WR,Trigo, WiMa, exp. und lineare Vorgänge, Int/Diff

Übungsbeispiele 6 - 8B
I. Binomialverteilung bzw. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung
Stelle jede Frage auch grafisch dar!
1) Gib an, unter welchen Bedingungen die Binomialverteilung angewendet werden darf.
2) Unter welchen beiden Voraussetzungen darf die Binomialverteilung durch die Normalverteilung
approximiert werden?
3) Bei einer Versuchsserie wird eine 1€-Münze 150-mal geworfen.
a)
b)
c)
d)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 60-mal „Zahl“ kommt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 70-mal „Zahl“ kommt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 70-mal, aber höchstens 90-mal „Zahl“ kommt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl von „Zahl“ maximal 10 vom Erwartungswert
abweicht?
e) In welchem symmetrischen Bereich um den Erwartungswert liegt die Anzahl von „Zahl“ mit einer
Wahrscheinlichkeit von i) 50%, ii) 75%; iii) 95%?
Lösungen: a)99,28%;b)20,71%; c)78,57%; d)89,75%; e) 71 X79; 68X82; 63X87
4) Nach einer aktuellen Studie sind 15% der Österreicher/innen nicht gegen FSME geimpft.
Es werden 25 Personen zufällig ausgewählt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens 3 Personen nicht geimpft?
b) Wie viele Personen muss man mindestens überprüfen, dass sich mit mindestens 90%iger
Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Nichtgeimpfter darunter befindet?
Es werden 750 Personen zufällig ausgewählt:
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Nichtgeimpften größer als 100 ist?
d) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegt die Anzahl der Nichtgeimpften mit
einer Wahrscheinlichkeit von 95%?
Lösungen: a) 47,11% b) 15-mal c) 89,97% d) 93X132
5) Aus Statistiken ist bekannt, dass der Anteil der Linkshänder/-innen in der Bevölkerung ungefähr 12 %
beträgt.
Aus unserer Schule werden aus jeder Klasse (35 Klassen) per Zufall 4 Schüler/-innen ausgewählt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 15 und höchstens 18 Linkshänder/-innen dabei
sind.
b) Wie viele Schüler/-innen muss man auswählen, dass sich mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens
98% ein Linkshänder/eine Linkshänderin unter den zufällig ausgewählten befindet?
Es werden 1000 Personen aus Graz zufällig ausgewählt:
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Linkshänder/-innen größer als 110 ist?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Linkshänder/-innen unter 130 liegt?
e) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegt die Anzahl der Linkshänder/-innen
mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 80%?
Lösungen: a) 39,81% b) 31 c) 80,94% d) 80,94% e) 107X133 (79,41%) 107X133 (82,69%)
1
Übungsbeispiele 6 - 8B
II. Beispiele zur Trigonometrie:
1. Ein Grundstück hat die Form eines ungleichschenkeligen Trapezes ABCD mit den Parallelseiten AB
und CD: AB = 85 m, CD = 25 m, β = ABC = 70°. Durch das Grundstück führt von A nach C ein 105
m langer Weg. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang dieses Grundstücks.
(Flächeninhalt des Trapezes: A = (a+c)·h/2)
2. Von einem Viereck kennt man die Seitenlängen AB = a = 10 cm, BC = b = 7 cm, CD = c = 3 cm, AD =
d = 5 cm und den Winkel α = DAB = 65°.
a) Berechne den Flächeninhalt des Vierecks.
b) Eine durch B gehende Gerade teilt das Viereck in zwei flächengleiche Teile. Wie groß ist der
Winkel, den diese Gerade mit der Seite a einschließt, und in welchem Abstand zu A schneidet
sie die Seite d?
3. Von einem viereckigen Grundstück sind folgende Maße bekannt: AB = 112 m, BC = 48 m,
AD = 75 m, α = DAB = 67°, β = ABC = 102°.
a) Berechne die Länge der Seite CD (2 Dez.) und den Flächeninhalt des Grundstücks (auf m²
genau).
b) Das Grundstück soll in ein flächengleiches Parallelogramm umgewandelt werden, wobei die
Seite AB und der Winkel α erhalten bleiben. Wie lang muss die andere Seite des
Parallelogramms sein?
(Flächeninhalt des Parallelogramms: A = a·b·sin α)
4. Ein viereckiges Grundstück hat folgende Abmessungen: AB = a = 56 m, AD = d = 97 m,
DAB = α = 104°, ABC = β = 121°, ADC = δ = 81°.
a) Berechne den Umfang und Flächeninhalt des Grundstücks.
b) Das Grundstück soll im Zuge einer Grenzvereinfachung die Gestalt eines Parallelogramms
erhalten, wobei der Flächeninhalt, die Seite d und der Winkel α gleich bleiben sollen. Wie
groß wird die zweite Seite des Parallelogramms?
5. Von einem viereckigen Grundstück ABCD weiß man: AB = 633 m, BC = 615 m,
AD = 150 m, α = DAB = 90°, β = ABC = 115,6°.
a) Berechne den Flächeninhalt des Grundstücks.
b) Eine durch A gehende Strecke AX soll das Viereck in zwei flächengleiche Teile teilen.
Bestimme, ob der Punkt X auf BC oder CD liegt. Wie weit ist er von C entfernt?
Lösungen:
1.
2.
A = 5025 m², u = 302,84 m
a)
b)
31,1cm²
19,97°, 3,43 cm
a)
b)
CD = 95,27 m, A = 6152 m²
59,67 m
a)
b)
U = 421,57 m, A = 9890,5 m²
105 m
a)
b)
242944 m²
auf BC; CX = 189,4 m
3.
4.
5.
2
Übungsbeispiele 6 - 8B
III. Beispiele zur Finanzmathematik: Aufgaben Mathematik verstehen 6 (Neuauflage)
Rechne näherungsweise mit der theoretischen Verzinsung:
3
Übungsbeispiele 6 - 8B
4
Übungsbeispiele 6 - 8B
Lösungen:
9.03 a) 5267,12€; 5453,08€; 5548,51€ b)5199,47€; 5336,85 €; 5406,90 €.
9.04 a) 4757,33€; 4528,65€; 4313,04€ ; 3917,63€ b) 9052,87€; 8203,48€; 7440,94€ ; 6139,13€.
9.05 a) 14052,59€; b) 14052,42€; c) 17146,99€.
9.10: 1) 35 Jahre; 2) T=log(2)/log(q).
9.16 a) 16548,48€; b) 16228,08€; c) 16482,41€.
9.17: 1) 4328,24€; 2) 4327,91€.
9.19: 1) 1222,88€; 2) 1222,68€.
9.20: 1) 1044,50€; 2) 1044,42€.
9.24 a) 6352,37€; b) Ende 12. Jahr; c) 5683,54€.
9.25 a) 11433,72€; b) Ende 11. Jahr; c) 1784,77€.
9.27: 444,26 €.
9.28 a) 370,39€; b) 630,26€; c) 657,61€; d) 386,48€.
9.29 a) 106334,46€; b) 59043,75€.
9.33 a) 230,94€; b) 164,40€; c) 116,67€.
9.34: 257,38 €.
9.42 a) 198,19€; b) 7048,19€.
9.43: 101,52 €; 6091€.
9.44 a) 203,47€; 14650€ b) 10323,34€; c) 6608,58€.
9.45 a) 278,25€; 26712€ b) 11495,04€; 291,84€; 652€ verteuert.
9.46 1) 1557,28€; 373747€ 2) 1670,78€; 400987€; 3) Z=1175,94€; 482226€.
5
Übungsbeispiele 6 - 8B
IV. Exponentielle und lineare Vorgänge: Aufgaben Mathematik verstehen 6 (Neuauflage)
6
Übungsbeispiele 6 - 8B
Zu 1) Halbwertszeit C-14: 5730 Jahre
Lösungen:
4.45 a) 2,05 h; b) 4,35 h; c) 5,61 h.
4.46 a) ca. 114 000 Einwohner; b) ca. 150 000 Einwohner.
4.47 1) 6200 Menschen ursprünglich; 2) 3400 Menschen; 5,8% jährliche Abnahme; 3) 3400 Menschen; 300 Personen
jährliche Abnahme.
4.53 N(t)  N0  0,9761 ,t in Jahren, Halbwertszeit ca. 28,654 Jahre.
4.54 a) nach ca. 70 Jahren; b) nach ca. 100 Jahren; c) nach ca. 199 Jahren.
4.59 a) in ca. 3,1 m; b) in ca. 4,9 m; c) in ca. 10,3 m.
t
4.60 p(h)  p0  0,999874 ,h in Meter.
4.66 1) 2660 v.Chr.; 2) zwischen 2680 und 2630 v. Chr.
4.74 a) ca. 3,05 min; b) ca. 3,82 Tage; c) ca. 1600 Jahre; d) ca. 4,5 Milliarden Jahre.
h
4.75 1) Kurve näherungsweise exponentiell fallend; 2) im Mittel ca. 13% Abnahme pro 20 s; h(t)  30  0,993 , t in s,
h in mm; 3) 30 mm Anfangshöhe; 0,993 bedeutet 0,7 % Abnahme pro s; 4) Halbwertszeit 100 s; keine gute
Bierschaumhaltbarkeit.
4.76: im Jahr 2045.
4.77 a) lineare Abnahme: nach 2h: auf 60%; nach 4 h 45 min: auf 5%; nach 5h auf 0% gesunken; b) exponentielle
Abnahme: nach 2h 17 min: auf 60%; nach 13 h 25,5 min: auf 5%; Konzentration sinkt theoretisch nie auf 0%.
t
7
Übungsbeispiele 6 - 8B
V. Differential- und Integralrechnung: ausgewählte Aufgaben
1. Die abgebildete Staumauer ist 50 m hoch und hat in jeder Höhe eine
annähernd rechteckige horizontale Schnittfläche.
Die Dicke a dieser Mauer (und damit eine Seitenlänge der
Schnittfläche) nimmt von 30 m an der tiefsten Stelle bis zu 10 m an der
höchsten Stelle linear ab. (Ansatz: a(z) = kz+d)
a(z)
Die Breite b der Mauer (und somit die 2.Seitenlänge der Schnittfläche)
ist in einer Höhe von z Meter über der Grundfläche durch b(z) =pz²+q
(in m) gegeben. Die Breite beträgt an der tiefsten Stelle 20 m, an der
höchsten Stelle 45 m.
a) Bestimme die Koeffizienten k, d, p, q und die Schnittflächenfunktion
A(z).
b) Wie viel m³ Beton sind zur Errichtung der Staumauer erforderlich? Lösungen: a) -0,4; 30; 0,01; 20; b) 26250 m³
2. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f ( x)  34  16  x ² und g ( x)  3  x .
a) Bestimme Definitionsmenge, Nullstellen und Extrempunkte von f. Zeichne die Graphen beider
Funktionen in ein Koordinatensystem.
b) Das von den Graphen von f, g und der x-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiert um die xAchse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
Lösungen: a) D=[-2; 2]; N1(-2/0), N2(2/0), H(0/3); b) V= 47,1 E³
3. Gegeben ist die Funktion f mit
f ( x)  x  x  3 .
a) Bestimme Definitionsmenge, Nullstellen und Extrempunkte von f. Zeichne den Graphen von f im
Intervall [-3; 1].
b) Das von dem Graphen von f und der x-Achse eingeschlossene Flächenstück rotiert um die
x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers.
Lösungen: a) D=[-3; [; N1(-3/0), N2(0/0), T(-2/-2); b) V= 21,2 E³
4.
5. Gegeben sind die Graphen der 1. und 2. Ableitung einer Polynomfunktion f.
Zeichne einen möglichen Graphen von f ein. Gib alle Extrem- bzw. Wendestellen samt Steigung an.
f‘
f‘
f‘‘
f‘‘
8
Übungsbeispiele 6 - 8B
6.
Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f(x)  x  a .
a) Begründe, dass a=-2.
b) Bestimme die mittlere Steigung des Graphen von f in
den Intervallen [2; 3] bzw. [3; 6].
c) Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle 3.
Zeichne die Tangente ein.
6
d) Berechne das Integral  f(x)dx . Wie kann man den Wert des Integrals deuten?
2
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