3. WH
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3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandte Mathematik 3 ak – löffler 1. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung f(t) eines Vorgangs mit einer Halbierungszeit von 10 Zeiteinheiten (time units - tu) mit dem Anfangswert 50, d.h. f(0) = 50. 0,5 = e 10 = – 0,07 daher f(t) = 50 · e–0,07t b) Rechnen Sie y = 100 · e1,8x in eine Form mit angepasster Basis (also y = m · qx um. e1,8x = qx q = 6,05 also y = 100 · 6,05x Bakterien vermehren sich bei günstigen Bedingungen exponentiell. Die Anzahl verdoppelt sich alle 8 Stunden. Berechnen Sie die Wachstumsrate pro Stunde. 2 = q8 q = 1,09 oder 2 = e 8λ λ = 0,0866 mit eλ = 1,09 Wachstumsrate pro Tag ist 9 %. c) 2. 3. Mittwoch, 6. März 2013 Gruppe A ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notation sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) a) Beim Spülen von Flaschen verringert sich der Schmutzanteil in 2 Minuten um 20 %. Berechnen Sie, wie lange man spülen muss, damit der Anteil unter 5 % sinkt. S(t) = 100 · eλt mit 80 = 100 eλ2 λ = –0,112 daher S(t) = 100 e–0,112t = 5 t = 26,9 min Man muss ca. 27 Minuten spülen, damit der Schmutzanteil unter 5 % sinkt. b) Bei einer Reaktorhavarie gelangen radioaktive Cäsiumisotope in die Umgebung. Cäsium hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Berechnen Sie die Aktivität durch dieses Cäsium 100 Jahre nach dem Unfall. Verwenden Sie als Anfangsaktivität 100. C(t) = 100 · e λt mit 0,5 = e30 λ = – 0,023 C(100) = 100 e–0,023 · 100 = 10 Nach 100 Jahren ist die Aktivität erst auf 10 % der Anfangsaktivität gefallen. a) Das radioaktive Isotop C14 hat eine Halbwertszeit von ca. 5 800 Jahren. Berechnen Sie das Alter eines Knochen, der nur mehr 10 % der Anfangsmenge C14 enthält. C(t) = 100 · 0,5t/5,8 = 10 t = 19,267 Jahrtausende Der Knochen ist ca. 19 300 Jahre alt. b) Bei der Altersbestimmung durch die C14 - Methode wird der Anteil noch vorhandener radioaktiver Isotope gemessen. C14 zerfällt nach C(t) = C0 e–0,12t, (C ist die Menge von noch verhandenem C14, t ist die vergangene Zeit ln(C0) – ln(C);0 bestimmen. Bei der Messung kann man den 12 Anteil nur mit Ungenauigkeiten bestimmen. Der Anteil liegt zwischen 80 % und 82 % der Anfangsmenge. Berechnen Sie die zeitliche Ungenauigkeit, die damit entsteht. ln(100) – ln(82);0 t1 = 1,86 t2 = = 1,65 die zeitliche Ungenauigkeit liegt zwischen 1650 und 1860 Jahren. 12 in Jahrtausenden). Damit kann man t mit der Formel t = 4. a) Bakterien vermehren sich in einem gekühltem Nahrungsmittel mit K(t) = 200 · e0,1 t. (K als Anzahl, t in Tagen). Das Nahrungsmittel ist verdorben, wenn die Bakterienzahl den Wert 4 000 erreicht. Es wird also erst nach ca. 30 Tagen verderben, wenn die Kühlung aufrecht bleibt. Die Kühlkette wird jedoch nach einem Tag unterbrochen und die Bakterienanzahl vermehrt sich ab dann mit einer Wachstumsrate von 60 % pro Tag. Berechnen Sie die Anzahl der Tage nach dem Unterbrechen der Kühlkette bis das Nahrungsmittel verdorben ist. K(1) = 200 · e0,1 = 221 K2(u) = 221 · 1,6u = 4 000 u = 6,2 Tage 6,2 Tage nach dem Unterbrechen der Kühlkette ist das Nahrungsmittel verdorben. b) Welche der folgenden Aussagen treffen auf die Funktion r(t) = r0 · e0,5t zu. Kreuzen Sie die richtigen Antworten an: ln(r) – ln(r0);0 x Wenn man r und r0 kennt, kann man t mit t = ausrechnen. 5 Wenn man das Verhältis von r zu r0 kennt, kann man t ausrechnen x Die Werte von r nehmen immer um den gleichen absoluten Betrag zu, wenn t immer um den gleichen Betrag zunimmt. r kann den Wert 0 annehmen, wenn nur t groß genug ist. r kann nie negative Werte annehmen x 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandte Mathematik 3 ak – löffler 1. a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung f(t) eines Vorgangs mit einer Halbierungszeit von 3 Zeiteinheiten (time units - tu) mit dem Anfangswert 5, d.h. f(0) = 5. 0,5 = e 3 = – 0,231 daher f(t) = 5 · e–0,231t b) Rechnen Sie y = 100 · e1,6x in eine Form mit angepasster Basis (also y = m · qx um. e1,6x = qx q = 4,95 also y = 100 · 4,95x Bakterien vermehren sich bei günstigen Bedingungen exponentiell. Die Anzahl verdoppelt sich alle 6 Stunden. Berechnen Sie die Wachstumsrate pro Stunde. 2 = q6 q = 1,122 oder 2 = e 6λ λ = 0,116 mit eλ = 1,112 Wachstumsrate pro Tag ist 12,2 %. c) 2. 3. Mittwoch, 6. März 2013 Gruppe B ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notation sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) a) Beim Spülen von Flaschen verringert sich der Schmutzanteil in 2 Minuten um 20 %. Berechnen Sie, wie lange man spülen muss, damit der Anteil unter 10 % sinkt. S(t) = 100 · eλt mit 80 = 100 eλ2 λ = –0,112 daher S(t) = 100 e–0,112t = 10 t = 20,6 min Man muss ca. 21 Minuten spülen, damit der Schmutzanteil unter 5 % sinkt. b) Bei einer Reaktorhavarie gelangen radioaktive Cäsiumisotope in die Umgebung. Cäsium hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Berechnen Sie die Aktivität durch dieses Cäsium 200 Jahre nach dem Unfall. Verwenden Sie als Anfangsaktivität 100. C(t) = 100 · e λt mit 0,5 = e30 λ = – 0,023 C(200) = 100 e–0,023 · 200 = 1 Nach 200 Jahren ist die Aktivität auf 1 % der Anfangsaktivität gefallen. a) Das radioaktive Isotop C14 hat eine Halbwertszeit von ca. 5 800 Jahren. Berechnen Sie das Alter eines Knochen, der nur mehr 20 % der Anfangsmenge C14 enthält. C(t) = 100 · 0,5t/5,8 = 20 t = 13,47 Jahrtausende Der Knochen ist ca. 13 500 Jahre alt. b) Bei der Altersbestimmung durch die C14 - Methode wird der Anteil noch vorhandener radioaktiver Isotope gemessen. C14 zerfällt nach C(t) = C0 e–0,12t, (C ist die Menge von noch verhandenem C14, t ist die vergangene Zeit ln(C0) – ln(C);0 bestimmen. Bei der Messung kann man den 12 Anteil nur mit Ungenauigkeiten bestimmen. Der Anteil liegt zwischen 20 % und 22 % der Anfangsmenge. Berechnen Sie die zeitliche Ungenauigkeit, die damit entsteht. ln(100) – ln(22);0 t1 = 13,412 t2 = = 12,618 12 die zeitliche Ungenauigkeit liegt zwischen 12 700 und 13 400 Jahren. in Jahrtausenden). Damit kann man t mit der Formel t = 4. a) Bakterien vermehren sich in einem gekühltem Nahrungsmittel mit K(t) = 200 · e0,1 t. (K als Anzahl, t in Tagen). Das Nahrungsmittel ist verdorben, wenn die Bakterienzahl den Wert 4 000 erreicht. Es wird also erst nach ca. 30 Tagen verderben, wenn die Kühlung aufrecht bleibt. Die Kühlkette wird jedoch nach einem Tag unterbrochen und die Bakterienanzahl vermehrt sich ab dann mit einer Wachstumsrate von 60 % pro Tag. Berechnen Sie die Anzahl der Tage nach dem Unterbrechen der Kühlkette bis das Nahrungsmittel verdorben ist. K(1) = 200 · e0,1 = 221 K2(u) = 221 · 1,6u = 4 000 u = 6,2 Tage 6,2 Tage nach dem Unterbrechen der Kühlkette ist das Nahrungsmittel verdorben. b) Welche der folgenden Aussagen treffen auf die Funktion r(t) = r0 · e0,5t zu. Kreuzen Sie die richtigen Antworten an: Die Werte von r nehmen immer um den gleichen Prozentsatz zu, wenn t immer um den gleichen Betrag zunimmt. Wenn man die Differenz zwischen r und r0 kennt, kann man t ausrechnen ln(r) – ln(r0);0 Wenn man r und r0 kennt, kann man t mit t = ausrechnen. 5 r kann nie den Wert 0 annehmen r kann auch negativ werden, wenn nur t groß genug ist x x x 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandte Mathematik 3 ak – löffler 1. 2. 3. 4. Mittwoch, 6. März 2013 Gruppe A a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung f(t) eines Vorgangs mit einer Halbierungszeit von 10 Zeiteinheiten (time units - tu) mit dem Anfangswert 50, d.h. f(0) = 50. b) Rechnen Sie y = 100 · e1,8x in eine Form mit angepasster Basis (also y = m · qx ) um. c) Bakterien vermehren sich bei günstigen Bedingungen exponentiell. Die Anzahl verdoppelt sich alle 8 Stunden. Berechnen Sie die Wachstumsrate pro Stunde. a) Beim Spülen von Flaschen verringert sich der Schmutzanteil in 2 Minuten um 20 %. Berechnen Sie, wie lange man spülen muss, damit der Anteil unter 5 % sinkt. b) Bei einer Reaktorhavarie gelangen radioaktive Cäsiumisotope in die Umgebung. Cäsium hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Berechnen Sie die Aktivität durch dieses Cäsium 100 Jahre nach dem Unfall. Verwenden Sie als Anfangsaktivität 100. a) Das radioaktive Isotop C14 hat eine Halbwertszeit von ca. 5 800 Jahren. Berechnen Sie das Alter eines Knochen, der nur mehr 10 % der Anfangsmenge C14 enthält. b) Bei der Altersbestimmung durch die C14 - Methode wird der Anteil noch vorhandener radioaktiver Isotope gemessen. C14 zerfällt nach C(t) = C0 e–0,12t, (C ist die Menge von noch verhandenem C14, t ist die verganln(C0) – ln(C);0 gene Zeit in Jahrtausenden). Damit kann man t mit der Formel t = bestimmen. Bei der 12 Messung kann man den Anteil nur mit Ungenauigkeiten bestimmen. Der Anteil liegt zwischen 80 % und 82 % der Anfangsmenge. Berechnen Sie die zeitliche Ungenauigkeit, die damit entsteht. a) Bakterien vermehren sich in einem gekühltem Nahrungsmittel mit K(t) = 200 · e0,1 t. (K als Anzahl, t in Tagen). Das Nahrungsmittel ist verdorben, wenn die Bakterienzahl den Wert 4 000 erreicht. Es wird also erst nach ca. 30 Tagen verderben, wenn die Kühlung aufrecht bleibt. Die Kühlkette wird jedoch nach einem Tag unterbrochen und die Bakterienanzahl vermehrt sich ab dann mit einer Wachstumsrate von 60 % pro Tag. Berechnen Sie die Anzahl der Tage nach dem Unterbrechen der Kühlkette bis das Nahrungsmittel verdorben ist. b) Welche der folgenden Aussagen treffen auf die Funktion r(t) = r 0 · e0,5t zu. Kreuzen Sie die richtigen Antworten an: ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notation sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) ln(r) – ln(r0);0 ausrechnen. 5 Wenn man das Verhältis von r zu r0 kennt, kann man t ausrechnen Die Werte von r nehmen immer um den gleichen absoluten Betrag zu, wenn t immer um den gleichen Betrag zunimmt. r kann den Wert 0 annehmen, wenn nur t groß genug ist. r kann nie negative Werte annehmen Wenn man r und r0 kennt, kann man t mit t = 3. Lernzielkontrolle aus Mathematik und angewandte Mathematik 3 ak – löffler 1. 2. 3. 4. Mittwoch, 6. März 2013 Gruppe B a) Berechnen Sie die Funktionsgleichung f(t) eines Vorgangs mit einer Halbierungszeit von 3 Zeiteinheiten (time units - tu) mit dem Anfangswert 5, d.h. f(0) = 5. b) Rechnen Sie y = 100 · e1,6x in eine Form mit angepasster Basis (also y = m · qx ) um. c) Bakterien vermehren sich bei günstigen Bedingungen exponentiell. Die Anzahl verdoppelt sich alle 6 Stunden. Berechnen Sie die Wachstumsrate pro Stunde. a) Beim Spülen von Flaschen verringert sich der Schmutzanteil in 2 Minuten um 20 %. Berechnen Sie, wie lange man spülen muss, damit der Anteil unter 10 % sinkt. b) Bei einer Reaktorhavarie gelangen radioaktive Cäsiumisotope in die Umgebung. Cäsium hat eine Halbwertszeit von 30 Jahren. Berechnen Sie die Aktivität durch dieses Cäsium 200 Jahre nach dem Unfall. Verwenden Sie als Anfangsaktivität 100. a) Das radioaktive Isotop C14 hat eine Halbwertszeit von ca. 5 800 Jahren. Berechnen Sie das Alter eines Knochen, der nur mehr 20 % der Anfangsmenge C14 enthält. b) Bei der Altersbestimmung durch die C14 - Methode wird der Anteil noch vorhandener radioaktiver Isotope gemessen. C14 zerfällt nach C(t) = C0 e–0,12t, (C ist die Menge von noch verhandenem C14, t ist die verganln(C0) – ln(C);0 gene Zeit in Jahrtausenden). Damit kann man t mit der Formel t = bestimmen. Bei der 12 Messung kann man den Anteil nur mit Ungenauigkeiten bestimmen. Der Anteil liegt zwischen 20 % und 22 % der Anfangsmenge. Berechnen Sie die zeitliche Ungenauigkeit, die damit entsteht. a) Bakterien vermehren sich in einem gekühltem Nahrungsmittel mit K(t) = 200 · e 0,1 t. (K als Anzahl, t in Tagen). Das Nahrungsmittel ist verdorben, wenn die Bakterienzahl den Wert 4 000 erreicht. Es wird also erst nach ca. 30 Tagen verderben, wenn die Kühlung aufrecht bleibt. Die Kühlkette wird jedoch nach einem Tag unterbrochen und die Bakterienanzahl vermehrt sich ab dann mit einer Wachstumsrate von 60 % pro Tag. Berechnen Sie die Anzahl der Tage nach dem Unterbrechen der Kühlkette bis das Nahrungsmittel verdorben ist. b) Welche der folgenden Aussagen treffen auf die Funktion r(t) = r 0 · e0,5t zu. Kreuzen Sie die richtigen Antworten an: ACHTUNG: Fehlerhafte und unübliche Notation sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen. Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen. Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen) Die Werte von r nehmen immer um den gleichen Prozentsatz zu, wenn t immer um den gleichen Betrag zunimmt. Wenn man die Differenz zwischen r und r0 kennt, kann man t ausrechnen ln(r) – ln(r0);0 Wenn man r und r0 kennt, kann man t mit t = ausrechnen. 5 r kann nie den Wert 0 annehmen r kann auch negativ werden, wenn nur t groß genug ist
