Aufgaben Tutorium Physik II
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FHH Fachbereich Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann AUFGABENSAMMLUNG EXPERIMENTALPHYSIK 2 für die nichtdualen Studiengänge MAB, TIM, VEU sowie die dualen Studiengänge KTD, PTD und VTD I Hydrostatik 1. Auftriebskraft: Eine rechteckige Kiste (Grundseite 3 m x 2.5 m, Höhe 1.5 m) ist oben offen, hat eine Masse m= 2700 kg und schwimmt in einem wassergefüllten Becken mit einer Grundfläche A = 100 m2. a) Wie groß ist die Eintauchtiefe x der Kiste? b) Welches Ballastgewicht Wb ist notwendig, damit die Eintauchtiefe 1 m beträgt? c) Der Ballast aus Teil b besteht aus Steinen mit einer Dichte von 2.5 t/m3. Um welche Höhe ändert sich der Wasserspiegel im Becken, wenn der Ballast aus der Kiste genommen und im Becken versenkt wird? Lösungen: a) x = 0.36 m b) Wb = 47 088 N (mb = 4800 kg) c) senkt sich um 2.88 cm 21.01.1991 2. Auftriebskraft: Ein massiver Aluminiumzylinder (Dichte von Alu = 2.7 g/cm3) wiegt in Luft 305 N, in Terpentin getaucht 212 N. Wie viel wiegen 5 l Terpentin? Lösung: FG = 4.122 kg * 9.81 m/s2 = 40.44 N 18.01.1992 3. Auftriebskraft: Als Schwimmer für einen Füllstandsmesser dient eine aus 0.5 mm dickem Messingblech gefertigte Kugel (Dichte Messing = 8.6 g/cm³, Durchmesser d=5 cm). a) Mit welcher Kraft strebt die Kugel nach oben, wenn sie vollständig in Benzin getaucht wird (Dichte Benzin = 0.72 g/cm³)? b) Welcher Teil ihres Volumens taucht ein, wenn sie schwimmt? Lösungen: a) F = FA - mg = 0.133 N b) V1/V = 71 % 27.06.1994 4. Auftriebskraft: Das Volumen eines unregelmäßigen Körpers wird mittels hydrostatischer Wägung bestimmt. Die erste Wägung des Körpers in Luft ergibt die Masse mL=3,298 kg, die zweite Wägung in Wasser eine Masse von mW=2,500 kg. Berechnen Sie das Volumen des Körpers. Lösung: VK = 7.99610-4 m³ PHY2 Klausuraufgaben V11-13 01.07.1996 Seite 1 von 28 2.9.2013 FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 5. Auftriebskraft: Wie viel Kork (Masse mK, Dichte K=0.24 g/cm³) ist für eine Schwimmweste notwendig, damit ein Mann (Masse mM= 70 kg, Dichte M=1.1 g/cm³) so im Wasser schwimmt, dass 1/6 seines Körpervolumens aus dem Wasser herausragen kann? HINWEIS: Auch auf den Kork wirkt eine Gewichtskraft! Lösung: 19.01.1998 mK = 5.3 kg 6. Auftriebskraft: Eine zylindrische Dose (h = 15 cm, r = 5 cm, m = 100 g) schwimmt aufrecht in Wasser ( = 1 g/cm³). Sie enthält 200 Kugeln zu je 4 g. a) Wie weit taucht die Dose mit Inhalt in das Wasser ein? b) Wie viele Kugeln kann sie maximal aufnehmen, ohne unterzugehen? c) Welcher prozentualen Dichteänderung der Flüssigkeit entspricht eine Erhöhung der Kugelzahl von 200 auf 209, wenn die gleiche Eintauchtiefe wie bei 200 Kugeln erreicht werden soll? Lösungen: a) h = 11,46 cm b) N = 269 c) Fl = 4 % 02.07.1998 7. Auftrieb: Ein stählerner Schwimmer (Eigenmasse 750 kg, Grundfläche 4 m x 2 m, Höhe 1 m) soll so weit mit Wasser gefüllt werden (Dichte = 1 kg/dm³), dass er noch 10 cm aus dem Wasser ragt. a) Bis zu welcher Füllhöhe muss zu diesem Zweck Wasser in den Schwimmer eingefüllt werden? b) Welche Arbeit muss verrichtet werden, um ihn aus seiner Schwimmlage aus dem Wasser zu heben ( mittlere Kraft beim Hebevorgang ! )? Lösungen: a) x = 80,625 cm b) W = 31,784 kJ 1.7.1996 8. Auftriebskraft: Ein zylinderförmiger Schwimmer mit einem Durchmesser von d=50 mm und einer Höhe von h=40 mm soll aus sehr dünnem Messingblech (Dichte M= 8,6 g/cm³) gefertigt werden. Wie dick muss das Blech sein, wenn der Schwimmer mit einem Viertel seiner Höhe aus Benzin (Dichte B= 0,75 g/cm³) herausragen soll? Lösung: d = 0,503 mm 13.1.2000 9. Auftrieb in Flüssigkeiten: Ein flacher Holzquader mit der Höhe h = 4 cm sinkt in Benzin (Dichte B = 0,75 g/cm³) um h = 8 mm tiefer ein als in Wasser (Dichte W = 1 g/cm³). Welche Dichte H besitzt der Holzquader? Lösung: H = 0,6 g/cm³ 21.6.2001 10. Hydrostatischer Druck: Welchen Niveauunterschied weist ein offenes U-Rohr-Manometer auf, das Azetylentetrabromid ( = 2,967 g/cm³) enthält, wenn auf die eine Öffnung der Umgebungsdruck, auf die andere Öffnung der Umgebungsdruck zuzüglich eines Überdrucks von 0,015 bar wirkt? Lösung: h = 5,15 cm Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 20.6.2002 Seite 2 von 28 I. Hydrostatik FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 11. Auftrieb in Flüssigkeiten: Ein Holzkörper (mH = 600 kg, ρH = 0,65 g/cm³) soll in Wasser (ρW = 1 g/cm³) versenkt und mit Steinen (ρSt = 2,5 g/cm³) so beschwert werden, dass er am Aufsteigen im Wasser gehindert wird. Welche Mindestmasse mSt an Steinen ist dazu notwendig? Lösung: mSt = 538 kg 20.6.2002 12. Auftriebskraft: Ein quaderförmiger Eisberg ragt h1 = 4 m hoch aus dem Wasser. Die Dichten von Eis E und Seewasser W verhalten sich wie 9 : 10. Bestimmen Sie die Eintauchtiefe h2 des Eisbergs. Lösung: h2 =36 m 21.6.2003 13. Auftriebskraft: Ein Schiff (Außenvolumen Va=3200 m³, Innenvolumen Vi=3000 m³) aus Eisen (Dichte Fe=7,897 g/cm³) liegt voll gelaufen mit Wasser auf dem Meersgrund. Welcher Teil des Innenraums muss mindestens leer gepumpt (und damit Wasser durch Luft ersetzt) werden, damit das Schiff zur Meeresoberfläche auftaucht? Lösung: V/V = 46 % 17.6.2004 14. Auftriebskraft: An einem kugelförmigen Schwimmkörper mit der Masse mS= 1 kg hängt an einem (vernachlässigbaren) Faden ein Messinstrument (Masse mM=5 kg, Dichte ρM= 8 kg/dm³). Wenn das System Messinstrument und Schwimmkörper in Süßwasser schwimmt, befindet sich das Messinstrument vollständig unter Wasser und der Schwimmkörper taucht genau zur Hälfte ein (Kugelvolumen 4/3r³). Wie groß ist der Durchmesser dS des Schwimmkörpers? Lösung: ds = 0,274 m 17.6.2004 15. Auftriebskraft: Ein Floß aus 30 miteinander verbundenen quaderförmigen Holzbalken (Länge der Balken je 30m, Breite je 0,4 m, Dicke je 0,5 m, H = 600 kg/m³) schwimmt in Wasser. a) Wie weit ragt das Floß aus dem Wasser heraus? b) Mit welcher Masse kann das Floß maximal belastet werden, wenn es nur noch 5 cm aus dem Wasser ragen soll? Lösungen: h = 0,20 m mmax = 54 000 kg 10.10.2005 16. Auftrieb: Ein Holzbalken (Länge l=2 m, Breite b=0,5 m, Höhe h=0,2 m, Dichte ρH= 0,7 kg/dm³) schwimmt in einer unbekannten Flüssigkeit. Nachdem auf den Balken eine Masse m=70 kg gestellt wurde, taucht er genau vollständig in die Flüssigkeit ein. Berechnen Sie die Dichte ρFl der unbekannten Flüssigkeit. Lösung: Fl = 1,05 kg/dm³ 17.6.2006 17. Auftrieb: Wie groß ist die wahre Masse mW eines Menschen, wenn eine sehr genaue Kraftmesseinrichtung für seine Gewichtskraft einen Messwert von FG = 863,000 N liefert? Gegeben sind folgende Werte: durchschnittliche Dichte des Menschen ρM= 1,10 kg/dm³, Dichte von Luft ρL= 1,29 kg/m³, Erdbeschleunigung g=9,807 m/s². Lösung: mW = 88,102 kg Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 28.6.2007 Seite 3 von 28 I. Hydrostatik FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 18. Auftrieb: Ein U-Boot aus Stahl (Innenvolumen Vi= 1080 m³ inklusive Fluttanks, Außenvolumen Va = 1200 m³, Dichte Stahl St = 7,5 kg/dm³) liegt auf dem Meeresgrund. Die Fluttanks (Volumen VFl=400 m³) innerhalb der Außenhülle sind vollständig mit Wasser gefüllt. a) Mit welcher Kraft drückt das U-Boot gegen den Meeresboden? b) In welchem Anteil der Fluttanks muss das Wasser durch Luft (Dichte Luft L = 1,3 kg/m³) ersetzt werden, damit das Boot im Wasser schwebt? c) Mit welchem Anteil seines Außenvolumens ragt das Boot bei völlig leer gepumpten Fluttanks aus dem Wasser? Lösung: a) F = 994,800 kN b) x = 25,39 % c) y = 24,84 % 21.11.2007 19. Auftrieb: Ein Luftschiff (Masse mit Antrieb, Kanzel und Hülle ohne Gasfüllung mLS=200 kg, Innenvolumen der Hülle Vi = 4000 m³, Volumen der Kanzel und des Antriebs VZ = 50 m³) soll eine Nutzlast von mNutz=1,5 t tragen. Die Dichte von Luft beträgt L = 1,3 kg/m³. Berechnen Sie die Dichte x des Gases, mit dem das Innenvolumen gefüllt werden muss, damit das Luftschiff die geforderte Nutzlast tragen kann. Lösung: x = 0,891 kg/m³ 01.07.2008 20. Auftrieb: Ein Helium-gefüllter Wetterballon mit angehängten Messinstrumenten (mges=2,5 kg, davon Masse der Ballonhülle 0,5 kg und Masse der Messinstrumente 2 kg) soll mit a = 1 m/s² beschleunigt vom Boden senkrecht aufsteigen (Dichte Helium He= 0,69 kg/m³, Dichte Luft Lu = 1,29 kg/m³, jeweils am Boden). Die mittlere Dichte der Messinstrumente beträgt MI = 2,25 kg/dm³. a) Welches Volumen VB muss der Ballon am Boden aufweisen, nachdem er bei Umgebungsdruck (pL=1 bar) mit Helium befüllt wurde? b) Welches Volumen VB’ besitzt der Ballon in einer Höhe von 1 km (barometrische Höhenformel), wenn der Temperaturabfall vernachlässigt wird und die Ballonhülle sich entsprechend ausdehnen kann? Wie verhält es sich in diesem Fall qualitativ mit der Auftriebskraft? Lösungen: a) VB = 5,2 m³ b) VB´ = 5,9 m³ Auftriebskraft verändert sich nicht 19.11.2008 21. Auftrieb: Bei Präzisionswägungen werden mit hoher Genauigkeit Gewichtskräfte F gemessen und auf die Masse zurückgerechnet. Es soll die Masse eines Massestücks aus Aluminium (Dichte Alu=2,691 g/cm³) mit der Nennmasse von 1 kg gemessen werden. Der Wert der Fallbeschleunigung beträgt g = 9,8067 m/s² und die Auftriebskraft in Luft (Dichte L=1,292 kg/m³) muss berücksichtigt werden. Berechnen Sie die Masse des Massestücks bei Berücksichtigung des Auftriebs in Luft, wenn die Kraftmesseinrichtung einen Messwert von 9,8125 N liefert. Lösung: m = 1,00103 kg 30.06.2009 22. Auftrieb: Die Gewichtskraft eines Schmuckstücks in Luft (L = 1,3 kg/m³) beträgt 910-2 N, in Wasser (H2O =1,0 kg/dm³) getaucht dagegen 8,210-2 N. Ist das Schmuckstück aus Gold (Au= 19,3 g/cm³) oder aus dünn vergoldetem Silber (Ag= 11,2 g/cm³)? Lösung: x =11,23 g/cm³ es ist aus vergoldetem Silber Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 4 von 28 11.11.2009 I. Hydrostatik FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 23. Auftrieb: Ein kugelförmiger Heißluftballon (Kugelvolumen V=4R³/3, Masse mB=250 kg) schwebt bei einer Außentemperatur von a=20°C, wenn im Inneren die Temperatur i =50°C herrscht (Dichte von Luft bei a =20 °C beträgt L20=1,25 kg/m³). a) Welcher Ballondurchmesser D ist erforderlich? b) Auf welche Temperatur x muss die Luft im Inneren des Ballons unter sonst gleichen Bedingungen aufgeheizt werden, wenn zusätzlich zur Ballonmasse eine Last von mL=75kg dazukommt? Lösungen: a) D = 13,51 m b) x = 366,8 K = 93,8 °C 24.02.2010 24. Auftrieb: Zur Bestimmung der Dichte werden zwei metallische Probekörper jeweils in Luft (L) und in Wasser (W) gewogen. Das Verhältnis der Waagenanzeigen AL/AW ergibt für Probe 1 (AL/AW) =1,126 und für Probe 2 (AL/AW) =1,587 (W = 1,00 g/cm³, L = 1,293 kg/m³). Bestimmen Sie die Dichten 1 und 2 der Probekörper. Lösung: 1 = 8,934 g/cm³ (Cu) 2 = 2,701 g/cm³ (Al) 30.06.2010 25. Auftrieb: Neue Höhenballone ULDB (Ultra Long Duration Balloon) können einige Tonnen Nutzlast viele Wochen lang auf große Höhen bringen. ULDBs sind geschlossene, mit leichtem Überdruck gefüllte Ballone, die weitgehend unabhängig von Einflüssen durch Sonnenbestrahlung eine feste Höhe halten können. Beim Start wird nur ein kleiner Teil des verfügbaren Volumens mit Helium gefüllt (Bild 1). In großer Höhe (Prallhöhe) füllt das He-Gas den Ballon dann prall aus (siehe Bild rechts) (Bei T0 0C und p0 1013 hPa , 0Luft 1,293kg m3 und 0He 0,1785 kg m 3 ). a) Betrachten Sie einen ULDB mit einer Masse von 2155 kg, dessen Prallhöhe bei 34 000 m liegen soll und der ein maximales Volumen von 520.483 m3 besitzt. Am Startort betrage der Luftdruck pSLuft 1000 hPa und die Lufttemperatur TSLuft 10C . Welches Heliumvolumen muss am Startort eingefüllt werden? b) Welche Nutzlast kann der Ballon tragen, wenn die Beschleunigung beim Start a = 2m/s² beträgt? c) Welche Maximalhöhe erreicht der Ballon? d) Welchen Überdruck hat das Heliumgas im Ballon in der Maximalhöhe? Lösungen: a) VHe = 7370 m³ c) hmax = 35 455 m Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) mnutz = 4174 kg d) p = 2,3 hPa Seite 5 von 28 30.06.2010 I. Hydrostatik FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 26. Auftrieb: Ein Aräometer (Dichtemessgerät für Flüssigkeiten) besteht aus einer Hohlkugel (Durchmesser D=5 cm) mit aufgesetzter Säule (Durchmesser d=6 mm, Länge L=12 cm). Beide Teile sind aus Glas und haben insgesamt eine Masse von m0=12 g. Die Hohlkugel wird mit Bleikügelchen gefüllt und schwimmt deshalb aufrecht in der zu untersuchenden Flüssigkeit. a) Wie viel Blei muss eingefüllt werden, damit das untere Ende der Skala einer Dichteanzeige von 1,025 g/cm³ entspricht? (Nur der mit Blei gefüllte Hohlkörper befindet unterhalb der Flüssigkeitsoberfläche.) b) Welche Dichte wird angezeigt, wenn die Säule vollständig mit der Länge L in die Flüssigkeit eintaucht? c) Welche Eintauchtiefe x entspricht der Dichte x=1 g/cm³? Lösungen: a) MHg = 55,1 g b) x= 0,974 g/cm³ c) x = 5,78 cm 23.11.2010 27. Auftrieb: Ein schwarzer Schlauch aus dünnem Kunststoff wird zu einem „Solarballon“, wenn Sonnenstrahlung die Luft im Inneren erwärmt. Um aufsteigen zu können darf der Ballon im kalten Zustand am Boden nicht mit der maximal möglichen Luftmenge gefüllt werden. Der „Solarballon“ sei zylinderförmig (Länge L=3 m, Radius R=0,3 m und Masse m=100 g). Am Startort herrschen ein Luftdruck von 960 hPa und eine Lufttemperatur von 10°C. Beim Start am Boden werden 88% des maximal möglichen Luftvolumens eingefüllt. a) Welche maximale Höhe kann der Ballon unter den Annahme einer konstanten Temperatur erreichen (es gilt die barometrische Höhenformel, Dichte der Luft bei 0°C und 1013 hPa: L0=1,293 kg m-3)? b) Auf welche Temperatur muss sich die Innenluft am Boden mindestens erwärmt haben, damit der Ballon die Maximalhöhe erreichen kann? Lösungen: a) hmax = 331 m (mit g=9,81 m/s²) b) T = 321 K (= 48 °C) 20.01.2012 28. Auftrieb: Um wissenschaftliche Geräte lange Zeit in große Höhen zu bringen, verwendet man Ballone mit geschlossenen Hüllen aus gasdichtem Material (Überdruckballone). Betrachten Sie einen Ballon, der im prall gefüllten Zustand einen festen Durchmesser von D=12 m besitzen soll (Abb. rechts). Als Auftriebsgas soll Helium verwendet werden ( 0He 0,1785 kg m 3 ). Der Startort liegt in einer Höhe von 500 m. Kurz vor dem Start wird eine Lufttemperatur von 12°C und ein Luftdruck von 930 hPa gemessen. Die Masse des Ballons ohne Gas mit Nutzlast, beträgt 60 kg. ( 0Luft 1, 293 kg m 3 bei p0 1013 hPa und T0 0C ) a) Welche Masse Helium muss eingefüllt werden, um den Ballon mit einer Beschleunigung von a=4 m/s² am Boden starten zu können? (Hinweis: Der Ballon ist beim Start nicht notwendigerweise prall.) b) Welche maximale Höhe kann mit dem Ballon erreicht werden? Lösungen: a) mHe = 14,38 kg Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) hmax = 20,978 km Seite 6 von 28 13.03.2012 I. Hydrostatik FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 29. Boyle-Mariotte: In einem belasteten pneumatischen Zylinder mit dem Innendurchmesser von 0,2 m und der Innenlänge l =1 m befindet sich Luft unter einem Druck von 1,3 bar. Um welchen Weg wird der Kolben nach innen geschoben, wenn der Zylinder bei konstanter Temperatur mit einer Kraft von F = 300 N zusätzlich belastet wird? Lösung: x = 0,0685 m 21.6.2003 30. Boyle-Mariotte: In einen oben offenen Zylinder (Durchmesser d=3 cm und Höhe h=60 cm) wird bei einem äußeren Luftdruck von p0 = 945 mbar ein reibungslos und dicht schließender Kolben eingesetzt. Welche Masse hat der Kolben, wenn er durch seine eigene Gewichtskraft in dem Zylinder um h=25,4 cm nach unten sinkt? Lösung: m = 5 kg 17.6.2004 31. Boyle-Mariotte: Ein senkrecht stehendes pneumatisches Stellglied (siehe Skizze, Innenvolumen Vi =2000 cm³, Querschnitt A=80 cm²) wird mit einer Masse von m=15 kg belastet. a) Welcher Innendruck pi ist notwendig, um der Gewichtskraft der aufgelegten Masse m das Gleichgewicht zu halten, wenn ein Umgebungsdruck von pa=1 bar herrscht? b) Welches Luftvolumen aus einem externen Druckluftspeicher (Druck PSP= 5 bar) muss dem Stellglied zugeführt werden, um die Masse um 5 cm anzuheben? Lösungen: a) pi = 1,184 bar b) Vx = 0,095 l 18.6.2005 32. Boyle-Mariotte: Eine Pressluftflasche besitzt ein Volumen von 40 l, ein angeschlossenes Druckmessgerät misst einen absoluten Innendruck von 50 bar. Dieser Pressluftflasche wird bei einem Umgebungsdruck von 1 bar ein Luftvolumen von 1 m³ entnommen. Auf welchen Wert sinkt der Innendruck in der Flasche? Lösung: pi = 25 bar 17.6.2006 33. Boyle-Mariotte: In einem Luftdruckbehälter mit einem Innenvolumen von 800 l herrscht ein Überdruck von 2 bar relativ zum Umgebungsdruck (p0=1000 mbar). Welches Zusatzvolumen Luft Vx muss bei Umgebungsdruck in den Luftdruckbehälter gepumpt werden, damit dort ein Überdruck von 10 bar entsteht? Lösung: Vx = 6400 l 28.6.2007 34. Boyle-Mariotte: Ein Druckluftbehälter enthält 800 l Druckluft bei einem Überdruck von p1 = 3 bar. Wie viel Luft mit dem Umgebungsdruck PL = 1 bar muss in den Druckluftbehälter gepumpt werden, damit ein Überdruck von p2 = 8 bar entsteht? Lösung: Vx = 4000 l Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 01.07.2008 Seite 7 von 28 I. Hydrostatik FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 35. Boyle-Mariotte: Vier Luftfedern können jeweils als zylinderförmige luftgefüllte Körper beschrieben werden (Durchmesser 0,25 m, Höhe unbelastet h0=0,12 m) und tragen senkrecht stehend eine Last von 500 kg. a) Welcher Innendruck ist in jeder der 4 Luftfedern notwendig, um die Last auf konstanter Höhe zu tragen? b) Beschreiben Sie den Zusammenhang zwischen Kraft F und resultierender Federverformung s (relativ zu h0) für diese Luftfedern in Form einer Funktion F(s) und eines Diagramms für den Fall konstanter Temperatur. Lösungen: a) pi = 1,25 bar b) F = C A-1(h0 – s)-1 11.11.2009 36. Hydrostatik: In einem geschlossenen Heizungssystem mit einem Wasserinhalt von 400 l sinkt der Druck auf Grund einer Leckstelle innerhalb einer bestimmten Zeit von 1,5 bar Überdruck auf 0 bar Überdruck ab. Wie viel Wasservolumen ist durch die Leckstelle ausgetreten, wenn die Kompressibilität von Wasser mit = 510-5 1/bar angegeben ist? Lösungen: V = 30 ml 24.02.2010 37. Hydrostatik: Blaise Pascal zeigte im 17. Jahrhundert physikalische Experimente auf Jahrmärkten. Er versah ein Weinfass mit einem dünnen langen Schlauch mit einem Radius von r=1,5 mm. Nach Einfüllen einer geringen Wassermenge in den Schlauch barst das Fass. Dies geschah z. B. bei einer Füllhöhe von H=11,5 m. a) Welche Kraft wirkte auf den Fassboden (Radius R=25 cm, Fasshöhe h=0,8 m)? b) Welche Wassermenge wurde dazu in den vorher leeren Schlauch gefüllt? Lösungen: a) F = 23,868 N b) 81,3 ml 30.06.2010 38. Hydrostatik: Betrachten Sie die rechts dargestellte Hydraulikpresse zum Pressen von Pulverproben (Durchmesser des großen Zylinders: 10 cm, Durchmesser des kleinen Zylinders: 2 cm). Die Probe habe eine Fläche von 4 cm². Wie groß ist der Druck und wie groß die Kraft auf die Probe, wenn eine Kraft von 300 N auf den Hebel ausgeübt wird (der Schweredruck ist zu vernachlässigen)? Lösung: F = 15 kN p = 375 bar 23.11.2010 39. Hydrostatik: Ein Becher der Masse mB = 0,5 kg ist mit Benzin mBe = 2 kg gefüllt und steht auf einer Waage (unterhalb Becher). Ein Messingblock (Masse mMe = 2 kg, Dichte Me = 8,4 g/cm³) ist an einer Federwaage (oben) aufgehängt und taucht vollständig in das Benzin ein (Dichte: Be = 0,75 g/cm³). Die Anordnung ist in der Abbildung rechts dargestellt. Welche Anzeigen haben die beiden Waagen oben und unten? Lösungen: Fo = 17,868 N Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Fu = 26,277 N Seite 8 von 28 04.10.2011 I. Hydrostatik FHH Fachbereich Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 40. Hydrostatik: Ein Holzquader mit einer Höhe von 10 cm schwebt zwischen einer Wasser- und Öl-Schicht (siehe Bild rechts). Die Dichte von Öl ist Öl =790 kg/m³, die Dichte von Wasser kann mit W=1000 kg/m³ angenommen werden. a) Wie groß ist der Druckdifferenz ps des Schweredrucks zwischen der oberen und unteren Fläche des Quaders? b) Wie groß ist die Dichte Hz des Holzquaders? Lösungen: a) ps = 805,9 Pa b) Hz = 821,5 kg/m³ 30.06.2010 41. Hydrostatik: Ein zylinderförmiger Schwimmkörper aus d = 10 mm dickem Stahlblech (Dichte: Stahl = 7,8 g/cm³) besitzt einen Radius von R = 1 m und eine Höhe von H = 4 m. Der Schwimmkörper schwimmt in Wasser und soll so weit mit Wasser gefüllt werden, dass er nur noch mit y = 10 cm aus dem Wasser ragt (Position (a), Dichte Wasser Stahl = 7,8 g/cm³)). a) Wie viel Prozent des Volumens muss mit Wasser gefüllt werden? (Man kann als Näherung: Vinnen Vaußen verwenden) b) Welche Hubarbeit W ist nötig, um den Zylinder von der Schwimmlage (a) aus dem Wasser in die Position (b) zu heben? Lösungen: a) VWB/VSK = 78,1% PHY2 Klausuraufgaben V11-13 b) W = 226,66 J Seite 9 von 28 16.06.2011 2.9.2013 FHH Fachbereich Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann II Schwingungen 1. Harmonische Schwingung: Eine Sinusschwingung mit der Amplitude s 10 cm erreicht erstmalig die Auslenkung s(t) = 5 cm zu dem Zeitpunkt t=0.001 s nach einem positiven Durchgang durch die Nulllage. Bestimmen Sie die Frequenz f der Schwingung. Lösung: f = 83.33 Hz 01.07.1996 2. Physikalisches Pendel: Eine Schwungscheibe, deren Massenträgheitsmoment bezüglich ihres Schwerpunkts Js = 0.8 kgm² beträgt und die um einen Aufhängepunkt pendelt, der im Abstand a = 12 cm oberhalb ihres Schwerpunkts liegt, führt harmonische Schwingungen mit einer Periodendauer von T=1.5 s aus. Wie groß ist ihre Masse? Lösung: m = 15.18 kg 01.07.1996 3. Elastische Schwingung: Für die Dehnung y einer Schraubenfeder durch die Kraft F erhält man folgende Messwerte: F [N] y [cm] 0 0 0.25 0.1 0.5 0.3 0.75 0.7 1.0 1.2 2.0 3.2 3.0 5.2 4.0 7.2 5.0 9.2 6.0 11.2 7.5 14.2 Im Dehnungsbereich 1.2 cm bis 14.2 cm gilt das lineare Kraftgesetz. An diese Feder wird an einem Ort mit der Fallbeschleunigung g=10 m/s² ein Körper mit der Masse m=400 g gehängt und in vertikale Schwingungen mit der Amplitude 0.5 cm versetzt. a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer. Welche größte Amplitude kann man wählen, bei der diese Schwingungsdauer noch unverändert bleibt? b) Untersuchen Sie, ob mit dieser Feder und dem angehängten Körper auf dem Mond (Fallbeschleunigung g/6) harmonische Schwingungen möglich sind? Lösungen: a) T = 0.56 s, smax 6 cm b) kein lineares Kraftgesetz, keine harmonischen Schwingungen 01.07.1992 4. Elastische Schwingung: Ein Kfz hat eine Masse von m = 760 kg, die auf die Vorder- und Hinterachse im Verhältnis 2:3 verteilt ist. Bei ausgebauten Stoß-(Schwingungs-)dämpfern kann man Schwingungen anregen und misst für je 5 Schwingungen an den beiden Federn der Vorderachse t5v = 5 s, an denen der Hinterachse t5h = 6 s. a) Wie groß sind die Federkonstanten der 4 Federn? b) Welche Dämpfungskonstanten b müssen die 4 Stoßdämpfer haben, damit sich bei dem System Feder/Stoßdämpfer/ Aufbau aperiodisches Verhalten einstellt? c) Wie verändert sich das Verhalten in Teil b, wenn das Fahrzeug beladen wird? Lösungen: 5. a) DV = 6·103 N/m, DH = 6.25·103 N/m b) bV = 1900 kg/s, b H= 2400 kg/s c) System gerät in den Schwingfall 01.10.1991/ 13.01.1992 Harmonische Schwingung: Welche Voraussetzung muss ein schwingungsfähiges System erfüllen, damit eine harmonische (d.h. sinusförmige) Schwingung entsteht? Lösung: lineares Kraftgesetz bzw. Momentengesetz muss gelten Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 10 von 28 20.06.2002 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 6. Harmonische Schwingung: Ein Masse-Feder-System (Masse m = 50 g) führt ungedämpfte harmonische Schwingungen mit einer Amplitude von s 6 cm aus. a) Wie groß ist die Eigenfrequenz, Periodendauer und Federkonstante des Schwingers, wenn zum Zeitpunkt 0,2 s nach dem Passieren der Ruhelage die Auslenkung 4.5 cm beträgt? b) Geben Sie die kinetische und die potentielle Energie des Schwingers zu dem in Teilaufgabe a) gegebenen Zeitpunkt an. Lösungen: a) f0 = 0,67 1/s, D = 0,9 N/m b) Wpot= 9,1110-4 J, Wkin= 7,0810-4 J 14.10.1998 7. Harmonische Schwingungen: Eine Kugel mit Radius r=R/2 befindet sich in einer kugelförmigen Schale mit dem Radius R . Nach dem Auslenken aus der Ruhelage am tiefsten Punkt rollt die Kugel periodisch hin und her. Der Auslenkwinkel sei und Drehwinkel der rollenden Kugel sei . Bestimmen Sie die Periodendauer der Schwingung für einen Radius der Schale von R=0,4 m und für kleine Auslenkungen . Hinweise: Die Kugel rollt! Sie können die Schwingungsgleichung am einfachsten mit d’Alambert für Kräfte ableiten. Wenn Sie sich auf kleine Auslenkwinkel << 1 beschränken (sin() ), erhalten Sie durch geeignetes Umformen die lineare Schwingungsgleichung. Für den Zusammenhang Drehwinkel und Auslenkwinkel gilt R r r Lösung: Differentialgleichung 7 mL mg 0 5 T = 1,06 s 01.07.2010 8. Ungedämpfte Schwingungen: An der Laufkatze eines Krans hängt ein kugelförmiger Behälter mit einem Durchmesser von 1 m und einer Masse von 1 t. Die Seillänge (zwischen Kugeloberfläche und Laufkatze) beträgt ebenfalls 1 m. Die Masse des Seils kann vernachlässigt werden. Die Laufkatze bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 4 m/s. Beim plötzlichen Bremsen der Laufkatze beginnt die Last ungedämpft zu schwingen. a) Wie groß ist das Trägheitsmoment bzgl. der Drehung des Behälters um den Aufhängepunkt? b) Bestimmen Sie die Eigen(kreis)frequenz und die Schwingungsdauer der Schwingung. c) Welche (maximale) Amplitude erreicht die Last nach der Abbremsung? Lösungen: a) J = 2350 kgm² b) 0 = 2,205 1/s T = 2,511 s c) max = 62,85 ° 23.11.2010 9. Harmonische Schwingungen: Das Diagramm zeigt das Oszillogramm eines harmonisch schwingenden Federpendels mit der schwingenden Masse von mB=14,3 g. Bei t=0 s beträgt die Auslenkung des Pendels x=+0,43 m. a) Bestimmen Sie die Eigenfrequenz f0, die Federkonstante D , die Phasenverschiebung (Nullphasenwinkel) 0 einer cosinus-förmigen Schwingungsfunktion, die maximale Geschwindigkeit vmax und die maximale Beschleunigung amax. b) Berechnen Sie die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t1 = 2,72 s. Lösungen: a) f0 =1,45 1/s D=1,19 N/m 0 =1,109 rad vmax = 7,4710-2 m/s b) v(t1) = 7,3410-2 m/s amax = 6,8010-1 m/s² Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 11 von 28 20.01.2012 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 10. Harmonische Schwingungen: Ein Körper (Masse m=50 g) ist an einer idealen Feder befestigt. Der Körper schwingt ungedämpft und harmonisch. Die Amplitude der Schwingungen beträgt ŝ =18 cm und die Schwingungsdauer T0 =4 s. Bei t=0 wird der Körper um s(0) = 18 cm aus seiner Ruhelage ausgelenkt und anschließend ohne Anfangsgeschwindigkeit losgelassen. a) Bestimmen Sie die Eigenfrequenz f0 und die Eigenkreisfrequenz ω0 der ungedämpften Schwingungen sowie die Federkonstante D der Feder. b) Geben Sie das Weg-Zeit-Gesetz s(t) für die beschriebene Schwingung an. c) Bestimmen Sie Auslenkung s(0,5 s) und Geschwindigkeit s (0,5 s) des Körpers bei t=0,5 s? d) Welche maximale Geschwindigkeit s max hat der schwingende Körper? e) Bestimmen Sie die Gesamtenergie Wges des Feder-Masse-Systems. b) s(t ) 18 cm cos t 0 2 s (0,5 s)=-20,0 cm/s d) s max = -28,3 cm/s Lösungen: a) f0=0,25 Hz ω0=/2 Hz D=0,123 N/m c) s(0,5 s)=12,7 cm 13.03.2012 e) W ges = 1,9910³ J 11. Harmonische Schwingungen: Ein mathematisches Pendel mit der Masse m =0,5 kg und der Länge l =1 m wird zur Zeit t=0 s ausgelenkt und losgelassen. Es führt dann ungedämpfte Schwingungen aus. Die potentielle Energie des Schwingers beträgt vor dem Loslassen Wpot=0,245 J. a) Bestimmen Sie die Winkelauslenkung des math. Pendels nach t1= 5,125·T. b) Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit und die Winkelbeschleunigung des Schwingers zum Zeitpunkt t = t1? Lösungen: a) (t1) =12,87 °= 0,225 rad b) (t1) = -40,296 °/s = -0,704 rad/s α(t1) = -126,21 °/s² = -2,203 rad/s² 09.01.2013 12. Elastische Schwingung: Hängt man an eine Spiralfeder eine Masse von m1=300 g, so dehnt sich die Feder um genau 2 cm. Jetzt wird Masse m1 abgehängt, die Masse m2= 800g angehängt und in der neuen Nulllage zur Ruhe gebracht. Die Masse m2 wird nun um 3 cm nach unten ausgelenkt und im Zeitnullpunkt losgelassen. Es entsteht eine ungedämpfte Schwingung. a) Berechnen Sie die Federkonstante D der verwendeten Feder. b) Berechnen Sie die Eigenfrequenz, mit der die Masse m2 an der verwendeten Feder schwingt. c) Berechnen Sie die Auslenkung von m2 1 Sekunde nach dem Zeitnullpunkt. d) Welche Geschwindigkeit hat die Masse m2 zum Zeitpunkt aus Teil c? Lösungen: a) D = 147,15 N/m d) v(t) = -0,34 m/s b) f0 = 2,16 Hz c) s(t=1) = 1,64 cm 18.6.2005 13. Elastische Schwingung: Um eine Schraubenfeder um s=8 cm zu dehnen, benötigt man eine Arbeit von W=210-3 J. Welche Periodendauer ergibt sich beim Anhängen eines Massestücks mit einer Masse m = 50 g, wenn das Feder-Masse-System schwingt? Lösung: 0 = 3,53 1/s, T0 = 1,78 s Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 17.6.2004 Seite 12 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 14. Elastische Schwingungen: Eine kleine Kugel (Masse m=100 g) fällt aus der Höhe h=20 cm auf eine entspannte und masselos angenommene Feder (Federkonstante D=20 N/m). Zur Zeit t=0 treffe die Kugel auf die Feder. Die Feder soll reibungsfrei in einem Zylinder geführt werden. Nach dem Auftreffen haftet die Kugel auf der Feder und das System schwingt harmonisch. a) Um welche Strecke ymax wird die ursprünglich entspannte Feder zusammengedrückt? b) Mit welcher Eigenfrequenz schwingt das System? c) Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung. d) Skizzieren Sie qualitativ den Verlauf der Schwingung y(t) in einem Diagramm (Anfangsbedingung beachten!). Lösungen: a) ymax = 19,8 cm b) f0 = 2,25 Hz c) Amplitude 14,9 cm 10.10.2006 15. Elastische Schwingungen: An einer unbelasteten senkrecht stehenden Spiralfeder wird oben eine Kugel 1 von m1=500 g befestigt. Durch diese Belastung wird die Feder um 5 cm zusammengedrückt. Auf dieses ruhende Feder-Masse-System fällt von oben aus einer Höhe von 20 cm eine zweite gleiche Kugel 2 mit ebenfalls m2=500 g Masse und überträgt in einem geraden zentralen und elastischen Stoß Energie und Impuls auf die an der Feder befestigte Kugel 1. Das Feder-Masse-System Kugel 1+Feder fängt ungedämpft harmonisch zu schwingen an. a) Berechnen Sie die Eigenfrequenz des Systems Kugel1+Feder. b) Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung. c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel 1 zu einem Zeitpunkt 1 Sekunde nach Beginn der Schwingung? Lösungen: Eigenfrequenz f0 = 2,23 Hz, Geschwindigkeit = 0,271 m/s Amplitude = 0,14 m 17.6.2006 16. Elastische Schwingungen: An einer linearen Schraubenfeder (Federkonstante D=0,1 N/cm) hängt eine flache Waagschale (Masse m1=100 g, siehe Skizze). Gewichts- und Federkraft befinden sich im Gleichgewicht. a) Auf die Waagschale lässt man aus h=20 cm eine Knetkugel mit der Masse m2=20g fallen, die nach dem Aufprall auf der Schale liegen bleibt. Welche Fallgeschwindigkeit v2 hat die Knetkugel kurz vor dem Aufprall und welche gemeinsame Geschwindigkeit ug haben Schale und Knetkugel unmittelbar nach dem Aufprall? b) Nach dem Aufprall beobachtet man ungedämpfte Schwingungen. Welche Amplitude und welche Schwingungsdauer hat das schwingende System? Lösungen: a) v2 = 1,98 m/s, b) T = 0,688 s ug = 0,33 m/s ŝ = 22,15 cm 28.06.2000 17. Quasielastische Schwingung: Ein rechteckiger Balken mit = 0.5 kg/dm³ schwimmt auf dem Wasser. Seine Außenmaße sind 0.3 m x 0.3 m x 1 m. Wie groß ist die Schwingungsdauer der Schwingung, die entsteht, wenn man den Balken kurz tief eingetaucht? Lösung: T = 0.776 s Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 21.06.1991 Seite 13 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 18. Quasielastische Schwingung: Ein zylinderförmiges Rad aus Holz (Vollzylinder, Dichte = 500 kg/m³, Radius R = 0.5 m, Dicke d = 0.2 m) ist außerhalb seines Schwerpunkts S im Punkt A drehbar aufgehängt. Der Abstand des Aufhängepunkts vom Schwerpunkt beträgt a = 0.2 m. Wie groß ist die Schwingungsdauer des entstandenen Schwerependels, wenn die Ausschläge klein bleiben (lineare Differentialgleichung)? Lösung: T0 = 1.822 s 01.10.1991 19. Quasielastische Schwingung: 90 g Wasser (W = 1 g/cm³) befinden sich in einer U-förmig gebogenen Röhre mit konstantem Querschnitt A und führen Schwingungen aus. Die Dämpfung wird bei der Lösung vernachlässigt. Der Querschnitt beträgt A = 2,25 cm³. a) Wie groß ist die Schwingungsdauer T, wenn das U-Rohr senkrecht steht? b) Wie groß ist T, wenn das U-Rohr um 30 gegen die Senkrechte geneigt steht? c) Wie viel Quecksilber (Hg = 13,6 g/cm³) muss in das U-Rohr gefüllt werden, damit die Schwingungsdauer der entstehenden Schwingung mit der von Wasser übereinstimmt? Lösungen: a) T = 0,897 s b) T = 0,964 s c) mHg = 1,224 kg 01.07.1999 20. Physikalisches Pendel: Ein Rad (siehe Abbildung rechts) mit der Masse m = 1 kg, dem Innendurchmesser di = 96 mm und dem Außendurchmesser da = 125 mm pendelt an einer Schneide A. Die Periodendauer der freien ungedämpften Schwingung beträgt T0 = 0,65 s. Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment JS bezüglich des Schwerpunkts. Lösungen: JS = 2,7410-3 kgm² 21.06.2003 21. Physikalisches Pendel: Ein schmaler Stab mit homogener Masseverteilung schwingt als physikalisches Pendel um eine horizontale Achse mit dem Durchstoßpunkt A (Länge des Stabes l=1 m, Massenträgheitsmoment bezüglich einer zur Drehachse parallelen Schwerpunktachse JS = (1/12) ml²). a) In welchem Abstand a vom Schwerpunkt S des Stabes muss er aufgehängt werden, damit sich eine Schwingungsdauer von T0=1,535 s ergibt (2 Lösungen!)? b) Welche Länge hat der Faden eines mathematischen Pendels mit identischem T0? Lösungen: a) a1 = 0,34 m, a2 = 0,245 m b) l = 0,585 m 20.06.2002 22. Physikalisches Pendel: Die nebenstehende Skizze stellt das vereinfachte Modell einer schwingungsfähigen Analysewaage dar. Die geometrischen Daten sind: > Waagebalken mSt=120 g, LSt=30 cm > Zeiger: mZt=25 g, LZ=20 cm. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment des starren Systems Waagebalken mit Zeiger mit der Drehachse durch D senkrecht zur Zeichenebene. Waagebalken und Zeiger können als dünne lange Stäbe berechnet werden. b) Stellen Sie die Schwingungsgleichung für ungedämpfte Schwingungen bei kleinen Auslenkungswinkeln auf. c) Berechnen Sie Eigenkreisfrequenz 0 und Schwingungsperiode T0 des Systems. Lösungen: a) Jg = 12,3310-4 kgm² b) mZ gLZ 0 2J g Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 c) 0 = 4,46 1/s T0 = 1,41 s 28.06.2007 Seite 14 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 23. Physikalisches Pendel: Zwei gleiche, dünne homogene Stäbe (l=30 cm, m=0,2 kg) bilden das rechts abgebildete T-förmige Pendel, das um den Drehpunkt D Drehschwingungen ausführt. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des physikalischen Pendels bezüglich einer Drehachse durch D (Massenträgheitsmoment eines (dünnen) Stabs bzgl. einer zur Stabachse senkrechten Schwerpunktachse ist J S 121 ml 2 ). b) Berechnen Sie die Schwingungsperiode T des physikalischen Pendels für den Fall ungedämpfter Schwingungen bei einer Winkelamplitude < 5°. Lösungen: a) J = 0,0255 kgm² b) T = 1,068 s 21.11.2007 24. Physikalisches Pendel: Drei gleiche, dünne Stäbe (l=30 cm, m=0,2 kg) bilden mit zwei (masselosen) steifen Gelenken ein rechtwinkliges U. Der mittlere Stab ist in horizontaler Lage in seinem Schwerpunkt an einem vertikalen torsionselastischen Draht aufgehängt. Die beiden äußeren Stäbe hängen parallel zum Torsionsdraht senkrecht nach unten. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J der Stabanordnung für eine mit dem Draht zusammenfallende Dreh- und Symmetrieachse (für einen dünnen Stab gilt bzgl. einer zur Stabachse senkrechten Schwerpunktachse J S 121 ml 2 ). b) Der beschriebene U-förmige Körper wird aus der Ruhelage um die vertikale Drehachse gedreht und losgelassen. Er kehrt in 20 s zur Ruhelage zurück und setzt anschließend seine ungedämpften harmonischen Schwingungen fort. Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz 0 der Schwingung. c) Berechnen Sie Federrichtgröße D* des Aufhängedrahts Lösungen: a) J = 10,510-3 kgm² b) 0 = 7,8510-2 1/s c) D*= 6,4810-5 Nm/rad 16.10.2007 25. Physikalisches Pendel: Vier gleiche, dünne homogene Stäbe ( l=30 cm, m=0,2 kg ), bilden quadratisch angeordnet das rechts abgebildete physikalische Pendel, das um den Drehpunkt D Drehschwingungen ausführt. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des abgebildeten Pendels bezüglich einer Drehachse durch D (Massenträgheitsmoment eines (dünnen) Stabs bzgl. einer zur Stabachse senkrechten Schwerpunktachse J S 121 ml 2 ). b) Berechnen Sie die Schwingungsperiode T des physikalischen Pendels für den Fall ungedämpfter Schwingungen bei einer Winkelamplitude < 5° . Lösungen: a) J = 4210-3 kgm² b) T = 1,189 s M2 01.07.2008 26. Mathematisches Pendel: Ein mathematisches Pendel hat bei der Normalfallbeschleunigung eine Schwingungsdauer von T = 5 s. Berechnen Sie die Schwingungsdauer des Pendels, wenn es an einen Ort gebracht wird, an dem die Fallbeschleunigung um 1% kleiner als die Normalfallbeschleunigung ist? 17.06.2006 Lösung: T = 5,025 s Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 15 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 27. Physikalisches Pendel: Drei dünne homogene Stäbe ( l =30 cm, m =0,4 kg), bilden das rechts abgebildete dreieckige Pendel, das um den Drehpunkt D Drehschwingungen ausführt. a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment J des physikalischen Pendels bezüglich einer Drehachse durch D (Massenträgheitsmoment eines (dünnen) Stabs bzgl. einer zur Stabachse senkrechten Schwerpunktachse ist J S 121 ml 2 ) b) Berechnen Sie die Schwingungsperiode T des physikalischen Pendels für den Fall ungedämpfter Schwingungen bei einer Winkelamplitude < 5° . Lösungen: a) J = 0,054 kgm² b) D* =2,037 Nm/rad T0 = 1,023 s 30.06.2009 28. Physikalisches Pendel: Das schwingungsfähige System in der Skizze rechts besteht aus einer dünnen Stange, die im Punkt D reibungsfrei gelagert ist. Die als masselos angenommene Stange trägt oberhalb des Drehpunktes D im Abstand L = 0,30 m eine Kugel (Masse m = 3,50 kg; Radius r = 0,05 m). An der Stange ist in D eine Spiralfeder angebracht, die in der senkrechten Lage β0 = 0° kein Drehmoment ausübt. Das rückstellende Moment der Feder ist auf die senkrechte Ausgangslage gerichtet. Die Winkelrichtgröße beträgt D* = 45 Nm/rad. a) Berechnen Sie die Schwingungsperiode T0 für freie ungedämpfte Schwingungen um die stabile Lage β0 = 0° für kleine Winkelamplituden. b) Wenn die Drehfederkonstante klein wird, kann das System bei β0 = 0° labil werden. Das System schwingt dann nicht mehr um diese senkrechte Lage. Berechnen Sie die Federkonstante, bei der die Stabilität gerade verschwindet. Lösungen: a) T0 = 0,602 s b) D*=10,3 Nm/rad 11.11.2009 29. Physikalisches Pendel: Ein Rad hat die Masse m=1,5 kg, den Innendurchmesser di=0,18 m und den Außendurchmesser da=0,22 m. Die Reibung wird in der gesamten Aufgabe vernachlässigt, alle Schwingungen werden mit kleinen Schwingungsamplituden durchgeführt. a) Im ersten Versuch (Bild oben) wird das Rad mit einem Nagel in Punkt A aufgehängt. Man lässt es pendeln und bestimmt die Periodendauer zu T0=1,2 s. Bestimmen Sie das Massenträgheitsmoment JS des Rades bezüglich der Radachse durch den Massenmittelpunkt S. b) Im zweiten Versuch (Bild unten) wird das Rad im Schwerpunkt drehbar gelagert. In den Punkten P1 und P2 sind Federn mit Federkonstanten D1=1,5 N/cm und D2=0,9 N/cm befestigt. Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz 0 und die Schwingungsperiode T0. Lösungen: a) JS = 3,6210-2 kgm² Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) 0 = 8,964 s T0 = 0,701 s Seite 16 von 28 24.02.2010 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 30. Physikalisches Pendel: Ein Holzquader (Länge a=15 cm, Breite b=10 cm, Höhe h=10 cm, Dichte von Holz Holz=0,69 kg/dm³) hängt an einer Feder (siehe Teilbild a). Von unten wird ein Wassergefäß (Dichte Wasser W=1 kg/dm³) unter den Holzquader gehoben, der Quader wird um s=4 cm angehoben und schwimmt in der neuen Gleichgewichtslage mit der Eintauchtiefe h=3 cm) (siehe Teilbild b). a) Bestimmen Sie die Federkonstante der Feder. b) Der Quader wird relativ zu der neuen Gleichgewichtslage (Teilbild b) zusätzlich x=2 cm unter Wasser gedrückt, losgelassen und führt harmonische Schwingungen aus. Bestimmen Sie die Schwingungsperiode dieser Schwingungen bei vernachlässigter Dämpfung. Lösungen: a) D = 290,63 N/m b) T = 0,375 s 20.01.2012 31. Drehschwingungen: Das nebenstehende System kann für kleine Winkelamplituden harmonische Drehschwingungen um O ausführen und besteht aus einem Hohlzylinder (Masse m1, Außenradius R1, Innenradius R2) mit einem koaxialen Vollzylinder (Masse m2, Außenradius R2) sowie zwei Federn (D1 und D2). Die Kenngrößen sind: m1=1,5 kg, m2=1 kg, R1=0,4 m, R2=0,2 m, D1=70 N/m, D2=40 N/m. In der Ausgangslage sind beide Federn entspannt. Bestimmen Sie a) das Massenträgheitsmoment des Schwingkörpers und b) die Schwingungsperiode für kleine Winkelamplituden. Lösungen: a) J = 0,17 kgm² b) T = 0,724 s 09.01.2013 32. Gedämpfte Schwingung: Bei einem gedämpften Pendel ist die 3. Amplitude s3 = 8 mm und die 7. Amplitude s7 = 2 mm groß, die Schwingungsdauer beträgt Td = 0.5 s. a) Nach wie vielen Perioden wird näherungsweise eine Amplitude von 0.5 mm erreicht? b) Wie groß sind logarithmisches Dekrement und die Abklingkonstante ? c) Wie groß ist die Dämpfungskraft im Nulldurchgang nach der 2. Amplitude s2, wenn die Masse m = 29 kg beträgt? HINWEIS: Im Teil c ist eine Näherungslösung besser als nichts. Die volle Punktzahl gibt es aber nur für die exakte Lösung. Lösungen: a) n = 11 b) = 0.346, = 0.692 1/s 0,1303 c) b = 40.136 kg/s, s 9Td 4 m s 21.06.1991 , FR = -5,236 N 33. Gedämpfte Schwingung: Ein gedämpftes Drehpendel hat einen Anfangsausschlag von 8°. Innerhalb von 5 Schwingungen geht der Ausschlag auf 0.4 ° zurück. Ohne Dämpfung hat das Pendel eine Schwingungsdauer T0 = 4 s. a) Wie groß sind die tatsächliche Schwingungsdauer Td und die Abklingkonstante ? b) Welcher Anteil (in %) der Anfangsenergie wird während der ersten Schwingungsperiode verbraucht? c) Mit welcher Frequenz muss dieses Pendel von außen angeregt werden, um in Resonanz zu geraten? Lösungen: a) Td = 4.02 s, = 0.1492 1/s b) W1 / W0 *100 = 69.9 % Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 01.10.1991 c) r = 1.55 Hz , fr = 0.25 Hz Seite 17 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 34. Gedämpfte Schwingung: Ein Rundstab der Länge l=50 cm , Masse m=500 g , (Js= ml²/12) ist im Abstand von a = 5 cm vom Rand drehbar aufgehängt. Durch geschwindigkeitsproportionale Dämpfung nimmt die Anfangsamplitude der Schwingung von 9° innerhalb von 3 Schwingungsperioden auf 1° ab. a) Wie groß ist die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung des Schwerependels? b) Wie groß ist der prozentuale Unterschied zwischen der Schwingungsdauer Td der gedämpften Schwingung und T0? c) Wie groß ist der Energieverlust des Pendels bei der ersten Schwingungsperiode? d) Wie lange kann ein Gewichtsstück der Masse m=5 kg, das an einer Kette hängend eine Höhe von h=1 m herabsinken kann, diese Reibungsverluste ausgleichen und die Amplitude konstant auf 9° halten? Lösungen: a) T0 = 1.106 s b) T0 Td 100 0.72% T0 01.07.1992 c) ΔW= 9,30510-3 J d) n = 5271, t = n*Td = 5872 s = 97.9 min 35. Gedämpfte Schwingung: Die Sinusschwingung eines Federpendels (Eigenfrequenz des gedämpften Systems fD = 10 Hz) besitzt nach einer Zeit von 3 s nur noch 1/3 der anfänglich vorhandenen Schwingungsenergie. Wie groß ist die Abklingkonstante ? Lösung:: = 0.183 1/s 19.01.1998 36. Gedämpfte Schwingung: Eine Flüssigkeitsschwingung in einem U-Rohr kommt nach 10 s praktisch zur Ruhe. Die Ausschläge nehmen von Periode zu Periode jeweils um 75% ab, und insgesamt werden 4 Schwingungen ausgeführt. a) Wie groß ist die Schwingungsdauer Td des gedämpften Schwingungssystems und die Abklingkonstante ? b) Wie groß ist die Schwingungsdauer T0 des ungedämpften Systems? c) Wie lang ist die Flüssigkeitssäule? Lösungen: a) Td = 2.5 s, = 1.386, = 0.5544 b) T0 = 2.441 s c) l = 2.96 m 13.01.1992 37. Gedämpfte Schwingung: Infolge starker Dämpfung verringert sich die Frequenz einer Schwingung mit einer Anfangsamplitude von 5 cm von f0 = 100 Hz auf fD = 99 Hz. Berechnen Sie a) die Abklingkonstante , b) das logarithmische Dekrement , c) die Höhe der 5. Amplitude, wenn s0 die Anfangsamplitude darstellt, und d) den prozentualen Energieverlust innerhalb von 2 Schwingungsperioden. Lösungen: a) = 88.64 1/s c) s5 0.56 mm b) = 0.895 d) ΔW/W·100 = 97.3 % 27.06.1994 38. Gedämpfte Schwingung: Die 1. und 3. Amplitude der Schwingung einer Analysewaage beträgt 10.5 bzw. 9.9 Skalenteile. Berechnen Sie a) das logarithmische Dekrement , b) die 8. Amplitude der Schwingung und c) den relativen Energieverlust von der 1. Amplitude bis zur 8. Amplitude. Lösungen: a) = 0.0294 b) s8 8.55 Skt mm c) ΔW/W1·100 = 33.7 % Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 18 von 28 01.07.1996 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 39. Gedämpfte Schwingung: Die gedämpfte harmonische Schwingung eines Federpendels (Eigenfrequenz fd = 10 Hz) besitzt nach 0,5 Sekunden nur noch 10 % der anfänglich vorhandenen Schwingungsenergie. Die Anfangsauslenkung beträgt s0 5 cm . a) Wie groß ist das logarithmische Dekrement und die Abklingkonstante ? b) Wie groß ist die Amplitude des Federpendels nach 10 Perioden? c) Wie groß ist die Geschwindigkeit des Federpendels nach 10 41 Perioden? HINWEIS: Zur Lösung der Teilaufgabe c) sollten Sie eine Cosinusschwingung ansetzen. Lösungen: a) =0.23, =2,30 1/s b) ŝ10 0,501 cm c) s10 41 Td 29,74 cm/s 02.07.1998 40. Gedämpfte Schwingung: In einem senkrecht stehenden U-Rohr schwingt eine 80 cm lange Flüssigkeitssäule und führt quasielastische, harmonische und gedämpfte Schwingungen aus. Innerhalb von drei Schwingungsperioden geht die maximale Auslenkung auf 1/125 ihres anfänglichen Werts zurück. Wie groß ist die Schwingungsdauer der Schwingung? Lösungen: Td = 1,31 s 14.10.1998 41. Freie gedämpfte Schwingung: Die Amplitude eines gedämpften Feder-Masse-Schwingers (Masse m = 200 g) beträgt zu Beginn der Schwingungen (t = 0) s0 = 10 cm. Nach 20 Schwingungsperioden ist die Amplitude s20 nur noch halb so groß. Die gemessene Schwingungsdauer beträgt Td = 2 s. a) Berechnen Sie das logarithmische Dekrement , die Abklingkonstante und die Eigenkreisfrequenz 0 der ungedämpften Schwingung. b) Berechnen Sie die im System vorhandene Energie zu Beginn der Schwingung und nach 10 Schwingungsperioden. Wie groß ist der relative Energieverlust in diesem Zeitraum? Lösungen: a) = 0.03466, = 0,01733 1/s, 0 = 3,1416 H b) W0 = 9,87*10-3 J, W10 = W0/2, W/W0 = 50 % 21.06.2003 42. Freie gedämpfte Schwingung: Die Energie eines gedämpften Feder-Masse-Schwingers (m=200 g, D=30 N/m) nimmt innerhalb einer Schwingungsperiode jeweils um 5% ab. a) Berechnen Sie das logarithmische Dekrement , die Eigenkreisfrequenz 0 der ungedämpften Schwingung, die Abklingkonstante , und die Eigenkreisfrequenz d der gedämpften Schwingung. b) Wie lange dauert es, bis nur noch weniger als 1% der anfänglich vorhandenen Schwingungsamplitude vorhanden ist? Lösungen: a) = 0,0256, 0 = 12,247 Hz, = 0,0499 Hz, d = 12,243Hz 17.06.2004 b) t = 92,38 s 43. Freie gedämpfte Schwingung: Ein physikalisches Pendel besteht aus 2 gleich schweren Kugeln (Radius r), die auf einen masselos angenommenen dünnen Stab gesteckt sind, der durch die Schwerpunkte der Kugeln geht. Das Pendel ist in D drehbar gelagert. Angaben zur Geometrie: L1=0,3 m, L2=0,2 m, r=0,1 m. Die Bewegung des Pendels wird geschwindigkeitsproportional gedämpft. Man beobachtet, dass die Winkelauslenkungen nach jeweils 5 Perioden um die Hälfte abnehmen. a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T0 für freie ungedämpfte Schwingungen bei kleinen Winkelauslenkungen. b) Nach wie vielen Perioden ist nur noch weniger als 10% der anfänglich vorhandenen Schwingungsenergie vorhanden? Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 19 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Lösungen: Prof. Dr. G. Haussmann a) T0 = 2,38 s b) N = 9 10.10.2005 44. Freie gedämpfte Schwingung: Eine Flüssigkeitssäule (l=50 cm) führt in einem U-Rohr geschwindigkeitsproportional gedämpfte harmonische Schwingungen aus. Nach 3 Schwingungsperioden ist von der Anfangsenergie der Schwingung noch 10% übrig geblieben. Berechnen Sie die Abklingkonstante und die Schwingungsperiode Td der gedämpften Schwingung. Lösungen: = 0,382 1/s Td = 1,006 s 17.06.2006 45. Freie gedämpfte Schwingung: Das Pendel einer Standuhr besteht aus einer Stange mit am Ende angebrachter Scheibe. Das Massenträgheitsmoment des Pendels bezüglich der gegebenen Drehachse beträgt JP= 0,5 kgm², die Masse wird mit mP=0,8 kg, der Abstand Schwerpunkt zur Drehachse mit aP=0,4 m angegeben. Lässt man das Pendel schwingen, führt es frei gedämpfte Schwingungen aus, bei denen die Amplitude pro Schwingungsperiode um jeweils 1% kleiner wird. Der Energieverlust der gedämpften Pendelschwingung wird durch ein Massestück mit der Masse m=1,5 kg ausgeglichen, das eine Höhe von h=1 m herabsinken kann. a) Berechnen Sie die Pseudowinkelrichtgröße D* des Pendels, die Eigenkreisfrequenz 0 und die Schwingungsperiode der ungedämpften Pendelschwingung sowie das log. Dekrement der gedämpften Schwingung. Hinweis: Da das System sehr schwach gedämpft ist, können Sie näherungsweise Td = T0 setzen! b) Wie lange kann das Pendel schwingen, bis das Massestück wieder nach oben gezogen werden muss, wenn die Winkelamplitude der Schwingung 10° betragen soll? Lösungen: a) D* =3,139 Nm/rad, 0 = 2,506 Hz, T0 = Td = 2,51 s, = 0,01005 b) W = 9,51210-4 J, N = 15470, t = 38799 s 28.06.2007 46. Freie gedämpfte Schwingung: Ein Wagen (Masse m=1000 kg) mit 4 Stahlrädern (Elastizität wird vernachlässigt), 4 Federn (Federkonstante jeweils D=510 4 N/m) und 4 Schwingungs(Stoß)dämpfern (Dämpfungskonstante b) fällt mit den Rädern voraus auf die Straße. Die gesamte Fallhöhe bis zur maximalen Einfederung beträgt h=1 m. Ein ausreichender Federweg wird vorausgesetzt. a) Berechnen Sie für die entstehende gedämpfte Schwingung die Eigenkreisfrequenz 0 der ungedämpften Schwingung sowie die Anfangsamplitude ŝ 0 . b) Wie groß ist das logarithmische Dekrement , wenn die anfängliche Schwingungsenergie innerhalb von 10 Schwingungsperioden auf 1 % der Anfangsenergie gesunken sein muss? c) Berechnen Sie die Schwingungsperiode Td der gedämpften Schwingung und die Dämpfungskonstante b der Schwingungsdämpfer. Lösungen: a) sˆ 0 26 , 4 cm b) = 0,2303 c) Td=0,446 s bges=1032,7 kg/s 21.11.2007 47. Gedämpfte Schwingung: Ein schwingungsfähiges System mit konstanter geschwindigkeitsunabhängiger Dämpfung (Masse m=1,5 kg, Federkonstante jeweils D=96,18 N/m, Reibungszahl =0,05, FN=FG) wird zum Zeitnullpunkt um ŝ max = 10 cm aus seiner Ruhelage ausgelenkt. a) Berechnen Sie Schwingungsperiode T der gedämpften Schwingung. b) Wie groß ist der Energieverlust nach Ablauf zweier Schwingungsperioden absolut und relativ zum Beginn der Schwingung? c) Nach wie vielen Schwingungsperioden kommt die Schwingung zur Ruhe? Lösungen: a) T =0,785 s b) W = 0,409 J W/W0 = 85% Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 20 von 28 c) n = 3 01.07.2008 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 48. Gedämpfte Schwingungen: Zwei Schwingungssysteme (gleiche Federn D1=D2= 100 N/m, gleiche Massen m1=m2= 0,4 kg) erhalten zum Zeitnullpunkt jeweils eine Anfangsenergie W0 = 2 J zugeführt. System 1 ist geschwindigkeitsproportional gedämpft (Dämpfungskonstante b=0,8 kg/s, System 2 unterliegt der Coulombschen Reibung mit der Gleitreibungszahl =0,2. a) Welche Anfangsamplitude haben beide Schwingungssysteme? b) Berechnen Sie die Schwingungsperioden der beiden Systeme. c) Welche Amplituden ŝ21 bzw. ŝ22 besitzen die beiden Systeme nach Ablauf von jeweils 2 Schwingungsperioden? d) Wie hoch ist der jeweilige relative Energieverlust der beiden Systeme nach Ablauf von jeweils 2 Schwingungsperioden bezogen auf die Anfangsenergie W0? Lösungen: a) sˆ0 0,2 m b) TD1 = 0,397 s TD2 = 0,398 s c) sˆ21 0,09 m , sˆ22 0,137 m 19.11.2008 d) W1/W0 = 79,8%, W2/W0 = 52,9% 49. Freie gedämpfte Schwingung: Die Energie eines gedämpften Feder-Masse-Schwingers (m=200 g, D=30 N/m) mit geschwindigkeitsunabhängiger Dämpfung (FR=FN) nimmt innerhalb der ersten Schwingungsperiode von 1 J auf 0,8 J ab. a) Berechnen Sie die Anfangsamplitude ŝ 0 und die erste Amplitude ŝ1 . b) Berechnen Sie die Eigenkreisfrequenz D der gedämpften Schwingung und den Reibungskoeffizienten . Hinweis: Unterscheiden Sie zwischen s0 und ŝ 0 ! c) Wie lange dauert es, bis die Amplitude der Schwingung weniger als 10% der Anfangsamplitude ŝ 0 beträgt? Lösungen: a) ŝ0 =0,258 m, ŝ1 =0,231 m b) = 0,103, D =12,247 1/s c) tx = 4,62 s 30.06.2009 50. Gedämpfte Schwingung: Der in der Vorlesung gezeigte Versuch besteht aus einer Feder (D = 80 N/m) und einer Masse (m= 1,2 kg), die auf einer schiefen Ebene mit einem Neigungswinkel =60° auf und ab gleitet. Das System unterliegt der Coulombschen Reibung und wird zum Zeitnullpunkt mit einer Anfangsamplitude von sˆ0 20 cm ausgelenkt. a) Berechnen Sie die Schwingungsperiode des Systems. b) Die Amplitudenabnahme zwischen zwei aufeinander folgenden Amplituden beträgt 6 cm. Berechnen Sie die Gleitreibungszahl . c) Wie hoch ist der relative Energieverlust des Schwingungssystems nach Ablauf von 2 Schwingungsperioden bezogen auf die Anfangsenergie W0? Lösungen: a) T = 0,77 s b) = 0,204 c) W = 1,344 J W/W0 = 84% 11.11.2009 51. Gedämpfte Schwingung: In der Vorlesung werden gedämpfte Schwingungen mit geschwindigkeitsunabhängiger) Reibung (FR=FN) mit einem Masse-Feder-Schwinger an einem schräg gestellten Brett vorgeführt. Die Gleitreibungszahl für Stahl auf Holz beträgt =0,3. Die Parameter des schwingungsfähigen Systems sind Masse m=500 g und Federkonstante D=30 N/m. a) Welcher Neigungswinkel muss am Brett eingestellt werden, damit bei einer Anfangsauslenkung ŝ 0 = 20 cm genau 3 Schwingungsperioden vorgeführt werden können? b) Welcher Anteil der Anfangsenergie steckt dann noch als Rest-Spannungsenergie in der Feder? Lösungen: a) = 71,7 ° Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) W3 100 % 0,59 % W0 Seite 21 von 28 01.07.2010 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 52. Gedämpfte Schwingung: Ein horizontal liegendes Messe-Feder-Pendel (Masse m=1 kg und D=100 N/m) soll mit > geschwindigkeitsunabhängiger Coulombschen Reibungskraft FRC =-G·FN und alternativ mit > geschwindigkeitsabhängiger viskoser Reibungskraft FRS=-b·v so gedämpft werden, dass die Amplitude in beiden Fällen nach drei Perioden kleiner gleich 28% der Anfangsamplitude von 5 cm ist. Es kann Td=2/0 gesetzt werden. Wie groß müssen die Gleitreibungszahl G und die Dämpfungskonstante b sein? Lösungen: G = 0,03 b = 1,347 kg/s 23.11.2010 53. Freie gedämpfte Schwingung: Ein homogener Zylinder mit Radius R=253,3 mm, Höhe h=506,6 mm und Dichte Zyl = 0,5Fl schwimmt in einer Flüssigkeit mit der Dichte Fl. a) Welche Eintauchtiefe hat der schwimmende Zylinder in der Gleichgewichtslage? b) Der Zylinder wird durch eine äußere Kraft bis zu seiner Oberkante in die Flüssigkeit getaucht und dann losgelassen. Mit welcher Schwingungsdauer T0 würde der Zylinder schwingen, wenn man die Reibungseinflüsse durch die Flüssigkeit vernachlässigt? c) Eine sehr genaue Messung ergibt eine Schwingungsdauer von Td = 1,01 s. Wie groß ist die Abklingkonstante δ der gedämpften Schwingung? d) Nach wie vielen Schwingungsperioden ist die Maximalamplitude auf einen Wert kleiner als 1% des ursprünglichen Wertes abgesunken? Lösungen: a) h0 = 253,3 mm c) δ = 0,168 1/s b) T0 = 1,0096 s = 1,01 s d) n = 27,131 oder tx = 28*1,01 s 04.10.2011 54. Viskos gedämpfte Schwingung: Bei einem Federschwinger sind die Masse m, die Federkonstante D und die Dämpfungskonstante (b bzw. r) bekannt. Zur Zeit t = 0 beträgt die Auslenkung x(0)= x̂0 . Die Parameter sind m=30 g, D=1,5 N/m; b=r=0,12 Ns/m; x̂0 = 35 mm. a) Wie groß sind die Schwingungsdauer Td und das logarithmische Dekrement? b) Berechnen Sie die Auslenkungen x(T) und x(2T). c) Nach welcher Zeit t ist die Amplitude x̂ n auf die Hälfte des Anfangswerts abgeklungen? d) Wie groß müsste die Federkonstante D sein, damit sich der Federschwinger im aperiodischen Grenzfall bewegt? Lösungen: a) Td = 0,927 s Λ = 1,854 c) tx = 0,347 s b) x(T) = 5,49 mm x(2T) = 0,86 mm d) D = 0,12 N/m 04.10.2011 55. Freie gedämpfte Schwingung: Ein Wagen mit 4 Stahlrädern (Gesamtmasse m=1000 kg, Elastizität der Räder wird vernachlässigt), 4 Federn (Federkonstante jeweils D=510 4 N/m) und 4 Schwingungs(Stoß)dämpfer (Dämpfungskonstante b) fällt mit den Rädern voraus auf die Straße. Die gesamte Fallhöhe bis zur maximalen Einfederung beträgt h=1 m. Ein ausreichender Federweg wird vorausgesetzt. a) Berechnen Sie für die entstehende gedämpfte Schwingung die Eigenkreisfrequenz 0 der ungedämpften Schwingung sowie die Anfangsamplitude ŝ 0 . b) Wie groß ist das logarithmische Dekrement , wenn die anfängliche Schwingungsenergie innerhalb von 10 Schwingungsperioden auf 1 % der Anfangsenergie sinkt? c) Berechnen Sie die Schwingungsperiode Td der gedämpften Schwingung und die Dämpfungskonstante b der Schwingungsdämpfer. Lösungen: a) 0 = 14,14 1/s ŝ 0 = 26,4 cm b) Λ = 0,2303 13.03.2012 c) Td = 0,446 s δ = 0,517 s B = 258,2 kg/s Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 22 von 28 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 56. Freie gedämpfte Schwingungen: Zwei gedämpfte Schwingungssysteme (gleiche Federkonstanten D1= D2 = 50 N/m, gleiche Massen m1 = m2 = 0,2 kg) erhalten zum Zeitpunkt t = 0 s jeweils eine Anfangsenergie W0 zugeführt. System 1 ist geschwindigkeitsproportional gedämpft mit Dämpfungskonstante b=0,2 kg/s, System 2 unterliegt der Coulombschen Reibung mit der Gleitreibungszahl μ=0,1. Berechnen Sie a) die Anfangsenergie W0 bei einer Anfangsamplitude beider Schwingungssysteme von 15 cm b) die Schwingungsperioden T1 und T2 beider Systeme c) Wie hoch ist der jeweilige relative Energieverlust der beiden Systeme nach Ablauf von 3 Schwingungsperioden bezogen auf die Anfangsenergie W0? Lösungen: a) W0 = 0,5625 J b) T1=Td=0,3976 s T2=T0=0,3974 s c) ΔW13/W0=69,64% ΔW23/W0=52,93% 09.01.2013 57. Viskos gedämpfte Schwingung: Betrachten Sie ein Feder-MasseSystem mit geschwindigkeitsabhängiger Reibung (Masse: m = 0,1 kg, Federkonstante: D = 6,1685 N/m). a) Eine Schwingungsamplitude x0 geht nach 8 Perioden auf 10% von x0 zurück. Wie groß ist die Abklingkonstante δ? Bestimmen Sie zunächst eine Näherungslösung, indem Sie Te T0 verwenden? b) Berechnen Sie die exakte Lösung unter Berücksichtigung, dass tatsächlich Te T0 gilt. Lösungen: a) δ = 0,3598 1/s b) δ = 0,3594 1/s 16.06.2011 58. Gedämpfte Schwingung, Resonanz: Bei einem schwingungsfähigen System nimmt die Amplitude während einer Schwingungsperiode Td = 0,6 s infolge geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung um 12 % ab. a) Wie groß sind die Abklingkonstante und die Eigenkreisfrequenz 0 des Systems? b) Wie groß ist der relative Energieverlust nach Ablauf der ersten 10 Perioden? c) Bei welcher Frequenz liegt Resonanz vor und welche Resonanzamplitude wird erreicht, wenn das System mit einer Anregungsamplitude von 3 cm erregt wird? Lösungen: a) = 0,213 s b) W/W0 = 92,2 % c) fr = 1,666 Hz sr = 73,77 cm 01.07.1999 59. Erzwungene Schwingung: Eine Straße besitzt periodische und sinusförmige Bodenwellen mit einer Höhe h = 5 cm und einer Periode von l = 11 m. Ein Pkw der Masse m = 980 kg (nur gefederte Masse ohne Masse der Räder), Federkonstante der Einzelfeder D = 0.3105 N/m, gesamte Dämpfungskonstante der Stoßdämpfer bges = 2.8103 kg/s befährt diese Straße. a) Bei welcher Geschwindigkeit gerät der Pkw in Resonanz? b) Auf welchen Maximalwert kann die Schwingungsamplitude des Pkw anwachsen? Lösungen: a) v = 19.06 m/s = 68.63 km/h b) sr 9.76 cm sr / sA 3.904 Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 23 von 28 19.01.1998 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 60. Erzwungene Schwingung: Um ein Drehpendel (Massenträgheitsmoment J=30 gcm²) um 45° auszulenken, ist ein Drehmoment M=3.69*10-4 Nm erforderlich. Das Pendel wird zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Bei Resonanz verhalten sich die Amplituden des Pendels und des Erregers wie 5:4. a) Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz des Drehpendels und die Abklingkonstante ? b) Bei welcher Erregerfrequenz fA tritt Resonanz auf? HINWEIS zu δ: Benutzen Sie die Formel für die Resonanzüberhöhung aus dem Skript und formen Sie diese so um, dass ausschließlich Terme der Form/0 vorkommen. Setzen Sie x=0 und lösen Sie die auf diese Weise entstandene quadratische Gleichung in x. Lösungen: a) T0 = 0.5 s, f0 = 2 Hz, 0 = 12,514 Hz 1 = 11.13 1/s, 2 = 5.596 1/s, 1 führt zu keinem reellen r c) fr = r /2 = 1.54 Hz 01.07.1992 61. Erzwungene Schwingung: Eine Straße besitzt periodische und sinusförmige Bodenwellen mit einer Höhe h = 10 cm und einer Periode von l = 15 m. Ein Pkw mit einer Masse von m = 800 kg (nur gefederte Masse ohne Masse der Räder, Federkonstante jeder der Einzelfedern D = 0.3105 N/m, gesamte Dämpfungskonstante der Stoßdämpfer b = 2.8103 kg/s) befährt diese Straße mit einer Geschwindigkeit von v = 72 km/h. a) Auf welchen Wert wächst die Schwingungsamplitude des Pkw an? b) Wie lange dauert es ungefähr, bis die Schwingungsamplitude des Pkw auf 10 % des Wertes aus a) abgeklungen ist, wenn der Pkw anschließend eine perfekt ebene Straße befährt? Lösungen: a) ss 8.9 cm b) tx = 1,32 s 18.03.1998 62. Erzwungene Schwingung: Eine Maschine mit einer Masse von m = 1,5 t steht auf sechs gleichen Federn (Federkonstante jeweils D = 3104 N/m). Dämpfungselemente bewirken eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfung mit einer Dämpfungskonstanten b = 4,93103 kg/s. Wenn die Maschine mit einer Drehfrequenz n1 = 500 min-1 läuft, entstehen durch eine Unwucht erzwungene Schwingungen mit einer Amplitude s1 = 1 mm. a) Berechnen Sie die Abklingkonstante und die Eigenkreisfrequenz 0 des Systems. b) Welche Drehfrequenz n2 muss gewählt werden, damit die Amplitude auf einen Wert s2 = 0,1 mm abnimmt? Hinweis: Benutzen Sie die in der Vorlesung abgeleitete Formel für die Amplitude erzwungener Schwingungen und setzen Sie die beiden Amplituden der erzw. Schwingung bei n1 (bzw. 1) und n (bzw. 2) ins Verhältnis. Dann spielt die Amplitude der erregenden Kraft keine Rolle mehr. Die Rechnung führt auf eine quadratische Gleichung in 22 . Diese können Sie näherungsweise lösen, da ein Term alle anderen um 10er-Potenzen übertrifft. Lösungen: a) = 1,643 1/s, 0 = 10,954 Hz b) n2 = 1551,2 1/min = 25,85 1/s 21.06.2003 63. Erzwungene Schwingung: Ein Pkw als Masse-Feder-System (Masse m = 800 kg, nur gefederte Masse ohne Masse der Räder, Federkonstante jeder Einzelfeder D = 0.3105 N/m, gesamte Dämpfungskonstante der Schwingungsdämpfer b = 2.8103 kg/s) wird durch elliptisch unrunde Räder (Umfang U=160 cm) periodisch zum Schwingen angeregt. Zur Vereinfachung der Aufgabe wird angenommen, dass die äußere Anregung über alle vier Räder in Phase erfolgt. a) Berechnen Sie die Abklingkonstante und die Eigenkreisfrequenz 0 des Pkws. b) Bei welcher Geschwindigkeit würde der Pkw in Resonanz geraten (r² = 0² - 2²)? Lösungen: a) = 1,75 Hz, 0 = 12,257 Hz Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) r = 11,995 Hz, v = 1,52 m/s Seite 24 von 28 17.06.2004 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 64. Erzwungene Schwingung: Ein gedämpftes Masse-Feder-System (Kennwerte Eigenkreisfrequenz 0 und Abklingkonstante ) wird über die Feder durch periodische Anregung von außen zu erzwungenen Schwingungen angeregt. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion, die die Abhängigkeit der Amplitude der erregten Schwingung von der Anregungsfrequenz beschreibt, für je 2 verschiedene Werte von und 0. Interpretieren Sie den Verlauf des Graphen. Lösung: siehe Vorlesungsmitschrift 17.06.2006 65. Erzwungene Schwingung: Eine Maschine mit einer Masse von mM=1,5 t steht auf einem Fundament mit der Masse mF=250 kg und wird von außen mit einer Schwingung (Frequenz 12 Hz, Amplitude 8 mm) zum Mitschwingen erregt. Maschine und Fundament sollen zur Schwingungsisolierung auf 8 senkrecht stehende Federn gestellt werden. Zusätzlich werden 8 Schwingungsdämpfer eingebaut. Zur Vereinfachung der Rechnung soll die Dämpfung jedoch vernachlässigt werden (=0). Berechnen Sie die Einzel-Federkonstante D jeder der 8 Federn, wenn die Amplitude der erregten Schwingung von Maschine und Fundament einen Wert von 1 mm erreichen soll. Lösung: D = 177,43 N/m 11.11.2009 66. Erzwungene Schwingung: In der Umgebung eines empfindlichen Instruments (mInstr=2,5 kg) vibriert der Boden sinusförmig mit einer Frequenz von 10 Hz und einer Amplitude von 0,5 mm. Zur Schwingungsisolierung soll das Instrument auf eine schwere Betonplatte (Masse m) gestellt werde, die auf 4 Federn mit jeweils D= 20 kN/m steht. Die Dämpfung des Systems wird zur Vereinfachung der Rechnung vernachlässigt. Wie groß muss die Masse der Betonplatte sein, wenn die Amplitude von Betonplatte und Instrument auf Grund der äußeren Erregung nur noch 0,05 mm betragen soll? Lösung: mB = 179,8 kg 01.07.2010 67. Erzwungene Schwingung: Ein Drehpendel besteht aus einer Spiralfeder mit der Winkelrichtgröße D*=0,12 Nm und einer zylindrischen Scheibe der Masse mS=0,5 kg mit Radius RS = 0,15 m. Es wird durch das äußere Drehmoment M(t)=(0,2 Nm)·sin(at) angeregt und bei der (Kreis-)Frequenz a = r = 3 1/s zur Resonanz gebracht. a) Wie groß ist die Eigen(kreis-)frequenz 0 der ungedämpften Schwingung? Wie groß ist die Abklingkonstante ? b) Wie groß ist das Amplitudenmaximum bei der Resonanzbedingung? Lösungen: a) 0 = 4,62 s = 2,48 1/s b) max = 105,3 ° 23.11.2010 68. Erzwungene Schwingung: Eine Maschine wird wegen vorhandener erzwungener Schwingungen federnd aufgestellt. Ihre Masse beträgt 2 t, die resultierende Federkonstante der Federung beträgt 100 kN/m. Die angebrachten Schwingungsdämpfer ergeben eine Abklingkonstante von δ=3 1/s. Bei einer Drehzahl von n = 800 1/min treten Schwingungen mit einer Amplitude von 1,5 mm auf. a) Berechnen Sie die Resonanzfrequenz fR der erzwungenen Schwingung. b) Welchen Abstand zur Wand muss die Maschinen mindestens haben, wenn sie im Drehzahlbereich von 500 1/min bis 1500 1/min betrieben werden soll? Lösungen: a) fr = 0,9003 Hz Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) ŝ S = Δs = 0,00387 m = 3,87 mm Seite 25 von 28 04.10.2011 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 69. Erzwungene Schwingung: Ein Masse-Feder-Pendel besitzt eine Masse vom m=0,2 kg und wird durch ein Ölbad geschwindigkeitsproportional gedämpft. Bei einer Amplitude der erregenden Kraft von 3 N beträgt die Resonanzamplitude 0,2 m. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Systems beträgt f0=1,59 Hz. a) Wie groß ist die Federkonstante D und die Anregungsamplitude? b) Wie groß ist die Abklingkonstante ? a) D=19,98 N/m ŝ A = 0,15 m Lösungen: b) δ = 4,12 1/s 09.01.20 70. Erzwungene Schwingungen: Beschreiben Sie qualitativ die Eigenschaften erzwungener Schwingungen mit unterschiedlichen Dämpfungen: Skizzieren Sie dazu die Resonanzkurven und die Funktionen der Phasenverschiebung für 0 0 Lösungen: 2 . Was passiert, wenn 0 2 ist? siehe Skript 16.06.2011 71. Gekoppelte Schwingungen: Zwei gleiche Masse-Feder-Systeme (m=1 kg, D=50 N/m, Schwingungen s1(t), s2(t)) sind über eine Koppelfeder (D*=10 N/m) miteinander gekoppelt. a) Skizzieren Sie den Verlauf von s1(t) und s2(t). b) Wie groß sind die Schwingungsperioden der beiden Fundamentalschwingungen (gleichphasig wie s=s1+s2 und gegenphasig wie d=s1-s2 c) Welche Zeit vergeht, bis die Schwingungsenergie vollständig von einem Pendel zum anderen Pendel übergegangen ist? Hinweis: Gekoppelte Schwingungen können als Schwebungen der Fundamentalschwingungen aus b) interpretiert werden. Sie müssen die Schwebungsfrequenz berechnen! Lösungen: b) Gleichtakt T0 = 0.889 s, Gegentakt T0 = 0.751 s c) tx = Ts/2 = 2,43 s 20.06.2002 72. Gekoppelte Schwingungen: Zwei gleiche Masse-Feder-Schwingungssysteme (m=100 g, D= 12 N/m) sind durch eine Koppelfeder D* verbunden. Wird System 1 ausgelenkt, so benötigt die vollständige Energieübertragung von System 1 auf System 2 eine Zeit von 4 s. a) Skizzieren Sie die Oszillogramme der beiden Schwingungssysteme. b) Berechnen Sie die Federkonstante D* der Koppelfeder. Lösungen: a) Schwebung b) D* = 1,844 N/m 01.07.2008 73. Gekoppelte Schwingungen: Eine Schwingung mit der Periode T1= 0,02 s wird mit einer zweiten Schwingung mit der Periode T2 überlagert. Es ergibt sich eine Schwebung mit der Schwebungsperiode TS=0,2 s. Berechnen Sie die Periode T2 der zweiten Grundschwingung. Lösungen: T2 =0,022 s 17.06.2004 74. Gekoppelte Schwingungen: Fundamentalschwingungen sind gekoppelte Schwingungen ohne Energieaustausch. a) Skizzieren Sie das Oszillogramm der beiden möglichen Fundamentalschwingungen. b) Welche der beiden Fundamentalschwingungen besitzt die größere Eigenfrequenz (mit Begründung)? Lösungen: a) Schwebung Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 b) D* = 1,844 N/m Seite 26 von 28 24.02.2010 II. Schwingungen FHH/FB Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann 75. Überlagerung von Schwingungen: Nennen Sie die Schwingungsfunktionen zweier harmonischer Schwingungen, die bei Überlagerung destruktiv interferieren und sich damit gegenseitig auslöschen. Lösung: zwei um in der Phase verschobene harmonische Schwingungen mit gleicher Amplitude und gleicher Frequenz 28.06.2007 76. Überlagerung von Schwingungen: Berechnen Sie und skizzieren Sie qualitativ die Summenschwingung sges(t) = s1(t) + s2(t), die durch Überlagerung folgender Schwingungen entsteht: s1 t sˆ sin 2f 1t , s 2 t sˆ sin 2f 2 t mit f1 = 48 Hz und f2 = 50 Hz und sˆ 2 cm . Lösungen : Schwebung mit der Schwebungsfrequenz 2 Hz Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 Seite 27 von 28 21.11.2007 II. Schwingungen FHH Fachbereich Maschinenbau Prof. Dr. G. Haussmann III Wellen 1. Sinuswelle: Eine ebene Sinuswelle s(x, t) hat eine Amplitude von s 20 cm, eine Phasengeschwindigkeit von c = 40 cm/s und eine Frequenz von f = 10 Hz. Im Startpunkt hat die Welle zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 die Elongation s(0, t1) = 0 cm, in einer Entfernung von l = 12 cm zum Zeitpunkt t2 (t2 t2!) eine Elongation von s(l, t2) = 15 cm. Berechnen Sie die Zeitdifferenz t = t2 - t1 so, dass die Wellengleichung erfüllt ist. Lösung: t = t2 - t1 = 0.314 s 19.01.1998 2. Sinuswelle: Eine von x = 0 ausgehend in positiver x-Richtung laufende sinusförmige Querwelle mit der Amplitude s 4,0 mm hat bei x1 = 2,0 cm zum Zeitpunkt t1 = 69 ms die momentane Auslenkung s (x1, t1) = - 2,0 mm und die momentane Schnelle s ( x1 , t1 ) 0,131 m/s. Wie groß sind Wellenlänge und Frequenz der Welle? Lösungen: = 4,01 cm f = 6,02 Hz 14.10.1998 3. Wellen: Das bei x=0 liegende Ende einer Saite wird mit einer Frequenz von10 Hz und der Amplitude ŝ = 1 cm harmonisch erregt. Das andere Saitenende sei unendlich entfernt, so dass keine Reflexionen auftreten. Die Phasengeschwindigkeit der Welle beträgt 5 m/s. a) Wie groß ist die Phasendifferenz zwischen der Bewegung eines Punktes der Saite, der sich vom Erreger in einer Entfernung von 3,25 m in Wellenausbreitungsrichtung befindet und der Bewegung eines zweiten Punkts der Saite in einer Entfernung von 3,50 m vom Erreger? b) Welche Auslenkung und Schnelle hat der zweite Punkt, wenn sich zum selben Zeitpunkt beim ersten Punkt gerade ein Wellenberg befindet? Lösungen: a) = b) s(x2, t1) = -1 cm v(x2, t1) = 0 cm/s 01.07.1999 4. Wellen: Das Wasserteilchen 1 im Erregerzentrum einer Wasserwelle hat zu einem bestimmten Zeitpunkt seine maximale Auslenkung von 5 cm nach oben erreicht. Ein anderes Wasserteilchen 2 besitzt zum selben Zeitpunkt eine momentane Auslenkung von 2 cm nach unten. Die Wasserwelle hat eine Wellenlänge von =0,5 m. Bestimmen Sie die Entfernung x des Wasserteilchens 2 vom Wasserteilchen 1. Hinweis: Beachten Sie, dass der Erreger einer Sinuswelle am Punkt der maximalen Auslenkung nach oben bereits ein Viertel seiner Periode hinter sich hat. Lösung: x = 15,775 cm 18.06.2006 5. Wellen: Nach einer Laufzeit von 1,5 s und der Laufstrecke von 250 m besitzt eine Querwelle eine Auslenkung von einem Viertel der Amplitude. Wie groß ist die Wellenlänge der Querwelle, wenn die Phasengeschwindigkeit 300 m/s beträgt?. Lösung: = 4973 m Aufgabensammlung Experimentalphysik 2 01.07.2008 Seite 28 von 28 III. Wellen
