maTheTest Stochastik
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maTheTest Stochastik Test: TW16A Name: Inhalt: Bedingte Wahrscheinlichkeiten; Binomische Versuche 1. In einer Gemeinde sind 65% aller Einwohner weiblich. 14% der Frauen und 12% der Männer sind älter als 65 jährig. Aus der Gemeinde wird nun zufällig eine Person ausgewählt. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein über 65-jähriger Mann ausgewählt wird b. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine weibliche Person gewählt wurde, wenn man weiss, dass diese jünger als 65-jährig ist c. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine über 65-jährige Person gewählt wurde, wenn man weiss, dass ein Mann ausgewählt worden ist ? 2. Eine Statistik behauptet, dass in der Schweiz 5% der Bevölkerung farbenblind sei. Zum Überprüfen dieser Aussage werden zufällig 100 Personen auf Farbenblindheit getestet. Man glaubt dieser Behauptung, wenn weniger als 9 Testpersonen farbenblind sind. a. mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man diese Behauptung nicht akzeptieren, obwohl sie stimmt (Irrtumswahrscheinlichkeit) ? b. In Wirklichkeit sind 8% farbenblind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man bei obiger Testanordnung die Behauptung trotzdem akzeptieren ? 3. Ein Roulette-Spiel besteht aus 37 Zahlenfeldern: Zahlen 1 – 36 und die Zahl 0 (Zéro). Die Kugel rollt zufällig in eines dieser 37 Felder. a. Der Spieler A setzt in 10 Spielen jeweils auf seine Lieblingszahl 17. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird diese Zahl in 10 Spielen mindestens einmal getroffen ? b. Der Spieler B setzt in 20 Spielen immer auf seine Lieblingsfarbe ‚rot‘ (die Zahlenfelder 1-36 sind abwechslungsweise rot und schwarz gefärbt, die ‚Zéro‘ hat keine Farbe). Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er in diesen 20 Spielen mehr gewinnen als verlieren ? c. Der Spieler C setzt immer auf ‚Carrè’, d.h. er setzt auf 4 bestimmte Zahlen aus 1 – 36 (die ,Zéro’ ist keine Carrézahl). Wie oft mal muss er spielen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens zweimal zu gewinnen ? 4. 15% aller Schüler des Gymnasiums haben das Freifach 'Theater‘ gewählt und 7% aller Schüler haben das Freifach 'Orchester‘ gewählt. 82% aller Schüler besuchen weder 'Theater' noch 'Orchester'. Man wählt zufällig einen Schüler aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler a. mindestens eines der beiden Freifächer belegt b. das Freifach ‚Theater‘ belegt, wenn bekannt ist, dass dieser Schüler das Freifach ‚Orchester‘ belegt hat ? 5. In einer Schachtel liegen 4 Spielwürfel. Einer davon ist gefälscht und hat eine weitere 6 anstelle der 1. Es wird zufällig ein Spielwürfel gewählt und anschliessend dreimal damit gewürfelt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit a. mindestens einmal eine 6 zu würfeln ? b. dass der gefälschte Würfel gewählt wurde, wenn bekannt ist, dass dreimal eine 6 gewürfelt wurde ? 6. Die Tramlinie zwischen den Haltestellen A und B ist ein Eldorado für jugendliche Schwarzfahrer, von denen 40% Schüler und 60% Lehrlinge sind. Die Verkehrsbetriebe setzen zwei Kontrolleure ein, die die jugendlichen Fahrgäste nacheinander kontrollieren. Der 1. Kontrolleur entdeckt 40% der Schüler und 60% der Lehrlinge und der 2. Kontrolleur entdeckt jeweils 50% der Schwarzfahrer, welche vom 1. Kontrolleur nicht erwischt wurden. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein jugendlicher Fahrgast erwischt wird b. Man weiss, dass ein jugendlicher Fahrgast erwischt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um einen Lehrling ? maTheTest Stochastik Test: TW16B Name: Inhalt: Bedingte Wahrscheinlichkeiten; Binomische Versuche 1. Eine Statistik behauptet, dass in der Schweiz 4% der Bevölkerung farbenblind sei. Zum Überprüfen dieser Aussage werden zufällig 80 Personen auf Farbenblindheit getestet. Man glaubt dieser Behauptung, wenn weniger als 7 Testpersonen farbenblind sind. a. mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man diese Behauptung nicht akzeptieren, obwohl sie stimmt (Irrtumswahrscheinlichkeit) ? b. In Wirklichkeit sind 7% farbenblind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird man bei obiger Testanordnung die Behauptung trotzdem akzeptieren ? 2. 18% aller Schüler des Gymnasiums haben das Freifach 'Theater‘ gewählt und 10% aller Schüler haben das Freifach 'Orchester‘ gewählt. 78% aller Schüler besuchen weder 'Theater' noch 'Orchester'. Man wählt zufällig einen Schüler aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schüler a. höchstens eines der beiden Freifächer belegt b. das Freifach ‚Orchester‘ belegt, wenn bekannt ist, dass dieser Schüler das Freifach ‚Theater‘ belegt hat ? 3. In einer Schachtel liegen 3 Spielwürfel. Einer davon ist gefälscht und hat eine weitere 6 anstelle der 5. Es wird zufällig ein Spielwürfel gewählt und anschliessend dreimal damit gewürfelt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit a. genau einmal eine 6 zu würfeln ? b. dass der gefälschte Würfel gewählt wurde, wenn bekannt ist, dass alle drei Würfe eine 6 ergeben haben ? 4. In einer Gemeinde sind 55% aller Einwohner weiblich. 15% der Frauen und 11% der Männer sind älter als 65 jährig. Aus der Gemeinde wird nun zufällig eine Person ausgewählt. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine über 65-jährige Frau ausgewählt wird b. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine über 65-jährige Person gewählt wurde, wenn man weiss, dass eine Frau ausgewählt worden ist b. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine männliche Person gewählt wurde, wenn man weiss, dass diese jünger als 65-jährig ist ? 5. Die Tramlinie zwischen den Haltestellen A und B ist ein Eldorado für jugendliche Schwarzfahrer, von denen 30% Schüler und 70% Lehrlinge sind. Die Verkehrsbetriebe setzen zwei Kontrolleure ein, die die jugendlichen Fahrgäste nacheinander kontrollieren. Der 1. Kontrolleur entdeckt 40% der Schüler und 60% der Lehrlinge und der 2. Kontrolleur entdeckt jeweils 50% der Schwarzfahrer, welche vom 1. Kontrolleur nicht erwischt wurden. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein jugendlicher Fahrgast erwischt wird b. Man weiss, dass ein jugendlicher Fahrgast erwischt wurde. Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich dabei um einen Schüler ? 6. Ein Roulette-Spiel besteht aus 37 Zahlenfeldern: Zahlen 1 – 36 und die Zahl 0 (Zéro). Die Kugel rollt zufällig in eines dieser 37 Felder. a. Der Spieler A setzt in 12 Spielen jeweils auf seine Lieblingszahl 13. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird diese Zahl in 12 Spielen mindestens einmal getroffen ? b. Der Spieler B setzt in 30 Spielen immer auf seine Lieblingsfarbe ‚rot‘ (die Zahlenfelder 1-36 sind abwechslungsweise rot und schwarz gefärbt, die ‚Zéro‘ hat keine Farbe). Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er in diesen 30 Spielen mehr gewinnen als verlieren ? c. Der Spieler C setzt immer auf ‚Carrè’, d.h. er setzt auf eine Vierergruppe von Zahlen aus 1 – 36 (die ,Zéro’ ist keine Carrézahl). Wie oft mal muss er spielen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% mindestens zweimal zu gewinnen ? maTheTest Stochastik Lösungen TW16A 1. 2 Baumdiagramm a. w = 0.35 · 0.12 = 0.042 b. w(f/<65) = c. w(>65/m) = 0.12 (direkt aus Baumdiagramm) 0.65 0.86 0.65 0.86 + 0.35 0.88 Binomischer Versuch 100 ! 100 $ a. w = '# & 0.05 t % ti= 9 " ( 8 b. 3. w = ! 100 $ & 0.08 t % i= 0 ( ' #" a. ! 36 $ w = 1 - # & " 37 % b. w = c. 100 ( t ) (0.92) = 0.59 = 0.24 t ! $ ! 18 $ ! 19 $ ' #" 20t &% #" 37 &% #" 37 &% t=11 t ! $ ! 4 $ ! 33 $ 1 - '# x & # & # & t=0 " t % " 37 % " 37 % 20(t = 0.37 x(t ≥ 0.90 x = 34.5 35 mal Tabelle a. w = 0.18 b. w = 4 = 0.57 7 Baumdiagramm 1 a. w = 1 4 b. 6. t = 0.063 (6.3 % Irrtum) 10 1 5. 100 ( t ) (0.95) Binomischer Versuch 20 4. t = 0.64 ( 3 " 4% 1 !$ ' ( 3! 4 # 6& " 5% !$ ' # 6& 1 4 " 2% !$ ' # 6& ) w f / 3mal6 = 1 4 3 " 2% 3 !$ ' + 4 # 6& 3 = 0.49 3 " 1% !$ ' # 6& 3 = 8 11 Baumdiagramm a. w = 0.76 b. w(L / erw) = 0.6 0.6 + 0.6 0.4 0.5 0.76 = 0.63 = 0.73 maTheTest Stochastik Lösungen TW16B 80 1. a. w = b. ' #" ! 80 $ & 0.04 t % i= 7 6 2. ! 80 $ & 0.07 t % i= 0 ( 6. t 80 ( t ) (0.92) = 0.041 (4.1 % Irrtum) = 0.67 b. w= 6 1 = 0.33 = 18 3 Baumdiagramm b. 5. 80 ( t w = 0.94 a. w = 3 ! 4. t ) (0.96) Tabelle a. 3. ( ' #" 2 1 5 5 1 2 4 4 ! ! ! +3! ! ! ! 3 6 6 6 3 6 6 6 ( ) w f / 3mal6 = 1 3 1 3 " 2% !$ ' # 6& = 0.38 3 3 " 2% 1 !$ ' + 2! 3 # 6& " 1% !$ ' # 6& 3 = 4 = 0.80 5 Baumdiagramm a. w = 0.55 • 0.15 = 0.083 c. w(m / <65) = 0.46 b. w(>65 / f) = 0.15 (direkt aus Baumdiagramm) Baumdiagramm a. w = 0.77 b. w(S / erw) = 0.3 ! 0.4 + 0.3 ! 0.6 ! 0.5 = 0.27 0.77 Binomischer Versuch: a. ! 36 $ w = 1- # & " 37 % 12 = 0.28 t 30 b. ! $ ! 18 $ ! 19 $ ' #" 30t &% #" 37 &% #" 37 &% t=16 w = 1 c. t ! $ ! 4 $ ! 33 $ 1 - '# x & # & # & t=0 " t % " 37 % " 37 % 30(t = 0.37 x(t ≥ 0.90 x = 34.5 35 mal
