TEILPRÜFUNG ZUR BERUFSREIFEPRÜFUNG Themenstellung für die schriftliche Berufsreifeprüfung aus dem Fach Mathematik und angewandte Mathematik Termin: Sommer 2015 PrüferInnen: Mag. Wolfgang BODISCH Mag. Wolfgang GALSTERER Dr. Irene HUMER Dr. Maja LOPERT MMag. Stephan STRASSER Punkteverteilung/Gewichtung: Beispiel 1: Beispiel 2: Beispiel 3: Beispiel 4: Beispiel 5: 13 11 12 12 12 Punkte Punkte Punkte Punkte Punkte Gesamt: 60 Punkte Notenschlüssel: 56-60 Punkte 48-55 Punkte 38-47 Punkte 30-37 Punkte 0-29 Punkte Sehr gut Gut Befriedigend Genügend Nicht genügend Seite 1 1. WIRTSCHAFTSMATHEMATIK Analysis K '( x ) einer Kostenfunktion K ( x ) heißt Grenzkostenfunktion. DieBeispiel erste 3: Ableitung 1. Ableitung K einer K heißt Grenzkostenfunktion. DieDieGrenzkosten, die Kostenfunktion bei einer bestimmten Produktion entstehen, können durch eine K '(bestimmten x ) modelliert quadratische Funktion werden, deren Graph Die Grenzkosten, die bei einer Produktion entstehen, können durchhier eine dargestellt ist: quadratische Funktion K modelliert werden, deren Graph hier dargestellt ist: Geldeinheiten pro Mengeneinheit Mengeneinheiten a) Für welche Produktionsmenge sind die Grenzkosten minimal? Wie groß sind die minimalen Grenzkosten? (1 Punkt) Geben Sie einen Funktionsterm K xan! (2 Punkte) a) Verwenden Sie Informationen aus diesem Graphen, um die quadratische b) Die Fixkosten betragen 2000 Geldeinheiten. Grenzkostenfunktion K '( x ) zu erstellen und geben Sie diese an. (3 P) Geben Sie für die Kostenfunktion einen Term K xan! (1 Punkt) b) Dokumentieren wie Sie jenedurch Produktionsmenge können, bei der die Veranschaulichen SieSie, die Kostenfunktion eine Zeichnung für 0 berechnen x 300 ! Grenzkosten sind und bestimmen diese minimalen Grenzkosten. (2 P) Zeichnen Sie die minimal den Wendepunkt (Kostenkehre) ein. (3Sie Punkte) In welchem Intervall steigen die Kosten progressiv und in welchem degressiv? c) Angenommen die Fixkosten betragen 2000 Geldeinheiten. (1 Punkt) c) Angenommen, pro Mengeneinheit kann ein Preis von 30 Geldeinheiten erzielt werden. K ( x (4 ) . Punkte) Für Berechnen Sie für Fall die Kostenfunktion welche Absatzmenge ist diesen der Gewinn (= Erlös minus Kosten) maximal? (2 P) Stellen Sie den entsprechenden Graphen im Intervall 0 x 300 in einem geeigneten Koordinatensystem dar. (Falls Sie für die Kostenfunktion kein brauchbares Ergebnis erzielen, verwenden Sie als Kostenfunktion K ( x ) 0,0005 x 3 0,15 x 2 25 x 2000 ) Berechnen Sie die Kostenkehre und geben Sie an, in welchem Bereich der Kostenverlauf progressiv und in welchem degressiv ist. (2 P) (2 P) d) Angenommen, pro Mengeneinheit kann ein Preis von 30 Geldeinheiten erzielt werden. Berechnen Sie jene Absatzmenge, bei der der Gewinn (= Erlös minus Kosten) maximal ist und bestimmen Sie wie groß er dann konkret ist. (2 P) Seite 2 2. KURVENENUNTERSUCHUNG Die Flugbahn eines Golfballs kann näherungsweise durch eine Funktion 3. Grades f : y ( x ) ax 3 bx 2 cx d beschrieben werden. x … Horizontale Distanz zum Koordinatenursprung in m y … Höhe des Golfballs in m a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung, wobei folgende Daten gegeben sind: Der Abschlagpunkt liegt im Koordinatenursprung. Dieser ist auch gleichzeitig ein Wendepunkt. Der höchste Punkt der Bahn liegt 80 m vom Abschlag entfernt in einer Höhe von 25 m. Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten der Funktion f auf und bestimmen Sie diese. (4 P) b) Bei einem anderen Schlag ergibt sich folgende Funktion: g : y ( x ) 5 106 x 3 0,24 x Berechnen Sie, in welcher Entfernung der Ball auf den Boden auftrifft. Bestimmen Sie auch unter welchem Winkel dies erfolgt. (1 P) (2 P) c) Die Bewegungsenergie des Balls ist durch folgende Formel bestimmt. E m v 2 2 E … Energie in Joule (J) m … Masse in kg v … Geschwindigkeit in m/s Formen Sie diese Formel nach der Größe v um. Berechnen Sie, welche Geschwindigkeit ein 45 g schwerer Ball erreicht, wenn er mit einer Energie von 100 J abgeschlagen wird. Argumentieren Sie, um welchen Faktor sich die Energie erhöht, wenn die Geschwindigkeit verdoppelt wird. Seite 3 (1 P) (1 P) (2 P) 3. STOCHASTIK Eine Forscherin macht Experimente mit Ratten. Sie lässt 20 Ratten durch ein Labyrinth laufen und stoppt folgende Zeiten (in Sekunden): 346, 322, 280, 302, 383, 420, 205, 250, 375, 445, 310, 256, 340, 470, 317, 220, 427, 264, 405, 355 a) Bestimmen Sie den Median, die Quartilen sowie die Spannweite. (2 P) b) Teilen Sie die Zeiten in Klassen ein (0 - 1 Minuten, 1 - 2 Minuten, ……). Wenn ein Wert auf einer Klassengrenze liegt, soll er zur unteren Klasse gerechnet werden. Ermitteln Sie für jede Klasse die absolute und relative Häufigkeit. (2 P) Zeichnen Sie das entsprechende Histogramm. (1 P) c) Die Forscherin will untersuchen, ob Ratten bestimmte Farben bevorzugen und baut dafür ein Labyrinth mit einem blauen und einem roten Gang. Berechnen Sie wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich von 10 Ratten mindestens 7 für den blauen Gang entscheiden, wenn sie beide Gänge mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählen sowie (1 P) wenn sie mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% den blauen Gang bevorzugen. (1P) Die Forscher haben in Erfahrung gebracht, dass die Masse der Versuchsratten normalverteilt ist mit einem Erwartungswert von = 320 g und einer Standardabweichung von = 26 g. d) Bestimmen Sie, ab welcher Masse die Ratten zu den 5 % schwersten zählen. (3 P) e) Die schnellste Ratte wiegt 300 g. Berechnen Sie, wie viel Prozent aller Ratten eine Masse besitzen, die um nicht mehr als 20 g von der Masse der schnellsten Ratte abweichen. (2 P) Seite 4 4. TRIGONOMETRIE, ZAHLEN UND MASSE a) Von einem Beobachter auf der Erdoberfläche wird die Sonne unter einem bestimmten Sehwinkel (vgl. Skizze) gesehen. Geben Sie eine explizite Formel für den Sehwinkel unter Verwendung des Sonnenradius r und des Abstandes d des Beobachtungspunktes E vom Sonnenmittelpunkt M an. (2 P) Berechnen Sie den Sonnenradius, wenn der Sehwinkel 0,5 º beträgt und die Distanz EM 150 000 000 km beträgt. (2 P) b) Licht breitet sich mit einer Geschwindigkeit von ca. 300.000 km/s aus. Berechnen Sie die Entfernung zwischen Erde und Sonne, wenn das Licht für diese Entfernung ca. 8,3 Minuten braucht (2 P) Wie viele Stunden braucht das Licht vom Kleinplaneten Pluto, der im Mittel 5,869 Milliarden km von der Erde entfernt ist, zu uns. (2 P) Seite 5 c) Betrachten Sie das folgende Dreieck und kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an. tan e d e cos m m cos e arcsin d m (4 P) 5. EXPONENTIELLE ABNAHME Die Anzahl von Neuronen in der Großhirnrinde kann durch folgende Funktionsgleichung berechnet werden: N(t ) 21,115 0,9985t N(t) … Anzahl der Neuronen in Milliarden (Mrd.) in Abhängigkeit vom Lebensalter (t) t … Lebensalter in Jahren (a) „Innerhalb von 50 Jahren nimmt die Anzahl der Neuronen in der Großhirnrinde um 10 % ab.“ a) Überprüfen Sie mit Hilfe des gegebenen Modells, ob diese Behauptung für die ersten 50 Jahre zutrifft. (3 P) b) Bestimmen Sie, in welchem Alter die Neuronenzahl auf 85 % vom Anfangswert abgesunken ist. (2 P) c) Erstellen Sie ein exponentielles Modell (=Funktion) für die Abnahme der Neuronen wenn folgende Daten gegeben sind: Im Lebensalter von 10 Jahren existieren 20,8 Mrd. Neuronen, im Alter von 90 Jahren 18,5 Mrd. Neuronen. Die unabhängige Variable ist dabei t (Lebensalter in Jahren), die abhängige Variable ist N (Anzahl der Neuronen in Mrd.). (5 P) d) Dokumentieren Sie, wie Sie mit den Daten N(25)=20 und N(100)=17 ein lineares Modell erstellen würden (ohne Berechnung!). (2 P) Seite 6 Seite 7 LÖSUNGEN: Seite 8 1 a) K '( x ) ax 2 bx c ; K ''(x) 2ax b I. K '(0) 25 K '(0) 0a 0b c 25 II. K '(100) 10 K '(100) 10000a 100b c 10 III. K ''(100) 0 K ''(100) Beispiel 3: Analysis a 0,0015; b 0, 3; 200a b 0 c 25 a) Die Grenzkosten sind bei Produktion von 100 Mengeneinheiten minimal und betragen dort 10 Geldeinheiten pro Mengeneinheit. x b xc x KK '( xx ) a 0 ,0015 x 2 0, 3 x K 25 2 b) 2a xb K 0 25 K 100 0 K 100 10 Gleichungssystem: Die Minimalen c 25 Grenzkosten berechnet man durch Nullsetzung der 1. Ableitung von ab0 K‘(x), also200 K‘‘(x)=0. a100x b 10 0 x 100ME K '' 10 x 000 0,003 c 0,3 200 ab 0 bei der Produktion von 100 ME minimal und betragen dort Die Grenzkosten sind ab0,15 K‘(100)=10100 GE/ME 100a0,15 c) a0,0015 b 200 0,0015 0,3 3 2 x 0,0015x 0,3x 25 2 K ( x ) K K '( x ) dx 0,0015x 0,3 x 25 dx 0,0005x 0,15x 25x d 2 3 2 b) K x 0,0005x 0,15x 25xK K ( x ) 0,0005 x 3 0,15 x 2 25 x 0 2000 3 2 K x 0,0005x 0,15x 25x2000 x Rechts vom Wendepunkt, also im Intervall 100; Intervall 0; 100 degressiv. K 0 2000 50 2937,5 100 3500 150 4062,5 200 5000 250 6687,5 300 9500 steigen die Kosten progressiv, im Seite 9 Kostenkehre K ''( x ) 0 x 100ME Links vom Wendepunkt, also im Intervall [0,100] steigen die Kosten degressiv, rechts davon im Intervall [100,[ progressiv. d) Erlös(Umsatz) : E ( x ) 30 x Gewinn: G(x) E(x) K(x) 0,0005 x 3 0,15 x 2 5 x 2000 G '( x ) 0,0015 x 2 0,3 x 5 0 x 215ME Für die Produktion von 215 ME ist der Gewinn maximal. Seite 10 2 a) f : y ( x ) ax 3 bx 2 cx d y (0) 0 d 0 II. y ''(0) 0 b0 I. III. y (80) 25 803 a 80 2 b 80 c d 25 IV. y '(80) 0 3 80 a 2 80 b c 0 512000a 80c 25 240a c 0 a 5,073 10 5 b0 c 0, 012175 d 0 b) y(x)=-5 106 x 3 +0,24x=0 x 219,089m 219m y'(x)=-15 10 6 x 2 +0,24 y '(219,089) 0,48 arctan( 0,48) 25,641o c) v 2E m v 2 100 66,667 67 ms 0,045 Die Energie vervierfacht sich bei Verdoppelung der Geschwindigkeit Seite 11 3 a) Klasse hi fi 0 – 60 0 0 61 – 120 0 0 121 – 180 0 0 181 – 204 2 0,1 241 – 300 4 0,2 301 – 360 6 0,3 361 – 420 5 0,25 421 – 480 3 0,15 Med 331, Q1 272, Q2 394, sp 265 b) 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Kategorie 1 181 - 240 241 - 300 301 - 360 361 - 420 421 - 480 Seite 12 c) P ( X 7) 1 binomcdf (10; 0,5; 6) 0,1719 17,19% P ( X 7) 1 binomcdf (10;0,75; 6) 0,7759 77, 59% d) Normalverteilung Seite 13 P ( X xo ) 0,05 P ( X xo ) 0,95 xo InvNorm(a; ; ) InvNorm(0,95;320;26) 362,766 363 g e) P (300 20 X 300 20) P (280 X 320) normalcdf(280;320; ; ) 0, 438 43,8 % 4 a) r r r sin( ) sin1( ) 2 sin1( ) 2 d 2 d d r sin( ) 2 d 0,5 r d sin( ) 150000000 sin( ) 656 000km 2 2 b) s v t 300000 km 8, 3 60s 1,548 108 km 150 106km s Seite 14 t s 5,869 109 19563s=5,434h v 300000 c) W, F, F, W 5 a) N (t 50) 21,115 0,9985 50 19,588 21,115 19,588 0,072 7,2% 21,115 Die Aussage ist falsch. Die Abnahme der Neuronen in 50 Jahren beträgt nur 7,2 %. b) N (t ) 0,85 N0 N0 0,9985t 0,85 0,9985t t ln0,85 108 a ln0,9985 Seite 15 Im Alter von 108 a ist die Neuronenzahl auf 85 % abgesunken. c) N (t 10) N0 a10 20,8 N (t 90) N0 a90 18,5 N0 a90 18,5 a80 0,889423 a 80 0,889423 0,998536 10 N0 a 20,8 N0 a10 20,8 N0 20,8 21,107 a10 N (t ) 21,107 0,998536t d) N 25 a 25 b 20 N 100 a 100 b 17 a und b Seite 16