QM1 Kapitel 6E

38
Gesamtheit der unitären Operatoren auf Z eine Gruppe
U (Z), die sogenannte unitäre Gruppe.
Def. VI.5 Eine 1–Parametergruppe von unitären Operatoren ist eine Schar {Us }s∈R , welche durch die Wirkung
Φ : R × Z −→ Z der Gruppe R auf Z gegeben ist, also
Us |ψ� = Φ(s, |ψ�) für (s, |ψ�) ∈ R × Z, mit den folgenden
Eigenschaften:
(1): Us ∈ U(Z) ∀s ∈ R.
(2): s −→ Us |ψ� , s ∈ R, ist stetig ∀|ψ� ∈ Z.
Insbesondere folgt aus der Eigenschaft von Φ als Wirkung, daß für alle s, t ∈ R stets Us ◦Ut = Us+t gilt. In moderner Terminologie ist die Abbildung s −→ Us , s ∈ R,
von R nach U (Z) eine unitäre Darstellung der additiven
Gruppe R der reellen Zahlen.
Def. VI.6 Sei {Us }s∈R
eine 1–Parametergruppe
von
unitären
Operatoren.
Der
zugehörige
infinitesimale Erzeuger T ist wie folgt definiert:
�
�
df
D(T ) = |ψ� ∈ Z : ∃ lim (Us − idZ ) |ψ�/s
s→0
�
�
df
T |ψ� = i lim (Us − idZ ) |ψ�/s , |ψ� ∈ D(T ) .
s→0
Es gilt jetzt der folgende
Satz VI.4 von Stone 1. Der infinitesimale Erzeuger einer 1–Parametergruppe von unitären Transformationen
ist selbstadjungiert.
2. Zu jedem selbstadjungierten Operator T auf Z gibt
es eine eindeutig bestimmte 1–Parametergruppe von
unitären Operatoren, zu der T der infinitesimale Erzeuger ist. Diese 1–Parametergruppe von unitären Transformationen wird in Abhängigkeit von T mit Us =
exp (−isT ) bezeichnet.
Damit stehen also Observablen in einer eineindeutigen
Korrespondenz zu einer 1–Parametergruppe von unitären
Operatoren.
Def. VI.7 Sei G eine (Matrix–) Gruppe, Z ein komplexer Hilbert–Raum und U (Z) die unitäre Gruppe von Z.
Eine unitäre Darstellung von G in Z ist ein Gruppenhomomorphismus
U : G −→ U (Z) ,
(102)
der in folgendem Sinn stetig ist: Für alle konvergenten Folgen (gν ) in G und alle |ψ� ∈ Z gilt: Die Folge
(U (gν )|ψ�) konvergiert bezüglich der Norm in Z und es
gilt lim U (gν )|ψ� = U (lim gν )|ψ�.
Die Darstellung heißt treu, wenn U injektiv ist, also
wenn G isomorph zur Untergruppe U (G) ⊂ U(Z) ist.
Die Qualifikation unitär spielt eine wichtige Rolle, weil
sie garantiert, daß die Darstellung auf Z normerhaltend operiert.
Für eine unitäre Darstellung U im physikalischen Zustandsraum Z macht die durch U definierte Wirkung
Φ : G × Z −→ Z , (g, | z �) −→ U (g) | z � = Φ(g, | z �)
die Gruppe G zu einer Symmetriegruppe im Sinne Ihrer Mechanik–Vorlesung. Die Struktur, die erhalten wird,
ist die unitäre Struktur des Zustandsraumes Z, die
durch das Skalarprodukt oder durch die unitäre Gruppe
U (Z) gegeben ist. Zu der in der Mechanik getroffenen
Definition kommt hier allerdings noch die Stetigkeitsbedingung hinzu.
Der Begriff der unitären Darstellung für Symmetriebetrachtungen bei quantenmechanischen Systemen rückt
ins Zentrum des Interesses, weil, wie oben angemerkt,
eine unitäre Darstellung das Skalarprodukt und damit
die Übergangswahrscheinlichkeit unverändert läßt. Wir
nennen eine unitäre Darstellung U : G −→ U (Z) eine Symmetrie des quantenmechanischen Systems
(Z, OH ), wenn außerdem noch die Rolle von OH invariant gelassen wird in folgendem Sinne: Jede Lösung der
Gleichung i�∂t | z � = OH | z � soll durch U (g) für jedes g ∈ G in eine Lösung überführt werden, das heißt,
es soll gelten, i�∂t U (g) | z � = OH U (g) | z �. Wegen
i�∂t U (g) | z � = U (g)i�∂t | z � = U (g)OH | z � folgt:
[OH , U (g)] | z � = 0. Wir fassen zusammen:
Def. VI.8 Eine unitäre Darstellung U der Matrixgruppe
G im Zustandsraum Z ist eine Symmetrie des quantenmechanischen Systems (Z, OH ), wenn für alle g ∈ G gilt:
[OH , U (g)] = 0.
Mit dieser Definition von Symmetrie ist in Analogie zu
der Situation in der Klassischen Mechanik ein Erhaltungssatz verbunden. Der selbstadjungierte Operator OX
heißt Bewegungskonstante des quantenmechanischen
Systems (Z, OH ), wenn [OH , OX ] = 0. Diese Definition
ist sinnvoll, wie wir gesehen haben.
Wie in der Klassischen Mechanik ist es zweckmäßig,
statt direkt mit der Symmetriegruppe G besser mit den
zugehörigen ’infinitesimalen Symmetrien’, also den Elementen aus g = Lie G, zu arbeiten.
Eine Rechtfertigung für dieses Vorgehen findet sich in
der Tatsache, daß eine unitäre Darstellung der Gruppe
G in natürlicher Weise eine Darstellung der zugehörigen
Lie–Algebra wie folgt induziert. Sei U : G −→ U (Z) eine endlichdimensionale Darstellung unitäre Darstellung
(d.h. dim(Z) < ∞) der Matrixgruppe G. Dann ist für
X ∈ g durch Us := U (exp (sX)) , s ∈ R, eine 1–
Parametergruppe von unitären Transformationen gegeben. Us hat einen infinitesimalen Erzeuger σ(X), wobei
df
σ(X)|ψ� = i lim (Us − idZ ) |ψ�/s , |ψ� ∈ D(σ(X)) .
s→0
Tatsächlich ist σ(X) auf ganz Z definiert als
�
d ��
σ(X) = i
Us
.
ds �s=0
(103)
Das ist so, weil dim(Z) < ∞ und daher alle unitäre
Operatoren durch unitäre Matrizen dargestellt werden
39
können. Es gilt für die Lie–Klammer auf g bzw. End(Z):
[σ(X), σ(Y )] = iσ ([X, Y ]) , ∀X, y ∈ g .
(104)
Das sehen wir schnell ein: Wir setzen ρ(X) :=
−iσ(X), also ρ(X) = dU (exp (sX))/ds|s=0 und rechnen [ρ(X), ρ(Y )] = ρ([X, Y ]) nach. Somit ist ρ : g −→
End(Z) eine Darstellung von g in Z, welche auch mit
Lie U = ρ bezeichnet wird.
Der angesprochene Erhaltungssatz lautet jetzt folgendermaßen:
Satz VI.5 Sei (Z, OH ) ein quantenmechanisches System mit einer Symmetrie, die durch eine unitäre Darstellung U : G −→ U (Z) gegeben ist. Für jedes Element
X ∈ g der Lie–Algebra g von G ist der infinitesimale Erzeuger σ(X) von U (exp (sX)) eine Bewegungskonstante.
Beweis VI.3 Das ist klar, denn [OH , σ(X)]
=
[OH , idUs /ds|s=0 ] = i d[OH , Us ]/ds|s=0 . Nach Voraussetzung gilt aber [OH , Us ] = 0 ∀s ∈ R � [OH , σ(X)] = 0.
Also ist σ(X) eine Bewegungskonstante. ∗–< [{; 0)
Im Folgenden wollen wir einen kleinen Einblick in die
Darstellungstheorie von kompakten Gruppen wagen, um
dann ausführlich einen Überblick über die unitären Darstellungen der Drehgruppe SO(3) zu bekommen. Das Ziel
ist also das Konzept der Drehung vom Konfigurationsraum der klassischen Mechanik in die komplexen Zustandsräume quantenmechanischer Systeme zu übertragen. Dazu benötigen wir noch folgenden Begriff:
Def. VI.9 Sei U : G −→ U (Z) eine unitäre Darstellung.
Ein abgeschlossener linearer Unterraum V ⊂ Z heißt
invariant, wenn U (g)V ⊂ V ∀g ∈ G.
Ist V ein invarianter Unterraum, so ist die Einschränkung U |V : G −→ U (V), definiert durch U |V (g) :=
U (g)|V : V −→ V , g ∈ G, eine unitäre Darstellung in V,
die sogenannte Reduktion von U auf V.
Die unitäre Darstellung U heißt irreduzibel, wenn es
keine solche Reduktion gibt, das heißt, wenn für jeden
invarianten Unterraum bereits gilt: V = Z oder V = ∅.
Es erweist sich nun als ungemein vorteilhaft, daß der
Darstellungsraum ein Hilbert–Raum ist, der mit einer
schönen und nützlichen geometrischen Struktur ausgestattet ist, daß wir zum Beispiel das Folgende leicht einsehen können: Sei U : G −→ U(Z) eine unitäre Darstellung, und V ⊂ Z ein invarianter Unterraum. Dann ist
auch das orthogonale Komplement,
df
V ⊥ = {|ψ� ∈ Z : �φ|ψ� = 0 ∀|φ� ∈ V} ,
ein invarianter Unterraum zu U . Deshalb zerlegt sich im
Falle ∅ �= V �= Z die unitäre Darstellung U in die Einschränkungen U |V und UV ⊥ von U aus V und V ⊥ . Es
gilt somit: U = U |V ⊕ UV ⊥ in folgendem Sinne: Jedes
|χ� ∈ Z hat die eindeutige Zerlegung |χ� = |χ�V ⊕ |χ�V ⊥
mit |χ�V ∈ V und |χ�V ⊥ ∈ V ⊥ . Und für g ∈ G gilt:
U (g)|χ� = U |V |χ�V ⊕ UV ⊥ |χ�V ⊥ . Falls nun V und V ⊥
ebenfalls nichttriviale Unterräume enthalten, so läßt sich
dieses Zerlegungsverfahren wiederholen. Es gilt der wichtige
Satz VI.6 (von Peter und Weyl) Sei G eine kompakte
Matrixgruppe. Dann gilt für jede unitäre Darstellung U :
G −→ U (Z) in einem Hilbert–Raum Z:
(1): Ist U irreduzibel, so ist dim(Z) < ∞.
(2): U zerfällt in irreduzible Darstellungen Uj in folgendem Sinne: Es gibt invariante Teilräume Vj ⊂ Z,
welche paarweise orthogonal zueinander sind und
Z aufspannen:Z = ⊕j Vj , so daß für die Einschränkungen U |Vj gilt U = ⊕j U |Vj . Je nachdem,
ob Z endlich– oder unendlichdimensional ist, ist
die Summation über eine endliche oder unendliche
Indexmenge {j} zu verstehen.
Um den Satz von Peter und Weyl auf physikalische
Symmetrien mit einer kompakten Symmetriegruppe G
anwenden zu können, ist es also sinnvoll, die irreduziblen
Darstellungen von G umfassend zu beschreiben. Es erweist sich als zweckmäßig, anstelle der Gruppe G erst
einmal die zugehörigen infinitesimalen Symmetrien zu
betrachten, wie wir bereits wissen.
Am Beispiel der Drehgruppe SO(3) gehen wir so explizit vor, beschaffen uns also zunächst die irreduziblen
Darstellungen der Lie–Algebra so(3) ∼
= su(2). Eine Basis
von so(3) ist durch die drei Matrizen




0 0 0
0 0 1
M1 = 0 0 −1 , M2 =  0 0 0 ,
0 1 0
−1 0 0


0 −1 0
M3 = 1 0 0 ,
(105)
0 0 0
gegeben. Es gilt [Ma , Mb ] = εabc Mc , a, b, c ∈ {1, 2, 3}.
Dies ist die definierende Algebra von infinitesimalen Drehungen.
Sei Z ein Hilbert–Raum mit dim(Z) < ∞, und ρ :
so(3) −→ End(Z) eine Darstellung von so(3) in Z. Wir
setzen Ja := iρ(Ma ) , a ∈ {1, 2, 3}. Ja ist dann der Generator für Drehungen um die a–Achse und entspricht
der selbstadjungierten Version der a–ten Komponente
des Drehimpulses. Wir werden alsbald einsehen, daß dies
mehr liefert als nur die kanonische Quantisierung des
klassischen Bahndrehimpulses (siehe unten). Da ρ die
Lie–Klammern respektiert, gilt [Ja , Jb ] = iεabc Jc .
Statt direkt mit dem Satz {Ja }a∈{1,2,3} zu arbeiten, erweist es sich als zweckmäßiger, mit folgenden
Operatoren zu arbeiten: J3 , J± := J1 ± iJ2 . Dies ist
natürlich nicht evident, insbesondere weil lediglich J3
ein selbstadjungierter Operator ist, während J± offenbar nicht selbstadjungiert sind, sondern zueinander adjungiert: (J+ )† = J− . Andererseits wissen wir, daß die
Komponenten Ja , a ∈ {1, 2, 3} sich nicht vertragen, folglich können wir physikalische Zustände ohnehin nur mit
einer Drehimpulskomponente charakterisieren. Wir haben uns für J3 entschieden. Die nicht–selbstadjungierten
Operatoren J± sind also in diesem Sinne genauso gut
wie die verbleibenden Komponenten. Da wir algebraisch
40
vorgehen wollen, notieren wir
[J3 , J± ] = ±J± , [J+ , J− ] = 2J3 ,
J ◦ J = J− J+ + (id + J3 ) ◦ J3 .
(106)
Die folgenden drei Aussagen enthalten die wesentlichen
Informationen über irreduzible Darstellungen von so(3).
Lemma VI.1 Sei |m� ∈ Z (dim(Z < ∞)) mit J3 |m� =
m|m�. Dann gilt:
J3 (J± |m�) = (m ± 1)J± |m� .
(107)
Beweis VI.4 Mittels elementarer Rechnung:
Beweis VI.6 Zunächst ist m − k ∈ M(J3 ) nach Lemma
VI.1, und J− |m − k� = |m − (k + 1)� nach Definition.
Außerdem gilt
J+ |m − k� = k (2m − (k − 1)) |m − (k − 1)� , (109)
(106)
J3 (J± |m�) = (±J± + J± ◦ J3 ) |m�
= (±J± + J± m) |m�
= (m ± 1) J± |m� .
Lemma VI.3 Sei m ∈ M(J3 ) wie in Lemma VI.2. Dann
gilt m ∈ N/2. Wir setzen |m − k� := (J− )k |m� , k ∈ N.
Die Menge {|m�, . . . , | − m�} ist eine Basis eines invarianten Untervektorraumes V ⊂ Z.
Es gilt mit J 2 = J1 ◦J1 +J2 ◦J2 +J3 ◦J3 , daß J 2 |m−k� =
m(m + 1)|m − k� , k ∈ {0, . . . , 2m} ⊂ N. Das bedeutet,
daß V Eigenraum zu J 2 zum Eigenwert m(m + 1) ist.
(108)
Das war es auch schon. ∗–< [{; 0)
Die Interpretation dieses Lemmas liefert uns eine Interpretation für die durch J± gegebenen Operationen,
nämlich, J± |m� ist wieder ein Eigenzustand zu J3 , allerdings zu einem um eine Einheit erhöhten/erniedrigten
Eigenwert. Mit anderen Worten, mittels J± können wir
das Spektrum M(J3 ) von J3 in äquidistanten Abständen
nach oben und unten durchlaufen, wobei jede Stufe dieser Leiter selbst wieder durch einen Eigenwert von J3 gekennzeichnet. Das bedeutet natürlich noch nicht, daß wir
auf diese Weise wirklich das gesamte Spektrum durchlaufen, aber es rechtfertigt den Begriff Leiteroperator für
J± . Außerdem reflektiert sich hier eine gewisse Logik unserer Methodik: da wir vereinbart haben, Zustände mit
den möglichen Meßwerte von J3 zu bezeichnen, und J3
sich nicht mit J1 , J2 verträgt, nutzen wir Linearkombinationen von lezteren, um möglichst viel über M(J3 ) aus
algebraischen Betrachtungen zu lernen. Zum Beispiel:
Lemma VI.2 Es gibt einen Eigenzustand |m� ∈ Z von
J3 mit J+ |m� = 0.
Beweis VI.5 Anschaulich ist das klar, da nach Voraussetzung dim(Z) < ∞. Nun ja: Sei |m� ∈ Z , m ∈ M(J3 )
beliebig. Mit (106) folgt: J3 ◦ J+ |m� = (m + 1)J+ |m�,
also J+ |m� =: N |m + 1�, wobei N ∈ C und wir
wählen N = 1. Wir denken uns über J3 |m + n� =
(m + n)|m + n� , n ∈ N induktiv eine Folge von Eigenzuständen erzeugt. Bricht diese Folge irgendwann ab? Da
nach Voraussetzung dim(Z) < ∞, existiert ein n� ∈ N
mit J+ |m + n� � = 0, sonst wäre dim(Z) = ∞ im Widerspruch zur Voraussetzung. Sei nun n = sup{n� ∈
N : J3 |m + n� � = 0}. Für den Zustand |m + n� ∈ Z
gilt: m + n ∈ M(J3 ) und J+ |m + n� = 0. Wir setzen
m := m + n. ∗–< [{; 0)
Also ist M(J3 ) nach oben beschränkt. Wir sehen aber
u.a. gleich, daß das Spektrum M(J3 ) auch nach unten
beschränkt sein muß, und zwar aus dem gleichen Grund,
nämlich der Voraussetzung eines endlichdimensionalen
Darstellungsraumes.
wie Sie als Übung per Induktion nach k zeigen sollen.
Die Folge J− |m� muß wegen dim(Z) < ∞ irgendwann
abbrechen. Sei m ∈ N mit |m − m� =
� 0 und J− |m − m� =
0, wobei m := inf{k � ∈ N : J3 |m − k � � = 0}. Also ist
|m − (m + 1)� = 0 �
(109)
0 = J+ |m − (m + 1)� = (m + 1)(2m − m)|m − m� .
Nach Voraussetzung ist |m − m� =
� 0� 2m − m =
0�2m = m ∈ N.
Für O ∈ {J3 , J± } zeigen die aufgestellten Gleichungen,
daß O|m − k� , k ∈ {0, . . . , 2m} ⊂ N eine Linearkombination der Basiszustände {|m − k�}k∈{0,...,2m} ist. Also,
OV ⊂ V, d.h. V ist invariant.
Schließlich ist J 2 = J− ◦J+ +J3 ◦(id+J3 ), woraus nach
einer kleinen Rechnung J 2 |m−k� = m(m+1)|m−k� , k ∈
{0, . . . , 2m} ⊂ N folgt. ∗–< [{; 0)
Wir fassen unsere Ergebnisse in einer gebräuchlichen
Notation folgendermaßen zusammen:
Satz VI.7 Es sei ρ : so(3) −→ End(Z) eine endlichdimensionale Lie–Algebra–Darstellung. Sei j ∈ M(J3 ) mit
|j� =
� 0 und J+ |j� = 0.
(1): Sei zunächst k ∈ N und Z � |j −k� := (J− )k |j� , |j +
1� = 0. Dann gilt für m = j − k:
J3 |m� = m|m� , J− |m� = |m − 1� ,
J+ |m� = [j(j + 1) − m(m + 1)] |m + 1� ,
|m� = 0 f ür m < j .
(110)
(111)
(112)
(2): Es ist 2j ∈ N, und {| − j�, | − j + 1�, . . . , |j�} ist
Basis eines invarianten Unterraums V(j) ⊂ Z mit
dim(V(j)) = 2j + 1.
(3): Für jeden Zustand |m� ∈ V(j) gilt: J 2 |m� = j(j +
1)|m�. Daher gibt es j1 , j2 , . . . , jn , n ∈ N, so daß
J 2 auf Z = ⊕na=1 V(ja ) die Darstellung J 2 =
⊕na=1 ja (ja + 1)Pa , wobei Pa : Z −→ Z die orthogonale Projektion auf den Teilraum V(ja ) bezeichnet.
(4): Die Einschränkung ρa von ρ auf V(ja ) ist eine irreduzible Darstellung ρa : so(3) −→ End(V(ja )), und
ρ zerlegt sich wie folgt: ρ = ⊕na=1 ρa .
41
Jede endlichdimensionale irreduzible Darstellung ρ von
so(3) hat die im Satz VI.7 angegebene Form mit V(j) =
Z für n = 1, j = j1 . Für jede Zahl j ≥ 0 mit 2j ∈ N gibt
es eine irreduzible Darstellung ρ(j) : so(3) −→ End(Zj )
in einen (2j +1)–dimensionalen C–Vektorraum Zj mit einer Basis {|m�}m∈M(J3 ) und der Wirkung der J3 , J± wie
in Satz VI.7. Die Zahl j heißt der Spin der Darstellung.
Eine bessere Bezeichnung wäre Drehimpuls, da j sowohl
den Bahndrehimpuls der Klassischen Mechanik, als auch
einen mit Spin bezeichneten intrinischen Drehimpuls umfaßt. Letzterer besitzt kein Analogon in der Klassischen
Mechanik.
An dieser Stelle bleibt noch, die unterdrückten Einheiten durch entsprechende Potenzen von � wieder zu
restaurieren, zum Beispiel:
[Ja , Jb ] = iεabc �Jc .
VII.
(113)
QUANTISIERUNG & KANONISCHE
QUANTISIERUNG
Die Schrödinger–Gleichung beschreibt die Enwtwicklung eines quantenmechanischen Zustandes | z � während
des Zeitintervalls t − t0 ∈ R relativ zu einer externen Uhr
wie oben beschrieben als | z �(t) = U (t, t0 ) | z �(t0 ) =
exp (−i(t − t0 )OH /�) | z �(t0 ). Dies motiviert die Fragestellung, wie OH als Funktion der elementaren Observablen Oq , Op ausschaut?
In diesem Abschnitt stellen wir uns der Frage, wie
wir praktisch und konkret von einem gegebenen mechanischen System mit Impulsphasenraum P und Observablenmenge O(P) zum enstsprechenden quantenmechanischen System mit Zustandsraum Z und Observablenmenge O(Z) übergehen. Viele der prominentesten
quantenmechanischen Systeme werden so erzeugt. Die
Theorie der klassischen Observablen war recht einfach:
Jeder klassischen Observablen ist eine Borel–Funktion
O(P) � B : P −→ R , (q, p) −→ B(q, p) zugeordnet.
Wichtige Beispiele (Abschnitt III C) waren die elemenj
taren klassischen Observablen Ort BOrt
= Pj ◦ Pr1 und
Impuls BImp j = Pj ◦ Pr2 , j ∈ {1, 2, 3}.
Quantisierung kann nun zunächst etwas salopp als
Abbildung Q : O(P) −→ O(Z) betrachtet werden, so daß
jeder klassischen Observablen B ∈ O(P) ein selbstadjungierter Operator Q(B) ≡ OB auf dem Zustandsraum Z
zugeordnet wird.
Diese Betrachtungsweise ist hauptsächlich von struktureller Relevanz, da O(P) selbst gewisse strukturelle Eigenschaften hat, die bei der Quantisierung (möglicherweise) erhalten bleiben, und daher selbst Einsicht in die
Quantisierungsvorschrift vermitteln. Da sind zunächst
einmal die beiden natürlichen Strukturen, die O(P)
trägt, nämlich 1. die üblichen linearen Operationen auf
jedem Vektorraum, also für B1 , B2 ∈ O(P) und k1 , k2 ∈
R ist (k1 B1 + k2 B2 ) ∈ O(P) ∀(q, p) ∈ P, und 2. ist für
B1 , B2 ∈ O(P) auch (B1 B2 ) ∈ O(P) ∀(q, p) ∈ P, wobei
(B1 B2 )(q, p) := B1 (q, p)B2 (q, p). Wir vereinbaren:
Vereinbarung VII.1 (Quantisierungsvorschrift)
Quantisierung respektiert folgende Strukturen:
(1): Linearität, d.h. die Abbildung Q : O(P) −→ O(Z),
B −→ Q(B) := OB ist linear: Für B1 , B2 ∈ O(P)
und k1 , k2 ∈ R ist k1 B1 + k2 B2 −→ k1 OB1 + k2 OB2 .
(2): Sei F(R) � F : R −→ R eine beliebige Funktion
und O(P) � B : P −→ R eine klassische Observable. Dies induziert qua Komposition folgendermaßen eine Abbildung H : F(R) × O(P) −→ O(P):
(F, B) −→ H(F, B) := F ◦ B, also H(F, B)(q, p) =
F (B(q, p)).
Bezeichne OB : Z −→ Z die zu B korrepondierende
quantenmechanische Observable und {|b�}b∈M(OB ) ,
so gilt:
OF ◦B |b� = F (b)|b� .
(114)
Für unbeschränkte Observablen liegt {|b�}b∈M(OB ) nicht
in Z, jedoch läßt sich die entscheidende Definition in (2)
durch eine kleine Rechnung auf beliebige Zustände | z � ∈
Z ausweiten:
�
�
OF ◦B | z � =
F (b)|b��b | z � .
(115)
b∈M(OB )
Diese Definition ist sinnvoll, zumindestens für alle komplexwertige Polynome R auf R, denn ausgehend von der
Spektraldarstellung für OB ,
�
�
OB =
b |b��b| ,
(116)
b∈M(OB )
gilt für diese (Funktionalkalkül)
�
�
R (OB ) =
R(b) |b��b| .
(117)
b∈M(OB )
Leider ist die Quantisierungsvorschrift VII.1 noch nicht
ausreichend, schlimmer noch, sie muß um sogenannte
Ersetzungsregeln heuristisch ergänzt werden. Das sehen wir schnell an folgendem Beispiel ein: BOrt BImp
ist als klassische Observable genauso gut wie BImp BOrt ,
während diese Aussage aufgrund der Unverträglichkeit
von Oq und Op in der Quantenmechanik nicht mehr gelten kann. Die folgende Ersetzungsregel versucht diesem
Umstand Rechnung zu tragen: BOrt BImp �−→ (Oq ◦ Op +
Op ◦ Oq )/2.
Die Quantisierungsvorschrift VII.1 erlaubt dann eine
zügige Verallgemeinerung: Seien B , B � ∈ O(P) beliebige
klassische Observablen. Es gilt dann folgende Ersetzungsregel:
BB � �−→ (OB ◦ OB� + OB� OB ) /2 .
(118)
Eine letzte Anmerkung zu diesem Thema: Wir haben hier die Quantisierung von klassisch realisierten
Systemen diskutiert, ausgehend von einer Hamilton–
Formulierung für das klassische System, insbesondere von