Dirac Fermionen in Graphen und Topologischen Isolatoren

Dirac Fermionen in Graphen und Topologischen Isolatoren
Prof. Dr. Patrik Recher, 21. Mai 2012
Inhalt
 Dirac Gleichung in der relativistischen Quantenmechanik
 Elektronen in Graphen und topologischen Isolatoren
 Topologische Invarianten: Berry-Krümmung
 Transport von Dirac Elektronen
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Dirac Gleichung: Relativistische Beschreibung des Elektrons
  Dirac 1928:
4-komponentige Wellengleichung:
!i!"k = pk
Ist invariant unter Lorentz-Transformationen
!k
Pauli-Matrix
k = 1, 2, 3
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Analyse der Gleichung  Interpretation des Spinors
!
Ruhendes Teilchen: pk = 0
4 Lösungen:
2
}
E = mc 2
Teilchen
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}
E = !mc 2
Antiteilchen
Spin-Operatoren
Lösungen:
!"p , " = 1, 2, p = ± sind auch Lösungen zum Spin-Operator:
mit Eigenwerten
±! / 2
mit
!!"p = ±(! / 2)!"p ! =1, 2
Die Eigenwerte beschreiben den Elektron-Spin (Eigendrehimpuls) der in eine
Richtung (hier z-Richtung) nur zwei Werte ±! / 2 annehmen kann.
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Pauli-Glg. als nicht-relativistischer Limes der Dirac-Glg.
Für kleine Energien sollte die nicht-relativistische Schrödingerglg. aus QM I gelten.
Um die Bedeutung des Spins hervorzuheben, wollen wir noch die Kopplung an das
elektro-magnetische Feld vollziehen (Dirac-Glg.):
e = !e0
(Elektronladung)
skalares Potential
Vektorpotential
elektrisches Feld
Magnetfeld
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Für kleine Energien (
v << c )
ist Ruhemasse
mc 2
grösste Energie
Ansatz:
E>0
In führender Ordnung in
1 / mc 2 ergibt sich Pauli-Glg. für „grosse Komponente“
Paulispinor
Zeemanenergie mit Lande g-Faktor g=2
!
! ist der Spin-Operator
2
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!
Dirac Gleichung in 2D
!i!"k = pk
k = 1, 2
Nur zwei Komponenten koppeln jeweils  zeitunabhängige entkoppelte Dirac-Glgn.
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Graphen: Elektronen auf Maschendrahtzaun
A. Geim, K. Novoselov, Nobelpreis 2010
y
C-Atome
t
A
a2
(Hüpfen)
E /t
o
B
a1
a0 = 1.42 A
!
!
x
!
C. Schönenberger, Uni Basel
•  Energie Spektrum in tight-binding
Approximation Wallace (1947)
Honigwabengitter
•  Kohlenstoff hat 4 Valenzelektronen, 3 davon in
sp 2 Bindungen und 1 besetzt pz -Orbital
v = ( 3 !/ 2)ta / ! ! 10 6 m/s~ c/300
a " 2.6 A t " 2.9 eV
•  Einheitszelle (grau) hat zwei-atomare Basis
A and B Untergitter
"
!
!
E(k) = ±v! " (k)
" (k) = 1+ exp(#ik $ a1 ) + exp(#ik $ a 2 )
!
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!
!
!
Energie Levels nahe der K-Punkte
Nahe an den K-Punkten : k = K + " k
E(k) = E(K) + "(# k) = "(# k)
!
!
"
+
Dirac-Weyl Hamilton Op. für masselose Fermionen
% #x$ x + #y$ y
H ~ "i!v'
0
&
(
0
*
#x$ x + #y$ y )
" = s!v | # k | ,s = ± Spektrum von masselosen
ultrarelativistischen Teilchen
H
T
!
wirkt auf !
4-komponentigen
! Spinor " = (# A + ,# B + ,$# B $ ,# A $ )
Indizes A,B bezeichnen Amplituden auf den zwei Untergittern => Pseudospin "
|
zwei inäquivalente !
valleys K, K erzeugen valley-Isospin " Vgl. Dirac Glg. In 2D
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!
!!
!
!
Tight-binding Modell von Graphen
Honigwabengitter: zwei Atome pro Einheitszelle (A,B)
Gittervektoren
a1 = a(3, 3) / 2
a2 = a(3, ! 3) / 2
Nächste Nachbarn
y
!1 = a(1, 3) / 2
!2 = a(1, ! 3) / 2
a ~ 1.4
Johan Nilsson, PhD thesis, Univ. Gothenburg
x
!3 = a(!1, 0)
Hüpf-Hamiltonoperator: H = !t
(nur nächste Nachbarn)
" "c
R#A!Atome j=1,2,3
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+
AR BR+! j
c
+ h.c.
Wegen Translationsinvarianz des A,B Untergitters Fouriertransformation in k-Raum:
(entspricht Blochwellenfunktionen)
c! R =
1
N
!e
ikR
c! k , ! = A, B  H wird diagonal in k
k
! 0
" (k)
+#
H = '! k
# " * (k)
0
k
"
$
&! k
&
%
mit
! c
! k = # Ak
# cBk
"
! (k) = !t
"e
$
&
&
%
ik" j
j=1,2,3
 Energieeigenwerte E(k) durch Lösen des charakterist. Polynoms
 Halbfüllung  E=0=Fermienergie  2 unabhängige „valleys“ von Zuständen um K,K‘
 Entwickle H um K,K‘ linear in k-K und k-K‘  2 entkoppelte Dirac-Glgn. mit m=0
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Topologische Isolatoren
  In 2005, C. Kane and E. Mele sagen neuen Materiezustand in Graphen voraus.
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Topologische Isolatoren
  In 2005, C. Kane and E. Mele sagen neuen Materiezustand in Graphen voraus.
den Quanten Spin Hall Effekt (QSHE)
C. Kane, E. Mele, PRL (2005)
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Topologische Isolatoren
  In 2005, C. Kane and E. Mele sagen neuen Materiezustand in Graphen voraus.
den Quanten Spin Hall Effekt (QSHE)
Isolator im Volumen (mit Bandlücke
Randzustände in der Bandlücke
C. Kane, E. Mele, PRL (2005)
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),
Topologische Isolatoren
  In 2005, C. Kane and E. Mele sagen neuen Materiezustand in Graphen voraus.
den Quanten Spin Hall Effekt (QSHE)
Isolator im Volumen (mit Bandlücke
Randzustände in der Bandlücke
),
Lücke erzeugt durch spin-abhängige
Wechselwirkung mit Ionengitter (Spin-Bahn WW)
C. Kane, E. Mele, PRL (2005)
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Topologische Isolatoren
  In 2005, C. Kane and E. Mele sagen neuen Materiezustand in Graphen voraus.
den Quanten Spin Hall Effekt (QSHE)
Isolator im Volumen (mit Bandlücke
Randzustände in der Bandlücke
),
Lücke erzeugt durch spin-abhängige
Wechselwirkung mit Ionengitter (Spin-Bahn WW)
Randzustände sind spin-polarisiert
C. Kane, E. Mele, PRL (2005)
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Quanten Hall Zustände mit Zeitumkehr Invarianz (TRI)
Quanten Hall Effekt
B
Quanten Spin Hall Effekt
Isolator im Volumen
chirale Randzustände
helikale Randzustände
bricht TRI, Magnetfeld
hat TRI, Spin-Bahn WW
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Experimentelle Realisationen
  in Graphen vorausgesagt, ABER Spin-Bahn WW zu schwach
  in HgTe/CdTe Quantentrögen (Bernevig et al., Science 2006 (Theorie))
Experimentelle Verifizierung des QSHE:
Gruppe L. Molenkamp Würzburg (2007)
König et al., Science (2007)
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3D Topologische Isolatoren = 2D Oberflächenzustände
Einzelner DIRAC-cone
Kane & Hasan, RMP (2010)
Qi & Zhang, RMP 2011
ARPES Daten Hasan Gruppe Princeton
  Einzelner (nicht-entarteter) “Dirac valley” von “helical” Zuständen
! 2D geschützte Oberflächen-Zustände (keine Rückstreuung)
und Spin-Transport (Elektronik mit geringer Dissipation!)
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