Zusammenfassung ND

Parameter der (idealen) Kristallstruktur





Chemische Zusammensetzung
Raumgruppe
Gitterparameter
Bruchkoordinaten
Okkupationszahlen
1
Parameter der Realstruktur






Räumliche Verteilung der chemischen
Zusammensetzung
Spannungsfreier Gitterparameter
Eigenspannung erster Art
Kristallitgröße
Vorzugorientierung der Kristallite
Typ, Dichte und Verteilung der
Strukturdefekte (Punktdefekte, Liniendefekte,
2D-Defekte, Ausscheidungen)
2
Realstruktur und Gefüge dünner Schichten






Phasenzusammensetzung (Phasenanalyse)
Mechanische Belastung (Eigenspannungsanalyse)
Änderung der chemischen Zusammensetzung, Punktdefekte
(Bestimmung der spannungsfreien Gitterparameter)
Kristallanisotropie und makroskopische Anisotropie (Analyse
der Kristallanisotropie)
Vorzugsorientierung der Kristallite (Texturanalyse)
Einfluss der Korngrenzen und Sunkorngrenzen auf die
physikalischen Eigenschaften der Schichten (Bestimmung der
Kristallitgröße und der lokalen Gitterverzerrung –
Mikrospannung)
3
Anwendung der Röntgenbeugung in
Dünnschichtanalytik (Zusammenfassung)






Phasenanalyse (Röntgenbeugung + Information über
chemische Zusammensetzung)
Eigenspannungsanalyse (Röntgenbeugung + mechanische
Methoden)
Bestimmung der Gitterparameter (Röntgenbeugung +
HRTEM)
Analyse der Kristallanisotropie (Röntgenbeugung)
Texturanalyse (Röntgenbeugung + Analyse der Kikuchi
Linien)
Bestimmung der Kristallitgröße und der Mikrospannung (REM
+ TEM + Röntgenbeugung)
4
Vergleich XRD/XRR

XRD



Notwendig fürs Ausmessen
der Netzebenenabstände
Untersuchung der
Kristallinität der
Multilagenschichten
Besser geeignet für die
Untersuchung der Dicke
von einzelnen Schichten,
wenn die Schichten dünn
sind

XRR



Notwendig für Untersuchung
der Elektronendichte einzelner
Schichten
Zuverlässige Information über
einzelne Schichten
(Untersuchung des
Tiefengradienten)
Viel besser geeignet für
amorphe Multilagenschichten
XRD und XRR liefern komplementäre Daten
Daher ist die Kombination beider Methoden empfehlenswert
5
Phasenanalyse an dünnen Schichten
Profilanalyse
Eigenspannungsanalyse und
Bestimmung der spannungsfreien
Gitterparameter
Bestimmung der
Phasenzusammensetzung
Texturanalyse
6
Realstruktur und Gefüge von dünnen Schichten
Eigenspannung 1. Art
mechanische Belastung
~F
F
Spannungsfreier
a>a
0
Gitterparameter
a=a0
chemische Zusammensetzung,
Punktdefekte im Kristallgitter
F
a<a0
Textur
Eigenspannung 2. Art
(Mikrospannung)
e
d
d
Kristallitgröße
7
Modell einer Multilagenschicht
Cap
Layer n
Beugungskontrast
(Unterschied in atomaren
Streufaktoren)
Kristallinität der einzelnen
Schichten,
Vorzugsorientierung der
Kristallite und Kristallitgröße
Layer 3
Layer 2
Layer 1
Buffer
Substrate
Makroskopische Periodizität
Mittlerer Netzebenenabstand
und Netzebenenanzahl und
ihre Verteilung
Atomare Anordnung
8
Kristallgitterdefekte in nanokristallinen Schichten
Was ist die Ursache für
große Mikrospannungen in
nanokristallinen Schichten?
Schematische Darstellung einer Disklination
„Kohärenz“ der Atome in
Nachbardomänen oder in
Nachbarkristalliten
?
9
Multilagenschichten


Cap
Layer n

Layer 3
Layer 2
Layer 1
Buffer
Substrate

Harte Schichten
Elektronische Schichten
 Laser
 Festkörperdetektoren
 Transistoren
Magnetische Schichten
 GMR Schichten
 Magnetische Sensoren
 Leseköpfe für Festplatten
 Magnetische Ventile
Optische Schichten
 Variabler Brechungsindex
 Kerr Effekt (Kerr Rotation)
10
Strukturmodell für Weitwinkelbeugung
d-spacing, dB
Intralayer
disorder, d
tB=NB.dB
L = tA+tB
Interlayer
disorder, c
d-spacing, dA
Interlayer distance, a
tA=NA.dA
11
Strukturmodell (für Röntgenreflexion im
Kleinwinkelbereich)
Deckschicht (Cap)
Layer n
Jede Schicht wird charakterisiert durch:
 Brechungsindex, bzw. Elektronendichte
Schicht 3
 Schichtdicke
Schicht 2
 Grenzflächenrauhigkeit, bzw.
Oberflächenrauhigkeit
Schicht 1
Buffer
Substrat
12
Symmetrische Beugungsgeometrie
 Koplanare Beugung
 Parafokussierende Geometrie
 Symmetrische Anordnung
 Feste Richtung der
Beugungsvektors
qz
qx  0, q y  0, qz  1 10Å-1
qy
qx
13
Symmetrische Beugungsgeometrie
Plus
Minus
 Arbeitet mit divergentem
Primärstahl
 Beugungsebene sind parallel zur
Probenoberfläche
 Simple Scans im reziproken Raum
(Textur)
 Anwendbar hauptsächlich für
polykristalline Materialien
 Beugungsebenen sind parallel zur
Probenoberfläche
 Eindringtiefe hängt vom
Beugungswinkel ab
14
Röntgenbeugung unter streifendem Einfall
(Glancing angle X-ray Diffraction, GAXRD)
 Koplanare Beugungsgeometrie
 Kleiner (und konstanter)
Primärwinkel
 Bewegender Detektor
 Variable Richtung des
Beugungsvektors
qx  7  0Å-1, q y  0, qz  1  4Å-1
qz
qy
qx
15
Röntgenbeugung unter streifendem Einfall
(Glancing angle X-ray Diffraction, GAXRD)
Minus
Plus
 Reduktion der Eindringtiefe beim
kleinen Einfallwinkel
 Die Eindringtiefe ist fast
unabhängig vom Beugungswinkel
 Anwendbar für polykristalline
Werkstoffe
 Komplexe Untersuchung des
reziproken Raumes (bes. bei einer
Vorzugsorientierung)
 Probleme mit Oberflächenabsorption
(Abnahme der Intensität bei rauen
Oberflächen)
16
GAXRD – Experimentelle Anordnung

Asymmetrische Beugungsgeometrie; kleiner Einfallwinkel; großer
Austrittwinkel
Seemann-Bohlin geometry
Parallel beam optics
Detector with
receiving slit
Monochromator
Diffractometer axis
Detector
X-ray
tube
Sample
Monochromator
Sample
X-ray tube
Soller
collimator
References:
H. Seemann: Ann. Physik 59 (1919) 455.
H. Bohlin: Ann. Physik 61 (1920) 420.
17
-Verfahren
 Nichtkoplanare
Beugungsgeometrie
 Asymmetrische (/2q) Geometrie
 Variable Richtung des
Beugungsvektors
q x   10,10Å -1, q y  0, q z  1  10Å -1
qz
qy
qx
18
-Verfahren
Plus
Minus
 Messung in verschiedenen
Richtungen des Beugungsvektors
(notwendig für Eigenspannungsund Texturmessungen)
 Beschränkter Winkelbereich
 Die Eindringtiefe hängt vom
Beugungswinkel und von der Kippung
der Probe ab
19
-Verfahren
 Nichtkoplanare
Beugungsgeometrie
 q/2q symmetrisch, Probe wird
gekippt
 Variable Richtung des
Beugungsvektors
qx  0, q y  0 10Å-1, qz  1  10Å-1
qz
qy
qx
20
-Verfahren
Plus
Minus
 Messung in verschiedenen
Richtungen des Beugungsvektors
(notwendig für Eigenspannungsund Texturmessungen)
 Die Eindringtiefe hängt vom
Beugungswinkel und von der Kippung
der Probe ab
 Der Primärstrahl muss kollimiert
werden, dass die instrumentellen
Aberrationen nicht zu groß sind und
dass eine gute Kohärenz der Strahlung
auch in der y-Richtung gewährleistet ist
 Netzebenen sind erreichbar, die in
koplanarer Beugungsgeometrie
nicht untersucht werden können
21
Röntgenreflexion im Kleinwinkelbereich
Monochromator
Detektor
Probe
 Koplanare symmetrische
Beugungsgeometrie
 Kleiner Einfallwinkel, kleiner
Austrittswinkel
 Unveränderliche Richtung des
Beugungsvektors
qx  0, q y  0, qz  0  0.7Å-1
Plus
 Amorphe oder kristalline
Materialien (Schichten) können
untersucht werden
 Eine geringe Eindringtiefe –
oberflächensensitive Methode
Minus
 Kleine Divergenz des Primärstrahles ist
wichtig
 Anwendbar nur für glatte Oberflächen
22
Grazing-incidence X-ray Diffraction
(GIXRD)
 Nichtkoplanare
Beugungsgeometrie
 Beugung an den zur
Probenoberfläche senkrechten
Netzebenen
 Messung im oberflächennahen
Bereich
 Gute Qualität der Oberfläche ist
notwendig (die Oberfläche muss
die Röntgenstrahlung
reflektieren)
qz
qy
qx
qx  1 10Å-1, q y  1 10Å-1, qz  0
23
Grazing-incidence X-ray Diffraction
(GIXRD)
Minus
 Zugänglich sind nur die Netzebenen
(hk0)
 Sehr kleine Eindringtiefe
 Anwendbar für Proben mit kleiner
(Oberflächenbeugung), einstellbar
Oberflächenrauhigkeit (Messung in der
durch den Primärwinkel
Nähe der totalen Reflexion)
 Die Eindringtiefe ist konstant
 Notwendig ist eine gute Kohärenz in der
 Strukturanalyse an polykristallinen
horizontalen sowie vertikalen Richtung
und epitaktischen Schichten
(Synchrotronstrahlung)
Plus
24
Phasenanalyse
Chemische Zusammensetzung: GDOES, ESMA mit
EDX und/oder WDX, XPS, …
Beugungslinien: Position, Intensität, Breite, Form
3
Intensity (a.u.)
10
Datenbank: z.B. PDF von ICDD
2
10
Phasenzusammensetzung:
WC + TaC … Substrat
1
10
20
40
60
80
100
o
Diffraction angle ( 2q)
120
140
TiN … Schicht (Probe 1)
AlN + TiN … Schicht (Probe 2)
25
Phasenanalyse an nanokristallinen Schichten
Profilanalyse
 Position
 Intensität
 Breite
 Form
45
Intensity (cps)
40
35
Änderung der Position
 Chemische
Zusammensetzung
 Eigenspannung 1.Art
 Strukturdefekte
30
25
20
55
60
65
70
80
75
85
90
o
Diffraction angle ( 2q)
Beispiel: TiAlN Schicht auf WC Substrat, GAXRD bei  = 3°
Mögliche Phasen: TiN (Fm3m), Ti1-xAlxN (Fm3m), AlN (P63mc, Fm3m)
Änderung der Intensität
 Vorzugsorientierung
 Dicke der Schicht
26
Eigenspannungsanalyse
Zweiachsige Eigenspannung in
dünnen Schichten
 13   23   33  0
dy  d 0
d0

Zylindrisch symmetrische
Eigenspannung
 11   22   ; 12  0
d0

s
y


1 +n
n
  sin 2 y   11 +  22 
E
E
   11 cos 2  +  12 sin 2 +  22 sin 2 
dy  d 0
y
n
1 +n
2n
 sin 2 y  
E
E
d0 = ???  Datenbank (?)
0
 ||
sin2y
0
2n/1+n
1
Problem: Einfluss der chemischen Zusammensetzung und der Dichte der
Punktdefekte auf den (die) Gitterparameter
27
Eigenspannungsanalyse
Spannungsfreier Netzebenenabstand
dy  d 0
d0

1 +n
2n
 sin 2 y  
E
E


n
ay
s
y

a


dy  d 0   1 +n sin 2 y  2n + 1
E

Messung an einer Familie der
Netzebenen
a0
2/-Scan
Kubische dünne Schichten

a ||



ay  a0   1 +n sin 2 y  2n + 1
E

Messung an verschiedenen Netzebenen
GAXRD
sin2y
0
2n/1+n
1
a0 (d0) und  können bestimmt werden, wenn
n und E bekannt sind
28
Eigenspannungsanalyse
 i3  0 :
4.243
    11 cos  +  12 sin 2 +  22 sin 
2
2
311
222
1 +n
n
 33   11 +  22 +  33  +
E
E
1 +n
 13 cos  +  23 sin  sin 2y
+
E
+
4.242
4.241
220

m)

4.240
4.239
111
200
1 +n
    33 sin 2 y +
E
-10
d0

Lattice parameter (10
dy  d 0
331
420
4.244
400
Scherspannungen
422
4.245
4.238
4.237
Abweichung von der linearen
Abhängigkeit a vs. sin2y
4.236
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2
sin 
Beispiel: CVD TiN Schicht, GAXRD bei =3°
29
Texturanalyse mit Röntgenstrahlung
Symmetrische 2/-Messung
140
Intensity (cps)
120
Bestimmung der Texturrichtung und Abschätzung
des Texturgrades mittels Harris-Texturindexes
100
80
60
hkl  hkl 
I meas i I calc i
40
Ti 
20
0
20
40
60
80
100
120
140
o
Diffraction angle ( 2q)
140
1
N
N
hkl i hkl i
I
 meas I calc
hkl 
hkl i
; I calc i  I random
i 1
Intensity (cps)
120
Voraussetzung: zylindrisch symmetrische
Fasertextur
100
80
60
40
Gauss:
20

2
Phk  G2 + 1  G2  exp  G1 hk


0
20
40
60
80
100
120
140
o
Diffraction angle ( 2q)
PVD Ti1-xAlxN Schichten, GAXRD bei  = 3°
March-Dollas:

sin  hk 
Phk  G2 + 1  G2 G1 cos  hk 2 +

G
1


2
30
 32
Texturanalyse mit Röntgenstrahlung
-Verfahren
Bestimmung der Breite der GaussVerteilung der Kristallite um die
Vorzugsrichtung
2 = konstant
qz
qy
Integral intensity (a.u.)
50
-Scan
(220)
(311)
40
qx
30
20
Gauss
10
0
-30
-20
-10
0
10
20
30

I  G2 + 1  G2 exp  G12

Sample inclination (deg)
31
Texturanalyse mit Röntgenstrahlung
2/-Verfahren – q-Scan (reciprocal
space mapping)
Textur + Eigenspannungsanalyse
2/-Scan
333
422
511
331
200
420
5-11
311
150
Intensity (cps)
222
220
111
100
50
PVD UN, GAXRD bei  = 3°
0
20
40
60
80
100
o
Diffraction angle ( 2)
120
140
Messung bei qy = 0
32
Analyse der Linienverbreiterung
Warren-Averbach-Methode
ln Ans  
Kleines n:
Kristallitgröße


An  Ans exp  2 2 h 2 X n2
Fourier Koeffizienten:
Mikrospannung
n
m
X n2  n 2
Kleine Gitterverzerrung:
400
100
15
10
60
40
20
0
-0.9
-0.6
-0.3
0.0
0.3
0.6
0.9
Diffraction angle (q  qB)
5
Intensity (a.u.)
20
Fourier coefficient (An)
Intensity (a.u.)
Fourier coefficient (An)
80
35
30
25
300
200
100
20
0
15
-1.5
10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Diffraction angle (q  qB)
5
0
0
0
10
20
Number of the Fourier coefficient
30
0
10
20
30
40
Number of the Fourier coefficient
Wichtig: Qualität der Messdaten. Notwendig: Entfaltung der gemessenen Profile
33
Analyse der Linienverbreiterung
… in nanokristallinen dünnen Schichten
 Schwache Beugungslinien im
2/-Scan  Probleme mit
der Qualität der Daten
45
 GAXRD  Netzebenen mit
unterschiedlichen (hkℓ) haben
unterschiedliche
makroskopische Richtung
Intensity (cps)
40
 Breite Linien, niedrige
Intensität  Bestimmung der
Linienform ist nicht zuverlässig
35
30
25
Williamson-Hall
20
55
60
65
70
75
80
o
Diffraction angle ( 2q)
85
90
Scherrer Formel
34
Analyse der Linienverbreiterung
Williamson-Hall-Abhängigkeit
 
n
n
 1   4e sin q 
   +

D   
Kristallitgröße
-1
Line broadening (10 Å )
30
20
e
15
10
5
1/D 0.0
25
PVD TiAlN Schichten, GAXRD bei
=3°
-3
-3
25
Cauchy: n = 1
Gauss: n = 2
Mikrospannung
PVD UN Schicht, GAXRD bei =3°
-1
Line broadening (10 Å )
30
n
0.2
0.4
0.6
sin 
0.8
1.0
20
15
10
5
0
0.0
D<0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
sin 
35
Analyse der Linienverbreiterung
Einfluss der Kristallitform auf die Orientierungsabhängigkeit der
Linienverbreiterung
Kristallitgröße = (Anzahl der kohärenten Atome entlang q)  (Netzebenenabstand entlang q)
-3
-1
Line broadening (10 Å )
Kugelförmige Kristallite – gleicher
Durchmesser in allen
makroskopischen Richtungen
Stängelförmige Kristallite – die
Kristallitgröße hängt stark von
der makroskopischen Richtung
ab.
25
Wenn zusätzlich eine
Fasertextur vorhanden ist:
20
D
 D
D  min  x , z
 sin y cosy
15



10
5
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
sin 
36
-1
40
-3
… in nanokristallinen dünnen Schichten
Line broadening (10 Å )
Analyse der realen Struktur
TiAlSiN 422
0
30
40
50
60
70
80
90
20
10
0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
sin 
WC 211
WC 103
TiAlSiN 331
WC 210
WC 202 TiAlSiN 420
WC 112
TiAlSiN 400
WC 002
50
WC 111
TiAlSiN 311
WC 200
WC 102
TiAlSiN 222
WC 201
TiAlSiN 220
WC 110
100
WC 101
TiAlSiN 200
WC 100
TiAlSiN 111
150
WC 001
Intensity (cps)
200
a = 4.190 Å,  = -6 GPa
D = 10 nm, e = 11.3×10-3
30
100 110 120 130 140
Realstrukturparameter
 Kleine Kristallitgröße
 Große Makrospannung
 Fast keine Textur
 Oft große Mikrospannung
Diffraction angle (°2)
37
Obligatorische Untersuchungsmethoden
Röntgenbeugung und Röntgenstreuung (XRD, XRR)
d-spacing (Å)
Intensity (a.u.)
100
10
8
10
6
10
4
10
2
10
0
50
30
10
20


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

o
Scattering angle ( 2  )
d-spacing (Å)
Intensity (a.u.)
4.5 4
10
3
10
2
3.5
3
2.5
2
1.5

10
1
20
25
30
35
40
45
50
55
Nicht destruktive
Untersuchungsmethode
Keine spezielle
Probenpräparation ist
erforderlich
Information über die Dicke,
Elektronendichte und atomare
Anordnung einzelner Schichten
und über die Morphologie der
Grenzflächen
Beobachtungen im reziproken
Raum (komplizierte Auswertung)
60
o
Diffraction angle ( 2  )
38
Weitwinkelbeugung – experimentelle
Anordnung
 Koplanare Beugungsgeometrie
 Symmetrischer Modus
 Divergenter Primärstrahl
 Einfache Scans im reziproken Raum (der
Beugungsvektor ist senkrecht zur
Probenoberfläche)
 Diffraktierende Beugungsebenen sind
parallel zur Probenoberfläche
qz
cosq o  cosq i 
q z  2 sin q o + sin q i 
qx 
2

q x  0, q y  0, q z  1  10Å -1
qx
39
Weitwinkelbeugung – Interpretation des
Beugungsbildes
Lagen der Beugungsmaxima
Fe/Au (3.24nm/1.41nm)  12
Fe: 16  0.20268 nm, Au: 6  0.2355 nm
35

-2
-3
30
-1
-4
20

1
n
+
d L
Makroskopische Periodizität
(des wiederholten Motivs)
 d
q0
25
Intensity (a.u.)
2 sin q n
L  N Ad A + N B d B
+1
15
Mittlerer Netzebenenabstand
10
+2
5
0
30
32
34
36
38
d 
dB
dA
40
42
44
46
48
N Ad A + N B d B
L

N A + NB
N A + NB
50
o
Diffraction angle ( 2 q )
40
Berechnung der diffraktierten Intensität
Kinematische Beugungstheorie
I  FSL F
*
SL
, FSL   Fn exp iqx n 
n
xn+1
Fn+1
xn
Fn
M
FSL  Fbuff +  exp iqx L FAL + exp iq t AL + a AL FBL + exp iq t AL + a AL + t BL + aBL FCL +
L 1
M
+  exp iqx L exp iq t AL + a AL + t BL + aBL + tCL + aCL FDL + exp( iqxtop ) Ftop
L 1
Gaußförmige Verteilung der Abstände
zwischen den nächsten Schichten
 aL  a 2 
1
P(aL ) 
exp 

2c 2 
2 c 
E.E. Fullerton, I.K. Schuller, H. Vanderstraeten, and Y. Bruynserade, Phys. Rev. B 45(16) (1992) 9292.
41
Strukturfaktor einzelner Schichten in der
Multilagenschicht
Amplitude der Streustrahlung (kinematisch)
 
FL   f L exp iq  r 
NL
Ideal georderte Struktur:
NL
exp iqN L d L   1

r  0,0, nd L   FL   f n exp iqnd L   f n
exp iqd L   1
n 1
Zufällige atomare Verschiebung:
NL
FL  
n 1

r  0,0, nd L + d 
 d 2 
 q 2d 2 
exp iqN L d L   1

f n exp iqnd L   P0 exp iq d  exp 
d d   f n
 exp  
2 


d
exp
iqd

1
4


L




42
Strukturfaktor einzelner Schichten in der
Multilagenschicht


r  0,0, nd L + n d
Korrelierte Atompositionen:
NL
FL  
n 1
NL

n 1

 d 2 
f n exp iqnd L   P0 exp iq n d exp 
d d  
2 
d



 
q 2d 2 
exp N L   1
q 2d 2
  f n
f n exp n iqd L 
;   iqd L 


4
exp


1
4

 



d … Breite der Gaußschen Verteilung für atomare Verschiebungen
(charakterisiert die Kristallinität der Schichten)
dL … mittlerer Netzebenenabstand innerhalb der Schicht L
43
Experimentelle Anordnung
Hochauflösende Röntgenbeugung
Ge (111)
Kinematische Beugungstheorie
Divergenzblende
80 mm
Channel-cut
Analysator
4Si (111)
Detektor
Scatter slit
Röntgenquelle
(Drehanode)
Probe
Messbedingungen
Eine Serie von -scans
• bei /2 = 1700”
• bei verschiedener “in-plane”
Rotation der Probe
44
Optische Theorie der Röntgenreflexion
Brechungsindex für Röntgenstrahlung
r0 2
n  1
N at ( f1 + i f 2 )  1
2
Klassischer Radius des Elektrons
r0 = e2/40mec2
Brechungsindex des Vakuums
n 1
Snell Gesetz
nA cosq rA  nB cosq rB
Snell Gesetz (Vakuum/Werkstoff)
cosq  nM cosq M
Kritischer Winkel
cos q c  nM
1
q c2
2
 nM
r0 2
r0 2
2
 1
N at ( f1 + i f 2 )  q c 
N at ( f1 + i f 2 )
2

45
Brechungsindex für
Röntgenstrahlung
re 2
n  1+   1+  1

2
2
re 2
n  1
 e  f 0 + f   if 
2
n  1  d + i  1
Vakuum: n = 1
Gold:
d = 4.640910-5
 = -4.5823 10-6
n = 0.99995 - 4.58 10-6 i
Reflectivity

10
10
qc
0
10
-1
10
-2
10
-3
-1
TE R
10
-2
10
-3
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Penetration depth ( m m )
Externe Totalreflexion
o
Glancing angle ( 2  )
46
Eindringtiefe im Kleinwinkelbereich
(optische Theorie)
E1  z1   E1 0  exp it  k1, x x1 + k1, z z1 
E1R  z1   E1R 0  exp it  k1, x x1  k1, z z1 
E2 z 2   E2 0  exp it  k 2, x x1 + k 2, z z 2 

 Amplitude des elektromagnetischen Feldes

 (planare Welle)


k 22, x + k 22, z  k 22  n22 k12  n22 k12,x cos 2 q  k12,x 1  2d 2  2i 2 + q 2



k 22, z  k 22  k 22, x  k12,x 1  2d 2  2i 2 + q 2  k12 ; k 2, z  k1 q 2  2d 2  2i 2

I 2  E2 z 2 E2* z 2   E2 0 exp  ik1 z 2 q 2  2d 2  2i 2 + ik1 z 2 q 2  2d 2 + 2i 2
2
xe : I 2 E2 0   1 e  z 2  
2

i
k1 q 2  2d 2 + 2i 2  q 2  2d 2  2i 2

; k1 

2

47
Optische Theorie der Röntgenreflexion
r AB
n A sin q rA  nB sin q rB

n A sin q rA + nB sin q rB
r// AB
nB sin q rA  n A sin q rB

nB sin q rA + n A sin q rB
t  AB
2n A sin q rA

n A sin q rA + nB sin q rB
t // AB
2nB sin q rA

nB sin q rA + n A sin q rB
Fresnel Reflektionskoeffizienten
Fresnel Transmissionskoeffizienten
Snell Gesetz
nA cosq rA  nB cosq rB
Alle Winkel werden auf den Vakuumwinkel bezogen
48
Röntgenreflexion (im Kleinwinkelbereich)
a j 1E j 1 + a j 11E Rj1  a j 1E j + a j E Rj
a
1 R
j 1E j 1  a j 1E j 1
f j  n j sin q j 

n 2j
f
j 1k1

 cos q
a j  exp  ik1 f j t j 2

 a j 1E j  a j E Rj f j k1
2

cosq  n j cosq j 
1
2
3
Rekursive Berechnung der Reflektivität
R j 1, j 
r j , j 1 
a 4j 1
R j , j +1 + r j 1, j
R j , j +1r j 1, j + 1
f j 1  f j
f j 1 + f j

; R j , j +1 
Verallgemeinerter
Beugungsvektor
R
E
j
a 2j
Ej
n 2j 1  cos 2 q  n 2j  cos 2 q
n 2j 1  cos 2 q + n 2j  cos 2 q

q j 1  q j
q j 1 + q j
; qj 
4

n 2j  cos 2 q
L.G. Parratt: Physical Review 95 (1954) 359-369.
49
Röntgenreflexion (im Kleinwinkelbereich)
Fresnel Reflektionskoeffizient: rj 
n j sin q j  n j +1 sin q j +1
n j sin q j + n j +1 sin q j +1

n 2j  cos 2 q  n 2j +1  cos 2 q
n 2j  cos 2 q + n 2j +1  cos 2 q
Snell Gesetz:
nV cosq  n j cosq j  n j sin q j  n 2j  cos 2 q
Beugungsvektor:
qj 
4

n 2j  cos 2 q  rj 
Interface Rauhigkeit (Debye-Waller Faktor):
Amplituden:
A j 1 
 j A j + rj
; AN  0
 j A j rj + 1
Reflektierte Intensität:
I  A0 A  A0
*
0
q j  q j +1
q j + q j +1
rj 
q j  q j +1
q j + q j +1

 exp  q j q j +1  2j 2

Phasenverschiebung:
2
 j  exp iq j t j   a j 2
50
Beugungsvektor
qj 
Snell Gesetz
2
q  k o  ki 
2


sin q
n 2j  cos 2 q
cosq  n j cosq j
sin q j  1  cos 2 q j 
1
nj
n 2j  cos 2 q
n j sin q j  n 2j  cos 2 q
r AB
n A sin q rA  nB sin q rB q A  qB


A
B
n A sin q r + nB sin q r
q A + qB
t AB
2n A sin q rA
2q A


n A sin q rA + nB sin q rB q A + qB
Fresnel Koeffizienten
51
Intensität der Röntgenreflexion
Rekursive Formel
2
f
1
j +1 A j +1t j , j +1t j +1, j
Aj  rj , j +1 + t j , j +1 f j2+1 Aj +1
t

r
+
j +1, j
j , j +1
1  f j2+1 Aj +1rj +1, j
f j2+1 Aj +1rj , j +1 + 1
rAB = -rBA
tAB.tBA + rAB.rAB = 1
Aj 
f j2+1 Aj +1 + rj , j +1
f j2+1 Aj +1rj , j +1 + 1
Reflexionsvermögen
2
2
R 0  12 ( A0 + A0// )
52
Kleinwinkelstreuung – experimentelle
Anordnung
 Koplanare Beugungsgeometrie
Monochromator
Detektor
 Kleiner Einfallwinkel, kleiner
Austrittwinkel
 Beugungsvektor ist senkrecht zur
Probenoberfläche
Probe
 Anwendbar für amorphe oder
kristalline Werkstoffe
 Anwendbar nur für glatte Oberflächen
Analysator
Blende
Im reflektierten Strahl
qx  0, q y  0, qz  0  0.7Å-1
 Geringe Eindringtiefe – Untersuchung
der Oberfläche
 Eine kleine Divergenz des
Primärstrahles ist notwendig
53
Interpretation der Röntgenreflexionskurven
Reflectivity
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
Eine dicke Au-Schicht:
 Externe Totalreflexion
Elektronendichte der obersten
Schicht
re 2
n  1

2
re 2
 1
 e  f 0 + f   if 
2
 Schnelle Abnahme der
reflektierten Intensität
Oberflächenrauhigkeit
0
2
4
6
8
10

I  q 4 exp  q 2  2 2

o
Glancing angle ( 2 q )
54
Interpretation der Röntgenreflexionskurven
Reflectivity
10
0
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
30 nm Gold auf Silizium:
 Externe Totalreflexion
 Abnahme der reflektierten Intensität
 Kiessigsche Oszillationen (fringes)
Die Periodizität der Oszillationen
ergibt die Dicke der gesamten
Multilagenschicht
qt  2m
q
10
-6
10
-7
4

n 2  cos 2 q
2t n 2  cos 2 q  m
0
2
4
6
8
10


2t n 2  cos 2 q m +1  n 2  cos 2 q m  
o
Glancing angle ( 2 q )
55
Interpretation der Röntgenreflexionskurven
10
0
Reflectivity
Al/Au (4 nm/2 nm)10:
10
-1
10
-2
10
-3
10
-4
10
-5
10
-6
10
-7
 Externe Totalreflexion
 Kiessigsche Oszillationen (fringes)
 Braggsche Intensitätsmaxima
entsprechen der Dicke des
periodischen Motivs
qL  2m
2L n 2  cos 2 q  m
0
2
4
6
8
10
o
Glancing angle ( 2 q )
56
Simulation der Reflexionskurven
Al/Au (tA/tB)10:
Au/Al, 10x, t A +t B =7.5nm
10
8
10
6
t(A)/t(B)=1/1
t(A)/t(B)=1/2
Reflectivity
t(A)/t(B)=1/3
Konstante Grenzflächenrauhigkeit,
 = 0.35 nm
t(A)/t(B)=1/4
10
4
Unterschiedliches Verhältnis der Dicken
einzelner Schichten (tA/tB)
10
2
 Änderung der reflektierten Intensität
10
0
10
-2
10
-4
10
-6
10
-8
 Auslöschen des n(tB/tA+1)-ten
Braggschen Maximums
Vergleich mit der kinematischen
Beugungstheorie an Kristallen (bei tA/tB = 1):
Multilagenschichten: Auslöschen der geraden
Maxima
0
2
4
6
8
o
Glancing angle ( 2 q )
10
Kristalle: Auslöschen der ungeraden Maxima
Grund: Phasenverschiebung um 90°
57
Simulation der Reflexionskurven
Au/Al (2.5nm/5nm)x10 und Au/Al
(2.5nm/5nm)x10
Au/Al (2.5nm /5nm )x10
10
Reflectivity
10
10
2
Au/Al (5nm /2.5nm )x10
Konstante Grenzflächenrauhigkeit,
 = 0.35 nm
0
 Änderung der reflektierten Intensität
zwischen den Braggschen Maxima
-2
10
-4
10
-6
10
-8
 Verschiebung der Braggschen
Maxima in der Nähe der Kante der
Totalreflexion
0
2
4
6
8
o
Glancing angle ( 2 q )
10
 Problem bei der Auswertung der
Reflexionskurven von realen
Multilagenschichten: Korrelation der
Dicke der Einzelschichten mit der
Grenzflächenrauhigkeit
58
Kombination von Kleinwinkelstreuung und
Weitwinkelbeugung
12  Fe/Au
Intensity (a.u.)
10
10
5
10
4
10
3
10
2
800
600
400
200
10
10
LAR
HAR
t (Fe)[nm]
(1.8±0.1)
(1.4±0.1)
t (Au)[nm]
(2.0±0.1)
(2.3±0.1)
L [nm]
3.8
3.7
 (Fe) [nm]
0.6
0.2
 (Au) [nm]
0.9
0.3
1000
6
1
0
0
0
2
4
6
o
Glancing angle ( 2  )
30
40
 (Fe)
(1.2±0.2)
 (Au)
(1.06±0.09)
d (Fe) [nm]
0.2027
d (Au) [nm]
0.2355
50
o
Diffraction angle ( 2 q )
59