PDF-Datei - Institut für Optoelektronik

Bauelemente der Optoelektronik
Wellenoptik, optische Wellenleiter
und -elemente, Modulatoren, Koppler
c K.J. Ebeling
°
Institut für Optoelektronik
Universität Ulm
Bearbeitet von R. Michalzik, J. Mähnß
DVI/PDF erzeugt am 6. November 2008
2
Literaturverzeichnis
[1] K.J. Ebeling, Integrierte Optoelektronik (2. Aufl.). Berlin: Springer-Verlag, 1992.
[2] B.E.A. Saleh and M.C. Teich, Fundamentals of Photonics. New York: Wiley, 1991.
[3] W. Glaser, Photonik für Ingenieure. Berlin: Verlag Technik, 1997.
[4] A. Papoulis, Signal Analysis (3rd printing). Auckland: McGraw-Hill, 1987. 50
Inhaltsverzeichnis
1
2
3
4
Licht und Photonen
1
1.1
Lichtbrechung und Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Lichtbeugung am Gitter und Auflösungsgrenze der optischen Abbildung . . . . . . .
2
1.3
Strahlung eines schwarzen Körpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3.1
Zustandsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3.2
Besetzungswahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Wellenoptik
11
2.1
Wellengleichung und Helmholtzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Elementare Lösungen der Helmholtzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Einfache optische Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4
Abbildung durch eine dünne Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Paraxiale Wellen und Gaußstrahl
19
3.1
Paraxiale Helmholtzgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
3.2
Gaußstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
3.3
Eigenschaften des Gauß-Strahls: Intensität und Leistung . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.4
Eigenschaften des Gauß-Strahls: Divergenz und Phasenfronten . . . . . . . . . . . .
23
3.5
Transmission durch eine dünne Linse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.6
Strahlfokussierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Einfache optische Wellenleiter
31
4.1
Planare Spiegelwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2
Modenleistungen und Modenüberlagerungen im Spiegelwellenleiter . . . . . . . . .
35
4.3
Planare dielektrische Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
I
INHALTSVERZEICHNIS
II
5
6
7
8
4.4
Quadratische Spiegelwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.5
Quadratische dielektrische Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Wellenleiterelemente
47
5.1
Reflexion und Brechung von Filmwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.2
Rippenwellenleiter und Effektiv-Index Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.3
Wellenleitereinkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.4
Wellenleiterknicke und Krümmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.5
Querschnittsänderungen und Taper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
5.6
Wellenleitergeometrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Wellenleitermodulatoren
59
6.1
Variation der Ausbreitungskonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.2
Wellenleiter-Phasenmodulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
6.3
Wellenleiter-Amplitudenmodulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.4
Elektrooptischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
6.5
Elektrooptische Phasenmodulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
6.6
Mach-Zehnder Modulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Optoelektronische Modulatoren in Halbleitern
67
7.1
Elektrisch gesteuerte Modulatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.1.1
Elektroabsorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
7.1.2
Elektrorefraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.1.3
Ladungsträgerinjektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
7.1.4
Sperrschichtweitenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
Richtkoppler
75
8.1
Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.2
Theoretisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
8.3
Differentialgleichungen für die z-Abhängigkeiten der Modenamplituden . . . . . . .
78
8.4
Amplitudenverläufe in symmetrischen Richtkopplern . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
8.5
Beispiel eines Rippenwellenleiterkopplers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8.6
Rippenwellenleiterschalter durch Einstellung der Phasenfehlanpassung . . . . . . . .
83
INHALTSVERZEICHNIS
III
A Strahltransfermatrizen
85
B Transmission durch eine dünne Linse
91
C Mach-Zehnder-Interferometer
95
D Reflexions- und Transmissionsfaktors eines Strahlteilers
97
Kapitel 1
Licht und Photonen
Licht lässt sich auf ganz verschiedene Art und Weise beschreiben. Im folgenden diskutieren wir die
Lichtbrechung an der Grenzfläche zwischen zwei Medien im Strahlenmodell sowie die Beugung des
Lichts an einem Gitter und die Grenze der Auflösung einer optischen Abbildung im Wellenmodell.
Die thermische Strahlung eines Glühfadens lässt sich dagegen erst anhand eines komplexeren Photonenmodells verstehen.
1.1 Lichtbrechung und Fermatsches Prinzip
Wir betrachten nach Bild 1.1 die Lichtausbreitung vom Punkt A in Medium 1 mit Brechzahl n̄1 zu
einem Punkt B in Medium 2 mit Brechzahl n̄2 . Es ist bekannt, dass die Strahlausbreitung dem Snelliusschen Brechungsgesetz gehorcht. Allgemeiner kann man sagen, dass der Strahl den Weg nimmt,
der die Zeit t für die Lichtausbreitung für die Distanz zwischen den Punkten A und B minimiert.
In einem Medium mit konstanter Brechzahl wird dementsprechend die Ausbreitung des Strahls auf
einer Geraden erfolgen. Nach Bild 1.1 gilt mit den Ausbreitungsgeschwindigkeiten v1 = c/n̄1 und
v2 = c/n̄2 mit c als Lichtgeschwindigkeit die einfache Beziehung
AB BC
t=
+
= n̄1
v1
v2
p
h21 + x2
+ n̄2
c
p
h22 + (d − x)2
.
c
(1.1)
Die minimale Zeitdauer für verschiedene mögliche Ausbreitungswege, die sich durch die Lage des
Punktes B auf der x-Achse unterscheiden, erhält man durch die Extremalbedingung ∂t/∂x = 0. Die
Einführung von Einfallswinkel ϕ1 und Brechungswinkel ϕ2 , jeweils gegen das Einfallslot gemessen,
liefert die Bedingung
n̄1 x
−n̄2 (d − x)
∂t
=p 2
+p 2
2
∂x
h2 + (d − x)2 · c
h1 + x · c
1
= (n̄1 sin {ϕ1 } − n̄2 sin {ϕ2 }) = 0 ,
c
(1.2)
aus der das Brechungsgesetz
n̄1 sin {ϕ1 } = n̄2 sin {ϕ2 }
1
(1.3)
KAPITEL 1. LICHT UND PHOTONEN
2
unmittelbar folgt. Allgemeiner ist für den optischen Strahlweg zu fordern, dass die Laufzeit
Z
Z
1
1
OP L
t=
ds =
n̄(s) ds =
v(s)
c
c
(1.4)
für den optischen Weg OPL (optical path length) bzw. der optische Weg für den Strahl minimal wird,
also
Z
OP L = n̄(s) ds = minimal
(1.5)
gilt. Diese Eigenschaft des optischen Strahlweges ist als Fermatsches Prinzip bekannt.
A
_
h1
n1
j1
j1
B
x
x
_
n2
j2
h2
j2
C
d
Bild 1.1: Optische Strahlausbreitung zwischen den Punkten A und C über eine ebene Grenzfläche zwischen
den Medien mit Brechzahlen n̄1 und n̄2
1.2
Lichtbeugung am Gitter und Auflösungsgrenze
der optischen Abbildung
Diffraction
order #1
Grating
Incident
wave
d
j1
Diffraction
order #0
d sin j1
Bild 1.2: Beugung einer Welle an einem Beugungsgitter mit der Gitterperiode d
Die Beugung des Lichts an einem Gitter ist nur im Wellenmodell zu erklären. Eine ebene einfallende
Welle der Wellenlänge λ wird in Ordnungen ±m (m ganzzahlig) gebeugt, deren Ausbreitungsrichtungen ϕm durch die Bedingung
d sin ϕm = m · λ
(1.6)
1.3. STRAHLUNG EINES SCHWARZEN KÖRPERS
Grating
+2.
+1.
D/2
j1
d
3
+1.
0.
0.
-2.
z
-1.
-1.
>
~f
Bild 1.3: Auflösung eines Gitters bei der Abbildung durch eine Linse mit Brennweite f
für konstruktive Interferenz gegeben sind.
Soll nach Bild 1.3 das Gitter mit einer Linse mit Durchmesser D vergrößert abgebildet werden, ist
der Abstand Gitter zu Linse nahe der Linsenbrennweite f zu wählen und zu fordern, dass die erste
Beugungsordnung noch von der Linsenapertur erfasst wird. Andernfalls ginge, wie ursprünglich von
Ernst Abbe herausgearbeitet, die Detailinformation über das Objekt verloren und das Gitter würde
als homogene graue Fläche erscheinen, weil nur die nullte Beugungsordnung als ebene Welle im
Bild auftreten würde. Bekanntermaßen führt erst die Überlagerung der schräg zueinander laufenden
Wellen der Beugungsordnungen +1, 0 und −1 zu einer Struktur in der Bildebene. Entsprechend ist
die kleinste auflösbare Struktur im Urbild durch
d=
λ
2λf
≈
sin ϕ1
D
(1.7)
gegeben. Die Auflösung eines Objektivs verbessert sich demnach mit kleiner werdender Wellenlänge
λ und Blendenzahl F = f /D.
1.3 Strahlung eines schwarzen Körpers
Ein glühender sogenannter schwarzer Körper emittiert unter anderem Strahlung in Form von Licht.
Die Emission erfolgt durch Photonen, die jeweils ein Energiepaket ~ω tragen. Die Gesamtzahl der
emittierten Photonen gibt die Gesamtmenge der abgestrahlten Energie an. Der Photonenfluss in Photonen/Sekunde korreliert direkt mit der abgestrahlten Leistung.
Die Frage lautet nun: Wieviel Strahlung bestimmter Energie ~ω wird emittiert? Dabei wir vorausgesetzt, dass Zustandspaare mit Energieabstand ~ω existieren. Die Photonenerzeugung erfolgt durch
Übergang von einem energetisch höheren in einen energetisch niedrigeren Zustand. Die frei werdende
Energie soll in Form von Photonen abgegeben werden. Das populärste Beispiel ist die Rekombination
von Elektronen und Löchern. Aber auch die Verringerung der Schwingfrequenz eines Oszillators ist
mit einer Energieabgabe verbunden. Die Frage lässt sich auf zwei Teilprobleme zurückführen:
• Kann bei der Energie ~ω überhaupt Licht emittiert werden (Beispiel Wasserstofflinie). Diese
Frage wird durch die sogenannte Zustandsdichte bei der Energie ~ω beantwortet. Dabei bedeutet Zustandsdichte etwa die möglichen Plätze der Ladungsträgerpaare, die um ~ω getrennt
sind.
KAPITEL 1. LICHT UND PHOTONEN
4
• Wieviel Energie steckt bei einer bestimmten Temperatur T in dem Zustand bei der Energie
~ω? Die Antwort ergibt sich aus der Ermittlung der mittleren Energie des Zustands, was direkt
mit der mittleren Photonenzahl korreliert. Ausgedrückt wird dies durch die sogenannte Besetzungswahrscheinlichkeit. Im bekanntesten Fall entspricht das dem Anteil der durch Ladungsträgerpaare besetzten Plätze, wenn davon ausgegangen werden kann, dass alle zur Emission
beitragen.
1.3.1
Zustandsdichte
y
L
Mode
fields
0
x
L
Bild 1.4: Stehwellenresonanzen in einem Würfel mit ideal reflektierenden Wänden
Zunächst soll hier die Zustandsdichte eines Körpers ermittelt werden. Man geht von einem Würfel
der Kantenlänge L aus. Wir nehmen an, dass der Würfel ideal reflektierende Wände besitzt. Dann
werden sich in dem Resonator gemäß Bild 1.4 nur Eigenschwingungen aufbauen, deren Wellenzahlkomponenten kx , ky , kz die Bedingung
π
π
kx , ky , kz = 0, ± , ±2 , . . .
L
L
(1.8)
erfüllen, so dass in jede Richtung ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge gerade die
Kantenlänge L ergibt. Diese wohlbekannte Resonanzbedingung sorgt also dafür, dass nur diskrete
Moden mit ganz bestimmten Ausbreitungsvektoren auftreten. Oft ersetzt man die Bedingung (1.8)
für ideal reflektierende Körper durch die Forderung nach periodischen Randbedingungen
kx , ky , kz = 0, ±
2π
2π
, ±2 , . . .
L
L
(1.9)
und erhält dann die in Bild 1.5 dargestellten erlaubten Werte für die Komponenten des ~k-Vektors.
Jeder erlaubte Schwingungszustand ~k = (kx , ky , kz )T nimmt im ~k-Raum ein Volumen (2π/L)3 ein,
da der jeweils nächste erlaubte Zustand gerade im Abstand 2π/L liegt. Dies gilt für alle Würfel,
also auch speziell für infinitesimal kleine. Entsprechend gibt es im ~k-Raum (L/(2π))3 Eigenschwingungen (Zustände) für einen Würfel mit der Kantenlänge L. Die Zustandsdichte folgt einfach durch
Division dieser Anzahl an Zuständen durch das Volumen, hier also das Würfelvolumen L3 . Wird
dann noch berücksichtigt, dass jeder Zustand in zwei Polarisationen vorkommen kann, resultiert die
Zustandsdichte
2
D(~k) d3 k =
d3 k .
(1.10)
(2π)3
1.3. STRAHLUNG EINES SCHWARZEN KÖRPERS
5
ky
k + dk = const
k = const
kx
kz = 0
} 2p/L
}
2p/L
Bild 1.5: Erlaubte k-Werte in einem Würfel der Kantenlänge L und Oberfläche konstanter Kreisfrequenz oder
Wellenzahl k = ω/c
Die Zustandsdichte D(~k) d3 k gibt die Zahl der Schwingungszustände eines Einheitswürfels im Wellenzahlbereich zwischen ~k und ~k + d3 k an, wobei d3 k = dkx dky dkz ist.
Zustandsdichte in homogenen Medien
Die Zustandsdichte ist von den Eigenschaften des emittierenden Materials abhängig. In modernen
lichterzeugenden Bauelementen werden z.B. sogenannte Quantenfilme oder Quantenpunkte eingesetzt, bei denen das Material auf der Nanometerskala verändert wurde. Wenn das der Fall ist, sind
Beispielsweise einige k-Zustände nicht mehr erlaubt und die Verteilung der Zustände ändert sich drastisch. Hier soll im Folgenden nur das einfache homogene Material ohne besondere Struktur betrachtet
werden.
Die Zustandsdichte D(~k) ist offenbar unabhängig von ~k, d.h. die Verteilung der Zustände ist völlig homogen in den ~k- Koordinaten. Damit kann auf D(k) dk übergegangen werden. Aufgrund der
Wellengleichung ist in homogenen Medien (sogenanntem Volumenmaterial = ”bulk material” ) die
Dispersionsrelation
2
k =
kx2
+
ky2
+
kz2
n̄2 ω 2
= 2 =
c
µ
2πn̄
λ
¶2
(1.11)
zu erfüllen, wobei k den Betrag der Wellenzahl, ω die Kreisfrequenz, n̄ die Brechzahl, c die Vakuumlichtgeschwindigkeit und λ die Vakuumwellenlänge bedeuten. Die Dispersionsrelation besagt, dass
alle erlaubten Zustände auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius k liegen. Da die Oberfläche einer
Kugel mit Radius k im k-Raum 4πk 2 ist, lässt sich mit Blick auf Bild 1.5 die Zahl der Zustände mit
k-Werten zwischen k und k + dk wegen d3 k = 4πk 2 dk zu
D(k) dk =
k2
4k 2
dk
=
dk
(2π)2
(π)2
angeben. Für ein nicht dispersives Medium gilt dann noch
(1.12)
KAPITEL 1. LICHT UND PHOTONEN
6
k = n̄ω/c ,
dk = (n̄/c) dω ,
(1.13)
und für die Photonenenergie ist W = ~ω mit dem Planckschen Wirkungsquantum h = ~2π anzusetzen. Somit ergibt sich für die Dichte der Zustände auf der Photonenenergieskala die Beziehung
DPh (~ω) d(~ω) =
n̄3 (~ω)2
d(~ω) ,
π 2 ~3 c3
(1.14)
also ein quadratisches Anwachsen der Zahl der Zustände mit der Frequenz in einem Frequenzintervall
der Länge dω.
1.3.2
Besetzungswahrscheinlichkeit
Damit wäre die Frage nach der Zustandsdichte beantwortet. Es bleibt noch zu klären, wie groß die
mittlere Energie bzw. die mittlere Anzahl von Photonen in dem jeweiligen Zustand ist.
In jeder Eigenschwingung kann sich unabhängig voneinander eine beliebige Zahl m von Photonen
aufhalten. Man spricht von einer Besetzung des Zustands mit Photonen. Die Gesamtenergie eines
Zustands ist also einfach durch die Zahl m und die Photonenenergie ~ω gegeben, d.h.
Wm = m~ω .
(1.15)
Im thermischen Gleichgewicht ist nach Boltzmann die Wahrscheinlichkeit für jeden Zustand, die
Energie W zu besitzen, durch
½
Wm
p(Wm ) = a exp −
kB T
¾
½
¾
m~ω
= a exp −
kB T
(1.16)
gegeben, wobei T die absolute Temperatur, kB die Boltzmannkonstante und a eine Proportionalitätskonstante sind. Die Wahrscheinlichkeit, eine hohe Energie in einem Zustand zu finden, nimmt also
exponentiell mit der Energie ab. Die Proportionalitätskonstante erhält man aus der Normierung der
Wahrscheinlichkeiten
µ
½
¾¶m
∞
X
m~ω
a
1=
p(Wm ) =
a exp −
=
,
kB T
1 − exp {−~ω/(kB T )}
m=0
m=0
∞
X
(1.17)
so dass für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Photonen in einer Mode die Beziehung
·
½
¾¸
½
¾
~ω
m~ω
p(m) = 1 − exp −
exp −
kB T
kB T
gilt. Die mittlere Zahl hmi der Photonen pro Mode im thermischen Gleichgewicht ist demnach
(1.18)
1.3. STRAHLUNG EINES SCHWARZEN KÖRPERS
7
·
½
¾¸ X
µ
½
¾¶m
∞
~ω
~ω
hmi =
mp(m) = 1 − exp −
m exp −
kB T
kB T
m=0
m=0
¾
·
½
¸−1
~ω
= exp +
−1
,
kB T
∞
X
(1.19)
wobei die Beziehung
∞
X
∞
∞
X
∂ m
∂ X m
∂ 1
b
mb = b
b =b
b =b
=
∂b
∂b m=0
∂b 1 − b
(1 − b)2
m=0
m=0
m
(1.20)
benutzt wurde. Die mittlere Zahl von Photonen in einer Mode, die sogenannte Besetzungswahrscheinlichkeit bzw. Besetzungsdichte, ist demnach durch die Bose-Einstein Verteilung
¾
½
¸−1
~ω
fPh (~ω) = hmi = exp +
−1
kB T
·
(1.21)
bestimmt. In der Optik gilt ~ω À kB T und damit hmi ' exp{− k~ω
} ¿ 1, so dass bei thermischem
BT
Licht die Besetzung der Moden extrem klein ist. Die Besetzungswahrscheinlichkeit für Photonen ist
in Fig. 1.6 dargestellt.
10,0
9,0
8,0
7,0
fPh
6,0
5,0
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
relative Energie
Bild 1.6: Besetzungswahrscheinlichkeit für Photonen der relativen Energie ~ω/(kB T ).
Das Produkt aus Zustandsdichte der Photonen DPh (~ω) und Besetzungsdichte fPh (~ω) ergibt die
spektrale Photonenzahldichte
Ñ (~ω) d(~ω) = fPh (~ω)DPh (~ω) d(~ω) =
1
n̄3 (~ω)2
·
d(~ω) ,
2
3
3
π ~c
exp {~ω/(kB T )} − 1
(1.22)
also die mittlere Zahl von Photonen pro Volumen im Energieintervall zwischen ~ω und ~ω + d(~ω).
Die spektrale Energiedichte der Strahlung ist folglich
KAPITEL 1. LICHT UND PHOTONEN
8
uPh (~ω) d(~ω) = ~ω ÑPh (~ω) d(~ω) =
n̄3 ω 3
1
·
d(~ω)
2
3
π c exp {~ω/(kB T )} − 1
(1.23)
da jedes Photon die Energie ~ω besitzt. Die Funktion u(~ω) ist in Fig. 1.7 veranschaulicht. Die
Frequenz mit der etwas ungewöhnliche Einheit Terrahertz wird leichter zugänglich, wenn die entsprechende Wellenlänge λ = c/ν bestimmt wird: Die spektrale Energiedichte eines schwarzen Körpers der Temperatur 500 K hat ihr Maximum bei etwa 30 THz. Mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
c = 3 · 108 m/s resultiert eine Wellenlänge von 10 µm.
Bild 1.7: Spektrale Energiedichte auf der Energieskala für verschiedene Temperaturen T
Es sei betont, dass Photonen als Bosonen mit ganzzahligem Spin einen Zustand in beliebiger Zahl
besetzen können. Elektronen (und Löcher) können in einem Zustand gar nicht oder nur einmal vorkommen. Die Bose-Einstein Verteilung (1.21) ist für diese Fermi-Teilchen mit halbzahligem Spin zu
ersetzen durch die in Fig. 1.8 dargestellte Fermi-Dirac-Verteilung
·
fF (W ) = exp
½
W − WF
kB T
¾
¸−1
+1
.
(1.24)
1.3. STRAHLUNG EINES SCHWARZEN KÖRPERS
9
0,5
0,4
fPh
0,3
fF
0,2
0,1
0,0
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
relative Energie
Bild 1.8: Besetzungswahrscheinlichkeit für Ladungsträger der relativen Energie (W − WF )/(kB T ). Zum Vergleich ist die Besetzungswahrscheinlichkeit für Photonen über der relativen Energie ~ω/(kB T ) mit angegeben.
10
KAPITEL 1. LICHT UND PHOTONEN
Kapitel 2
Wellenoptik
2.1 Wellengleichung und Helmholtzgleichung
Wir nehmen vereinfachend an, dass das orts- und zeitabhängige Feld einer Lichtwelle durch das
komplexe skalare elektrische Feld Ẽ(x, y, z, t) repräsentiert wird. Das Feld muss die Wellengleichung
∂ 2 Ẽ ∂ 2 Ẽ ∂ 2 Ẽ n̄2 ∂ 2 Ẽ
+
+
− 2 2 =0
∂x2
∂y 2
∂z 2
c ∂t
(2.1)
erfüllen, wenn ein quellenfreies Gebiet mit Brechzahl n̄ betrachtet wird. Für monochromatische Wellen der Frequenz ν = ω/(2π) mit
Ẽ(x, y, z, t) = E(x, y, z) ei2πνt = E(x, y, z) eiωt
(2.2)
ergibt sich die Helmholtzgleichung
µ
¶
∂2
∂2
∂2
2
+
+
+ k E(x, y, z) = 0
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(2.3)
für den ortsabhängigen Teil E(x, y, z), wobei k = n̄ω/c die Wellenzahl im Medium bezeichnet. Die
zeitlich gemittelte Intensität ist in nichtabsorbierenden nichtmagnetischen Medien durch
I(x, y, z) = cn̄ε0 |E|2 =
c
c
εε0 |E|2 = Photonendichte
n̄
n̄
(2.4)
gegeben. Hierbei wurde die zeitlich gemittelte Energiedichte εε0 |E|2 mit der Photonendichte gleichgesetzt. Es sei angemerkt, dass nur der Realteil der komplexen elektrischen Feldstärke Ẽ(~r, t) eine
physikalische Bedeutung besitzt. Eingeführt wird oft der Ortsvektor ~r = (x, y, z) und der LaplaceOperator ∇2 = ∆ = ∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂z 2 , um die Schreibweise zu vereinfachen.
11
KAPITEL 2. WELLENOPTIK
12
2.2
Elementare Lösungen der Helmholtzgleichung
Die einfachsten Lösungen der Helmholtzgleichung in einem homogenen Medium sind die ebene Welle und die Kugelwelle. Die ebene Welle hat die Form
E(~r) = A exp{−i(~k ◦ ~r)} = A exp{−i(kx x + ky y + kz z)}
(2.5)
mit komplexer Konstante A und Wellenvektor ~k = (kx , ky , kz ). Der Wellenvektor ~k gibt die Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle an. Einsetzen in (2.3) liefert die Dispersionsrelation
kx2 + ky2 + kz2 =
n̄2 ω 2
.
c2
(2.6)
Die Intensität der ebenen Welle ist ortsunabhängig. Die Orte konstanter Phase
kx x + ky y + kz z = const
(2.7)
sind ebene Flächen, die senkrecht auf ~k stehen. Die Feldstärke variiert sinusförmig entlang der Ausbreitungsrichtung. Der Abstand zweier aufeinanderfolgender Maxima ist durch die Wellenlänge λ
gegeben, für die gilt
2π
2πn̄
n̄ω
k = |~k| =
=
=
,
λ
λ0
c
(2.8)
wobei λ0 die Vakuum-Wellenlänge bezeichnet. Bild 2.1 illustriert die Verhältnisse.
l
u(z,t1)
u(z,t)
0
1
u
z
t
u(z,t2)
0
z
Bild 2.1: Veranschaulichung einer ebenen Welle
Eine weitere einfache Lösung der Helmholtzgleichung ist die sphärische Welle (Kugelwelle)
E(~r ) = E(r) =
A
exp{−i|~k||~r|}
r
(2.9)
die nur vom Abstand r = |~r | und Betrag des Wellenzahlvektors k abhängt. Die Wellenfronten k · r =
const sind konzentrische Kugelflächen, die im Ursprung ihren Mittelpunkt haben. Probleme ergeben
sich bei dieser Betrachtung im Nullpunkt (Pol bei r = 0).
2.3. EINFACHE OPTISCHE KOMPONENTEN
13
Für achsennahe Punkte entlang der z-Achse mit (x2 + y 2 ¿ z 2 ) lässt sich eine einfache paraxiale
Näherung der sphärischen Welle angeben. Man approximiert
kr = k(x2 + y 2 + z 2 )1/2 ≈ kz +
k 2
(x + y 2 )
2z
(2.10)
im Exponenten und
1
1
≈
r
z
(2.11)
im Nenner von (2.9) und erhält die paraboloide Welle
½
¾
A
x2 + y 2
E(~r) ≈ exp {−ikz} exp −ik
,
z
2z
(2.12)
die als Fresnel-Näherung der Kugelwelle bekannt ist und bei vielen Beugungsphänomenen eine
wichtige Rolle spielt. Bild 2.2 illustriert den Übergang von sphärischer zu paraboloider zu ebener
Welle. Der Phasenfaktor k(x2 + y 2 )/(2z) in (2.12) beschreibt die Krümmung der Wellenfront.
x
z
Spherical
Paraboloidal
Planar
Bild 2.2: Übergang von sphärischer zu paraboloider zu ebener Welle. Dargestellt sind Flächen konstanter Phase
2.3 Einfache optische Komponenten
Bevor wir uns den Einfluss von dielektrischen Schichten, Prismen oder Linsen auf die Wellenausbreitung ansehen sei anhand von Bild 2.3 der Zusammenhang von Strahlen- und Wellenoptik illustriert.
Bei der Reflexion und Brechung an der Grenzfläche z = 0 zwischen zwei dielektrischen Medien
mit Brechzahlen n̄1 und n̄2 nach Bild 2.4 muss aufgrund der Stetigkeitsbedingungen der tangentialen
elektrischen und magnetischen Feldstärkekomponenten die Bedingung
k~1 · ~r = k~2 · ~r = k~3 · ~r
∀
(x, y, 0)
(2.13)
gelten, wobei k~1 = (n̄1 k0 sin θ1 , 0, n̄1 k0 cos θ1 ) die einfallende, k~2 = (n̄2 k0 sin θ2 , 0, n̄2 k0 cos θ2 ) die
gebrochene und k~3 = (n̄1 k0 sin θ3 , 0, −n̄1 k0 cos θ3 ) die reflektierte ebene Welle charakterisiert.
Aus (2.13) folgt unmittelbar das Reflektionsgesetz θ1 = θ3 und das Snelliussche Brechungsgesetz
n̄1 sin θ1 = n̄2 sin θ2 .
KAPITEL 2. WELLENOPTIK
14
Rays
Rays
Wave fronts
Wave fronts
Rays
Bild 2.3: Strahlen stehen senkrecht auf den Wellenfronten der Wellenoptik
Im Folgenden vernachlässigen wir Reflexion und betrachten nur den Lichtdurchgang durch dünne optische Komponenten. Damit ist die Feldstärke E(x, y, z) stetig an den Grenzflächen und man definiert
die komplexe Amplitudentransmission
t(x, y) =
E(x, y, d0 )
E(x, y, 0)
(2.14)
für den Lichtdurchgang durch ein Element der Gesamtdicke d0 , welches entlang der z-Achse durchstrahlt wird. Bild 2.5 illustriert den Lichtdurchgang durch eine planparallele Platte mit Brechzahl n̄,
die senkrecht zur z-Achse angeordnet ist.
Die Phasenverzögerung durch die Platte resultiert in der Amplitudentransmission t(x, y) = exp {−in̄k0 d},
also einem reinen Phasenfaktor unabhängig von x und y. Bei dem Durchgang eines paraxialen Strahls
durch eine dünne Platte variabler Dicke d(x, y) nach Bild 2.6 nimmt man an, dass die Strahlen die
Strecke d0 parallel zur z-Achse durchlaufen.
Die resultierende Phasenverschiebung führt auf die Transmission
t(x, y) = exp{ik0 (d0 − d(x, y))} · exp{ik0 · n · d(x, y)}
= exp {−ik0 d0 } exp {−i(n̄ − 1)k0 d(x, y)} ,
(2.15)
wobei im zweiten Faktor allein der Einfluß der Platte erfasst wird.
Ein Beispiel einer Platte variabler Dicke ist ein dünnes Prisma nach Bild 2.7 mit kleinem Prismenwinkel α ¿ 1.
Die Amplitudentransmission ist
t(x, y) = exp {−ik0 d0 } exp {−i(n̄ − 1)k0 αx}
(2.16)
2.3. EINFACHE OPTISCHE KOMPONENTEN
Reflected
wave
15
k3
x
Refracted
wave
k2
q3
z
q1
q2
Incident
wave k1
n1
n2
Bild 2.4: Reflexion und Brechung an der Grenzfläche zwischen zwei Medien mit Brechzahlen n̄1 und n̄2
Der lineare Phasengang in x-Richtung führt zu einer Ablenkung der achsenparallel einfallenden Welle. Der Ablenkwinkel zur z-Achse ist in erster Näherung β = (n̄ − 1)α.
Der Lichtdurchgang durch eine dünne Linse lässt sich in gleicher Weise behandeln. Für die Rechnung
wird die Geometrie der plankonvexen Linse nach Bild 2.8 zugrundegelegt.
Die Linse ist die Kappe einer Kugel mit Radius R, und folglich gilt
£
¤1/2
d(x, y) = d0 − (R − QC) = d0 − R + R2 − (x2 + y 2 )
.
1/2
Für achsennahe Strahlen x2 + y 2 ¿ R2 gilt die Näherung [R2 − (x2 + y 2 )]
y 2 )/(2R2 )), so dass die Linsendicke mit
d(x, y) ≈ d0 −
x2 + y 2
2R
(2.17)
≈ R(1 − (x2 +
(2.18)
anzusetzen ist. Die Transmission ist damit
½
x2 + y 2
t(x, y) = exp {−ik0 d0 n̄} exp +ik0
2R/(n̄ − 1)
¾
.
(2.19)
Bei einfallender achsenparalleler ebener Welle bildet sich hinter der Linse eine paraboloide Welle aus,
deren Zentrum durch Vergleich mit (2.12) im Abstand z = R/(n̄ − 1) hinter der Linse liegt. Dieser
Abstand des Fokuspunkts wird auch als Brennweite f = R/(n̄ − 1) bezeichnet. Folglich gilt für die
Linse
KAPITEL 2. WELLENOPTIK
16
Bild 2.5: Transmission einer ebenen Welle senkrecht durch eine transparente Platte mit Brechzahl n
x
d0
d(x,y)
z
y
Bild 2.6: Transparente Platte variabler Dicke
½
¾
x2 + y 2
.
t(x, y) = exp {−ik0 d0 n̄} exp +ik0
2f
2.4
(2.20)
Abbildung durch eine dünne Linse
Wir betrachten die Geometrie nach Bild 2.9.
Vom im Ursprung liegenden Punkt P1 gehe eine paraboloide Welle (2.12) aus, die durch die Linse
der Brennweite f im Abstand z1 transformiert wird. Unmittelbar hinter der dünnen Linse ist die
Feldverteilung
2.4. ABBILDUNG DURCH EINE DÜNNE LINSE
x
17
d0
β
α
z
Bild 2.7: Transmission einer ebenen Welle durch ein dünnes Prisma
d0
(x,y)
d(x,y)
R
Q
f
C
P
2
2
2
R - (x + y )
f
Bild 2.8: Plankonvexe Linse und Transformation einer ebenen Welle in eine paraboloide Welle
½
¶¾
µ 2
x + y 2 x2 + y 2
A
E(~r) = exp {−ik0 (z1 + d0 )} exp −ik0
−
.
z1
2z1
2f
(2.21)
Für z1 > f ist dies eine konvergente Welle, die sich im Abstand z2 mit
1
1
1
+
=
z1 z2
f
(2.22)
fokussiert, denn
½
¶¾
µ
A
x2 + y 2 1
1
E(~r) = exp {−ik0 (z1 + d0 )} exp ik0
−
z1
2
f
z1
½
µ ¶¾
2
2
A
x +y
1
= exp {−ik0 (z1 + d0 )} exp ik0
.
z1
2
z2
(2.23)
(2.24)
Gleichung (2.22) ist genau das Linsengesetz der geometrischen Optik, das die Abbildung durch Linsen beschreibt.
KAPITEL 2. WELLENOPTIK
18
P1
P2
f
z1
z2
Bild 2.9: Transformation von Wellenfronten durch Linsen
Kapitel 3
Paraxiale Wellen und Gaußstrahl
3.1 Paraxiale Helmholtzgleichung
Eine Welle wird paraxial genannt, wenn die Normalen zur Wellenfront paraxiale Strahlen bilden, d.h.
nahezu parallel verlaufen, wie in Bild 3.1 angedeutet.
Wave fronts
A
Paraxial
rays
x
z
z
l
Bild 3.1: Wellenfront und Wellenfrontnormalen einer paraxialen Welle mit langsam veränderlicher Amplitude
Um eine paraxiale Welle zu konstruieren, geht man aus von einer ebenen Welle A exp{−ikz} in
z-Richtung (gewissermaßen als Trägerwelle) und lässt die Amplitude langsam im Vergleich zur Wellenlänge variieren, also A = A(~r). Dabei gilt die Forderung
|∇A| ¿ |kA|
(allgemein), bzw.
¯
¯
¯ ∂A(~r) ¯
¯
¯
¯ ∂z ¯ ¿ |kA(~r)|
(3.1)
für langsam veränderliche Amplitude, genauer
¯
¯
¯ 2
¯
¯ ∂A(~r) ¯
¯ ∂ A(~r) ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∂z 2 ¯ ¿ ¯k ∂z ¯
.
Damit die Welle
E(~r) = A(~r) exp {−ikz}
19
(3.2)
KAPITEL 3. PARAXIALE WELLEN UND GAUSSSTRAHL
20
die Helmholtzgleichung (2.3) erfüllt, muss die langsam veränderliche Amplitude A(~r) die paraxiale
Helmholtz-Gleichung
∂ 2 A(~r) ∂ 2 A(~r)
∂A(~r)
+
−
i2k
=0
∂x2
∂y 2
∂z
(3.3)
erfüllen, wobei (3.1) berücksichtigt wurde1 .
Gleichung (3.3) ist eine Näherung der Helmholtzgleichung für Wellen mit langsam veränderlicher
Einhüllender. Man kann leicht nachrechnen, dass die paraboloide Welle mit Einhüllender
¾
½
A
x2 + y 2
A(~r) = exp −ik
z
2z
(3.4)
Lösung der paraxialen Helmholtzgleichung ist.
3.2
Gaußstrahl
Die paraboloide Welle (2.12) ist nur von begrenzter physikalischer Bedeutung, da ihre Amplitude in
der Ursprungsebene z = 0 divergiert. Ersetzt man in (3.4) die Variable z durch (z + iz0 ) mit einer
Konstanten z0 , so ist die Funktion
½
¾
A1
x2 + y 2
A(~r) =
exp −ik
q(z)
2q(z)
,
q(z) = z + iz0
(3.5)
wiederum eine Lösung der paraxialen Helmholtzgleichung (3.3). A1 ist eine Konstante, und der Parameter z0 heißt Rayleigh-Länge.
Drückt man die komplexe Größe 1/q(z) gemäß
1
1
λ
=
−i 2
q(z)
R(z)
πw (z)
(3.6)
durch den reellen Strahlradius w(z) und den reellen Wellenfront-Krümmungsradius R(z) aus, erhält
man mit (3.5) und (3.2) den Gauß-Strahl (A0 = A1 /(iz0 ))
1
Einsetzen von (3.2) in Helmholtzgleichung:
¶
µ
∂ ∂A(~r) −ikz
∂ 2 A(~r) −ikz ∂ 2 A(~r) −ikz
−ikz
+ k 2 A(~r) e−ikz = 0
e
+
e
+
e
+ A(~r)(−ik)e
∂x2
∂y 2
∂z
∂z
· 2
¸
∂ A(~r) ∂ 2 A(~r) −ikz ∂ 2 A(~r) −ikz ∂A(~r)
∂A(~r) −ikz
=
+
e
+
e
+
(−ik) e−ikz + (−ik)
e
+
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂z
| ∂z {z
}
vernachlässigt
2
+ (−ik) A(~r) e
−ikz
2
+ k A(~r) e
−ikz
= Gleichung (3.3)
3.2. GAUSSSTRAHL
21
½ 2
¾
½
¾
w0
x + y2
x2 + y 2
z
E(~r) = A0
exp − 2
exp −ikz − ik
+ i arctan
w(z)
w (z)
2R(z)
z0
(3.7)
mit dem Strahlradius
s
w(z) = w0
µ
1+
z
z0
¶2
,
(3.8)
dem Wellenfront-Krümmungsradius
³ z ´2 ¶
µ
0
R(z) = z 1 +
(3.9)
z
und dem Strahlradius in der Strahltaille bei z = 0
µ
w0 =
λz0
π
¶1/2
(3.10)
bzw.
λz0 = πw02 .
(3.11)
Bild 3.2 illustriert die charakteristischen Größen des Gauß-Strahls.
r
E
Ö2w0
q
2w0
1
e
1
R(z)
z
z0
Bild 3.2: Der Gauß-Strahl
Aus (3.8) bis (3.11) folgt
z
πw2 (z)
=
z0
λR(z)
.
(3.12)
Damit lassen sich bei bekanntem Strahlradius w(z)und Krümmungsradius R(z) die Strahltaille
w(z)
´2
³
λR(z)
1 + πw2 (z)
w0 = r
(3.13)
KAPITEL 3. PARAXIALE WELLEN UND GAUSSSTRAHL
22
und der Abstand zur Strahltaille
z=
1+
R(z)
³ 2 ´2
(3.14)
πw (z)
λR(z)
berechnen.
3.3
Eigenschaften des Gauß-Strahls: Intensität
und Leistung
Der Gauß-Strahl tritt bei vielen Wellenausbreitungsphänomenen, z.B. der Freifeldausbreitung oder
bei Laser-Resonatormoden auf. Deshalb wollen wir die Eigenschaften p
genauer studieren. Die Intensität ist eine Funktion der axialen und radialen Koordinaten z und ρ = x2 + y 2 . Es gilt
c
c
I(x, y, z) = I(ρ, z) = εε0 |E|2 = εε0 |A0 |2
n̄
n̄
µ
w0
w(z)
¶2
½
¾
2ρ2
exp − 2
w (z)
(3.15)
Die Intensität ist für jeden Wert von z maximal auf der z-Achse für ρ = 0 und fällt radial gaußförmig
ab. Mit I0 = cn̄ε0 |A0 |2 ist die Intensität auf der z-Achse durch
µ
I(ρ = 0, z) =
w0
w(z)
¶2
I0 =
I0
1 + (z/z0 )2
(3.16)
gegeben. Wie in Bild 3.3 illustriert, ist die Intensität maximal bei z = 0, sie fällt für große Werte |z|
quadratisch mit 1/z 2 ab.
I /I 0
1
0.5
-z0
0
z0
Bild 3.3: Intensität des Gauß-Strahls
z
3.4. EIGENSCHAFTEN DES GAUSS-STRAHLS: DIVERGENZ UND PHASENFRONTEN
23
Die optische Gesamtleistung P des Strahls erhält man durch Integration der Intensität über eine Querschnittsfläche
½
¾
Z ∞ Z 2π
Z ∞
ρ
2ρ2
2
P =
I(ρ, z)ρ dρ dφ = 2πI0 w0
exp − 2
dρ
w2 (z)
w (z)
0
0
0
·
½
¾¸∞
2ρ2
1
1
2
= 2πI0 w0 − exp − 2
= πI0 w02 .
(3.17)
4
w (z) 0
2
Die Leistung ist unabhängig von der z-Koordinate, wie man aus physikalischen Gründen erwarten
muss, denn bei der Ausbreitung in einem verlustfreien Medium geht keine Energie verloren. Das
Verhältnis der Strahlleistung in einer Kreisscheibe mit Radius ρ0 in der transversalen Ebene zur Gesamtleistung ist
1
P
Zρ0
½
2ρ20
I(ρ, z)2πρdρ = 1 − exp − 2
w (z)
¾
.
(3.18)
0
Die in einem Kreis mit Radius ρ0 = w(z) enthaltene Leistung ist 86 %, in einem Kreis mit ρ0 =
1.5 · w(z) sind 99 % der Gesamtleistung enthalten.
3.4 Eigenschaften des Gauß-Strahls: Divergenz
und Phasenfronten
In jeder transversalen Ebene z = const fällt die Intensität in radialer Richtung gaußförmig ab und ist
bei ρ = w(z) auf 1/e2 = 0.135 gesunken. Da 86 % der Leistung in einem Kreis mit Radius w(z)
fallen, kann man w(z) getrost als Strahlradius bezeichnen. Der Strahlradius ist nach (3.8) durch
s
w(z) = w0
1+
µ
z
z0
¶2
(3.19)
gegeben. Der minimale Wert w0 wird in der Strahltaille bei z = 0 angenommen. Man bezeichnet den
Wert 2w√
0 als Fleckgröße. Zwischen z = 0 und z = z0 nimmt der Strahlradius nur allmählich zu und
erreicht 2 w0 bei z = z0 . Für z À z0 erfolgt eine nahezu lineare Zunahme des Strahlradius mit
w(z) ≈
w0
z = tan{θ0 }z ,
z0
(3.20)
die den Strahldivergenzwinkel θ0 mit
tan{θ0 } =
w0
λ
=
z0
πw0
definiert, wobei (3.11) berücksichtigt wurde. Nach umstellen von 3.21 resultiert
(3.21)
KAPITEL 3. PARAXIALE WELLEN UND GAUSSSTRAHL
24
w0 tan{θ0 } =
λ
π
.
(3.22)
Bei konstanter Wellenlänge bedeutet dies, dass eine Verkleinerung des Fleckradius mit einer gleichzeitigen Vergrößerung des Divergenzwinkels verbunden ist. Diese Tatsache hat schon Ernst Abbe
in strahlenoptischen Experimenten festgestellt: Die Abbe’sche Sinusbedingung NAD = const resultiert als Sonderfall für kleine Divergenzwinkel direkt aus (3.22), wobei Abbe das Produkt aus
numerischer Apertur und Strahldurchmesser betrachtet hat.
Die nur unwesentliche Änderung der Strahlweite mit z in der Nähe der Strahltaille definiert nach Bild
3.4 die Fokustiefe
Ö2w0
w0
0
z
2z0
Bild 3.4: Fokustiefe des Gauß-Strahls
2 · z0 =
2πw02
,
λ
(3.23)
die der zweifachen Rayleigh-Länge z0 entspricht und quadratisch vom Fleckradius w0 abhängt. 2w0
und 2z0 bestimmen damit wesentlich die laterale Auflösung und die Tiefenschärfe bei optischen Abbildungen.
Die Phase des Gauß-Strahls ist nach (3.7)
ϕ(ρ, z) = kz +
kρ2
z
− arctan .
2R(z)
z0
(3.24)
Auf der Strahlachse ρ = 0 setzt sich die Phase
ϕ(0, z) = kz − arctan
z
z0
(3.25)
aus der Phase der ebenen Welle kz und einer Phasenverzögerung arctan z/z0 zusammen, die nach
Bild 3.5 zwischen π/2 für z → ∞ und −π/2 für z → −∞ liegt.
Im Vergleich zu einer ebenen Welle erfährt der Gauß-Strahl auf dem Gesamtweg von −∞ bis +∞
somit eine Phasenverzögerung von π. Die Phasenfronten, gegeben durch ϕ(ρ, z) = 0 sind in Bild
3.6 vergleichend für ebene Welle, Kugelwelle und Gaußstrahl dargestellt. Deutlich ist die Zusatzphasenverschiebung der Gaußschen Welle zu erkennen. Diese Besonderheit ist auch nach Louis Georges
Gouy als Gouy-Effekt (häufig falsch geschrieben: Guoy-Effekt) bekannt.
3.4. EIGENSCHAFTEN DES GAUSS-STRAHLS: DIVERGENZ UND PHASENFRONTEN
25
j(z)
p
2
p
4
0
0
-z0
z
z0
p
4
p
j(z) = arctan zz
0
2
Bild 3.5: Phase des Gauß-Strahls
Die Krümmung der Phasenfronten in der ρz-Ebene ist durch den zweiten Term auf der rechten Seite
der Gleichung (3.24) bestimmt. Der Krümmungsradius R(z) der Phasenfront ist unendlich für z = 0
und z = ±∞, wie aus (3.9) zu entnehmen ist. Minimalen Krümmungsradius R(z) = 2z0 findet man
für z = ±z0 . Für divergente Welle z > 0 zählt man den Krümmungsradius positiv, für konvergente
Welle z < 0 dagegen negativ. Bild 3.7 zeigt den Verlauf von R(z).
(a)
z
(b)
z
(c)
z
Bild 3.6: Phasenfronten
Offenbar ist der Gaußstrahl nach (3.5) durch den komplexen Strahlparameter q(z) = z + iz0 vollständig bestimmt. Mit (3.6) lässt sich der Strahlparameter aus Krümmungsradius R(z) und Strahlradius
w(z) gewinnen, deren Zusammenhänge wiederum aus (3.8),(3.9) und (3.11) folgen.
KAPITEL 3. PARAXIALE WELLEN UND GAUSSSTRAHL
26
R(z)
2z0
-z0
z
z0
-2z0
Bild 3.7: Verlauf von R(z)
3.5
Transmission durch eine dünne Linse
z1
θ0
w0
z2
w
R
θ0
w´0
w´
R´
z0
θ´0
z´0
z
z´
Bild 3.8: Gauß-Strahl durch Linse
Die komplexe Amplitudentransmission einer dünnen Linse mit Brennweite f ist bis auf einen konstanten Phasenfaktor
½
¾
ρ2
t(x, y) = exp +ik
2f
(3.26)
Wenn ein Gaußscher Strahl gemäß Bild 3.8 die bei z = z1 befindliche Linse passiert, wird die Phase
ϕ(z) der Welle geändert und sie ist unmittelbar hinter der Linse durch
ρ2
z1
ρ2
− arctan − k
2R(z1 )
z0
2f
2
ρ
−z2
0
= −kz2 + k 0
− arctan
= ϕ(z = −z2 )
2R (−z2 )
z0
ϕ(z = z1 ) = kz1 + k
(3.27)
(3.28)
gegeben, wobei die Phase in 3.28 bezüglich der neuen Achse z 0 = z −z1 −z2 angegeben wurde, deren
Ursprung in der Strahltaille nach der Linse liegt. Der Krümmungsradius der Wellenfront hat sich zu
3.5. TRANSMISSION DURCH EINE DÜNNE LINSE
1
R0 (−z
=
2)
27
1
1
− .
R(z1 ) f
(3.29)
geändert. Der Strahlradius bleibt beim Durchgang durch die dünne Linse unverändert:
w0 (−z2 ) = w(z1 ) .
(3.30)
Die gestrichenen Größen R0 und w0 bestimmen vollkommen die Eigenschaften des Gaußstrahls nach
dem Durchgang durch die Linse. Wie üblich bezeichnen positive Wellenfronten divergierende und
negative konvergierende Wellen. Der Taillenradius des transmittierten Gaußstrahls ist nach (3.13)
w0
³
w00 = r
1+
w
¡ πw2 ¢2 ,
1 + λR0
´ =q
2 2
πw0
λR0
(3.31)
und die neue Taille befindet sich gemäß (3.14) im Abstand
− z2 =
1+
R0
¡ λR0 ¢2 =
πw0 2
1+
R0
¡ λR0 ¢2
(3.32)
πw2
von der Linse. Das Minuszeichen vor z2 weist darauf hin, dass die Strahltaille rechts von der Linse
liegt. Einsetzen von R = z(1 + (z0 /z)2 ) und w = w0 [1 + (z/z0 )2 ]1/2 liefert mit (3.29) und (3.30) die
folgenden Beziehungen für die Strahlparameter (siehe auch Herleitung im Anhang B):
Taillenradius
Taillenort
Fokustiefe
Divergenz
Vergrößerung
w00 = M w0 ,
(z2 − f ) = M 2 (z1 − f ) ,
2z00 = M 2 (2z0 ) ,
2θ
2θ00 =
,
M
Mr
M=
(1 + r̄2 )1/2
(3.33)
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
mit
z0
r̄ =
,
z1 − f
¯
¯
¯ f ¯
¯ .
Mr = ¯¯
z1 − f ¯
(3.38)
Offenbar spielt der Vergrößerungsfaktor M eine dominierende Rolle.
Im Grenzfall (z1 − f ) À z0 , wenn sich die Linse weit außerhalb der Fokustiefe des einfallenden
Strahls befindet, gilt r̄ ¿ 1, so dass M = Mr und der Gaußstrahl gut durch eine paraboloide Welle
zu approximieren ist. In diesem Fall gelten die aus der geometrischen Optik bekannten Beziehungen
KAPITEL 3. PARAXIALE WELLEN UND GAUSSSTRAHL
28
w00 = M w0 ,
1
1
1
+
= ,
z2 z1
f
¯
¯
¯ f ¯
¯ ,
M = ¯¯
z1 − f ¯
3.6
(3.39)
(3.40)
(3.41)
Strahlfokussierung
Ein Sonderfall der Strahltransformation durch eine Linse ist in Bild 3.9 dargestellt, wo sich die Linse
in der Strahltaille des einfallenden Gaußstrahls z1 = 0 befindet.
z0
z2
2w0´
f
2w0
Bild 3.9: Fokussierung eines Strahls durch eine in der Strahltaille des einfallenden Strahls befindliche dünne
Linse
Zur Auswertung hat man einfach z1 = 0 in den Beziehungen (3.33) bis (3.37) einzusetzen. Der
transmittierte Strahl hat seine Taille bei
z2 =
f
,
1 + (f /z0 )2
(3.42)
und der Taillenradius ist
w00 =
w0
[1 + (z0 /f )2 ]1/2
.
(3.43)
Wenn die Fokustiefe des einfallenden Strahls 2 z0 sehr viel größer als die Linsenbrennweite ist (2 z0 À
f ), folgt sofort
f · w0
λ·f
=
,
z0
πw0
≈f,
w00 ≈
(3.44)
z2
(3.45)
wie man es für einen parallelen einfallenden Strahl erwartet. 2 w0 muss kleiner oder gleich dem Linsendurchmesser D sein, so dass der kleinste zu erzielende Taillendurchmesser im Fokus bei D = 2 w0
durch
3.6. STRAHLFOKUSSIERUNG
29
2 w00 =
4λf
4λ
=
F
πD
π
(3.46)
gegeben ist. Mit der Blendenzahl F = f /D einer Linse ist damit die kleinste zu erreichende Taillenweite bei vorgegebener Wellenlänge λ bestimmt. Dies gilt in guter Näherung nur, wenn 2z0 À f
erfüllt ist, also πD2 À 8λf bzw. πD À 8λF . Mit (3.11) ist damit auch die Fokustiefe
z00
π 2 2λ
= w00 =
λ
π
µ
f
D
¶2
(3.47)
bestimmt. Eine typische Anwendung findet man z.B. bei der Berechnung der Schärfentiefe in der
Fotographie. Die Abbildungsverhältnisse sind hier so, dass z2 immer sehr klein gegen z1 ist und somit
in etwa von einer Strahlfokussierung ausgegangen werden kann. Die scharfe Abbildung von Objekten
im Bereich ∆z um z1 korrespondiert zu dem Bereich z00 um z2 gemäß M 2 (z1 ±∆z −f ) = z2 ±z 0 0 −f .
Mit (3.34) resultiert sofort
2
M ∆z =
±z00
2λ
=
π
µ
f
D
¶2
=
2λ 2
F
π
(3.48)
Wenn also wie üblich angenommen werden darf, dass alle Objekte im Bereich ∆z um z1 die gleiche
Vergrößerung erfahren, ergibt sich der Bereich der Schärfentiefe zu
4λ
2∆z =
π
µ
F
M
¶2
.
(3.49)
Eine große Blendenzahl bzw eine kleine Vergrößerung (Objektiv mit großer Brennweite) sorgen also
für eine große Schärfentiefe.
30
KAPITEL 3. PARAXIALE WELLEN UND GAUSSSTRAHL
Kapitel 4
Einfache optische Wellenleiter
Optische Wellenleiter haben eine überragende Bedeutung in der hochbitratigen Informationsübertragung. Einfache Beispiel sind die in Bild 4.1 dargestellten Filmwellenleiter, Streifenwellenleiter oder
Fasern. Integriert-optische Wellenleiter sind wesentliche Elemente in Laserdioden und optischen Modulatoren. Ohne Glasfasern wäre die enorme Datenübertragung im Internet überhaupt nicht denkbar.
In diesem Kapitel geht es um das grundlegende Verständnis der Lichtausbreitung in optischen Wellenleitern, insbesondere die Ausbildung und Überlagerung der sich entwickelnden Feldverteilungen,
die als Moden bezeichnet werden.
a)
c)
b)
Bild 4.1: Beispiele optischer Wellenleiter: Filmwellenleiter (a), Streifenwellenleiter (b), optische Glasfaser (c)
In optischen Wellenleitern erfolgt die Ausbreitung der Wellen nur in einer Richtung, die als z-Achse
gewählt wird. Bei verlustlosen Wellenleitern kann man deshalb für die Feldverteilung den Ansatz
E(x, y, z) = A(x, y) exp {−iβz}
(4.1)
machen. Hierbei ist β die Ausbreitungskonstante in z-Richtung und A(x, y) die transversale Feldverteilung. Oft kann die transversale Feldverteilung separiert werden, also
A(x, y) = Ax (x)Ay (y)
wobei die Faktoren Ax und Ay nur von x bzw. y abhängen.
31
(4.2)
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
32
4.1
Planare Spiegelwellenleiter
Bei den planaren Spiegelwellenleitern nach Bild 4.2 nehmen wir an, daß die Grenzflächen ideal reflektieren. Die Strahlen der Wellen breiten sich zickzackförmig aus. Bei der Überlagerung kommt
es zur Interferenz und damit zur Ausbildung von Wellenbäuchen und Wellenknoten in transversaler
Richtung. Wir wählen die x-Achse so, dass sich die Zickzackwege der Strahlen nur in der xz-Ebene
ausbilden. Bei ideal reflektierenden Metallspiegeln muß zudem die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes an den Grenzflächen verschwinden.
y
Mirror
x
d
a) 0
q
z
l
B
x
A
q
Original
wave
z
Twice-reflected
wave
d
C
b)
l
d
c)
Bild 4.2: Planarer Spiegelwellenleiter (a), zickzackförmige Wellenausbreitung (b) und Überlagerung der Wellen (c)
Die Zickzackwellen sind als Überlagerung zweier ebener Wellen mit den Ausbreitungskonstanten
k~1 = (kx , 0, kz ) = (k sin θ, 0, k cos θ) = (k sin θ, 0, β) ,
k~2 = (−kx , 0, kz ) = (−k sin θ, 0, k cos θ) = (−k sin θ, 0, β)
(4.3)
aufzufassen. Wir berücksichtigen, daß das Feld (bei TE-Wellen) in der Ebene x = 0 verschwindet
und schreiben
4.1. PLANARE SPIEGELWELLENLEITER
33
E(x, y, z) = A(x, y) exp {−iβz}
¢
1 ¡ ikx x
= A
e
− e−ikx x exp {−iβz}
2i
= A sin (kx x) exp {−iβz} = A sin (k sin θ x) exp {−iβz}
(4.4)
Dies ist nichts anderes als eine Stehwelle in x-Richtung, die sich in z-Richtung mit der Ausbreitungskonstante β und damit der Phasengeschwindigkeit
vph =
ω
β
(4.5)
ausbreitet. Es ist zu fordern, daß das Feld auch an der oberen Grenzfläche bei x = d verschwindet.
Diese Bedingung führt auf die charakteristische Gleichung
kx d = k · sin θ · d = m · π
,
m = 1, 2, . . .
(4.6)
mit ganzzahligem Parameter m. Für die erlaubten Strahlwinkel θm bzw. transversalen Wellenvektorkomponenten kxm folgen die Bedingungen
d · sin θm =
mλ0
2
(4.7)
und
kxm =
mπ
.
d
(4.8)
Die Wellen haben gemäß der Helmholtz-Gleichung die Relation kx2 + ky2 + kz2 = ω 2 /c2 zu erfüllen, so
dass nicht nur die transversalen Komponenten quantisiert sind, sondern auch die longitudinalen. Es
gilt
2
βm
m2 π 2
ω 2 m2 π 2
=k − 2 = 2 − 2 .
d
c
d
2
(4.9)
Damit sind die Phasenausbreitungsgeschwindigkeiten für die erlaubten Wellen bzw. Moden m durch
vph,m
µ
¶−1/2
m2 π 2
ω
2
=ω k − 2
=
βm
d
(4.10)
gegeben und damit größer als die Phasengeschwindigkeit im freien Raum und zunehmend mit wachsender Modenordnung. Für die Gruppengeschwindigkeit gilt dagegen
vgr,m =
∂ω
c2 βm
c2
βm
=
=
=c
= c · cos θm .
∂βm
ω
vph,m
k
(4.11)
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
34
Bild 4.3: Erlaubte Winkel und Wellenvektorkomponenten der Moden im Filmwellenleiter mit Spiegelberandungen
Die Moden haben also unterschiedliche Gruppen- und Phasengeschwindigkeiten. Schräger laufende
Wellen haben eine geringere Gruppen- aber höhere Phasengeschwindigkeit.
Aus Bild 4.3 erkennt man sofort, dass die Resonanzbedingung für Moden (Gln. (4.7), (4.8)) nur für
eine endliche Zahl von Eigenschwingungen zu erfüllen ist, denn man muss fordern, dass kxm ≤ ω/c
oder sin θm ≤ 1 ist. Damit ist die größte Modenzahl durch
kxm ≤ ω/c
und
kx(m+1) > ω/c
(4.12)
bestimmt. Für m À 1 ist damit die maximale Modenzahl durch
M=
k·d
ω·d
d
2d
=
=
=
λ
π
π·c
λ/2
gegeben. Einmodig bleibt der Wellenleiter, solange
(4.13)
4.2. MODENLEISTUNGEN UND MODENÜBERLAGERUNGEN IM SPIEGELWELLENLEITER35
ω
2π
=k<
c
d
bzw.
d<λ
(4.14)
bleibt. Wenn dagegen die Cutoff-Bedingung (Abschneide-Bedingung)
d<
λ
2
bzw.
k<
π
d
(4.15)
gilt, kann sich überhaupt keine Mode ausbreiten. Dies ist für zu kleine Frequenzen bzw. zu große
Wellenlängen der Fall.
4.2 Modenleistungen und Modenüberlagerungen
im Spiegelwellenleiter
Bild 4.4 zeigt schematisch die transversalen Feldverteilungen der Moden.
y
x
Mirror
d
Mirror
m=1
2
3
6
0
z
Bild 4.4: Transversale Feldverteilung der Moden
Jede Mode breitet sich formstabil aus, d.h. sie ändert ihre Intensitätsverteilung entlang der z-Achse
nicht. Die Intensität einer Mode m ist bis auf einen konstanten Faktor durch
¯
¯2
³ mπ ´
¯
¯
Im (x) = |Em (x, z)|2 = ¯Am sin
x exp {−iβm z}¯
d
³
´
2
2 mπ
x
= |Am | sin
d
(4.16)
gegeben, wobei (4.4) und (4.8) benutzt wurden. Die transportierte Leistung in einer Mode ist entsprechend
Zd
Pm =
Im (x) dx =
d
|Am |2 .
2
0
Zur Beschreibung der Moden führt man zweckmäßigerweise normierte transversale
Feldverteilungen
(4.17)
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
36
r
um (x) =
³ mπ ´
2
sin
x
d
d
(4.18)
ein. Diese sind im Intervall (0, d) orthonormal, d.h. es gilt
(
Zd
um (x)u∗l (x) dx =
0
1
0
für l = m ,
sonst .
(4.19)
Der Stern in u∗l (x) bedeutet konjugiert komplex. Damit schreibt sich ein Modenfeld als
Em (x, z) = am um (x) exp {−iβm z} ,
(4.20)
wobei am nun als konstante komplexe Amplitude aufzufassen ist, und als Betragsquadrat |am |2 die
Leistung
Pm = |am |2
(4.21)
in der Mode m angibt. In einem Wellenleiter können prinzipiell alle ausbreitungsfähigen Moden
angeregt sein. Das Gesamtfeld erhält man durch Überlagerung der einzelnen Modenfelder gemäß
E(x, z) =
M
X
m=1
Em (x, z) =
M
X
am um (x) exp {−iβm z} .
(4.22)
m=1
Aufgrund der Orthonormalität der transversalen Modenverteilungen um (x) erhält man die Gesamtleistung im Wellenleiter als Summe der Leistungen |a2m | der einzelnen Moden als
Zd
|E(x, z)|2 dx =
P =
0
M
X
m=1
|am |2 =
M
X
m=1
Pm .
(4.23)
4.2. MODENLEISTUNGEN UND MODENÜBERLAGERUNGEN IM SPIEGELWELLENLEITER37
Zur Nebenrechnung sei auf [2] verwiesen 1 .
Die Moden haben also keine Wechselwirkung untereinander, die Leistungen addieren sich. Da sich
jedoch die Moden mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten ausbreiten, ist aufgrund von Interferenzeffekten die Gesamtintensität I(x, z) = |E(x, z)|2 von beiden Koordinaten x und z abhängig.
Ein Beispiel der Überlagerung der beiden Moden m = 1 und m = 2 möge die Situation veranschaulichen, wobei wie in Bild 4.5 angenommen werden soll, dass beide Moden dieselbe Leistung
|a1 |2 = |a2 |2 = d/2 besitzen.
x
a)
z
x
b)
z
x
c)
z
Bild 4.5: Überlagerung zweier Moden. (a) z-unabhängige Intensität in der Grundmode m = 1, (b) zunabhängige Intensität in der Mode m = 2, (c) Intensität der überlagerten Moden.
1
Zd
P
|E(x, z)|2 dx
| {z }
=
0
=
E·E ∗
Zd X
M
am um (x) exp {−iβm z}
0 m=1
M
X
a∗l u∗l (x) exp {iβl z} dx
l=1
M X
M Z
X
d
=
am a∗l um (x)u∗l (x) exp {−j(βm − βl )z} dx
m=1 l=1 0
=
M X
M
X
Zd
am a∗l
um (x)u∗l (x) dx
exp {−j(βm − βl )z}
m=1 l=1
0
|
{z
}
=1 für l=m , sonst 0
=
M
X
m=1
|am |2 =
M
X
m=1
Pm
(4.24)
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
38
Wir haben
πx
exp {−iβ1 z} ,
d
2πx
E2 (x, z) = sin
exp {−iβ2 z} .
d
E1 (x, z) = sin
(4.25)
Die Überlagerung der beiden Felder ergibt
E(x, z) = E1 (x, z) + E2 (x, z) = sin
πx
2πx
exp {−iβ1 z} + sin
exp {−iβ2 z} .
d
d
(4.26)
Die Gesamtintensität setzt sich aus den Einzelintensitäten der Moden und dem Interferenzterm zusammen als
I(x, z) = |E(x, z)|2 = E(x, z) · E ∗ (x, z)
πx
2πx
πx
2πx
= sin2
+ sin2
+ 2 sin
sin
cos(β1 − β2 )z
d
dp
d
d
= I1 (x) + I2 (x) + 2 I1 (x)I2 (x) cos (β1 − β2 )z .
{z
} |
|
{z
}
Einzelintensitäten
(4.27)
Interferenzterm
Entlang der z-Achse ändert sich das Intensitätsmuster (Speckle-Muster) periodisch mit der Differenz
der Ausbreitungskonstanten (Schwebungswellenzahl = β2 − β1 ), ist aber ansonsten zeitlich konstant.
4.3
Planare dielektrische Wellenleiter
y
x
n2
B
A
d
0
n1
q
n2 Unguided ray
q
q
Guided ray
C
z
Bild 4.6: Planarer symmetrischer dielektrischer Wellenleiter mit n̄1 > n̄2 . Wellenführung erfolgt durch Totalreflexion für Winkel θ < θc = arccos n̄2 /n̄1
Wir betrachten hier planare dielektrische Wellenleiter nach Bild 4.6, um die Ähnlichkeiten mit planaren Spiegelwellenleitern aufzuzeigen. Wir beschränken unsere Betrachtungen auf symmetrische Wellenleiter, bei denen die wellenleitende Schicht mit Brechzahl n̄1 von Material mit kleinerer Brechzahl
4.3. PLANARE DIELEKTRISCHE WELLENLEITER
39
n̄2 umgeben ist. Wegen n̄1 > n̄2 können Wellen in der zentralen Schicht durch Totalreflexion geführt werden. In solchen Moden laufen Strahlen auf Zickzackwegen in der wellenleitenden Schicht.
Daneben gibt es noch Wellenformen, die nur teilweise an den Grenzflächen reflektiert werden. Diese
werden als Strahlungsmoden bezeichnet.
Wie in Spiegelwellenleitern müssen die Transversalkomponenten geführter Wellen eine Selbstkonsistenzoder Resonanzbedingung erfüllen. Hierbei ist noch der Phasensprung bei der Totalreflexion an der
oberen und unteren Grenzfläche des Wellenleiters zu berücksichtigen. In Analogie zu (4.7) bzw. (4.8)
lautet die Bedingung für einen selbstkonsistenten Umlauf in x-Richtung
2πn̄1
2d · sin θm − 2ϕrm = 2πm ,
λ0
m = 0, 1, 2, . . .
(4.28)
oder
2kxm n̄1 d − 2ϕrm = 2πm ,
m = 0, 1, 2, . . . .
(4.29)
Hierbei bezeichnet ϕrm (θm ) den von θm abhängigen Phasensprung bei der Totalreflexion. Generell
hängt der Phasensprung von der Polarisationsrichtung ab. Für transversal elektrische (TE) Wellen gilt
(θc = π/2 − θ̄c )
ϕrm
tan
=
2
µ
¶1/2
sin2 θ̄c
−1
,
sin2 θm
(4.30)
so dass ϕr = π für θ = 0 und ϕr = 0 für θ = θc , wobei θc der kritische Winkel der Totalreflexion ist.
Man kann (4.28) und (4.30) umschreiben in
µ
tan
dπn̄1
mπ
· sin θm −
λ0
2
¶
µ
=
¶1/2
sin2 θ̄c
−1
.
sin2 θm
(4.31)
Lösungen für θ erfordern sin θm < sin θ̄c oder
2πn̄2
2πn̄1
<
· cos θm ,
λ0
λ0
(4.32)
damit eine Wellenführung durch Totalreflexion möglich ist. Die erlaubten Werte der Ausbreitungskonstanten in z-Richtung
βm = n̄1 · k0 · cos θm
(4.33)
erfüllen damit die Bedingung
n̄2 · k0 < βm < n̄1 · k0
wie auch aus Bild 4.7 hervorgeht.
,
(4.34)
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
40
kx
n1k0
n2k0
M
n1k0sin θc
m
1
θc
0
θm
0
n1k0 kz = β
n2k0
0
Bild 4.7: Komponenten des Ausbreitungsvektors in planaren symmetrischen Filmwellenleitern
10
LHS
RHS
1
2
3
4
5
7
6
8
m=0
0
0
λ
sin {θ3}
2dn-1
−
sin θ c
sin θ
Bild 4.8: Auftragung von Gleichung (4.31) als Funktion von sin θ. Schnittpunkte θ = θm sind Lösungen der
Gleichung
Das Auftragen der linken und rechten Seite der Gleichung (4.31) ergibt Bild 4.8
Offenbar gibt es nur eine endliche Zahl von Moden (geführten Wellen), ähnlich wie beim Spiegelwellenleiter. Allerdings existiert beim symmetrischen Wellenleiter keine untere Grenzfrequenz, da
Gleichung (4.31) für m = 0 immer eine Lösung besitzt. Aus Bild 4.8 geht auch hervor, dass nur eine
Lösung existiert für
p
λ0
> sin θ̄c = cos θc = 1 − sin2 θc =
2dn̄1
also
s
µ
1−
n̄2
n̄1
µ
¶2
=
n̄21 − n̄22
n̄21
¶1/2
,
(4.35)
4.3. PLANARE DIELEKTRISCHE WELLENLEITER
41
q
λ0
d n̄21 − n̄22 <
2
(4.36)
ergibtpeinmodige dielektrische Wellenleiter. In mehrmodigen Wellenleitern mit einer Dicke d À
λ0 /2 n̄21 − n̄22 ist die Zahl der geführten Moden durch
p
2d n̄21 − n̄22
M=
λ0
(4.37)
gegeben.
Bei der Führung durch Totalreflexion hat man im Innenbereich des Wellenleiters in Transversalrichtung gegenläufige ebene Wellen, im Außenbereich dagegen transversal nach außen abklingende Wellen. Gemäß der Helmholtz-Gleichung ist im Innenbereich die charakteristische Gleichung
µ
kx2
+
kz2
=
2πn̄1 sin θm
λ0
¶2
2
+ βm
= n̄21 k02 =
n̄21 ω 2
c2
(4.38)
und im Außenbereich die Gleichung
2
2
kx2 + kz2 = kxm
+ βm
= n̄22 k02
(4.39)
2
2
kxm
= (iκm )2 = n̄22 k02 − βm
(4.40)
zu erfüllen. Da βm > n̄2 k0 gilt, ist
negativ, was auf exponentiell in x- bzw. −x-Richtung abfallende Wellen im Außenbereich führt. Die
Modenfelder sind demnach

Ẽsm exp{−κm x} exp{−iβm z}



Ẽfm cos(2πn̄1 x sin θm /λ0 ) exp{−iβm z}
Em (x, z) =

Ẽ sin(2πn̄1 x sin θm /λ0 ) exp{−iβm z}

 fm
Ẽsm exp{κm x} exp{−iβm z}
für
für
für
für
x > d/2 ,
|x| < d/2, m = 0, 2, 4, . . . ,
|x| < d/2, m = 1, 3, 5, . . . ,
x < −d/2
(4.41)
mit komplexen Amplituden Ẽfm , Ẽsm .
Hierbei wird
µ
κm = n̄2 k0
cos2 θm
cos2 θc
¶1/2
(4.42)
als Extinktionskoeffizient bezeichnet. Wie in Bild 4.9 dargestellt ist, kann man Moden gerader und
ungerader Symmetrie unterscheiden.
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
42
x
m=0
2
1
3
8
d/2
0
z
-d/2
Bild 4.9: Transversale Modenfeldverteilungen der Moden m im symmetrischen planaren dielektrischen Wellenleiter
Die Ähnlichkeit der Moden mit denen des Spiegelwellenleiters sind offensichtlich, allerdings gibt es
einen exponentiellen Abfall der Felder in den Außenbereich. Wie beim Spiegelwellenleiter lässt sich
das gesamte Feld der geführten Wellen als Überlagerung
E(x, z) =
∞
X
am um (x) exp {−iβm z}
(4.43)
m=0
darstellen, wobei um (x) orthonormale transversale Feldverteilungen sind, und |am |2 die Leistung der
einzelnen Moden angibt. Für die Ausbreitungskonstanten gilt: βm 6= βl für l 6= m. Es sei noch darauf
hingewiesen, dass man streng genommen zwischen TE - (transversal elektrische) und TM- (transversal magnetische) Wellen zu unterscheiden hat, bei denen nach Bild 4.10 die elektrischen bzw. magnetischen Feldstärkevektoren stets senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen, die Feldverteilungen
sind jeweils durch (4.41) gegeben.
a)
b)
x
x
E
z
H
z
~ bzw. H
~ für TE- (a) und TM-Wellen (b) im planaren dielektrischen Wellenleiter
Bild 4.10: Feldstärkevektoren E
Desweiteren kann die allgemeine Feldverteilung (4.41) in der Form

für x > d/2 ,
 Esm exp{−κm x} exp{−iβm z}
Efm sin(2πn̄1 x sin θm /λ0 − (m + 1)π/2) exp{−iβm z} für |x| < d/2 ,
Em (x, z) =

Esm exp{κm x} exp{−iβm z}
für x < −d/2
(4.44)
geschrieben werden (m = 0, 1, 2, . . .), wobei Esm und Efm komplexe Amplituden sind, die so zu wählen sind, dass E(x, z) und ∂E(x, z)/∂x bei x = ±d/2 stetig sind. Die Form (4.44) zeigt unmittelbar
die Ähnlichkeit mit den Modenverteilungen des Spiegelwellenleiters in Gleichung (4.4) auf.
4.4. QUADRATISCHE SPIEGELWELLENLEITER
43
4.4 Quadratische Spiegelwellenleiter
ky
Mirror
p
d
d
d
p
d
nk0
kx
Bild 4.11: Quadratischer Spiegelwellenleiter und erlaubte Werte der Wellenvektorkomponenten kx und ky
Ein quadratischer Spiegelwellenleiter und die erlaubten diskreten Ausbreitungskonstanten kx , ky sind
in Bild 4.11 dargestellt. Die Moden ergeben sich durch zickzackförmige Ausbreitung der Strahlen
in x- und y-Richtung. In beiden Richtungen bauen sich Stehwellenfelder auf. Wie beim planaren
Spiegelwellenleiter müssen die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes an den Berandungen
verschwinden. Wir fordern damit analog zu (4.8), jetzt aber sowohl für die x- als auch die y-Richtung
kx d = mx π
ky d = my π
mit mx = 1, 2, . . . ,
mit my = 1, 2, . . . .
(4.45)
Dementsprechend ist die Ausbreitungskonstante in z-Richtung
2
βm
= k02 −
x my
³ m π ´2 ³ m π ´2
x
y
−
d
d
(4.46)
jetzt von den beiden Modenordnungen mx und my abhängig. Die Modenfelder sind separierbar, d.h.
als Produkt von nur von x- bzw. y-abhängigen orthonormalen Modenfunktion umx (x) bzw. umy (y) zu
schreiben (0 ≤ x, y ≤ d)
Emx my (x, y, z) = amx umx (x)amy umy (y) exp {−iβmx my z} ,
(4.47)
wobei |amx my | die Leistung in der Mode (mx , my ) angibt.
Das Gesamtfeld erhält man durch Überlagerung
r
r
mx πx 2
my πy
2
E(x, y, z) =
amx my
sin
sin
exp {−iβmx my z} ,
mx =1 my =1
| d {z d } | d {z d }
My
Mx X
X
umx (x)
umy (y)
(4.48)
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
44
wobei Mx bzw. My wie in (4.21) der größte vorkommende Index ist. Wie in (4.13) gilt
Mx = My =
2d
kd
=
,
λ
π
(4.49)
so dass die Gesamtzahl der geführten Moden im quadratischen Wellenleiter mit Blick auf Bild 4.11
durch
π
π
M ≈ Mx My ≈
4
4
µ
2d
λ
¶2
(4.50)
gegeben ist.
ky
n1k0
n1k0sin qc
y
n2
d
n1
p
d
x
d
p
d
kx
Bild 4.12: Quadratischer dielektrischer Wellenleiter und erlaubte Werte der Transversalkomponenten des Wellenvektors
4.5
Quadratische dielektrische Wellenleiter
Ein quadratischer dielektrischer Wellenleiter ist schematisch mit den zugehörigen erlaubten Transversalkomponenten des Ausbreitungsvektors in Bild 4.12 dargestellt. Für die Moden sind in x- und
y-Richtung Selbstkonsistenzbedingungen der Form (4.28) zu fordern, die ähnlich ausfallen wie (4.45)
für den quadratischen Spiegelwellenleiter. Insofern liegen die erlaubten Transversalkomponenten des
Wellenvektors nahe bei denen des Spiegelwellenleiters, und die Gesamtzahl der geführten Moden ist
mit
π
M≈
4
anzugeben, wie aus Bild 4.12 hervorgeht.
µ
2d
λ
¶2
(n̄21 − n̄22 )
(4.51)
4.5. QUADRATISCHE DIELEKTRISCHE WELLENLEITER
45
Für die Feldverteilung der Moden ist näherungsweise ein Produktansatz mit Feldverteilungen (4.44)
des planaren symmetrischen dielektrischen Wellenleiters angezeigt. Im Inneren des dielektrischen
Wellenleiters ergeben sich sinusförmig schwankende Stehwellenfelder, während im Außenbereich
abklingende Felder vorkommen. Die Überlagerung der Wellenfelder gemäß dem Separationsansatz
Emx my (x, y, z) = Emx (x)Emy (y)Emx my (z)
(4.52)
ist in Bild 4.13 für eine Mode niedriger Ordnung schematisch dargestellt.
x
d/2
Ey(y),
y=0
d/2
y
-d/2
-d/2
Ey(x), y = 0
Bild 4.13: Transversale Feldverteilung in einem rechteckförmigen dielektrischen Wellenleiter (schematisch)
Setzt man für die Komponenten des Ausbreitungsvektors
sin θmx
,
λ0
sin θmy
= 2πn̄1
,
λ0
kx,mx = 2πn̄1
ky,my
(4.53)
womit die Ausbreitungskonstante in z-Richtung durch
2
2
2
− ky,m
= n̄21 k02 − kx,m
βm
y
x
x my
gegeben ist, so kann man schreiben
(4.54)
46
KAPITEL 4. EINFACHE OPTISCHE WELLENLEITER
Emx my (x, y, z) =

¡
¢

Efmx ,my sin (kx,mx x − (mx + 1)π/2) sin ky,my y − (my + 1)π/2 exp {−iβmx ,my z}





für |x| < d/2, |y| < d/2 (Bereich I) ,


¡
¢



E
exp
{−κ
x}
sin
k
y
−
(m
+
1)π/2
exp {−iβmx ,my z}
sm
,m
m
ym
y
x
y
x
y

für x > d/2, |y| < d/2 (Bereich II) ,



Esmx ,my exp {−κmx x} exp {−κmy y} exp {−iβmx ,my z}





für x > d/2, y > d/2 (Bereich III) ,



und entsprechend für die noch fehlenden anderen Bereiche.
(4.55)
II
III
I
Bild 4.14: Einteilung der Bereiche für die Angabe der Feldverteilungen m quadratischen Wellenleiter
Kapitel 5
Wellenleiterelemente
5.1 Reflexion und Brechung von Filmwellen
Wir betrachten einen in Bild 5.1 dargestellten Filmwellenleiter, dessen Dicke sich abrupt von df auf
dr ändert.
y
y
dr
Refracted
jt
br
y=0
z
bf
x
ji jr
df
Reflected
Incident
a)
b)
Bild 5.1: Reflexion und Brechung einer Filmwelle an einem Sprung in der Wellenleiterdicke
Die Ausbreitungskonstante β hängt nach (4.9) von der Filmdicke ab. Im Einklang mit (4.5) und (4.11)
definieren wir effektive Brechzahlen für die Filmwellen in den beiden Bereichen als
βf
c
= nf cos θf =
,
k0
vph,f
βr
c
=
= nr cos θr =
,
k0
vph,r
n̄eff,f =
(5.1)
n̄eff,r
(5.2)
wobei βf und βr Ausbreitungskonstanten, θf und θr die zugehörigen Zick-Zack-Winkel der Strahlen
und vph,f und vph,r die Phasengeschwindigkeiten in den beiden Bereichen sind. Die Ausbreitungskonstante ist im dickeren Film größer als im dünneren. Es gilt βf > βr und entsprechend n̄eff,f > n̄eff,r .
47
KAPITEL 5. WELLENLEITERELEMENTE
48
Ebenen gleicher Phase haben dementsprechend einen größeren Abstand im dünneren Filme als im
dickeren, eine einfallende ebene Welle wird an der Sprungstelle gestreut. Phasenanpassung der transmittierten Welle an die einfallende Welle erfolgt, wenn
βf sin ϕi = βr sin ϕt
(5.3)
n̄eff,f sin ϕi = n̄eff,r sin ϕt
(5.4)
beziehungsweise
erfüllt ist. Phasenanpassung mit einer reflektierten Welle erhält man für
βf sin ϕi = βf sin ϕr
oder
ϕi = ϕr .
(5.5)
Zusätzlich können bei dem Übergang noch Verluste durch Streuung auftreten. Die Gln. (5.4) und (5.5)
sind das Brechungs- und Reflektionsgesetz für Filmwellen. Anstelle der gewöhnlichen Brechzahl ist
die effektive Brechzahl zu setzen. Für n̄eff,f > n̄eff,r und Einfallswinkel ϕi > ϕcrit = arcsin (n̄eff,r /n̄eff,f )
tritt Totalreflexion der Filmwelle auf. In diesem Fall fällt die transmittierte Welle exponentiell ab und
transportiert keine Energie in y-Richtung senkrecht zur Stufe.
Die Ausbreitung von Filmwellen folgt also den klassischen Gesetzen der Strahlenoptik, wenn man
die Brechzahl durch die effektive Brechzahl ersetzt. Dementsprechend können Prismen und Linsen
einfach durch geeignete Profile in der Filmdicke realisiert werden. Streuverluste lassen sich dabei
durch Verwendung allmählicher Übergänge minimieren.
5.2
Rippenwellenleiter und Effektiv-Index Methode
Der Rippenwellenleiter ist schematisch in Bild 5.2 dargestellt. Die Struktur lässt sich leicht durch
Ätzen herstellen. Der Bereich der Rippe hat einen höheren effektiven Brechungsindex als der Rest
des Films.
neff, r
neff, f
neff, r
b
nc
dr
df
nf
x
z
y
ns
Bild 5.2: Rippenwellenleiter (unten) und verallgemeinerter Filmwellenleiter (oben)
Wenn eine Filmwelle im Rippenbereich unter einem Winkel ϕ > ϕcrit auf den Rippenrand trifft, erfolgt Totalreflexion. In y-Richtung bildet sich eine stehende Welle aus, wenn die Resonanzbedingung
5.3. WELLENLEITEREINKOPPLUNG
49
k0 n̄eff,f b sin ϕ̄ − Φ = l · π
,
l = 0, 1, 2, . . .
(5.6)
erfüllt ist (mit ϕ̄ = π/2 − ϕ). Der Term Φ berücksichtigt den Phasensprung bei der Totalreflexion am
Rippenrand. Für TE-Wellen gilt entsprechend (4.31) die Beziehung (ϕcrit = π/2 − ϕ̄crit )
Φ
tan =
2
µ
2
sin ϕ̄crit
sin2 ϕ
¶1/2
−1
=
q
n̄2eff,f sin2 ϕ − n̄2eff,r
n̄eff,f cos ϕ
(5.7)
Die Berechnung der Ausbreitung von Wellen im Rippenwellenleiter reduziert sich damit auf die Berechnung von Filmwellen in senkrecht zueinander stehenden Filmwellenleitern. Der Wellenleiter mit
effektiven Brechzahlen ist im oberen Teil von Bild 5.2 illustriert. Die Vorgehensweise zur Berechnung
der Wellenparameter wird als Effektiv-Index Methode bezeichnet.
5.3 Wellenleitereinkopplung
Wir behandeln die Einkopplung in einen Wellenleiter beispielhaft anhand des quadratischen Spiegelwellenleiters in Bild 4.11. Zur Einkopplung wird oft eine Welle auf die Stirnfläche des Wellenleiters
fokussiert, wie schematisch in Bild 5.3 dargestellt ist.
z=0
nc
Incident
wave
x
y
nf
Ei
nl
z
Em
ns
Bild 5.3: Stirnseitige Einkopplung in einen Wellenleiter
Nach (4.48) lässt sich die allgemeinste Feldverteilung im Wellenleiter als Modenüberlagerung
E(x, y, z) =
=
M X
L
X
m=1 l=1
M X
L
X
r
alm
2
lπx
sin
d
d
r
2
mπy
sin
exp {−iβlm z}
d
d
alm · ulm (x, y) exp {−iβlm z}
(5.8)
m=1 l=1
mit orthonormalen transversalen Eigenfunktionen ulm (x, y) schreiben (0 ≤ x, y ≤ d). Die Funktionen
ulm (x, y) sind nur im Bereich 0 ≤ x, y ≤ d von Null verschieden und dort orthonormal gemäß
KAPITEL 5. WELLENLEITERELEMENTE
50
(
Zd Zd
ulm (x, y) u∗l0 m0 (x, y) dx dy =
0
0
1 für l0 = l und m0 = m ,
0 sonst .
(5.9)
Eine beliebig in der Einfallsebene z = 0 vorliegende Feldverteilung lässt sich im Bereich 0 ≤ x, y ≤
d als zweidimensionale Fourierreihe
Ei (x, y, z = 0) =
∞ X
∞
X
alm sin
m=1 l=1
lπx
mπy
sin
d
d
(5.10)
mit (unendlich vielen, komplexwertigen) Koeffizienten
alm
4
= 2
d
Zd
Zd Zd
Ei (x, y, z = 0) sin
lπx
mπy
sin
dx dy
d
d
0 0
Zd
Ei (x, y, z = 0) u∗lm (x, y) dx dy
=
0
(5.11)
0
darstellen (siehe z.B. [4], S. 74). Der Anteil des Feldes alm wird sich offenbar im Wellenleiter in der
Mode (l, m) ausbreiten, denn er besitzt ja gerade die entsprechende transversale Feldverteilung der
Mode. Berücksichtigt man noch, dass wegen der Normierung der Eigenfunktionen u(x, y) die Größe
|alm |2 nach (5.8) die Leistung in einer Mode angibt, so ist
|ηlm |2 =
|alm |2
Pges,i
(5.12)
der Einkoppelwirkungsgrad in der Mode (l, m), wobei
Z∞ Z∞
|Ei (x, y, z)|2 dx dy
Pges,i =
(5.13)
−∞ −∞
die Gesamtleistung der einfallenden Feldverteilung ist. Die Feldverteilung in einer Mode lässt sich
ausdrücken durch
Elm (x, y, z) = alm · ulm (x, y) exp {−iβlm z} .
(5.14)
Folglich ist das normierte Modenfeld bis auf einen konstanten Phasenfaktor durch
ulm (x, y) = s
Elm (x, y, z = 0)
∞
RR
−∞
|Elm (x, y, z)|2 dx dy
=
Elm (x, y, z = 0)
p
|alm |2
(5.15)
5.4. WELLENLEITERKNICKE UND KRÜMMUNGEN
51
gegeben, und der Einkoppelwirkungsgrad in die Mode (l, m) ist
|ηlm |2 = RR
∞
¯∞
¯2
¯RR
¯
¯ Ei (x, y, z = 0) E ∗ (x, y) dx dy ¯
lm
¯
¯
−∞
|Ei (x, y, z =
0)|2
dx dy
−∞
∞
RR
.
|Elm
(x, y)|2
(5.16)
dx dy
−∞
Der Einkoppelwirkungsgrad in eine Mode ist damit durch den Kreuzkorrelationskoeffizienten zwischen der einfallenden Feldverteilung und der Modenfeldverteilung gegeben. Nach der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung gilt |ηlm |2 ≤ 1 . |ηlm |2 = 1 erhält man nur, wenn die Eingangsfeldverteilung gleich
der Modenfeldverteilung ist. Je ähnlicher die Eingangsfeldverteilung der Modenfeldverteilung ist, desto größer ist der Einkoppelwirkungsgrad. Für gute Einkopplung ist demnach Modenfeldanpassung
(mode matching) anzustreben. Quantitative Resultate erhält man durch Auswertung des Korrelationsintegrals in Gleichung (5.16). Zur Berechnung der in diesem Abschnitt auftretenden Integrale ist die
Beziehung 2 sin (nx) sin (mx) = cos ((n − m)x) − cos ((n + m)x) nützlich.
5.4 Wellenleiterknicke und Krümmungen
y'
j
y
Emy'
y = d/2
y = -d/2
Emy
z
j
z'
z' = 0
Bild 5.4: Zur Behandlung eines Wellenleiterknicks
Ein Wellenleiterknick ist schematisch in Bild 5.4 dargestellt. Eine Wellenleiterkrümmung kann man
idealisiert durch einen Wellenleiterknick oder eine Abfolge von Wellenleiterknicken beschreiben. Im
linken Wellenleiter möge die Mode (l, m) mit der transversalen Feldverteilung Elm (x, y) einfallen.
Sie regt im rechten Wellenleiter, der um den Winkel ϕ verdreht ist, eine Mode derselben Ordnung an,
die wir mit Elm (x0 , y 0 ) bezeichnen. In der Ebene z 0 = 0 können wir die einfallende Welle für kleine
Winkel ϕ < λ/(d · nf ) im Bereich −d/2 < y < d/2 durch
Ei (x0 , y 0 , z 0 = 0) ≈ Elm (x = x0 , y = y 0 ) exp {+iβlm y 0 ϕ}
(5.17)
approximieren. nf ist der Brechungsindex des Wellenleiters. Der Koppelkoeffizient ist damit im Falle
eines quadratischen Wellenleiters
|ηlm |2 = d/2
RR
−d/2
¯2
¯
¯
¯d/2
RR
¯
∗
0
0¯
¯ Ei Elm dx dy ¯
¯
¯
−d/2
|Ei
|2
dx0
dy 0
d/2
RR
−d/2
|Elm
|2
dx0
(5.18)
dy 0
KAPITEL 5. WELLENLEITERELEMENTE
52
wenn man annimmt, dass das Feld im Außenraum (x0 , y 0 > d/2) des Wellenleiters zu vernachlässigen
ist. Für separierbare Modenfelder
Elm (x0 , y 0 ) = El (x0 ) · Em (y 0 )
(5.19)
folgt sofort
¯2
¯
¯
¯ d/2
¯
¯ R
|Em (y 0 )|2 exp {+iβy 0 ϕ} dy 0 ¯
¯
¯
¯−d/2
|ηlm |2 =
.
Ã
!2
d/2
R
|Em (y 0 )|2 dy 0
(5.20)
−d/2
Für die Grundmode l = 1, m = 1 ist die Feldverteilung für −d/2 < x0 , y 0 < d/2 durch
E1,1 (x0 , y 0 ) = cos
πx0
πy 0
cos
= E1 (x0 ) · E1 (y 0 )
d
d
(5.21)
zu beschreiben, wobei wir einen konstanten Amplitudenfaktor unberücksichtigt gelassen haben. Zur
Auswertung von (5.21) benötigen wir
Zd/2
Zd/2
0
2
0
|Em (y )| dy =
−d/2
·
¸y0 =d/2
1 0
2πy 0 0
d
2πy 0
d
cos
dy = y +
sin
=
d
2
4π
d y0 =−d/2 2
2
−d/2
(5.22)
und finden mit β11 = β
Zd/2
Zd/2
|E1 (y 0 )|2 e
iβϕy 0
dy 0 =
−d/2
1
=
1
4
cos2
πy 0 iβϕy0 0
e
dy
d
−d/2
Zd/2
0
2π
0
2π
0
2 eiβϕy + ei( d +βϕ)y + e−i( d −βϕ)y dy 0
−d/2
2
1
≈
4
Zd/2
0
2 eiβϕy + 2 cos
2πy 0 0
dy
d
(5.23)
−d/2
´ 1 d · 2πy 0 ¸y0 =d/2
1 1 ³ iβϕ d
−iβϕ d2
2
=
e
−e
+
sin
2 iβϕ
2 2π
d y0 =−d/2
|
{z
}
=0
1 2
βϕd
=
sin
.
2 βϕ
2
(5.24)
5.5. QUERSCHNITTSÄNDERUNGEN UND TAPER
53
Das Ergebnis ist
½
¾
sin2 βϕ d2
d
2
|η11 | =
= si βϕ
.
2
(βϕ d2 )2
2
(5.25)
Der 3 dB-Abfall (si2 {1, 391557} = 0.5) erfolgt bei dem Winkel
ϕ3dB ≈
2.8
1.4 λ0
=
.
βd
πnf d
(5.26)
Für λ = 1 µm , nf = 3.5 und d = 3 µm hat man zum Beispiel ϕ3dB = 0.04 = 2.4◦ . Dieser Wert ist
als Abschätzung zu verstehen. Er besagt aber, dass Knickwinkel in optischen Wellenleitern möglichst
unter 1◦ bleiben sollten, damit die Koppelverluste der geführten Welle nicht zu groß werden.
Eine Ablenkung um den Winkel ϕ lässt sich auch durch eine Abfolge von M Knicken mit einem
Knickwinkel ϕ/M erzielen. Nach M Kopplungen ist der Wirkungsgrad der Grundmode
¯ n ϕ o¯2M
¯
¯
M 2
|η11
| = ¯η11
¯ =
M
Ã
© ª !2M "
µ
¶2 #2M
sin βϕd
βϕd
1
¡ βϕd2M¢
≈ 1−
,
6
2M
2M
(5.27)
wobei die Taylorreihenentwicklung für sin x/x für kleine Argumente x ¿ 1 als Näherung auf der
rechten Seite benutzt wurde. Da βϕd/M ¿ 1 gilt, kann man weiter approximieren
"
µ
¶2 #2
³ ϕ ´M
1
1
βϕd
|2 ≈ 1 −
|η11
,
M
M6
2
(5.28)
denn für kleine x ¿ 1 gilt (1 + x)M ≈ 1 + M x. Im Vergleich dazu ist der Koppelkoeffizient bei
einem einzigen Knick
"
µ
¶2 #2
2
d
sin
βϕ
1
βϕd
2
≈ 1−
|η11 (ϕ)|2 =
.
d 2
6
2
(βϕ 2 )
(5.29)
Eine Abfolge von M Knicken mit Knickwinkeln ϕ/M liefert also erheblich weniger Verluste als ein
einziger Knick mit Winkel ϕ. Dieses Beispiel zeigt, dass „weiche“ Wellenleiterkrümmungen offenbar
kleinere Verluste aufweisen als abrupte Krümmungen mit kleinem Krümmungsradius.
5.5 Querschnittsänderungen und Taper
Bei Querschnittsänderungen nach Bild 5.5 kommt es an den Übergangsstellen zur Streuung in Filmwellen anderer Ordnung, und es können auch Strahlungsmoden angeregt werden. Außerdem bilden
1
2
cos2 α = 14 (2 + e2jα + e−2jα )
2π
2π
2π
2π
d ± βϕ ≈ d ± λ nf ϕ ≈ d fürϕ ¿
λ
dnf
KAPITEL 5. WELLENLEITERELEMENTE
54
sich evaneszente Wellen aus, die in z-Richtung exponentiell abklingen. Die Übergänge sollen so weit
auseinanderliegen, dass evaneszente Wellen nicht von einem Übergang auf den nächsten übergreifen. Wir interessieren uns hier nur für die Ausbreitung der Grundmode, deren transversales Feld wir
kurz mit E0 (x, y) bezeichnen wollen. Mit der Querschnittsverteilung ändert sich jeweils auch das
(1)
(2)
(3)
Profil der Grundmode, das wir in den Abschnitten 1, 2, 3, . . . mit E0 (x, y), E0 (x, y), E0 (x, y), . . .
bezeichnen.
(i)
Bild 5.5: Schema einer stufenweisen Querschnittsänderung. P0 bezeichnet die Leistung der Grundmode im
Abschnitt i
Das Feld der Grundmode nach der ersten Querschnittsänderung ist abgesehen von einem konstanten
Phasenfaktor durch
q
(2)
E0 (x, y)
(1)
P0 |η12 | u(2) (x, y)
=
(5.30)
(1)
gegeben, wobei u(2) (x, y) ein nach (4.19) normiertes Feld darstellt, P0 die Leistung der Grundmode
im ersten Abschnitt bezeichnet und der Amplitudenkopplungswirkungsgrad durch
∞
RR
η12 = µ
∞
RR
−∞
−∞
(1)
(2)∗
E0 (x, y) · E0
(1)
|E0 (x, y)|2
dx dy
∞
RR
−∞
(x, y) dx dy
(2)
|E0 (x, y)|2
¶1/2
(5.31)
dx dy
gegeben ist. Die Leistung der Grundmode im zweiten Abschnitt ist offenbar
(2)
P0
(1)
= P0 |η12 |2 .
(5.32)
Das Feld der Grundmode im dritten Abschnitt wird damit
q
(3)
E0 (x, y)
=
q
(2)
P0
(3)
|η23 | u (x, y) =
(1)
P0 |η12 η23 | u(3) (x, y) .
(5.33)
Um (5.31) auswerten zu können, nehmen wir an, dass die Modenfelder durch die Feldverteilung der
Grundmode des quadratischen Spiegelwellenleiters
(
(i)
E0 (x, y) =
(i)
E0 (x = 0, y = 0) cos (πx/di ) cos (πy/di )
für
0
sonst
− d/2 < x, y < d/2 ,
(5.34)
5.5. QUERSCHNITTSÄNDERUNGEN UND TAPER
55
approximiert werden können. Hierbei bezeichnet di die charakteristische Weite im Abschnitt i. Wir
nehmen an, dass die Querschnittsveränderungen symmetrisch um die z-Achse erfolgen, so dass wir
di+1 = di − ∆d
(5.35)
setzen können. Außerdem verlangen wir noch, dass die Änderungen klein sind, also |∆d| ¿ di gilt.
Für ∆d ≥ 0 erhalten wir damit
dR
2 /2
η12 = Ã
−d2 /2
dR
1 /2
−d1 /2
Ã
=
cos2 { πx
}dx
d1
dR
2 /2
−d2 /2
dR
1 /2
−d1 /2
cos{ πx
} cos{ πx
}dx
d1
d2
dR
1 /2
−d1 /2
cos2 { πy
}dy
d1
!2
}dx
cos2 { πx
d1
−d2 /2
−d2 /2
cos{ πy
} cos{ πy
}dy
d1
d2
cos2 { πx
}dx
d2

=
cos2 { πx
}dx
d2
−d2 /2
dR
2 /2
cos{ πx
} cos{ πx
}dx
d1
d2
dR
2 /2
dR
2 /2
4 

d1 d2
−d2 /2
½
d2 /2
Z
−d2 /2
dR
2 /2
cos
πx
d1
!1/2
cos2 { πy
}dy
d2
¾
½
cos
πx
d2
¾
2

.
dx (5.36)
Die Auswertung des Integrals auf der rechten Seite erfolgt unter Ausnutzung von 1/d1 +1/d2 ≈ 2/d2 ,
denn |d1 − d2 | ¿ d1 , d2 und
½
cos
πx
d1
¾
½
cos
πx
d2
¾
½ µ
½ µ
¶¾
¶¾
1
1
1
1
1
1
cos πx
−
+
=
+ cos πx
2
d1 d2
2
d1 d2
½ µ
½
¶¾
¾
1
2πx
1
1
1
cos πx
−
≈
+ cos
.
2
d1 d2
2
d2
Hiermit ist
½
d2 /2
Z
cos
−d2 /2
πx
d1
¾
½
cos
πx
d2
¾
dx
¾¸x=d2 /2
· ½
d2
2πx
³
´ sin πx
+
sin
=
4π
d2
x=−d2 /2
x=−d2 /2
2π d11 − d12
|
{z
}
=0
n
³
´o
n
o
πd2
1
1
π ∆d
½
¾
sin
−
sin
2
d1
d2
2 d1
d2
π ∆d
d2
d2
³
´
=
si
.
=
=
π ∆d
πd2
1
2
2
2
2 d1
− 1
2 d1
·
1
2
d1
½
µ
1
1
−
d1 d2
¶¾¸x=d2 /2
d2
Mit d ≈ d1 ≈ d2 und d2 ≈ d1 d2 , d1 − d2 = ∆d ergibt sich damit das Resultat
(5.37)
KAPITEL 5. WELLENLEITERELEMENTE
56
η12
µ ½
¾¶2 µ
¶2
µ
¶2
π∆d
1 π∆d
1 π∆d
≈ si
≈ 1−
≈1−
,
2d
6 2d
3
2d
(5.38)
wobei wiederum |∆d| ¿ d benutzt wurde. Der Kopplungswirkungsgrad ist damit
2
|η12 | = 1 −
3
µ
2
π∆d
2d
¶2
.
(5.39)
Der Kopplungswirkungsgrad ist nur für ∆d = 0 gleich 1, sonst immer kleiner als 1.
Nimmt der Querschnitt beim Übergang von Abschnitt 2 nach 3 ebenso um ∆d ab, gilt entsprechend
|η23 |2 = |η12 |2
(3)
(5.40)
(1)
so dass das Leistungsverhältnis P0 /P0 durch
(3)
P0
4
= |η12 | |η23 | = 1 −
3
2
(1)
P0
2
µ
π∆d
2d
¶2
(5.41)
gegeben ist. Der direkte Übergang von Abschnitt 1 auf Abschnitt 3 mit einer Querschnittsänderung
von 2∆d liefert dagegen
(3)
P0
(1)
P0
2
= |η13 | = 1 −
3
2
µ
π2∆d
2d
¶2
8
=1−
3
µ
π∆d
2d
¶2
,
(5.42)
also
|η12 η13 |2
>1.
|η13 |2
(5.43)
Bei einem zweistufigen Übergang von d1 über d2 nach d3 geht also mehr Leistung in die Grundmode
des dritten Abschnitts als bei einem direkten Übergang von d1 nach d3 . Offenbar kann man durch
einen allmählichen Übergang, gewissermaßen durch Anpassung, die Modenleistung verlustreduziert
und im Grenzfall sogar ohne Verluste zwischen Wellenleitern verschiedenen Querschnittsprofils übertragen. Ein allmählicher Wellenleiterübergang wird als Taper bezeichnet. Man kann sich vorstellen,
dass Taperstrukturen bei der verlustfreien Auskopplung am Wellenleiter eine große Bedeutung besitzen.
5.6
Wellenleitergeometrien
In diesem Abschnitt geben wir eine Übersicht genutzte dielektrische Streifenwellenleitertypen wie in
Bild 5.6 und Bild 5.7, die in der Praxis häufig benutzt werden. Die Streifenwellenleitertypen in Bild
5.6. WELLENLEITERGEOMETRIEN
57
5.6 lassen sich mit der Effektiv-Index Methode zumindest näherungsweise untersuchen. Wir unterscheiden Streifen-, eingebetteter Streifen-, Rippen- und streifenbelastete Wellenleiter. Die optische
Wellenführung erfolgt grundsätzlich in den Bereichen mit dem größten Brechungsindex.
a)
b)
d)
c)
Bild 5.6: Verschiedene dielektrische Streifenwellenleiter: (a) Streifen-, (b) eingebetteter Streifen-, (c) Rippen-,
(d) streifenbelasteter Filmwellenleiter. Je dunkler die Schattierung, desto höher die Brechzahl
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Bild 5.7: Verschiedene Strukturen von Streifenwellenleitern: (a) gerader, (b) gekrümmter, (c) Y-Verzweigung,
(d) Mach-Zehnder Interferometer, (e) Richtkoppler, (f) Kreuzung
Die in Bild 5.7 dargestellten geraden und gekrümmten bzw. abgeknickten Wellenleiter können mit
den vorgestellten Methoden analysiert werden. Mit Hilfe des eingeführten Einkoppelkoeffizienten
lässt sich die Y-Verzweigung und auch das Mach-Zehnder Interferometer behandeln. Dasselbe gilt
für die Wellenleiterkreuzung, wobei im Kreuzungsbereich möglicherweise höhere Moden vorkommen können als in den zu- und abführenden Wellenleitern. Im Richtkoppler kommt es zu einer Wechselwirkung der beiden im Koppelbereich eng benachbarten Wellenleiter über evaneszente transversale
Felder. Diese Kopplung, die durch Störpolarisation zu beschreiben ist, wird in einem späteren Kapitel
behandelt. Anzumerken bleibt noch, dass Verzweiger und Vereiniger z.B. im Mach-Zehnder Interferometer in erster Näherung als Strahlteiler aufzufassen sind, deren Analogon sie im Grunde darstellen.
58
KAPITEL 5. WELLENLEITERELEMENTE
Kapitel 6
Wellenleitermodulatoren
6.1 Variation der Ausbreitungskonstanten
In homogenen verlustlosen nicht magnetischen (µ = 1) Medien ist die Ausbreitungskonstante β
gemäß
n̄
√
β = ω εε0 µ0 = 2π
λ0
,
(6.1)
(λ0 Wellenlänge im Vakuum, Maxwell-Relation ε = n̄2 ) mit der relativen Dielektrizitätskonstante
ε = ε(ω) oder der Brechzahl n̄ = n̄(ω) verknüpft. Änderungen der Brechzahl, beispielsweise durch
Temperatur oder Verspannung, resultieren in einer Änderung der Ausbreitungskonstanten
2π
δn̄ ,
λ0
δβ =
(6.2)
die zu einer Phasenänderung der Lichtwelle um
δϕ = z δβ
(6.3)
Anlass gibt, wenn die Welle die Strecke z durchläuft. Hierbei wurde schlicht der Phasenterm e−iβz =
e−iϕ einer sich in z-Richtung ausbreitenden ebenen Welle betrachtet.
In verlustbehafteten Medien ist die Ausbreitungskonstante komplex. Man setzt (E ∝ e−iγz in zRichtung)
γ =β−i
α
2π
= (n̄ − iκ)
2
λ0
(6.4)
mit dem Absorptionskoeffizienten α und dem Extinktionskoeffizienten
κ=
αλ0
.
4π
59
(6.5)
KAPITEL 6. WELLENLEITERMODULATOREN
60
Reine Absorptionsänderungen δα = 4π δκ/λ resultieren nach Durchlaufen der Strecke z in Intensitätsänderungen exp{−δαz}. In verlustbehafteten Medien ist die relative Dielektrizitätskonstante ε̃
durch
ε̃ = ε0 − iε00 = n̄2 − κ2 − i2κn̄
(6.6)
gegeben. In schwach absorbierenden Medien mit κ ¿ n̄ lassen sich Variationen der komplexen
Dielektrizitätskonstanten näherungsweise durch
δ(ε0 − iε00 ) = δ(n̄2 ) − δ(κ2 ) − i2δ(κn̄) ≈ δ(n̄2 ) − i2δ(κn̄)
≈ 2n̄δn̄ − i2κ δn̄ − i2n̄ δκ ≈ 2n̄ δn̄ − i2n̄ δκ
= 2n̄(δn̄ − iδκ)
(6.7)
ausdrücken. Wegen κ ¿ n̄ gilt ε0 ≈ n̄2 und folglich
δβ =
2π
π
δn̄ ≈
δε0
λ0
λ0 n̄
(6.8)
4π
2π 00
δκ ≈
δε .
λ0
λ0 n̄
(6.9)
bzw.
δα =
Änderungen des Realteils der relativen Dielektrizitätskonstante führen zu Phasenänderungen der Welle, während Variationen des Imaginärteils Absorptionsänderungen zur Folge haben.
6.2
Wellenleiter-Phasenmodulatoren
Die im letzten Abschnitt abgeleiteten Beziehungen für die Änderungen der Ausbreitungskonstante und des Absorptionskoeffizienten gelten, wenn Störungen das Wellenfeld homogen erfassen. Wir
betrachten hier Änderungen δε0 (x, y) des Realteils der Dielektrizitätskonstante in einem Wellenleiterabschnitt der Länge ∆z, die in Bild 6.1 schematisch dargestellt ist.
Insbesondere sind wir daran interessiert, wie sich die Wellenleiterstörung auf die Ausbreitung einer
speziellen Mode m auswirkt. Die Antwort liefert das Variationstheorem. Das ohne Ableitung angegebene Ergebnis für die Änderung δβm der Ausbreitungskonstante βm der Mode m im Abschnitt ∆z
ist
2πcε0
δβm =
Pm λ0
Z∞ Z∞
δε0 (x, y)|Em (x, y)|2 dx dy ,
(6.10)
−∞ −∞
wobei Pm die in der Mode m transportierte Leistung bezeichnet, |Em (x, y)|2 die Intensitätsverteilung
der Mode angibt und δε0 (x, y) die Abweichung vom nominalen Wellenleiterprofil ε0 (x, y) beschreibt.
6.3. WELLENLEITER-AMPLITUDENMODULATOREN
De(x,y)
61
z
x
Dz
e(x,y)
y
Bild 6.1: Variation der Dielektrizitätskonstante in einem Wellenleiterabschnitt der Länge ∆z
Für die Änderung der Ausbreitungskonstante ist offenbar die Wichtung der Störung δε0 (x, y) mit der
Intensitätsverteilung |Em (x, y)|2 in der Mode entscheidend. Störungen des Wellenleiters an Orten, an
denen die modale Intensität verschwindet, haben keine Auswirkungen auf die Ausbreitungskonstante.
Da die modalen Intensitätsverteilungen für verschiedene Moden unterschiedlich sind, lassen sich Moden durch die Störung unterschiedlich stark in ihrer Ausbreitungskonstante beeinflussen. Beispielsweise wirken sich in radialsymmetrischen Wellenleitern Störungen in der Nähe der Symmetrieebene
stark auf die Grundmode aus, weil deren Intensität dort am größten ist. Dagegen hat die Mode erster
Ordnung im Zentrum eine verschwindende Intensität und die Störung macht sich weit weniger stark
bemerkbar. Modenfilternde Effekte sind also offensichtlich.
Die Phasenänderung der betreffenden Mode im Abschnitt ∆z ist einfach
∆Φm = δβm ∆z
(6.11)
Wenn die Störung des Brechzahlprofils δε0 = 2n̄ δn̄ über ein längeres Intervall z verteilt ist, ergibt
sich die resultierende Phasenverschiebung zu
Z
z
∆Φm =
δβm (z) dz .
(6.12)
0
Bei dieser Integration wurde angenommen, dass die Mode nur schwach an den Wellenleiterstörungen
gestreut wird und die Querschnittsverteilung der modalen Intensität nur unwesentlich vom ungestörten Wellenleiter abweicht. Die Relationen (6.10) und (6.12) sind die fundamentalen Beziehungen für
Wellenleiter-Phasenmodulatoren.
6.3 Wellenleiter-Amplitudenmodulatoren
Amplitudenmodulatoren lassen sich ganz analog zu den Phasenmodulatoren behandeln, wobei in Bild
6.1 jetzt Profiländerungen des Imaginärteils der Dielektrizitätskonstanten δε00 (x, y) im Wellenleiterabschnitt ∆z anzunehmen sind. Mit Blick auf (6.8), (6.9) und (6.10) sind die Änderungen des Intensitätsabsorptionskoeffizienten der Mode m nach dem Variationstheorem durch
KAPITEL 6. WELLENLEITERMODULATOREN
62
4πcε0
δαm =
Pm λ0
Z∞ Z∞
δε00 (x, y)|Em (x, y)|2 dx dy
(6.13)
−∞ −∞
gegeben, wobei wiederum die Wichtung der Änderung des Extinktionsprofils
δκ(x, y) =
δε00 (x, y)
2n̄(x, y)
mit dem Intensitätsprofil |Em (x, y)|2 entscheidend für die Änderung des modalen Absorptionskoeffizienten ist. Wenn die Änderung des Absorptionsprofils über eine längere Strecke z wirkt, ist der
Faktor
½ Z
A = exp −
¾
z
δαm (z) dz
(6.14)
0
maßgebend für die Absorption der Mode.
Offenbar lassen sich durch geeignete Platzierung von Absorberelementen im Wellenleiter einzelne
Moden gegenüber anderen in ihrer Dämpfung bevorzugen. Man spricht von Modenfiltern. Beispielsweise wird die Grundmode mit einem Intensitätsmaximum an der Achse durch einen dort befindlichen
Absorber entscheidend geschwächt, während die Mode erster Ordnung mit einem Intensitätsminimum auf der Achse kaum beeinträchtigt wird. Die Gln. (6.13) und (6.14) sind die grundlegenden
Beziehungen für Wellenleiteramplitudenmodulatoren. Sie sind ebenso wichtig für Laserdioden, bei
denen die verstärkende Zone üblicherweise nur einen kleinen Bereich der Modenquerschnittsverteilung erfasst.
Da ein negativer Absorptionskoeffizient, wie von Laserdioden bekannt, mit einem Gewinnkoeffizienten zu identifizieren ist, ergibt sich unmittelbar die Bedeutung von Formel (6.13) für das Design von
effizienten optischen Verstärkern.
6.4
Elektrooptischer Effekt
Gewisse Materialien ändern ihre Brechzahl unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes. Dabei ändert sich die Position oder Orientierung der Moleküle des Materials oder auch deren Form. Man
unterscheidet den linearen elektrooptischen Effekt oder Pockels-Effekt und den quadratischen elektrooptischen Effekt oder Kerr-Effekt. Beim ersteren ändert sich die Brechzahl linear mit dem elektrischen Feld, beim letzteren quadratisch. Dies ist schematisch in Bild 6.2 dargestellt.
Die erreichbaren Brechzahländerungen sind üblicherweise nur gering, sie liegen bei ∆n̄ = 10−5 . . . 10−3
bevor bei zu hoher elektrischer Feldstärke ein elektrischer Durchschlag im Material auftritt.
In elektro-optischen Medien ist die Brechzahl eine Funktion der quasistatischen elektrischen Feldstärke F , die sich allgemein als Taylorreihe
n̄(F ) = n̄(F = 0) + a1 F +
1
a2 F 2 + . . .
2
(6.15)
6.4. ELEKTROOPTISCHER EFFEKT
n(E)
63
n(E)
n
0
Electro-optic
material
n
0
E
Light
Electric field
E
Bild 6.2: Schematische Abhängigkeit der Brechzahl von der elektrischen Feldstärke beim Pockels-Effekt (links)
und beim Kerr-Effekt (Mitte), sowie schematische Darstellung der Lichtsteuerung in einem elektrooptischen
Medium (rechts).
darstellen lässt, wobei skalare Verhältnisse der Einfachheit halber vorausgesetzt wurden. Die Koeffizienten der Entwicklung sind n¯0 = n̄(F = 0), a1 = dn̄/dF |F =0 und a2 = d2 n̄/dF 2 |F =0 . Üblicherweise schreibt man die Reihenentwicklung (6.15) in der Form
n̄(F ) = n¯0 −
1
1
rn¯0 3 F − sn¯0 3 F 2 + . . .
2
2
(6.16)
wobei der lineare elektrooptische Koeffizient oder Pockels-Koeffizient r = −2a1 /n¯0 3 und der quadratische elektrooptische Koeffizient oder Kerr-Koeffizient s = −a2 /n¯0 3 eingeführt wurden. Diese
Parameter treten bei der Reihenentwicklung des Index-Ellipsoids
η̃(F ) =
1
n̄2 (F )
= η̃(F = 0) + rF + sF 2
(6.17)
auf.
Der lineare elektrooptische Effekt kann nur in Kristallen auftreten, die kein Inversionszentrum besitzen. Beispiele sind GaAs, LiNbO3 , CdFe, NH4 H2 PO4 (ADP) und KH2 PO4 (KDP). In diesen Kristallen
hängt der Pockels-Effekt von der Kristallorientierung ab und liegt zwischen r = 10−12 . . . 10−10 m/V =
1/(105 kV/cm) . . . 1/(107 kV/cm) oder r = 1 . . . 100 pm/V. Der Kerr-Effekt ist zu vernachlässigen,
so dass
n̄(F ) = n¯0 −
1 3
rn̄0 F
2
| {z }
(6.18)
δn̄Pockels
gilt. In inversionssymmetrischen Medien wie Gasen, Flüssigkeiten oder amorphen Stoffen (z.B. Si)
kann nur der Kerr-Effekt auftreten. Man hat
n̄(F ) = n¯0 −
1
s n¯0 3 F 2
2
(6.19)
Die größten Kerr-Koeffizienten liegen bei s = 10−14 m2 /V2 = 1/(100 kV/cm)2 = 1/(10 V/µm)2 .
V
Die Durchbruchfeldstärke vieler Stoffe liegt bei Fcrit = 1 MV
= 100 MV
= 108 m
.
cm
m
Damit ist maximal
1
m
V
δn̄Pockels = − 10−10 n̄30 108
≈ −10−2
2
V
m
KAPITEL 6. WELLENLEITERMODULATOREN
64
erreichbar.
6.5
Elektrooptische Phasenmodulatoren
Nach Lichtdurchgang durch ein elektrooptisches Medium gemäß Bild 6.3 lässt sich die Phase des
austretenden Lichts durch das elektrische Feld verändern. Die Phasenverschiebung nach Durchlaufen
der Strecke L ist
ϕ = 2πn̄(F )
L
,
λ0
(6.20)
wobei λ0 die Vakuumwellenlänge bezeichnet. In einem Pockels-Modulator ist die Phasenverschiebung durch das elektrische Feld
∆ϕ = ϕ − ϕ0 = −πr n̄3 F
L
.
λ0
(6.21)
Man unterscheidet gemäß Bild 6.3 den longitudinalen und transversalen elektrooptischen Modulator.
R
V
R
V
R
d
V
L
L
Bild 6.3: Longitudinaler (links) und transversaler (rechts) elektrooptischer Modulator
Die elektrische Feldstärke lässt sich bei einer einem Plattenkondensator ähnlichen Elektrodengeometrie durch die angelegte Spannung V und den Elektrodenabstand d ausdrücken als
F =
Damit kann man (6.21) umschreiben in
V
.
d
(6.22)
6.6. MACH-ZEHNDER MODULATOREN
65
∆ϕ = ϕ − ϕ0 = −π
V
,
Vπ
(6.23)
wobei die Halbwellenspannung
Vπ =
d · λ0
L · r · n̄3
(6.24)
eingeführt wurde, bei der die Phasenverschiebung durch das elektrische Feld gerade den Wert π erreicht. Die Phase der Lichtwelle kann also durch die angelegte Spannung variiert werden. Entscheidend sind die Materialparameter n̄ und r, aber auch das Aspektverhältnis d/L. Besonders günstige
Aspektverhältnisse lassen sich in integriert-optischen Wellenleitermodulatoren realisieren, von denen
eine Bauform schematisch in Bild 6.4 dargestellt ist.
Input light
Electrodes
V
Waveguide
0
Modulated
light
0
V
E
Cross-section
Bild 6.4: Integriert-optischer Wellenleitermodulator
Da der elektrooptische Effekt Zeitkonstanten im Subpikosekundenbereich aufweist, sind die Modulationsgeschwindigkeiten durch die Lichtlaufzeit und die RC-Zeitkonstanten des Ansteuerkreises
begrenzt. Man erreicht Modulationsgrenzfrequenzen von über 100 GHz. Höchste Geschwindigkeiten
erzielt man in sogenannten Lauffeldmodulatoren, bei denen die Elektroden als elektrische Streifenwellenleiter ausgebildet sind und das Steuerfeld und die Lichtwelle synchron laufen.
6.6 Mach-Zehnder Modulatoren
In einem Mach-Zehnder Interferometer nach Bild 6.5 lässt sich die Phasenmodulation in eine Intensitätsoder Amplitudenmodulation umsetzen. Die Ausgangsintensität I0 ergibt sich durch Überlagerung der
beiden Teilwellen in den Zweigen des Interferometers und hängt damit von der Phasendifferenz ab.
Wie im Anhand C gezeigt ist, gilt
1
1
∆ϕ
I0 = Ii + Ii cos ∆ϕ = Ii cos2
,
2
2
2
(6.25)
KAPITEL 6. WELLENLEITERMODULATOREN
66
Ii
I(V)
1
Branch 2
C
V
Branch 1
B
0.5
I0
A
0
Vπ
I0́
V
Bild 6.5: Ein Phasenmodulator in einem Arm eines Mach-Zehnder Interferometers führt zu einer cosinusförmigen Intensitätsmodulation in Abhängigkeit von der Spannung am Interferometerausgang
so dass man unter Berücksichtigung von (6.23) und (6.24) auch
I0 = Ii cos2
πV
2 Vπ
(6.26)
schreiben kann, aus der die Abhängigkeit der Ausgangsintensität von der angelegten Spannung unmittelbar hervorgeht. Bei Anlegen der Halbwellenspannung Vπ lässt sich, wie in Bild 6.5 angedeutet,
das Interferometer bei geeigneter Vorspannung vollkommen ein- und ausschalten.
Input light
Ii
V
0
Modulated
light Io
Bild 6.6: Mach-Zehnder Modulator in integriert-optischer Bauform
Ein Mach-Zehnder Modulator kann, wie in Bild 6.6 dargestellt, auch in Wellenleiterform realisiert
werden. Y-förmige Wellenleiterverzweiger dienen als Strahlteiler und Strahlvereiniger. Populär sind
Elemente auf der Basis von LiNbO3 , GaAs oder InP. Diese Elemente werden heute eingesetzt, um
Datensignale mit Bitraten von bis zu 50 Gbit/s zu erzeugen.
Kapitel 7
Optoelektronische Modulatoren in
Halbleitern
In Kap. 6 wurden bereits Phasenmodulatoren vorgestellt, denen der lineare elektrooptische Effekt
zugrundeliegt. Auf dem gleichen Prinzip basierende Richtkopplermodulatoren werden in Kap. 8 behandelt. In Halbleitern lassen sich noch andere Effekte zur Modulation ausnutzen. Hierzu zählen
Elektroabsorption und Elektrorefraktion sowie absorptive und refraktive Effekte durch Änderung der
Elektronendichte oder durch Bandauffüllung. Neben elektrischer Ansteuerung ist eine optische Anregung der Modulatoren möglich. Man kann auch Selbststeuerung des Lichtsignals beobachten, wenn
beispielsweise das Licht selbst Ladungsträger erzeugt und damit die Transmission verändert oder
wenn in einem pn-Übergang durch Ladungsträgergeneration eine Änderung der elektrischen Feldstärke hervorgerufen wird. Schließlich können in niedrig dotierten Halbleitern mit Quantenfilmstruktur
exzitonische Effekte zur Modulation beitragen. Optisch gesteuerte Modulatoren finden zunehmend
Interesse für eine rein optische Signalverarbeitung. Hier konzentrieren wir uns auf elektrisch gesteuerte Modulatoren in Halbleiterbauelementen.
7.1 Elektrisch gesteuerte Modulatoren
7.1.1 Elektroabsorption
Die Änderung der fundamentalen Absorption eines Halbleiters durch ein äußeres elektrisches Feld
wird als Elektroabsorption oder Franz-Keldysh-Effekt bezeichnet. In einem elektrischen Feld F , das
homogen in x-Richtung weisen möge, kommt es zu einer Verkippung der Bandkanten, die in Bild
7.1 dargestellt ist. Im Bereich der Bandlücke wird ein Elektron, das sich in einem Energieeigenzustand mit der Energie W befindet, durch eine exponentiell abklingende Funktion ψ = u(~r) eikx mit
imaginärem k beschrieben. Ein Elektron des Valenzbandes muss durch eine dreieckförmige Barriere tunneln, um im Leitungsband zu erscheinen. Die Höhe der Energiebarriere ist gerade gleich der
Bandlücke Wg , und die Weite ist
d = Wg /(qF ) .
(7.1)
Mit zunehmender Feldstärke F nimmt die Tunnelstrecke ab.
67
68
KAPITEL 7. OPTOELEKTRONISCHE MODULATOREN IN HALBLEITERN
W
Wc
ywc(x)
Wv
Wg
yc0(x)
W=0
Wg
W
hw
x
x
0
yv(x)
0
yv(x)
Wc
d
d'
x=0
x=0
b)
a)
Wv
Bild 7.1: Elektronentunneln zwischen Valenz- und Leitungsband bei anliegendem elektrischen Feld F in xRichtung. a) ohne Änderung der Elektronenenergie, b) mit Energieänderung durch Photonenabsorption. Die
Elektronenwellenfunktionen ψ sind schematisch mit eingetragen
Das Tunneln vom Valenzband ins Leitungsband kann durch Absorption eines Photons der Energie ~ω
unterstützt werden. Ein Elektron, das die Strecke
d0 = (Wg − ~ω)/(qF )
(7.2)
in die verbotene Zone hineingetunnelt ist, kann durch Absorption eines Photons in das Leitungsband
angehoben werden. Genauer gesagt bestimmt die Überlappung der Wellenfunktionen des Ausgangsund Endzustands die Absorptionswahrscheinlichkeit. Jedenfalls reduziert die Absorption eines Photons die effektive Barrierenweite für den Tunnelprozess.
Umgekehrt ist auch festzustellen, dass sich durch das Verkippen der Bänder die Absorptionswahrscheinlichkeit für Photonen mit Energien, die kleiner sind als die Bandlücke, erhöht, da sich Valenzbandwie Leitungsbandelektronen mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit in der verbotenen Zone aufhalten
können. Elektroabsorption lässt sich als tunnelunterstützte Photonenabsorption deuten.
Mit der charakteristischen Länge l = [~2 /(2me qF )]1/3 kann man den Absorptionskoeffizienten schreiben als
(
( µ
µ ¶3/2 )
½ √
¾
¶3/2 )
4 d0
4 2me (Wg − ~ω)3/2
Wg − ~ω
α ∝ exp −
= exp −
= exp −
. (7.3)
3 l
3qF ~
∆W
Für vorgegebene Photonenenergie ~ω < Wg nimmt die Absorption mit wachsender Feldstärke F zu.
Man kann diese Zunahme interpretieren als Verschiebung ∆W der Absorptionskante zu kleineren
Photonenenergien. Aus dem Exponenten in (7.3) liest man ab
1
∆W =
2
µ ¶2/3
3
(qF ~)2/3 m−1/3
.
e
2
(7.4)
Aus (7.3) geht hervor, dass der Absorptionskoeffizient in der verbotenen Zone exponentiell anwächst.
Bild 7.2 zeigt den nach einer verfeinerten Theorie berechneten Absorptionsverlauf für vier verschiedene Feldstärken. Die dargestellten Kurven gelten mit guter Genauigkeit für GaAs und InP und deren
7.1. ELEKTRISCH GESTEUERTE MODULATOREN
69
100
GaAs, InP
a (cm-1)
80
F = 600 kV
cm
60
kV
400 cm
40
200 kV
cm
100 kV
cm
20
0
-0.4
2.2
-0.3
-0.2
-0.1
hw-Wg (eV)
0
2
1.8
1.6
1.4
1.3
l (µm), for InGaAsP with lg = 1.3 µm
Bild 7.2: Absorptionskoeffizient als Funktion der Photonenenergie bei anliegendem äußeren Feld F . Die Kurven gelten für GaAs, InP und deren ternäre oder quaternäre Derivate. Die untere Wellenlängenskala gilt für
InGaAsP mit einer Bandlückenwellenlänge von λg = 1.3 µm (nach [7.3])
ternäre und quaternäre Derivate. Bei der Berechnung wurde ausgegangen von exakt parabolischen
Bändern ohne Feld, so dass für F = 0 gilt
½
α0 =
p
const · ω −1 ~ω − Wg für ~ω ≥ Wg
.
0
für ~ω < Wg
Die für die Zeichnung zugrunde gelegten Feldstärken von 100 bis 600 kV/cm erreicht man besonders
leicht in rückwärts vorgespannten pn-Übergängen.
1.3 µm
1 µm
3 µm
3.2 µm
Au-contact
p+-Al0.28Ga0.72As
p-Al0.19Ga0.81As
n-Al0.15Ga0.85As
n-Al0.19Ga0.81As
Transmission
V
n+-GaAs
Au/Ge-contact
-5
-3 -1 0 1 2
Voltage (V)
Bild 7.3: Frontansicht eines typischen AlGaAs-Elektroabsorptionsmodulators und spannungsabhängige Transmission. Der streifenbelastete Filmwellenleiter enthält einen pn-Übergang. Die transmittierte Lichtleistung
(λ = 790 nm) fällt mit zunehmender Sperrspannung ab. Die Länge des Modulators beträgt 350 µm
Bild 7.3 zeigt die Frontansicht eines streifenbelasteten Filmwellenleiters, in den ein pn-Übergang eingebettet ist. Ohne angelegtes Feld passiert Licht der Wellenlänge λ = 790 nm praktisch ungedämpft
70
KAPITEL 7. OPTOELEKTRONISCHE MODULATOREN IN HALBLEITERN
den Wellenleiter von L = 350 µm Länge. Durch Anlegen eines Feldes in Sperrichtung nimmt aufgrund des Franz-Keldysh-Effektes die Dämpfung im Wellenleiterbereich stark zu, und die transmittierte Lichtleistung sinkt, wie ebenfalls in Bild 7.3 dargestellt ist, auf wenige Prozent ab. Die Dynamik
des Modulators ist durch die elektrische RC-Zeitkonstante bestimmt. Bei kleinen Kontaktwiderständen erreicht man 3 dB-Grenzfrequenzen von über 3 GHz.
7.1.2
Elektrorefraktion
Real- und Imaginärteil der Dielektrizitätskonstante hängen über die Kramers-Kronig-Relation zusammen. Dasselbe gilt für Änderungen der Dielektrizitätskonstante. Da die Dielektrizitätskonstante sich
in nichtmagnetischen Stoffen durch das Quadrat des komplexen Brechungsindex ausdrücken lässt,
²̃ = η̄ 2 = (n̄ − iκ̄)2 , gilt für die Änderungen (vgl. Abschnitt 6.1)
∆²̃ = ∆²0 − i∆²00 = 2η̄∆η̄ ≈ 2η̄0 (∆n̄ − i∆κ̄) = 2η̄0 ∆n̄ − iη̄0 λ∆α/(2π) .
(7.5)
Wir wollen der Einfachheit halber annehmen, dass der Brechungsindex des ungestörten Systems reell
ist, η̄0 = n̄0 , und erhalten damit
Z ∞
2
~ω 0 ∆κ̄(~ω 0 )
∆n̄(~ω) =
P
d(~ω 0 )
π
(~ω 0 )2 − (~ω)2
0
Z ∞
hc
∆α(~ω 0 )
=
P
d(~ω 0 ) .
2π 2
(~ω 0 )2 − (~ω)2
0
(7.6)
Die durch den Franz-Keldysh-Effekt hervorgerufene Änderung der Absorption zieht damit eine Änderung des reellen Brechungsindex nach sich, die man als Elektrorefraktion bezeichnet. Die Elektrorefraktion lässt sich berechnen, wenn das gesamte Spektrum der Elektroabsorption bekannt ist. In der
Praxis bestimmt man
∆α(~ω) = α(~ω, F ) − α(~ω, F = 0)
(7.7)
über einen begrenzten Bereich und extrapoliert die Werte unter vernünftigen Annahmen.
Wegen der Singularität bei ω = ω 0 ist das Integral in (7.6) numerisch schwer zu berechnen. Eine
einfache Transformation schafft Abhilfe. Man addiert und subtrahiert ∆α(~ω) zum Integranden und
kann schreiben
µ
¶
1
∆α(~ω 0 ) − ∆α(~ω)
d(~ω 0 )
0 + ~ω
0 − ~ω
~ω
~ω
0
Z ∞
d(~ω 0 )
hc
.
+ ∆α(~ω) 2 P
2π
(~ω 0 )2 − (~ω)2
0
hc
P
∆n̄(~ω) =
2π 2
Z
∞
(7.8)
Der Hauptwert des zweiten Integrals verschwindet, wie sich durch Ausführen der Integration einfach
beweisen lässt. Der Integrand des ersten Integrals geht im Grenzfall ω 0 → ω gegen den Differentialquotienten (2~ω)−1 d∆α(~ω)/d(~ω) und ist damit nicht mehr singulär. Das Ergebnis ist
7.1. ELEKTRISCH GESTEUERTE MODULATOREN
hc
∆n̄(~ω) = 2
2π
Z
∞
0
1
0
~ω + ~ω
µ
71
∆α(~ω 0 ) − ∆α(~ω)
~ω 0 − ~ω
¶
d(~ω 0 ) .
(7.9)
Bild 7.4 zeigt berechnete Brechungsindexänderungen für dieselben Felder wie in Bild 7.2. Dargestellt
ist nur der Verlauf innerhalb der Bandlücke. Es ergibt sich ein Maximum in der Brechungsindexänderung, das sich mit zunehmendem Feld zu kleineren Photonenenergien verschiebt. Die beachtlichen
maximalen Brechungsindexänderungen von einigen Promille für Feldstärken von einigen 100 kV/cm
fallen allerdings in den Bereich relativ starker Absorption, wie der Vergleich mit Bild 7.2 zeigt. Sie
sind deshalb für eine Phasenmodulation nicht ohne weiteres zu nutzen. Für Photonenenergien weit
unterhalb der Bandkante wächst die Brechungsindexänderung quadratisch mit dem angelegten Feld
∆n̄(~ω) = const · F 2 .
(7.10)
Dies ist ein Beitrag zum Kerr-Effekt. Der Wert der Konstanten nimmt mit fallender Photonenenergie
ab und liegt für GaAs und InP noch in der Größenordnung von 10−15 cm2 /V2 ca. 400 meV unterhalb
der Bandkante.
4
GaAs, InP
Dn (10-3)
3
F = 600 kV
cm
2
400 kV
cm
1
kV
200 cm
100 kV
cm
0
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
hw - Wg (eV)
0
2.2 2
1.8
1.6
1.4 1.3
l (µm), for InGaAsP with lg = 1.3 µm
Bild 7.4: Änderung des Brechungsindex durch Elektrorefraktion. Die Parameter sind dieselben wie in Bild 7.2
7.1.3 Ladungsträgerinjektion
In einer einführenden Vorlesung wurde bereits der Einfluss freier Ladungsträger auf den Brechungsindex und den Absorptionskoeffizienten beschrieben. Injektion freier Ladungsträger in einen Wellenleiter über einen pn-Übergang lässt sich zur Lichtmodulation nutzen. Im Prinzip sind Phasen- oder
72
KAPITEL 7. OPTOELEKTRONISCHE MODULATOREN IN HALBLEITERN
Amplitudenmodulatoren möglich. Betreibt man die Diode in Vorwärtsrichtung, kann man innerhalb
der Sperrschicht durchaus Dichteänderungen von ∆n = 1 · 1018 cm−3 erzielen. Die zugehörige Brechungsindexänderung ist durch
∆n̄ = −
λ2 q 2 ∆n
8π 2 ²0 c2 n̄me
(7.11)
gegeben und liegt für λ = 1.5 µm etwa bei ∆n̄ = −4 · 10−3 . Die Absorptionsänderung ist
∆α =
λ2 q 2 ∆n
.
4π 2 ²0 c3 n̄τin me
(7.12)
Sie ist meistens bei Wellenleiterlängen von wenigen hundert Mikrometern zu vernachlässigen.
2Q
V
Diode region
p-InP
InGaAsP
(lg = 1.2 µm)
n+-InP
~ 1 µm
p-InP
cover
Au/Zn
p+-InGaAs
contact
layer
SiO2 mask
n+-InP substrate
InGaAsP
(n = 1 1016 cm-3)
Au/Ge
Bild 7.5: InGaAsP-Richtkopplermodulator. Ladungsträgerinjektion auf einer Seite des Koppelbereichs dient
zum Umschalten
Phasenänderungen durch den Plasmaeffekt lassen sich zum Beispiel für Richtkopplermodulatoren
nutzen. Bild 7.5 zeigt eine Rippenwellenleiterstruktur aus InGaAsP (λg = 1.2 µm) auf n+ − InPSubstrat. Im Wechselwirkungsbereich ist auf einer Seite eine p − InP-Deckschicht mit einer p+ − InGaAsKontaktierschicht selektiv aufgewachsen, die zur Ladungsträgerinjektion dient. AuZn bzw. AuGe bilden die p− bzw. n−seitigen Kontakte. Der Öffnungswinkel 2θ der Kopplerarme beträgt 3◦ , die Wechselwirkungslänge ca. 1 mm. Die Breite der Rippenwellenleiter ist etwa 10 µm. Nur die Grundmode
wird geführt. Der Rippenwellenleiter ist mit einem SiO2 -Film überzogen, der als Maske für das selektive Wachstum genutzt wird. Durch Ladungsträgerinjektion kann der Richtkoppler umgeschaltet
werden. Betriebswellenlänge ist λ = 1.5 µm.
7.1. ELEKTRISCH GESTEUERTE MODULATOREN
73
7.1.4 Sperrschichtweitenmodulation
Wir untersuchen nach Bild 7.6 einen invertierten Rippenwellenleiter von ca. 0.2 µm Dicke aus InGaAsP
mit einer Bandlückenwellenlänge λg = 1.25 µm und einer Trägerdichte n = 1 · 1016 cm−3 , der
sich in der Nähe eines pn-Übergangs befindet. Durch selektive Zn-Diffusion in die InP-Deckschicht
wird der pn-Übergang so dicht an die InGaAsP-Schicht herangebracht, dass sich bei Anlegen einer
Sperrspannung die Raumladungszone in den Wellenleiterbereich erstreckt. Durch die Ausdehnung
der Raumladungszone ändert sich die Trägerdichte aber auch die elektrische Feldstärke im Wellenleiter. Geführtes Licht erfährt eine Amplituden- und Phasenänderung. Ursache für Absorptionsänderungen sind Ladungsträgereffekte und zusätzlich in der Nähe der Bandkante Elektroabsorption und
Auffüllung des Leitungsbandes. Letztere wird im folgenden Abschnitt noch genauer untersucht. Bei
Betriebswellenlängen λ, die etwas größer sind als die Bandlückenwellenlänge λg , z.B. λ = 1.5 µm
bei λg = 1.25 µm, kann man für Modulatorlängen von wenigen hundert Mikrometern Absorptionsänderungen durch Sperrschichtweitenmodulation vernachlässigen. Allerdings treten Phasenänderungen
auf. Ursache hierfür ist die Überlagerung von vier Einzelbeiträgen, nämlich dem linearen elektrooptischen Effekt, der Elektrorefraktion, der freien Ladungsträgerdispersion und den dispersiven Effekten
durch Bandauffüllung.
Der lineare elektrooptische Effekt wurde in Kap. 6 bereits ausführlich behandelt. Die Brechungsindexänderung ist polarisationsabhängig. In der Geometrie des Bildes 7.6 tritt für TM-Wellen keine
Phasenverschiebung auf, die Brechungsindexänderung für TE-Wellen ist dagegen durch
∆n̄ = n̄3 r41 F/2
(7.13)
gegeben. Der elektrooptische Modul r41 ist im interessierenden Bereich zwischen λ = 1 µm und λ =
1.6 µm nahezu wellenlängenunabhängig. Eine schwache spektrale Abhängigkeit ergibt sich nur durch
die Zunahme des Brechungsindex n̄ in der Nähe der Bandkante. Mit n̄ = 3.42 für λ = 1.5 µm und
r41 = 1.3 · 10−12 m/V erhält man beispielsweise ∆n̄ = 5 · 10−4 bei der Feldstärke F = 200 kV/cm.
p-Electrode (Ti/Au)
[100]
[011]
Selective
Zn diffusion
(p+-InP)
[011]
n--InP (2 µm)
InGaAsP
(~
~ 0.2 µm
lg = 1.25 µm)
n-InP
n+-InP substrate
5 µm
n-Electrode (Ti/Au)
Bild 7.6: InGaAsP-InP-Sperrschichtweiten-Phasenmodulator
Der Einfluss freier Ladungsträger, die bei Ausweitung der Sperrschicht aus dem Wellenleiter entfernt
werden, auf die Brechungsindexänderung ist durch (7.11) gegeben. Die maximale Dichteänderung ist
bei nichtkompensiertem Material praktisch durch die Trägerdichte der InGaAsP-Wellenleiterschicht
von n = 1 · 1016 cm−3 gegeben. Die Brechungsindexänderung bleibt damit für λ = 1.5 µm unter
∆n̄ = 10−4 . Sie ist polarisationsunabhängig.
74
KAPITEL 7. OPTOELEKTRONISCHE MODULATOREN IN HALBLEITERN
Der Beitrag der Elektrorefraktion ist aus Bild 7.4 abzulesen. Er ist polarisationsunabhängig, aber
stark wellenlängenabhängig. Er erreicht Werte von ∆n̄ = 1 · 10−3 für Feldstärken F = 200 kV/cm
bei Betriebswellenlängen von λ = 1.5 µm und Bandlückenwellenlängen von λg = 1.3 µm. Dispersive Effekte durch Bandauffüllung sind ebenfalls polarisationsunabhängig und nur in der Nähe der
Bandlückenwellenlänge wirksam. Bei Ausdehnung der Sperrschicht handelt es sich um eine Abnahme der Bandauffüllung. Bei einer Trägerdichte von n = 1 · 1016 cm−3 im Wellenleiterbereich bleibt
der Beitrag allerdings klein, da sich die Besetzung des Leitungsbandes bei Betrieb in Sperrichtung
maximal um den Wert der Dotierung ändern kann.
In einem Sperrschichtweiten-Phasenmodulator wählt man die Orientierung des Wellenleiters und des
externen Feldes so, dass sich alle Beiträge zur Brechungsindexänderung additiv überlagern. Bild 7.7
zeigt die Phasenverschiebung bei λ = 1.53 µm Wellenlänge für einen Modulator nach Bild 7.6 als
Funktion der angelegten Spannung. Der Unterschied zwischen TE- und TM-Polarisation ist durch den
Beitrag des linearen elektrooptischen Effektes zu erklären. Die Elektrorefraktion ist überwiegend für
die Phasenverschiebung der TM-Welle verantwortlich. Bei einer Modulatorlänge von L = 360 µm
erreicht man für TE-Wellen eine Phasenverschiebung ∆ϕ = 2π∆n̄L/λ von π bei Sperrspannungen
von 25 V. Die Brechungsindexänderung beträgt in diesem Fall etwa ∆n̄ = 2 · 10−3 . Durch höhere Dotierung im Wellenleiter lässt sich die Betriebsspannung vermindern. Da Plasmadispersion und
Bandauffüllung nur eine untergeordnete Rolle spielen, ist die Dynamik des Modulators im wesentlichen durch die elektrische RC-Zeitkonstante bestimmt.
Dj (Degree)
180
L = 360 µm
l = 1.53 µm
TE
135
90
TM
45
0
0
5
15
10
Reverse voltage (V)
20
25
Bild 7.7: Phasenverschiebung ∆ϕ als Funktion der Sperrspannung in einem InGaAsP-SperrschichtweitenPhasenmodulator der Länge L = 360 µm nach Bild 7.6. Die Bandlückenwellenlänge ist λg = 1.25 µm, die
Betriebswellenlänge λ = 1.53 µm
Kapitel 8
Richtkoppler
8.1 Allgemeine Eigenschaften
Richtkoppler bestehen aus eng benachbarten Wellenleitern, zwischen denen über das evaneszente Feld
ein Energieaustausch der beiden Teilwellen stattfinden kann. Bild 8.1 veranschaulicht die Kopplung
der Moden.
y
n
n
z1
n
z
n1
z2
n2
z3
L
Bild 8.1: Kopplung der Moden in zwei eng benachbarten dielektrischen Wellenleitern
Es zeigt sich, dass wie bei gekoppelten Pendeln ein periodischer Energieaustausch zwischen den beiden Moden stattfindet. Dementsprechend können Richtkoppler als Leistungsteiler eingesetzt werden.
Wenn zusätzlich die Brechzahl eines der beiden Wellenleiter zum Beispiel durch den elektrooptischen
Effekt verändert werden kann, gelingt die Modulation oder Schaltung von Lichtsignalen. Die theoretischen Beschreibung von Richtkopplern beruht auf der Theorie gekoppelter Moden, die aus dem
Variationstheorem abzuleiten ist. Wir beschränken uns auf die Beschreibung der Ausbreitungsphänomene, ohne zu sehr in die Tiefe der Theorie einzudringen.
Bild 8.2 zeigt die allgemeine Anordnung eines Richtkopplers in Aufsicht. Über die Kopplungslänge
L werden die beiden Wellenleiter in engen Kontakt gebracht, so dass die evaneszenten Felder effektiv überlappen. Ein typischer Wert für den Abstand ist s = 3 µm. Außerhalb des Kopplungsbereichs
75
KAPITEL 8. RICHTKOPPLER
76
laufen die Wellenleiter auseinander. Wenn beide Wellenleiter dieselbe Ausbreitungskonstante besitzen und Licht in einen Wellenleiter a eingekoppelt wird, geht die gesamte Lichtleistung nach der
Transferlänge Lc = π/(2κ) vollständig in den anderen Wellenleiter b über. Die Kopplungskonstante
κ nimmt gewöhnlich exponentiell mit dem Abstand s ab.
z
x
na
A0
da
y
AL
a
s
nb
B0
BL
b
L
z=0
db
z=L
Bild 8.2: Anordnung der Wellenleiter in einem Richtkoppler
8.2
Theoretisches Modell
na
ns
Dna
a
y
nb
ns
nc
ns
Dnb
b
y
s
db
da
y
Bild 8.3: Brechzahlprofil n̄c (x, y) im Koppelbereich als Überlagerung der Brechzahlprofile n̄a (x, y) und
n̄b (x, y) der ungestörten Wellenleiter. Angedeutet sind auch transversale Modenprofile in den ungestörten Wellenleitern
Wir betrachten die beiden Wellenleiter a und b im Koppelbereich. Wie in Bild 8.3 dargestellt, setzt sich
das Brechzahlprofil n̄c (x, y) additiv aus den Brechzahlprofilen der beiden Einzelwellenleiter n̄a =
n̄s + ∆n̄a (x, y) und n̄b = n̄s + ∆n̄b (x, y) zusammen. Es gilt
n̄c (x, y) = n̄s + ∆n̄c (x, y) = n̄s + ∆n̄a (x, y) + ∆n̄b (x, y) ,
(8.1)
wobei n̄s die konstante Brechzahl der Umgebung bezeichnet. Offenbar ist ∆n̄b (x, y) eine Störung für
den Wellenleiter a und ∆n̄a (x, y) eine Störung für den Wellenleiter b. Für die Ausbreitung eine Mode
m im ungestörten Wellenleiter a kann man
8.2. THEORETISCHES MODELL
77
©
ª
(a)
(a)
Em
(x, y, z) = Am u(a)
m (x, y) exp −iβm z
(a)
(8.2)
(a)
schreiben, wobei um (x, y) die normierte Modenfeldverteilung und βm die Ausbreitungskonstante
sind. Ohne Störung ist die Feldamplitude Am konstant, d.h. unabhängig von der z-Koordinate. Entsprechend gilt für den Wellenleiter b
©
ª
(b)
Eµ(b) (x, y, z) = Bµ u(b)
(x,
y)
exp
−iβ
z
.
µ
µ
(8.3)
Aufgrund der Störung durch den zweiten Wellenleiter werden sich die Ausbreitungskonstanten der
Moden in beiden Wellenleitern geringfügig ändern, denn die Moden „sehen“ ja ein verändertes Brechzahlprofil. Die Störung des Wellenleiters a, hervorgerufen durch den Wellenleiter b, wird erfasst durch
die Variation
∆εa (x, y) = 2n̄∆n̄a = n̄2c (x, y) − n̄2a (x, y)
(8.4)
der relativen Dielektrizitätskonstante. Nach dem Variationstheorem gilt für die Änderung der Ausbreitungskonstante (vergl. Gl. (6.10))
(a)
δβm
2π
=
λ0
Z∞Z
2
∆εa (x, y)|u(a)
m (x, y)| dx dy ,
(8.5)
−∞
wobei die Wichtung der Störung ∆εa (x, y) mit dem Modenintensitätsprofil maßgeblich eingeht, denn
(a)
(a)
Im (x, y) ∝ |um (x, y)|2 . Ganz entsprechend gilt für den Wellenleiter b
∆εb (x, y) = n̄2c (x, y) − n̄2b (x, y)
(8.6)
und
δβµ(b)
2π
=
λ0
Z∞Z
2
∆εb (x, y)|u(b)
µ (x, y)| dx dy .
(8.7)
−∞
Es stellt sich heraus, dass die Wechselwirkung der beiden Wellenleiter noch zu einer weiteren Korrektur der Ausbreitungskonstanten führt. Entscheidend ist dabei die Phasenabweichung der beiden
betrachteten Moden
(a)
(a)
.
− δβm
2δ = βµ(b) + δβµ(b) − βm
(8.8)
In den gestörten Wellenleitern wird demnach die Modenausbreitung mit den Ausbreitungskonstanten
(a)
(a)
(a)
β̄m
= βm
+ δβm
−δ
(8.9)
KAPITEL 8. RICHTKOPPLER
78
und
β̄µ(b) = βµ(b) + δβµ(b) + δ
(8.10)
erfolgen. Außerdem werden sich aufgrund der Wechselwirkung die komplexen Amplituden der Moden entlang der z-Achse ändern, so dass wir Am = Am (z) und Bµ = Bµ (z) mit (relativ) langsam
mit z veränderlichen Funktionen ansetzen müssen. Die Beziehungen (8.2) und (8.3) gehen durch die
Kopplung über in
ª
©
(a)
(a)
(x, y, z) = Am (z)u(a)
Em
m (x, y) exp −iβ̄m z
(8.11)
©
ª
(b)
Eµ(b) (x, y, z) = Bµ (z)u(b)
µ (x, y) exp −iβ̄µ z .
(8.12)
und
Im folgenden werden wir Differentialgleichungen für die Amplitudenverläufe der Moden Am (z) und
Bµ (z) angeben.
8.3
Differentialgleichungen für die z-Abhängigkeiten der Modenamplituden
(a)
Verantwortlich für die Wechselwirkung sind der Überlapp der Modenfeldverteilungen um (x, y) und
(b)
uµ (x, y) und die Störungsprofile ∆εa (x, y) und ∆εb (x, y). Nehmen wir an, Licht werde nur in den
Wellenleiter a eingekoppelt. Das evaneszente Feld der Mode Am regt im Wellenleiter B die Mode
Bµ an. Leistung, die dem Wellenleiter a verloren geht, taucht im Wellenleiter b auf. Ein Maß für die
Stärke des Energietransfers sind die sogenannten Koppelkoeffizienten
2π
κab =
λ0
Z∞Z
(a)∗
∆εb (x, y) · u(b)
µ (x, y) · um (x, y) dx dy
(8.13)
(b)∗
∆εa (x, y) · u(a)
m (x, y) · uµ (x, y) dx dy .
(8.14)
−∞
und
2π
κba =
λ0
Z∞Z
−∞
Außerdem hat die Phasendifferenz δ der beiden Moden einen entscheidenden Einfluss. Letztendlich
ergibt sich ein System gekoppelter Differentialgleichungen für die Amplituden Am (z) und Bµ (z). Es
resultiert ein DGL-System
8.4. AMPLITUDENVERLÄUFE IN SYMMETRISCHEN RICHTKOPPLERN
dAm (z)
− iδ · Am (z) = −iκab · Bµ (z) ,
dz
dBµ (z)
+ iδ · Bµ (z) = −iκba · Am (z)
dz
79
(8.15)
(8.16)
mit konstanten Koeffizienten. Im Falle der Phasenanpassung der beiden Moden, also δ = 0, hat man
eine einfache Interpretation. Der Koppelkoeffizient κab bestimmt die Änderung der Amplitude Am
unter der Einwirkung von Bµ , und entsprechend definiert κba das Maß der Änderung von Bµ unter
der Wirkung von Am . Die Modenleistungen in den beiden Wellenleitern sind wie gewohnt durch
Pm(a) (z) = |Am (z)|2
(8.17)
Pµ(b) (z) = |Bµ (z)|2
(8.18)
und
gegeben.
8.4 Amplitudenverläufe in symmetrischen Richtkopplern
Wenn die Wellenleiter a und b des Richtkopplers die gleiche Form besitzen, so gilt
κab = κba = κ .
(8.19)
Bei Gleichheit der Koppelkoeffizienten spricht man von symmetrischen Richtkopplern.
Wir nehmen an, dass Licht nur in einen Arm des Richtkopplers einfällt. Die Anfangsbedingung zur
Lösung des Differentialgleichungssystems (8.15), (8.16) lautet damit
Am (z = 0) = A0
,
Bµ (z = 0) = B0 = 0 ,
(8.20)
und die Lösungen selbst haben für reelles κ die Form
√
√
iδ
Am (z) = A0 cos (z κ2 + δ 2 ) + √
A0 sin (z κ2 + δ 2 ) ,
κ2 + δ 2
√
κ
Bµ (z) = −iA0 √
sin (z κ2 + δ 2 ) .
κ2 + δ 2
Dementsprechend ist die Leistung in den Richtkopplerarmen
(8.21)
(8.22)
KAPITEL 8. RICHTKOPPLER
80
√
√
|A2 |δ 2
Pm(a) (z) = |Am (z)|2 = |A0 |2 cos2 (z κ2 + δ 2 ) + 2 0 2 sin2 (z κ2 + δ 2 )
(8.23)
κ
+
δ




s
s
µ ¶2
µ ¶2
µ ¶2
δ 
1
δ 
δ
2
= |A20 | cos2 κ · z 1 +
+ |A0 |2
¡ δ ¢2 · sin κ · z 1 +
κ
κ 1+
κ
κ
2
2
√
κ |A0 |
sin2 (z κ2 + δ 2 )
κ2 + δ 2


s
µ ¶2
1
δ 
2
.
= |A0 |2 · q
¡ δ ¢2 · sin κ · z 1 + κ
1+ κ
Pµ(b) (z) = |Bµ (z)|2 =
(8.24)
Die Gesamtleistung ist konstant und unabhängig von z,
Pm(a) (z) + Pµ(b) (z) = |A0 |2 = const ,
(8.25)
d.h. der Koppler ist verlustfrei.
Bild 8.4 zeigt die z-Abhängigkeit der Modenleistungen. Offenbar erfolgt ein sinusförmiger Austausch
der Energie entlang der z-Achse. Für verschwindende Phasenabweichung δ = 0 ist der Energieaustausch vollständig.
P1(0)
P1(z)
P2(z)
0
z
0
Bild 8.4: Periodischer Leistungsaustausch zwischen den Richtkopplerarmen a und b
Die Periode des Energieaustausches, also die Koppelperiode ist
Λc = √
π
.
+ δ2
κ2
(8.26)
Die maximale Leistung im Zweig b, in den nicht eingekoppelt wurde, ist
Pµ(b)max =
κ2 |A0 |2
.
κ2 + δ 2
(8.27)
Sowohl die maximal übergekoppelte Leistung als auch die Periode des Energieaustausches werden
mit wachsender Phasenabweichung δ immer geringer.
8.5. BEISPIEL EINES RIPPENWELLENLEITERKOPPLERS
81
Von besonderem Interesse ist der Fall der verschwindenden Phasenfeldanpassung δ = 0, der in Bild
8.5 dargestellt ist.
P1(0)
P1(z)
0
P2(z)
z
0
L
Bild 8.5: Vollständiger Leistungsaustausch in phasenangepassten Richtkopplern mit δ = 0
Die Koppellänge ist
Lc =
π
.
2κ
(8.28)
Nach der halben Koppellänge z = Lc /2 = π/(4κ) wirkt der Richtkoppler als Leistungsteiler mit
|A0 |2
,
2
|A0 |2
.
Pµ(b) (z = Lc /2) =
2
Pm(a) (z = Lc /2) =
(8.29)
Wie bei einem 50 % zu 50 %–Strahlteiler gibt es eine Phasenverschiebung von 90◦ zwischen den
beiden Kanälen, die sich durch
A0
Am (z = Lc /2) = √ ,
2
−iA0
Bµ (z = Lc /2) = √
2
(8.30)
ausdrückt. Überkopplung und Leistungsteilung sind in Bild 8.6 anschaulich dargestellt.
P
P
Lc
Lc/2
P/2
P
P/2
Bild 8.6: Überkopplung bzw. Transfer für Kopplerlängen z = Lc und Leistungsteilung für Kopplerlängen
z = Lc /2
KAPITEL 8. RICHTKOPPLER
82
s = 3µm
d = 3µm
d = 3µm
Dh = 0.07µm
Oxide
h = 0.7µm
GaAs
7µm
Al0.1Ga0.9As
x
y
+
GaAs substrate
z
Bild 8.7: Querschnitt eines Rippenwellenleiter-Richtkopplers im AlGaAs-GaAs Materialsystem
8.5
Beispiel eines Rippenwellenleiterkopplers
Bild 8.7 zeigt einen Rippenwellenleiterkoppler mit einmodigen Wellenleitern im AlGaAs-GaAsMaterialsystem. Der zugehörige Brechzahl- und Feldverlauf sind in Bild 8.8 dargestellt. Die Berechnung des Koppelkoeffizienten erfolgt gemäß Formel (8.13) bzw. (8.14). Das Ergebnis ist
√ √
½
¾
p
2 2 n̄f − n̄s
s + d/2
√
κ=
exp −2π 2n̄f (n̄f − n̄s )
,
n̄f d
λ0
(8.31)
wobei die Bezeichnungen aus Bild 8.8 zu entnehmen sind. Für λ0 = 1 µm, n̄f = 3.5, s = d = 3 µm
und ∆n̄ = n̄f − n̄s = 5 · 10−3 bekommt man κ ≈ 2 cm−1 . Die Koppellänge ist damit Lc ≈ 0.8 cm.
Schwächere Führung, d.h. kleineres ∆n̄ oder kleinere Abmessungen d bzw. s führen zu kürzeren
Koppellängen.
Waveguide a
Waveguide b
n
ns
nf
y
Ex
Ef
Ex
Ef
Es
y=0
d
s
d/2
d
y
Bild 8.8: Brechzahlverlauf und Feldverteilung in einem Richtkoppler
8.6. RIPPENWELLENLEITERSCHALTER DURCH EINSTELLUNG DER PHASENFEHLANPASSUNG83
8.6 Rippenwellenleiterschalter durch Einstellung der
Phasenfehlanpassung
Wir betrachten einen angepassten (δ = 0) Richtkoppler der festen Länge Lc = π/(2κ), bei dem die
einfallende Welle vollständig übergekoppelt wird. Durch Anlegen eines elektrischen Feldes V /d lässt
sich die Phasenfeldanpassung steuern, wie in Bild 8.9 angedeutet.
V+
V-
With field
Without field
Electrodes
L
x
z
Input light
y
Bild 8.9: Elektrisch gesteuerte Richtkoppler der Länge Lc = π/(2κ) als Modulator. Über den Leitern liegen
Elektroden
Man bekommt
2δ ≈ κ0 ∆n̄eff =
2π
2π 1 3 V
∆n̄eff ≈
n̄ r ,
λ0
λ0 2
d
(8.32)
wobei wir eine Brechzahlsteuerung durch den linearen elektrooptischen Effekt angenommen haben.
Für feste Länge z = Lc = π/(2κ) ist das Leistungstransfer-Verhältnis T = Bµ (z = Lc )/Am (z = 0)
durch die in Bild 8.10 gezeichnete Funktion


 s
µ ¶2
µ ¶2
2
δ  π 2 π
δ 
= si
T = (κ · z)2 · si2 · κ · z 1 +
1+
κ
4
2
κ
 s

µ
¶2
2
π 2 π
2δLc 
=
si
1+
4
2
π

s
(8.33)
gegeben.
Die übergekoppelte Leistung nimmt mit zunehmender Phasenfeldanpassung 2δ gemäß einer si-Funktion
(= sin x/x) ab. Die erste Nullstelle dieser Funktion liegt bei
2δ =
√
3π/Lc ,
(8.34)
und für diese Verstimmung wird überhaupt keine Leistung mehr übergekoppelt. Durch Anlegen einer
entsprechenden Spannung lässt sich also das Licht von einem Arm auf den anderen umschalten. Bild
8.11 veranschaulicht schließlich schematisch, wie Fasern an den Richtkoppler angeschlossen werden
können.
KAPITEL 8. RICHTKOPPLER
84
Power transfer ratio T
1
0
0
¾
Ö3p
Phase mismatch 2dLc
Bild 8.10: Leistungstransfer-Verhältnis in Abhängigkeit der Phasenfehlanpassung 2δ bei einem Richtkoppler
der Länge Lc = π/(2κ)
P1(0)
Fibers
V
L
d
P2(L)
Bild 8.11: Ein faserintegrierter elektrooptisch gesteuerter Richtkoppler
Anhang A
Strahltransfermatrizen
Beim Durchgang eines paraxialen Lichtstrahls durch ein optisches System sind der Ort x2 und der
0
Winkel zur optischen Achse x2 (Steigung) in der ausgangsseitigen Ebene in erster Näherung linear
0
vom Ort x1 und dem Winkel x1 in der eingangsseitigen Ebene abhängig. In der paraxialen Näherung wird vorausgesetzt, dass die Strahlen stets in kleinen Winkeln zur optischen Achse verlaufen
(daher parallel axial) und die Sinus- und Tangens-Funktionen durch die linearen Terme der TaylorReihenentwicklung beschrieben werden können.
a1 » x1´ a1
a2
x1
a2 » x´2
x2
Optisches
System
Eingangsebene
Ausgangsebene
Bild A.1:
Referenzebenen eines optischen Systems mit Strahlverlauf.
0
α1 ≈ sin α1 ≈ tan α1 = x1 .
Unter der Voraussetzung x > 0 gilt:
85
ANHANG A. STRAHLTRANSFERMATRIZEN
86
0
x > 0
0
x < 0
beschreibt divergente Strahlen,
beschreibt konvergente Strahlen .
In Bild A.1 lassen sich Eingangs- und Ausgangsstrahl als Vektoren ~x1 und ~x2 mit
µ
~x1 =
x1
0
x1
¶
µ
und
~x2 =
x2
0
x2
¶
beschreiben.
Die Abhängigkeit von ~x2 und ~x1 lässt sich durch ein lineares Gleichungssystem in Matrixschreibweise
durch
µ
⇒
~x2 =M 21 ~x1 ,
beziehungsweise
x2
0
x2
¶
µ
=
A B
C D
¶µ
x1
0
x1
¶
(A.1)
⇒
darstellen. M 21 wird als Strahltransfermatrix oder ABCD-Matrix bezeichnet.
Beispiel 1: Dünne Sammellinse mit der Brennweite f
x1 = x2
x1 = x2
x1́
x2́
x1́
f
f
Bild A.2: Dünne Linse als Fokussierlinse und Kollimatorlinse.
Es gilt:
• Parallelstrahl wird Brennpunktstrahl Bild (A.2 links)
• Brennpunktstrahl wird Parallelstrahl Bild (A.2 rechts)
87
Aus Bild A.2 links erhält man
x1 = x2
0
x1 = 0
x2
x1
0
x2 = − = − .
f
f
Eingesetzt in (A.1) ergibt
µ
x2
0
x2
¶
µ
=
¶
x1
− xf1
µ
=
x1 = A x 1 + B · 0
x1
−
= C x1 + D · 0
f
¶µ
A B
C D
x1
0
¶
,
⇒
A=1
⇒
C=−
1
.
f
¶µ
¶
Aus Bild A.2 rechts folgt:
x1 = x2
x1
0
x1 =
f
0
x2 = 0 .
Einsetzen in (A.1) ergibt:
µ
x1
f
Aus
x1 = A x 1 + B
Aus
0 = C x1 + D xf1
x2
0
x2
¶
und
und
µ
=
x1
0
¶
µ
=
A = 1 folgt
C = − f1
folgt
A B
C D
x1
f
B =0.
D=1.
Die ABCD-Matrix einer dünnen Sammellinse lautet folglich
⇒
M 21 =
µ
1 0
− f1 1
x1
¶
.
.
ANHANG A. STRAHLTRANSFERMATRIZEN
88
x2´
x2
x´1
x1
d
Bild A.3: Translation um die Strecke d.
Beispiel 2: Translation um Strecke d
Für eine Translation um die Strecke d ergibt sich aus Bild A.3:
0
0
x1 = x2
0
x2 = x1 + x1 · d .
Daraus folgt das lineare Gleichungssystem
µ
0
x1 + x1 d
0
x1
¶
µ
=
A B
C D
¶µ
x1
0
x1
¶
und
A = 1,
B = d,
C = 0,
D=1.
Somit lautet die ABCD-Matrix für eine Translation um d
⇒
M 21 =
µ
1 d
0 1
¶
.
Beispiel 3: Snellius‘sches Brechungsgesetz
n1
n2
x2́
x1́
x 1 = x2
n 1 < n2
Bild A.4: Snellius‘sches Brechungsgesetz in paraxialer Näherung.
In paraxialer Näherung lautet das Snelliussche Brechungsgesetz
89
0
0
n 1 x1 = n 2 x2 ,
beziehungsweise
0
x2 =
n1 0
x .
n2 1
Mit (4) folgt:
µ
~x2 =
x2
0
x2
µ
¶
=
x1
n1 0
x
n2 1
0
x1 = A x1 + B x1
¶
µ
=
=⇒
n1 0
0
x1 = Cx1 + D x1
n2
A B
C D
¶µ
x1
0
x1
¶
,
A = 1, B = 0 ,
=⇒
C = 0, D =
n1
.
n2
Somit lautet die ABCD-Matrix für die ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien mit n1 und n2 ,
µ
⇒
M 21 =
1
0
0
n1
n2
¶
.
Allgemeine Eigenschaften der Strahltransfermatrizen
In verlustfreien Systemen gilt
µ
det
A B
C D
¶
= AD − BC =
n1
,
n2
wobei n1 und n2 den eingangs- und ausgangsseitigen Brechungsindex bezeichnen.
Komplexe optische Systeme werden beschrieben, indem man die Matrizen der einzelnen Komponenten miteinander multipliziert.
Aus
⇒
~x2 =M 21 ~x1
und
⇒
~x3 =M 32 ~x2
folgt
ANHANG A. STRAHLTRANSFERMATRIZEN
90
³⇒
´
⇒
~x3 = M 32 M 21 ~x1
⇒
= M 31 ~x1 ,
mit
⇒
⇒
⇒
M 31 =M 32 M 21 .
Die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation von rechts nach links entspricht der Reihenfolge des
Strahldurchgangs in Ausbreitungsrichtung.
Anhang B
Zu 3.5: Transmission durch eine dünne Linse
z1
θ0
w0
z2
w
R
θ0
w´0
w´
R´
z0
θ´0
z´0
z
z´
Bild B.1: Gauß-Strahl durch Linse
Der Gaußstrahl
½
¾
½
¾
½
¾
w0
ρ2
ρ2
z
E(~r) = A0
exp − 2
exp −ik
exp −ikz + i arctan
w(z)
w (z)
2R(z)
z0
tritt an der Stelle z = z1 durch eine dünne Linse mit Transmission
½
¾
ρ2
t(x, y) = exp +ik
,
2f
so dass das Feld hinter der Linse (z > z1 )
½
¾
¾
½
¶¾
½
µ
ρ2
1
w0
z
1
2
exp − 2
−
E(~r) = A0
exp −ikρ
exp −ikz + i arctan
w(z)
w (z)
2R(z) 2f
z0
lautet. Das neue Feld ist wieder Gaußförmig und wird durch
E(~r) =
A00
½
¾
½
¾
w00
ρ2
ρ2
exp − 0 2 0 exp −ik 0 0 exp {−ikz 0 + iφ0 }
w0 (z 0 )
2R (z )
w (z )
91
(B.1)
ANHANG B. TRANSMISSION DURCH EINE DÜNNE LINSE
92
beschrieben, wobei
z 0 = z − z1 − z2
µ
µ 0 ¶¶2
z
02
02
w = w0 1 +
z00
λz00
2
w00 =
πÃ
µ 0 ¶2 !
z
R0 = z 0 1 +
z00
φ0 = k(z1 + z2 ) + arctan
z
z0
gesetzt wurde. Hier ist z2 der Abstand der neuen Strahltaille hinter der Linse. Aus dem Vergleich der
Gaußglocken resultiert direkt
w(z) = w0 (z 0 )
.
Ein Vergleich mit der geometrischen Optik (Strahlenoptik) führt auf den Ansatz, dass sich der Taillenradius um den Faktor
w00 = M w0
vergrößert, woraus direkt folgt, dass sich die Rayleigh-Länge und damit die Fokustiefe um
z00 = M 2 z0
vergrößert. Der Taillenort z2 und die Vergrößerung M (von engl. Magnification) sind noch zu bestimmen. Relativ einfach lässt sich das durch einen Vergleich der Felder in der alternativen Schreibweise
½
µ
¶¾
1
kρ2
1
1
E(~r) = A1
exp −i
−
exp {−ikz}
z + iz0
2
z + iz0 f
½
¶¾
µ
1
kρ2
1
0
exp −i
exp {−i(k(z 0 + z1 + z2 ))}
= A1 0
0
0
0
z + iz0
2
z + iz0
erreichen. Es werden wieder die Gauß-Funktionen betrachtet. Sie müssen direkt hinter der Linse
(z = z1 , z 0 = −z2 ) denselben Wert annehmen:
1
1
1
=
−
0
−z2 + iz0
z1 + iz0 f
1
f − z1 − iz0
1
(f − z1 )2 + z02
=
=
−z2 + iM 2 z0
(z1 + iz0 )f
f (z1 + iz0 )(f − z1 + iz0 )
1
(z1 − f )2 + z02
.
=
f z1 (f − z1 ) − z02 + iz0 (z1 + f − z1 )
93
Aus dem direkten Vergleich der Imaginärteile resultiert
M2 =
f2
(z1 − f )2 + z02
.
In der Strahlenoptik (Index r = ray optics) ist die Vergrößerung durch
¯
¯
¯
¯
f
¯
Mr = ¯¯
(z1 − f ) ¯
gegeben. Mit dem Korrekturfaktor r̄
r̄ =
z0
z1 − f
lässt sich die Vergrößerung der Strahltaille als Funktion der geometrischen Vergrößerung durch
M = Mr √
1
1 + r̄2
darstellen. Der Taillenort resultiert aus dem Vergleich der Realteile:
−z2
z2
z1 (f − z1 ) − z02
z02 + z1 (z1 − f )
= f
= −f 2
(z1 − f )2 + z02
z0 + (z1 − f )2
¶
µ
f 2 (z1 − f )
(z1 − f )(z1 − (z1 − f ))
=
f
+
= f + M 2 (z1 − f )
= f 1+
z02 + (z1 − f )2
z02 + (z1 − f )2
woraus die auch in der Strahlenoptik gültige Darstellung für den Taillenort
z2 − f = M 2 (z1 − f )
folgt.
94
ANHANG B. TRANSMISSION DURCH EINE DÜNNE LINSE
Anhang C
Mach-Zehnder-Interferometer
In C.1 ist der Aufbau eines Mach-Zehnder-Interferometers dargestellt. An einem ersten teildurchlässigen Spiegel wird die einfallende Welle aufgeteilt. Nach Umlenkung der beiden Teilwellen werden
sie am zweiten teilduchlässigen Spiegel wieder vereint.
E1
Ein
∆ϕ
E2
Eout1
Eout2
Bild C.1: Geometrie eines Mach-Zehnder-Interferometers
Zur Berechnung sei hier angenommen, dass die beiden Umlenkspiegel eine Reflektivität von 100%
aufweisen. Das Aufteilen der Wellen an den teilduchlässigen Spiegeln sei jeweils ebenfalls verlustlos
mit einem Teilungsverhältnis A1 /B1 bzw. A2 /B2 . Die Energieerhaltung erfordert, dass die Reflexion
und Transmission der Felder mit
r
1
Et = a
(i + 1)E
2
r
1
(i − 1)E
Er = b
2
√
√
mit a = + A und b = + B erfolgt. Auffällig ist die Phasenverschiebung von 90◦ zwischen dem
transmittierten und reflektierten Anteil, wie sie z.B. bei symmetrischen Kopplern an den beiden Ausgängen zu finden ist. Diese Phasenverschiebung ist nicht zu finden, wenn nur die Reflexion an einer
Grenzfläche zwischen zwei Medien betrachtet wird! Hier gilt also
95
ANHANG C. MACH-ZEHNDER-INTERFEROMETER
96
r
A1
(i + 1)Ein
r 2
B1
=
(i − 1)Ein
2
E1 =
E2
.
Nach der Umlenkung werden beide Strahlen wieder miteinander vereint. Ein eventueller Wegunterschied, der auch durch Modulation erzeugt werden kann, ist im Bild in dem Block mit ∆ϕ erfasst.
Die beiden Ausgänge enthalten dann die Felder
r
Eout1 =
=
Eout2 =
=
r
r r
A 1 B2
B1 A 2
(i + 1)(i − 1)Ein exp{i∆ϕ} +
(i − 1)(i + 1)Ein
2
2
2
2
´
³p
p
−
A1 B2 exp{i∆ϕ} + A2 B1 Ein
r r
r r
A1 A2
B1 B2
(i + 1)(i + 1)Ein exp{i∆ϕ} +
(i − 1)(i − 1)Ein
2
2
2
2
´
³p
p
A1 A2 exp{i∆ϕ} − B1 B2 Ein ,
i
die um 90◦ gegeneinander phasenverschoben sind. Die Intensität in den beiden Ausgängen ist proportional zum Quadrat des Betrags der Felder, also
Iout1 = A1 B2 + B1 A2 + 2
Iout2
p
A1 A2 B1 B2 cos{∆ϕ}Iin
p
= A1 A2 + B1 B2 − 2 A1 A2 B1 B2 cos{∆ϕ}Iin
.
Während die Leistung in einem Ausgang mit Änderung der Phasenverschiebung ansteigt, fällt sie im
gleichen Maß im anderen Ausgang. Bei einem 1 : 1-Teilungsverhältnis der beiden teildurchlässigen
Spiegel ist A1 = A2 = B1 = B2 = 0.5 und es resultiert
1
(1 + cos{∆ϕ}) Iin = cos2 {∆ϕ/2}Iin
2
1
=
(1 − cos{∆ϕ}) Iin = sin2 {∆ϕ/2}Iin .
2
Iout1 =
Iout2
Anhang D
Bestimmung des Reflexions- und
Transmissionsfaktors eines Strahlteilers
Bei dem im vorigen Kapitel C vorgestellten Mach-Zehnder Interferometer
wurden die Reflexionsq
q
R
T
und Transmissionsfaktoren der verwendeten Strahlteiler mit r =
(1 + i) und t =
(1 −
2
2
i) angegeben. Es stellt sich natürlich die Frage, warum r und t bei beliebigem Teilungsverhältnis
so zu wählen sind. Die Antwort ergibt sich, wenn ein Mach-Zehnder-Interferometer mit gleichen
Strahlteilern aber beliebigen Teilungsverhältnis betrachtet wird. Im verlustlosen Fall muss gelten,
dass die Gesamtleistung an beiden Ausgängen gleich der Eingangsleistung ist, also mit P ∝ |E|2
|rt + r · t · exp{iϕ}|2 + |r2 + t2 exp{iϕ}|2 = 1 ,
(D.1)
wobei ϕ die Phasenverschiebung zwischen den beiden Interferometerarmen bedeutet und |r|2 + |t|2 =
1 zu beachten ist. Aufgelöst resultiert
1 = |r|2 |t|2 (2 + exp{iϕ} + exp{−iϕ}) + r2 r∗2 + t2 t∗2 + r2 t∗2 exp{−iϕ} + r∗2 t2 exp{iϕ}
¡
¢
¡
¢
= |r|4 + 2|r|2 |t|2 + |t|4 + |r|2 |t|2 + r∗2 t2 exp{iϕ} + |r|2 |t|2 + r2 t∗2 exp{−iϕ}
= (|r|2 + |t2 |)2 + (r∗ t)(rt∗ + r∗ t) exp{iϕ} + (rt∗ )(r∗ t + rt∗ ) exp{−iϕ} .
(D.2)
Demnach ist
!
(r∗ t)(rt∗ + r∗ t) exp{iϕ} + (rt∗ )(r∗ t + rt∗ ) exp{−iϕ} = 0
zu erfüllen. Für beliebige ϕ es ergeben sich zwei Möglichkeiten:
a)
0 = r∗ t
b)
0 = r∗ t + rt∗ = 2 Re{rt∗ }
und
0 = rt∗ = (r∗ t)∗
, also
Re{r · t∗ } = 0.
Möglichkeit a) ist nur erfüllbar für r = 0 oder t = 0, was aber nicht der allgemeine Fall wäre. Die
zweite Möglichkeit muss genauer untersucht werden. Sei
r = a(1 + ib)
t = c(1 + id).
Dann ist r · t∗ = a · c(1 + bd) + i(b − d) und weiter
97
98 ANHANG D. REFLEXIONS- UND TRANSMISSIONSFAKTORS EINES STRAHLTEILERS
1 + bd = 0
⇒
d=−
1
b
1
(oder b = − ) .
d
Nach Einsetzen resultiert
µ
¶
1
c
t=c 1−i
= (b − i) .
b
b
r = a(1 + ib) ;
Hier müssen noch die Konstanten a, b und c bestimmt werden. Aus dem bekannten Teilungsverhältnis
R : T mit R + T = 1 lassen sich Ausdrücke für a und c gewinnen. Wegen
2
2
2
R = |r| = a (1 + b ) ;
lässt sich für a =
√
√ R
1+b2
und für c =
√
√ Tb
1+b2
2
T = |t| =
³ c ´2
b
(b2 + 1)
schreiben.
Somit ist
√
√
1 + ib
R√
= R · exp{iϕref }
1 + b2
√
√
b−i
t =
T√
= T · exp{iϕtr }
1 + b2
r =
(D.3)
mit frei wählbarem Wert von b, der die Phasenverschiebung zwischen reflektierter bzw. transmittierter
und einfallender Welle bestimmt. Das obige Ergebnis wurde unter Verwendung von d = −1/b hergeleitet. Wäre statt dessen b = −1/d verwendet worden, hätten sich die selben Darstellungen ergeben,
nur dass die Brüche für r und t tauschen. Die Phasenverschiebung
µ
¶
1
tan{ϕref } = b = −
d
n
1
1
πo
tan{ϕtr } = − (= d) = ±
= tan ϕref ±
b
tan{ϕref }
2
(D.4)
zwischen transmittierter und reflektierter Welle ist immer ±90◦ . Entsprechend kann an Stelle der
obigen Darstellung auch die Schreibweise
r
R
(1 ± i) exp{iϕ0 }
r2
T
t =
(1 ∓ i) exp{iϕ0 }
2
r =
gewählt werden, die bis auf die Phasenverschiebung ϕ0 schon bisher Verwendung fand.