Trigonometrie

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b
Schuljahr 2007/2008
Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev
Technische Universität Berlin
Trigonometrie
Aufgabe T.1
Sei 4ABC ein Dreieck mit Seitenlängen |AB| = 4, |BC| = 5 und |AC| = 6.
Berechne cos(∠BCA) und sin(∠BCA).
Aufgabe T.2
Zeige, dass in jedem Parallelogramm gilt: Die Summe der Quadrate der Seitenlängen ist gleich der Summe der Quadrate der Diagonalen.
Aufgabe T.3
π
Berechne cos .
5
Hinweis: Verwende die Diagonalenlängen im regelmäßigen Fünfeck.
Aufgabe T.4
Stelle eine Formel für den Flächeninhalt S eines Dreieckes auf, wenn nur die
Seitenlänge c und die Größen α, β der anliegenden Winkel bekannt sind.
Aufgabe T.5
Sei ¤ABCD ein Quadrat der Seitenlänge 1. Auf der Seite AB wird ein
gleichseitiges Dreieck 4ABK konstruiert, sodass der Punkt K im Quadrat
liegt.
a)
Finde die Länge der Strecke CK.
b)
Zeige das |∠KCD| = 15◦ gilt und berechne damit cos 15◦ und sin 15◦ .
1
C
D
K
B
A
Aufgabe T.6
Beweise die folgende Formel für die Länge einer Winkelhalbierenden:
la2 =
bc(a + b + c)(−a + b + c)
.
(b + c)2
Aufgabe T.7
Finde die Fläche des Dreiecks 4OAB mit Eckkoordinaten O(0, 0), A(5, 8),
B(8, 13). Ist das Dreieck 4OAB positiv oder negativ orientiert?
Aufgabe T.8
Zeige, dass für sin α 6= 0
cos α · cos 2α · cos 4α · · · cos 2n α =
sin 2n+1 α
2n sin α
gilt.
Aufgabe T.9
Sei l die Gerade mit der Gleichung ay − bx = 0 und sei P der Punkt mit
Koordinaten (c, d). Zeige, dass der Abstand von P nach l durch die Formel
ad − bc
d(P, l) = √
a2 + b2
2
berechnet werden kann.
Aufgabe T.10
Berechne mit Hilfe der Additionstheoreme cos 15◦ und sin 15◦ .
Aufgabe T.11
Beweise die Identitäten
sin α + sin(α + 120◦ ) + sin(α − 120◦ ) = 0,
cos α + cos(α + 120◦ ) + cos(α − 120◦ ) = 0.
Aufgabe T.12
a)
Drücke cos 3α durch cos α aus.
b)
Finde mit Hilfe von a) ein kubisches Polynom mit cos 20◦ als einer
Nullstelle.
Aufgabe T.13
Schreibe die jeweils erste Ziffer nach dem Komma von den Zahlen sin 1, sin 2,
. . ., sin 10 auf (das Winkelmaß ist im Bogenmaß angegeben). Ist die Folge der
ersten Nachkommaziffern von (sin n) periodisch?
Aufgabe T.14
Zeige:
tan α + tan β
,
1 − tan α tan β
tan α − tan β
tan(α − β) =
.
1 + tan α tan β
tan(α + β) =
Aufgabe T.15
Zeige, dass für beliebige Punkte A, B, C eines quadratischen Gitters die Zahl
tan(∠ABC) rational ist.
3
Aufgabe T.16
Gibt es ein gleichseitiges Dreieck, sodass alle seine Ecken auf einem quadratischen Gitter liegen?
Aufgabe T.17
Auf einem Taschenrechner funktionieren nur die Tasten für Addition, Subtraktion, Cosinus und Arcuscosinus. Die Taste für Division funktioniert nur,
wenn man durch 2 teilt. Wie kann man mit diesem Taschenrechner die Multiplikation zweier Zahlen durchführen?
Aufgabe T.18
, sin 5π
, cos 5π
, sin 5π
.
Berechne cos π3 , sin π3 , cos 5π
4
4
2
2
Aufgabe T.19
Sei 4ABC ein Dreieck mit Seitenlängen |AB| = 4, |BC| = 5, |CA| = 6.
Auf der Seite AC ist ein Punkt D so gewählt, dass |CD| = 4 gilt. Finde die
Länge der Strecke BD.
Aufgabe T.20
Beweise die Formeln
α+β
α−β
cos
,
2
2
α+β
α−β
sin α − sin β = 2 cos
sin
.
2
2
sin α + sin β = 2 sin
4