Ubungsblatt 3 zur Theoretischen Physik I: Mechanik α2 α1 v1 v2

Übungsblatt 3 zur Theoretischen Physik I: Mechanik
24.4.14
Prof. N. Kaiser, Dr. M. Altenbuchinger
1. Ein Teilchen der Masse m bewege sich entlang einer Geraden und es wirke die Rückstellkraft
F (x) = −D x − α x3 ,
D, α > 0 .
Wie lautet das zugehörige eindimensionale Potential U(x)?
Berechnen Sie die Periode T der Schwingung für den leicht anharmonischen Fall (αE ≪ D 2 ,
wobei E > 0 die Energie ist). Hinweis: Verwenden Sie die Substitution sin2 φ = U(x)/E
und drücken Sie x und dx in Abhängigkeit von φ bis zur ersten Ordnung in α aus.
2. Ein Teilchen der Masse m bewege sich im (eindimensionalen) Morsepotential
U(x) = A(e−2bx − 2e−bx ) ,
wobei A, b > 0 positive Konstanten sind.
Bestimmen Sie die Werte von U(x) für x → ±∞, sowie die Lage x0 und die Tiefe U(x0 )
seines Minimums. Entwickeln Sie U(x) in eine Taylorreihe um x = x0 bis zum quadratischen
Glied und vergleichen Sie mit dem harmonischen Oszillatorpotential Uho (x) = mω02 x2 /2.
Bestimmen Sie die Umkehrpunkte für die Bewegung in den drei Fällen E < 0, E = 0 und
E > 0, wobei E die Gesamtenergie des Teilchens ist. Wodurch ist E nach unten beschränkt?
Bestimmen Sie die Zeit t(x) durch Integration des Energieerhaltungssatzes und daraus x(t),
wobei x(0) = x1 < 0 der linke Umkehrpunkt sein soll. Unterscheiden Sie hierbei wiederum
die drei Fälle. Hinweis: Für E 6= 0 können Sie die Substitution z = ebx + A/E verwenden.
Berechnen Sie für E < 0 die Schwingungsdauer T und vergleichen Sie mit der Schwingungsdauer Tho = 2π/ω0 in harmonischer (quadratischer) Näherung.
3. Ein harmonischer Oszillator mit der Eigenfrequenz ω besitze keine Dämpfung und werde mit
einer periodischen, äusseren Kraft Fext = mf0 cos ωt der selben Frequenz ω erregt. Zeigen
Sie, dass die Auslenkung x(t) des Oszillators als Funktion der Zeit gemäß der Gleichung
x(t) = x0 cos ωt +
v0
f0
sin ωt +
t sin ωt ,
ω
2ω
anwächst. Wie lautet die Lösung der Bewegungsgleichung zu den Anfangsbedingungen
x(0) = x0 und ẋ(0) = v0 , wenn die äussere Kraft die Form Fext = mf0 sin ωt hat?
4. Ein Massenpunkt m bewegt sich in der xy-Ebene in einem stückweise konstanten Potential
U1 , x < 0
U(x) =
.
U2 , x > 0
Beim Übergang vom Gebiet x < 0, in dem der Massenpunkt die Geschwindigkeit ~v1 =
v1 (cos α1 , sin α1 ) besitzt, in das Gebiet x > 0 ändert er seine Geschwindigkeit zu ~v2 .
Drücken Sie die Differenz U2 − U1 durch v1 , α1 und α2 aus. In welcher Beziehung stehen
die Winkel α1 und α2 zueinander, falls U1 < U2 oder U1 > U2 gilt? Hinweis: Man stelle
den Energiesatz auf und zeige, dass eine Impulskomponente beim Übergang von x < 0 nach
x > 0 unverändert bleibt.
y
~v2
α2
α1
~v1
x