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Zeitlich variable Beschleunigung 1 Inhalt • Bewegung auf einer Kreisbahn – Komponenten des Ortsvektors: Funktionen von Radius und Winkel • Periodische Auslenkung • Zusammenhang zwischen beiden 2 Beispiel für eine beschleunigte Bewegung mit konstantem Betrag der Geschwindigkeit: Bewegung auf einer Kreisbahn Es variiert die Richtung der Geschwindigkeit 3 Periode und Winkelgeschwindigkeit Bewegung des Vektors vom Mittelpunkt zum Ort Einheit Periode, Zeit für eine Umdrehung Winkelgeschwindigkeit s 1/s T 2 T 4 Formulierung von Drehungen in einer Ebene • • Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant Ziel: Formulierung der Komponenten des Ortsvektors mit Radius und Winkel 5 Komponenten des Ortsvektors x y 6 Komponenten des Vektors: Funktionen von Radius und Winkel x r y Einheit x r cos y r sin r 1m 1m Komponenten des Vektors 1m Betrag, „Radius“ 1rad Winkel 7 Ortsvektor: Funktion von Radius und Winkel x r cos r r sin r y Einheit 1m Ortsvektor 1m Betrag, „Radius“ 1rad Winkel 8 Komponenten des Ortsvektors bei einer Drehung x r cos r r sin r y Einheit 1m Ortsvektor 1m Betrag, „Radius“ 1rad Winkel 9 Komponente y bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit y y t y (t ) r sin t T s 10 Komponente x bei Drehung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit y x t x(t ) r cost 11 Versuch • Konstruktion einer Sinus-Kurve durch Aufzeichnung der Projektion einer Kreisbewegung als Funktion der Zeit 12 Kartesische Komponenten und Kreisfrequenz e2 x r y t e1 Einheit x(t ) r cos(t ) 1m y (t ) r sin( t ) 1m 2 T 1/s Komponenten des Vektors Winkelgeschwindigkeit, T Periode 13 cos (t ) r r sin (t ) r Einheit 1m Ortsvektor 1m Betrag, „Radius“ 1rad Winkel (t ) (t ) t 2 T 1/s t s Winkelgeschwindigkeit Zeit 14 Berechnung der Geschwindigkeit und der Beschleunigung aus der Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit • Zur Ableitung eines Vektors nach der Zeit werden die Komponenten nach der Zeit abgeleitet • Die Ableitung eines Vektors ist daher wieder ein Vektor 15 Kreisbahn: Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor Ortsvektor cost s r sin t Geschwindigkeitsvektor sin t s r cost Beschleunigungsvektor 2 cost s r sin t 16 sin t s r cost y s cost s r sin t s r sin t r cost s r 2 cost sin t x s 17 Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor auf der Kreisbahn x2 s s x1 s Die Beschleunigung weist immer zum Zentrum : Zentrifugalbeschleunigung 18 Beispiel Kreisbahn: Richtung der Vektoren Vektoren für Ort-, Geschwindigkeit und Beschleunigung 19 Betrag des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors auf der Kreisbahn Wie berechnet man den Betrag eines Vektors? Skalarprodukt! 20 Betrag des Ortsvektors auf der Kreisbahn Ortsvektor Skalarprodukt des Ortsvektors mit sich selbst cost s r sin t cost cost r s s r sin t sin t 2 2 2 2 s r (cos t sin t ) 21 Betrag des Orts-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektors auf der Kreisbahn Betrag des Ortsvektors s r Betrag des Geschwindigkeitsvektors s r Betrag des Beschleunigungsvektors s r 2 22 Variable Beschleunigung bei einer geradlinigen Bewegung: Der Weg folge der Sinus-Funktion 0 s0 23 Variable Beschleunigung: Der Weg folge der SinusFunktion Weg als Funktion der Zeit: Sinusfunktion Geschwindigkeit als Funktion der Zeit: Kosinus-Funktion (=verschobene SinusFunktion) Beschleunigung als Funktion der Zeit: verschobene SinusFunktion s(t ) s0 sin t s(t ) s0 cost s(t ) s0 sin( t ) 2 24 1,0 Weg als Funktion der Zeit: Sinusfunktion sin(t) 0,5 0,0 0 2 4 6 8 10 12 14 Zeit t [s] -0,5 -1,0 C 1,0 Geschwindigkeit als Funktion der Zeit: Kosinus-Funktion (=verschobene Sinus-Funktion) cos(t) 0,5 0,0 0 2 4 6 8 10 12 14 Zeit t [s] -0,5 -1,0 Minsin 1,0 0,5 -sin(t) Beschleunigung als Funktion der Zeit: verschobene Sinus-Funktion 0,0 0 2 4 6 8 10 12 14 Zeit t [s] -0,5 -1,0 25 Wichtigste Eigenschaft der SinusFunktion Diese Funktion ist „Form-invariant“ Bei der Ableitung ändern sich nur • die Amplitude und • die Phase Analoges gilt für ihre Integration 26 Beispiele und Versuche für eine „periodische“ Bewegung Auslenkung eines • Feder-Pendels • „Fadenpendels“ 27 Zusammenfassung: Drehungen in einer Ebene und Schwingungen • Drehungen in einer Ebene ändern einen Winkel und lassen den Radius konstant • Formulierung der Komponenten des Ortsvektors mit Radius und Winkel: Produkt aus Radius und – Kosinus des Winkels für die x-Komponente – Sinus des Winkels für die y-Komponente • Schwingungen sind Bewegungen in einer Dimension, mit Auslenkung in Form einer Sinus-Funktion der Zeit 28 Finis 29
