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Brückenkurs Mathematik für den
Studiengang Holztechnik
22. bis 24. und 26. September 2003
Johannes Creutziger, FH -Eberswalde
Ziele
Aktivierung von Wissen und Fähigkeiten
Einstimmung auf das, was auf Sie zukommt
Hilfe beim Finden einer geeigneten
Arbeitsweise (Lernen, das Richtige zu lernen)
Hilfe bei der Selbsteinschätzung, beim Finden
von Defiziten
Angst vor Mathematik abbauen
Bedeutung, Tests
Der Brückenkurs hat keine formale Bedeutung (er ist
zum Beispiel keine Prüfung und keine
Prüfungsvorleistung)
Selbsttest: ja, teilweise (im Internet). Siehe
http://www.fh-eberswalde.de/user/jcreu/index2.html
dort besonders:
Test für Studienanfänger/innen
Test zum Brückenkurs
Literatur, Unterlagen
Es gibt eine Reihe von Büchern, die „Brückenkurs
Mathematik“ oder „Vorkurs Mathematik“ heißen und
fachlich ausgerichtet sind auf „Mathematik für
Ingenieure“ oder ähnlich.
Karl Bosch: Brückenkurs Mathematik, Oldenbourg
Verlag, mehrere Auflagen
Schäfer, Georgi, Trippler: Mathematik-Vorkurs,
Teubner-Verlag, mehrere Auflagen
Papula: Mathematik für Naturwissenschaftler und
Ingenieure, Band 1 bis 3,
außerdem gibt es einen Band mit Übungsaufgaben
und Lösungen, mehrere Auflagen (nicht nur für den
Brückenkurs)
Sinnvoll ist eine Formelsammlung (Tafelwerk)
Thesen, Teil 1
Auch die angewandte Mathematik, um die es hier
geht, ist im Vergleich zu anderen Wissensgebieten
„theoretisch“
Nicht immer lässt sich sofort plausibel zeigen, wozu
man einen mathematischen Begriff oder
mathematische Fakten später braucht
Wichtig sind nicht mathematische Beweise, sondern
der flexible und kreative Umgang mit
mathematischem Wissen
Thesen, Teil 2
Man muss nicht viele Formeln, Lehrsätze und so
weiter auswendig lernen. Statt dessen reicht es
meistens, zu wissen wo man etwas findet
Man sollte sich aber nicht sträuben, einige wichtige
Dinge doch zu „lernen“
Ganz wichtig ist die Fähigkeit zur Selbsteinschätzung:
Was habe ich verstanden, wo habe ich ernsthafte
Defizite?
Thesen, Teil 3
Es gibt einige mehr technische Fähigkeiten, die man
für den Umgang mit der Mathematik einfach
beherrschen sollte, um sich das Leben nicht unnötig
schwer zu machen, zum Beispiel Umgang mit
Summenzeichen, Indizes, einige Differentiations- und
Integrationsregeln, Regeln zum Lösen linearer
Gleichungssysteme
Die Verwendung von Computern bietet sich vielfach
an (zum Beispiel bei CAD, bei Statikberechnungen,
allgemein beim Lösen von Gleichungen und
Gleichungssystemen, bei der Statistik) und kann
erhebliche Arbeitserleichterungen bringen, ersetzt aber
nicht das Verständnis der Zusammenhänge.
Wofür Mathematik in der Holztechnik?
Naturwissenschaftliche (z.B. physikalische)
Grundlagen
Maschinenkunde
Werkstoffkunde (z.B. Beschreibung der
technischen Eigenschaften von Holz und
Holzwerkstoffen)
Bauphysik, Statik
Technisches Zeichnen, CAD (computergestütztes
Zeichnen und Konstruieren)
Statistik (Beschreibung der Schwankungen der
Eigenschaften von Werkstoffen, Auswertung von
Versuchsergebnissen)
Mathematische Gebiete
Eigenschaften von Funktionen, einige wichtige
Klassen von Funktionen
Geometrie (Punktmengen in der Ebene und im Raum,
z.B. Geraden, Ebenen, Kurven, ...)
Lineare Gleichungssysteme, Matrizen
Differentialrechnung, Integralrechnung von
Funktionen einer Variablen
Komplexe Zahlen
Differential- und Integralrechnung von Funktionen
mehrerer Variabler
Differentialgleichungen
Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik
Symbole
Buchstaben bezeichnen Größen (Elemente von Mengen, oft handelt es sich um Zahlen); große und entsprechende Kleinbuchstaben werden unterschieden. Üblich,
aber nicht absolut festgelegt sind zum Beispiel:
i, j, k, l, m, n für natürliche Zahlen (0; 1; 2; ...) oder
ganze Zahlen (..., -2; -1; 0; 1; 2; ...)
a, b, c, ..., s, t, u, v, w, x, y für reeller Zahlen, häufig x
und y für Unbekannte, x auch als unabhängige Vari-able
und y als abhängige Variable in Funktionen
ε, δ für „kleine“ reelle Zahlen (positive Zahlen nahe 0)
Spezielle Symbole für wichtige Mengen, zum Beispiel
N, Q, R für bestimmte Zahlenbereiche.
Symbole sind im Prinzip frei wählbar, es gibt aber
Gewohnheiten und Konventionen für die Verwendung.
Indizes
Symbole können mit tiefgestellten Zahlen versehen sein,
sogenannten Indizes. Beispiel:
n 1, x 2, h 0
Buchstaben mit verschiedenen Indizes bedeuten im
Allgemeinen verschiedene Elemente, also x1 ist etwa
anderes als x2, genauso wie x etwas anderes als y ist.
Man kann mit Indizes also die Begrenztheit des
Alphabets überwinden. Wichtiger ist aber, dass sich mit
Indizes Formeln und mathematische Lehrsätze
(Theoreme) oft besser formulieren lassen, wenn die
Indizes folgerichtig verwendet werden.
Verwendung von Indizes, Teil 1
Es seien mehrere Massenpunkte gegeben (die Anzahl
sei n, n ist dabei eine natürliche Zahl), alle diese
Massenpunkte haben eine x-Position und eine Masse;
diese Größen werden bezeichnet mit
x1, x2, x3, ... und m1, m², m3, ...
Der erste Massenpunkt hat also die Position x1 und die
Masse m1, der zweite hat die Position x2 und die Masse
m2, und so weiter.
Man kann möglicherweise Formeln zur Berechnung der
xi (oder mi) angeben, zum Beispiel:
xi = 2i +1 für i = 1, 2, ..., 10, oder auch
xi = 2i +1 für i = 1, 2, 3, ... (für alle i ab 1).
Das bedeutet also: x1= 3, x2= 5, x3= 7, ...
Verwendung von Indizes, Teil 2
Besonders wichtig ist die Verwendung von Indizes in
Formeln:
Beispiel: Das verallgemeinerte Distributivgesetz:
a(b1 + b2 + b3 + ... + bn) = ab1 + ab2 + ab3 + ... + abn
(Wie sollte man das ohne Indizes ausdrücken?)
Mit Hilfe des Summenzeichens lässt sich das
Distributivgesetz so schreiben:
n
n
i=1
i=1
a   bi =  a  bi
Beispiel: Schwerpunkt
Wie auf der vorvorigen Folie seien n Massenpunkte
gegeben mit den x-Positionen x1, x2, ..., xn, und m1, m2,
..., mn. Dann kann man xs, die x-Position des Schwerpunktes dieses Systems von Massenpunkten berechnen
mit der Formel
n
xm
i
xs =
i
i=1
n
m
i
i=1
Wenn die Massenpunkte auf der x-Achse liegen, ist
damit der Schwerpunkt bestimmt, er liegt auch auf der xAchse. Ansonsten kann man mit analogen Formel die yund z-Komponenten des Schwerpunktes bestimmen.
Beispiele für Formeln mit Summen
Es gibt Formeln für die Berechnung einiger wichtiger
Summen.
Ein Beispiel (Summe von negativen Potenzen zur Basis
zwei; die Formel gilt für n = 0, 1, 2, ... ):
n
n
1
1
k
= 2 = 2 n

k
2
k =0 2
k =0
Ein anderes Beispiel (Summe der natürlichen Zahlen
von 1 bis n; die Formel gilt für n = 1, 2, 3, ...):
nn  1
k=

2
k =1
n
Zahlbereiche
N Natürliche Zahlen: 0; 1; 2; ...
Z Ganze Zahlen: ...; -2; -1; 0; 1; 2; ...
Q Rationale Zahlen (dargestellt durch Brüche)
R Reelle Zahlen: Alle rationalen Zahlen und Zahlen
wie „Wurzel aus 2“,, e (= 2,718 ...), ...
(veranschaulicht durch Punkte auf der Geraden, darstellbar als endlich oder unendliche Dezimalbrüche)
C komplexe Zahlen (ein etwas „komplexeres“ Thema)
Rechenregeln: Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze, Vergleichbarkeit (nicht für komplexe Zahlen);
die Zahlbereiche unterscheiden sich (unter anderem)
in der Ausführbarkeit von Operationen; jeder Bereich
enthält den vorigen.
Mengen
Eine Menge ist eine Zusammenfassung von
wohldefinierten und wohlbestimmten Objekten der
Realität oder des Denkens zu einem Ganzen.
(nach Georg Cantor).
Mengen können endlich oder unendlich sein.
Die grundlegende Beziehung ist
„ist Element von“, dargestellt mit dem Symbol ∈.
a∈M
bedeutet „a ist Element der Menge M“; man sagt auch „a
ist Element von M“ oder „a ist in (oder aus) M“.
Die Zahlbereiche N, Z , Q, R , C sind Mengen.
Mengenoperation, Teilmengen
Vereinigung: A∪B = {x | x∈A oder x∈B}
Durchschnitt: A∩B = {x | x∈A oder x∈B}
Differenz:
A \ B = {x | x∈A und nicht x∈B}
andere Schreibweise:
A \ B = {x | x∈A und xB}
A⊂B (A ist Teilmenge von B), wenn alle Elemente von A
auch Elemente von B sind. Damit ist die Gleichheit nicht
ausgeschlossen. Anderes Symbol für diesen Sachverhalt:
A⊆B.
Die leere Menge (Bezeichnung: Ø) enthält keine
Elemente.
Bezeichnungen für Mengen
Durch Aufzählung, in geschweiften Klammern:
{2; 4; 6; 7} ist die Menge, die die 4 Elemente 2, 4, 6, 7
enthält.
Durch Angabe einer Eigenschaft:
{x | x hat Eigenschaft P} (zum Beispiel {x | x > 3}) ist die
Menge aller x, die die Eigenschaft P haben (im Beispiel:
die Menge aller reellen x, die größer als 3 sind).
Vollständigerweise müßte man im Beispiel schreiben {x |
x ist reell und x > 3}.
Spezielle Bezeichnungen, zum Beispiel
[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b} (das abgeschlossene Intervall von a
bis b).
Funktionen
Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift:
Jedem Element einer Menge (des Definitionsbereichs)
wird ein Element einer anderen Menge (des Wertebereiches) zugeordnet.
Sei D der Definitionsbereich, M der Wertebereich, f die
Funktion. Dann ist für jedes x ∈ D genau ein f(x) ∈ M
definiert. x ist das Urbild, f(x) das Bild.
Besonders wichtig sind Funktionen, bei denen der
Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen oder
eine einfach strukturierte Teilmenge davon ist, und der
Wertebereich ebenfalls die Menge der reellen Zahlen ist
(reellwertige Funktionen einer reellen Variablen).
Formeln zur Definition von Funktionen
Wenn im Folgenden von Funktionen die Rede ist, so
sind, wenn nicht ausdrücklich anders vermerkt, reellwertige Funktionen einer reellen Variable
gemeint.Reellwertige Funktionen einer reellen Variablen
werden häufig durch Formel gegeben. Beispiele:
f(x) = x2
oder
f(x) = 2 sin(3 x)
oder
f x  = x
Um exakt zu sein, muss man den Definitionsbereich
neben der Formel angeben. Für die letzte Funktion
könnte man festlegen: Definitionsbereich ist die Menge
aller nichtnegativen reellen Zahlen.
Die Ableitung
Die Ableitung einer reellwertigen Funktion f einer reellen
Variablen an der Stelle x beschreibt den Anstieg der
Funktion an der Stelle x; genauer: den Anstieg der
Tangente von f an der Stelle x.
Andere Formulierung: f ' (x) (die Ableitung von f an der
Stelle x) ist der Tangens des Anstiegswinkels in x.
Die Ableitung muss nicht für alle x aus dem Definitionsbereich von f definiert sein (an Knickstellen gibt es
keine Ableitung; Beispiel: Betragsfunktion für x=0).
Positive Ableitung in x bedeutet: f ist in x wachsend,
negative Ableitung in x bedeutet: f ist in x fallend.
Wenn f ' (x) = 0 ist, so hat f an der Stelle x
möglicherweise einen lokalen Extremwert.
Ableitung, Definition
Die reellwertige Funktion f sei auf einem Intervall reeller
Zahlen definiert ist, das den Punkt x0 enthält. Wenn für h
gegen 0 der Grenzwert
f x0  h   f x0 
s =lim
h
existiert, so nennt man s die Ableitung von f an der Stelle
x0, das bezeichnet man mit f '(x0) = s oder
df x  df d
= =
f x  = s
dx
dx dx
Gelesen: „df von x nach dx“, nicht „durch dx“, es handelt
sich um keine Division.
Wenn f '(x0) existiert, so ist f in x0 differenzierbar.
Ableitung, Anmerkungen
Falls die Ableitung f '(x) der Funktion f überall existiert,
wo f definiert ist, so ist f' wieder eine Funktion (jedem x
aus dem Definitionsbereich von f wird die Zahl f '(x)
zugeordnet); f ' hat dann denselben Definitionsbereich
wie f. Man sagt dann, f ist differenzierbar.
Die meisten Funktionen, die in der angewandten Mathematik vorkommen, sind differenzierbar.
Es gibt reellwertige Funktionen einer reellen Variablen,
die nirgendwo differenzierbar sind; das sind aber theoretische Konstrukte.
Rundungsfunktionen (die eine Zahl auf zum Beispiel 2
Stellen nach dem Komma runden) haben „Sprungstellen“, an denen sie nicht differenzierbar sind.
Ableitungsregeln
Es gibt Regeln für die Differenziation von Polynomen,
von zusammengesetzten Funktionen (Summenregel,
Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel), sowie
spezielle Regeln für zum Beispiel Exponentialfunktionen,
logarithmische Funktionen, trigonometrische Funktionen.
Diese Regeln sollten in jedem Tafelwerk zu finden sein.
Eine dieser Regeln ist die Kettenregel:
Sei h(x) = f (g(x))
Dann ist h'(x) = f '(g(x)) g '(x)
Beispiel für die Anwendung:
Sei h(x) = sin(x2), dann ist h'(x) = 2x cos(x2)
Relative (lokale) Extremwerte
Etwas vereinfacht gesagt, liegt ein relatives (lokales)
Maximum einer Funktion f in einem Punkt x0 ihres
Definitionsbereichs vor, wenn f „in der Nähe“ von x0
Werte hat, die kleiner oder gleich f(x0) sind. Analog sind
relative Minima definiert.
Beispiele: Die Funktion f(x) = x2 hat im Punkt x0 = 0 ein
relative Minimum. Die Sinusfunktion f(x) = sin x hat im
Punkt π /2 (entspricht 900) ein relatives Maximum. Wenn
man zu π /2 ein ganzzahliges Vielfaches von 2π addiert,
so erhält man einen anderen Punkt, an dem f ein lokales
Maximum hat.
Extremwerte und Ableitung
Wenn f differenzierbar ist und in x0 einen lokalen
Extremwert (Maximum oder Minimum) hat, so ist f '(x0)
(also die Ableitung von f an der Stelle x0) gleich Null.
Diese Eigenschaft wird häufig zum Finden von
Extremwerten verwendet.
Beispiel:
Sei f(x) = 2x2-6 x + 5.
Dann ist
f '(x) = 4x – 6.
Also hat f an der Stelle x = 1,5 möglicherweise einen
Extremwert, denn es ist f '(1,5) = 4*1,5 - 6 = 0.
(Anmerkung: Die Funktion f hat tatsächlich an der Stelle
1,5 ein Minimum.)
Extremwerte, Anmerkungen
Das Kriterium „erste Ableitung ist Null“ liefert eine
sogenannte notwendige, aber keine hinreichende
Bedingung für das Vorliegen eines Extremwertes.
Wenn f in x0 einen Extremwert hat, dann ist dort die
Ableitung Null; die Umkehrung gilt im Allgemeinen
nicht.
Es gibt hinreichende Bedingungen für das Vorliegen
von Extremwerten. Diese werden hier nicht formuliert.
Die Verwendung von Ableitungen zum Finden von
Extremwerten funktioniert nur für differenzierbare
Funktionen. Die Funktion f(x) = |x| (Betrag von x) hat im
Punkt Null ein Minimum, das sich nicht mit Hilfe der
Ableitung finden lässt.
Stammfunktion
Die Stammfunktion einer Funktion f ist eine Funktion F,
für die gilt:
F'(x) = f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich von f.
Die Stammfunktion ist also eine „Anti-Ableitung“:
Die Ableitung der Stammfunktion einer Funktion ist die
ursprüngliche Funktion.
Die Stammfunktion F von f ist nicht eindeutig be-stimmt:
Wenn F eine Stammfunktion von f ist, so ist auch jede
Funktion G der Art G(x) = F(x)+c, für eine beliebige
Konstante c, eine Stammfunktion von f.
Zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich nur um eine Konstante.
Stammfunktion, Beispiele
Eine Stammfunktion der Funktion f(x) = 2x ist
F(x) = x2.
Das ist dshalb so, weil f die Ableitung von F ist.
Eine andere Stammfunktion von f(x) = 2x ist
G(x) = x2 - 5 (nur eine additive Konstante zugefügt).
Wenn H eine Stammfunktion von f(x) = 2x ist, so gibt es
eine Konstante c, so dass H(x) = x2 + c gilt.
Das Finden einer Stammfunktion kann schwierig sein.
Man kann aber meistens leicht prüfen, ob F eine
Stammfunktion von f ist: Man muss F nur differenzieren.
Es gibt Funktionen, die durch einen relativ einfachen
Formelausdruck definiert sind, deren Stammfunktion
aber nicht durch einen Formelausdruck beschreibbar ist.