7. ¨Ubung (KW 28/29)

Physik 2 Hydrologen et al., SoSe 2013
— Lösungen —
7. Übung (KW 28/29)
7. Übung (KW 28/29)
Aufgabe 1
(E 3.1 Geschwindigkeitsfilter“)
”
Einem elektrischen Feld ist ein magnetisches Feld derart überlagert, dass ein mit
der Geschwindigkeit v0 senktrecht zum Magnetfeld eingeschossenes Elektron nicht
abgelenkt wird.
(a) Welche Winkel bilden die beiden Felder und die Richtung des einfliegenden
Elektrons miteinander?
(b) Zur Erzeugung des elektrischen Feldes wird an ein Plattenpaar (Plattenabstand
d) die Spannung U angelegt. Wie groß muss die magnetische Feldstärke H des
homogenen Magnetfeldes sein?
(c) Das magnetische Feld soll mit einer langen Spule (Windungszahl N , Länge l)
erzeugt werden. Welche Stromstärke I braucht man?
(d) Was geschieht, wenn Elektronen mit anderen Geschwindigkeiten (v > v0 bzw.
v < v0 ) eingeschossen werden?
d = 10 mm, U = 1.0 kV, v0 = 1.00 × 107 m s−1 , n =
Aufgabe 2
N
l
= 4 cm−1
(E 3.6 Spiegelgalvanometer“)
”
Bei einem Spiegelgalvanometer fließt der Strom, dessen Stromstärke I zu messen ist,
durch eine Rechteckspule (Windungszahl N , Kantenlängen h und b), die sich um
eine vertikale Achse drehen kann.
Spule
Spiegel
Eisenkern
N
S
N
S
Die vertikalen Seiten (h) der Spule bewegen sich im Spalt zwischen den Polschuhen
eines Permanentmagneten und einem zylindrischen Eisenkern in einem konstanten
Magnetfeld H (Radialfeld). Eine Torsionsfeder (Richtmoment D) erzeugt ein rücktreibendes Drehmoment. Die bei Stromfluss entstehende Winkelauslenkung aus der
Ruhelage wird durch einen Lichtstrahl angezeigt, der über einen kleinen, an der Spulendrehachse befestigten Spiegel auf die in der Entfernung l aufgestellte Skale gelenkt wird. Gesucht ist der Ausschlag x auf dieser Skale bei gegebener Stromstärke I
(x l).
N = 200, h = 2.5 cm, b = 3.0 cm, H = 1.00 × 105 A m−1 , D = 1.13 × 10−4 N m,
l = 1.00 m, I = 40 µA
Jens Patommel <[email protected]>
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Aufgabe 3
— Lösungen —
7. Übung (KW 28/29)
(E 4.5 Rotierende Spule“)
”
Durch eine lange Spule (Länge l1 , Windungszahl N1 ) fließt ein Strom mit der
Stromstärke I1 . In dieser Spule rotiert eine zweite Spule (Windungszahl N2 , Windungsfläche A2 ) mit der Frequenz f2 . Berechnen Sie den Maximalwert Um der entstehenden Wechselspannung!
l1 = 20 cm, N1 = 1000, I1 = 50 A, N2 = 400, A2 = 6.0 cm2 , f2 = 100 s−1
Aufgabe 4
(E 4.9 Induktivität“)
”
Eine lange Zylinderspule (Windungszahl N , Länge l, Durchmesser d) wird von einem
Strom durchflossen.
(a) Die Stromstärke ist konstant: I = I0 . Berechnen Sie den magnetischen Fluss Φ0
durch den Spulenquerschnitt!
(b) Für die Stromstärke gilt I = Im cos ωt. Berechnen Sie die in der Spule induzierte Spannung Ui (t)! Wie groß ist der Effektivwert Ueff der Wechselspannung
(Frequenz f )?
(c) Wie groß ist die Induktivität L der Spule?
N = 2000, I0 = 125 mA, Im = 65 mA, f = 50 Hz, l = 120 mm, d = 30 mm
Jens Patommel <[email protected]>
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Aufgabe 5
— Lösungen —
7. Übung (KW 28/29)
(W 1.6 Seilschwingung“)
”
Durch Anhängen einer Last der Masse m1 an einen Kranhaken der Masse m0 dehnt
sich das Seil um die Strecke ∆l. Mit welcher Frequenz f kann die Last vertikale
Schwingungen ausführen? Die Masse des Seiles und Reibungseinflüsse werden nicht
berücksichtigt.
m0 = 60 kg, m1 = 1050 kg, ∆l = 32 mm
Aufgabe 6
(W 2.1 Kugel in Öl“)
”
Eine Kugel der Masse m führt, an einer Feder der Federkonstanten k hängend, in
einem Ölbad gedämpfte Schwingungen aus. Für die Reibungskraft gilt FRx = −rvx .
Die Trägheit der Flüssigkeit wird nicht berücksichtigt. Die Ort-Zeit-Funktion dieser
schwach gedämpften Schwingung ist x(t) = xA e−δt sin(ωt + α).
(a) Man stelle die Bewegungsgleichung auf!
(b) Man bestimme die Kreisfrequenz ω und die Abklingkonstante δ!
(c) Welche Werte haben die Konstanten xA und α, wenn
die Bewegung zu der Zeit t = 0 bei x = 0 mit
der Geschwindigkeit vx0 > 0 beginnt? Welche Gestalt nimmt die Ort-Zeit-Funktion unter Berücksichtigung dieser Ergebnisse an?
(d) Zu welchen Zeitpunkten tn , n ∈ {0, 1, 2, . . . } treten
Maxima der Elongation auf? (Man mache sich ihre
Lage im x(t)-Diagramm klar.)
k
x
m
0
(e) Wie groß ist das Verhältnis zweier aufeinanderfol?
gender Maximalausschläge xxn+1
n
(f) Wie groß müsste die Federkonstante k 0 sein, damit
sich die Kugel im aperiodischen Grenzfall bewegt?
m = 250 g, k = 50 N m−1 , r = 377 g s−1 , vx0 = 112 cm s−1 , %K = 2.7 g cm−3
Jens Patommel <[email protected]>
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— Lösungen —
7. Übung (KW 28/29)
Lösung zu Aufgabe 1
(a) Auf das Elektron wirken die elektrische Kraft und die Lorenztkraft:
~ = −eE
~ ,
F~E = q E
~ = −e ~v × H
~ .
F~L = q ~v × B
µ0
Für die Richtungen der Kräfte gilt somit
~ ,
F~E k E
F~L ⊥ ~v ,
~ .
F~L ⊥ H
Damit das Elektron nicht abgelenkt wird, muss die Gesamtkraft Null sein, womit
sofort folgt, dass elektrische Kraft und Lorentz-Kraft parallel zueinander verlaufen:
F~ges = F~E + F~L = ~0
=⇒
F~E k F~L .
Wir wissen also, dass das E-Feld parallel zur elektrischen Kraft und diese wiederum parallel zur Lorentz-Kraft verläuft, folglich ist auch das E-Feld parallel zur
Lorentz-Kraft:
~ k F~L .
E
Da die Lorentz-Kraft senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor und senkrecht
auf dem magnetischen Feldstärkevektor steht, muss dies auch für das E-Feld gelten:
~ ⊥ ~v ,
E
~ ⊥H
~ .
E
(b) Die elektrische Kraft und die Lorentz-Kraft müssen sich gegenseitig kompensieren, für deren Beträge gilt also
|F~E | = |F~L |
=⇒
=⇒
eE = e
v0
H
µ0
µ0
µ0 U
E=
v0
v0 d
−7
4π · 10 V s A−1 m−1 1.0 kV
=
·
1.00 × 107 m s−1
0.01 m
−1
= 8000 A m .
H=
(c) Um die erorlerliche magneitsche Feldstärke zu erreichen, muss durch die lange
Spule der Strom
I=H
l
H
8000 A m−1
=
=
= 20 A .
N
n
4 cm−1
fließen.
Jens Patommel <[email protected]>
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7. Übung (KW 28/29)
(d) Die Elektronengeschwindigkeit beeinflusst die Stärke der Lorentz-Kraft, während die elektrische Kraft von der Geschwindigkeit unabhängig ist. Wenn die Elektronengeschwindigkeit kleiner wird als v0 , dann bleibt die elektrische Kraft konstant,
während die Lorentz-Kraft an Stärke abnimmt. Die elektrische Kraft gewinnt an
Überhand und das Elektron wird zur positiv geladenen Platte abgelenkt. Entsprechend wird das Elektron zur negativen Platte gelenkt, falls seine Geschwindigkeit
größer als v0 ist. Auf diese Weise ist es möglich, einen Elektronenstrahl mit vorgegebener Geschwindigkeit zu generieren, indem Elektronen mit unerwünschter Geschwindigkeit aus dem Strahl weggelenkt werden.
Lösung zu Aufgabe 2
Auf die stromdurchflossene Rechteckspule wirkt im Magnetfeld die Lorentz-Kraft
vom Betrage
FL = IlB sin(α) ,
wobei l die Länge des Leiterstücks und α der Winkel zwischen Leiter und Magnetfeld bezeichnen. Bei den beiden horizontalen Leiterstücken ist α = 0, auf sie wirkt
also keine Lorentz-Kraft. Auf die beiden senkrechten Leiterstücken wirkt hingegen
jeweils die Kraft
FL = IN hB .
(Man beachte die N Windungen!) Weil die elektrischen Ströme im linken und im
rechten Leiterstück unterschiedliche Orientierung haben, sind auch die LorentzKräfte unterschiedlich orientiert, so dass das von ihnen erzeugte Drehmoment den
Betrag
b
ML = 2FL sin(90°) = FL b = hbN BI
2
hat. Die Torsionsfeder erzeugt ihrerseits ein winkelabhängiges Drehmoment
MF = Dϕ ,
das im Falle des mechanischen Gleichgewichts denselben Betrag hat wie das von der
Lorentz-Kraft verursachte:
hbN BI
MF = ML =⇒ Dϕ = hbN BI =⇒ ϕ =
D
Wenn sich der am Leiterrechteck befestigte Spiegel um den Winkel ϕ verdreht, so
wird der vom Spiegel reflektierte Lichtstrahl um den Winkel 2φ abgelenkt, so dass
für den Auschlag auf der Skale die Beziehung
xl
x = l tan(2ϕ) = 2lϕ
gilt. Wir setzen ineinander ein und erhalten einen Ausschlag von
x = 2lϕ =
2µ0 lhbN HI
= 13.3 mm .
D
Jens Patommel <[email protected]>
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7. Übung (KW 28/29)
Lösung zu Aufgabe 3
I1 N1
~
dA
↵(t)
U2 (t)
~
B
A2
N2
senkrecht zur Zeichenebene
verlaufende Rotationsachse
l1
Die in der Sekundärspule induzierte Spannung ergibt sich aus der Zeitableitung des
magnetischen Flusses, der die Querschnittsfläche der Sekundärspule durchströmt“,
”
wobei es zu beachten gilt, dass jede der N2 Windungen additiv zur Gesamptspannung
beiträgt:
U2 (t) = −N2 Φ̇(t) .
(3.1)
Der magnetische Fluss wird berechnet, indem man die von der Primärspule erzeugte magnetische Flussdichte über der Querschnittsfläche A2 der Sekundärspule
integriert. Bezeichnet man den senkrecht auf dem Flächenelement stehenden Vektor
~ und den zeitabhängigen Winkel zwischen diesem Vektor
vom Betrage dA mit dA
und der magnetischen Flussdichte mit α(t) (siehe Zeichnung), so ergibt sich folgender
Ausdruck für den magnetischen Fluss:
x
x
x
~ B(~
~ r) = dAB(~r) cos α(t) = B cos α(t) dA = A2 B cos α(t) . (3.2)
Φ(t) = dA
A2
A2
A2
Hierbei wurde ausgenutzt, dass das Magnetfeld im Innern einer langen Spule räumlich homogen ist und überall parallel zur Spulenachse verläuft, so dass der von ~r
~ vor das Integral gezogen werden darf. Gleichung (3.2)
unabhängige Betrag B = |B|
setzen wir in (3.1) ein und erhalten unter Beachtung der Kettenregel
(3.1)
(3.2)
d
[A2 B cos α(t)] = N2 A2 B α̇(t) sin α(t) .
U2 (t) = −N2 Φ̇(t) = −N2 dt
(3.3)
Den Betrag B der räumlich homogenen und zeitlich konstanten magnetischen Flussdichte ermittelt man anhand der von der Primärspule erzeugten magnetischen Feldstärke zu
B = µ0 H = µ0
N1
I1 ,
l1
(3.4)
was sogleich in (3.3) eingesetzt wird:
(3.3)
(3.4)
U2 (t) = N2 A2 B α̇(t) sin α(t) = N2 A2 µ0
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N1
I1 α̇(t) sin α(t) .
l1
(3.5)
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7. Übung (KW 28/29)
Kümmern wir uns jetzt um die Winkel-Zeit-Funktion α(t)! Wenn wir annehmen,
dass die Sekundärspule mit konstanter Frequenz f2 und somit mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω2 = 2πf2 um eine zur Längsachse der Primärspule senkrecht
stehende Rotationsachse rotiert, so gilt für den Winkel α(t) und dessen Zeitableitung α̇(t):
α(t) = α0 + ω2 t = α0 + 2πf2 t ,
α̇(t) = ω2 = 2πf2 .
(3.6)
(3.7)
Ineinander eingesetzt erhalten wir die in der Sekundärspule induzierte Wechselspannung
(3.5)
U2 (t) = N2 A2 µ0
N1
(3.6)
I1 α̇(t) sin α(t) = 2πf2 µ0 N1 N2 A2 I1 l1−1 sin(α0 + 2πf2 t)
(3.7) |
{z
}
l1
Um
mit einer maximalen Amplitude von
Um = 2πµ0 f2 N1 N2 A2 I1 l1−1
= 8π 2 × 10−7 V s A−1 m−1 · 100 s−1 · 400 000 · 6.0 × 10−4 m2 · 50 A · (0.2 m)−1
= 47.4 V .
Lösung zu Aufgabe 4
(a) Der magnetische Fluss der vom konstanten Strom durchflossenen langen Spule
beträgt
Φ0 =
x
~ B(~
~ r) = B
dA
A
x
A
−6
= 1.85 × 10
dA = BA = µ0 HA = µ0 · I0
N π 2 1 2
N
· d = 4 πd µ0 I0
l 4
l
V s = 1.85 µWb .
(b) Die in der Spule induzierte Spannung errechnet sich als Produkt aus der Zeitableitung des magnetischen Flusses mit der Windungszahl:
d 1 2
N
N
Ui (t) = −N Φ̇(t) = −N
πd µ0 Im cos(ωt) = 14 πd2 N ωµ0 Im sin(ωt)
4
dt
l
l}
|
{z
Um
=⇒
Ueff
π 2
N
π2 2
N
Um
√
√
=
d N ωµ0 Im = √ d N f µ0 Im = 427 mV .
=
l
l
2
4 2
2 2
(c) Die Induktivität der Spule ergibt sich zu
L=
µ0 N 2 A
π
N2
= µ0 d2
= 29.6 V s A−1 = 29.6 H .
l
4
l
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7. Übung (KW 28/29)
Lösung zu Aufgabe 5
Bei dem Seil des Kranes gehen wir davon aus, dass dessen Ausdehnung proportional
zur Zugkraft ist. Den Proportionalitätsfaktor k errechnen wir aus der Information,
dass sich das Seil bei Anhängen einer Masse m1 um ∆l ausdehnt:
m1 g
Fg
=
.
(5.1)
∆l
∆1
Die bei der Schwingung zu beschleunigende Masse M setzt sich aus der Masse m0
des Kranhakens und der Masse m1 der Last zusammen und beträgt
k=
M = m0 + m1 .
(5.2)
Bezeichnet man die vertikale Auslenkung dieser Masse aus ihrer Ruhelage mit x(t)
und wendet das zweite Newtonsche Gesetz an, so erhält man die Bewegungsgleichung
M ẍ(t) = −kx(t)
2
⇐⇒ ẍ(t) + ω x(t) = 0 ,
ω=
r
k
M
(5.3)
mit der allgemeinen Lösung
x(t) = xm sin(ωt + α) .
Gesucht ist die Frequenz f , mit der die vertikale Schwingung stattfindet. Mit dem
m0
Zusammenhang ω = 2πf und der relativen Masse µ = m
erhalten wir folgendes
1
Ergebnis:
s
r
m1 g
k (5.1) 1
ω (5.3) 1
∆1
=
=
f=
2π
2π M (5.2) 2π m0 + m1
r
r
1
m1
1
1 g
g
=
=
2π m0 + m1 ∆l
2π 1 + µ ∆l
s
1
1
9.81 m s−2
= 2.71 Hz .
=
60 kg
2π 1 + 1050
32
mm
kg
Lösung zu Aufgabe 6
(a) Die Gesamtkraft auf die Kugel ist die Summe aus Feder- und Reibungskraft
und andererseits gleich dem Produkt aus Masse und Beschleunigung, so dass die
Bewegungsgleichung
Fges (t) = Fk (t) + Fr (t) = −kx(t) − rẋ(t) = mẍ(t)
⇐⇒
⇐⇒
k
ẍ(t) + mr ẋ(t) + m
x(t) = 0
2
ẍ(t) + 2δ ẋ(t) + ω0 x(t) = 0 ,
(6.1)
(6.2)
x(t) = x!A e−δt sin(ωt + α)
(6.3)
Jens Patommel <[email protected]>
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7. Übung (KW 28/29)
herauskommt mit der Abklingkonstanten δ und der Kreisfrequenz ω0 der zugehörigen
ungedämpften Schwingung.
(b) Vergleicht man (6.1) mit (6.2), so bekommt man folgendes für die Kreisfrequenzen und die Abklingkonstante heraus:
r
k
= 14.14 s−1
ω0 =
(6.4)
m
r
δ=
= 0.754 s−1
(6.5)
2m
q
ω=
ω02 − δ 2 = 14.12 s−1 .
(6.6)
(c) Setzt man die Anfangsbedingung x(0) = 0 in die Weg-Zeit-Funktion (6.3) ein,
so erhält man folgende Bedingung für den Parameter α:
!
x(0) = xA e−δ·0 sin(ω · 0 + α) = xA sin(α) = 0
x 6=0
A
⇐⇒
⇐⇒
sin(α) = 0
α = nπ , n ∈ Z .
(6.7)
Da die Sinus-Funktion periodisch ist mit der Periodenlänge 2π, kann man sich auf
das Intervall α ∈ [0, 2π) beschränken. Aus (6.7) wird dann
α ∈ {0, π} .
(6.8)
Eine weitere Bedingung für α erhält man aus der Anfangsbedingung für die Geschwindigkeit, diese muss nämlich zum Zeitpunkt t = 0 positiv sein, v0 = v(0) > 0.
Dazu wird erstmal abgeleitet,
v(t) = ẋ(t) = xA e−δt [ω cos(ωt + α) − δ sin(ωt + α)]
(6.9)
und t = 0 eingesetzt:
!
(6.7)
0 < v0 = v(0) = xA [ω cos(α) − δ sin(α)] = xA [ω cos(nπ) − δ sin(nπ)] = ωxA cos(nπ)
(
−ωxA , n ∈ Zu
=
=⇒ n ∈ Zg .
+ωxA , n ∈ Zg
Der Parameter α muss also ein geradzahliges Vielfaches von π sein, so dass in (6.8)
das π ausscheidet und man die neue Bedingung
α=0.
(6.10)
bekommt. Dies setzen wir zusammen mit v(0) = v0 in (6.10) ein und errechnen somit
die Amplitude
v0
!
v(0) = xA e−δ·0 [ω cos(ω · 0) − δ sin(ω · 0)] = ωxA = v0 =⇒ xA =
= 7.9 cm .
ω
Die Weg-Zeit-Funktion lautet demnach
v0
x(t) = e−δt sin(ωt) .
(6.11)
ω
Jens Patommel <[email protected]>
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7. Übung (KW 28/29)
(d) Notwendige Bedingung für das Auftreten von Maxima der differenzierbaren
Weg-Zeit-Funktion x(t) ist das Verschwinden der ersten Zeitableitung, d. h. nur dort,
wo die Geschwindigkeit Null wird, kann ein Maximum vorliegen. Wir suchen also
die Nullstellen der Geschwindigkeits-Zeit-Funktion v(t):
d !
xA e−δt sin(ωt) = xA e−δt [ω cos(ωt) − δ sin(ωt)] = 0
dt
xA = 0 ∨ e−δt = 0 ∨ ω cos(ωt) − δ sin(ωt) = 0
v(t) = ẋ(t) =
⇐⇒
x 6=0
A
⇐⇒
e−δt 6=0
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
ω cos(ωt) = δ sin(ωt)
sin(ωt)
ω
=
cos(ωt)
δ
ω
tan(ωt) =
δ ω
ωt = arctan
+ mπ ,
δ
m∈Z.
Nicht jede dieser Geschwindigkeitsnullstellen entspricht einem Maximum der Elongation, sondern Maxima und Minima wechseln sich ab, wie man der Abbildung
entnehmen kann. Wenn m ∈ Z gerade ist, so hat man es mit einem Maximum,
ansonsten mit einem Minimum zu tun. Die Lage der Maxima und der Minima wird
durch folgende Formeln beschrieben:
ω 1
= 108 ms
tmax,n = tmax,0 + nT , tmax,0 = arctan
ω
δ
ω π
1
tmin,n = tmin,0 + nT , tmin,0 = arctan
+ = 331 ms
ω
δ
ω
2π
T =
= 446 ms , n ∈ Z .
ω
In der Abbildung entsprechen die Maximal- und die Minimalstellen von x(t) den
Schnittpunkten der blau gezeichneten Tangensfunktion mit der braun gezeichneten
horizontalen Geraden ω/δ. Es sei bemerkt, dass die Maximalstellen von x(t) nicht
identisch sind mit den Maximalstellen der Sinusfunktion! Je nach Lage der braunen
horizontalen Geraden rutschen die Schnittpunkte mehr oder weniger deutlich von
den Maximalstellen der Sinusfunktion weg. Je kleiner ω/δ ist, d. h. je näher die braune
Gerade der Abszissenachse kommt, desto weiter rutschen die Schnittpunkte mit der
Tangensfunktion nach links, entfernen sich also von den Polstellen der Tangensfunktion und somit von den Maximalstellen der Sinusfunktion. Wird ω/δ hingegen größer,
so nähern sich die Scnittpunkte immer weiter den Polstellen des Tangens und somit
den Maximalstellen des Sinus. In der Aufgabe ist ω/δ = 18.73, dies ist schon groß
genug ist, um die Orte der Maxima von x(t) und von sin(t) in der Zeichnung kaum
noch voneinander unterscheiden zu können. Deshalb habe ich noch einen zweiten
Graphen gezeichnet, der die Situation einer stärkeren Dämpfung mit ω/δ = 2 darstellt. Hier liegt die braune Gerade nahe genug an der Abszissenachse, so dass man
die Abweichung der Maximalstellen von x(t) und sin(t) deutlich erkennt.
Jens Patommel <[email protected]>
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m=
1
— Lösungen —
m=0
7. Übung (KW 28/29)
m=1
m=2
!/
tan(!t)
xA
xA exp
! !t
sin(!t)
!t
xA exp
1
2⇡
! !t
sin(!t)
⇡
!/ = 18.73
xA exp
! !t
!/ = 2
xA
m=
1
tan(!t)
m=0
m=1
m=2
!/
!t
sin(!t)
!t0
!T
1
2⇡
xA exp
! !t
⇡
sin(!t)
Jens Patommel <[email protected]>
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— Lösungen —
7. Übung (KW 28/29)
(e) Wir berechnen zuerst das Verhältnis zweier beliebiger Maxima xm und xn und
betrachten anschlieend den Spezialfall zweier benachbarter Maxima.
xn
xA e−δtn sin(ωtn )
=
xm
xA e−δtm sin(ωtm )
sin(ωtn )
= e−δ(tm −tn )
sin(ωtm )
sin(ω[t0 + nT ])
sin(ω[t0 + mT ])
sin(ωt0 + nωT )
= e−δ(n−m)T
sin(ωt0 + mωT )
ωT =2π − 2πδ (n−m) sin(ωt0 + 2nπ)
= e ω
sin(ωt0 + 2mπ)
2πδ
sin(ωt0 )
= e− ω (n−m)
sin(ωt0 )
= e−δ[(t0 +nT )−(t0 +mT )]
= e−
2πδ
(n−m)
ω
.
(6.12)
Gleichung (6.12) gibt das Verhältnis zweier beliebiger Maxima m, n ∈ Z an. Das
Verhältnis zweier unmittelbar aufeinanderfolgender Maxima bekommt man, indem
n = m + 1 eingesetzt wird:
2πδ
xm+1
= e− ω = 0.715 .
xm
(f ) Der aperiodische Granzfall tritt auf, wenn die Periodenlänge der gedämpften
Schwingung unendlich bzw. die Kreisfrequenz ω Null wird:
r
q
k0
r2 !
(6.6)
(6.4)
ω =
ω02 − δ 2 =
−
=0
(6.5)
m 4m2
2
⇐⇒
(0.377 kg s−1 )
r2
=
= 0.142 N m−1 .
k =
4m
4 · 0.250 kg
0
Quellen
Die Aufgaben sind entnommen aus: Peter Müller, Hilmar Heinemann, Heinz Krämer,
Hellmut Zimmer, Übungsbuch Physik, Hanser Fachbuch, ISBN: 978-3-446-41785-4
http://www.hanser-fachbuch.de/buch/Uebungsbuch+Physik/9783446417854
Die Übungs- und Lösungsblätter gibt es unter
http://newton.phy.tu-dresden.de/~patommel/Physik_2_hydro
Die Homepage zur Vorlesung findet sich unter
http://iktp.tu-dresden.de/index.php?id=839
Jens Patommel <[email protected]>
12