Poisson - Christian-Albrechts

Poisson-Neurone und
Poisson-Verhalten
Christian Kaernbach
Bernoulliverteilung
• beschreibt zufällige Ereignisse
mit nur zwei möglichen
Versuchsausgängen
– Erfolg (X=1)
mit Wahrscheinlichkeit p
– Misserfolg (X=0)
mit Wahrscheinlichkeit 1 – p
– Erwartungswert E(X) = µ = p
– Varianz V(X) = ² = p · (1 – p)
1
0
0
1
0
1
1
0
Binomialverteilung
n k
n k
B(k | p, n )    p 1  p 
k 
1
• beschreibt die Anzahl der Erfolge
in einer Serie von n gleichartigen
und unabhängigen
Bernoulliprozessen
mit Wahrscheinlichkeit p
– Erwartungswert µ = n · p
– Varianz ² = n · p · (1 – p)
1
n=4
p=0,5
0,5
0
0
0
1
0 1 2 3 4
1
n=8
p=0,25
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Poissonverteilung
P( k |  ) 
k
k!
1
• beschreibt die Anzahl der Erfolge in
einer Serie von unendlich vielen
gleichartigen und unabhängigen
Poissonprozessen mit infinitisemaler
Wahrscheinlichkeit.
• P() geht hervor aus der
Binomialverteilung B(p,n)
im Grenzwert
p  0, n  , n·p = 
– Erwartungswert
µ=n·p
– Varianz
² = n · p · (1 – p)  
e 
n=4
p=0,5
0,5
0
0 1 2 3 4
1
n=8
p=0,25
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
=2
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Poissonverteilung
1
=0,2
1
k
P( k |  ) 
=1
k!
1
0,5
0,5
0,5
0
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
=2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,2
• Für  > 30 nähert sich die
Poissonverteilung der
Gaußverteilung an.
e 
=4,5
0,1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1
=30
0,05
0
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Poissonprozesse
P( k |  ) 
k
k!
e 
• diskrete Ereignisse in der Zeit mit folgenden Eigenschaften:
–
selten
–
–
unabhängig von der Zeit
unabhängig von der Vorgeschichte („geschichtslos“)
• es gibt ein t so dass annähernd gilt: in [t,t+t] gibt es maximal ein Ereignis
• Zahl der Vorereignisse
• Abstand des letzten Vorereignisses
 Die Wahrscheinlichkeit, in einem Intervall der Länge t ein Ereignis zu
finden, hängt nur von der Länge des Intervalls ab.
finden, ist proportional der Länge des Intervalls.
• p1([t,t+t]) = g · t
g  Ereignisrate [s–1]
p0([t,t+t]) = 1 – g · t
• p0([0,t+t]) = p0(t+t) = p0(t) · p0([t,t+t]) = p0(t) – p0(t) · g · t
• dp0(t)/dt = – p0(t) · g
 p0(t) = e–g·t
• pk(t+t) = pk(t) · p0([t,t+t]) + pk–1(t) · p1([t,t+t])
= pk(t) – pk(t) · g · t + pk–1(t) · g · t
• dpk(t)/dt = – pk(t) · g + pk–1(t) · g
 pk(t) = ((g·t)k/k!) · e–g·t = (k/k!) · e–
Poissonprozesse
P( k |  ) 
k
k!
e 
• diskrete Ereignisse in der Zeit mit folgenden Eigenschaften:
–
selten
–
–
unabhängig von der Zeit
unabhängig von der Vorgeschichte („geschichtslos“)
• es gibt ein t so dass annähernd gilt: in [t,t+t] gibt es maximal ein Ereignis
• Zahl der Vorereignisse
• Abstand des letzten Vorereignisses
–
Test auf Geschichtslosigkeit einer Zeitreihe
• dazu Korrelationen cor(Li,Li–1), cor(Li,Li–2), ...
Zahl der Fälle
• Zeit zwischen zwei Ereignissen Li = Ti – Ti–1
ist exponentialverteilt mit g·e–g·t.
25
20
15
10
5
0
• Stoppuhrparadox: Zeit „ab Stoppuhr“ Nj = Ti>j – Ej
(Ej = externer Trigger für Stoppuhr)
bis zum nächsten Ereignis nach Ej
T1 T2
ist exponentialverteilt mit g·e–g·t.
–
Nj: Nj  Li, E(Nj/Li) = 1/2.
0
1
2
3
L3
E1
T3
N1
4 5 6
Li [Tage]
T4 T5
T6
7
8
9
T7
Poissonprozesse
P( k |  ) 
k
k!
e 
• diskrete Ereignisse in der Zeit mit folgenden Eigenschaften:
–
selten
–
–
unabhängig von der Zeit
unabhängig von der Vorgeschichte („geschichtslos“)
• es gibt ein t so dass annähernd gilt: in [t,t+t] gibt es maximal ein Ereignis
• Zahl der Vorereignisse
• Abstand des letzten Vorereignisses
• Beispiele
–
–
–
–

Kaufhauskunden
Radioaktivität
Siméon Denis Poisson, 1837: Urteile in Straf- und Zivilsachen
Ladislaus von Bortkewitsch, 1898: Todesfälle durch Hufschlag
neuronale Ereignisse
Poissonprozesse
P( k |  ) 
k
k!
e 
• diskrete Ereignisse in der Zeit mit folgenden Eigenschaften:
–
selten
–
–
unabhängig von der Zeit
unabhängig von der Vorgeschichte („geschichtslos“)
• es gibt ein t so dass annähernd gilt: in [t,t+t] gibt es maximal ein Ereignis
• Zahl der Vorereignisse
• Abstand des letzten Vorereignisses
 neuronale Ereignisse
• Elektrophysiologie: Exponentialverteilung der Inter-Spike-Intervalle
– hier: retinale Ganglienzellen bei der Katze
» beachte: Refraktärperiode
• Modellierung: „Poisson-Neuron“,
z. B. bei „Integrate & Fire Neuron“
• Verhalten: Signalentdeckungstheorie
Gaußsches Modell
mit gleicher Varianz
Ja
Nein
Signal + Rauschen
(S+R) Treffer Auslasser
1
pT
Rauschen
(R)
Falsche Korrekte
Alarme Zurückweisung
0,5
d'
-3
-2
-1
0
„nein“
R
S+R
1
k
2
3
„ja“
4
5
0
0
S+R = N(0,1)
S+R = N(d',1)
0,5
pFA
1
Gaußsches Modell: Symmetrie
Ja
Nein
Signal + Rauschen
(S+R) Treffer Auslasser
1
pT
Rauschen
(R)
Falsche Korrekte
Alarme Zurückweisung
0,5
d'
-3
-2
-1
0
„nein“
R
S+R
1
k
2
3
„ja“
4
5
0
0
S+R = N(0,1)
S+R = N(d',1)
0,5
pFA
1
Asymmetrie realer Daten
1
1
pT
0.5
0,5
original
gespiegelt
0
0
0
0.5
1
0
0,5
pFA
1
  ROC nach Gauß (gl. Varianz) zu symmetrisch  
Gaußsches Modell
mit ungleicher Varianz
d'
R
S+R
1
pT

-3
-2
-1
k
0
1
2
3
4
5
0.5
S+R = N(0,1)
S+R = N(d',)
0
0
0.5
  ROC nicht konvex  
pFA
1
Hochschwellenmodell
(Blackwell, 1953)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
1
R
S+R
D
pT
D
0.5
S+R = {1, 0}
S+R = {1, }
0
0
0.5
pFA
  unrealistisch: Falschalarmrate = 0  
1
Niedrigschwellenmodell
(Luce, 1963)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
R
S+R
S'+R
D
1
pT
D
0.5
S+R = {1, }
S+R = {1, }
0
0
0.5
pFA
  perfekte Leistung unmöglich  
1
Hoch/Niedrigschwellenmodell
(Krantz, 1969)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
R
S+R
S'+R
D
D
1
pT
D*
0.5
S+R = {1, , 0}
S+R = {1, , }
0
0
0.5
  zuviele Parameter  
pFA
1
Das Poissonmodell (Egan, 1975)
0.8
R
S+R
S'+R
0.6
0.4
1
pT
0.2
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.5
S+R = P(µR)
S+R = P(µS+R)
0
0
  va bene  
0.5
pFA
1
Rating-ROCs
•
„Nein“
„Ja“
ROCs aus Rating-Daten sind „rund“:
– VP gibt Sicherheit für „Ja“ auf kontinuierlicher Skala an (Bleistiftstrich)
– VL setzt post-hoc verschiedene Schwellen für „Ja“
•
•
Ist das ein Beweis gegen diskrete Modelle (mit eckigem ROC)?
Krantz argumentiert dagegen
– gegeben zwei Zustände, D und D.
– verschmiertes Antwortverhalten aus Skala, Gaußverteilungen für D und D.
 runder ROC
•
Rating-ROCs sind oft asymmetrisch
– durch verschmiertes Antwortverhalten kann keine Asymmetrie
zustande kommen
Studie zu Magical Ideation
Ein Experiment aus den Diplomarbeiten von Gerit Haas und Ulrike Jury,
Karl-Franzens-Universität Graz, 2007.
• 245 Versuchspersonen füllen Online-Fragebogen aus
– Persönlichkeitsmerkmal “Magical Ideation” (MI) erheben
mit 30 Items wie
• Ich vollführe ab und zu kleine Rituale, um ungünstige Ereignisse abzuwenden.
• Es gibt Leute, bei denen ich spüre, wenn sie an mich denken.
• Wenn bestimmte Leute mich ansehen oder mich berühren, habe ich manchmal das Gefühl,
Energie zu gewinnen oder zu verlieren.
• Ich glaube, ich könnte lernen, die Gedanken Anderer zu lesen, wenn ich nur wollte.
• Die Regierungen halten Informationen über UFOs zurück.
• ...
– Extremgruppenvergleich
• 8 Personen mit niedrigem MI-Wert (1,25  1,3)
• 9 Personen mit hohem MI-Wert
(22  2,4)
Erkennen von Wörtern
in Rauschen
• behaviorale Untersuchung:
– 100 Durchgänge, davon
• 60 mal nur Rauschen
• 20 mal Rauschen plus sehr leises Wort
• 20 mal Rauschen plus leises Wort
– Aufgabe: War da ein Wort?
Vierstufiges Rating
•
•
•
•
sicher ja
eher ja
eher nein
sicher nein
• bildgebendes Verfahren (NIRS)
zu Wörtern in Rauschen
Ergebnisse
•
MI-hoch und MI-niedrig produzieren
gleiche ROC-Kurve
– basale Wahrnehmungsprozesse sind identisch
(liefern gleiche Information)
•
Position der Punkte auf ROC-Kurve
unterscheidet sich deutlich
– Kriterien beim Auswerten dieser Information
sind unterschiedlich
•
Asymmetrie der ROC-Kurve:
– kompatibel mit Poissonverteilung mit kleinem 
– Hinweis auf diskrete neuronale Ereignisse
• Entscheidung basiert auf
einigen wenigen neuronalen Ereignissen
Interpretation
•
Asymmetrie der ROC-Kurve:
– kompatibel mit Poissonverteilung mit kleinem 
– Hinweis auf diskrete neuronale Ereignisse
• Entscheidung basiert auf
einigen wenigen neuronalen Ereignisse
•
Tatort Wernicke-Areal
– Viele gleichartige, voneinander
unabhängig operierende Einzelzellen
(Großmutterzellen) mit
niedriger Falsch-Alarm-Rate?
– sparse coding
– Rekurrent vernetzte Zellen interagieren und
produzieren neuronale „Groß-Ereignisse“
(synchrone Bursts o. ä.)?
SDT oberhalb der Schwelle
• Zwei sehr ähnliche Stimuli oberhalb der Schwelle
• Zwei verschiedene Aufgaben denkbar
– Vergleich
• 50% der Einzelversuche enthalten Änderung nach oben (Anstieg)
• 50% der Einzelversuche enthalten Änderung nach unten (Abstieg)
Aufgabe: „Welcher Stimulus ist lauter/heller/höher...?“
⇨ Einzelne Zahl als Sensitivitätsmaß (Prozent richtig)
– Änderungsentdeckung: Gleich oder verschieden? (same/different)
• 50% der Einzelversuche enthalten Änderung
• 50% der Einzelversuche enthalten keine Änderung
Aufgabe: „War da eine Änderung?“
⇨ ROC-Kurve beschreibt Sensitivität und Strategie
• Annahme: Vergleichs- & Änderungsentdeckungsentscheidungen
haben gleiche Entscheidungsbasis
Vergleich der Repräsentation
• Zwei sehr ähnliche Stimuli oberhalb der Schwelle
Vergleich der
Repräsentationen:
Stimulus Stimulus
Zahl
Zahl
• 50% der Einzelversuche enthalten Anstieg
• 50% der Einzelversuche enthalten Abstieg
– Aufgabe: „Welcher ist lauter/heller/höher...?“
– Vergleich der Stimulusrepräsentationen
• Beide Stimuli intern repräsentiert als Zahlen e1, e2
• Vergleich macht eine einzige Zahl draus: e = e2  e1
erster Stimulus
zweiter Stimulus
e
Vergleich der Repräsentation
• Zwei sehr ähnliche Stimuli oberhalb der Schwelle
• 50% der Einzelversuche enthalten Anstieg
• 50% der Einzelversuche enthalten Abstieg
– Aufgabe: „Welcher ist lauter/heller/höher...?“
– Vergleich der Stimulusrepräsentationen
•
•
•
•
Beide Stimuli intern repräsentiert als Zahlen e1, e2
Vergleich macht eine einzige Zahl draus: e = e2  e1
Entscheidung basiert auf e: „Anstieg“ wenn e > 0
Oberhalb der Schwelle: große Zahlen für e1 und e2
Vergleich der
Repräsentationen:
Stimulus Stimulus
Zahl
Zahl
Vergleich
Zahl
Alle Arten von
VergleichsEntscheidungen:
entscheidung
Änderungsentdeckung,
Vergleich...
– e1 und e2 und demzufolge e sind normalverteilt
– Repräsentationsvergleich ⇨ Gaußsche SDT
falsch
richtig
0
e
Änderungsentdeckung 
Richtung der Änderung unbekannt
Vergleich der
Repräsentationen:
Stimulus Stimulus
Zahl
• Zwei sehr ähnliche Stimuli oberhalb der Schwelle
• 25% der Einzelversuche enthalten Anstieg
• 25% der Einzelversuche enthalten Abstieg
• 50% der Einzelversuche enthalten keine Änderung
Vergleich
Zahl
– Aufgabe: „War da eine Änderung?“
– Vergleich der Stimulusrepräsentationen
Alle Arten von
Entscheidungen:
Änderungsentdeckung,
Vergleich...
Abstieg
keine Änderung
„Änderung“
Anstieg
p(Änderung|verschieden)
• Entscheidung basiert auf e: „Änderung“ wenn abs(e) > c
• Gaußsche SDT: asymmetrischer ROC
1
• Asymmetrische ROCs in experimentellen Daten
gefunden, stellen aber keine Widerlegung dar des
Vergleichs der Stimulusrepräsentationen
c
c
„keine
Änderung“
0
Zahl
0
„Änderung“
0
p(Änderung|gleich)
e
1
Änderungsentdeckung 
Richtung der Änderung bekannt
Vergleich der
Repräsentationen:
Stimulus Stimulus
Zahl
• Zwei sehr ähnliche Stimuli oberhalb der Schwelle
• 50% der Einzelversuche enthalten Anstieg
• 50% der Einzelversuche enthalten keine Änderung
Vergleich
Zahl
– Aufgabe: „War da eine Änderung?“
– Vergleich der Stimulusrepräsentationen
c
keine Änderung
Anstieg
„keine
Änderung“
0
Alle Arten von
Entscheidungen:
Änderungsentdeckung,
Vergleich...
1
p(Änderung|Anstieg)
• Entscheidung basiert auf e: „Änderung“ wenn e > c
• Gaußsche SDT: symmetrischer ROC
• Asymmetrische ROCs wäre Hinweis auf
Poisson SDT für Änderungsentdeckung
und würde den Repräsentationsvergleich in Frage stellen
Zahl
0
„Änderung“
0
p(Änderung|gleich)
e
1
Experiment 1
• 6 Teilnehmer, Versuchspersonenstunden
• Stimuli: 2 Sinustöne
– Dauer 200 ms, 10 ms Rampe, 300 ms ISI
– Intensität I = 60 dB, I individuell abgepaßt
– Frequenz der Sinustöne im Paar gleich,
zwischen Paaren randomisiert, 500-2000 Hz
• 3 Bedingungen:
– Richtung unbekannt, Anstieg, Abstieg
• Aufgabe: „War da eine Änderung?“
– 4 Antwortkategorien,
•
•
•
•
Sicher Ja
Vielleicht Ja
Vielleicht Nein
Sicher Nein (diese Kategorie wurde von den Teilnehmern so gut wie nie genutzt)
– ROC-Kurve: post hoc Kriterium anlegen
• 12000 Einzelversuche Training, 9000 Einzelversuche Daten
Experiment 2
• 5 Teilnehmer
• Stimuli und Bedingungen wie Exp. 1
– I: individuell angepaßt so daß
ROC-Fläche 50% bei „Richtung unbekannt“
• Aufgabe: „War da eine Änderung?“
– Multiple-Response Payoff Matrix
gleich Änderung
•
Ganz sicher Ja: 13
•
Sicher Ja: 5
•
Vielleicht Ja: 1
•
Vielleicht Nein: +1
•
Sicher Nein: +3
• Ganz sicher Nein: +5
+5
+3
+1
1
5
13
Punkte (ergibt €)
Punkte
Punkte
Punkte
Punkte
Punkte
– ROC-Kurve: post hoc Kriterium anlegen
• 18000 Einzelversuche
– Trainingseffekte (Leistung, Geschwindigkeit)
Ergebnis
• Änderungs-ROCs bei unbekannter Richtung
(schwarze Kurve) sind asymmetrisch
– Das widerlegt nicht die Gaußsche SDT
Repräsentationsvergleich
Ton
Ton
Zahl
Zahl
Vergleich
Zahl
Alle Arten von
Entscheidungen...
Ergebnis
• Änderungs-ROCs bei unbekannter Richtung
(schwarze Kurve) sind asymmetrisch
– Das widerlegt nicht die Gaußsche SDT
• Änderungs-ROCs bei bekannter Richtung
(rot/grün) sind ebenfalls asymmetrisch
– nicht mit Gaußscher SDT kompatibel
– Poissonprozeß mit niedrigem Mittelwert
•
Repräsentationsvergleich
Ton
Ton
Zahl
Zahl
Vergleich
Zahl
Alle Arten von
Entscheidungen...
Kein Vergleich der Repräsentationen
Ergebnis
• Änderungs-ROCs bei unbekannter Richtung
(schwarze Kurve) sind asymmetrisch
– Das widerlegt nicht die Gaußsche SDT
• Änderungs-ROCs bei bekannter Richtung
(rot/grün) sind ebenfalls asymmetrisch
– nicht mit Gaußscher SDT kompatibel
– Poissonprozeß mit niedrigem Mittelwert
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
•
•
Kein Vergleich der Repräsentationen
Auswertung des Gesamtstimulus
resultiert in zwei Zahlen
– Anstieg und Abstieg werden
unabhängig detektiert
» Größere Sensitivität für
Anstiege (ökologisch sinnvoll)
– Inkrement- und DekrementDetektoren erzeugen an der
differentiellen Schwelle
nur wenige neuronale Events
SDT mit zwei Indikatoren
• Modell: Poisson-Verteilungen
für Ninc und Ndec für drei Stimuli
– same
– decrement
– increment
µinc = 2
µinc = 2
µinc = 6
µdec = 2
µdec = 4
µdec = 2
0,5
0,5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
0,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,5
0
0,5
0
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
p(
p( p(
(N
(Ninc
(N
,N
,N
) || decrement
)increment
| same ) ))
inc,N
incdec
dec)dec
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
SDT mit zwei Indikatoren
• Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
• aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
• Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
p( (Ninc,Ndec) | increment )
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
p (same)
p (decrement)
p (increment)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 50
0 50 50
D I V
SDT mit zwei Indikatoren
•
•
•
•
Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
Aufgabe Inkrement
– optimale Strategie achtet nur auf Ninc
p(
p(p(
(N
increment
(N
) | )|increment
N
| same
) ))
inc,N
inc,N
decdec
inc,Ndec
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
p (same)
p (decrement)
p (increment)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 50
0 50 50
D I V
SDT mit zwei Indikatoren
•
•
•
•
Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
Aufgabe Dekrement
– optimale Strategie achtet nur auf Ndec
p( decrement | Ninc,Ndec )
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
p (same)
p (decrement)
p (increment)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 50
0 50 50
D I V
SDT mit zwei Indikatoren
•
•
•
•
Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
Aufgabe „Änderung“ (unknown)
– Reduktion auf eine Zahl schwierig
•
•
near miss  · Ninc² +  · Ndec²
2-dim. Konturen
p(
p(
p(change
NNinc
,Ndec
| |N|change)
same
,Ndec) )
inc,N
dec
inc
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
p (same)
p (decrement)
p (increment)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 50
0 50 50
D I V
d'
Likelihood flooding
• ROC kommt zustande durch
– klassisch: Kriterium im likelihood ratio
– äquivalent: Kriterium im Ereignisraum
-3
-2
-1
0
„nein“
R
S+R
1
k
2
3
„ja“
4
5
• Voraussetzung: Ereignisraum bezüglich
likelihood ratio wohlsortiert
1
– likelihood ratio p(S+R)/p(R)
hängt monoton zusammen mit
likelihood p(S+R)
pT
0,5
0
0
0,5
pFA
1
SDT mit zwei Indikatoren
•
•
•
•
Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
Aufgabe „Änderung“ (unknown)
– Reduktion auf eine Zahl schwierig
•
•
near miss  · Ninc² +  · Ndec²
2-dim. Konturen
p(p(N
change
N
,N,N
| |Nchange
| inc
same)
,Ndec )
incinc
dec
dec
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
p (same)
p (decrement)
p (increment)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 50
0 50 50
D I V
SDT mit zwei Indikatoren
•
•
•
•
Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
Aufgabe Vergleich
– vielleicht reicht eine Zahl
•
·Ninc – ·Ndec
p(
p( N
Ninc
increment
,Ndec
increment
| Ninc,Ndec ))
inc,N
dec || decrement
Stimulusvergleich
Tonpaar
AnstiegsDetektor
AbstiegsDetektor
Zahl
Zahl
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
Vergleich
p (same)
p (decrement)
p (increment)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 50
0 50 50
D I V
SDT mit zwei Indikatoren
•
•
•
•
Modell liefert p ( Detektoren | Stimulus )
aufgabenabhängig: a priori Wahrsch.
Bayes liefert p ( Stimulus | Detektoren )
Alt / Neu
– Alt-Detektor, Neu-Detektor
– es gibt kein Drittes
p( neu | Nneu,Nalt )
Stimulusvergleich
NeuDetektor
AltDetektor
Zahl
Zahl
neu
Stimulus
Änderung?
Anstieg?
Abstieg?
alt/neu
alt
p (same)
p (alt)
p (neu)
50
25
25
U
50 50 0
50 0 X
0 50 1-X
D I V