Dynamik von Massenpunkten

Physik I
im Studiengang Elektrotechnik
- Dynamik von Massenpunkten -
Prof. Dr. Ulrich Hahn
WS 2015/2016
1. Newtonsches Axiom
Kinematik:
Objekteigenschaften nicht berücksichigen


Trägheitsaxiom:

Bewegungszustand eines Objektes:  v

Änderung des Bewegungszustandes:  a
Ohne äußere Beeinflussung behält ein
Objekt seinen Bewegungszustand bei.
 Ruhe
 gleichförmige (gradlinige) Bewegung
 Inertialsystem
„Aufwand“ für gleiche Beschleunigung
unterschiedlicher Objekte verschieden
Dynamik:
Dynamik von Massenpunkten
Bewegungszustand eines Objektes:  Schwung
Impuls
2
Masse & Impuls
Unterscheidungsmerkmal der Objekte:
Definition Impuls:
(träge) Masse


p  mv
Teilen/Vereinigen von Objekten:
m
[ p]  kg 
s

 
pgesamt  p1  p2
Impuls: Mengeneigenschaft
Geschwindigkeit
Masse „Impulskapazität“
 extensive Größe
 intensive Größe
 extensive Größe
Häufig in anderen Gebieten der Physik:
Gextensiv = KapazitätG * Hintensiv
Dynamik von Massenpunkten
3
2. Newtonsches Axiom
Ursache für die Änderung des Bewegungszustandes sind Kräfte.
 dp d


  m  v  m  v  m
 v  ma

F
 ( mv )
dt dt
Massenstrom
m
[ F ]  kg   N
s²
Strömungsgeschwindigkeit
allgemein:
Größen G werden durch Ströme IG geändert
dG
IG 
dt
 Kraft: „Impulsstrom“ ändert Bewegungszustand
„Grundgesetz der Dynamik“:


F  ma
 Masse des Objektes ändert sich nicht
Dynamik von Massenpunkten
4
Kraftquellen


Massenströme
(elastische) Deformation


Schwerkraft
elektromagnetische Kräfte
Kraftvermittlung
Direkter Kontakt
Impulsstromleiter:
Felder
Dynamik von Massenpunkten





starre Leiter
 Zug- und Druckkräfte
schlaffe Leiter  Zugkräfte
Gravitation
elektromagnetische Felder
Felder in der Mikrophysik
5
Kraftmessung
Elastische Deformation
Quelle
Dynamik von Massenpunkten
Objekt
Quelle
Objekt
Länge
Elektrischer
Widerstand
Elektrische
Spannung
Lichtdurchlässigkeit
6
3. Newtonsches Axiom
Kraftwirkung zwischen 2 Objekten:
Objekt 1
Objekt 2
F  Ip
p1 
I p (1  2 )
F12
p2 
 I p( 2 1)
=
  F21
actio = reactio
Abgeschlossenes System:


p
 i  const .
i


 Fi j  0
i,j
Dynamik von Massenpunkten
7
Nicht abgeschlossene Systeme
!
pMensch  0
Ip
Ip
Wagen
pObjekt 
Boden
Mensch: „Impulspumpe“
Boden: „Impulsreservoir“
vBoden = 0
p  mR  v
Reservoirs:
Dynamik von Massenpunkten
 mR  
Extensive Größe ändert intensive Größe nicht:
 Kapazität  
8
Zusammensetzen von Kräften
Mehrere Kräfte greifen an einen Massenpunkt an:

  

FR F1  F2  F3  FR
 
F1  F2





d
p

falls
m

const
:
F

m

a
F1
FR 
R
F
2
dt

F3
 Ursachen unterscheiden

Sonderfall: FR  0 Keine Änderung des Bewegungszustands
Gleichgewicht
Bewegungszustand Ruhe: Statik
Messen von Massen: Gleichgewicht mit Gewichtskraft
Dynamik von Massenpunkten
9
Impulsströme beim Gleichgewicht
Haftreibung
I p  FPO
I p  FBP
I p  FOB
Schwerkraft
I p  FDO
Gleichgewicht 
geschlossener
Impulsstromkreis
I p  FOG
Dynamik von Massenpunkten
10
Zerlegen von Kräften
Spezielle Zerlegung:


  
F  Ft  Fn
 

Tangentialkraft Ft : Ft // p



Normalkraft Fn :
Fn  p

Änderung von p

Änderung von e p
Beispiel: schiefe Ebene

Ft

Fn
Dynamik von Massenpunkten

FG
wirksame Kräfte: Schwerkraft
Kontaktkraft
Bewegung längs der Ebene
 Impulsänderung längs der Ebene
schiefe Ebene kompensiert Fn
Kontaktkraft  Oberfläche
11
Elastische Deformation, Federkräfte
Kraft wirkt auf Körper
(elastische) Deformation
Verschiebung der Atome
elektrostatische Kräfte
reversibel
Formänderung in Kraftrichtung
Formänderung auch  zur Kraft
(Querkontraktion)
größere Kraftwirkung:
(plastische) Deformation
irreversibel
Formänderung auch  zur Kraft
(Querkontraktion)
Dynamik von Massenpunkten
12
Hookesches Gesetz
Kraftgesetz:
Abhängigkeit der Kraft von anderen Größen
Felastisch  F (l )
Lineare Näherung: Felastisch  l
Felastisch : rücktreibend
 Felastisch   D  l
Federkonstante
[ D] 
N
m
weiche Feder: kleines D
starre Feder: großes D
Federkonstante D hängt ab von:
Dynamik von Massenpunkten


Material
Form der Feder
13
Reibungskräfte (äußere Reibung)
2 Objekte berühren sich:
Kontaktkraft // Kontaktfläche

FAntrieb

FReibung
Reibungskräfte wirken bewegungshemmend



Gleichgewicht  keine Bewegung : FHR   FA

 max
Schwellwert FA  FHR
Gleitreibung

max
FHR
unabhängig von der Größe der Kontaktfläche

max
FHR
~ FNormal
Haftreibung 
max
FHR
 µHR  FNormal
Haftreibungszahl
Dynamik von Massenpunkten
Rauheit der Flächen
Materialpaar
14
Reibungskräfte
Gleitreibung


 max
FA  FHR
 Bewegung

Gleichgewicht  gleichförmige Bewegung


 max
FA  FGR  FHR

FGR unabhängig von der Größe der Kontaktfläche

FGR unabhängig von der Geschwindigkeit


FGR // ev
FGR  µGR  FNormal
FGR ~ FNormal

Gleitreibungszahl
Rauheit der Flächen
Materialpaar
Fremdkörpern zwischen Kontaktflächen
Haftreibung  Anschluss an Impulsreservoirs (Gegenkräfte)
Gleitreibung  Reibungsverluste Wärme
Dynamik von Massenpunkten
15
Rollreibung



FRollreibung abhängig von
FRollreibung
Kontaktfläche ändert sich dauernd
Lösen des Kontaktes durch Abheben
Normalkraft
 des Rades
Materialpaar
f
  FN
r
f: Rollreibungslänge
Bewegliche Teile:
Dynamik von Massenpunkten
Deformation
des Rades
Rollreibung << Gleitreibung
Räder
Kugellager
Wälzlager
16
Reibungszahlen
Dynamik von Massenpunkten
17
Innere Reibung
Objekt bewegt sich durch Fluid: Gleitreibung
Gase
Luftwiderstand
Flüssigkeiten Strömungswiderstand
 Wärme
unterscheiden

 
laminare Strömung v klein FR  b | v | ev



Form des Objektes
Größe
Zähigkeit des Fluids

turbulente Strömung v groß FR  d  v ²  ev
Dynamik von Massenpunkten



Form des Objektes: cW
Anströmfläche
Dichte des Fluids
1
d  cW A
2
18
cW - Werte
Dynamik von Massenpunkten
19
Anwendung des 2. Newtonschen Axioms
Ein Objekt:


dp

 m  a   Fi
dt
i

Berechnung der Beschleunigung des Objektes

Berechnung von Kräften auf das Objekt
Mehrere Objekte:
 Kräfte auf die Objekte

dpi
  F ji
dt
j

Objekte sind verbunden
3. Newtonsches Axiom
Nebenbedingungen
Beispiel: Atwoodsche Fallmaschine
Dynamik von Massenpunkten


20
Kräfte bei Kreisbewegungen
Zentripetalkraft:
Tangentialkraft:
Corioliskraft:

v² 


FZP  m  ar  m  ²  r  er  m   er
r


Ft  m  r  
  et

Gradlinige und Kreisbewegung überlagern sich
Radialbewegung: u  const ,   const ,
r0  r (t )  0



s (t )  r (t )  er  (r0  u  t )  er



v  u  er  ω  r (t )  et

 dp
dv
F
m
dt
dt



 F   m  2  u    et  m  ²  r (t )  er
Corioliskraft
21
Koordinatentransformationen
Wie ändern sich die physikalischen Gesetze,
wenn sich das Bezugssystem ändert?
Gradlinige Bewegung
t = t‘
y‘
y

s

* s
x‘

w
x


Verschiebung
gleichförmige Bewegung

beschleunigte Bewegung



(m  0)

F  F  m  aS
Scheinkraft

Spezialfall: „Dynamisches Gleichgewicht“ F   0
Dynamik von Massenpunkten
22
D‘Alembertsches Prinzip





F   0  F  m  aS  0  m  a  m  aS


0  F  ma
 
 a  aS
Einer Änderung seines Bewegungszustandes (a) setzt
ein Objekt eine „Trägheitskraft“ (- m a) entgegen, so
dass es in dem mit a beschleunigten System ruht.
 Betrachtung im beschleunigten System manchmal anschaulicher!
anfahrender Zug
Bremswirkung auf Autoinsassen



Zentrifugalkraft Frot .  0  FZP  FZF
Corioliskraft
Dynamik von Massenpunkten

23
Corioliskraft
yy(yy(t((t35t42t)01))) yyy((t(tt3)4))
yy((t0t12))
yy(yyt((0t(t1)t2)3))
yyy((t(t0t1)2))
yy((t0t1))
y (t0 )
xxx(x(t(x0tt(1x()2t)t3()4t))5 )
x(xxt(0x(tx)t1(2)(tt)34))
x(xt(x0t(x)1t)(2t)3 )
x(txx0(()tt12))
 Cor.xls
Dynamik von Massenpunkten

x(t0 )
xx((tt01))
26
Bewegung unter Krafteinfluss
Wie bewegt sich ein Objekt, wenn Kräfte wirken?


dv (t )

ma  m
  Fi (t )
dt
i
Differentialgleichung Lösung: Funktion v(t), die die DGL erfüllt

ds

v (t ) 
dt
Differentialgleichung Lösung: Funktion s(t), die die DGL erfüllt
Mathematische Methoden: Integration der Bewegungsgleichung
Numerische Näherungsmethoden (Euler-Cauchy):



Anfangswerte für s (t0 ) ,v (t0 ) ,a (t0 ) ?

(kleines) Zeitintervall t wählen



v
(
t
)

v
(
t
)

a
(ti )  t
für spätere Zeitpunkte ti+1 = ti + t:
i 1
i



Dynamik von Massenpunkten
s (ti1 )  s (ti )  v (ti )  t

27
„einfache“ Maschinen
Aufgabe:
Reduzierung der für eine Aufgabe erforderliche Kraft
Dynamik von Massenpunkten
28
Beispiele für einfache Maschinen
schiefe Ebene
Hebel
Flaschenzug
Weg, auf dem die Kraft aufgewendet werden
muss wird größer
aber:
Goldene Regel der Mechanik
Was an Kraft gewonnen wird, geht an Weg verloren
 Größe, die beides berücksichtigt
Dynamik von Massenpunkten
Arbeit
29
Definition: Arbeit = Kraft . Weg

F
Fs
eindimensional:
s
W  Fs  s [W] = Nm = J
W > 0: Fs s
W < 0: Fs s
W = 0: Fs = 0 oder s = 0
speziell:
Arbeit durch gleichmäßige Beschleunigung
m 2
W  m  a  s  (vE  v A2 )
2
kinetische Energie :
Dynamik von Massenpunkten
 Ekin
Ekin
1
 mv²
2
30
Arbeit bei Bewegungen im Raum

s1


F

Fs

s2

s
dreidimensional:
W  Fs  s  F  s1  Fs2  s2

Fs  F  cos

s1  s  cos
Fs2  0

 
 

W  F  s  cos( F ,s ) : F  s
Skalarprodukt:
Berechnung:
Dynamik von Massenpunkten
 
a  b  Zahl
 a x   bx 


   
a  b   a y    by   a x bx  a y by  a z bz
 a  b 
 z  z
31
Arbeitsdiagramm
Fs
Fs1
W  Fs1 ( sE  s A )
Rechteckfläche
sE
sA
konstante Kraft:
s
Fs
veränderliche Kraft:
sE
W   FsII ( s )  ds
sA
sA
Dynamik von Massenpunkten
FsII
Fläche unter der Kurve
sE s
32
Arbeit (dreidimensional)
Kraft nicht konstant:


Wsa sb ?

Weg in kleine Teilwege aufteilen, so dass dort F  const.
 
 W  F  s
über alle Teilarbeiten W summieren


Wsa sb   Fi  si
i

si 0

sb
 
Wsa sb   F  ds

sa
xb
yb
zb
xa
ya
za
  Fx  dx   Fy  dy   Fz  dz
Arbeitsdiagramm für yx
Dynamik von Massenpunkten
33
Energie
Beschleunigungsarbeit aus der Ruhe:
m
W  m  a  s  vE2  Ekin
2
Nach Beschleunigungsphase keine Kraftwirkung:
Arbeit ist im Bewegungszustand mit Ekin „gespeichert“
m
p²
Bewegungszustand: p  Ekin  v² 
2
2m
Definition:
Energie: gespeicherte Arbeit
Speichermedium: Energieträger
Bewegung
Wärme
Elektrizität
Dynamik von Massenpunkten
34
Potentielle Energie
Arbeit unter Einfluss einer variablen Hangabtriebskraft :
y
a
Wab hängt nicht von
der Wahl des Weges ab,
sondern nur von a und b
b
x
Wab  Ekin  0
Umgekehrter Weg:
E 'kin  Wba  Wab  0
Verlust an Ekin
Gewinn an Höhe  Potentielle Energie
 E ' pot  0
Kann für Verrichtung von
Arbeit genutzt werden
 
   F  ds
a
E ' pot  Wba
Dynamik von Massenpunkten
b
35
Energieerhaltung in der Mechanik
a: E pot (a) , Ekin (a)
Bewegung von a  b:
b:
E pot (b) , Ekin (b)
 
  F  ds  Ekin  E pot
b
W(ab) unabhängig vom Weg
Wab
a
 Ekin  E pot  0
 ( Ekin  E pot )  0
Ekin  E pot  Emech ,ges  const
 
F: konservative Kraft
 F  ds  0
 F  ds unabhängig vom Weg
Beispiele:
Schwerkraft
elastische Deformation
elektrostatische Kraft
Dynamik von Massenpunkten
Nicht konservative Kräfte:
Reibung
plastische Deformation
36
Anwenden von Epot

Kraftwirkung auf das Objekt
Wba
(2)
a
(1)
(1)
b
E pot (a gegenüber b)
E pot (1)  Wba (1)

Bezugspunkt
Wahl der Problemstellung anpassen
Nur Änderungen von Ekin und Epot relevant
Dynamik von Massenpunkten
37
Räumlicher Verlauf von Epot  Fk
eindimensional: Örtlicher Verlauf von Epot(x) sei bekannt:
dW  Fk ( x)dx  dE pot ( x)
Sonderfälle:

dE pot ( x)
Art des Extremums:
dreidim.:
dx

 0  Fk
Fk ( x)  
dE pot ( x)
dx
Gleichgewicht
stabiles Gleichgewicht
Minimum
Maximum labiles Gleichgewicht
„Flachzone“ indifferentes Gleichgew.
 


dW  Fk ( s )  ds  dE pot ( s ) 
 
Fk ( s )   grad ( E pot )
grad (( x, y, z )) : ( / x,  / y,  / z )
Dynamik von Massenpunkten
Richtung größten Anstiegs von 
38
Berechnen der Arbeit bei konservativen Kräften
konservative Kraft:
Zonen gleicher Epot
Äquipotentialflächen
Richtung der Kraft (Richtung des Gradienten)
senkrecht zu den Äquipotentialflächen
Berechnung der Arbeit:
Beispiele:
Dynamik von Massenpunkten
Wege aufteilen in Wege
- auf Äquipotentialflächen
- längs des Gradienten
Schwerkraft: Höhenlinien
elektrostatische Kraft: Äquipotentialflächen
39
Beschreibung des Bewegungszustandes
Newton:
Bewegungszustand:
Änderung:
 
s,p
 dp





F
 m  v  m  v  m  s  m  s
dt
Bewegungsgleichung
Energie:
Bewegungszustand:
Ekin , E pot
Änderung:
W  Ekin  E pot
Erste Integrale der
Bewegungsgleichung
Kein zeitlicher Verlauf der
Bewegung bestimmbar!
Dynamik von Massenpunkten
40
Allgemeiner Energiesatz der Mechanik
Bewegung unter Einfluss von konservativen- und anderen Kräften:
b
 

W   ( Fk  Fnk )  ds  Wk  Wnk  Ekin  E pot  Wnk
a
 Wnk  Ekin  E pot  Eges ,mech
Nicht-konservative Kräfte ändern die
Gesamtenergie eines Objektes
Energiebilanz:
Objekt
Eges
Epot, Ekin
Bilanzhülle
Dynamik von Massenpunkten
Kontinuitätsgleichung:
Zeitl. Änderung der Energie in
der Bilanzhülle = Strom/Fluss
durch die Bilanzhülle
+ : hinein
41
Verändern der Epot eines Objektes
steigern:
Bewegung unter Einfluss einer Kraft Fk von a  b
b


W   Fk  ds  0  E pot  W  0
a
 Ekin  W  0
Bewegung unter Einfluss von Fk und Fnk von a  b
W  Wk  Wnk  Ekin  E pot  Wnk  Ekin
Sonderfall: Ekin = 0 (gleichförmige Bewegung)
verringern:
Bewegung unter Einfluss einer Kraft Fk von a  b


W   Fk  ds  0  E pot  W  0
b
 Ekin  0
a
Bewegungen unter Einfluss von konservativen Kräften
aus der Ruhe senken die potentielle Energie
Dynamik von Massenpunkten
42
Leistung
Energiestrom:
dW
dE
: P 
dt
dt
Nm
[ P] 
W
s
Momentanleistung
 ds  
 
dW  F  ds  P  F   F  v
dt
Momentangeschwindigkeit
Dynamik von Massenpunkten
43