1 Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen Die Lösungen der

Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen
Zeitabhängige S-Glg.
r
r  r
∂ψ (r , t )  h2 2
ih
= −
∇ + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
 2m

x
Analogie zu den elektromagnetischen Wellen,
„Materiewellen“, intuitives Raten etc.
Ansatz
für Welle:
r
urr
ψ (r , t ) = A exp(i (kr − ω t )) =
A exp(i ( k x x + k y y + k z z − ω t ))
Albert/wave1d
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen
Zeitabhängige S-Glg.
r
r  r
∂ψ (r , t )  h2 2
ih
= −
∇ + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
 2m

x
Analogie zu den elektromagnetischen Wellen, „Materiewellen“,
intuitives Raten etc.
Ansatz
für Welle
r
urr
ψ (r , t ) = A exp(i (kr − ωt )) = A exp(i (k x x + k y y + k z z − ωt ))
linke Seite:
r
urr
∂ψ (r , t )
ih
= i h( −iω )A exp(i (kr − ω t ))
∂t
urr
rechte  h 2 2  r
  ∂2
 h2k 2
∂2
∂2 
−
∇
ψ
(
r
,
t
)
=
..
+
+
exp(
ik
x
+
...)
A exp(i (kr − ω t ))
 2
=
x
2
2 
Seite:  2m 
∂y
∂z 


  ∂x
 2m
1
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen
urr

h2k 2 
h
ω
−

 A exp(i ( kr − ω t )) = 0
2m 

d. h. die Gleichung wird erfüllt für alle Wellen, für die ω und k die
Beziehung
ω=
hk 2
2m
erfüllen.
ω
unendlich viele Lösungen
„Dispersionsrelation“
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen
Ebene Welle:
r
urr
ψ (r , t ) = A exp(i (kr − ωk t ))
..schön und gut, aber wie komme ich wieder an reale Größen ??
1. Der Ort des Teilchens:
r
r 2
r
r
ρ (r , t ) = ψ (r , t ) = ψ * (r , t )ψ (r , t ) = A2 exp(ikx − ikx − iω t + iω t ) = A2
...aha, räumlich konstant !?
2
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Der Impuls
Ebene Welle:
r
urr
ψ (r , t ) = A exp(i (kr − ωk t ))
2. Die Geschwindigkeit bzw. der Impuls (klassisch p=mv):
Zusammenhang wurde schon von Louis der Broglie 1923 erkannt:
Mit λ =
Wellenlänge λ =
h
p
2π
hk
folgt p =
= hk
k
2π
d.h. jeder Welle mit Wellenvektor k entspricht ein Elektron mit Impuls p=hk
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen
Aufgrund des Superpositionsprinzips kann
man also beliebig Lösungen
mit verschiedenen Impulsen überlagern:
r
urr
ψ (r , t ) = ∫ ∫ ∫ d 3kAk exp(i (kr − ωk t ))
(sieht aus wie Fouriertrafo !)
ω
3
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen
...aha, da kann man jetzt alle Tricks der Fouriertransformation auf die
Quantenmechanik loslassen ... und sich zusammenbasteln, wie ein lokalisiertes
Teilchen beschrieben wird.
-Idee hierbei: Kennt man die ebenen Wellen zu einem Zeitpunkt, so kennt man die
Wellenfunktion für alle Zeiten.
ur
ψ° (k, t ) =
r
ψ (r , t ) =
1
2π
1
2π
r
3
urr
∫ ∫ ∫ d rψ (r , t )exp(−ikr )
3
3
∫ ∫ ∫d
3
ur
urr
kψ° (k, t )exp(ikr )
Bsp.: vollkommen lokalisiert
im Raum bei r=0 (in 1D)
ψ° (k,0) =
ψ ( x,0) = δ ( x )
1
2π
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete
Mathematisch einfacher zu handhaben:
x
ψ ( x,0) =
Aufenthaltswahrscheinlichkeit
1
a π
exp(−
ρ ( x,0) =
x2
)exp(−k0 x )
2a 2
1
a π
exp( −
x2
)
a2
0
... einigermassen auf ∆x=2a lokalisiertes Teilchen
Wir basteln uns das Ganze aus ebenen Wellen zusammen: (Fouriertrafo)
ψ° (k ) =
1
2π
∫ dxψ ( x )exp(−ikx ) =
  k − k 2 
a
0
exp − 
 
π
  2 / a  
8
a
k0
k
4
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete
- eine qualitative Aussage über das Verhältnis von ∆x und ∆k
-Lösung für alle Zeiten, denn wir müssen jetzt die ebenen Wellen nur noch
„loslaufen“ lassen


ψ ( x, t ) =
a
π
1

a 2 k0 2
2
exp( −
)exp 
2
i ht

a2 +
m

1
((a k
)
+ ix )2 


i ht  

+
a
 2

m  

2
0
bzw. für die Wahrscheinlichkeitsdichte
2
 
hk t  
x− 0  


1 1


m
exp − 
ρ ( x, t ) =
 
π a(t )
  a(t )  
 
 
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete
- Wellenpaket zerfliesst im
Laufe der Zeit !
- Schwerpunkt bewegt sich mit
einer Geschwindigkeit
v=
hk0
m
oder mv = p = hk0
free particle: applet
5
Die Lösungen der S.-Glg. für das freie Teilchen: Wellenpakete
8
a
x
0
k0
„Ortsraum“
k
„Impulsraum“
Breite der Funktionen im Orts- bzw. Impulsraum verhalten sich reziprok
zueinander
Ganz allgemein gilt:
∆x ∆k ≥
1
2
∆x ∆p ≥
h
2
Heisenberg‘sche Unschärferelation für Impuls und Ort !
I.4 Die Wellenfunktion Ψ(r,t): Kontinuitätsgleichung
ρ(x)
x
x+dx
∂
∂
∂
∂
ρ = ψ *ψ = ψ ψ * + ψ * ψ =
∂t
∂t
∂t
∂t
iV 
iV 
ih
 ih
 ih
ψ −
ψ * ∆ψ + ψ∆ψ * =
∆ + ψ * + ψ * −
∆ + ψ =
2
m
2
m
2
m
h
h




(
)
...... =
 ih

div 
(ψ * ∆ψ + ψ∆ψ * )
 2m

d.h.:
r
r
∂
h
ρ = −div j ; mit j =
(ψ * ∆ψ + ψ∆ψ * )
∂t
2mi
6
I.4 Die Wellenfunktion Ψ(r,t): Kontinuitätsgleichung
r
r
∂
h
ρ = −div j ; mit j =
(ψ * ∆ψ + ψ∆ψ * )
∂t
2mi
In einer Dimension:
r dj
div j = =j(x+dx)-j(x)
dx
ρ(x)
j(x)
j(x+dx)
Kontinuitätsgleichung für die Aufenthaltswahrscheinlichkeit
r
j
ist also eine (Teilchen)stromdichte
I. Grundlagen der Quantenphysik
I.1 Einleitung
I.2 Historisches
I.3 Die Schrödinger-Gleichung
I.4 Die Wellenfunktion Ψ(r,t)
I.5 Erwartungswerte
7
Quantenmechanische Erwartungswerte
…Zeitentwicklung der Wellenfunktion ist (im Prinzip) bekannt
- Berechnung von realen Größen ???
Wir kennen schon
r
r 2
r
r
ρ (r , t ) = ψ (r , t ) = ψ * (r , t )ψ (r , t )
Allgemeiner:
r
Der Erwartungswert bei einer Ortsmessung ist: < r > (t ) =
r r r
3
*
d
r
ψ
(
r
, t )rψ (r , t )
∫∫∫
- der Mittelwert, der bei einer grossen Anzahl von Messungen an gleichartigen
quantenmechanischen Systemen gemessen wird
- bei einer Messung wird aber immer nur ein bestimmter Wert gemessen
- damit haben wir den Ort des Teilchens im Griff !
... aber was ist mit allen anderen physikalischen Größen ??
Quantenmechanische Erwartungswerte
3. Postulat der Quantenmechanik:
Physikalische Meßgrößen werden durch Operatoren beschrieben. Dem
Teilchenort wird der Operator
r
r
r$ zugeordnet, der ψ (r) mit r multipliziert.
Dem Impuls wird der Operator
$ = −i h∇ zugeordnet.
p
rr
Bei oftmaliger Messung einer Größe F(r,p) an einem quantenmechanischen
System ergibt sich als Mittelwert:
r
r
µ (r$, p
$ )ψ (r , t )
d3rψ * (r , t )F
∫∫∫
r
r
<F>=
3
*
∫∫∫ d rψ (r , t )ψ (r , t )
8
Quantenmechanische Erwartungswerte: Bsp. Ebene Welle
r
urr
ψ (r , t ) = A exp(i (kr − ωk t ))
urr
r
urr
Ort: ...hatten wir im r ∫∫∫ d3rA exp( −i (kr − ωk t ))r A exp(i (kr − ωk t ))
urr
urr
<r >=
=
Prinzip schon.
d3r A exp( −i (kr − ω t ))A exp( i ( kr − ω t ))
∫∫∫
Impuls:
k
k
r
∫∫∫ d rr
∫∫∫ d r
3
3
=0
urr
urr
r$ ∫∫∫ d3rA exp( −i (kr − ω k t ))( −i h∇ )A exp(i (kr − ω k t ))
urr
urr
<p>=
= hk
3
∫∫∫ d rA exp(−i (kr − ωk t ))A exp(i (kr − ωk t ))
Kinetische Energie ?
p2
1
Klassisch: E = mv 2 =
2
2m
Wir benutzen die „Quantisierungsvorschrift“:
$ 2 − h 2∇ 2
1
p2
p
2
µ
µ
Klassisch: E = mv =
→ quantenmechanisch: E = H =
=
2
2m
2m
2m
„Hamiltonoperator“
Quantenmechanische Erwartungswerte: Bsp. Ebene Welle
urr
urr
h 2∇ 2
3
d
r
exp(
(
))(
)A exp(i (kr − ωk t ))
A
−
i
kr
−
ω
t
−
k
∫∫∫
h2k 2
2m
µ >=<H
µ >=
u
rr
u
rr
<E
=
3
2m
∫∫∫ d rA exp(−i (kr − ωk t ))A exp(i (kr − ωk t ))
Vergleich mit der Schrödinger-Gleichung:




r
r 
r
∂ψ (r , t )  h2 2
µψ (r , t )
ih
= −
∇ + V (r , t ) = H
1
2
3
∂t
2m 3
424
1
µ pot 
E
µ kin
E
 144
42444
3
µ ges


E
9
I. Grundlagen der Quantenphysik
II. Elektronische Zustände
II.1 Die zeitunabhängige
S-Gleichung
Die zeitunabhängige S-Glg.
Die zeitabh. S-Glg:
r
r  r
∂ψ (r , t )  h2 2
ih
= −
∇ + V (r , t )ψ (r , t )
∂t
 2m

Ist das Potential zeitunabhängig, so kann die Wellenfunktion in einen
Phasenfaktor und einen zeitunabhängigen Term separiert werden:
r
r
ψ (r, t ) = φ (r )e−iωt
Einsetzen:
r
r
r
∂ψ (r , t )
µϕ (r )exp( −iω t )
ih
= i hϕ (r )exp( −iω t )( −iω ) = H
∂t
r
r
µϕ (r )
h{
ω ϕ (r ) = H
E
10
Die zeitunabhängige S-Glg.
r r
r
 h2 2
−
∇
+
V
(
r
)
ψ
(
r
)
=
E
ψ
(
r
)


2
m


(wieder ψ statt ϕ)
Operator angewendet auf die Funktion ergibt wieder die Funktion selber,
multipliziert mit einer Konstanten ....
…analog zum Eigenwertproblem der linearen Algebra !
Die zeitunabhängige S-Glg. als Eigenwertproblem
r
r
r
µ = Ae = E e
Ae
λ
Operator wird auf
einen Vektor (Funktion)
angewendet und ergibt ein
Vielfaches des Vektors (der Funktion)
Gesucht sind also im allgemeinen Eigenfunktionen und Eigenwerte
zum Hamiltonoperator.
Ende 27.10.03
11