
genau über der Mitte der Seite des
darunterliegenden n-Eck liegt, und
verbindet man die Ecken der
benachbarten n-Ecke so, daß Dreiecke
entstehen, so hat man auf diese Weise
eine Triangulation der Oberfläche des
gegebenen Rotationskörpers
durchgeführt.
So können nämlich R und r aus der oben hergeleiteten Formel als benachbarte Radien der
durch Rotation des Polygonzuges entstandenen n-Ecke aufgefaßt werden:
i
ri (b a) a
,
k
R ri 1
wenn man a und b als die Grenzen des Intervalls annimmt, über dem die Funktion rotiert wird
und das in k gleiche Abschnitte unterteilt wurde.
Die Höhe H läßt sich über die Funktionswerte beschreiben:
H f (ri ) f (ri 1 )
Damit erhält man durch Summation aller Dreiecke des gesamten Körpers die Formel
T Fn n sin
n
n sin
k
r r
i 1
n
i 1
i
ri cos n f (ri ) f (ri 1 )
2
k
r r
i 1
i 1
i 1
2
cos n ri f (ri ) f (ri 1 )
2
2
Trotz der Länge dieser Formel gibt sie uns doch die Möglichkeit, auf einfache Weise durch
Festlegen der Variablen k und n eine Triangulation zu erstellen und deren Flächeninhalt zu
berechnen (und wieder kommt der Computer zu Wort).
34
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Anwendung der Triangulation
Um nicht nochmals jeden einzelnen Körper aufführen zu müssen, beschränken wir uns darauf,
die Grenzwertentwicklung für bestimmte Verhältnisse zwischen k und n anhand von
Verlaufskurven darzustellen, was einen wesentlich höheren Informationswert hat.
Wir werden nun Fälle ermitteln, bei denen trotzdem k und n gegen Unendlich streben, ähnlich
wie beim Schwarzschen Zylinder der Inhalt der Polyederfläche im Grenzfall nicht
zwangsläufig dem Inhalt der gewählten Fläche entspricht.
Eine ähnliche Verlaufskurve ist uns bereits vom Schwarzschen Zylinder bekannt. Die rechts
dargestellten Graphen bezeichnen jedoch die Flächeninhalte von Triangulationen der Fläche
des Rotationsparaboloids bei verschiedenen Verhältnissen zwischen k und n.
Für k=n strebt der Flächeninhalt dem
korrekten Wert entgegen (bei der
Zerlegung in Trapeze haben wir bereits
den exakten Wert der Oberfläche mit
Hilfe der Integralrechnung bestimmt).
Hat n jedoch die Potenz 2, so strebt der
Inhalt zwar einem bestimmten Wert
entgegen, jedoch liegt dieser über dem
tatsächlichen Inhalt.
Im Fall der dritten Potenz divergiert der
Wert gänzlich.
16
14
12
k=n2
10
k=0.03n3
8
k=0.5n2
6
k=n
4
2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Wir haben nun bei allen Rotationskörpern die Variablen k und n im Verhältnis k=0.03n3
gegen Unendlich streben lassen. Um den Grad der Divergenz nicht abhängig von
tatsächlichen Flächeninhalt des Körpers zu lassen, bezeichnet die y-Achse der folgenden
Graphik den Quotienten aus angenähertem und tatsächlichem Inhalt TA((FSn)) . Dadurch
vergleichen wir praktisch die Körper so, als hätten sie alle den Flächeninhalt 1.
9
Einschaliges Hyperboloid
8
7
6
5
Torus
4
Zweischaliges Hyperboloid
Kegel
3
Rotationsparaboloid
Kugel
2
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
n
Aus dieser Graphik können wir nun erkennen, daß ein direkter Zusammenhang zwischen
Krümmungsverhalten der Oberfläche des Körpers und dem Grad der Divergenz nicht
ersichtlich ist.
35
45
n
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Gesammelte Abbildungen
Die auf den nächsten Seiten folgenden Graphiken wurden mit einem eigens für dieses Projekt
geschriebenen Programm erstellt.
Programmbeschreibung „RotationskoerperApplet“
Das Programm wurde in der Hochsprache Java verfaßt, so daß es jeder unabhängig vom
Betriebssystem nutzen kann. Die einzige Bedingung ist ein Java - fähiger Browser, wie
beispielsweise der Microsoft® Internet Explorer oder der Netscape® Navigator. Das
Programm kann unter der URL
http://www.cottbus-plus.de/nickel/PraktikumAnalysis/Rotationskoerper.html
im Internet aufgerufen werden.
Anhand einer Bildschirmkopie wird nun die Benutzung des Programms beschrieben:
Wählen Sie hier den Körper, den Sie
darstellen möchten und die Art der
Triangulation.
Hier wird die Polyederfläche, die den oben
gewählten Körper beschreiben soll,
dargestellt. Ändert man etwas an den
Einstellungen, so wird die Graphik neu
aktualisiert. Dies kann bei großen Werten
für m und n in Abhängigkeit von der
Rechenleistung einige Sekunden in
Anspruch nehmen.
Lesen Sie hier die Werte für den wirklichen
Inhalt des oben gewählten Körpers und den
durch die Triangulation angenäherten Inhalt.
Mit diesem Schieberegler kann der Wert für n (Anzahl der
Ecken der n-Ecke) beliebig angepaßt werden 3 n 100 .
Mit diesem Schieberegler kann der Wert für m (Anzahl der
Schichten) beliebig angepaßt werden 1 m 100 .
36
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Abbildungen aller Körper durch Triangulationen
37
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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38
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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39
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
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Fehlerbetrachtung
Die Darstellung des tatsächlichen Inhalts hat die Genauigkeit der abgebildeten Kommastellen.
Beim angenäherten Inhalt kann maximal von einer Wahrscheinlichkeit von 6 Stellen
ausgegangen werden.
In Einzelfällen kann es vorkommen, daß beim Bedienen der Schieberegler diese etwas
überreagieren. Dies hängt vielleicht mit der Unausgereiftheit des Java-AWT-Packets
(Abstract Windowing Toolkit) zusammen.
Im selben Zusammenhang wird auch die Textbox mit dem angenäherten Inhalt manchmal
etwas unzuverlässig aktualisiert.
Weiterhin kann nicht davon ausgegangen werden, daß die dargestellten Körper im gleichen
Maßstab abgebildet wurden, da dies eine zu kleine Darstellung einiger Körper zur Folge
gehabt hätte.
Besonderheiten bei der Umsetzung des Programms
Es war zu beachten, daß bei allen Rotationskörpern nicht sichtbare Flächen auch wirklich
verdeckt blieben. Dem wurde auf dem einfachen Weg Folge geleistet, daß solche mitunter nur
teilweise verdeckten Flächen vor den sie überdeckenden Flächen gezeichnet wurden, was zur
Folge hatte, daß wirklich nur der Teil einer Fläche sichtbar bleibt, vor dem auch wirklich
keine andere Teilfläche liegt.
40
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Vergleich der Annäherung über Trapeze und Dreiecke
Das Verhältnis zwischen m und n (siehe x-Achse) wurde mit m=n gewählt.
14
5.5
Zylinder - Trapez
Zylinder - Dreieck
13
5
12
4.5
11
4
10
3.5
9
3
Rotationsparaboloid - Trapez
Rotationsparaboloid - Dreieck
2.5
8
0
5
10
15
20
25
30
5
35
40
45
0
50
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6.5
Kegel - Trapez
Kegel - Dreieck
6
Kugel - Trapez
Kugel - Dreieck
4.5
5.5
4
5
4.5
3.5
4
3
3.5
2.5
3
2.5
2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
50
12
5
10
15
40
Zweischaliges Hyperboloid - Trapez
Zweischaliges Hyperboloid - Dreieck
11
20
25
30
35
40
45
50
Einschaliges Hyperboloid - Trapez
Einschaliges Hyperboloid - Dreieck
35
10
30
9
25
8
20
7
15
6
10
5
4
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0
5
10
15
20
25
30
60
Fazit: Mit Ausnahme des einschaligen
Hyperboloids liefert die Unterteilung der
Körperoberfläche in Dreiecke genauere
Ergebnisse bei gleichem Wert für n.
Interessant ist auch, daß bei TrapezAnnäherung der Wert generell unter dem
eigentlichen Flächeninhalt liegt, im Gegensatz
zur Annäherung über Dreiecke, wo der Inhalt
anfangs oft darüber liegt.
35
40
45
50
Torus - Trapez
Torus - Dreieck
55
50
45
40
35
30
25
20
15
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Nachtrag:
Unter der URL http://www.cottbus-plus.de/nickel/PraktikumAnalysis/Verlaufskurve.html
befindet sich ein Programm, das all diese Graphiken interaktiv darstellt.
41
45
50
Praktikum Analysis I – Der Schwarzsche Zylinder
Diana Sarbak & Robert Nickel
Literaturverzeichnis
[1] H.v. Mangoldt / K. Knopp: Einführung in die höhere Mathematik, Band III.
S. Hirzel Verlag; Leipzig 1959, insbesondere S. 387-399
[2] G.M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung, Band III.
Verlag Harri Deutsch; Thun – Frankfurt am Main 1992, insbesondere S. 242-244
[3] J.C.C. Nitsche: Vorlesungen über Minimalflächen.
Springer; Berlin – Heidelberg – New York 1975, S. 29-32, S. 636 f.
[4] I.N. Bronstein / K.A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik.
Verlag Nauka / Teubner Verlagsgesellschaft; Moskau und Leipzig 1989
[5] K. Bosch: Mathematik Taschenbuch 5. Auflage.
R. Oldenbourg Verlag; München / Wien 1998
[6] B.Artmann: Lineare Algebra, Band 3
Birkhäuser Verlag; Basel – Boston – Berlin 1991
Abbildungen
Funktionsgraphen wurden mit Hilfe des Computerprogramms GNUplot erstellt und
weiterverarbeitet.
Darstellungen von Rotationskörpern wurden von dem in diesem Dokument beschriebenen
Programm berechnet und abgebildet.
Alle anderen Skizzen/Abbildungen wurden von Hand konstruiert und entworfen.
Programmcodes
Die Quellen können unter http://www.cottbus-plus.de/nickel/PraktikumAnalysis/quellen.zip
heruntergeladen werden. Das ZIP-Archiv ist paßwortgeschützt.
Das Paßwort lautet : ufgp
Bei Bedarf können die Quellen auch per Diskette nachgereicht werden.
42
