2.3 Das Vektorpotential 2.4 Feld eines beliebigen stromführenden

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Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften
Vorlesung zur Experimentalphysik III
Wintersemester 2008/2009
Prof. Dr. Josef A. Käs
Vorlesungsmitschrift zur Vorlesung vom 23.10.2008
2.3
Das Vektorpotential
Z ~
I(x2 , y2 , z2 )
dV2
r12
~ 1 , y1 , z1 ) = µ0
A(x
4π
Vektorpotential eines langen geraden Leiters mit Strom I:
(Nicht mit Gleichung oben berechenbar, da das Integral wegen der unendlichen Ausdehnung
divergiert.)
Abbildung 1: Vektorpotential eines Leiters.
µ0 I − sin ϕ~x + cos ϕ~y
µ0 I −y~x + x~y
~ = µ0 I · ϕ
p
B
~=
·
·p
=
2πr
2π
2π
x2 + y 2
x2 + y 2
gut geraten:
~ = − µ0 I ln x2 + y 2 · ~z
A
4π
2.4
Feld eines beliebigen stromführenden Drahts
j=
I
s
=⇒
Z
dV2 =
~ = µ0 I
A
4π
dl
Z
=⇒
~jdV2 = Id~l
d~l
r12
in einem Punkt (x, y, 0):
~ = ~x ·
dA
µ0 I
dl
·p
2
4π
x + y2
1
Abbildung 2: Stromführender Draht.
=⇒
=⇒
2.5
µ0 I
µ0 I dl sin ϕ
∂Ax
dl · y
~
~
= ~z ·
= ~z ·
dB = rot dA = ~z · −
·
·
3/2
2
2
∂y
4π (x + y )
4π
r2
d~l × |~~rr|
~ = µ0 I ·
dB
4π
r2
Felder von Stromschleifen und Spulen
Abbildung 3: Das magnetische Feld eines ringförmigen Stromwegs - Berechnung der magnetschen
Induktion.
Feld auf der Achse
Idl
Idl b
dBz = 2 cos θ = 2 ·
cr
cr r
Z
dl = 2πb
µ0 I b2
b2
µ0 I
· 3 =
·
2 r
2 (b2 + z 2 )3/2
Im Mittelpunkt z = 0:
Bz =
Bz =
µ0 I
2b
2
Spule aus vielen eng beieinander liegenden Windungen (n Windungen pro Länge):
Abbildung 4: a) Spule. b) Berechnung des Magnetfeldes für die Spulenachse.
dBz =
=⇒
µ0 b2 I · n · r
µ0
· 3·
dθ =
I · n · sin θdθ
mit
b = r sin θ
2 r
sin θ
2
Z θ2
µ0
µ0
Bz =
I ·n·
sin θdθ =
I · n · (cos θ1 − cos θ2 )
2
2
θ1
Unendlich lange Spule:
θ1 = 0
2.6
θ1 = π
=⇒
B z = µ0 · I · n
Hall-Effekt
1879 E. H. Hall
evB = −eEt
⇒
Stromfluss, Spannung zwischen oben und unten
QEt = QvB
=⇒
j = nQv
n − Ladungsdichte
Et =
1
nQ
|{z}
Et = vB
·j · B
Hall-Koeffizient
3
Abbildung 5: Der Halleffekt. a) Ein Strom fließt in einer Metallschiene, von der nur ein kurzer
Ausschnitt dargestellt ist. Die Leitungselektronen sind durch weiße Punkte gekennzeichnet, die
positiven Ionen des Kristallgitters durch schwarze Punkte. Die Pfeile geben die mittlere Geschwindigkeit v̄ der Elektronen an. b) Ein Magnetfeld in x-Richtung kommt hinzu und bewirkt
(zunächst) eine nach unten gerichtete Ablenkung der bewegten Elektronen. c) Die veränderte Ladungsverteilung ergibt ein elektrisches Querfeld Et . In diesem Feld erfahren die positiven
Ionen eine nach unten gerichtete Kraft.
4
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