Die Eigenwertasymptotik für Schrödinger

Die Eigenwertasymptotik für Schrödinger-Operatoren
Schriftliche Ausarbeitung zum 13. Vortrag
des Hauptseminars
Eigenwerte des Laplaceoperators
Vortrag gehalten am: 21.07.2009
Referent:
Andrey Tyukin
Betreuer:
Herr Prof. Dr. Vadim Kostrykin
0
Einführung
Das Thema dieses Vortrags ist der Schrödinger-Operator und seine Eigenwerte. Der SchrödingerOperator ist ein Operator aus der Quantenmechanik. In der Quantenmechanik beschreibt man die
Zustände der Teilchen durch komplexwertige, quadratintegrierbare Wellenfunktionen, wir betrachten
daher im Folgenden (sofern nicht anders gesagt) den Hilbertraum
H := L2 (Rm , C)
mit dem Skalarprodukt und der induzierten Norm
Z
ψ(x)ϕ(x)dm x
(ψ, ϕ) :=
kψk :=
p
(ψ, ψ)
Rm
Für eine reellwertige, lokal messbare Funktion V : Rm → R bezeichnen wir den dazugehörigen
Multiplikationsoperator mit demselben Buchstaben:
V ψ (x) := V (x)ψ(x)
Der Schrödinger-Operator zu solch einer Funktion V ist dann gegeben durch:
H := − ∆ +V
Der negative Laplace-Operator wird in diesem Zusammenhang auch als Operator der kinetischen
Energie bezeichnet, die Funktion V wird oft Potential genannt. Die negativen Eigenwerte des
Schrödinger-Operators entsprechen den sogenannten gebundenen Zuständen, etwa Energien der Elektronen, die an ein Atomkern gebunden sind.
In der Physik wird gefordert, dass H selbstadjungiert ist. Für unbeschränkte Operatoren (zu
den Laplace- und Schrödinger-Operatoren gehören) ist es wie folgt definiert:
0.1 Definition (Selbstadjungierte Operatoren): Ein Operator H heißt selbstadjungiert, wenn
gilt: H = H ∗ , bzw.
(ϕ, Hψ) = (Hϕ, ψ)
und D(H) = D(H ∗ ), wobei D(H) der Definitionsbereich von H ist.
0.2 Bemerkung (Definitionsbereich, Eigenwerte, Wesentliche Spektrum):
1. Der Definitionsbereich eines unbeschränkten Operators kann nicht der gesamte Hilbertraum
sein, dies ist ein Korollar aus dem Satz vom abgeschlossenen Graphen, bekannt als Satz von
Hellinger-Töplitz [W, Satz V.5.5]. Man muss sich also stets mit dem Definitionsbereich auseinandersetzen.
2. Ob der Schrödinger-Operator zu einem V selbstadjungiert ist, ist keine triviale Fragestellung.
Hier werden ohne Beweis einige Sätze zitiert, die die benötigte Selbstadjungiertheit sicherstellen.
3. Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell.
4. Ein Phänomen, das bei bisherigen Betrachtungen des Laplace-Operators auf beschränkten
Mengen nicht aufgetreten ist, ist das wesentliche Spektrum, notiert σess (H). Man könnte sich
darunter zunächst Häufungspunkte von Eigenwerten, unendlichfach entartete Eigenwerte, oder
bereiche des Spektrums, die gar keine Eigenwerte sind, vorstellen. Wir wollen nur Eigenwerte
betrachten, die nicht zum wesentlichen Spektrum gehören.
2
1
Qualitative Eigenschaften des Spektrums
1.1 Satz (Min-Max Prinzip, Operator-Version): Sei H selbstadjungierter, von unten beschränk2
ter Operator, d.h. ∃ c ∈ R s.d. (ψ, Hψ) ≥ c kψk ∀ψ ∈ D(H). Dann gilt für
µn (H) :=
sup
inf
(ψ, Hψ)
ϕ1 ,...,ϕn−1 ∈H ψ∈D(H);kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕn−1 }
entweder
a) Es gibt mindestens n Eigenwerte (entartete E.W. mehrfach gezählt) unterhalb inf σess (H) und
µn ist der n-te Eigenwert
oder
b) µn ist der untere Rand des wesentlichen Spektrums: µn = inf σess (H). In diesem Fall gibt es
höchstens (n − 1) Eigenwerte kleiner als µn , und es gilt: µl = µn ∀ l > n, d.h. die Folge der
µn ’s verläuft ab hier konstant.
Beweis: Der Beweis erfordert Vorkenntnisse über projektorwertige Maße und Charakterisierungen des wesentlichen Spektrums, ist aber an sich recht übersichtlich: In vier kurzen Teilschritten
werden unzutreffende Annahmen durch mehr oder weniger direkte Widersprüche zur Definition des
wesentlichen Spektrums widerlegt. Für Details siehe [RS4, XIII.1 Theorem XIII.18].
1.2 Satz (Rayleigh-Ritz): Sei H ein selbstadjungierter, von unten beschränkter Operator auf H .
Sei V ⊂ D(H) ein n-dimensionaler Vektorraum und P = P 2 = P ∗ die orthogonale Projektion auf
V . Betrachte den Operator P HP . Wegen
(P HP )∗ = P ∗ H ∗ P ∗ = P HP
R(P ) = R(P ∗ ) = V ⊂ D(H) = D(H ∗ )
ist dieser Operator selbstadjungiert. Sei HV := P HP V , die Einschränkung von P HP auf V . HV
ist ein selbstadjungierter Endomorphismus des endlichdimensionalen komplexen Vektorraumes V ,
die Eigenwerte von HV sind reell. Seien µ̂1 ≤ . . . ≤ µ̂n die aufsteigend geordneten Eigenwerte von
HV (entartete Eigenwerte kommen mehrfach vor). Dann gilt:
µm (H) ≤ µ̂m
∀m = 1...n
Insbesondere gilt: hat H Eigenwerte λ1 ≤ · · · ≤ λk unterhalb des essentiellen Spektrums (wobei λ1
der kleinste Eigenwert sein soll), so gilt:
λm ≤ µ̂m
∀ m = 1 . . . min{n, k}
Beweis: Bemerke, dass für beliebige ψ ∈ V gilt:
(ψ, HV ψ) = (ψ, P HP ψ) = (P ψ, H(P ψ)) = (ψ, Hψ)
ψ ⊥ (P ϕ) ⇔ (ψ, P ϕ) = 0 ⇔ (P ψ, ϕ) = 0 ⇔ (ψ, ϕ) = 0 ⇔ ψ ⊥ ϕ
3
(∗)
(∗∗)
Damit erhält man die gewünschte Abschätzung:
(1.1)
µ̂m =
(∗)
=
inf
ψ∈V ;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕm−1 }
sup
inf
ϕ1 ,...,ϕm−1 ∈V
ψ∈V ;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕm−1 }
=
(ψ, HV ψ)
(ψ, Hψ)
sup
inf
ϕ1 ,...,ϕm−1 ∈H
ψ∈V ;kψk=1;
ψ⊥{P ϕ1 ,...,P ϕm−1 }
(∗∗)
=
≥
sup
ϕ1 ,...,ϕm−1 ∈V
(ψ, Hψ)
sup
inf
ϕ1 ,...,ϕm−1 ∈H
ψ∈V ;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕm−1 }
sup
inf
(ψ, Hψ)
(ψ, Hψ)
ϕ1 ,...,ϕm−1 ∈H ψ∈D(H);kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕm−1 }
= µm (H)
1.3 Bemerkung (Anwendungen): Der Satz 1.2 ist sowohl für numerische Berechnungen, als
auch für Beweise der qualitativen Eigenschaften des Spektrums geeignet, hier sind einige Beispiele
aufgelistet:
1. Um Eigenwerte eines Operators H nach oben abzuschätzen, kann man beliebige
orthonormale
Vektoren ψ1 , . . . , ψn ∈ D(H) nehmen, und die Matrixdarstellung (ψi , Hψj ) i=1...n von HV
j=1...n
für V =< ψ1 , . . . , ψn > numerisch diagonalisieren.
2. Man kann für einige Spezialfälle zeigen, dass die Abschätzungen gegen die tatsächlichen Eigenwerte für n → ∞ konvergieren.
3. Für µ1 (H) kann man auch Abschätzungen nach unten angeben, wodurch die Schätzungen
insgesamt aussagekräftiger werden. Die Größe µ1 (H) hat in der Physik eine wichtige Bedeutung: sie entspricht dem sogenannten Grundzustand des Atoms, und ist gut dazu geeignet, die
Übereinstimmung zwischen den theoretischen Berechnungen und experimentellen Befunden zu
testen.
4. Ist eine untere Schranke X für’s wesentliche Spektrum bekannt, d.h. σess (H) ⊂ [X, ∞), und
findet man µn < X, so hat man die Existenz von mindestens n Eigenwerten bewiesen.
♦
Im Folgenden wird die Anwendung 4 am Beispiel des Schrödinger-Operators mit CoulombPotential
Z
V : R3 → R , x 7→ −
,
Z>0
|x|
demonstriert. Da dieses Potential offenbar kugelsymmetrisch ist, werden oft die Abkürzungen r ≡ |x|
und V (r) := − 1r verwendet. Durch dieses Potential können wasserstoffähnliche Atome/Ione modelliert werden, bei den z.B. ein einzelnes Elektron an ein Atomkern gebunden ist. Die Konstante Z
4
steht für die Kernladungszahl. Das Modell ist stark vereinfacht, und erklärt bei weitem nicht alle
beobachteten Phänomene, dafür können (im Gegensatz zu präziseren Modellen) alle Eigenfunktionen von H sogar explizit angegeben werden (die Berechnung ist in vielen Büchern über Quantenmechanik zu finden, siehe z.B. [T, Ch.3 §5] oder [LL3, Kap.V §36]). Diesen Weg wollen wir jedoch
nicht beschreiten, da der Beweis, der auf 1.2 basiert, zum einen einfacher ist, und zum anderen nicht
für ein einziges Potential, sondern für eine große Klasse von Funktionen gültig ist, auch wenn hier
nur exemplarisch auf das Coulomb-Potential eingegangen wird. In aller Allgemeinheit ist der Satz
in [RS4, XIII.3 Theorem XIII.6] zu finden.
Zunächst müssen wir einige Eigenschaften von H überprüfen, um 1.2 anwenden zu dürfen.
1.4 Lemma (Kriterium für Selbstadjungiertheit): Ist V = V1 + V2 mit V1 ∈ L2 (R3 ) und
V2 ∈ L∞ (R3 ), dann ist H = − ∆ +V selbstadjungiert mit D(H) = W 2,2 (R3 ).
Beweis: Dieser Satz ist ein Korollar aus dem Kato-Rellich-Kriterium, hier wird nicht weiter darauf
eingegangen. Für Details siehe [T, Ch. 3 §1.1 Theorem 1.2].
1.5 Lemma (Lage des wesentlichen Spektrums):
3
V ∈ L2 (R3 ) + L∞
ε (R )
⇒
σess (H) = [0, ∞)
Beweis: Die Voraussetzungen sind sehr speziell und auf das Beispiel des Schrödinger-Operators mit
Coulomb-Potential zugeschnitten. Man kann auch in wesentlich allgemeineren Situationen ähnliche
Aussagen treffen, für diese konkrete Aussage siehe [RS4, XIII.4, Theorem XIII.15 b) n=3], für
allgemeinere Aussagen siehe [RS4, XIII.4, Theorem XIII.15], [T, Ch. 3, §1.2 Theorem 1.7].
Im Folgenden wird entscheidend, dass der Schrödinger-Operator für das Coulomb-Potential selbstadjungiert ist, und dass das wesentliche Spektrum genau [0, ∞) ist, daher wollen wir nachprüfen,
ob die Voraussetzungen der letzten beiden Sätze zutreffen. Dazu muss das Potential V = −1/r als
Summe einer auf R3 quadratintegrierbaren Funktion und einer in der Supremumsnorm durch ε > 0
beschränkten Funktion dargestellt werden. Der Pol in 0 ist nicht der Grund, warum V auf ganz R3
nicht quadratintegrierbar ist. Vielmehr liegt es daran, dass der Betrag von V für r → ∞ zu langsam
abfällt. Dafür aber wird V weit draußen betragsmäßig beliebig klein. Es müsste also genügen, V
durch eine Kugel mit dem Mittelpunkt in 0 zu unterteilen: innerhalb der Kugel wäre die Funktion dann quadratintegrierbar, außerhalb der Kugel wäre sie in der Supremumsnorm beschränkt.
Genauer:
Sei ε > 0 beliebig klein. Setze R := 1/ε, V1 := V χBR (0) , V2 := V χR3 \BR (0) . Dann gilt offenbar:
V = V1 + V2 . Dabei ist V1 quadratintegrierbar:
Z
Z 1 2
1 3
3
d x
kV1 kL2 (R3 ) = − χBR (0) d x =
r
r2
R3
BR (0)
Zπ Z2πZR
=
0
0
1 2
r sin(θ)drdφdθ = R
r2
0
Zπ Z2π
sin(θ)dφdθ
0
= 4πR < ∞
5
0
Nach Wahl von R gilt für die Supremumsnorm von V2 :
kV2 kL∞ (R3 ) = kV2 kL∞ (R3 \BR (0)) =
1
=ε
R
3
Also ist V ∈ L2 (R3 ) + L∞
ε (R ), und somit ist H laut den Sätzen 1.4 und 1.5 selbstadjungiert mit
2,2
3
D(H) = W (R ) und σess (H) = [0, ∞).
♦
Um die Rayleigh-Ritz-Methode anwenden zu können, müssen wir zusätzlich wissen, dass der
Schrödinger-Operator für das Coulomb-Potential von unten beschränkt ist. Anschaulich ist es
zunächst nicht unbedingt klar: man könnte glauben, dass für kψk = 1 der Ausdruck
1
(ψ, Hψ) = (ψ, − ∆ ψ) − ψ, ψ
r
wegen dem zweiten Summanden beliebig klein werden kann, wenn die Funktion ψ in eine sehr
kleine Kugel um den Ursprung ”gepresst” wird (denn dort nimmt 1r sehr große Werte an). Damit
es nicht passiert, müssen die kinetischen Terme im ersten Summanden diese Divergenz gegen −∞
ausgleichen, d.h. sehr groß werden. Was man an dieser Stelle benötigt könnte man also physikalisch
als eine Art ”Unschärferelation” auffassen.
1.6 Lemma (Unschärferelation): Sei ψ ∈ C0∞ (R3 ) beliebig. Dann gilt:
Z
Z
1
2 3
2
|ψ(x)|
d
x
≤
|∇ψ(x)| d3 x
4r2
R3
R3
Beweis: Für den Beweis werden keine weiteren Sätze benötigt, allerdings ist er etwas trickreich und
erfordert Geduld beim Rechnen. Für Details siehe [RS2, X.2 Lemma p.169]
Mit Hilfe dieser Ungleichung erhält man für H = − ∆ + Zr die Beschränktheit von unten wie folgt:
1
Sei R := 4Z
. Dann gilt für r ≤ R: 4r12 ≥ Zr , und damit:
Z
Z
Z
Z
Z
Z
2 3
2 3
2
|ψ(x)| d x =
|ψ(x)| d x +
|ψ(x)| d3 x
r
r
r
R3
R3 \BR (0)
BR (0)
Z
1
Z
2
|ψ(x)| d3 x +
4r2
R
≤
≤
1
Z
2
|ψ(x)| d3 x +
4r2
R
Z
≤
Z
Z
2
2
|∇ψ(x)| d3 x + kψkL2 (R3 )
R
R3
Daraus ergibt sich:
6
2
|ψ(x)| d3 x
R3
R3
1.6
2
|ψ(x)| d3 x
R3 \BR (0)
BR (0)
Z
Z
Z
ψ, − ∆ ψ − ψ
r
Z
Z
Z
2
2
= |∇ψ(x)| d3 x −
|ψ(x)| d3 x
r
R3
R3
Z
Z
Z
2 3
2
2
≥ |∇ψ(x)| d x − |∇ψ(x)| d3 x − kψkL2 (R3 )
R
(ψ, Hψ) =
R3
= −4Z
R3
2
2
kψkL2 (R3 )
also ist H von unten beschränkt. Diese Tatsache hat in der Quantenmechanik eine recht interessante Interpretation: wäre der Operator nicht von unten beschränkt, so gäbe es keinen gebundenen
Zustand mit einer minimalen Energie, und die Elektronen könnten solange Energie abgeben, bis
sie in den Atomkern stürzen. Diese Abschätzung impliziert also gewissermaßen die ”Stabilität des
Wasserstoffatoms”.
♦
Nun sind alle Vorbereitungen abgeschlossen, und wir können mithilfe der Rayleigh-Ritz Methode
eine wichtige qualitative Aussage über die Gestalt des Spektrums von H machen.
1.7 Satz (Eigenwerte des Schrödinger-Operators mit Coulomb-Potential): Sei H = − ∆ − 1r
auf L2 (R3 ) der Schrödinger-Operator mit Coulomb-Potential (die Konstante Z > 0 spielt für qualitative Eigenschaften keine Rolle, und wurde daher auf 1 gesetzt).
Behauptung: H hat unendlich viele negative Eigenwerte endlicher Multiplizität.
Beweis: Die Beweisidee basiert auf der Bemerkung 1.3 (4). Wir werden einen ganz speziellen
endlich dimensionalen Vektorraum V so konstruieren, dass die Eigenwerte des Operators HV (aus
1.2) alle negativ sind.
Sei dazu ψ(r) ∈ C0∞ (R3 ) eine kugelsymmetrische (d.h. Funktionswerte hängen nur vom Radius
r ab), reellwertige, unendlich oft differenzierbare Funktion mit dem Träger auf einer Kugelschale:
supp(ψ) ⊂ {x ∈ R3 1 < |x| < 2} und kψk = 1.
Für R > 0 sei ψR (r) := R−3/2 ψ(rR−1 ) (man könnte sich vorstellen, als ob der Träger von ψ
auf eine größere Kugelschale gestreckt wird, während die Funktionswerte von ψ gestaucht werden).
7
Die Koeffizienten sind dabei genau so gewählt, dass die L2 -Norm von ψR stets 1 bleibt:
Z
2
2
kψR k = |ψR (r)| d3 x
R3
Zπ Z2πZ∞
2
R−3/2 ψ(rR−1 ) r2 sin(θ)drdφdθ
=
0
0
0
Zπ Z2πZ∞
=
0
0
0
Zπ Z2πZ∞
=
0
ψ 2 (rR−1 )(rR−1 )2 sin(θ)(rR−1 )drdφdθ
0
ψ 2 (ξ)ξ 2 sin(θ)dξdφdθ
0
2
= kψk = 1
Im vorletzten Schritt der Rechnung wurde rR−1 durch ξ substituiert.
Ferner gilt offenbar: supp(ψR ) ⊂ {x ∈ R3 R < |x| < 2R}, insbesondere sind die Träger von ψR
und ψS disjunkt, wenn S ≥ 2T ist.
1
für alle
Sei nun ε ∈ (0, 1) beliebig, und dazu ein R0 > 0 so groß, dass V (x) = − 1r ≤ − r2−ε
r > R0 gilt. Insbesondere gilt dann für R > R0 :
(ψR , HψR ) = (ψR , − ∆ ψR ) + (ψR , V ψR )
1
≤ (ψR , − ∆ ψR ) − ψR , 2−ε ψR
r
Z
Z
2
2 3
1
ψR (r) d3 x
=
∇ψR (r) d x −
2−ε
r
R3
R3
Zπ Z2πZ∞
=
0
0
0
Zπ Z2πZ∞
−
1
r2−ε
0
= R−2
2
∂
ψ(rR−1 )R−1 r2 sin(θ)drdφdθ
∂r
R−3/2
0
0
Zπ Z2πZ∞
0
2
R−3 ψ(rR−1 ) r2 sin(θ)drdφdθ
0
2
∂
ψ(rR−1 ) (rR−1 )2 sin(θ)R−1 drdφdθ
∂r
0
Zπ Z2πZ∞
2
1
ψ(rR−1 ) (rR−1 )2 sin(θ)R−1 drdφdθ
(rR−1 )2−ε
0 0 0
−2
= R (ψ, − ∆ ψ) − R−2+ε ψ, r−2+ε ψ
− R−2+ε
Bemerke, dass im fünften Schritt die Darstellung des Gradienten in Polarkoordinaten
∇=
∂
1 ∂
1
∂
+
+
∂r r ∂θ r sin(θ) ∂φ
8
benutzt wurde, wobei die partiellen Ableitungen nach φ und θ wegen der Kugelsymmetrie verschwinden. Im letzten Schritt wurde wieder dieselbe Substitution wie bei der Berechnung der Norm
angewandt.
Betrachten wir die letzte Zeile etwas genauer. Der (bezüglich R) konstante Ausdruck (ψ, − ∆ ψ)
ist positiv, da der Laplace-Operator positiv ist (durch Green’sche Identität erhält man nämlich ein
Integral über den nichtnegativen Betrag
des Gradienten von ψ, und dieser kann nicht fast überall
0 sein). Die Konstante ψ, r−2+ε ψ ist offenbar ebenfalls positiv. Da ε > 0 ist, gilt für R → ∞:
O(R−2 ) ( O(R−2+ε ), das heißt der linke Term wird für große R vernachlässigbar, und die Differenz
wird irgendwann insgesamt negativ.
Sei also Q > 0 so groß, dass (ψR , HψR ) < 0 für alle R ≥ Q gilt. Für ein beliebig großes n ∈ N
betrachte den endlich dimensionalen Vektorraum:
V := span{ϕj }j=1...n
mit
ϕj := ψ2j Q
Werte der ϕj für j = 1 . . . 4 auf einer Ebene durch den Nullpunkt.
Dieser Vektorraum hat folgende Eigenschaften:
• Die Träger der Basisvektoren sind paarweise disjunkt:
supp(ϕi ) ∩ supp(ϕj ) = ∅
∀ i 6= j
daraus (zusammen mit kϕj k = 1) ergibt sich sofort: (ϕi , ϕj ) = δi,j , das heißt die Basis
{ϕj }j=1...n ist orthonormal, insbesondere ist V n-dimensional.
• Genauso folgt aus der Disjunktheit der Träger:
(ϕi , HV ϕj ) = (ϕi , Hϕj ) = 0
∀ i 6= j
das bedeutet, dass die Matrixdarstellung von HV bezüglich der Basis {ϕj }j=1...n eine Diagonalmatrix ist. Aus der Linearen Algebra ist bekannt, dass die Eigenwerte µ̂j von HV gerade
9
die Einträge auf der Hauptdiagonale sind, es gilt also:
{µ̂j }j=1...n = {(ϕj , Hϕj )}j=1...n
Insbesondere sind nach Wahl von ϕj alle diese Eigenwerte negativ: µ̂j < 0 ∀ j = 1 . . . n.
Laut Rayleigh-Ritz gilt:
µj (H) ≤ µ̂j < 0
Da wir aus dem Satz 1.5 wissen, dass σess (H) = [0, ∞) ist, muss es sich bei µj (H)’s um Eigenwerte
endlicher Multiplizität handeln. Da n beliebig groß gewählt werden kann, erhalten wir insgesamt,
dass H unendlich viele negative Eigenwerte endlicher Multiplizität besitzt.
10
2
Eigenwertasymptotik für Schrödinger-Operatoren
2.1 Definition (Notation):
1. Für einen Selbstadjungierten Operator T und ein Intervall I ⊂ R \ σess (T ) sei N (I, T ) die
Zählerfunktion für Eigenwerte von T im Intervall I (entartete Eigenwerte sollen ihrer Multiplizität entsprechend mehrfach gezählt werden).
Der Wert ∞ ist explizit zugelassen und auch möglich, obwohl die Menge der zu zählenden
Eigenwerte immer abzählbar ist, und alle Eigenwerte höchstens endlichfach entartet sind.
2. Sei ein Hilbertraum H = H1 ⊕ H2 als direkte Summe von Hilberträumen gegeben. Für
selbstadjungierte Operatoren A, B auf H1 bzw. H2 wird der Operator A ⊕ B auf H definiert
durch:
(A ⊕ B)[ψ1 , ψ2 ] := [Aψ1 , Bψ2 ]
D(A ⊕ B) = D(A) ⊕ D(B)
(die eckigen Klammern [. . . , . . . ] sollen für den Moment einfach nur Tupel bedeuten, um Verwechslungen mit dem Skalarprodukt auszuschließen). Der Hilbertraum H wird mit dem
folgenden Skalarprodukt versehen:
([ϕ1 , ϕ2 ], [ψ1 , ψ2 ]) = (ϕ1 , ψ1 )1 + (ϕ2 , ψ2 )2
Mit dieser Notation erhalten wir für Laplace-Operatoren mit Dirichlet bzw. Neumann-Randbedingungen
auf disjunkten offenen Mengen Ω1 , Ω2 , . . . :
M
i Ωi
i
− ∆∪
=
− ∆Ω
D
D
i
i Ωi
− ∆∪
N
=
M
i
− ∆Ω
N
i
2.2 Lemma (Eigenschaften der Zählerfunktion):
1. A ⊕ B ist selbstadjungiert
2. N (I, A ⊕ B) = N (I, A) + N (I, B)
Beweis:
1. Die Selbstadjungiertheit überträgt sich unmittelbar von A und B auf (A ⊕ B).
Zur Symmetrie:
(ϕ, (A ⊕ B)ψ) = (ϕ1 , Aψ1 )1 + (ϕ2 , Bψ2 )2 = (Aϕ1 , ψ1 )1 + (Bϕ2 , ψ2 )2 = ((A ⊕ B)ϕ, ψ)
Aus der Gestalt des Skalarproduktes auf H ist ersichtlich:
(A ⊕ B)∗ = A∗ ⊕ B ∗
Zum Definitionsbereich:
D(A ⊕ B) = D(A) ⊕ D(B) = D(A∗ ) ⊕ D(B ∗ ) = D(A∗ ⊕ B ∗ ) = D((A ⊕ B)∗ )
11
2. Mit σdisc (H) := σ(H)\σess (H) bezeichnen wir im Folgenden das sogenannte diskrete Spektrum,
das die endlichfach entarteten Eigenwerte beinhaltet, für die wir uns interessieren.
Wir zeigen zuerst:
I ∩ σdisc (A ⊕ B) = I ∩ σdisc (A) ∪ σdisc (B)
(∗)
Sei dazu λ ∈ I ∩ σdisc (A ⊕ B), und ψ = [ψ1 , ψ2 ] 6= 0 die dazugehörige Eigenfunktion. Offenbar
ist dann entweder ψ1 6= 0 Eigenfunktion von A zum Eigenwert λ, oder ψ2 6= 0 Eigenfunktion
von B zum Eigenwert λ. Das heißt gerade dass λ ∈ σdisc (A) ∪ σdisc (B).
Ist andererseits λ ∈ I ∩ σdisc (A) ∪ σdisc (B) , dann gibt es zumindest zu einem der beiden
Operatoren eine Eigenfunktion ϕ 6= 0 zum Eigenwert λ. Dann ist entweder [ϕ, 0] 6= 0 oder
[0, ϕ] 6= 0 eine Eigenfunktion von (A ⊕ B) zum Eigenwert λ, also ist λ ∈ I ∩ σdisc (A ⊕ B).
Für Eigenräume und Multiplizitäten verwenden wir für den Moment die Notation:
(
ϕ ∈ D(T ) | T ϕ = λϕ
falls λ ∈ σdisc (T )
Eig(λ, T ) :=
{0}
sonst
m(λ, T ) := dim(Eig(λ, T ))
Bemerke, dass {0} natürlich kein ”Eigenraum” im eigentlichen Sinne ist, diese Festlegung
ermöglicht jedoch die kurze Schreibweise:
Eig(λ, A ⊕ B) = Eig(λ, A) ⊕ Eig(λ, B)
(∗∗)
Für die Zählerfunktion bedeutet dies:
X
Def
N (I, A ⊕ B) =
m(λ, A ⊕ B)
λ∈I ∩ σdisc (A ⊕ B)
Def
X
=
dim(Eig(λ, A ⊕ B))
λ∈I ∩ σdisc (A ⊕ B)
(∗∗)
=
X
dim Eig(λ, A) ⊕ Eig(λ, B)
λ∈I ∩ σdisc (A ⊕ B)
LA
=
X
dim Eig(λ, A) + dim Eig(λ, B)
λ∈I ∩ σdisc (A ⊕ B)
(∗)
X
=
λ∈I ∩(σdisc (A) ∪ σdisc (B))
X
=
=
X
dim Eig(λ, A) +
X
dim Eig(λ, B)
λ∈I ∩(σdisc (A) ∪ σdisc (B))
λ∈I ∩ σdisc (A)
Def
X
dim Eig(λ, A) +
dim Eig(λ, B)
λ∈I ∩ σdisc (B)
m(λ, A) +
λ∈I ∩ σdisc (A)
X
m(λ, B)
λ∈I ∩ σdisc (B)
Def
= N (I, A) + N (I, B)
Im drittletzten Schritt wurde ausgenutzt, dass
∀ λ ∈ σdisc (A) \ σdisc (B) :
m(λ, B) = dim{0} = 0
gilt. So konnten Summanden, die nichts beitragen, herausgenommen werden.
12
2.3 Erinnerung (Weyl’sche Eigenwertasymptotik für Würfel): Im letzten Vortrag wurde
für Quadrate Ω bereits gezeigt:
N [0, λ), − ∆Ω
vol(Ω)
D/N
=
lim
λ→∞
λ
4π
Die Einschränkung auf R2 war dabei im Grunde unwesentlich, auf ähnliche Art und Weise erhält
man für m-dimensionale Würfel:
N [0, λ), − ∆Ω
τm vol(Ω)
D/N
=
lim
m/2
λ→∞
(2π)m
λ
wobei mit τm das Volumen einer m-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet wird. In dieser Form
wird das Ergebnis auch auf den in der Physik wichtigen Spezialfall m = 3 anwendbar.
2.4 Satz (Eigenwertasymptotik für Schrödinger-Operatoren):
Sei V : Rm → R− stetig mit
Ω := supp(V ) kompakt. Für N (λ) := N (−∞, 0), − ∆ +λV gilt dann:
N (λ)
τm
=
m/2
λ→∞ λ
(2π)m
Z
lim
m
− V (x) 2 dm x
Ω
Zumindest für den wichtigsten Fall m = 3 kann man den Sätzen 1.4 und 1.5 direkt entnehmen,
dass der Schrödinger-Operator H = − ∆ +λV selbstadjungiert ist, und dass sein wesentliches Spektrum [0, ∞) ist (ansonsten würde die Zählerfunktion gar keinen Sinn ergeben). Das sieht man daran,
dass V in jedem Lp , und insbesondere in L2 liegt. Ferner ist H durch min{λr|r ∈ R(V )} von unten
beschränkt, daher darf man auch das Min-Max Prinzip anwenden. Für andere Dimensionen lassen
sich diese Voraussetzungen ebenfalls leicht verifizieren, siehe dazu in 1.4 und 1.5 referenzierten Sätze.
Bevor wir mit dem Beweis beginnen, führen wir einige Abkürzungen und Bezeichnungen ein.
Die halboffenen Standardwürfel werden im Folgenden mit Cn,α bezeichnet:
Cn,α
m O
αi αi + 1
:=
,
2n
2n
i=1
α ∈ Zm
Das Potential V nähern wir durch zwei Treppenfunktionen an, die auf den Standardwürfeln stückweise
konstant sind.
X
Vn+ :=
χCn,α max V (Cn,α )
|
{z
}
α∈Zm
=:u+
n,α ≤0
Vn− :=
X
χCn,α min V (Cn,α )
|
{z
}
α∈Zm
=:u−
n,α ≤0
Sei k ∈ N so groß gewählt, dass der kompakte Träger Ω komplett in den [−k, k]m -Würfel reinpasst.
Dann bezeichnen wir mit
[
]n :=
∂Cn,α
α∈Zm
Cn,α ⊂[−k,k]m
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alle Grenzflächen der Standardwürfel mit Kantenlänge 2−n in [−k, k]m . Bemerke, dass im Folgenden
unter Summenzeichen nur noch ”α ” statt dem länglichen Ausdruck ”α ∈ Zm ; Cn,α ⊂ [−k, k]m ”
stehen wird.
Träger Ω, Grenzflächen ]n , Würfel Cn,α
− ∆+
n sei der Laplace-Operator mit Dirichlet Randbedingungen auf ]n .
− ∆−
n sei der Laplace-Operator mit Neumann Randbedingungen auf ]n .
Schließlich bezeichne Nn± (λ) analog zu N (λ):
±
Nn± (λ) := N (−∞, 0), − ∆±
n +λVn
Der Beweis erfolgt in 3 Schritten:
1. Zuerst wird die Asymptotik für einfach zu behandelnde Zählerfunktionen Nn± ∀ n ∈ N gezeigt:
Z
m
N ± (λ)
τm
lim nm/2 =
− Vn± (x) 2 dm x
m
λ→∞ λ
(2π)
Rm
2. Dann wird begründet, wieso N (λ) durch Nn± (λ) nach unten bzw. nach oben abgeschätzt
werden kann:
Nn− (λ)
N (λ)
≤
lim
m/2
λ→∞ λm/2
λ→∞ λ
N (λ)
N + (λ)
lim inf m/2 ≥ lim nm/2
λ→∞ λ
λ→∞ λ
lim sup
∀n ∈ N
3. Schließlich wird gezeigt, dass die Integraldarstellungen für Grenzwerte mit Nn± für n → ∞
gegen das Integral auf der rechten Seite der Behauptung konvergieren:
Z
Z
m
m
n→∞
− Vn± (x) 2 dm x −−−−→
− V (x) 2 dm x
Rm
Ω
14
Diese drei Aussagen zusammen implizieren dann die Behauptung des Satzes.
Beweis:
1. Bemerke zunächst: hat ein Operator T nur nichtnegative Eigenwerte, so gilt:
µ < 0 ist Eigenwert von (A + λc)
⇔(A + λc)ψ = µψ für ein ψ 6= 0
⇔Aψ = (µ − λc)ψ für ein ψ 6= 0
⇔(µ − λc) ∈ [0, −λc) ist Eigenwert von A
Insbesondere:
N (−∞, 0), A + λc = N [0, −λc), A
(∗)
Damit erhalten wir:
Nn+ (λ)
λ→∞ λm/2
lim
2.1(1)
=
2.1(2)
=
2.2(2)
=
lim
λ→∞
lim
λ→∞
lim
λ→∞
1
λ
+
N (−∞, 0), − ∆+
n +λVn
m/2
1
λ
N (−∞, 0),
m/2
1
λm/2
M
C
R
(− ∆Dn,α +λu+
n,α ) ⊕ − ∆
m
\[−k,k]m
α


X

C
Rm \[−k,k]m 
N (−∞, 0), − ∆Dn,α +λu+


n,α + N (−∞, 0), − ∆
|
{z
}
α
=0
Cn,α N [0, −λu+
(∗) X
n,α ), − ∆D
m/2
=
lim
(−u+
n,α )
+
m/2
λ→∞
(−u
λ)
n,α
α
X τm vol(Cn,α )
2.3
m/2
(−u+
=
n,α )
m
(2π)
α
Z
m
τm
− Vn+ (x) 2 dm x
=
m
(2π)
Rm
Im letzten Schritt wurde lediglich von der expliziten Formel für das Integral einer Treppenfunktion gebrauch gemacht. Die Rechnung für ”-” geht vollkommen analog.
2. Ähnlich wie im 11. Vortrag kann man auch hier zunächst nach schwachen Lösungen des
Eigenwertproblems in größeren Funktionenklassen suchen, etwa:
M
Q− :=
H 1,2 (Cn,α ) ⊕ H 1,2 (Rm \ [−k, k]m )
Q := H 1,2 (Rm )
1,2
Q+ := H0,]
(Rm )
n
(Funktionen die auf den Grenzflächen verschwinden)
Das Verhältnis Q− ⊃ Q ⊃ Q+ kann wieder wie folgt veranschaulicht werden:
• Dirichlet-Randbedingungen (+) stellen die stärksten Vorderungen an Testfunktionen,
diese müssen an Grenzflächen verschwinden.
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• Ohne Dirichlet-Randbedingungen dürfen die Testfunktionen an Grenzflächen beliebige
Werte annehmen, man erhält dadurch eine größere Funktionenklasse, die Eigenwerte werden kleiner.
• Bei Neumann-Randbedingungen (-) wird sogar zugelassen, dass die Testfunktionen an
den Grenzflächen knicken und zerreißen dürfen (d.h. die Funktionen müssen an den
Grenzflächen nicht stetig sein), also erhält man noch mehr mögliche Testfunktionen, und
die Eigenwerte werden noch kleiner.
Für eine genaue Formulierung mit assoziierten quadratischen Formen siehe [RS4, XIII Lemma
S.270]. Hat man dieses Werkzeug zur Verfügung, so erhält man aus einer Variante des MinMax-Prinzips [RS4, Theorem XIII.2]:
−
sup
inf
ψ,
(−
∆
+λV
)ψ
= µ−
n
j
−
ϕ1 ,...,ϕj−1 ∈H
ψ∈Q ;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕj−1 }
Q− ⊃Q
≤
sup
inf
ϕ1 ,...,ϕj−1 ∈H
ψ∈Q;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕj−1 }
ψ, (− ∆ +λVn− )ψ
V ≤V
≤
sup
inf
ϕ1 ,...,ϕj−1 ∈H
ψ∈Q;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕj−1 }
(ψ, (− ∆ +λV )ψ)
= µj
Q⊃Q+
≤
sup
ϕ1 ,...,ϕj−1 ∈H
inf
ψ∈Q+ ;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕj−1 }
V ≤V +
≤
sup
ϕ1 ,...,ϕj−1 ∈H
inf
+
ψ∈Q ;kψk=1;
ψ⊥{ϕ1 ,...,ϕj−1 }
(ψ, (− ∆ +λV )ψ)
ψ, (− ∆ +λVn+ )ψ
= µ+
j
Das heißt:
+
µ−
j ≤ µj ≤ µj
Nn− (λ) ≥ N (λ) ≥ Nn+ (λ)
⇒
daher ist die Abschätzung im zweiten Beweisschritt gültig.
3. Bleibt noch zu zeigen, dass die Integrale der Treppenfunktionen bei immer feiner werdenden
Würfeln gegen das Integral von −V m/2 konvergieren. Dies ist nicht viel anders als beim
Beweis über die Existenz des Riemann-Integrals einer stetigen Funktion auf einem kompakten
Intervall. Aus der Stetigkeit von V auf der kompakten Menge Ω erhält man die gleichmäßige
Stetigkeit, und damit lässt sich zu jedem ε > 0 ein δ > 0 finden, sodass
m
m ε
|x − y| < δ ⇒ − V (x) 2 − − V (y) 2 <
(2k)m
gilt,√dann muss man nur noch ein n ∈ N groß genug wählen, sodass die Diagonale des Würfels
2−n m kleiner als δ wird. Es ist offensichtlich, dass mit dieser Wahl von n die Differenz der
Integrale kleiner als ε wird. Damit ist auch der dritte Schritt gezeigt.
16
2.5 Bemerkung (Zurück zur Weyl’schen Asymptotik): Der dritte Schritt des Beweises erfordert die Stetigkeit nicht unbedingt. Die Aussage würde immer noch gelten, wenn man statt einer
stetigen Funktion V eine unstetige Funktion −χΩ einer Jordan-messbaren Menge Ω nehmen würde.
In diesem Fall wird das Integral auf der rechten Seite der Glechung einfach zu vol(Ω), und man
erhält wieder die Weyl’sche Eigenwertasymptotik für Jordan-messbare Gebiete.
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Literaturverzeichnis
[RS1] Michael Reed, Barry Simon ”Methods of modern mathematical physics I: Functional Analysis”, Academic Press, 1972
[RS2] Michael Reed, Barry Simon ”Methods of modern mathematical physics II: Fourier Analysis,
Self-Adjointness”, Academic Press, 1972
[RS4] Michael Reed, Barry Simon ”Methods of modern mathematical physics IV: Analysis of operators”, Academic Press, 1972
[W]
Dirk Werner ”Funktionalanalysis”, Springer, 2000
[T]
Leon A. Takhtajan ”Quantum Mechanics for Mathematicians”, American Mathematical Society, 2008
[LL3] L. D. Landau, J. M. Lifschitz ”Lehrbuch der Theoretischen Physik III: Quantenmechanik”,
Akademie Verlag Berlin 1967
[J]
Jürgen Jost ”Partial Differential Equations”, Springer Verlag, 1998
[E]
Lawrence C. Evans ”Partial Differential Equations”, American Mathematical Society, 2000
18