Lösung 5 - hsrm

Prof. Dr. C. Becker
Übungen zur Vorlesung
Stochastik II
Lösungshinweise zu Blatt 5
Aufgabe 1
a) Sei Xk die Zufallsvariable, die den Tod des k-ten Vogels beschreibt. Die Xk
P
sind Bernoulli-verteilt, und mit Mn = n1 nk=1 Xk gilt
n
1
1X
·
V
(
Xk )
ε2
n k=1
1 1
= 2 · 2 · np(1 − p)
ε n
1
≤
4nε2
P (|Mn − p| ≥ ε) ≤
Die letzte Ungleichung ergibt sich aus p(1 − p) ≤ 41 . Bei einer Abweichung von
1
0.05 und einem Konfidenzniveau von 95% muß gelten 4n(0.05)
2 ≤ 1 − 0.95, hieraus
ergibt sich n ≥ 2000.
b) Bei der Approximation durch die Normalverteilung ist das Konfidenzintervall
für die Wahrscheinlichkeit p
"
1
1
Mn − z α2 √ , Mn + z α2 √
2 n
2 n
#
.
Also gilt z α2 2√1 n ≤ ε mit ε = 0.05 und z α2 = 1.96. Daraus ergibt sich n ≥ 384.16,
gerundet n ≥ 385.
Aufgabe 2
Das approximative Konfidenzintervall ist
"
1
1
Mn − z α2 √ , Mn + z α2 √
2 n
2 n
Mit n = 1266 und z α2 = 1.96 für 95% Konfidenz ist
toleranz liegt bei 2.75% bei 95% Konfidenz.
#
.
1.96
√
2 1266
= 0.0275. Die Fehler-
Aufgabe 3
a) Der Experimentator wird als Konfidenzintervall zum Irrtumsniveau α angeben
h
σ
σ i
Mn − z α2 √ , Mn + z α2 √
n
n
mit Mn =
1
n
Pn
k=1
Xk .
b) Tatsächlich ist bei unbekannter Varianz aber
Sn
Sn i
Mn − tn−1, α2 √ , Mn + tn−1, α2 √
n
n
h
richtig. Gibt der Experimentator ein Intervall der Form [Mn − a, Mn + a]
der Länge 2a an, so läßt sich das wahre Irrtumsniveau aus der Gleichung
Sn
tn−1, α2 · √ = a
n
bei gegebenem Sn bestimmen.
Aufgabe 4
Die unverschobene Exponentialverteilung mit der Dichte x 7→ e−x für x ≥ 0 hat
Erwartungswert 1. Daher hat die um ϑ verschobene Exponentialverteilung den
Erwartungswert 1 + ϑ (wegen E(X + ϑ) = E(X) + ϑ).
Die unverschobene Exponentialverteilung hat Varianz 1. Wegen V (X + ϑ) =
V (X) hat die um ϑ verschobene Exponentialverteilung ebenfalls Varianz 1.
Der Schätzer
n
1X
ĝ(X1 , . . . , Xn ) =
(Xk − 1)
n k=1
hat Erwartungswert ϑ. Aus der Tschebyscheffschen Ungleichung folgt
n
n
1X
1
1X
1
1
(Xk − 1) − ϑ| ≥ ε) ≤ 2 V (
(Xk − 1)) = 2 2 · n · V (X1 − 1) = 2 .
P (|
n k=1
ε
n k=1
εn
nε
Also ist
n
h1 X
n
i
1X
(Xk − 1) − ε,
(Xk − 1) + ε
n k=1
n k=1
ein Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 −
1
nε2
.