12 Lösen Sie die Gleichungen nach der Unbekannten x auf. a.) x

12
13
14
Lösen Sie die Gleichungen nach der Unbekannten x auf.
a.)
x - 3 = 17 x = 20
b.)
x + y - 4 = 7 x = 11 - y
c.)
m-n=x+9x=m-n-9
d.)
24 - x = 4 - 3x x = -10
e.)
x + a = 2a - x x =
f.)
x + 2x = 5x - 7 x = 3 12
g.)
x
= 3 x = 12
4
h.)
y=
a
2
13
x=
x
13
y
Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
a.)
7x - 38 = -3 - 2x x = 3 89
b.)
3a + 2x - 4b = 5x - b x = a - b
c.)
2 (3x - 4) + 7 = 17 x = 3
d.)
5bx - cx = 3bc x =
e.)
a (3x + 1) = b (5x - 2) x =
f.)
dx (3 - c) = 2 (dx - 1) x =
g.)
10 - 7 (2 - 3x) = 4x - 4 (2 - x) x =  134
h.)
2x + 5k - 3kx = -7kx + 3 x =
i.)
2 (4x2 - 5) + 7 = 15 x =  1 12
j.)
2 (x2 - 3) - 2 = 10 x = ±3
a  2b
5b  3a
3bc
5b  c
2
cd d
3  5k
2  4k
Lösen Sie die Gleichungen nach x auf, indem Sie zuerst ausmultiplizieren.
a.)
(x + 1) (x + 6) = (x + 4)2 x = -10
b.)
(x + 3) (x - 5) = (x - 3)2 x = 6
c.)
(x - 1) (x + 4) = (x - 2)2 x = 1 17
d.)
(x + 5) (x - 2) = (x + 2)2 x = -14
e.)
(5x - 3)2 = x (25x + 6) x =
f.)
2 (x + 2) (x + 5) = (2x + 7) (x +3) x =
h.)
(x + 4) · 3 · (x + 1) = (x + 3) (3x + 6)
1
4
1
g.)
x2 = (x + 1)2 + 2x + 8 x =  2 14
keine Lösung
15
1.1
Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
a.)
x 1 x x
x=
  
4 5 2 10
c.)
b.)
2x 5x 11

  0 x =  1 12
9
6 12
x  3 2x  8
x=7

5
3
d.)
x 1 x 1
x=7

4
3
e.)
x2 x2 5

 x = -3
3
2
6
f.)
1
ab x =
x
g.)
1 3 7 1
   x = -6
x x x 2
h.)
1 1

 x  2x x = 
x 2x
4
7
1
a b
1
2
Vorgehen beim Auflösen von Gleichungen
1.1.1 Addition / Subtraktion
A B C

A B D E
ab
d

c
e

h
= D E
C=?
= C
= f g  h
= f g 
h=?
d
ab

e
c
Beispiele
a.) Gauss’sche Formel
A  A  D
A= ?
D=?
d=?
t2 = ?
 A  A  D ;  D  A  A
b.) Randdicke
=?
d R  d  t 2  t1
t1
 d  dR  t1  t 2 ;  t 2  dR  t1  d
r  f  f
c.) Sphärische Fläche
f  ?
f ?
S1 = ?
S2 = ?
 f  r  f ;  f  r  f
C1  C 2  C r
 S1  S 2
2
C  C2  Cr
C  C2  Cr
 S1  Sr  S2  1
;  S2  Sr  S1  1
2
2
Sr 
d.) Resultierende Sphäre
Multiplikation / Division
A


B
C
= D E
A B
D E
= C
ab
c
= de
ab
de
= c
C=?
c=?
Beispiele

a.) Abbildungsmassstab
 y  y    ;  y 
b.) Parallelverschiebung
 d
y' = ?
y=?
y

p
d  sin(  1   1 )
cos  1
d=?
D
n  n
r
r=?
p  cos 1
sin( 1  1)
c.) Flächenbrechwert
 r
y
y
n  n
D
d.) Brechung
 n1  n1 
e.) Scheitelbrechwert
n1  sin  1  n1  sin  1
sin  
sin 1
;  n1  n1 
sin 1
sin 1
D
S
d
1   D2
n1
n1  ?
D=?
n1  ?


d
 D  S  1   D2 
 n1

l 
f.) Längenametropie
 n  l  De  A R 
A   D e  A R  D 
g.) Zerstreuungskreis
 a
n
De  A R
n' = ?
1
a
a=?
1
A  De  A R  D
1.1.2 Kombinierte Umformungen (Addition / Subtraktion bzw. Multiplikation /
Division)
ab
d

c
e

= f
b=?
ab
c
= f 
ab
c
= f
ab
b
d
e
d
e
(neu gruppieren)
 d
= c f  
 e
Klammer setzen!
 d
= c f    a
 e
Beispiele
a.) Flächenbrechwert
D
n  n
r
n=?
n' = ?
d=?
n2 = ?
d=?
D2 = ?
 n  n  D  r ;  n  n  D  r
d
 D1  D 2
n2
n D  D2  D
d  D1  D2
 d 2 1
;  n2 
D1  D2
D1  D2  D
D
S
c.) Scheitelbrechwert
d
1
 D2
n1
b.) Gullstrand
D  D1  D 2 
n1  D  n1  S D 
n  D  n  S D 
 1    D  S ;  D2  1  1    1 d  S
2
D2  S 
d  S
n 1
ne  ?
nF  ?
d.) Abbezahl  e  e
n F  n C
n 1
n 1
 n e   e  n F  nC   1 ;  nF  e
 nC ;  nC  nF  e
 d
e
e
nC  ?
l 
e.) Längenametropie
 De 
n
De  A R
De = ?
n
n
 A R ;  A R   De
l
l
f.) „Kollektivlinse“ (Lupe)
D  DL  A E
 e S
A E  DL
DS  D L  A E  e  A E  D L
e =?
AR = ?
1.1.3 Die gesuchte Grösse kommt in der Gleichung mehrmals vor
Vorgehen: - Sämtliche Terme, die die gesuchte Grösse enthalten, auf eine Seite bringen
- die gesuchte Grösse ausklammern
- durch den „Klammer-Faktor“ dividieren
A B  C

2A
A
a
b a

= DA
A=?
= BCD
=
BCD
2
= cd
a=?
b  ac  d
a
=
a
= bc  bd  ac  ad
Terme mit „a“ auf die linke
a  ac  ad
= bc  bd
„a“ ausklammern
a  1  c  d
= b c  d
Klammerterm (1 + c + d)
auf der rechten Seite
ausmultiplizieren
Seite
dividieren
a
=
b c  d 
1 c  d
Anmerkung zur Gullstrandformel:
Die Gullstrandformel besteht aus insgesamt 4 Termen:
1. Term
D
2. Term
 D1
3. Term
 D2
Wichtig: ALLE TERME MÜSSEN GLEICH BEHANDELT WERDEN!
Denken Sie an diese Regel, wenn Sie zuerst den Nenner (n2) multiplizieren:

4. Term
d
n2
 D1  D 2
D  D1  D 2 
dD1 D 2
n2
 n2
 n 2  D  n 2  D1  n 2  D 2  d  D1  D 2 !!!
Beispiele
D  D1  D 2 
a.) Gullstrand
D1 
 n1  n 2
 n1  n 2
  

n2  1  
1 
c.) Sphärische Fläche
n 
D1 = ?
D2 = ?
n1  ?
n2  ?
n 2  D  D 2 
n  D  D1 
; D2  2
n2  d  D2
n 2  d  D1
b.) Reflexion
n1 
d
 D1  D 2
n2
f' n
f 'r
; n
2


n1  1  



2

1 
n  n n

r
f
n' = ?
16
Brechungsgesetz:
a.)
n  sin  n  sin 
n'
Lösen Sie die Formel nach  auf.

n

  arcsin  sin  
 n

b.)
'
n
Ein Lichtstrahl trifft im Winkel  = 48° auf eine halbkreisförmige Plexiglasscheibe
(Brechzahl 1,49). Die Brechzahl von Luft ist 1.
Berechnen Sie den Winkel .
 = 29,92°
c.)
Um die Brechzahl eines Materials zu bestimmen, macht man eine Messung mit einem
Laserstrahl. Der einfallende Laserstrahl trifft mit dem Winkel  = 55° auf die
Grenzschicht des Materials. Der gemessene Winkel beträgt ' = 27,2°.
Wie gross ist die Brechzahl des Materials?
n' = 1,792
d.)
Ein Laserstrahl wird an einem Prisma (gleichseitiges Dreieck im Querschnitt) zweimal
gebrochen. Das Prisma ist aus Plexiglas mit Brechzahl 1,5.
Berechnen Sie die Winkel bei der zweimaligen Brechung eines horizontal einfallenden
Laserstrahls (vgl. Skizze).
1  30
1
 '1  arcsin n1 nsin
 19,47
'1
ε1 = 30°
 2  180  120

60°  19.47ε’
1 40,53
120°
60°
ε2
ε’2
2
 '2  arcsin n 2 nsin
 77,10
'2
17
Berechnen Sie mit der Gullstrandformel die Dicke d der Linse, wenn die anderen Werte
gegeben sind:
D  D1  D 2 
d
18
mit:
d
 D1  D 2
n2
n 2 D1  D 2  D
 0,007615 m  7,615 mm
D1  D 2
D = +6,2 dpt
D1 = +10 , 0 dpt
D2 = -4 , 0 dpt
n2 = 1,523
Berechnung mit optischen Grössen: Frequenz , Periodendauer T, Wellenlänge  und
Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes im Medium (c).
a.)
Das Farbspektrum des sichtbaren Lichts liegt im Wellenlängenbereich von  = 380 nm
(violettes Lichtbis = 780 nm (rotes Licht). Berechnen Sie die Frequenz und
Periodendauer für rotes und violettes Licht, indem Sie die folgende Formel verwenden.
c  T   


Ausbreitungsgeschwindigkeit
Geschwindigkeit im Vakuum:
Wellenlänge ( lambda)
Frequenz ( ny )
[ c ] = m/s
c0 = 3 · 108 m / s
[]=m
[  ] = Hz (Hertz)
T
Periodendauer
[T]=s
c
= s-1
 Violett ,2 z; TViolett  12675 s;  Rot 34,62 z; TRot  2605 s
b.)
Beim Radioempfang auf UKW (Ultrakurzwellen) empfangen Sie elektromagnetische
Wellen. Berechnen Sie die Wellenlänge  für einen Ihnen bekannten Sender. (Der
Frequenzbereich für UKW liegt zwischen 88 … 106 MHz.)
Hinweis: Verwenden Sie die gleiche Formel wie bei a.) !
Bereich von 88 MHz  3,409 m bis 106 MHz  2,830 m
c.)
Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in Plexiglas (n = 1,49) und
Wasser (n = 1,33).
c
c0
n
c
c0
n
Ausbreitungsgeschwindigkeit
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum:
Brechzahl des Mediums
cPlexiglas  201,3  106 ms ; cH2O  225,1  106
m
s
[ c ] = m/s
c0 = 3 · 108 m / s
1.2
Optische Rechnungen
19
Lösen Sie die Gleichung
c1 1 n2
nach allen Variablen auf.


c 2 2 n1
1  c 2 n2  c 2

2
n1
c 
c n
c2  1 2  1 1
1
n2
n 
n c
n1  2 2  2 2
1
c1
c1 
n2 
1 
2 
1  n1 c1  n1

2
c2
n2  2 c1  2
n1
1  n1
n2


c2
1  c 2
Lösen Sie die Gleichung sin  1  n1  sin  1 'n1 ' nach allen Variablen auf.
20
1  arcsin
sin  '1n'1
n1
n1 
sin  '1 n'1
sin  1
 '1  arcsin
sin 1  n1
n'1
n'1 
sin  1  n1
sin  '1
Lösen Sie die Gleichung D  D1  D 2 
21
D1 
D2 
d
d
 D1  D 2 nach allen Variablen auf.
n2
D  D2
n (D  D 2 )
 2
d  D2 n2  d  D2
1
n2
D  D1
n (D  D1 )
 2
d  D1 n 2  d  D1
1
n2
n 2 (D1  D 2  D)
D1  D 2
n2 
22
c1
d  D1  D 2
D1  D 2  D
Lösen Sie die Gleichung p 
d  sin( 1   '1 )
nach d und ε1 auf.
cos  '1
p
d
p  cos  '1
sin 1   '1 
d  sin(  1   '1 )
cos  '1
sin(  1   '1 ) 
p  cos  '1
d
 '1
 1  arcsin p  cos
  '1
d
Lösen Sie die Gleichung n'1 
23
sin  2min
nach δmin auf.
sin 2
n'1  sin 2  sin  2min
arcsin(n'1  sin 2 )   2min
 min    2  arcsin(n'1 sin 2 )
Lösen Sie die Gleichung S' 
24
D1
 D 2 nach D1 auf.
1  nd'1  D1
S'D2  1  nd D1   D1
2
S' nd D1  S'D 2  nd D1 D 2  D1
2
2
S'D 2  D1  nd D1  S' nd D1 D 2

2
S'D 2  D1  1 
S ' D
2
d
n2
 S'
d
n2
D 2
S ' D

D1  1 d  S ' 2d  D  1 d  S '2 D   n
n2
25
n2
2
n2
2
n 2  S '  D 2 
2  d  S '  D 2 
Lösen Sie die Gleichung t  r  r 2  h 2 nach r und h auf.
r 2  h2  r  t
r 2  h 2  r  t 
2
r 2  h2  r 2  2  r  t  t 2
 h2  2  r  t  t 2
r
t 2  h2
2t
h  2rt  t 2
26
Ausmultiplizieren.
a.)
(-7c) (5 - 2c) = -35c + 14c2
c.)
3 ∙ (2 + t) ∙ (4 - t2) = -3t3 - 6t2 + 12t+24
12x + 12
27
b.)
(7 - b) (-2) (b + 7) = 2b2 - 98
d.)
(2x + x - 3) (7x - 5x + 3 - 2x - 7) = -
Vereinfachen Sie die folgenden Terme.
a.)
5x
3x 2  3
2x  3
=
 2
x 1
x 1 x 1
b.)
4a  12ad
1
3d
=

8ad  4a 2d  1 2d  1
c.)
4cx  2x  4bx  6x 1  b  c
=
c
4cx
d.)
1  2x 3  4x 6 x  2
=

x 3
x 3
3 x
e.)
x4 1
=x-1
x 2  1 x  1

f.)
b
1
1
 =
a  b a aa  b 
g.)
8
12
12
=

d  3 3d  9 d  3
h.)
5g  2h
5g  2h  10gh
 2h =
5g
5g
i.)
1 1
1
1
25
=



x 2x 3x 4x 12 x
j.)
2  5a 5  2a
21
=

10a
5a
2a
k.)
g
f

f g f g
= -1
g
f

f g f g
l.)
a
a

a 1 a  2 = 1
a
2a
a3

a  2 a 1

28
29
Lösen Sie die folgenden trigonometrischen Gleichungen nach dem Winkel  auf.
2
a.)
sin  = 0,5 α = 30°
b.) cos  =
α = 45°
2
c.)
tan  = 4 ∙ tan  3 α = -30°
d.)
4 ∙ (sin  + 5) = 16 α = -90° bzw. 270°
e.)
(sin sin  = 
f.)
2
4 sin    3  sin  α = 48,59°

g.)
4  tan  3  3tan  1 α = 78,07°
h.)
6 ∙ cos  = 4 ∙ cos  3 α = 30°
i.)
4 ∙ sin  = 2 ∙ sin  2 α = 45°
j.)
1
α = 45°
2
1  cos 2  = cos  α = 45°
Geben Sie sämtliche Lösungen für x an.
Hinweis: Nicht ausmultiplizieren! Setzen Sie die Faktoren der linken Seite einzeln null.
a.)
(x - 3) (x - 4) = 0 x1 = 3; x2 = 4
b.)
(x + 2) (x - 5) = 0 x1 = -2; x2 = 5
c.)
(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0
d.)
(2x + 1) (x - 1) = 0 x1 = 1; x2 = - 12
e.)
x1 = -1; x2 = -2; x3 = -3
(3x - 2) (2x + 4) = 0 x1 =
f.)
x (x - 1) = 0 x1 = 0; x2 = 1
2
3
; x2 = -2
30
Das Schiff A verlässt den Hafen mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit von 32 km/h.
4,5 Stunden später fährt das Schiff B auf gleichem Kurs mit einer ebenfalls gleichförmigen
Geschwindigkeit von 35 km/h hinterher. Nach wie vielen Stunden holt Schiff B das Schiff A
ein?
32 km
 x  4,5 h  35 km
 x  x  48 h
h
h
31
0,5 Liter Wasser wird in 2 gleich grosse Trinkgläser gefüllt. Das erste Glas ist zu 2/3 gefüllt, das
zweite zu 5/6.
Wie viel Wasser ist in jedem der beiden Gläser?
1. Glas: 0,5 l 
2
3
25
3 6
2
 0,5 l  93  0,5 l  12
 0,5 l  94  92 l  0,2222 l
27
6
2. Glas: 0,5 l  0,2222 l  0,2778 l bzw. 12 l  92 l  185 l