E[g(X)]

2.5
2.5.1
Parameter einer Verteilung
Erwartungswert
X eine Zufallsvariable, g : R → R stetig.
Der Erwartungswert E[g(X)] von g(X) ist definiert durch:
E[g(X)] :=
X
g(xk )w(X = xk ),
k
falls X diskret ist mit den Werten xk
(und falls
P
k
|g(xk )w(X = xk )| < ∞).
Z
∞
E[g(X)] :=
g(x)f (x)dx,
−∞
falls X stetig ist
(und falls
R∞
−∞ |g(x)f (x)|dx
< ∞).
Speziell für g(X) := X legt man fest:
E[X] =: µ
heißt Mittelwert von X (oder Mittelwert der Verteilung).
1
Es gilt also
E[X] :=
X
xk w(X = xk ),
k
falls X diskret ist mit den Werten xk
(und falls
P
k
|xk w(X = xk )| < ∞).
Z
∞
E[X] :=
xf (x)dx,
−∞
falls X stetig ist
(und falls
2.5.2
R∞
−∞ |xf (x)|dx
< ∞).
Rechenregeln für Erwartungswerte
X Zufallsvariable, g1, g2 stetige Funktionen von X
und a, b ∈ R.
Dann ist
E[a · g1(X) + b · g2(X)] = a · E[g1(X)] + b · E[g2(X)]
Speziell folgt daraus:
E[a · X + b] = a · E[X] + b = a · µ + b
2
2.5.3
Varianz
X Zufallsvariable mit Mittelwert µ
E[(X − µ)2] =: V (X) =: σ 2
heißt Varianz oder mittlere quadratische Abweichung von X.
√
σ := σ 2
heißt Standardabweichung (oder mittlerer Fehler) von X.
V [a · X + b] = E[((a · X + b) − (a · µ + b))2] =
E[a2 · (X − µ)2] = a2 · V [X]
Es gilt also die Regel:
V [a · X + b] = a2 · V [X]
2.6
Wichtige Verteilungen
1. Null-Eins-Verteilung
1
X nimmt den Wert
mit der Wahrschein0
p
lichkeit
an.
1-p
3
µ = 1 · p + 0 · (1 − p) = p
σ 2 = E[(X−µ)2] = (0−p)2 ·(1−p)+(1−p)2 ·p =
p2(1−p)+(1−p)2p = p(1−p)(p+1−p) = p(1−p).
2. Binomial- oder Bernoulli-Verteilung
Die Wahrscheinlichkeit von A bei einem Versuch
sei p.
X . . . Anzahl des Auftretens von A bei n unabhängigen Versuchen
(z.B. Ziehen mit Zurücklegen!)
pk := w(X = k) =
n
k
pk (1 − p)n−k
Es gilt:
µ=n·p
und
σ 2 = npq
Rechnung!
Für die Binomialverteilung gibt es Tabellen!
4
3. Poisson-Verteilung
Für n → ∞ und zugleich p → 0, derart, dass
gilt:
n · p =: λ = const.
geht die Binomialverteilung über in die PoissonVerteilung mit dem Parameter λ:
λk −λ
w(X = k) = e
k!
mit λ > 0.
Rechnung zeigt:
µ = σ2 = λ
Für große n und kleine p mit 0 < np ≤ 10 ersetzt man die Binomialverteilung durch die PoissonVerteilung mit dem Paramter λ = np.
Warum?
Weil man damit leichter rechnen kann und (fast)
das Gleiche herauskommt.
5
Es gilt: w(0) = e−λ ⇒ Für die Poisson-Verteilung
gilt:
λ = − ln(w(0))
Anwendung der Poisson-Verteilung:
Ein Ereignis A trete immer wieder einmal zufällig
ein, z.B.:
Vorbeifahren eines Autos an einam bestimmten
Messpunkt
Emission eines α-Teilchens beim radioaktiven Zerfall einer bestimmten Probe
Ankommen eines Telefonanrufs bei der Beschwerdestelle
Vorkommen eines Druckfehlers in einem Buch
Dann hat die Zufallsvariable
Xt: ”Anzahl des Auftretens von A in dem Zeitintervall [t0, t0 + t]“
6
für jedes t > 0 eine Poisson-Verteilung, wenn
gilt:
(a) w(Xt = k) ist unabhängig von t0 und stetig
in t.
(b) In verschiedenen (nicht überlappenden) Zeitintervallen sind die Anzahlen voneinander unabhängig.
(c) limt→0 1t · w(Xt > 1) = 0.
In einem Buch mit 200 Seiten gibt es 20 Druckfehler, die rein zufällig verteilt sind.
(Der Setzer hatte nie einen Tiefpunkt,
das zweimalige Korrekturlesen ist unabhängig erfolgt usw.)
20
Auf einer Seite gibt es durchschnittlich 200
= 0, 1
Druckfehler.
Parameter λ = 0, 1.
Frage: Auf wievielen Seiten sind genau zwei Druckfehler zu erwarten?
7
w(X = 2) =
λ2
2!
· e−λ =
0,01
2
· e−0,1 ≈ 0, 0045
Auf ungefähr 200 · 0, 0045 = 0, 9 ≈ 1 Seiten sind
genau zwei Druckfehler zu erwarten.
In einem Buch mit 200 Seiten gibt es 200 Druckfehler.
Auf einer Seite gibt es durchschnittlich einen Druckfehler.
Parameter λ = 1.
Frage: Auf wievielen Seiten sind genau zwei Druckfehler zu erwarten?
w(X = 2) =
λ2
2!
· e−λ = 12 · e−1 ≈ 0, 1839
Auf ungefähr 200 · 0, 1839 = 36, 78 ≈ 37 Seiten
sind genau zwei Druckfehler zu erwarten.
Für die Poisson-Verteilung gibt es Tabellen!
8
4. Gleichverteilung oder Rechtecksverteilung
Stetige Verteilung mit konstanter Wahrscheinlichkeitsdichte f auf einem Intervall [a, b].
Dann ist f (t) =
sonst.
1
b−a
für a ≤ t ≤ b, f (t) = 0
Verteilungsfunktion:
Z
x
F (x) =
f (t)dt =
−∞

0
für x ≤ a
für a ≤ x ≤ b
für x ≥ b
x−a
b−a

1
Der Mittelwert µ ist
Z
Z ∞
x · f (x)dx =
µ=
−∞
a
b
1
x·
dx =
b−a
b 2 − a2
1
·
b−a
2
Folglich ist µ = a+b
2 .
Die Varianz
2
2
Z
∞
σ = E[(X − µ) ] =
(x − µ)2 · f (x)dx =
−∞
Z
b
(x2 − 2µx + µ2) · f (x)dx =
a
9
1 b3 − a3
b 2 − a2
(
− 2µ
+ µ2(b − a)) =
b−a
3
2
1 2
1
1
(b + ab + b2) − (a + b)2 + (a + b)2 =
3
2
4
1
(4(b2 + ab + b2) − 3(a + b)2) =
12
1 2
1
2
(b − 2ab + a ) = (b − a)2
12
12
5. Normalverteilung
Die Normalverteilung N (µ; σ 2) mit Mittelwert µ
und Varianz σ 2 ist die wichtigste stetige Verteilung!
(a) Viele Zufallsvariable sind normalverteilt.
(b) Viele weitere Zufallsvariable sind näherungsweise normalverteilt.
(c) Entsteht eine Zufallsvariable als Summe (oder
als Mittelwert) von vielen (mindestens dreißig) unabhängigen Zufallsvariablen, so ist sie
näherungsweise normalverteilt. (Mitteilung ohne Beweis)
(d) Aus (c) folgt: Die Binomialverteilung ist für
große n (ungefähr n·p ≥ 5 und n·(1−p) ≥ 5)
näherungsweise eine Normalverteilung.
10
Nicht begründbar aber meist richtig:
Unterliegt eine Größe vielen zufälligen unabhängigen Einflussen, so ist sie in der Regel normalverteilt.
Beispiele: Körpergröße erwachsener Männer
Körpergröße erwachsener Frauen
Intelligenzquotient in der Bevölkerung
Füllmenge in Verpackungen (meistens)
Brustumfang von Soldaten (Quetelet)
Wahrscheinlichkeitsdichte:
1
2
− 12 ( t̃−µ
σ )
f (t̃) = √
e
2π · σ
Setzt man
der Dichte
t̃−µ
σ
=: t, so erhält man N (0; 1) mit
1 − 1 t2
φ(t) = √ e 2
2π
und der Verteilungsfunktion
11
1
Φ(x) := w(X ≤ x) = √
2π
Z
x
1 2
e− 2 t dt
−∞
Φ kann man in Tabellen nachschlagen.
Der Graph von φ ist die berühmte Gaußsche
Glockenkurve (siehe Tafelskizze).
Für die Normalverteilung gibt es Tabellen!
12