11-3 Kreisbewegung

LZ F11.3/B12.3 Kreisbewegung
3.
Kreisbewegung
3.1.
Definitionen - Begriffe
1
y
3.1.1 Umlaufdauer - Drehfrequenz
r ...
s ...
t ...
ϕ ...
r
v ...
Radius,
Bogen,
Zeit für den Bogen (Weg) s,
Drehwinkel,
Bahngeschwindigkeit
(Tangentialgeschwindigkeit)
r
v
r
ϕ
s; t
x
Startstelle
Umlaufdauer T - ist die Zeit für einen Umlauf (eine Umdrehung).
Drehfrequenz (kurz Frequenz) f - Zahl der Umläufe pro Sekunde
Gemessen werden mehrere Umläufe k und die zugehörige Gesamtzeit t.
f =
k
t
1
20
= 4⋅ ;
5s
s
d.h. der Körper macht 4 Umläufe pro Sekunde
- für einen Umlauf benötigt er daher 0,25s.
z.B.:
k = 20, t = 5,0s;
f =
Zusammenhang zwischen f und T:
T=
1
f
1
T
f =
bzw.
[f ]=
1
= 1 ⋅ s −1 = 1Hz; Hertz
s
3.1.2 Drehwinkel ϕ im Bogenmaß
ϕ=
Gradmaß
Bogenmaß
Bogenlänge s
=
Radius
r
für s = r ⇒
30°
1
⋅π
6
45°
1
⋅π
4
ϕ = 1 rad
60°
1
⋅π
3
rad (Radiant)
90°
1
⋅π
2
180°
360°
1⋅ π
2 ⋅π
ϕGrad 3600
π
=
; Umrechnung für beliebige Winkel:
ϕ Bogen = ϕGrad ⋅
ϕ Bogen 2 ⋅ π
1800
2 ⋅π ϕ
2 ⋅π
es gilt:
=
⇒
ϕ=
⋅ t = 2 ⋅π ⋅ f ⋅ t
T
t
T
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2
3.1.3 Winkelgeschwindigkeit ω (omega)
ω=
Drehwinkel ∆ϕ
=
Zeit
∆t
für t0 = 0 und ϕ0 = 0 ⇒ ω =
ω=
3.1.4
2 ⋅π
= 2 ⋅π ⋅ f
T
[ω ] =
ϕ
t
mit ϕ =
2 ⋅π
⋅t ⇒
T
1
= 1 ⋅ s −1
s
Bahngeschwindigkeit - Bahnweg
r
Der Vektor der Bahngeschwindigkeit v steht stets senkrecht zum Radius r, d.h. er liegt
r
tangential zur Kreisbahn. Der Betrag des Vektors v ist konstant für ω = konstant.
s
ϕ
ϕ ⋅ r ω ⋅t ⋅ r
v=
mit s = ϕ ⋅ r und ω =
⇒ v=
=
⇒ v = ω ⋅r
t
t
t
t
s = ω ⋅ r ⋅t
Zurückgelegter Bahnweg (Kreisbogen): s = v ⋅ t ⇒
3.2. Zentralbeschleunigung aZ
(auch Zentripetal-, Zentrifugal-, Radialbeschleunigung ar)
r
v2
s2
r
aZ
r
P2
s1
r
v1
φ, ω, t
M
r
m
P1
Der Körper mit der Masse m würde in der Zeit t den Weg s1 zurücklegen, wenn er nicht
gleichzeitig mit aZ den Weg s2 in Richtung des Zentrums zur Kreisbahn zurücklegen würde.
s1 = v1 ⋅ t
s2 =
1
⋅ aZ ⋅ t 2
2
.........
....
gleichförmige Bewegung
Bewegung mit konstanter Beschleunigung
(Kraft in Richtung des Zentrums)
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3
Berechnung am rechtwinkeligen Dreieck (Pythagoras):
( r + s2 ) 2 = r 2 + s12 ⇒ r 2 + 2 ⋅ r ⋅ s2 + s22 = r 2 + s12
Einsetzen von s1 und s2
1
1
2 ⋅ r ⋅ ⋅ aZ ⋅ t 2 + ⋅ aZ2 ⋅ t 4 = v12 ⋅ t 2
2
4
4
für t beliebig klein ⇒ t viel kleiner als t 2 ⇒ Term mit t 4 kann in Näherung vernachlässigt
werden
1
2 ⋅ r ⋅ ⋅ aZ ⋅ t 2 = v12 ⋅ t 2 ⇒ r ⋅ aZ ⋅ t 2 = v12 ⋅ t 2 ⇒ r ⋅ aZ = v12 ⇒
2
aZ =
3.3.
v2
r
mit v = ω ⋅ r
aZ = ω 2 ⋅ r
Zentralkraft FZ
(auch Zentripetal- oder Radialkraft bzw. Zentrifugal- oder Fliehkraft)
r
φ, ω, t
M
r
v
m
r
r
aZ
r
FZ
r
Da der Körper mit der Kraft FZ in die Kreisbahn „gezwungen“ wird, erfährt die Masse m die
r
Zentralbeschleunigung aZ . Nach dem 2. Satz von Newton gilt:
F = m·a
mit
FZ = m ⋅
aZ =
v2
r
v2
r
bzw.
bzw.
aZ = ω 2 ⋅ r ⇒
FZ = m ⋅ r ⋅ ω 2
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4
Experimentelle Bestätigung dieser Formel:
Aus FZ = m ⋅ r ⋅ ω 2 = m ⋅ r ⋅ (2 ⋅ π ⋅ f ) 2 folgt, dass drei Versuchsreihen durchgeführt werden
müssen. Die freien Variablen m, r und f werden verändert, wobei jeweils nur eine Größe
verändert wird und die beiden anderen Größen konstant bleiben.
Versuchsanordnung
Versuchsbeschreibung:
freie Variablen:
Masse m = 50g, 100g, 150g,
200g, 250g, 300g, 350g
Radius r = 8 bis 38cm
Frequenz fmax ≤ 1s-1
abhängige Variable:
Versuchsdurchführung
FZ = f(m);
r=
1)
Nr.
m
kg
0
m;
T=
f =
1
s
s-1
2
Zentralkraft FZ wird direkt in
Newton am Kraftmesser abgelesen
(FZ;max = 1,2N)
FZ
3
FZ
N
FZ
in N
m
kg
m
rechnerische/ graphische Auswertung:
FZ
= . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ FZ =
m
2)
FZ = f(r);
Nr.
r
m
m=
0
kg; T =
1
⇒ FZ
s; f =
2
m
s-1
FZ
3
FZ
N
FZ
in N ⋅ m −1
r
r
rechnerische/ graphische Auswertung:
FZ
= . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ FZ =
r
⇒ FZ
r
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3)
FZ = f(f);
Nr.
T
s
m=
5
kg; r =
0
m
1
2
FZ
3
f
s−1
FZ
N
FZ
in N ⋅ s −2
f2
f2
rechnerische/ graphische Auswertung:
FZ
= . . . . . . . . . . . . . . . ⇒ FZ =
f2
4)
Zusammenfassung
∧
FZ
⇒ FZ =
5)
Nr.
k
f2
⇒ FZ
∧
FZ
⇒ FZ =
FZ
⇒ k=
; [k] =
Fehlerberechnung/ Berechnung von k unter Verwendung der Versuchsreihe 3)
1
2
Mittelwert von
km =
theoretischer Wert:
kth =
3
Fehlerberechnung:
absoluter Fehler:
∆k
=
kth
Ergebnis:
FZ =
∆k = kth − km
∆k =
∆k
kth
relativer Fehler :
6)
=
=
=
%
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6
r
Fliehkraft FFl im bewegten Bezugssystem
Aus der Sicht des „mitfahrenden Beobachters“ wird das Fahrzeug (bewegtes System) durch
die Zentralkraft in Richtung des Zentrums gehalten. Als Reaktionskraft erfährt der Beobachter
eine gleich große Gegenkraft (3. Satz von Newton) radial nach außen gerichtet (z.B. Bus in
Kurve - stehender Beobachter im Bus). Der mitfahrende Beobachter ist in Ruhe in Bezug auf
das bewegte System ∑ F = 0 !
r
r
FFl = - FZ ; die beiden Kräfte sind betragsgleich, d.h. sie werden mit der gleichen Formel
berechnet ⇒ FFl = FZ
Vergleich: Körper beschreibt im ruhenden Bezugssystem eine Kreisbahn. Auf den Körper
r
r
wirkt die Zentralkraft FZ . Eine gleich große Reaktionskraft FR eaktion wirkt radial nach außen
und „belastet“ das Zentrum.
Bei der Bearbeitung von Aufgaben ist es daher immer notwendig in einem Kräfteplan
das Bezugssystem anzugeben!
3.4
Anwendungsbeispiele und Kräftepläne
Kurvenfahrt mit und ohne Kurvenüberhöhung,
Kettenkarussell,
Fliehkraftregler,
Stahl- und Holzkugel in einer drehbaren Rinne,
Erdrotationsmodell,
rotierende Flüssigkeit,
...
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7
r
FZ
r
FR
Kurvenbewegung mit Reibung
FZ ≤ FR mit FR = µFN = µFg
v2
m
≤ µmg
r
v2
µ≥
rg
r
r
Fg
r
FZ
Kurvenfahrt ohne Überhöhung
FZ = Fg ⋅ tan α
v2
m = mg ⋅ tan α
r
v2
tan α =
rg
r
r
FZ
α
r
Fg
dg
oder über Hebelgesetz (Kippbedingung)
r
FZ
FZ ⋅ d Z = Fg ⋅ d g
d
FZ = Fg ⋅ g
dZ
2
v
tan α =
rg
mit
dg
dZ
α
= tan α
dZ
r
Fg
r
Kurvenfahrt mit Überhöhung
r
FZ
FZ = Fg ⋅ tan α
v2
m = mg ⋅ tan α
r
v2
tan α =
rg
r
Fg
r
Kugel in Rinne – Fiehkraftregler
R
r
FZ = Fg ⋅ tan α
mω2 r = mg ⋅ tan α
ω2 r
tan α =
g
Herleitung:
h=R−
R−h
α
r
FZ
g
(2 ⋅ π ⋅ f) 2
h
r α
Fg
r
Fres
r
Fres
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8
LZ F11.3/B12.3 Kreisbewegung
3.5
1.0
1.1
2.0
2.1
2.2
3.0
3.1
3.2
4.0
4.1
4.2
9
Aufgaben
Auf einem Volksfest gibt es folgende Attraktion. Ein großer hohler, oben offener
Zylinder, in den sich Personen begeben können, wird in Rotation versetzt. Später wird
der Zylinderboden abgesenkt und die mitrotierenden Personen bleiben an der
Zylinderinnenwand „hängen“; d.h. sie rutschen wegen der Reibung nicht nach unten.
Technische Daten: Zylinderdurchmesser dZ = 4,20 m; Reibungszahl zwischen Zylinder
und Personen µ = 0,500; Schwerpunktsabstand Person-Zylinderinnenmantel
dS = 10,0 cm
Berechnen Sie die Frequenz f, ab der die Personen an der Zylinderinnenwand „hängen“
bleiben!
(0,498·s-1)
Eine Glasschale in Halbkugelform (Innenradius rI) rotiert um ihre vertikale Achse mit
der Frequenz f. In ihr kreist eine kleine Kugel mit der Masse m mit. Die Schale ist nach
oben geöffnet.
Zeigen Sie allgemein, dass für die Höhe des Schwerpunktes der kleinen Kugel über dem
g
.
tiefsten Punkt der Schale gilt: h = rI −
(2 ⋅ π ⋅ f) 2
Wie verändert sich die Höhe, wenn die Masse der kleinen Kugel vergrößert wird?
Ein Radfahrer fährt mit der Geschwindigkeit von v = 21,6 km·h-1 ein Kreisstück mit
einem Radius von r = 12,0m.
Berechnen Sie den Winkel um den sich der Radfahrer nach Innen neigt!
(17,00)
Berechnen Sie die Reibungszahl µ, damit das Rad bei waagerechtem Boden nicht durch
Rutschen aus der Kurve fliegt.
(µ ≥ 0,306)
Ein Körper mit der Masse von m = 2,50 kg wird an einer 75,0 cm langen dünnen Stange
(Masse vernachlässigt) in einer vertikalen Kreisbahn herumgedreht. In 4,00s macht der
Körper 10,0 Umdrehungen. Die Bahngeschwindigkeit ist konstant.
Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit.
(11,8m·s-1)
Berechnen Sie den Betrag der Gesamtkraft (aus der Sicht eines „mitfahrenden
Beobachters“) im höchsten und tiefsten Punkt der Kreisbahn.
(438N, 487N)
5.0
5.1
Dult - Loopingbahn: Durchmesser 20,0m, Reibung vernachlässigt.
Berechnen Sie die Mindestgeschwindigkeit eines Wagens im höchsten Punkt der
Kreisbahn. Ist diese Geschwindigkeit von der Wagenmasse abhängig?
(35,7km·h-1, nein)
6.0
Ein Auto mit der Masse von m = 1,40t und einer Spurweite von s = 1,29m fährt eine
Kurve mit einem Radius von r = 60,0m in der Ebene. Der Wagenschwerpunkt liegt
zentral in einer Höhe von h = 70,0cm über der Fahrbahn.
Wie groß darf die Geschwindigkeit maximal sein, um in der Kurve nicht zu kippen
(Elchtest!)
Hinweis: Kippmoment = Drehmoment = M =F·l
(v ≤ 83,8km·h-1)
6.1
7.0
7.1
Eine Scheibe rotiert (vertikale Rotationsachse) mit der Frequenz f. Im Abstand von
20,0cm von der Achse liegt eine kleine Masse von m = 3,00g. Die Reibungszahl
zwischen Masse und Scheibe beträgt µ = 0,400.
Berechnen Sie die Frequenz (Drehzahl), ab der die kleine Masse wegfliegt.
(ω > 4,43s-1)
LZ F11.3/B12.3 Kreisbewegung
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10
Ende von Kapitel 3. - Kreisbewegung ***************