Teil6

Auswertung der Beugungsdiagramme
(von Polykristallen)
Linienpositionen
27.51
31.87
45.66
54.12
56.74
66.53
73.41
75.65
84.40
90.86
90.86
101.70
108.39
110.67
110.67
120.21
128.01
130.80
143.47
1
Bestimmung der Linienposition
Intensität (Impulse)
60
50
Linienposition = Position
des Maximums
40
2B = 2 (I = max)
30
20
10
0
37
38
39
40
41
Beugungswinkel (°2)
42
43
2
Bestimmung der Linienposition
60
Linienposition = Position
des Maximums der
angepassten Funktion
Intensität (Impulse)
50
40
I  a  2 2  b  2   c
30
20
10
0
38
39
40
41
42
Beugungswinkel (°2)
3
Bestimmung der Linienposition
60
Linienposition = Position
des Maximums der
angepassten Funktion
Intensität (Impulse)
50
40


I  a1  exp a3 2  a2 2  b
30
20
10
0
38
39
40
41
42
Beugungswinkel (°2)
4
Auswertung der Linienpositionen (für
kubische Strukturen)
2d hk sin  hk  
d hk 

2 sin  hk
ahk  d hk h  k  
2
2
2
ahk d hk

  cot  hk  hk
a0
d0
s
cos  hk
2R
s

cos  hk cot  hk
2R
 hk  
ahk
a0
d hk h 2  k 2   2
(1)
2
2
2
d hk
h

k


1
1
1


ahk
1
ahk
(1)
d hk
h2  k 2  2


d hk
h12  k12  12
2
2
2
2
 d (1) 
h

k


hk


 
2
2
2
 d hk 
h

k


1
1
1


s
cos  hk cot  hk
2R
 90 cot  hk  0   ahk  0
ahk  a0
 hk
5
6
7
Auswertung der Linienpositionen
2
27.51
31.87
45.66
54.12
56.74
66.53
73.41
75.65
84.40
90.86
d
3.239
2.806
1.985
1.693
1.621
1.404
1.289
1.256
1.147
1.081
101.70
108.39
110.67
0.993
0.950
0.937
120.21
128.01
130.80
143.47
0.888
0.857
0.847
0.811
(d1)²/d² (d1)²/d²(h²+k²+ℓ²)
1.000
3.000
3
1.333
3.998
4
2.663
7.988
8
3.660
10.979 11
3.992
11.976
12
5.321
15.962 16
6.317
18.952 19
6.649
19.948 20
7.978
23.934 24
8.974
26.923 27
27
10.635 31.904 32
11.631
34.892 35
11.963
35.888 36
36
13.291 39.872 40
14.286 42.859 43
14.618 43.855 44
15.946 47.838 48
hkℓ
111
200
220
311
222
400
331
420
422
511
333
440
531
600
442
620
533
622
444
a
5.61026
5.61174
5.61463
5.61572
5.61600
5.61687
5.61736
5.61750
5.61799
5.61830
cos cot
3.967
3.368
2.189
1.743
1.630
1.274
1.075
1.017
0.817
0.691
5.61874
5.61896
5.61903
0.514
0.422
0.393
5.61930
5.61948
5.61953
5.61975
0.287
0.214
0.191
0.103
8
Bestimmung des Gitterparameters
ahk
s

cos  hk cot  hk
a0
2R
a0
5.620
ahk  a0  a0
Gitterparameter (Å)
5.618
s
cos  hk cot  hk
2R
s
cos  hk cot  hk  a0
2R
 90 cot  hk  0 
ahk  a0
5.616
 hk
5.614

ahk  0 ; ahk  a0
 hk  
5.612
s
cos  hk
2R
5.610
0
1
2
3
4
cos  cot 
Bragg-Brentano Diffraktometer, kubisches Kristallgitter
9
Bestimmung des Gitterparameters
ahk
  2  cot  hk
a0
5.620
ahk  a0  a0 cot  hk   2 
ahk  a0  2  cot  hk  a0
Gitterparameter (Å)
5.618
 hk  90 cot  hk  0
5.616

ahk  0 ; ahk  a0
5.614
 hk  const.
5.612
Nullpunktverschiebung
5.610
0
1
2
cos  cot 
3
4
10
Instrumentelle Linienverschiebung
Bragg-Brentano Diffraktometer
11
Instrumentelle Aberrationen des BraggBrentano Diffraktometers
Nullpunktverschiebung
Verschiebung der Probe
und Transmission
  
2s
cos 
R
  const.
Parallelstrahloptik
Spalte
Soller
Kollimator
12
Instrumentelle Linienverschiebung
Abberation
Linienverschiebung
Nullpunkt des
Diffraktometers
Konstant
Probenverschiebung
 2s
cos 
R
Transparenz (t  )
 sin 2 2R
Transparenz (t  0)
 t cos R
Flache Probe
  2 cot  6
Bragg-Brentano Diffraktometer
13
Instrumentelle Linienverschiebung
Abberation
Probenverschiebung
(entlang des
Primärstrahles)
Linienverschiebung
 s  sin 2 2R
Probenverschiebung
(senkrecht zum
Primärstrahl, 2<90°)
2s L
Probenverschiebung
(senkrecht zum
Primärstrahl, 2>90°)
2s 2    L
Transparenz
k cos
Debye-Scherrer Kamera
14
Instrumentelle Linienverschiebung
Detector with
receiving slit
Diffractometer axis
Abberation
Nullpunkt des
Diffraktometers
Probenverschiebung
Monochromator
Konstant


s  sin 2

arctan 
 2 R sin  sin 2     s  cos 2 
Transparenz (t  )
sin 2
2Rsin  sin 2   
Transparenz (t  0)
t sin 2
4 R sin  sin 2   
Flache Probe
 2 sin 2
12 sin  sin 2   
Sample
X-ray tube
Linienverschiebung
Seemann-Bohlin Diffraktometer
15
Bestimmung der Gitterparameter
… in nichtkubischen Strukturen
2
 1 
2
sin




 

 d2 


 hkl exp 
 1 
2
2
2 2
2 2



h
a
*

k
b
*


c * 2hka * b * cos  * 
 d2 
 hkl calc
 2kb * c * cos  * 2hc * a * cos  *



sin


i  i 2

2
1 
 min
2 
d hkl 
16
Direktes und reziprokes Gitter
Triklin:

bc sin 
V
a 
; sin   
V
abc sin  sin 

ca sin 
V
b 
; sin   
V
abc sin  sin 

ab sin 
V
c 
; sin   
V
abc sin  sin 
V  abc sin  sin  sin  * 
 abc sin  sin  * sin  
 abc sin  * sin  sin 
V  abc 1  cos 2   cos 2   cos 2   2 cos  cos  cos 

Monoklin: a  
 1 
1
1
;b  ;c 
;       90 ;    180   ; V  abc sin 
a sin 
b
c sin 
Orthogonal (orthorhombisch,
tetragonal, kubisch):
Hexagonal:
 1  1  1
a  ; b  ; c  ;          90; V  abc
a
b
c
 

2
1
3
a b 
; c   ;       90 ;    60 ; V  abc
c
2
a 3
Rhomboedrisch :
  
a b c 
sin 
a 1  3 cos 2   2 cos3 
;         ; cos    
cos 
17
1  cos 
Information über die Realstruktur
Vegardsche Regel:
In Materialien mit der gleichen Kristallsymmetrie hängen die
Gitterparameter linear von der chemischen Zusammensetzung ab.
Beispiel:
TiN: fcc, a = 4.2418 Å
TiC: fcc, a = 4.32 Å
Gitterparameter (Å)
4.32
4.30
4.28
Änderung der chemischen
Zusammensetzung
4.26
4.24
0.0
0.2
0.4
0.6
TiCxN1-x
0.8
1.0
Änderung des
Gitterparameters
18
Konzentrationsgradient
80
70
Linienasymmetrie
60
Intensität
50
40
30
20
10
0
-10
38
39
40
41
Beugungswinkel
42
43
19
Andere Quellen der
Linienasymmetrie
 Systematische Änderung der
Netzebenenabstände
 Stapelfehler, Zwillinge
 Turbostratische Strukturen (Graphit,
Tonmineralien, Interkallate)
20
Globale Verzerrung des Kristallgitters
Eigenspannung 1. Art
mechanische Belastung
~F
F
F
Konsequenz
a>a0
a=a0
Verschiebung der Beugungslinien
a<a0
21
Eigenspannung 1.Art
n
ay
Kubische Werkstoffe
s
y

a




ay  a0   1 n sin 2 y  2n  1
E

Symmetrische Beugungsgeometrie
 2n 
ay  a0 1   
E 

Zugspannung
 0
ahk  a0
a0
a ||
sin2y
Druckspannung
 0
0
2n/1n
1
ahk  a0
22
Bestimmung des Gitterparameters
Die Effekte:
1. Einfluss der instrumentellen Linienverschiebung
2. Einfluss der chemischen Zusammensetzung
3. Einfluss der Eigenspannungen 1. Art (der globalen
Verzerrung des Kristallgitters)
müssen (und können) unterschieden werden, weil sie
eine unterschiedliche funktionale Abhängigkeit vom
Beugungswinkel oder von der makroskopischen
Orientierung der Probe besitzen.
23