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9. Bewegungen geladener Teilchen im homogenen Magnetfeld
Elektron
Fm = e ⋅ v ⋅ B (allgemein: Fm = Q ⋅ v ⋅ B )
r
Fm
r r
Fm ⊥v
r
⇒ Fm ist Zentripetalkraft, das Elektron (allgemein: Teilchen)
bewegt sich immer auf einer Kreisbahn!
r
( v bleibt immer gleich)
Magnetfeld
Bewegen sich Ladungen senkrecht zum Magnetfeld,
so beschreiben sie aufgrund der Lorentzkraft eine
Kreisbahn.
r
r
r
Ist v nicht senkrecht zu B , so sorgt die senkrechte Komponente v n für eine „Kreisbahn“, der eine
r
Bewegung in Richtung der parallelen Komponente v p überlagert ist. Es entsteht eine Schraubenlinie.
Versuch: Fadenstrahlrohr
Aufbau:
In einer evakuierten Glaskugel befindet sich Wasserstoffgas sowie eine
Glühwendel, die zur Freisetzung von Elektronen dient. Vor und hinter der
Kugel befinden sich zwei Helmholtzspulen.
Beobachtung:
Durch das Auftreffen von Elektronen auf Wasserstoffatome werden diese
zum Leuchten angeregt und sie sind daher sichtbar.
Durch die Helmholtzspulen kann der Elektronenstrahl abgelenkt werden
und es entsteht (bei entsprechender Stärke des Magnetfeldes sowie eines
90°-Winkels des Elektronenstrahls zum Magnetfeld) eine Kreisbahn.
Wenn der Elektronenstrahl nicht senkrecht zum Magnetfeld steht, so
entsteht eine Schraubenlinie.
Schematische Darstellung der wirkenden Kräfte:
Spezifische Ladung von Elektronen
Bewegen sich Elektronen in einem homogenen magnetischen Feld, so beschreiben sie eine
Kreisbahn, da sie von der Lorenzkraft abgelenkt werden. Die Lorenzkraft Fm hat deshalb in diesem
Fall die Wirkung einer Zentripetalkraft Fr .
Kreisbahn: Fr = Fm
Fr : Index r von Radialkraft. Die Radialkraft besitzt den
gleichen Betrag wie die Zentripetal- bzw. Fliehkraft. Sie
v2
besitzt jedoch keine Richtung.
= evB
r
Nach v aufgelöst ergibt sich nun die Bahngeschwindigkeit der Elektronen:
e
⇒
v = Br
m
Wird die Geschwindigkeit v durch eine vorhergehende Beschleunigung mit der Spannung U
erreicht (z.B. in einem Kondensator), so gilt wegen der Energieerhaltung:
E pot = E kin
m
1
mv 2
2
Nach v aufgelöst erhält man nun eine weitere Gleichung für die Geschwindigkeit der Elektronen:
2Ue
v=
m
Man kann diese Gleichung nun mit der oben hergeleiteten Formel für die Bahngeschwindigkeit
gleichsetzen:
e
2U
2Ue e
2 Ue e 2 2 2
= 2 2
= Br
= 2B r
m B r
m
m
m
m
e
Der Ausdruck
wird als spezifische Ladung von Elektronen bezeichnet.
m
Ue =
(spezifische Ladung ist der Quotient aus der Ladung eines Teilchens und dessen Masse, die
spezifische Ladung eines Protons ist folglich kleiner als die eines Elektrons, da es die gleiche
Ladung aber mehr Masse besitzt.)
Für die Berechnung der spezifischen Ladung sind nun die Werte für U, Bund r nötig, die jedoch alle
experimentell herausgefunden werden können.
Beispiel:
Bei einer Beschleunigungsspannung von 100V reicht die magnetische Flussdichte 0,68 mT aus um
einen den Strahl auf einen Kreis von 10 cm Durchmesser zu zwingen.
e
2 ⋅ 100V
V
=
= 1,7 ⋅ 1011 2 2 = 1,7 ⋅ 1011 Ckg −1
Lösung:
2
2
−
−
3
2
m 0,68 ⋅ 10 T ⋅ 5,0 ⋅ 10 m
T m
(
) (
)
Bei Präzisionsmessungen hat sich folgender Wert für die spezifische Ladung von Elektronen
e
= 1,7588 ⋅1011 Ckg −1
folgender Wert ergeben:
m
Um die Masse eines Elektrons berechnen zu können, benötigt man die Ladung eines Elektrons.
Beim Millikan-Versuch (siehe Kapitel 5.1) wurde herausgefunden, dass e = 1,6021892 ⋅ 10 −19 C
beträgt:
me =
1,6022 ⋅ 10 −19 C
1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1
m e = 9,10096 ⋅ 10 −31 kg
Wie zu Beginn erwähnt wurde, beschreiben Elektronen eine Kreisbahn, wenn sie sich in einem
homogenen magnetischen Feld bewegen. Dies führt zu der Frage, wie sich der Radius (r) der
Kreisbahn verhält, wenn die Geschwindigkeit der Elektronen verändert wird. Dazu betrachte man
v
zunächst die Winkelgeschwindigkeit ( ω ): ω = wobei v durch die oben hergeleitete Formel
r
e
v = Br ersetzt werden kann:
m
e
Br
e
ω= m
= B
r
m
Da die spezifische Ladung konstant ist, ist bei einer konstanten magnetischen Flussdichte (B) auch
v
die Winkelgeschwindigkeit ( ω = ) konstant. Dies bedeutet jedoch, dass Elektronen mit der kr
fachen Geschwindigkeit auch den k-fachen Bahnradius besitzen.
Neben dem Bahnradius lässt sich auch die Umlaufdauer (T) berechnen. Man benötigt dazu eine
2π
. Diese Gleichung lässt sich mit der oben
weitere Formel für die Winkelgeschwindigkeit: ω =
T
genannten gleichsetzen und nach T auflösen:
2π e
= B
T m
T=
2π
e
B
m
e
konstant sind, ist T nur von B abhängig (für v < 0,1c ). Die Umlaufdauer ist somit
m
indirekt proportional zu B.
Da π und
Aufgaben (S. 64):
1) Ein Elektron gelangt mit der Geschwindigkeit 9,4 ⋅ 10 6 ms −1 in ein homogenes magnetisches
Feld der Flussdichte 2,2mT .
a) Wie groß ist der Betrag der Lorentzkraft, wenn die Bewegungsrichtung des Elektrons
senkrecht zur Feldrichtung steht?
Lösung:
geg:
v = 9 , 4 ⋅ 10
ges:
Fm
6
ms
−1
, B= 2,2mT = 2,2 ⋅ 10 −3 T
Fm = evB
Fm = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 9,4 ⋅ 10 6 ms −1 ⋅ 2,2 ⋅ 10 −3 T = 3,3 ⋅ 10 −15 N
b) Welchen Durchmesser hat die entstehende Kreisbahn des Elektrons?
Lösung:
geg:
v = 9,4 ⋅ 106 ms −1 , B= 2 , 2 mT = 2 , 2 ⋅ 10
ges:
d
v=
−3
T ,
e
= 1,7588 ⋅1011 Ckg −1
m
e
Br
m
Aufgelöst nach r ergibt sich:
r=
v
e
B
m
9,4 ⋅ 10 6 ms −1
r=
= 2,43cm
1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1 ⋅ 2,2 ⋅ 10 −3 T
d = 2r = 2 ⋅ 2,43cm = 4,9cm
c) Wie groß ist seine Umlaufzeit auf der Kreisbahn?
Lösung:
geg:
v = 9,4 ⋅ 106 ms −1 , B= 2,2mT = 2,2 ⋅ 10 −3 T ,
ges:
T
e
= 1,7588 ⋅1011 Ckg −1
m
T=
T=
2π
e
B
m
2π
= 1,6 ⋅ 10 −8 s = 16ns
−1
−3
1,7588 ⋅ 10 Ckg ⋅ 2,2 ⋅ 10 T
11
2) Ein Elektronenstrahl wird im homogenen magnetischen Feld eines Fadenstrahlrohrs mit
Flussdichte 1,5mT auf eine Kreisbahn von 12cm Durchmesser gezwungen.
a) Welchen Betrag hat die Geschwindigkeit der Elektronen?
Lösung:
geg:
B = 1,5mT = 1,5 ⋅ 10 −3 T , r = 6cm = 6 ⋅ 10 −2 m ,
ges:
v
v=
e
= 1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1
m
e
Br
m
v = 1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1 ⋅ 1,5 ⋅ 10 −3 T ⋅ 6 ⋅ 10 −2 m = 1,6 ⋅ 10 7 ms −1
b) Wie groß ist ihre Umlaufzeit auf der Kreisbahn?
Lösung:
geg:
B = 1,5mT = 1,5 ⋅ 10 −3 T , r = 6cm = 6 ⋅ 10 −2 m ,
ges:
T
T=
T=
e
= 1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1
m
2π
e
B
m
2π
= 2,4 ⋅ 10 −8 s = 2,4ns
−1
−3
1,7588 ⋅ 10 Ckg ⋅ 1,5 ⋅ 10 T
11
3) Elektronen werden mit verschiedenen Geschwindigkeiten senkrecht zu den Feldlinien in ein
homogenes Magnetfeld geschossen. Zeigen Sie, dass
a) sich dann die Elektronen im magnetischen Feld auf Kreisbahnen bewegen, deren Radius
direkt proportional zur Geschwindigkeit der Elektronen ist.
Lösung:
Die Umlaufzeit der Elektronen ist konstant (siehe obige Herleitung). Es gilt
v
deshalb: ω = = kons tan t . Das bedeutet jedoch, dass eine Verdopplung der
r
Geschwindigkeit zu einer Verdopplung des Bahnradius führt.
b) die Umlaufzeit der Elektronen jeweils konstant ist.
Lösung:
Siehe oben beschriebene Herleitung!
4) 1.
a) Unter welchen Bedingungen werden Elektronen in einem zeitlich konstanten homogenen
Magnetfeld nicht beeinflusst?
Lösung:
Die Elektronen befinden sich in Ruhelage ( v = 0 ) oder bewegen sich nicht
parallel zu den Feldlinien.
b) Unter welchen Bedingungen werden Elektronen in einem zeitlich konstanten homologen
Magnetfeld in eine Kreisbahn gezwungen?
Lösung:
Die Elektronen werden in eine Kreisbahn gezwungen, wenn sie sich im
Magnetfeld senkrecht zu den Feldlinien bewegen.
2. In einem homogenen Magnetfeld mit der Flussdichte 8,0 ⋅ 10 −4 T werden Elektronen in eine
Kreisbahn mit dem Radius 5,0cm gelenkt.
c) Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit v der Elektronen.
Lösung:
geg:
B = 8,0 ⋅ 10 −4 T , r = 5,0cm = 5,0 ⋅ 10 −2 m ,
ges:
v
v=
e
= 1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1
m
e
Br
m
v = 1,7588 ⋅ 1011 Ckg −1 ⋅ 8,0 ⋅ 10 −4 T ⋅ 5,0 ⋅ 10 −2 m = 7,0 ⋅ 10 6 ms −1
d) Welche Spannung ist erforderlich um die Elektronen auf die Geschwindigkeit v zu bringen?
Lösung:
geg:
v = 7 , 0 ⋅ 10
ges:
U
6
ms
−1
, m e = 9,1 ⋅ 10 −31 kg
E kin = E pot
1
2
mv 2 = eU
U=
mv 2
2e
(
9,1 ⋅ 10 −31 kg ⋅ 7,0 ⋅ 10 6 ms −1
U=
2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C
)
2
= 0,14kV