Matura Mathematik Sommer 2015 (inkl. Lösung)

TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG
Themenstellung für die
schriftliche Berufsreifeprüfung
aus dem Fach Mathematik und angewandte Mathematik
Termin: Sommer 2015
PrüferInnen:
Mag. Wolfgang BODISCH
Mag. Wolfgang GALSTERER
Dr.
Irene HUMER
Dr.
Maja LOPERT
MMag. Stephan STRASSER
Punkteverteilung/Gewichtung:
Beispiel 1:
Beispiel 2:
Beispiel 3:
Beispiel 4:
Beispiel 5:
13
11
12
12
12
Punkte
Punkte
Punkte
Punkte
Punkte
Gesamt:
60 Punkte
Notenschlüssel:
56-60 Punkte
48-55 Punkte
38-47 Punkte
30-37 Punkte
0-29 Punkte
Sehr gut
Gut
Befriedigend
Genügend
Nicht genügend
Seite 1
1. WIRTSCHAFTSMATHEMATIK
Analysis K '( x ) einer Kostenfunktion K ( x ) heißt Grenzkostenfunktion.
DieBeispiel
erste 3:
Ableitung
1. Ableitung K
einer
K heißt Grenzkostenfunktion.
DieDieGrenzkosten,
die Kostenfunktion
bei einer bestimmten
Produktion entstehen, können durch eine
K '(bestimmten
x ) modelliert
quadratische
Funktion
werden,
deren
Graph
Die Grenzkosten,
die bei einer
Produktion
entstehen,
können
durchhier
eine dargestellt ist:
quadratische Funktion K
modelliert werden, deren Graph hier dargestellt ist:
Geldeinheiten
pro Mengeneinheit
Mengeneinheiten
a) Für welche Produktionsmenge sind die Grenzkosten minimal? Wie groß sind die
minimalen Grenzkosten? (1 Punkt)
Geben Sie einen Funktionsterm K
xan! (2 Punkte)
a) Verwenden Sie Informationen aus diesem Graphen, um die quadratische
b) Die Fixkosten betragen 2000 Geldeinheiten.
Grenzkostenfunktion K '( x ) zu erstellen und geben Sie diese an.
(3 P)
Geben Sie für die Kostenfunktion einen Term K
xan! (1 Punkt)
b) Dokumentieren
wie Sie jenedurch
Produktionsmenge
können, bei der die
Veranschaulichen SieSie,
die Kostenfunktion
eine Zeichnung für 0 berechnen
x 300 !
Grenzkosten
sind und
bestimmen
diese minimalen Grenzkosten.
(2 P)
Zeichnen Sie die minimal
den Wendepunkt
(Kostenkehre)
ein. (3Sie
Punkte)
In welchem Intervall steigen die Kosten progressiv und in welchem degressiv?
c) Angenommen
die Fixkosten betragen 2000 Geldeinheiten.
(1 Punkt)
c) Angenommen, pro Mengeneinheit kann ein Preis von 30 Geldeinheiten erzielt werden.
K ( x (4
) . Punkte)
Für Berechnen
Sie für
Fall
die Kostenfunktion
welche Absatzmenge
ist diesen
der Gewinn
(= Erlös
minus Kosten) maximal?
(2 P)
 Stellen Sie den entsprechenden Graphen im Intervall 0  x  300 in einem
geeigneten Koordinatensystem dar.
(Falls Sie für die Kostenfunktion kein brauchbares Ergebnis erzielen,
verwenden Sie als Kostenfunktion K ( x )  0,0005 x 3  0,15 x 2  25 x  2000 )
 Berechnen Sie die Kostenkehre und geben Sie an, in welchem Bereich
der Kostenverlauf progressiv und in welchem degressiv ist.
(2 P)
(2 P)
d) Angenommen, pro Mengeneinheit kann ein Preis von 30 Geldeinheiten erzielt werden.
 Berechnen Sie jene Absatzmenge, bei der der Gewinn (= Erlös minus Kosten)
maximal ist und bestimmen Sie wie groß er dann konkret ist.
(2 P)
Seite 2
2. KURVENENUNTERSUCHUNG
Die Flugbahn eines Golfballs kann näherungsweise durch eine Funktion 3. Grades
f : y ( x )  ax 3  bx 2  cx  d beschrieben werden.
x … Horizontale Distanz zum Koordinatenursprung in m
y … Höhe des Golfballs in m
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wobei folgende Daten gegeben sind:
Der Abschlagpunkt liegt im Koordinatenursprung. Dieser ist auch gleichzeitig ein
Wendepunkt. Der höchste Punkt der Bahn liegt 80 m vom Abschlag entfernt in einer
Höhe von 25 m.
Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktion f auf
und bestimmen Sie diese.
(4 P)
b) Bei einem anderen Schlag ergibt sich folgende Funktion:
g : y ( x )  5  106 x 3  0,24 x


Berechnen Sie, in welcher Entfernung der Ball auf den Boden auftrifft.
Bestimmen Sie auch unter welchem Winkel dies erfolgt.
(1 P)
(2 P)
c) Die Bewegungsenergie des Balls ist durch folgende Formel bestimmt.
E
m v 2
2
E … Energie in Joule (J)
m … Masse in kg
v … Geschwindigkeit in m/s



Formen Sie diese Formel nach der Größe v um.
Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit ein 45 g schwerer Ball erreicht,
wenn er mit einer Energie von 100 J abgeschlagen wird.
Argumentieren Sie, um welchen Faktor sich die Energie erhöht, wenn die
Geschwindigkeit verdoppelt wird.
Seite 3
(1 P)
(1 P)
(2 P)
3. STOCHASTIK
Eine Forscherin macht Experimente mit Ratten. Sie lässt 20 Ratten durch ein Labyrinth
laufen und stoppt folgende Zeiten (in Sekunden):
346, 322, 280, 302, 383, 420, 205, 250, 375, 445, 310, 256, 340, 470, 317, 220,
427, 264, 405, 355
a) Bestimmen Sie den Median, die Quartilen sowie die Spannweite.
(2 P)
b) Teilen Sie die Zeiten in Klassen ein (0 - 1 Minuten, 1 - 2 Minuten, ……).
Wenn ein Wert auf einer Klassengrenze liegt, soll er zur unteren Klasse gerechnet
werden.
 Ermitteln Sie für jede Klasse die absolute und relative Häufigkeit.
(2 P)
 Zeichnen Sie das entsprechende Histogramm.
(1 P)
c) Die Forscherin will untersuchen, ob Ratten bestimmte Farben bevorzugen
und baut dafür ein Labyrinth mit einem blauen und einem roten Gang.
 Berechnen Sie wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich von 10 Ratten
mindestens 7 für den blauen Gang entscheiden,
wenn sie beide Gänge mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählen
sowie
(1 P)
 wenn sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% den blauen Gang bevorzugen.
(1P)
Die Forscher haben in Erfahrung gebracht, dass die Masse der Versuchsratten
normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von  = 320 g und einer
Standardabweichung von  = 26 g.
d) Bestimmen Sie, ab welcher Masse die Ratten zu den 5 % schwersten zählen.
(3 P)
e) Die schnellste Ratte wiegt 300 g.
Berechnen Sie, wie viel Prozent aller Ratten eine Masse besitzen, die um nicht mehr
als 20 g von der Masse der schnellsten Ratte abweichen.
(2 P)
Seite 4
4. TRIGONOMETRIE, ZAHLEN UND MASSE
a) Von einem Beobachter auf der Erdoberfläche wird die Sonne unter einem
bestimmten
Sehwinkel (vgl.
Skizze)
gesehen.


Geben Sie eine explizite Formel für den Sehwinkel  unter Verwendung
des Sonnenradius r und des Abstandes d des Beobachtungspunktes E
vom Sonnenmittelpunkt M an.
(2 P)
Berechnen Sie den Sonnenradius, wenn der Sehwinkel 0,5 º beträgt und
die Distanz EM 150 000 000 km beträgt.
(2 P)
b) Licht breitet sich mit einer Geschwindigkeit von ca. 300.000 km/s aus.


Berechnen Sie die Entfernung zwischen Erde und Sonne, wenn das Licht
für diese Entfernung ca. 8,3 Minuten braucht
(2 P)
Wie viele Stunden braucht das Licht vom Kleinplaneten Pluto,
der im Mittel 5,869 Milliarden km von der Erde entfernt ist, zu uns.
(2 P)
Seite 5
c) Betrachten Sie das folgende Dreieck und kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.
 tan  
e
d

e
 cos 
m
 m  cos   e
 arcsin
d

m
(4
P)
5. EXPONENTIELLE ABNAHME
Die Anzahl von Neuronen in der Großhirnrinde kann durch folgende Funktionsgleichung
berechnet werden:
N(t )  21,115  0,9985t
N(t) … Anzahl der Neuronen in Milliarden (Mrd.) in Abhängigkeit vom Lebensalter (t)
t … Lebensalter in Jahren (a)
„Innerhalb von 50 Jahren nimmt die Anzahl der Neuronen in der Großhirnrinde um 10 %
ab.“
a) Überprüfen Sie mit Hilfe des gegebenen Modells, ob diese Behauptung für die ersten
50 Jahre zutrifft.
(3 P)
b) Bestimmen Sie, in welchem Alter die Neuronenzahl auf 85 % vom Anfangswert
abgesunken ist.
(2 P)
c) Erstellen Sie ein exponentielles Modell (=Funktion) für die Abnahme der Neuronen
wenn folgende Daten gegeben sind:
Im Lebensalter von 10 Jahren existieren 20,8 Mrd. Neuronen, im Alter von 90 Jahren
18,5 Mrd. Neuronen.
Die unabhängige Variable ist dabei t (Lebensalter in Jahren), die abhängige Variable
ist N (Anzahl der Neuronen in Mrd.).
(5 P)
d) Dokumentieren Sie, wie Sie mit den Daten N(25)=20 und N(100)=17
ein lineares Modell erstellen würden (ohne Berechnung!).
(2 P)
Seite 6
Seite 7
LÖSUNGEN:
Seite 8
1 a)
K '( x )  ax 2  bx  c ; K ''(x)  2ax  b
I. K '(0)  25  K '(0) 
0a  0b  c  25
II. K '(100)  10  K '(100)  10000a  100b  c  10
III. K ''(100)  0  K ''(100) 
Beispiel 3: Analysis
 a  0,0015;
b  0, 3;
200a 
b
 0
c  25
a) Die Grenzkosten sind bei Produktion von 100 Mengeneinheiten minimal und betragen
dort 10 Geldeinheiten pro Mengeneinheit.
x
b
xc
x
KK
'( xx
) a
0
,0015
x 2  0, 3 x K
25
2
b)
2a
xb
K
0 25
K
100 0
K
100 10
Gleichungssystem:
Die Minimalen
c 25 Grenzkosten berechnet man durch Nullsetzung der 1. Ableitung von
ab0
K‘(x), also200
K‘‘(x)=0.
a100x
b
10 0  x  100ME
 K '' 10
x 000
 0,003
c
0,3
200 ab
0 bei der Produktion von 100 ME minimal und betragen dort
Die Grenzkosten
sind
ab0,15
K‘(100)=10100
GE/ME
100a0,15
c)
a0,0015
b 200 0,0015
0,3
3
2
x 0,0015x 0,3x 25 2
K ( x ) K
 K '( x ) dx   0,0015x  0,3 x  25 dx  0,0005x  0,15x  25x  d 
2

3
2
b) K
x 0,0005x
0,15x
25xK
K ( x )  0,0005 x 3  0,15 x 2  25 x 0 2000
3
2
K
x 0,0005x
0,15x
25x2000

x
Rechts vom Wendepunkt, also im Intervall 100;
Intervall 0; 100 degressiv.
K
0
2000
50
2937,5
100
3500
150
4062,5
200
5000
250
6687,5
300
9500
steigen die Kosten progressiv, im
Seite 9

Kostenkehre
K ''( x )  0  x  100ME
Links vom Wendepunkt, also im Intervall [0,100] steigen die Kosten degressiv,
rechts davon im Intervall [100,[ progressiv.
d)
Erlös(Umsatz) : E ( x )  30 x
Gewinn:
G(x)  E(x)  K(x)  0,0005 x 3  0,15 x 2  5 x  2000
G '( x )  0,0015 x 2  0,3 x  5  0
 x  215ME
Für die Produktion von 215 ME ist der Gewinn maximal.
Seite 10
2 a)
f : y ( x )  ax 3  bx 2  cx  d
y (0)  0
 d 0
II. y ''(0)  0
 b0
I.
III. y (80)  25  803  a  80 2  b  80  c  d  25
IV. y '(80)  0  3  80  a  2  80  b  c
 0
 512000a  80c  25
240a
 c 0
 a  5,073  10 5
b0
c  0, 012175
d 0
b)
y(x)=-5  106 x 3 +0,24x=0 
x  219,089m  219m
y'(x)=-15  10 6 x 2 +0,24
y '(219,089)  0,48
  arctan( 0,48)  25,641o
c)
v
2E
m
v
2  100
 66,667  67 ms
0,045
Die Energie vervierfacht sich bei Verdoppelung der Geschwindigkeit
Seite 11
3 a)
Klasse
hi
fi
0 – 60
0
0
61 – 120
0
0
121 – 180
0
0
181 – 204
2
0,1
241 – 300
4
0,2
301 – 360
6
0,3
361 – 420
5
0,25
421 – 480
3
0,15
Med  331, Q1  272, Q2  394, sp  265
b)
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
Kategorie 1
181 - 240
241 - 300
301 - 360
361 - 420
421 - 480
Seite 12
c)
 P ( X  7)  1  binomcdf (10; 0,5; 6)  0,1719  17,19%
 P ( X  7)  1  binomcdf (10;0,75; 6)  0,7759  77, 59%
d)
Normalverteilung
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P ( X  xo )  0,05
P ( X  xo )  0,95 
xo  InvNorm(a; ; )  InvNorm(0,95;320;26)  362,766  363 g
e)
P (300  20  X  300  20)  P (280  X  320)  normalcdf(280;320; ; )  0, 438  43,8 %
4 a)


r

r
r
sin( ) 

 sin1( )    2  sin1( )
2
d
2
d
d


r
sin( ) 
2
d

0,5
 r  d  sin( )  150000000  sin(
)  656 000km
2
2
b)

s  v  t  300000 km
 8, 3  60s  1,548  108 km  150  106km
s
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
t
s 5,869  109

 19563s=5,434h
v
300000
c)
W, F, F, W
5 a)
N (t  50)  21,115  0,9985 50  19,588
21,115  19,588
 0,072  7,2%
21,115
Die Aussage ist falsch. Die Abnahme der Neuronen in 50 Jahren beträgt nur 7,2 %.
b)
N (t )  0,85  N0  N0  0,9985t 
0,85  0,9985t  t 
ln0,85
 108 a
ln0,9985
Seite 15
Im Alter von 108 a ist die Neuronenzahl auf 85 % abgesunken.
c)
N (t  10)  N0  a10  20,8
N (t  90)  N0  a90  18,5
N0  a90 18,5

 a80  0,889423  a  80 0,889423  0,998536
10
N0  a
20,8
N0  a10  20,8  N0 
20,8
 21,107
a10
N (t )  21,107  0,998536t
d)
N  25   a  25  b  20
N 100   a  100  b  17
 a und b
Seite 16