Lösungen 14.Übungsblatt

WS 2011/2012
Karlsruher Institut für Technologie (KIT)
Institut für Analysis
Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog
Dipl.-Math.techn. Rainer Mandel
Lösungen 14.Übungsblatt
Aufgabe 53 (K)
a) Bestimmen Sie die komplexe Linearfaktorzerlegung der folgenden Polynome:
(i) p1 (z) = z 5 − z 4 + z − 1,
(ii) p2 (z) = z 4 + (i − 1)z 2 − (2 + 2i)
b) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, Betrag und Argument der komplexen Zahlen
√
(i) z1 = (1 − i 3)7 ,
(ii) z2 =
1 + i 6
3 + 4i
Lösung:
a) Es gilt
π
p1 (z) = (z − 1)(z 4 + 1) = (z − 1)(z − e 4 i )(z − e
3π
i
4
)(z − e
5π
i
4
)(z − e
7π
i
4
)
sowie
p2 (z) = (z 2 − 2)(z 2 − (−i − 1)) = (z −
denn
−1 − i =
√
√
2)(z +
√
2)(z −
√
√
3π
3π
4
4
2e− 8 i )(z + 2e− 8 i ),
2 · (cos(−3π/4) + i sin(−3π/4)) =
√
2e−
3π
i
4
.
b) Zu (i):
√
√
π
1
3
1 − i 3 = 2 · ( + i(−
)) = 2 · (cos(−π/3) + i sin(−π/3)) = 2e− 3 i .
2
2
Daher
π
z1 = (2e− 3 i )7 = 27 e−
7π
i
3
π
π
= 27 e− 3 i · e−2πi = 27 e− 3 i
und somit
π
Arg(z1 ) = − ,
3
Re(z1 ) = 27 · cos(π/3) = 26 ,
|z1 | = 27 ,
Im(z1 ) = 27 · sin(π/3) =
√
3 · 26 .
Zu (ii):
1+i
(1 + i)(3 − 4i)
=
3 + 4i
25
7−i
=
√25
50
7
1
=
· (√ − i√ )
25
50
50
√ 2
1
1 =
cos(arctan(− )) + i sin(arctan(− ))
7
7
√5
2 − arctan( 1 )i
7 .
e
=
5
Daher
√
z2 =
und somit
2 6 −6 arctan( 1 )i
7
e
5
√
2 6
1
, Arg(z2 ) = −6 arctan( ),
5 √
7
2 6
1
Re(z2 ) =
cos(6 arctan( )),
5√
7
2 6
1
sin(6 arctan( )).
Im(z2 ) = −
5
7
|z2 | =
1 Extrapunkt für den Beweis1 von π ≥ 6 arctan(− 71 ) > −π : Es gilt
= −6 arctan( 17 ) < 0 ≤ π sowie
Bemerkung:
6 arctan(− 71 )
1
6 arctan(− ) > −π
7
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
1
π
arctan( ) <
7
6
1
π
1
< tan( ) = √
7
6
3
1
1
<
49
3
WAHR.
(tan smw)
Aufgabe 54 (K)
a) Sei
z1 = 1 − e−it ,
z2 = eit − 3e−it .
für t ∈ (0, π2 ). Finden Sie r1 , r2 > 0 und φ1 , φ2 ∈ R mit z1 = r1 eiφ1 und z2 = r2 eiφ2 .
1
Das Argument einer komplexen Zahl ist nach Denition der Vorlesung eine Zahl in (−π, π].
b) Zeigen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme Satz 12.1.(1):
ez+w = ez ew
(w, z ∈ C).
Folgern Sie (eit )k = eikt für alle k ∈ N0 und t ∈ R.
Lösung:
a)
z1 = 1 − (cos(−t) + i sin(−t)) = 1 − cos(t) + i sin(t)
q
sin(t)
arctan( 1−cos(t) )i
= (1 − cos(t))2 + sin2 (t)e
p
sin(t)
arctan( 1−cos(t) )i
= 2 − 2 cos(t)e
.
p
sin(t)
Also ist die Wahl r1 = 2 − 2 cos(t), φ1 = arctan( 1−cos(t)
) möglich. Da Kosinus
π
auf (0, 2 ) streng positiv ist, gilt
z2 = cos(t) + i sin(t) − 3(cos(−t) + i sin(−t))
= −2 cos(t) + i · 4 sin(t)
q
= 4 cos2 (t) + 16 sin2 (t)e(arctan(−2 tan(t))+π)i
q
= 2 1 + 3 sin2 (t)e(− arctan(2 tan(t))+π)i .
p
Also ist die Wahl r2 = 2 1 + 3 sin2 (t), φ2 = − arctan(2 tan(t)) + π möglich.
b) Sei z = r1 eiφ1 und w = r2 eiφ2 . Dann gilt unter Verwendung per Denition der
komplexen Exponentialfunktion und der Additionstheorem
ez · ew = er1 (cos(φ1 ) + i sin(φ1 )) · er2 (cos(φ2 ) + i sin(φ2 ))
= er1 +r2 cos(φ1 ) cos(φ2 ) − sin(φ1 ) sin(φ2 ) + i(sin(φ1 ) cos(φ2 ) + cos(φ1 ) sin(φ2 ))
= er1 +r2 cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 )
= er1 +r2 +i(φ1 +φ2 )
= ez+w .
Die zweite Behauptung folgt per Induktion aus der oben gezeigten Behauptung.
Aufgabe 55
a) Bestimmen Sie die komplexe Linearfaktorzerlegung der folgenden Polynome:
(i) p1 (z) = z 3 +(2+2i)z 2 +(4+i)z−i+3,
(ii) p2 (z) = z 8 +(5+3i)z 4 +3i+4
b) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil, Betrag und Argument der komplexen Zahlen
(i) z1 = (1 − i)4 ,
(ii) z2 =
1 + 3i 5
1−i
Lösung:
a) Es gilt
p1 (z) = (z + 1)(z 2 + (1 + 2i)z + 3 − i) = (z + 1)(z − i)(z + 1 + 3i)
sowie
p2 (z) = (z 4 + 1)(z 4 + 4 + 3i)
3
= (z 4 + 1)(z 4 − 5e(arctan( 4 )−π)i )
π
3π
5π
7π
= (z − e− 4 i )(z − e− 4 i )(z − e− 4 i )(z − e− 4 i )·
√
√
1
1
4
4
4
4
(z − 5e 4 (arctan( 3 −π)i )(z − 5e 4 (arctan( 3 +π)i) )·
√
√
1
4
1
4
4
4
(z − 5e 4 (arctan( 3 +3π)i )(z − 5e 4 (arctan( 3 +5π)i ).
b) Zu (i): Es gilt
z1 = (1 − i)4 = (−2i)2 = −4
und somit
|z1 | = 4,
Zu (ii): Aus
1+3i
1−i
Arg(z1 ) = 0,
Re(z1 ) = −4,
Im(z1 ) = 0.
= −1 + 2i folgt
5
z2 = (−1 + 2i) =
5 X
5
k=0
k
(−1)k (2i)5−k = . . . = −41 − 38i.
Alternative:
√ 1
√
1 + 3i
2
= −1 + 2i = − 5( √ − √ i) = − 5e− arctan(2)i
1−i
5
5
folgt
√
z2 = (− 5e− arctan(2)i )5 = −55/2 e−5 arctan(2)i = 55/2 e(−5 arctan(2)+π)i
und wegen −π < −5 arctan(2) + π ≤ π folgt
|z2 | = 55/2 ,
Arg(z2 ) = −5 arctan(2) + π,
Re(z2 ) = 55/2 cos(−5 arctan(2) + π) = −55/2 cos(5 arctan(2)),
Im(z2 ) = 55/2 sin(−5 arctan(2) + π) = 55/2 sin(5 arctan(2)).
Beachte: −5 arctan(2) + π ≤ π und
−5 arctan(2) + π > −π
⇐⇒
⇐=
⇐⇒
2π
5
3π
arctan(2) <
8
3π
2 < tan( )
8
arctan(2) <
Diese Ungleichung kann man analytisch beweisen (wenn man Zeit hat)! Wegen
sin(3π/8) = sin(π/8) cos(π/4) + cos(π/8) sin(π/4)
√
p
2
=
(cos(π/8) + 1 − cos2 (π/8))
2
s
√ s
2
1
1
1
1 √ + + 1−( √ + )
=
2
2
2
2 2
2 2
s
√ s
1
2
1
1
1 √ + +
=
− √
2
2
2
2 2
2 2
folgt
⇔
sin(3π/8)
sin(3π/8)
= p
>2
cos(3π/8)
1 − sin2 (3π/8)
4
sin2 (3π/8) >
5
s
s
1
1
1
1 1
16
√ + ·
1+2
− √
>
2
2
2
25
2 2
2 2
r
1
32
1+2
>
8
25
r
1
7
>
2
25
49
1
>
2
625
625 > 98
⇔
WAHR.
tan(3π/8) =
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
Aufgabe 56
Bestimmen Sie einen komplexen Logarithmus der folgenden komplexen Zahlen:
a) z1 = 5e2+5i ,
Lösung:
b) z2 = 3 − 5i,
c) z3 = 2 + 3i
In a) ist log(5) + 2 + 5i, in b)
denn
1
2
log(34) − i arctan( 35 ) und in c)
1
2
log(13) + i arctan( 23 ),
elog(5)+2+5i = elog(5) e2+5i = 5e2+5i = z1 ,
1
5
√
5
e 2 log(34)−i arctan( 3 ) = elog( 34) ei arctan(− 3 )
√
5
5
= 34(cos(arctan(− )) + i sin(arctan(− )))
3
3
√
5
3
= 34( √ − i √ )
34
34
= z2 ,
√
1
3
3
3
e 2 log(13)+i arctan( 2 ) = 13(cos(arctan( )) + i sin(arctan( )))
2
2
√
2
3
= 13( √ + i √ )
13
13
= z3 .