Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Grundwissen Mathematik – 5
9. Klasse
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Gegenkathete und Ankathete
In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° bezeichnet man
die Seite a als Gegenkathete des Winkels α (liegt dem Winkel gegenüber) und die Seite b als Ankathete des Winkels α
(liegt am Winkel).
Für den Winkel β gilt konsequenterweise genau die umgekehrte Bezeichnung der Seiten, d.h.
Seite a ist Ankathete von β und Seite b ist Gegenkathete von β.
Sinus, Kosinus und Tangens
Beispiel:
Da in allen ähnlichen (rechtwinkligen) Dreiecken gleichliegende Winkel gleichgroß sind und die Seitenverhältnisse konstant, können nun für rechtwinklige Dreiecke folgende Beziehungen zwischen Winkel und Seitenverhältnis vereinbart
werden.
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC
mit der Kathete a = 1 dm und der Hypotenuse c = 2 dm.. Dann beträgt nach dem Satz
des Pythagoras die Länge der zweiten Kathete b= 3 dm.
Als Sinus von α bezeichnet man das Verhältnis von
Gegenkathete von α zu Hypotenuse
Es gilt dann:
sin α =
Gegenkathete a
=
Hypotenuse c
analog sin β =
b
c
Als Kosinus von α bezeichnet man das Verhältnis von
Ankathete von α zu Hypotenuse
a
analog cos β =
c
Ankathete b
cosα =
=
Hypotenuse c
Als Tangens von α bezeichnet man das Verhältnis von
Gegenkathete von α zu Ankathete von α
Gegenkathete a
tan α =
=
Ankathete
b
Werte spezieller Winkel:
b
analog tan β =
a
α
0°
sin α
0
cosα
1
tan α
0
a 1
=
c 2
b
3 1
sin β = =
=
3
c
2
2
sin α =
b
=
c
a
cos β = =
c
cos α =
3 1
=
3
2
2
1
2
tan α =
a
1 1
=
=
3
b
3 3
tan β =
b
3
=
= 3
a
1
30°
1
2
1
3
2
1
3
3
45°
1
2
2
1
2
2
1
60°
1
3
2
1
2
3
90°
1
0
nicht
definiert
Grundwissen Mathematik – 5
9. Klasse
Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken
Alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks lassen
sich berechnen, wenn
a) zwei Seiten gegeben sind,
oder
b) eine Seite und außerdem rechten Winkel ein weiterer
Winkel gegeben ist.
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und
Tangens
Für alle Winkel α mit 0° ≤ α ≤ 90° gilt:
a) sin α = cos(90° − α ) und cos α = sin (90° − α )
b) sin
2
α + cos 2 α = 1
Sei a = 4 cm eine Kathete und c = 5 cm die
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks
ABC, dann ist:
a 4
sin = ⇒ α ≈ 53°
c 5
a 4
cos = ⇒ β ≈ 37°
c 5
γ = 90°
b
3
sin β = ⇒ b = sin β ⋅ c = ⋅ 5cm = 3cm
c
5
Sei γ = 90°, α = 60° und b = 5 cm (Kathete,
wegen γ = 90°) in einem rechtwinkligen
Dreieck ABC, dann ist:
β = 30° (Innenwinkelsumme)
a
a = b ⋅ tan α = 5 3 , da tan α =
b
b
b
5
c=
=
= 10 , da sin β =
sin β 0,5
c
Sei ∆ABC bei B rechtwinklig, d.h. β = 90°,
dann gilt:
sin α = cos(90° − α ) = cos γ
cos α = sin (90° − α ) = sin γ
Sei nun α = 30°, dann ist:
2
1 1 
sin 30° + cos 30° =   + 
3
2 2 
1 3
= + =1
4 4
2
sin α
c) tan α =
Beachte (α ≠ 90°) ,
cos α
da cos 90° = 0
2
2
1
sin 30°
1 1
tan 30° =
= 2 =
=
3
cos 30° 1
3
3
3
2
Anwendung:
Vereinfache den Term tan α ⋅ cos α
Lösung: tan α ⋅ cos α =
sin α
⋅ cos α = sin α
cos α