Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen
Problem: x2 + 1 = 0 ist in R nicht lösbar.
Zur Geschichte: Cardano (1501-1576): Auflösung√quadratischer und kubischer Gleichungen. Empfehlung: Rechne z.B. mit −1 wie mit gewöhnlichen Zahlen.
Descartes (1637): Einführung sogenannter imaginärer (eingebildeter) Zahlen.
Euler (1777) führte das Symbol i :=
√
−1 mit i2 = −1 ein.
Gauss (1831) stellte eine strenge Theorie zur Begründung der komplexen
Zahlen auf.
Definition 1. (Komplexe Zahlen) Die Menge
C := {(x, y) | (x, y) geordnetes Paar ∧ x, y ∈ R}
mit den Eigenschaften (”=” und den Operationen ”+” und ”·”)
(1)
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 )
⇔
x1 = x 2 ∧ y 1 = y 2
(2)
(x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
(3)
(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 )
heißt Menge der komplexe Zahlen.
Die Operationen ”+” und ”·” erfüllen die Körperaxiome:
(K1)
a + b = b + a,
a · b = b · a (Komm.-Ges.)
(K2)
a + (b + c) = (a + b) + c, a · (b · c) = (a · b) · c (Assoz.-Ges.)
(K3)
a · (b + c) = a · b + a · c (Distrib.-Ges.)
(K4) Existenz neutraler Elemente: Es existieren eine Zahl 0 und eine
Zahl 1 (1 6= 0), so daß für jedes Element a gilt: a+0 = a und a·1 = a.
(K5) Existenz inverser Elemente: Zu jedem a existiert ein −a mit a +
(−a) = 0 und für jedes a (a 6= 0) existiert ein a−1 mit a · a−1 = 1.
1
Algebraische (bzw. kartesische) Darstellung: Unter einer komplexen
Zahl z versteht man ein Symbol der Form
z := x + iy
(1)
wobei x und y reelle Zahlen sind. Die reellen Zahlen entsprechen dem Spezialfall y = 0. (Begründung der Darstellung (1) erfolgte in der Vorlesung.)
Bezeichnungen:
x := Re z (Realteil), y := Im z (Imaginärteil),
z := i · y, y ∈ R (rein imaginäre Zahl).
z = x + iy, z := x − iy (konjugiert
komplexe Zahl zu z).
p
z · z = |z|2 = x2 + y 2 , |z| = x2 + y 2 (Betrag von z).
Mittels Polarkoordinaten (x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r ≥ 0, ϕ ∈ [0, 2π]) leitet
man aus (1) die so genannte trigonometrische Darstellung
z = r(cos ϕ + i · sin ϕ)
(2)
ab.
Euler entdeckte die für alle reellen Zahlen x und y gültige grundlegende
Formel
ex+iy = ex (cos y + i · sin y) .
(3)
(Stellt den Zusammenhang zwischen Exp.-Fkt. und trigonometrischen Funktionen dar.)
Unter Verwendung von eiy = cos y + i · sin y und Formel (2) folgt die exponentielle Darstellung
z = r · eiϕ .
(4)
Mit der Darstellung eiϕ = cos ϕ + i · sin ϕ können die folgende Eigenschaften
bewiesen werden. (Die Beziehungen gelten für alle ϕ ∈ [0, 2π].)
1. ei(ϕ+2kπ) = eiϕ , ∀ k ∈ Z, (2π-Periodizität)
2. |eiϕ | = 1,
3. ei(ϕ1 +ϕ2 ) = eiϕ1 · eiϕ2 ,
4. [eiϕ ]n = einϕ ⇔ (cos ϕ + i · sin ϕ)n = cos(nϕ) + i · sin(nϕ),
5. [eiϕ ]−1 = e−iϕ .
2
Multiplikation komplexer Zahlen
Gegeben sind zk := rk (cos ϕk + i · sin ϕk ) in trigonometrischer und
zk := rk · eiϕk (k = 1, 2) in exponentieller Darstellung. Gesucht ist z1 · z2 .
z1 · z2 = r1 (cos ϕ1 + i · sin ϕ1 ) · r2 (cos ϕ2 + i · sin ϕ2 )
= r1 · r2 [cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2
+ i(cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 )]
(∗)
= r1 · r2 [cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i · sin(ϕ1 + ϕ2 )] .
(*): Verwendet werden die Additionstheoreme:
cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 = cos(ϕ1 + ϕ2 ) ,
cos ϕ1 sin ϕ2 + cos ϕ2 sin ϕ1 = sin(ϕ1 + ϕ2 ) .
Mit Formel (4) gewinnt man (leicht) die Darstellung der Multiplikation von
z1 mit z2 in exponentieller Form:
¡
¢
z1 · z2 = r1 · eiϕ¡1 · r2 · eiϕ¢2 = r1 · r2 eiϕ1 · eiϕ2
= r1 · r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) .
Geometrische Konstruktion von z1 · z2
z1 · z2
r
z2
r2
ϕ1 ϕ2
0
z1
r1
ϕ1
1
Abbildung 1: Geometrisches Multiplizieren zweier komplexer Zahlen
Die Dreiecke 4(0, 1, z1 ) und 4(0, z2 , z1 · z2 ) sind ähnliche Dreiecke. Nach
dem Ähnlichkeitssatz gilt:
1
r2
=
r
r1
⇒
r = r1 · r2 .
Damit ist der Betrag von z1 ·z2 bestimmt, die Richtung ergibt sich aus ϕ1 +ϕ2 .
I Merkregel: Zwei komplexe Zahlen z1 , z2 werden multipliziert, indem Ihre
Argumente ϕ1 , ϕ2 addiert und ihre Beträge r1 , r2 multipliziert werden.
3
Wurzelziehen aus einer komplexen Zahl
Für eine natürliche Zahl n suchen wir komplexe Zahlen
z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ ,
r ≥ 0 , ϕ ∈ [0, 2π) ,
die die Potenzgleichung z n = w für ein gegebenes w in der trigonometrischen
bzw. exponentiellen Form
w = ρ (cos ψ + i sin ψ) = ρeiψ , ρ ≥ 0, ψ ∈ [0, 2π)
erfüllen (M.a.W.: Ziehen der n-ten Wurzel aus der komplexen Zahl w). Wegen
der Periodizität der trigonometrischen Funktionen für reelle Argumente ψ
erhalten wir
rn einϕ = ρei(ψ+2kπ) = ρ (cos (ψ + 2kπ) + i sin (ψ + 2kπ)) ,
k = 0, ±1, ±2, . . . .
Unter Ausnutzung der Gleichheit komplexer Zahlen in Betrag und Argument
folgt
rn = ρ,
nϕ = ψ + 2kπ, k = 0, ±1, ±2, . . . .
√
Hieraus ergibt sich mit der reellen Wurzel der Betrag r = n ρ, sowie das Argument ϕ = ψ+2kπ
n , k = 0, ±1, ±2, . . . . Wegen der Periodizität der Funktion
iϕ
e = cos ϕ + i sin ϕ sind nur die n Winkelwerte
ϕκ =
ψ + 2kπ
,
n
k = 0, 1, 2, . . . , n − 1
(5)
relevant.
Wir formulieren nun das Ergebnis im
Satz 2. (n-te Wurzel) Die n-ten Wurzeln der Zahl
w = ρeiψ = ρ (cos ψ + i sin ψ) , ρ ≥ 0 , ψ ∈ [0, 2π) sind die
n komplexen Zahlen
µ µ
¶
µ
¶¶
ψ+2kπ
ψ
+
2kπ
ψ
+
2kπ
√
√
zk = n ρ ei( n ) = n ρ cos
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, 2, ..., n − 1.
4
(6)
Der z-Wert für ϕ0 erhält eine besondere Bezeichnung.
Definition 3. (Hauptwert) Unter dem Hauptwert der n-ten Wurzeln versteht man in (5) den Wert für k = 0 und schreibt dafür
¶
µ
¡√
¢
ψ
ψ
ψ
√
√
n
.
w H = n ρei n = n ρ cos + i sin
n
n
Dies gibt uns eine geometrische Interpretation als Merkregel.
Folgerung (Geometrische Interpretation). Die n-ten Wurzeln teilen den
√
Kreis mit dem Radius n ρ vom Hauptwert der Wurzel aus entgegen dem
Uhrzeigersinn in n gleiche Teile (siehe Beispiel 4 und Abb. 2).
¤
Beispiel 4.
Sei w := −2 = 2eiπ . Man berechne die fünften Wurzeln aus w
√
(also z = 5 −2) und bezeichne sie mit zk ,
k = 0, 1, 2, 3, 4.
Es gilt gemäß Formel (6) (mit ψ = π, ρ = 2, n = 5)
µ
¶
¶¶
µ µ
√
1
π+2kπ
π
+
2kπ
π
+
2kπ
5
+ i sin
,
zk = |−2| 5 ei( 5 ) = 2 cos
5
5
k = 0, 1, 2, 3, 4
und berechnet
³
√
π
π´
5
z0 = 2 cos + i sin
= 0. 92932 + i · 0. 67519 ,
5
5
µ
¶
√
3π
3π
5
z1 = 2 cos
+ i sin
= −0. 35497 + i · 1. 09248 ,
5
5
µ
¶
√
√
5π
5π
5
5
z2 = 2 cos
+ i sin
= − 2 = −1. 14870 ,
5
5
¶
µ
√
7π
7π
5
+ i sin
= −0. 35497 − i · 1. 09248 ,
z3 = 2 cos
5
5
µ
¶
√
9π
9π
5
z4 = 2 cos
+ i sin
= 0. 92932 − i · 0. 67519 .
5
5
5
¤
y
1
z1
z0
0.5
z2
0
x
0
z4
−0.5
z3
−1
−1
−0.5
0
0.5
1
Abbildung 2: Alle Lösungen der Gleichung z 5 + 2 = 0
6