Basissysteme, Ort und Impuls

1
Basissysteme, Ort und Impuls
Zweites Projekt zur VO Quantenmechanik
Gruppe Fermi
Gruppenmitglieder: Arnulf Wurzer, Markus Rems, David Tudiwer,
Oliver Senekowitsch, Martin Stolterfoht, Paul Pirkner
1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL
1
1.1
2
Basissysteme und Basiswechsel
Basissysteme von Operatoren
Ein quantenmechanischer Zustand |ai werde dargestellt durch einen Vektor aus dem Vektorraum (Hilbertraum). Dieser Vektor kann durch eine Linearkombination von Elementen
einer beliebigen Basis |ϕn i aufgespannt werden, wobei diese aus einer maximalen Anzahl
linear unabhängiger Vektoren besteht und die Anzahl der Basiselemente die Dimension
des Vektorraums bestimmt.
|αi =
P
an |ϕn i
(1.1)
n
b=A
bt gilt, hat reelle
Ein Operator auf dem Vektorraum, der selbstadjungiert ist, für den A
Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren. Die Eigenvektoren bilden eine orthonormale
Basis.
Jedes Element des Vektorraumes kann nun in der Basis des Operators dargestellt werden.
|αi = cn |an i
(1.2)
|an i ... n-tes Basiselement der Operatoreigenbasis.
1.2
Basiswechsel
Es ist nun sinnvoll zu fragen, wie man vom Basissystem des einen Operators ins Basissystem eines anderen transformieren kann.
1 BASISSYSTEME UND BASISWECHSEL
1.2.1
3
Allgemein
Ein Basiswechsel ist ein Isomorphismus - also eine bijektive Abbildung zwischen zwei
mathematischen Strukturen - bei der Teile der einen Struktur auf bedeutungsgleiche Teile
einer anderen Struktur abgebildet werden.2
In unserem Fall sind die zwei Basissysteme {an } und {bn } die mathematischen Strukturen. Bedeutungsgleiche Abbildungen meint, dass die speziellen Eigenschaften - also
lineare Unabhängigkeit der neuen Basiselemente sowie Vollständigkeit im Bezug auf den
Vektorraum - erhalten bleiben.
1.2.2
Basiswechsel von Operatoren
Der Basiswechsel wird mit Hilfe einer unitären Transformation durchgeführt.
|bk i = u |ak i
(1.3)
mit u = Σ |bk ihak |
k
|bk i ... k-tes Basiselement des Raums B
|ak i ... k-tes Basiselement des Raums A
P
P
Beweis: u |ak i =
|bi ihai |uk i = |bi i δik = |bk i
i
i
wie vorher erwähnt ist u eine unitäre Transformation
⇐⇒ uut = ut u = 1
P
P
P
P
P
Beweis: uut = |bi ihai | |ak ihbk | = |bi ihai |ak i hbk | = |bi iδik hbk | = |bi ihbi | = 1
i
k
i,k
i,k
i
b = P|bi ihai | führt die Basiselemente der Basis B
Wir fassen zusammen: Der Operator U
i
in jene der Basis A über und ist unitär.
Nun stellt sich die Frage was mit einem Operator passiert, wenn man die Operatoren U
und U t auf ihn anwendet.
2 VERALLGEMEINERUNG AUF UNENDLICH DIMENSIONALEVEKTORRÄUME4
b ki
Aik{ai } = hai |A|a
b t=
U AU
b im Basissystem von {ai }
.... i, k tes Element des Operators A
X
X
|ai ihbi | Aik{ai }
|bk ihak |
i
=
X
=
X
=
X
k
b k i |bk ihak |
|ai ihbi | hai |A|a
i,k
b ki
hai |ai i hbi |A|b
hak |ak i
i,k
b k i = Aik {b } .... i, k tes Element des Operators A
b im Basissystem von {bi }
hbi |A|b
i
i,k
Der Operator in der Basis {ai } wird also in die Basis {bi } transformiert.
2
Verallgemeinerung auf unendlich dimensionaleVektorräume
Die bisher dargestellten Beziehungen gelten zunächst nur für endlich dimensionale Vektorräume, können aber unter bestimmten Voraussetzungen auf unendlich dimensionale
Vektorräume verallgemeinert werden.1
Zunächst stellt sich die Frage, wie sieht die Basis eines unendlich dimensionalen Vektorraum aus? Für endlich dimensionale Vektorräume war die Basis diskret und bestand aus
einer endlichen Anzahl von Basiselementen.
Für unendlich dimensionale Vektorräume ist das im Allgemeinen nicht mehr erfüllt. Hier
kann die Basis auch kontinuierlich sein.
Dies hat Auswirkungen auf die bekannten Relationen:
b UND DIE DARSTELLUNG IN SEINER EIGENBASIS5
3 DER ORTSOPERATOR X
Table 2.1: Diskrete und kontinuirliche Basis
Orthonormalität
Vollständigkeit
Allgemeiner Zustand
Skalarprodukt
diskrete Basis
hai | ak i = δik
P
b
1 = |ai ihai |
i
P
|αi = hai |αi |ai i
i
P
hβ| αi = hβ|ai ihai |αi
i
P
= d∗i ci
kontinuirliche Basis
hx|x0 i = δ(x − x0 )
´
1 = dx |xihx|
´
|αi = dx hx| αi |xi
hβ|αi =
´
= g∗f
´
dx hβ| xihx|αi
i
3
3.1
b und die Darstellung in seiner
Der Ortsoperator X
Eigenbasis
Definition und Relationen
b ist definiert durch die Eigenwertgleichung
Der Ortsoperator X
c |xi = x |xi
X
Natürlich ist es auch möglich, wie vorher den Raum mit den Eigenfunktionen aufzuspannen.
´
|αi = dx hx|αi |xi ,
R
wobei das Skalarprodukt hx|α i die Koeffizienten von |αi bezüglich der Basis |xi herausprojiziert und das Integral die Summe über die Koeffizienten mal dem Basiselement
bildet.
P
Zum Vergleich: |αi = han |αi |an i ... mit |an i ... diskrete Basis.
n
Es kann die Variable x auch aus dem R3 gewählt werden. Daraus folgt für einen allgemeinen Zustand |αi :
b UND DIE DARSTELLUNG IN SEINER EIGENBASIS6
3 DER ORTSOPERATOR X
´
|αi = d3 x h ~x | α i | ~x i
R3
b Yb , Zb angewendet auf den
wobei | ~xi = |x, y, zi und zwar derart, dass die Operatoren X,
Zustand |x, y, zi den Eigenwert des Operators mal dem Zustand produzieren.
b |x, y, zi = x |x, y, zi
X
Yb |x, y, zi = x |x, y, zi
Zb |x, y, zi = z |x, y, zi
Also ist der Zustand |x, y, zi ein Eigenzustand zu allen drei Operatoren.
b Yb ] = [Y
c, Z]
b = [X
b , Z]
b =0
⇒ [X,
Beweis:
b Yb − Yb X)
b |αi
|αi = (X
ˆ
|αi = dx h ~x|α i | ~x i
3
ˆR
b Yb ] |α > =
⇒ [X,
b Yb h ~x|α i | ~x i − Yb X
b h ~x|α i | ~x i )
dx (X
R3
ˆ
b Yb ] |α > =
h~x|αi ist eine Zahl ⇒ [X,
b Yb | ~x i − Yb X
c | ~xi )
dx hx|α i (X
R3
ˆ
b | ~xi − Yb x | ~x i )
dx hx|α i (Xy
=
R3
ˆ
dx hx|α i (yx | ~x i − xy | ~x i ) = 0
=
R3
b , [X,
b Z]
b wird hier verzichtet, da diese analog
Auf den Beweis der Kommuntatoren [Yb , Z]
ablaufen.
3.2
Die Wellenfunktion im Ortsraum
Die Wellenfunktion ψα (x) ist definiert als ψα (x) ≡ h x|αi und für die Wahrscheinlichkeit,
dass der Zustand |xi eine Position in R gilt:
4 IMPULSOPERATOR
7
ˆ
dx |h x|α i |2 = ψα (x)k2 = 1
Pα (x ∈ R) =
R
Für die Wahrscheinlichkeit einen Zustand |αi in einem Zustand hβ| zu finden ergibt sich
ˆ
P (|αi in |βi) = hβ| αi =
ˆ
dx hβ| xi hx|αi =
dx ψβ (x) ψα (x) .
Um eine Beziehung zwischen der Wellenfunktion und einem anderen Basissystem zu bekoman, benützt man
P
ψα (x) = hx|αi= hx| ai ihai |αi
i
hx| ai i stellt nun die Wellenfunktion ψai (x) des (Basis-)Zustands |ai i dar und hai |αi ist
der Koeffizient ci des Zustandes |αi bezüglich des Basiselements |ai i .
P
⇒ ψα (x) = ci ψai (x)
i
4
4.1
Impulsoperator
Der Transformationsoperator
Der Translationsoperator führt einen Zustand|xi in einen Zustand |x0 i über, wobei |x0 i ≡ |x + dxi
T |xi = |x + dxi und X|x + dxi = (x + dx)|x + dxi
für einen allgemeinen Zustand |αi gilt:
´
´
T (dx) |αi = dx0 T (dx) |x0 ihx0 | αi = dx0 |x0 + dxi hx0 | αi
R
R
(Nebenrechnung: x00 = x0 + dx , dx0 = dx00 )
´ 00 00
´
dx |x i hx00 − dx|αi = dx00 |x00 i ψ (x00 − dx)
R
R
wobei benutzt wurde, dass h x00 − dx|αi die Wellenfunktion ψα des Zustandes |αi bezüglich
|x00 − dxi ist.
4 IMPULSOPERATOR
8
Das bedeutet also, dass die Wirkung des Translationsoperators auf einen Zustand als
Translation (der Koordinaten) der Wellenfunktion und somit der Koeffizienten der Basisfunktion verstanden werden kann.
Es gelten folgende Relationen:
T (dx + dx0 ) = T (dx) ◦ T (dx0 )
T (−dx) = T (dx)−1 daraus folgt T (dx) ◦ T (−dx) = T (dx − dx)
= T (0) = I mit I=Identitätsoperator
T ist unitär: T (dx)t ◦ T (dx) = I
~ = T (dx, dy, dz)
Es gibt eine Verallgemeinerung auf R3 : T (dx)
4.2
Impulsoperator als Generator des Translationsoperators
Zunächst wollen wir zeigen, dass sich ein unitärer Operator U als Exponentialfunktion
eines hermitischen Operators H darstellen lässt.
Annahme: U = eiH zu zeigen U t U = b
1
T
U t = (eiH ) =
P (iH)n
n
mit H = H t folgt
n!
P (−i)n (H t )n
=
P (−iH)n
n
⇒ UUt = eiH e−iH = 1
n!
n
n!
= e−iH
q.e.d.
Da Tb ein unitärer Operator ist, muss er sich durch die Exponentialfunktion eines hermitischen Operators Pb darstellen lassen.
~ d~
x
T (dx) = eicP
,
wobei c eine Konstante ist und festgelegt wird als c ≡ − }1 .
⇒ T (dx) =
n
P ( −i
)
}
(P~ d~x)n ' 1 −
n!
n
i
}
P~ d~x + O(d~x)2
Da der Exponent dimensionierbar sein muss, folgt für [P~ ] :
4 IMPULSOPERATOR
9
[}]
[E] [t]
[F ] [s] [t]
[P~ ] [d~x]
= 1 ⇒ [P~ ] =
=
=
=
[}]
[dx]
[s]
[s]
=
[m] [s] [t]
[m] [s]
= [m] [v] = [P ]
=
2
[t]
[t]
woraus Folgt, dass der Operator P~ die Dimension eines Impulses hat.
4.3
Eigenschaften des Impulsoperators
Als erstes wollen wir die Eigenschaft festhalten, die wir im vorherigen Abschnitt benötigt
haben um den Impulsoperator als Generator der Translation zu identifizieren.
P ist ein hermitischer Operator ⇒ P t = P
Nun soll eine Kommutatorrelation zwischen dem Ortsoperator X und dem Impulsoperator
P hergeleitet werden.
Dazu ist es notwendig den Kommutator von X und T(dx) zu berechnen.
[X, T (dx)]|xi = X T (dx) |xi − T (dx) X |xi
= X |x + dxi − T (dx) x |xi
= (x + dx) |x + dxi − x |x + dx >
= dx |x + dx >
⇒ [X, T (dx)] = dx
(4.1)
i
i
T (dx) = 1 − Px dx ⇒ [X, T (dx)] = [X, 1 − Px dx] = dx
}
}
i
i
= X(1 − Px dx) − (1 − Px dx)X
}
}
i
i
= X − dx X P x − X + dx P x X
}
}
i
= − dx[X, P ] = dx
}
⇒ [X, P ] = i}
(4.2)
4 IMPULSOPERATOR
10
Um die Kommutatorrelation zu vervollständigen fehlen uns noch:
[Xi , Pj ] für i 6= j
[Pi , Pj ]
[X, T (dy)] |~xi = X T (dy) |~xi − T (dy) X |~xi = X|x, y + dy, zi − x T (dy) |~xi
= x |x, y + dy, zi − x |x, y + dy, zi = 0
[X, T (dy)] = 0 ⇒ [X, Py ] = 0 ⇒ [Xi , Pj ] = 0
(4.3)
für i 6= j
[T (dx), T (dy)] |~xi = T (dx)T (dy) |~xi − T (dy)T (dx) |~xi = 0 ⇒ [Pi , Pj ] = 0
(4.4)
und somit vervollständigt sich der Satz an Relationen zu:
[Xi , Pj ] = 0
[Pi , Pj ] = 0
[Xi , Pj ] = i} δij
4.4
(4.5)
Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum
Wir betrachten einen Zustand |αi auf den der Translationsoperator angewendet wird.
Um die Wirkung des Impulsoperators herauszuarbeiten, wendet man einmal den Translationsoperator selbst an. Anschließend stellt man ihn durch den Impulsoperator dar und
vergleicht die beiden Ergebnisse.
´
´
T (dx)|αi = dx T (dx) |xi hx|αi = dx |xi ψα (x − dx)
R
R
4 IMPULSOPERATOR
11
nun entwickelt man ψα bis zur ersten Ordnung in dx.
ˆ
dx |xi (ψα (x) −
T (dx)|αi =
∂
ψα (x) dx + O(dx2 ))
∂x
(4.6)
R
i
T (dx)|αi = (1 − Px dx + O(dx2 )) |αi
}
ˆ
i
= dx |xihx| (1 − Px dx + O(dx2 )) |αi
}
(4.7)
R
Durch Vergleich der beiden Ausdrücke erhält man:
hX|Px |αi = −i}
∂
hx| αi
∂x
(4.8)
Zusammenfassend noch einige nützliche Ergebnisse:
∂
hx|Px |x0 i = −i}
δ(x − x0 )
∂x
ˆ
∂
hβ|Px |αi = dx0 Ψβ (x0 )(−i} 0 )Ψα (x0 )
∂x
n
∂
hx|Pxn |αi = (−i})n n hx| αi
∂x
ˆ
∂n
hβ|Pxn |αi = dx0 Ψβ (x0 )(−i})n 0n Ψα (x0 )
∂x
4.5
Wellenfunktion im Impulsraum
Die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum ist die Eigenwertgleichung
P |pi = p|pi
|pi sind die Eigenzustände und p die Eigenwerte des Impulsoperators.
(4.9)
5 FOURIERTRANSFORMATION
12
Um die Wellenfunktion im Impulsraum Φ einzuführen gehen wir wieder vom allgemeinen
Zustand |αi aus, der im Impulsraum aufgespannt wird.
ˆ
ˆ
0
0
dp0 Φα |pi
0
dp hp |αi |p i =
|αi =
(4.10)
R
R
Dies geschieht ähnlich der Aufspannung eines allgemeinen Zustandes im Ortsraum durch
die Eigenzustände des Ortsoperators.
Die Wellenfunktion des allgemeinen Zustandes soll normiert sein, also das Normquadrat
der Wellenfunktion muss 1 sein.
ˆ
2
kΦk =
2
dp0 |hp0 |αi | = 1
(4.11)
Die Wellenfunktion im Ortsraum haben wir schon besprochen, als nächsten Schritt müssen
wir einen Basiswechsel vom Ortsraum in den Impulsraum durchführen. Dies geschieht
durch eine Fouriertransformation (ist eine unitäre Transformation).
5
Fouriertransformation
Der Übergang von Ortsraum in den Impulsraum entspricht einer Transformation zwischen
zwei VONS (vollständig orthonormiertes System).
Der Transformationsoperator U ist:
U α(k) = b(k)
(5.1)
Uik = ai |U ak = ai bk
(5.2)
wobei α(k) und b(k) ein VONS aus dem Hilbertraum darstellt.
Für den Basiswechsel schreiben wir U |xi = |pi, wir brauchen dafür den Ausdruck für
hx|p >. Wir erhalten hx|p > durch folgende Gleichungen:
5 FOURIERTRANSFORMATION
13
Die erste ist die Wirkung des Impulsoperators im Impulsraum und wird von links mit
hx| multipliziert.
hx| P |pi = p hx| pi
(5.3)
und aus der Formel für die Wirkung des Impulsoperators im Ortsraum erhält man:
hx|Px |pi = −i}
∂
hx|pi
∂x
(5.4)
Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen ergibt:
−i}
∂
hx| pi
∂x
= p hx| pi
Das ist eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung für hx|pi.
∂
hx| pi0
∂x
hx| pi
=
p
−i}
= p }i ⇒ lnhx|pi = px }i + N0
i
lnhx| pi = px + N0
}
i
hx| pi = N exp ( px)
}
hx| pi hat die Form einer ebenen Welle und entspricht einer Ortswellenfunktion eines
allgemeinen Zustands.
ˆ
|pi =
ˆ
dx |xihx| pi =
i
dx N exp( px) |xi
}
(5.5)
dabei wurde die Vollständigkeitsrelation für unendlichdimensionale Vektorräume verwendet.
Der Transformationsoperator für den umgekehrten Fall lautet:
U −1 |pi = |xi
mit U −1 = U t ⇒ U t |pi = |xi
(5.6)
5 FOURIERTRANSFORMATION
14
´
Somit ist |xi = dp |pihp| xi und man sieht, dass der Transformationsoperator für den
Basiswechsel vom Impulsraum zum Ortsraum der Komplex-Konjugierte Operator ist.
Damit können wir die Normierung berechnen:
´
´
´
hx| x0 i = dp hx|pi hp|x0 i= dp N 2 exp( }i (xp − px0 )) = N 2 dp exp(− }i p(x0 − x))
R
mit 2πδ(x − x0 ) =
p
}
´
dp exp(−i(x − x0 )p) und folgender Variablentransformation für p
= p0 ⇒ dp = } dp0 ergibt das Integral:
2π}N 2 δ(x − x0 ) = δ(x − x0 ) und somit N =
√1
2π}
Daraus folgt:
1
i
exp ( xp)
}
2π}
(5.7)
1
i
exp (− xp)
}
2π}
(5.8)
hx|pi = √
hp| xi = √
Damit ist gezeigt, dass der Basiswechsel zwischen Orts & Impulsraum über die Fouriertransformation zusammenhängt.
Das Paar der Fouriertransformierten lautet:
´
´
f (x, t) = Ψα (x, t) = hx|αi = dp hx| pihp| αi = dp hx|piΦα (p, t)
1
⇒ Ψα (x, t) = √
2π}
ˆ
R
g(p, t) = Φα (p, t) =hp| αi =
´
i
dp Φα (p, t) exp ( xp)
}
dx hp|xihx|αi =
1
⇒ Φα (p, t) = √
2π}
ˆ
R
´
(5.9)
dx hp|αiΨα (x, t)
i
dx Ψα (x, t) exp (− xp)
}
Für Ψ(x, t) und Φ(p, t) gilt das Parsevalsche Theorem:
(5.10)
6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION
ˆ∞
15
ˆ∞
dp Φ(p, t)|2 =
−∞
dp Ψ(x, t)|2 = 1
(5.11)
−∞
Φ(p, t) ist die Amplitude einer Welle mit dem Impuls p. Die Integration von |Φ(p, t)|2 über
alle Impulse soll den Wert 1 ergeben. D.h. |Φ(p, t)|2 dp ist die Wahrscheinlichkeit das
Elektron mit einem Impuls zwischen p und p+dp zu finden.
6
Die Gaußsche Wellenfunktion
Die Gauß´sche Wellenfunktion hat im Ortsraum die allgemeine Form:
hx| αi = ψα (x, t) =
4√
1
πσ 2
exp(ikx −
x2
)
2σ 2
Der erste Term des Exponenten bezeichnet dabei eine ebene Welle zur Wellenzahl k, der
zweite Term ist die charakteristische Gaußkurve:
Um diese Funktion darzustellen plotten wir sie mit Mathematica. Dabei ist, wie wir unten
noch sehen werden, ein Maß für die Breite der Wellenfunktion und k proportional zum
Impuls in x-Richtung.
Für wählen wir 2 und für k 1:
Figure 6.1: [Realteil der Gauß-Wellenfunktion]
6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION
16
Figure 6.2: [Imaginärteil der Gauß-Wellenfunktion]
Figure 6.3: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion]
Wenn man nun verkleinert, sieht man dass die Ortsraumdarstellung ”lokalisierter” wird:
Für σ = 1, k = 1:
Figure 6.4: [Absolutbetrag der Gauß-Wellenfunktion; mit = 1 und k = 1:]
6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION
17
Dieses Wellenpaket soll auf 1 normiert sein:
|ψ (x) |2 =
∞
´
−∞
2
√1
πσ
exp (− σx2 )
2
√
πσ
dx exp (− σx2 ) =
wenn der Realteil von σ 2 > 0 ist.
Zwischen den beiden Darstellungen im Orts und Impulsraum ψ(x,t) bzw φ(p,t) besteht
eine Korrelation, die auf die Unschärferelation hindeutet. Ist nämlich ψ(x,t) in einem engen
Bereich lokalisiert, so ist die Verteilung von φ(p,t) breit. Um das zu zeigen wollen wir die
Funktion im Impulsraum darstellen. Dazu müssen wir die Funktion fouriertransformieren
und wählen α = 2σ1 2 und β = i ( }p + k ):
FT(ψ(x)) =
=
=
4√
4√
1
4π 3 σ 2 }2
1
4 π 3 σ 2 }2
4√
1
πσ 2
∞
´
−∞
√1
2π}
∞
´
−∞
dx exp ( }i px) exp (ikx −
dx exp (( }p + k) ix −
exp (( −
p2
}2
−
2pk
}
− k2)
√
also gilt: hp| αi = φα (x) =
x2
)
2σ 2
σ
π}2
4√
=
σ2
)
2
4√
x2
)
2σ 2
1
4 π 3 σ 2 }2
=
2
β
)
exp ( 4α
pπ
α
√
2σ 2 π
2
σ
exp ( 2}
2 (p + k}))
Man sieht das die Funktion im Impulsraum reell ist und um den Wert p = }k =
hpi zentriert ist.
Das Gauß-Wellenpaket im Impulsraum mit Mathematica geplottet ergibt:
6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION
18
Figure 6.5: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 2 und k = 1:]
Für einen kleineren Wert von ergibt sich:
Figure 6.6: [Gauß-Wellenfunktion im Impulsraum; mit = 1 und k = 1:]
Die Breite der Funktion im Impulsraum }/σ ist also umgekehrt proportional zur Breite
im Ortsraum σ, also je lokalisierter das Paket im Ortsraum ist, desto ausgedehnter ist
es im Impulsraum. Kurz gesagt: Je schärfer der Impuls ist, desto ausgedehnter ist die
Ortsraumverteilung.
Für den Fall das σ gegen Unendlich geht ist die Darstellung im Ortsraum eine ebene Welle
und im Impulsraum die δ − Funktion. Diese entspricht genau der Unschärferelation, die
jedoch für das Gauß-Wellenpaket minimal wird.
Dazu müssen wir uns jedoch die Erwartungswerte für den Orts und Impulsoperator herleiten:
hXi =
√1
πσ
∞
´
−∞
2
x exp [− σx2 ] dx = 0
weil der Integrand eine ungerade Funktion ist und über ein symetrisches Intervall integriert
wird.
6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION
hX 2 iα =
√1
πσ 2
√1
πσ 2
d
(
dα
=
(−1)
√−1
2 πσ 2
√1
πσ 2
√1
πσ 2
hP iα =
=
∞
´
√−i}
πσ 2
=
−∞
2
√−}
πσ 2
2
√−}
πσ 2
p −∞
π
) =
α
(−πσ 2 ) =
∞
´
dx exp(−ikx −
dx (ik −
∞
´
−∞
−∞
2ikx
σ2
−
}2
σ4
√
πσ 2 +
σ2
2
=
x2
)
σ4
−
x2
)
2σ 2
= =
√1
2σ 2
∞
´
−∞
2
dx x2 exp ( σx2 ) =
(ik)
(−}2
x2
)
σ4
√
d2
)
dx2
x2
)
2σ 2
=
πσ 2 = }k
exp (ikx −
x2
)
2σ 2
=
2
exp( σx2 ) =
2
exp( σx2 ) =
2
√−}
πσ 2
}2
2 σ2
√i}
πσ 2
x2
)
2σ 2
dx exp(−ikx −
(− σ12 − k 2 )
x exp (ikx −
d
) exp(ikx −
(−i} dx
2
dx (− σ12 − k 2 +
}2
σ2
x2
)
2σ 2
exp ( σx2 ) =
dx (− σ12 − k 2 −
∞
´
= }2 k 2 +
x
)
σ2
x2
)
2σ 2
σ2
2
−∞
√1
πσ 2
∞
´
2
√−}
πσ 2
=
dx exp(−ikx −
−∞
hP 2 iα =
=
∞
´
19
( −1
)
σ4
pπ
d
(
dα
α
)=
+ }2 k 2
Daraus folgt die Unschärferelation:
(X − hXi)2
6.1
(P − hP i)2 = (4X)2 (4P )2 = (hX 2 i − hXi2 )(hP 2 i − hP i2 ) =
}2
4
Darstellung im dreidimensionalen Raum
Im dreidimensionalen Raum muss man bei der Fouriertransformation gleichviele Normierungsfaktoren wie Raumrichtungen haben. Ansonsten sind eindimensionaler und dreidimensionaler Raum analog. Es werden ein paar Beispiele angeführt.
Betrachten wir z.B. die Eigenwertgleichung im eindimensionalen Raum:
6 DIE GAUSSSCHE WELLENFUNKTION
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X|xi = x|xi
analog dazu im dreidimensionalen Raum:
~ xi = ~x |~xi
X|~
Orthonormalität:
Eindimensional: hx|x0 i = δ (x − x0 )
E
Dreidimensional: h~x| x~0 = δ 3 (~x − x~0 )
Allgemeiner Zustand:
Eindimensional: hα|βi =
´
dx ψβ (x) ψα (x)
R
Dreidimensional: hα|βi =
´
~
d3 x ψβ (~x) ψα (x)
R3
Wirkung des Impulsoperators:
´
Eindimensional: hα|P |βi = dx ψβ (−i}
R3
Dreidimensional: hα|P |βi =
´
d
)
dx
ψα
d3 x ψβ (−i}O)ψα
R3
Fouriertransformation:
Eindimensional: hx|pi =
√1
2}π
Dreidimensional: hx| pi = √
exp ( }i xp)
1
(2}π)3
exp( }i ~x p~)
Man sieht hier bei der Fouriertransformation, dass der Normierungsfaktor für den dreidimensionalen Raum unter der 3. Potenz steht, weil es sich um 3 voneinander unabhängige
Raumrichtungen handelt.
7 QUELLENANGABEN
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Quellenangaben
Vorlesungsskriptum von Martin Hebenstreit
http://physik.uni-graz.at/˜cbl/QM/
”Quantenmechanik”, 4. Aufl., Torsten Fließbach, ELSEVIER
”Mathematische Methoden in der Physik ”, 2. Aufl., Lang/Pucker, ELSEVIER
”Quantenmechanik”, 7. Aufl., Schwabl, Springer Verlag
”Modern Quantum Mechanics”, J.J. Sakurai, Pearson Verlag
”Vorlesungen über Physik. Bd. 3 Quantenmechanik”, Feynman, Oldenbourg
http://de.wikipedia.org/wiki/Quantenmechanik
http://de.wikipedia.org/wiki/Heisenbergsche Unsch%C3%A4rferelation
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