Inhaltverzeichnis 1. Einige im Buch verwendete Schreibweisen (S. 5)

Büchter & Henn: Elementare Analysis
♦
Anhang
Inhaltverzeichnis
Die in Klammern genannten Seitenzahlen, geben die Stellen im Buch wieder,
von denen aus auf diesen Anhang verwiesen wird.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Einige im Buch verwendete Schreibweisen (Buch, S. 5)
Abbildungsmatrizen und Kongruenzabbildungen (Buch, S. 27 f.)
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion (Buch, S. 5, 139, 158)
Einige im Buch verwendete Formeln (Buch, S. 5, 139, 233, 289)
Gleichmächtigkeit (Buch, S. 134)
Kreisapproximation (Buch, S. 162)
Bernoulli’sche Ungleichung (Buch, S. 170)
Entdecken der Kettenregel (Buch, S. 210)
Additionstheoreme (Buch, S. 214)
Existenz von Stammfunktion und Integralfunktion (Buch, S. 244)
Funktion f nicht monoton, obwohl f ’(x) > 0 (Buch, S. 256)
1.
Einige im Buch verwendete Schreibweisen (S. 5)
1
2
2
4
7
8
10
10
12
13
14
Symbole zur optischen Strukturierung des Textes
♦
Ende einer Definition
□
Ende eines Satzes
■
Ende eines Beweises
∆
Ende eines Beispiels
Schreibweise für Funktionen
Funktionen schreiben wir überwiegend als f: A → B, x 6 f(x) mit der Definitionsmenge A
und der Zielmenge B; A und B sind in der Regel die reellen Zahlen oder Teilmengen davon.
Schreibweise für Intervalle
Intervalle sind besonders wichtige Teilmengen der reellen Zahlen. Wir verwenden in unserem
Buch, die in der Schulpraxis übliche Schreibweise:
I = ]a; b[ = { x ∈ \ | a < x < b }, beidseitig offenes Intervall,
I = ]a; b] = { x ∈ \ | a < x ≤ b }, links offenes, rechts abgeschlossenes Intervall,
I = [a; b[ = { x ∈ \ | a ≤ x < b }, links abgeschlossenes, rechts offenes Intervall,
I = [a; b] = { x ∈ \ | a ≤ x ≤ b }, abgeschlossenes Intervall.
Bei uns kommen nur „echte Intervalle“ vor, d. h. es gilt stets a < b, sodass die Bezeichnung
[a; a] für die einelementige Menge {a} bei uns nicht vorkommt.
In manchen Büchern finden Sie eine runde Klammer für einen „offenen Anfang“ bzw. ein
„offenes Ende“, z. B. (a; b) = ]a; b[. Ein Nachteil dieser Schreibweise ist, dass man den Punkte (a; b) mit dem Intervall (a; b) verwechseln kann.
In der Schule tauchen Intervalle bei der Untersuchung gerundeter Zahlen auf; für die auf eine
Nachkommastelle gerundete Zahle a ≈ 2,3 gilt a ∈ [2,25; 2,35[.
Ein besonderer Fall sind Intervalle, die das Symbol -∞ oder ∞ enthalten. Da dieses Symbol
keine Zahl ist, kann es nur im Zusammenhang mit offenen Intervallenden vorkommen.
Stand: 24.02.2010
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2.
♦
Anhang
Abbildungsmatrizen und Kongruenzabbildungen (S. 27 f.)
Dieser Abschnitt wird in Kürze ergänzt.
3.
Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion (S. 5, 139, 158)
Dieses rein deduktive (und sehr wichtige) Beweisprinzip nennen wir gerne das „DominosteinPrinzip“: Worauf müssen Sie achten, wenn Sie eine Reihe von Dominosteinen so aufbauen
wollen, dass sich Steine gegenseitig umwerfen? Sicher kennen Sie auch die Wettbewerbe, bei
denen Millionen von Dominosteinen aufgebaut werden!
Wir denken uns die Steine in der Reihenfolge des geplanten Umfallens nummeriert:
ƒ Der erste Stein S(1) muss umgestoßen werden.
ƒ Die Steine müssen so aufgestellt werden, dass ein umfallender Stein S(n) auch den nächsten Stein S(n+1) umwirft.
ƒ Jetzt fallen nach Anstoßen des ersten der Reihe nach alle Steine S(1), S(2), S(3), …, S(n)
um.
Jetzt betrachten wir eine Aussage A, die von einer natürlichen Zahl n abhängt; wir schreiben
dies als A(n). Als Beispiel nehmen wir die Aufgabe, die ersten n natürlich Zahlen zu addieren.
Sie können diese Aufgabe sehr schön operativ lösen, in dem Sie die einzelnen Zahlen durch
Plättchen darstellen und diese zur Form der „Dreieckszahlen“ anordnen. Im folgenden Bild ist
dies für das Beispiel n = 5 geschehen:
Wir stellen die Dreieckszahl D5 = 1+2+3+4+5 durch schwarze Plättchen dar (linkes Bild).
Dann stellen wir in umgekehrter Reihenfolge dieselbe Zahl D5 = 5+4+3+2+1 mit roten Plättchen dar (mittleres Bild). Wenn wir beide Darstellungen geschickt kombinieren (rechtes
Bild), haben wir 5 Spalten mit jeweils 6 Plättchen gewonnen, also 2⋅D5 = 5⋅6 = 30, also D5 =
15. Diese Idee klappt natürlich auch allgemein:
Stand: 24.02.2010
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1
n
2
n-1
♦
3
4
5 ....... n-2
n-2 ........
5 4 3
Anhang
n-1
2
n
1
Wir schreiben die Zahlen von 1 bis n einmal in natürlicher Reihenfolge, einmal rückwärts
übereinander. Jede Reihe hat die Summe Dn, jede Spalte hat die Summe n+1. Zusammen haben wir die Summe (n+1)⋅n. Da jede Zahl zweimal vorgekommen ist, müssen wir noch durch
2 teilen und haben damit die bekannte Formel für die Dreieckszahlen gewonnen:
n ⋅ (n + 1)
D n = 1 + 2 + 3 + ... + n =
.
2
Nun beweisen wir dieselbe Aussage mit dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion (das
wir an diesem Beispiel einführen!).
n ⋅ (n + 1)
.
Behauptung: Für jede natürliche Zahl n gilt A(n): 1+2+3+...+n =
2
Beweis:
Vollständige Induktion
DominoVeranschaulichung
Entspricht dem UmwerInduktionsverankerung:
fen des ersten Steins.
1⋅ (1 + 1)
A(1): 1 =
. Diese Aussage ist augenscheinlich wahr!
2
Wir werfen irgendeinen
Induktionsannahme:
Wir nehmen an, dass die Aussage A(n) für irgendeine Zahl n wahr Stein mit der Nummer n
ist.
um.
Wir stellen die Steine so
Induktionsschluss von n auf n+1:
Jetzt zeigen wir: Falls die Aussage A(n) richtig ist (was sein kann, auf, dass mit dem Fallen
aber nicht sein muss), dann ist auch die nächste Aussage A(n+1) eines Steins auch der
nachfolgende Stein umrichtig:
fällt.
n ⋅ (n + 1)
. Jetzt müssen wir zeigen,
Es gelte A(n): 1+2+3+...+n =
2
dass die Summe der ersten n+1 Zahlen auch durch die Formel
ausdrücken lässt:
1+2+3+...+n+(n+1) = [1+2+3+...+n] + (n+1) =
n ⋅ (n + 1)
] + (n+1) (nach der Annahme, dass A(n) wahr ist)
=[
2
n ⋅ (n + 1) + 2(n + 1) (n + 2) ⋅ (n + 1) (n + 1) ⋅ (n + 2)
=
=
=
,
2
2
2
und unsere Formel gilt auch für n+1 oder, anders gesagt, die Aussage A(n+1) ist auch wahr.
Nach dem Prinzip der vollständige Induktion gilt:
Die Aussage A(n) ist für alle natürlichen Zahlen wahr.
Alle Dominosteine fallen
um.
Wir haben jetzt:
Induktionsverankerung: A(1) stimmt.
Induktionsschluss: A(1) wahr, also auch A(2),
Induktionsschluss: A(2) wahr, also auch A(3),
Induktionsschluss: A(3) wahr, also auch A(4),
…
Da man irgendwann zu jedem n kommt, gilt die Aussage also für alle n ∈ ` .
Stand: 24.02.2010
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♦
Anhang
Wir formulieren das Beweisprinzip allgemein und wenden es im nächsten Abschnitt auf weitere Beispiele an:
Vollständige Induktion in der Übersicht
Behauptung Für jede natürliche Zahl n gilt die Aussage A(n). Beachten Sie: Diese Aussage
kann richtig oder falsch sein, für manche Zahlen n gelten, für andere nicht.
Beweis
(I) Verankerung: Zeige, dass A(1) wahr ist.
(II) Annahme: Nehme an, dass für irgendein n die Aussage A(n) war ist.
(III) Schluss: Zeige: Wenn A(n) wahr ist, dass ist auch A(n+1) wahr.
Jetzt ist bewiesen, dass die Aussage A(n) für alle n ∈ ` wahr ist.
Typisch für mathematisches Beweisen ist, dass es in der Regel zwei Phasen dieser Tätigkeit
gibt: Zunächst geht es darum, einen mathematischen Zusammenhang, eine Formel, eine Lösung … zu finden, und anschließend muss das Gefundene bewiesen werden. Beim Beweisen
des Gefundenen kann dann die vollständige Induktion helfen. Das Finden von Zusammenhänge, Formeln, Lösungen … ist zumeist schwieriger und mathematisch interessant als das
Beweisen!
4.
Einige im Buch verwendete Formeln (S. 5, 139, 233, 289)
Die folgenden, im Buch verwendeten Formeln bzw. Abschätzungen werden wir allesamt mit
der soeben vorgestellten Methode der vollständigen Induktion beweisen.
Summe der ersten n Quadratzahlen
Die Aufgabe lautet, für die Summe 12 + 22 + 32 + 32 +… + n2 eine einfachere Formel zu finden. Hier ist es nicht ganz so einfach, eine Idee für eine Formel zu erraten. Eine gute Idee ist
die folgende: Bei der Summe der ersten n Zahlen ist die Formel ein quadratisches Polynom in
n. Also könnte es bei der Summe der ersten n Quadratzahlen ein kubisches Polynom sein, wir
versuchen es also mit 12 + 22 + 32 + 32 +… + n2 = a⋅n3 + b⋅n2 + c⋅n + d. Wenn Sie jetzt für n
die vier ersten Zahlen 1, 2, 3 und 4 einsetzen, so erhalten Sie ein lineares Gleichungssystem
mit 4 Gleichungen für die 4 Unbekannten 1, b, c und d. Wenn Sie das Lösen, so bekommen
Sie den Formelansatz
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
12 + 22 + 32 + 32 +… + n2 =
.
6
Der Beweis mit vollständiger Induktion ist jetzt einfach:
Induktionsverankerung:
Für n = 1 stimmt die Formel!
Induktionsannahme:
Die Formel möge für irgendeine Zahl n richtig sein.
Induktionsschluss:
Dann gilt für n+1:
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
[12 + 22 + 32 + 32 +… + n2] + (n+1)2 =
+ (n+1)2 =
6
2
2
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1) + 6 ⋅ (n + 1)
(n + 1) ⋅ (2n + 7n + 6) (n + 1) ⋅ (n + 2) ⋅ (2 ⋅ (n + 1) + 1)
=
=
=
6
6
6
Also gilt die Formel dann auch für n+1, und nach dem Induktionsprinzip ist unser Beweis
fertig.
Stand: 24.02.2010
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Anhang
Summe der ersten n Kubikzahlen
Ein analoger Ansatz wie bei den Quadratzahlen mit einem Polynom in n vom Grad 4 führt zu
der Annahme
13 + 23 + 33 + 33 +… + n3 =
n 2 ⋅ (n + 1) 2
.
4
Wieder gelingt der Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsverankerung:
Für n = 1 stimmt die Formel!
Induktionsannahme:
Die Formel möge für irgendeine Zahl n richtig sein.
Induktionsschluss:
Dann gilt für n+1:
n 2 ⋅ (n + 1) 2
+ (n+1)3
4
2
2
3
2
2
n ⋅ (n + 1) + 4 ⋅ (n + 1)
(n + 1) ⋅ (n + 4 ⋅ n + 4) (n + 1) 2 ⋅ (n + 2) 2
=
=
=
,
4
4
4
und wieder sind wir fertig.
[13 + 23 + 33 + 33 +… + n3] + (n+1)3 =
Summe der ersten n ungeraden Zahlen
Diese Aufgabe kann man schon in der Grundschule behandeln:
1+3 = 4, 1+3+5 = 9,
1+3+5+7 = 16, ...
Es fällt schnell auf, dass immer Quadratzahlen auftauchen, so dass die Formel
A(n): 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2
vermuten. Das folgenden Bild zeigt einen operativen Beweis der Aussage mit „Winkelhaken“:
Mit vollständiger Induktion geht das wie folgt:
Induktionsverankerung:
A(1): 1 = 12 ist wahr.
Induktionsannahme:
A(n) sei wahr für irgend eine Zahl n.
Induktionsschluss:
[1+3+5+ ... +(2n-1)]+(2n+1) = n2 + (2n+1) = n2 + 2n + 1 = (n+1)2,
und wieder sind wir fertig.
Schachbrettaufgabe und geometrische Reihe
Vielleicht kennen Sie die Story mit den Reiskörnern, die auf die fragliche Reihe führt: Der
Erfinder des Schachspiels bekam von seinem König einen Wunsch freigestellt. Er wünschte
sich vom König auf einem Schachbrett ein Reiskorn auf dem ersten Feld, 2 Reiskörner auf
dem zweiten Feld, 4 auf dem dritten, 8 auf dem vierten usw. Der König war zuerst beleidigt,
dass der weise Mann einen so simplen Wunsch hatte. Aber dann …
Stand: 24.02.2010
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♦
Anhang
Man muss die Zweierpotenzen
1 + 2 + 4 + 8 + … + 263
addieren. Dies ist ein Spezialfall einer Summe von Potenzen, die geometrischen Reihe heißt:
1 + q + q2 + q3 + … + qn,
wobei q eine reelle Zahl ist. Wenn q ≠ 1(für q = 1 ist nichts zu beweisen..) ist, kann man diese
Summe einfacher ausdrücken:
1 + q + q2 + q3 + … + qn =
1 − q n +1
.
1− q
Diese Formel beweisen wir auf zwei verschiedenen Weisen:
Beweis durch Produktdarstellung:
(1 + q + q2 + q3 + … + qn)⋅(1 - q) = 1 + q + q2 + q3 + … + qn – (q + q2 + q3 + … + qn+ qn+1)
Bis auf das erste Glied 1 und das letzte Glied –qn+1 ergänzen sich alle anderen Glieder zu
Null, so dass am Ende der behaupteten Formel entsprechend 1 – qn+1 stehen bleibt. Man nennt
solche Summen auch „Ziehharmonika-Summen“ oder „Teleskop-Summen“.
Beweis durch vollständige Induktion:
Wir behaupten
A(n): 1 + q + q2 + q3 + … + qn =
1 − q n +1
für alle n ∈ ` und für q ≠ 1.
1− q
Induktionsverankerung:
1 − q 2 (1 − q)(1 + q)
A(1): 1 + q =
, ist also eine wahre Aussage!
=
1− q
1− q
Induktionsvoraussetzung:
Die Formel gelte für eine Zahl n.
Induktionsschluss:
1 + q + q2 + q3 + … + qn + qn+1 = (1 + q + q2 + q3 + … + qn) + qn+1
1 − q n +1
+ qn+1 (da ja A(n) gelten soll)
=
1− q
1 − q n +1 + q n +1 ⋅ (1 − q) 1 − q n +1 + q n +1 − q n + 2
=
=
1− q
1− q
=
1 − qn+2
, also gilt dann auch A(n+1).
1− q
Nach dem Induktionsprinzip ist damit die Behauptung bewiesen.
„Technische Abschätzung“ 2m > (m + 1)2 für m ≥ 6
Im ersten Schritt des Beweises von Satz 8.15 wird die obige Ungleichung behauptet. Wir beweisen diese mit Hilfe vollständiger Induktion.
Induktionsverankerung:
Für m = 6 gilt 26 = 64 > 49 = (6+1)2.
Induktionsvoraussetzung:
Es gelte 2m > (m + 1)2 für irgendeine Zahl m≥ 6.
Stand: 24.02.2010
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Anhang
Induktionsschluss:
Die Anwendung der Induktionsvoraussetzung liefert
2m+1 = 2⋅2m+1 > 2⋅(m + 1)2 = 2⋅m2 + 4⋅m + 2 = m2 + 4⋅m + (m2 + 2) > m2 + 4⋅m + 4 = (m + 2)2
und nach dem Beweisprinzip der vollständigen Induktion ist unsere Behauptung bewiesen.
5.
Gleichmächtigkeit (S. 134)
Wir behaupten, dass das Einheitsintervall I = [0; 1], das Einheitsquadrat I2, der Einheitswürfel
I3, die Zahlengerade \ , die Ebene \ 2 und der Raum \ 3 alle gleichmächtig sind.
a. Dass \ gleichmächtig zu jedem offenen Intervall ist, folgt aus Abb. 4.21 und 4.22 (S.
134). Dass alle Intervalle gleichmächtig sind, wird in Aufgabe 4.9 (S. 134) bewiesen. Insbesondere gilt \ glm (0; 1) glm [0; 1].
b. Wir zeigen, dass für jede natürliche Zahl n gilt \ n glm [0; 1]n gilt. Es sei hierzu f eine
nach a. existierende bijektive Abbildung f: \ → [0; 1] (wie die konkret aussieht, interessiert nicht…). Dann ist aber
g : \ n → [0;1]n , (x1 , x 2 ,..., x n ) 6 (f (x1 ), f (x 2 ),..., f (x n ))
Die gewünschte bijektive Abbildung von \ n nach [0; 1]n. Mit demselben Argument folgt
natürlich auch, dass [0; 1]n glm (0; 1)n ist.
c. Wir zeigen, dass das Einheitsquadrat gleichmächtig zum Einheitsintervall ist, d. h. dass
(0,1) 2 glm (0,1) gilt. Man denkt hierfür vielleicht an die folgende Abbildung f:
Zu a = 0, a1a 2 ... ∈ ( 0,1) , b = 0, b1b 2 ... ∈ ( 0,1) sei
f : (0,1) 2 → (0,1), (a; b) 6 c : = 0, a1b1a 2 b 2 a 3 b3 ... .
Diese Abbildung ist aber leider nur „fast richtig“. Zum Beispiel hat die Zahl 0,101010...
kein Urbild.
Die Konstruktion einer bijektiven Abbildung ist etwas komplizierter. Die Zahlen aus (0,1)
seien als unendliche Dezimalbrüche geschrieben. Hat a eine endliche Dezimalentwicklung, so kann man durch die Neunerperioden eine dazu äquivalente unendliche Dezimalentwicklung schreiben, z. B. 0,368 = 0,367999... = 0,3679.
Die Dezimalen von a = 0, a1a 2 a 3 ...∈ ( 0,1) werden in Blöcke c j = b j1b j2 ...b j(k −1) b jk , k ≥ 1,
zusammengefasst mit b j1 = ... = b j(k −1) = 0, b jk ≠ 0 , z. B. a = 0, 03 | 4 | 05 | 0004 | 6 | 07 | ...
mit den Blöcken c1 = 03, c2 = 4, c3 = 05, c4 = 0004, c5 = 6, c7 = 07,...
Schreibt man auf diese Weise die Nachkommastellen von x ∈ (0, 1) als x = 0,c1c2...., so ist
2
f : ( 0,1) → ( 0,1) , x 6 (y, z) mit y = 0, c1c3c5 ..., z = 0, c 2 c 4 c6
Die gesuchte bijektive Abbildung.
d. Schließlich zeigen wir, dass für jede natürliche Zahl n (0,1) n glm (0,1) gilt. Eine zugehörige bijektive Abbildung liefert auch sofort die Verallgemeinerung der Blockschreibweise
durch
f : (0,1) → (0,1) n , x = 0, c1c 2 ... 6 ( y1 , y 2 ,... y n ) mit yi = 0, ci c n +i c 2n + i ... für i = 1,..., n
Alle „Bausteine“ zusammen beweisen die Aussage.
Stand: 24.02.2010
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6.
♦
Anhang
Kreisapproximation (S. 162)
Wir betrachten den Einheitskreis mit einbeschriebenen bzw. umbeschriebenen regelmäßigen
n-Ecken. Es war an der Umfang und An der Inhalt des einbeschriebenen 2n⋅3-Ecks und bn der
Umfang und Bn der Inhalt des umbeschriebenen 2n⋅3-Ecks. Wie in Abb. 4.39 und 4.40 (S.
161) begründet, bilden die an und An eine monoton wachsende, die bn und Bn eine monoton
fallende Folge. Wir haben also den Umfang U und den Inhalt A des Kreises eingeschachtelt:
a1 < a2 < a3 < a4 < … < U < … < b4 < b3 < b2 < b1,
A1 < A2 < A3 < A4 < … < A < … < B4 < B3 < B2 < B1.
Die Seitenlänge des einbeschriebenen 2n⋅3-Ecks sei sn, der Radius seines
Inkreises sei rn. Die Seitenlänge des umbeschriebenen 2n⋅3-Ecks sei tn
(vgl. Skizze). Der Strahlensatz liefert
s n rn a n
= = .
t n 1 bn
Also folgt weiter
bn – an = bn – bn⋅rn = bn⋅(1 – rn) < b1⋅(1 – rn),
woraus sich wegen rn → 1 die Intervallschachtelungseigenschaft der ersten Schachtelung er1
1
gibt. Wegen An = ⋅ rn ⋅ s n ⋅ 2n ⋅ 3 und Bn = ⋅1⋅ t n ⋅ 2n ⋅ 3 gilt die Intervallschachtelungseigen2
2
schaft auch für die zweite Schachtelung.
an
der halbe Umfang des 2n⋅3-Ecks. Da wir im Einheitskreis ar2
beiten, ist diese Zahl ist eine Näherungsformel für π mit p1 = 3. In der nebenstehenden Abbildung ist m = 2n⋅3 die Seitenzahl. Wir zunächst für sm eine Rekursionsformel s2m = f(sm), was dann sofort zu einer analogen Rekursionsformel für pm führt. Der Satz des Pythagoras liefert
Es sei p n :=
2
s
2
2m
2
⎛s ⎞
⎛s ⎞
= ⎜ m ⎟ + x 2 und 12 = ⎜ m ⎟ + (1 − x) 2 .
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2
⎛s ⎞
Aus der letzten Gleichung folgt x = 1 − 1 − ⎜ m ⎟ , dies wird in die erste Gleichung einge⎝ 2 ⎠
setzt:
2
s 22m
2
2
2
s2
s2
⎛ s m ⎞ ⎛⎜
⎛ s m ⎞ ⎞⎟ s m
= ⎜ ⎟ + 1− 1− ⎜ ⎟
=
+ 1 − 2 ⋅ 1 − m + 1 − m = 2 − 4 − s 2m .
4
4
4
⎝ 2 ⎠ ⎜⎝
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
Damit haben wir die gewünschte Rekursionsformel s 2m = 2 − 4 − s 2m gefunden. Die Rekursion startet mit n = 1, also m = 6, dann n = 2 und m = 12 usw. Wir suchen aber eine Rem
2
kursionsformel für π. Mit der Variablen m geschrieben gilt pm =
⋅ s m oder s m = ⋅ p m .
2
m
Eingesetzt in die obige Rekursionsformel erhalten wir
2
2
2
⎛p ⎞
⎛p ⎞
⋅ p 2m = 2 − 4 − 4 ⋅ ⎜ m ⎟ = 2 − 2 ⋅ 1 − ⎜ m ⎟ ,
2m
⎝m⎠
⎝m⎠
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Anhang
was zum gewünschten Ergebnis
2
⎛p ⎞
p 2m = m ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 − ⎜ m ⎟ .
⎝m⎠
Diese „schöne“ Formel „verschlechtern“ wir durch Erweitern mit
p 2m =
2p m
⎛p ⎞
2 + 2 ⋅ 1− ⎜ m ⎟
⎝m⎠
2
zu
.
⎛p ⎞
2 + 2 ⋅ 1− ⎜ m ⎟
⎝m⎠
2
Beide Formeln sind algebraisch gleichwertig, sollten also beide, zumindest in der Theorie, π
immer besser approximieren. Konkret lässt sich diese Approximation natürlich nur numerisch
durchführen, was in der Schule normalerweise nicht gemacht wird. Mit einem CAS ist die
rekursive Berechnung problemlos. Die folgende Tabelle wurde mit MAPLE berechnet, die
Rechengenauigkeit wurde auf 5 Dezimalstellen eingestellt. Wir berechnen für n = 1, 2, … die
jeweilige π-Näherung für das m-Eck mit m = 2n⋅3:
1. Iterationsformel
n = 1 π = 3.0
n = 2 π = 3.1055
n = 3 π = 3.1315
n = 4 π = 3.1385
n = 5 π = 3.1476
n = 6 π = 3.1839
n = 7 π = 3.3256
n = 8 π = 3.8400
n= 9 π=0
n = 10 π = 0
2. Iterationsformel
n = 1 π = 3.0
n = 2 π = 3.1058
n = 3 π = 3.1326
n = 4 π = 3.1394
n = 5 π = 3.1412
n = 6 π = 3.1416
n = 7 π = 3.1418
n = 8 π = 3.1418
n = 9 π = 3.1418
n = 10 π = 3.1418
In der linken Spalte wurde mit der „schönen“ ersten Formel gerechnet. Zunächst wird π immer besser approximiert, aber ab dem 6. Schritt wird die Approximation schlechter und ab
dem 9. Schritt ist der Näherungswert immer Null! Eine Erhöhung der Stellengenauigkeit
schiebt die „Katastrophe“ nur ein paar Schritte weiter hinaus. Verwendet man dagegen die
zweite Rekursionsformel (rechte Spalte), so wird π durchgängig immer besser approximiert;
ab dem 7. Schritt wird das Verfahren stabil.
Wenn man die beiden Formeln genauer anschaut, versteht man, was geschehen ist:
2
⎛ m⎞
p2m = m
N ⋅ 2 − 2 1− ⎜
⎟
⎝m⎠
→∞
p
→0
p2m =
2p m
.
2
⎛p ⎞
2 + 2 1− ⎜ m ⎟
⎝m⎠
→1
„Katastrophe für große m“
„p2m ≈ pm für große m“
Da Computer immer nur mit endlicher Genauigkeit rechnen können, identifizieren sie hinreichend kleine Zahlen mit Null, also muss die erste Iteration versagen. Das Problem geht übrigens tiefer: Es gibt leider keine Möglichkeit, für eine beliebig vorgelegte Zahl zu entscheiden,
ob sie Null ist oder nicht; Luitzen Egbertus Jan Brouwer hat solche Zahlen konstruiert. Wenn
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Anhang
man dagegen die scheinbar schlechtere zweite Formel nimmt, ist das Problem beseitigt. Die
Rekursion wird stets stabil, und die Approximation wird wesentlich besser.
7.
Bernoulli’sche Ungleichung (S. 170)
Bernouilli’sche Ungleichung behauptet, dass für n ≥ 2 und a > 0 oder – 1 < a < 0 gilt
(1 + a)n > 1 + n ⋅ a.
Beweis dieser Ungleichung:
• Ist a > 0, so „multiplizieren wir einfach aus“:
⎛n⎞
(1 + a)n = 1 + n ⋅ a + ⎜ ⎟ a2 + … + an > 1 + n ⋅ a,
⎝2⎠
da alle Summanden > 0 sind.
•
Für – 1 < a < 0 beweisen wir die Abschätzung durch vollständige Induktion nach n (≥2):
Induktionsverankerung: n = 2 : (1 + a)2 = 1 + 2 ⋅ a + a2 > 1 + 2a
Induktionsannahme: Die Ungleichung (1 + a)n > 1 + n⋅a sei richtig für eine Zahl n. Dann
gilt
(1 + a)n + 1 = (1 + a)n⋅(1 + a) > (1 + n⋅a)⋅(1 + a) =
= 1 + n⋅a + a + n⋅a2 = 1 + (n + 1)⋅a + n⋅a2 > 1 + n⋅a
Induktionsschluss: Also gilt die Abschätzung für alle n ≥ 2!
•
8.
Für n = 0 oder n = 1 muss man „=“ statt „>“ schreiben.
Auftrag: Untersuchen Sie, was n ≥ 2, aber a = – 1 oder a = 0 oder a < – 1 ist.
Entdecken der Kettenregel (S. 210)
Um es gleich vorweg zu sagen: Es gibt viele Vorschläge für einen anschaulichen Zugang zur
Kettenregel, aber wenig, was uns überzeugt hat. Zwei mögliche Zugänge sind:
Zugang 1
Wir betrachten die Funktionen fn(x) = sinn(x), n ∈ ` . Die Ableitung f1' (x) = cos(x) für n = 1
ist bekannt, die Ableitung für n = 2 bestimmen wir mit der Produktregel:
f 2' (x) = (sin 2 (x)) ' = (sin(x) ⋅ sin(x)) ' = cos(x) ⋅ sin(x) + sin(x) ⋅ cos(x) = 2 ⋅ sin(x) ⋅ cos(x) .
Mit diesem Ergebnis können wir auch leicht den Fall n = 3 behandeln:
f 3' (x) = (sin 3 (x)) ' = (sin 2 (x) ⋅ sin(x)) ' =
= 2 ⋅ sin(x) ⋅ cos(x) ⋅ sin(x) + sin 2 (x) ⋅ cos(x) = 3 ⋅ sin 2 (x) ⋅ cos(x)
Sie können noch den Fall n = 4 probieren, spätestens dann kommen Sie auf die Vermutung
f n' (x) = (sin n (x)) ' = n ⋅ sin n −1 (x) ⋅ cos(x) .
Stand: 24.02.2010
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♦
Anhang
Diese Vermutung können wir auch sofort mit vollständiger Induktion beweisen. Die Induktionsverankerung für n = 1 haben wir oben schon gemacht. Nehmen wir also an, dass die Formel für irgendein n gelte. Dann gilt für n+1:
f n' +1 (x) = (sin n +1 (x)) ' = (sin n (x) ⋅ sin(x)) ' =
= n ⋅ sin n −1 (x) ⋅ cos(x) ⋅ sin(x) + sin n (x) ⋅ cos(x) = (n + 1) ⋅ sin n (x) ⋅ cos(x)
womit unsere Formel bewiesen ist.
Vergleichen wir unsere Formel mit der bekannten Ableitungsformel für g(x) = xn. Es gilt
g(x)’ = (xn)’ = n⋅xn-1.
Der Vergleich mit der „Sinuspotenz“, die wir als Verkettung der Sinusfunktion mit der Potenzfunktion ansehen können, zeigt, dass die Sinuspotenz genauso wie die Potenzfunktion
abgeleitet wird, dass nur noch die Ableitung der ersten Funktion sin(x) noch als Faktor hinzukommt. Formal geschrieben mit h(x) = sin(x) haben wir also
f(x) = g(h(x)) = g D h(x) = g’(h(x))⋅h’(x) = n⋅sinn-1(x)⋅cos(x),
und die Kettenregel für diesen Spezialfall ist „entdeckt“.
n
Auf dieselbe Weise können Sie die Ableitung der Funktion f mit f(x) = e x = (e x ) n , n ∈ `,
bestimmen.
Zugang 2
Wir verwenden die Tatsache, dass differenzierbare Funktionen „lokal linear“ sind, d.h. dass in
der Umgebung einer Stelle xo der Graph von f durch die Tangente an der Stelle xo ersetzt
werden kann. Wir schreiben dies als
f(x) = f(xo) + f ’(xo)⋅(x – xo),
(und wissen, dass wir eigentlich „≈“ hätten schreiben müssen). Wir betrachten nun zwei differenzierbare Funktionen f und g, die wir zur Funktion h = f D g verketten. Die folgende Abbildung zeigt die Graphen von f und g, wobei wir y = g(x) und z = f(y) schreiben.
Mit unserer linearen Approximation können wir schreiben
z = f(y) = f(yo) + f ’(yo)⋅(y – yo) und y = g(x) = g(xo) + g’(xo)⋅(x – xo).
Wegen der Verkettung gilt h(x) = f(g(x)) = f(y). Einsetzen ergibt
zo = f(yo) = f(g(xo) = f ’(yo) + f(yo)⋅(y – yo) = f (g(xo)) + f ’(g(xo))⋅(g(x) – g(xo))
= f (g(xo)) + f ’(g(xo))⋅(g’(xo)⋅(x – xo).
Andererseits kann auch die verkettete Funktion h in der Nähe von xo durch ihre Tangente ersetzt werden, also
zo = h(xo) + h’(xo)⋅(x – xo).
Daher muss schon h’(xo) = f ’(g(xo))⋅(g’(xo) gelten!
Stand: 24.02.2010
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9.
♦
Anhang
Additionstheoreme (S. 214)
Diese werden auf S. 217 für die Ableitung der Sinus-Funktion benötige. Das dort benötigte
Additionstheorem führen wir auf das Additionstheorem für den Sinus zurück: Gegeben sei
wie in der folgenden Abb. ein Dreieck ABC mit Seiten a, b, c und Winkeln α, β und γ; wir
setzten voraus, dass wir drei spitze Winkel haben. In der Abb. ist noch die Höhe CD auf die
Seite c eingezeichnet. Wegen der Voraussetzung über die Winkel liegt D zwischen A und B
a sin(α)
liegt. Es gilt CD = a⋅sin(β) = b⋅sin(α), also zunächst =
.
b sin(β)
Der Zusammenhang gilt natürlich auch für andere Paare von Seiten, was man durch
a : b : c = sin(α) : sin(β) : sin(γ)
ausdrücken kann. Diese Verhältnisgleichung heißt auch Sinussatz. Wir wenden den Satz auf a
und c bzw. auf b und c an und erhalten:
sin(α)
sin(β)
bzw. b = c ⋅
.
a = c⋅
sin( γ )
sin( γ )
Andererseits gilt auch
c = AD + CB = b ⋅ cos(α) + a ⋅ cos(β) = c ⋅
sin(β)
sin(α)
⋅ cos(α ) + c ⋅
⋅ cos(β) .
sin( γ )
sin( γ )
Division durch c und Multiplikation mit sin(γ) ergibt
sin(γ) = sin(β) ⋅ cos(α) + sin(α) ⋅ cos(β) .
Wenden wir noch den Winkelsummensatz γ = π - (α+β) und die Symmetrieeigenschaften des
Sinus an, so erhalten wir sin(γ) = sin(π - (α+β)) = sin(α+β). Zusammen haben wir damit das
Additionstheorem
sin(α+β) = sin(α)⋅cos(β) + cos(α)⋅sin(β).
für den Sinus bewiesen. Dieses Theorem gilt für alle reellen Zahlen α und β, was man leicht
mit den Eigenschaften des Sinus genauer nachprüfen kann.
Wegen sin(-α) = -sin(α) und cos(-α)= cos(α) folgt die analoge Gleichung
sin(α - β) = sin(α)⋅cos(β) - cos(α)⋅sin(β).
A+B
Wenn wir nun die beiden Additionstheoreme für den Sinus schreiben für α =
und
2
A−B
β=
, so erhalten wir
2
A+B
A−B
A+B
A−B
) ⋅ cos(
) + cos(
) ⋅ sin(
) und
sin(α+β) = sin(A) = sin(
2
2
2
2
A+B
A−B
A+B
A−B
) ⋅ cos(
) − cos(
) ⋅ sin(
).
sin(α-β) = sin(B) = sin(
2
2
2
2
Stand: 24.02.2010
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♦
Anhang
Hieraus entsteht durch Addition
A+B
A−B
) ⋅ cos(
).
2
2
Ersetzen wir wieder A durch α und B durch β, so haben wir die für den Beweis benötigte
Version der Additionstheoreme.
sin(A) + sin(B) = 2 ⋅ sin(
10. Existenz von Stammfunktion und Integralfunktion (S. 244)
Nach dem Hauptsatz wissen wir, dass in einem Intervall stetige Funktionen dort eine Stammfunktion und eine Integralfunktion haben. Ohne die Stetigkeit kann „alles“ passieren. Die folgenden Funktionen seien alle in einem Intervall definiert.
a. Die Funktion f hat weder eine Stammfunktion noch eine Integralfunktion
Das ist am einfachsten, nehmen Sie die Dedekind’sche Kammfunktion (vgl. S. 186).
b. Die Funktion f hat keine Stammfunktion, aber eine Integralfunktion
Auch dies ist nicht schwierig: Da jede monotone Funktion integrierbar nach Satz 6.3 (S.
229) ist, gibt es z.B. für die Funktion in Abb. 6.10 für jedes abgeschlossene Intervall eine
Integralfunktion, aber sicher keine Stammfunktion.
c. Die Funktion f hat eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion.
Ein Beispiel hierfür zu finden, ist etwas trickreicher. Betrachten Sie die folgende Funktion:
1
⎧ 2
⎪ x ⋅ cos( 2 ) für x ≠ 0
.
F(x) = ⎨
x
⎪⎩0 für x = 0
Die Funktion F ist in ganz \ differenzierbar, und es gilt
1
1
1
⎧
⎪2x ⋅ cos( 2 ) + ⋅ sin( 2 ) für x ≠ 0
f (x) = F'(x) = ⎨
x
x
x
⎪⎩0 für x = 0
(rechnen Sie das nach!). Nach Konstruktion hat f in jedem Intervall eine Stammfunktion,
kann aber, da z.B. in [-1; 1] unbeschränkt, nicht integrierbar sein. Die folgende Abbildung
zeigt links den Graphen von f, rechts den Graphen von F im Intervall [-1; 1]
Stand: 24.02.2010
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Anhang
d. Schließlich geben wir ein Beispiel für eine unstetige Funktion, die trotzdem eine Stammund eine Integralfunktion hat; es ist ähnlich gebaut wie in c.
1
⎧ 2
⎪ x ⋅ cos( ) für x ≠ 0
.
F(x) = ⎨
x
⎪⎩0 für x = 0
Jetzt ist die in ganz \ Ableitung
1
1
⎧
⎪2x ⋅ cos( ) + sin( ) für x ≠ 0
f (x) = F'(x) = ⎨
x
x
⎪⎩0 für x = 0
(rechnen Sie das wieder nach). Die Funktion F ist eine Stammfunktion für f in ganz \ .
Allerdings ist f nicht stetig an der Stelle 0. Die Funktion f ist aber beschränkt und hat nur
eine Unstetigkeitsstelle, was die Integrierbarkeit nicht behindert. Die folgende Abbildung
zeigt wieder links den Graphen von f, rechts den Graphen von F im Intervall [-1; 1]
11. Funktion f nicht monoton, obwohl f ’(x) > 0 (S. 256)
Die anschauliche Vorstellung „falls f ’(a) > 0, so ist f in einer Umgebung von a streng monton
steigend“ ist falsch. Gegenbeispiel:
⎧
⎛1⎞
2
⎪ x + 2x ⋅ sin ⎜ ⎟ für x ≠ 0
Die Funktion f mit f (x) = ⎨
ist für alle reellen Zahlen definiert. Im
⎝x⎠
⎪0 für x = 0
⎩
folgenden Schaubild sind der Graph von f und die beiden Parabeln mit y = x ± 2x2 dargestellt.
Stand: 24.02.2010
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Für die Ableitung an der Stelle 0 gilt:
Δy f (h) − f (0)
⎛1⎞
=
= 1 + 2h ⋅ sin ⎜ ⎟ → f '(0) = 1 > 0 für h → 0
h
Δx
⎝h⎠
Der Grenzwert folgt, da h → 0 und der Sinusterm beschränkt ist. Für die Ableitung von f gilt
daher
⎧
⎛1⎞
⎛1⎞
⎪ 1 + 4x ⋅ sin ⎜ ⎟ − 2 ⋅ cos ⎜ ⎟ für x ≠ 0
f '(x) = ⎨
.
⎝x⎠
⎝x⎠
⎪1 für x = 0
⎩
⎛1⎞
⎛1⎞
Der Term 4x ⋅ sin ⎜ ⎟ wird beliebig klein in einer Umgebung von 0, der Term 2 ⋅ sin ⎜ ⎟
⎝x⎠
⎝x⎠
oszilliert aber in jeder Umgebung von 0 beliebig oft zwischen -2 und 2, so dass f ’(x) in jeder
Umgebung von 0 zwischen -1 und 3 oszilliert. Da gibt es kein streng monotones Wachsen!
Jedoch gilt eine Abschwächung, der Trennungssatz: In einer Umgebung links von 0 gilt stets
f(x) < 0, rechts von Null ist f(x) > 0. Das sieht man wie folgt: Es gilt für x ≠ 0
⎛1⎞
f (x) = x ⋅ (1 + 2x ⋅ sin ⎜ ⎟) .
⎝x⎠
In der Nähe von Null ist der eingeklammerte Term stets positiv, so dass dort das Vorzeichen
von f durch den Term x bestimmt wird.
Stand: 24.02.2010
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