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2.4 Schwingungen Schwingungen sind räumlich stationäre periodische Vorgänge Wellen sind sich ausbreitende periodische Vorgänge Betrachte Fadenpendel Hooksches Gesetz F Dx 2. Newtonsches Gesetz: F F Mx Mx Dx D x x M Differentialgleichung (DG) Schwingungsgleichung DG + Anfangsbedingungen (x(0); x(0)) eindeutige Lösung Lösungsansatz: xt A sin t Einsetzen: x A cos(t ) x A ² cos(t ) A ² ² D A M D M D M Schwingungsdauer: T 2 2 M D A=Amplitude =Kreisfrequenz =Phase T, ω sind unabhängig von Fallbeschleunigung und Auslenkung Versuch : Äquivalenz von Dreh- und Schwingungsbewegung Abb sin sin t r r r cos cos t Bestimmung von ω, A aus Anfangsbedingungen x0 A sin x0 v0 A cos A sin x0 x 0 tan A cos v 0 v0 v 0² A²sin ² cos ² A² x 0 w² A xo ² v0² w² Harmonische Schwingung xaF 0 Ep 0 Ekin 1 2 MA² ² Abbildung Äqu von Dreh und Schwbeweg x , a , F maximal v0 Ep 1 DA² 2 Etot Ekin Ep const . Etot Etot Mv ²t 1 2 Dx ² 1 M A cost 1 D A sin t 2 2 1 Etot 1 Etot 1 2 2 2 A²M ² cos ² D sin ² ; M ² D A² Dcos ² sin ² 1 2 A² D Ekin und Epot verwandeln sich periodisch ineinander! Eto t 1 2 A² D weiteres Beispiel Mathematisches Pendel Punktförmige Masse an einem Faden im Schwerefeld der Erde FII Mg sin p Mv pM 2. Newtonsches Gesetz: dp F Ml Mg sin dt g l → keine harmonische Schwingung! (sinφ statt φ) → Für φ << 1 sinφ φ Damit → g l HARMONISCH g ω nur abhängig von g und l , aber nicht von M und A l Drehpendel Hooksches Gesetz D ↑ Winkelrichtgröße Draht dL I dt I I Gedämpfte Schwingungen im Allgemeinen hören Schwingungen „von selbst“ auf Grund: Reibung → modifizierte Bewegungsgleichung: Federpendel: mx Dx FR (FR Re ibungskraft ) Reibungskraft= bx x · proportional zu · „-“ → wirkt Bewegung entgegen mx Dx bx 0 1.) Schwache Dämpfung b² 1 4 Dm xt Ae t cost A=Amplitude b 2m D ² ² M → Kreisfrequenz kleiner als bei ungedämpfter Schwingung 2 ² 0 D m b 4m ² Abbildung schwache Dämpfung Energie → Umgebung (nimmt exponentiell ab): kein abgeschlossenes System! 2.) Starke Dämpfung b² 1 4 Dm xt Ae t et e t 2 ² 02 für x 0 A x 0 0 Abb: Kriechfall 3.) Aperodischer Grenzfall b² 1 4 Dm xt A1 e t für x 0 A x 0 0 Abbildung aperiod Grenzf. → Reibung gerade so groß, dass keine Schwingung erfolgt 2.4.2 Erzwungene Schwingung Schwingfähiges System wird mit periodischer Kraft F=F0cos (ωt) zu Schwingungen angeregt. Im Allgemeinen 0 (angeregte Frequenz Eigenfrequ enz) mx Dx bx Fo cost Beispiel Lösung hat 2 Anteile: 2 ² gedämpfte Schwingung mit Frequenz 0 (Eigenfrequenz) ungedämpfte Schwingung mit Anregungsfrequenz ω (1) (2) xt A cost A,φ kommen aus Bewegungsgleichung! ( x0 A, x0 0 gedämpfter Anteil) Differentialgleichung → 2 Bedingungen → tan A 2 02 ² F0 m 2 0 ² ² 2 ² Gekoppelte Schwingungen Beispiel Abbildung i.A. ist Schwingung Überlagerung von „Eigenschwingungen“ mi ω1 und ω2 Abbildung 2.4.3 Wellen Schwingendes System, gekoppelt an benachbarte schwingfähige Systeme → Schwingung breitet sich im Raum aus Phänomen wird als Welle bezeichnet Seil Auslenkung „wandert“ das Seil entlang Mathematische Darstellung von Wellen → Aubreitung in z-Richtung → Auslenkung in x-Richtung x=x(t,z) x z , t1 x z vt,0 ~ x z vt Anmerkung: n=z-vt dx dx v dt du dx dx dx dx d ²x d ²x v ² dt ² du ² dz du dz ²du ² W ellengleichung dx 1d ² x dz ² v ² dt ² Harmonische Wellen → angeregte Schwingung ist harmonisch z=0: x(z=0;t) =A sin (ωt) ↑φ=0 o.B.d.A z>o: Auslenkung erreicht z mit Verzögerung ∆t= z/v x(t,z)= x(0;t-∆t) =A sin [ω(t-z/v)] Verwende Wellenlänge: vT v 2 z v 2 z k W ellenzahl k m 1 xz, t A sin t kz A sin t 2zz A sin 2 t z → für festes z=z0 xz0 , t A sin t z ; z kz0 → für feste Zeit t=t0 xz, t0 A sin t kz, t t0 A sin kz t harmonische (sin-förmige) Schwingungen in Ort und Zeit. Wellentypen i.a.: Wellen breiten sich im Raum auf Oberflächen aus → ebene Welle xr , t A sin t k r ↑ Wellenvektor Ausbreitung in k-Richtung 2 v k v → Kugelwelle, Kreiswelle xr , t Ar sin t kv Polarisation kennzeichnet Richtung der Auslenkung bzgl. Ausbreitungsrichtung → transversal Auslenkung k Beispiele: Seilwelle, elektromagnetische Welle Wenn eine Auslenkung in einer Ebene: „lineare Polarisation“ → longitudinal Auslenkung k Abbildung: Schall in Gasen Energietransport Gesamtenergie in Volumen V E ~ A2 V Proportionalittätsfaktor: hängt von der Art der Welle ab Energie wird mit Ausbreitungsgeschwindigkeit transportiert! E „in einer Wellenlänge“ entlang Wellenfront = konstant Kugelwelle: E ~ A2 4r 2 konst. A2 r 2 konst. A ~ 1 r Kreiswelle: E ~ A2 2r konst. A2 r konst. A ~ 1 r 2.4.4 Wellenphänomene Überlagerung (Interferenz) Auslenkungen x1(z,t), x2(z,t) addieren sich x( z, t ) x1 z, t x2 z, t Beispiel: 2 Kreiswellen Auslöschung: r1 r2 2n 1 2 n Z Addition (konstruktive Interferenz): r1 r2 n n Z Reflexion Welle läuft gegen ein unüberwindliches Hindernis (Echo, Licht gegen Spiegel) Undurchdringlichkeit abhängig von Wellenart und Hindernis → Reflexion: d.h. es entsteht zurücklaufende Welle A sin t kz A sin t kz → Reflexion am festen Ende z, t A sin t kz auslaufendeW elle z 0, t i 0, t t 0, t einlaufend A sin t A sin t Asint „Knoten“ am Reflexionsort → Reflexion am losen Ende f z , t A sin t kz z 0, t 2 A sin t " Bauch" am losen Ende Einlaufende Welle ξi(z,t) und auslaufende Welle ξf(z,t) überlagern sich. z, t i z, t f z, t A sin t kzA sin t kz z, t 2 A sin t y cos kz y 2 2 alle Punkte schwingen gleichphas ig, räumlich v arierende Amplitude Anordnung mit “2 Enden”, an denen Reflexion auftritt Abbil. → Addition aller reflektierter Anteile stationäres Schwingungsbild, wenn alle in eine Richtung laufenden Wellen gleichphasig sind beide Enden fest: L n n 2 Ein Ende fest, eines lose L 2n 1 4 n →Resonanz: stationäres Wellenbild (nicht genau das Gleiche wie bei der erzwungenen Schwingung) →Anwendungen · Musikinstrumente · Antennen · Laser Versuch stehende Welle in Luftsäule
