Lernumgebung
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Hans Walser Mathematik für die Sekundarstufe 1 Modul 206 Regelmäßige Vielecke Lernumgebung Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung Modul 206 für die Lehrveranstaltung Mathematik für die Sekundarstufe 1 Sommer 2005 Provisorische Ausgabe Sommer 2007 Ergänzungen. Formel-Editor revidiert Frühjahr 2009 Grafische Überarbeitung. Ergänzung Frühjahr 2011 Erweiterung last modified: 2. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.walser-h-m.ch/hans ii Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung iii Inhalt 1 Punktraster .................................................................................................................. 1 2 Knoten ........................................................................................................................ 2 3 Regelmäßiges Dreieck? .............................................................................................. 3 4 Quadrat falten ............................................................................................................. 3 5 Im Quadratraster ......................................................................................................... 3 6 Quadrat?...................................................................................................................... 4 7 Anzahl Quadrate? ....................................................................................................... 5 8 Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6 9 Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6 10 Summe der Richtungsänderungen („Außenwinkel“) ............................................... 7 11 60°-Winkel? .............................................................................................................. 7 12 Der Goldene Schnitt ................................................................................................. 8 13 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 8 14 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9 15 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9 16 Quadrat?.................................................................................................................. 10 17 Näherungskonstruktion des regelmäßigen Siebenecks........................................... 11 18 Eine Näherungskonstruktion des Siebeneckes ....................................................... 12 19 Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 14 20 Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 14 21 Regelmäßiges Achteck? ......................................................................................... 15 22 Achtecksaufgabe ..................................................................................................... 16 23 Regelmäßiges Achteck ........................................................................................... 18 24 Gleichwinkliges Achteck ........................................................................................ 18 25 Nährungskonstruktion des Neuneckes.................................................................... 20 26 Etwas gröbere Näherungskonstruktion des Neuneckes .......................................... 22 27 Regelmäßiges Zwölfeck ......................................................................................... 25 28 Regelmäßiges Zwölfeck und Dreiecke ................................................................... 27 29 Regelmäßiges Zwölfeck und Diagonalen ............................................................... 28 30 Unterteilung des Zwölfeckes .................................................................................. 29 31 Zwölfeck-Puzzle ..................................................................................................... 30 32 Zwölfeck-Puzzle ..................................................................................................... 31 33 Konstruktion des regelmäßigen 15-Eckes .............................................................. 32 34 Wechselseitiges Abtragen....................................................................................... 33 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 1 Punktraster Gesucht sind regelmäßige Figuren auf der Basis dieses Punktrasters Punktraster auf der Basis von Kreisen Ergebnis Offene Aufgabe 1 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 2 2 Knoten Aus zwei verschiedenfarbigen Papierstreifen gleicher Breite soll ein echter (Abb. a) und ein falscher (Abb. b) Samariterknoten hergestellt werden. Welche Figur entsteht aus einem Doppelknoten (Abb. c)? a) c) b) Knoten Ergebnis a) Der echte Samariterknoten liefert ein Sechseck mit nur achsensymmetrischer Farbenbesetzung. b) Der falsche Samariterknoten ergibt ein Sechseck mit alternierender Sektorfärbung. c) Es entsteht der Mantel einer Fünfkantpyramide mit gleichseitigen Dreiecken. Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 3 3 Regelmäßiges Dreieck? Ist das Dreieck regelmäßig? Regelmäßiges Dreieck? Ergebnis Nein. Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Schenkel sind 3 2 ≈ 4.24 . Der Basiswinkel ist α ≈ 59.04° . 17 ≈ 4.12 , die Basis ist 4 Quadrat falten Aus einem Papierstück mit nirgends geradem Rand soll allein durch Falten ein Quadrat hergestellt werden. Geht das? Lösungshinweis Erste Kante. Rechter Winkel und zweite Kante. Rechter Winkel und dritte Kante. Diagonale. Rechter Winkel und vierte Kante. 5 Im Quadratraster Markieren Sie in einem quadratischen Karoraster vier Karoquadrate so, dass deren Mittelpunkte ein Quadrat bilden. Welche Symmetrien hat die aus diesen vier Karoquadraten bestehende Figur? Bearbeitung Es gibt grundsätzlich zwei verschiedene Symmetriearten. In den folgenden Beispielen haben wir dieselben Symmetrien wie bei einem Quadrat. Symmetrien wie beim Quadrat Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 4 In den folgenden Beispielen haben wir aber nur noch eine vierstrahlige Drehsymmetrie. Vierstrahlige Drehsymmetrie 6 Quadrat? Der Raster besteht aus regelmäßigen Dreiecken. Ist das Viereck ein Quadrat? Ist das Viereck ein Quadrat? Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, also ein Rhombus. Die beiden spitzen Winkel messen: ⎛ ⎞ α = 2arctan⎜ 5 ⎟ ≈ 87.796° ⎝ 3 3⎠ Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 5 7 Anzahl Quadrate? Wie viele Quadrate mit Gitterpunkten als Eckpunkten können im Gitter mit 6 × 6 Gitterpunkten (Figur) eingezeichnet werden? Wie viele Quadrate gibt es in diesem Gitter? Ergebnis 105 Bearbeitung Seitenlänge 1 2 3 Anzahl 5×5 4×4 3× 3 Anzahl total 25 16 9 4 5 2 2 2 5 10 17 13 Total 2×2 1 4×4 2×2 3× 3×2 2×2×2 2 2 4 1 16 4 18 8 2 2 105 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 6 8 Summe der Innenwinkel Wie groß ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch Überlegung lösen. Anschließend durch Messen verifizieren.) Ergebnis 9 ∑ α i = 5π = 900° i=1 9 Summe der Innenwinkel Wie groß ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch Überlegung lösen. Anschließend durch Messen verifizieren.) Ergebnis 9 ∑ α i = 5π = 900° i=1 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 7 10 Summe der Richtungsänderungen („Außenwinkel“) Wie groß ist die Summe der orientierten Richtungsänderung bei einer „Runde“ auf der eckigen Achterbahn? Ergebnis 9 ∑αi = 0 , negative und positive Richtungsänderungen heben sich auf. i=1 11 60°-Winkel? Misst der eingezeichnete Winkel wirklich 60°? Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 8 Ergebnis ⎛ ⎞ arctan⎜ 1 ⎟ ≈ 59.5536° . Leider etwas zu wenig. sin 36° ( ) ⎝ ⎠ 12 Der Goldene Schnitt Luca Pacioli (1445-1517) fand, dass der goldene Schnitt von 10 durch 125 − 5 ausgedrückt werden kann. Stimmt das? (Verifikation exakt und mit dem Taschenrechner). Ergebnis ( ) 5 −1 = 10 5−1 = 10 ρ 2 125 − 5 = 5 13 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur? Symmetrien? Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat drei Symmetrieachsen und eine dreistrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes. Dieselben Symmetrien wie beim gleichseitigen Dreieck Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 9 14 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur? Symmetrien? Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat sechs Symmetrieachsen und eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines regelmäßigen Sechseckes, Dieselben Symmetrien wie beim regelmäßigen Sechseck 15 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmäßiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur? Symmetrien? Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 10 Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Sechseck. Die Figur hat keine Symmetrieachsen, aber eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also eine sechsteilige zyklische Symmetrie Sechsteilige zyklische Symmetrie 16 Quadrat? Die drei Sechsecke sind regelmäßig. Ist das Umrissrechteck ein Quadrat? Quadrat? Bearbeitung Es kann kein Quadrat sein, da die regelmäßigen Sechsecke zu einem regulären Dreiecksraster gehören, welcher zu einem Quadratraster inkompatibel ist. s b a Bezeichnungen Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 11 Es ist: a = 2 3s ≈ 3.46410161514s b = 27 s = 3.5s b a = 7123 ≈ 1.01036297108 Die Abweichung vom Quadrat beträgt etwa 1%. 17 Näherungskonstruktion des regelmäßigen Siebenecks Idee: Jo Niemeyer. Wir unterteilen den Radius des Umkreises im Goldenen Schnitt und verfahren weiter gemäß Figur. Näherungskonstruktion des Siebeneckes Wie genau ist diese Konstruktion? Bearbeitung ( ) Für eine exakte Konstruktion müsste der Radius im Verhältnis cos 2π ≈ 0.6235 unter7 teilt sein. Der Goldene Schnitt ist aber −1+2 5 ≈ 0.6180 , also etwas zu klein. Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 18 Eine Näherungskonstruktion des Siebeneckes Nach einer Idee von Jo Niemeyer Wir arbeiten in einem quadratischen 20 × 20 -Raster gemäß Figur. Näherungskonstruktion des Siebeneckes Wir schneiden den Umkreis mit der blauen Geraden und erhalten so einen Eckpunkt. Wie genau ist diese Konstruktion? 12 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 13 Bearbeitung Bezeichnungen gemäß Figur. A G B Q α P 2φ φ M F C E D Bezeichnungen ( ) 7 und damit den Steigungswinkel φ = arctan 7 . Die Gerade PQ hat die Steigung 20 20 Damit gilt für den Sektorwinkel α : ( ) 7 ≈ 51.4199° α = 90° − 2 arctan 20 ≈ 51.4286° . Der exakte Wert wäre 360° 7 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 14 19 Regelmäßiges Achteck? Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig? Regelmäßiges Achteck? Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, aber nicht gleichwinklig. 20 Regelmäßiges Achteck? In einem quadratischen Raster ist der achtspitzige Stern so eingezeichnet, dass die Spitzen genau auf Rasterpunkten liegen. Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig? Regelmäßiges Achteck? Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 15 Ergebnis Das Achteck in der Mitte ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig, und daher nicht re≈ 134.76° oder gelmäßig. Die Innenwinkel messen entweder α = 2arctan 12 5 ( ) ( ) 5 ≈ 135.24° . β = 90° + 2arctan 12 21 Regelmäßiges Achteck? In einem quadratischen Raster ist der achtspitzige Stern so eingezeichnet, dass die Spitzen genau auf Rasterpunkten liegen. Ist das Achteck in der Mitte regelmäßig? Regelmäßiges Achteck Ergebnis Das Achteck in der Mitte ist gleichwinklig, aber nicht gleichseitig, und daher nicht regelmäßig. Die waagerechten und senkrechten Seiten messen a = 3, die schrägen Seiten b = 2 2 ≈ 2.828 . Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 16 22 Achtecksaufgabe 4 cm cm 4.6 4.6 cm Aufgabe aus einem amerikanischen Mathematik-Test (vgl. [Gouvêa 2004]). Wie lang ist der Umfang des regelmäßigen Achteckes, gerundet auf cm? Diese Aufgabe hat zu Diskussionen Anlass gegeben. Ergebnis 36 cm Lösungsweg Die halbe Seitenlänge lässt sich mit Pythagoras berechnen: 2s = 4.6 2 − 4 2 ≈ 2.272 . Daraus ergibt sich für den Umfang: u = 16 ⋅ 2s = 16 4.6 2 − 4 2 ≈ 36.345 , gerundet 36. Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 17 Falsche Lösungswege Die Figur suggeriert, dass die Spitze des eingezeichneten gleichschenkligen Dreieckes der Mittelpunkt des Achteckes ist. Dies ist falsch, wie eine maßstäbliche Zeichnung zeigt. 4,6 cm 4,6 cm 4,0 cm Maßstäbliche Zeichnung Literatur [Gouvêa 2004] Geouvêa, Fernando Q.: Octagon Feedback. Focus, The Newsletter of the Mathematical Association of America, February 2004, Volume 24, Number 2. p. 18-19 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 18 23 Regelmäßiges Achteck a) Welchen Umfang hat ein regelmäßiges Achteck mit Umkreisradius r = 4.6 cm? b) Welchen Umfang hat ein regelmäßiges Achteck mit Inkreisradius ρ = 4 cm ? Ergebnis a) u ≈ 28.1655 cm b) u ≈ 26.5097 cm Lösungsweg ( ) ( ) a) u = 16 ⋅ 4.6sin 2π b) u = 16 ⋅ 4 tan 2π 16 16 24 Gleichwinkliges Achteck Welchen Umfang hat das Achteck gemäß Figur? M 4.6 cm 4.6 cm 4 cm Achteck Die Spitze des gleichschenkligen Dreieckes ist das Zentrum des Achteckes, alle Innenwinkel des Achteckes sind gleich groß. Das Achteck hat einen Umkreis und vier Symmetrieachsen, aber keinen Inkreis. Ergebnis u ≈ 27.9500 cm Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung Lösungsweg Bezeichnungen gemäß Skizze: α 4.6 cm β 4.6 cm 4 cm Lösungsfigur ( ) 4 ≈ 29.5918° α = arccos 4.6 β = 45° − α u = 8 ⋅ 4.6 ⋅ (sin(α ) + sin(β )) 19 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 25 Nährungskonstruktion des Neuneckes Wir arbeiten in einem quadratischen 20 × 20 -Raster gemäß Figur. Näherungskonstruktion des Neuneckes 20 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 21 Beschreibung Bezeichnungen gemäß Figur. A B S I T C H M R P D G E Q F Bezeichnungen Wir schneiden den Umkreis mit der Gitterlinie PQ und erhalten D und G. Diese Punkte bilden zusammen mit A ein exaktes gleichseitiges Dreieck. Sie sind also auch für das Neuneck exakt. Nun müssten die 120°-Winkel mit Scheitel M gedrittelt werden, dies geht aber nicht mit Zirkel und Lineal. Ab hier also Näherungskonstruktion. Wir Konstruieren den Punkt T gemäß Figur und zeichnen dann Kreise um D und G durch T. Schnitt mit dem Umkreis ergibt näherungsweise die Eckpunkte B, F, E, I. Die Punkte C und H erhalten wir über die Winkelhalbierenden von BMD und GMI . Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 22 Genauigkeit: Die Sektorwinkel mit Scheitel M müssten alle 40° messen. Tatsächlich ist aber: Winkel AMB BMC CMD DME Größe 40.0059° 39.9970° 39.9970° 40.0059° EMF FMG GMH 39.9982° 40.0059° 39.9970° HMI IMA 39.9970° 40.0059° 26 Etwas gröbere Näherungskonstruktion des Neuneckes Wir arbeiten in einem quadratischen 10 × 10 -Raster gemäß Figur. Näherungskonstruktion des Neuneckes Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 23 Beschreibung Bezeichnungen gemäß Figur. A I B R S C H M D P G E F Q Bezeichnungen Zunächst zeichnen wir mit dem Halbkreis PMQ die beiden Punkte D und G. Diese Punkte bilden zusammen mit A ein exaktes gleichseitiges Dreieck. Sie sind also auch für das Neuneck exakt. Nun zeichnen wir die beiden Kreise um D und G durch die respektiven Rasterpunkte R und S. Schnitt mit dem Umkreis ergibt näherungsweise die Eckpunkte B, F, E, I. Die Punkte C und H erhalten wir über die Winkelhalbierenden von BMD und GMI . Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 24 Genauigkeit: Die Sektorwinkel mit Scheitel M müssten alle 40° messen. Tatsächlich ist aber: Winkel AMB BMC CMD DME Größe 39.9742° 40.0129° 40.0129° 39.9742° EMF FMG GMH 40.0516° 39.9742° 40.0129° HMI IMA 40.0129° 39.9742° Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 25 27 Regelmäßiges Zwölfeck a) Gesucht ist der Flächeninhalt des regelmäßigen Zwölfeckes, ausgedrückt durch seinen Umkreisradius r. Was ist am Resultat erstaunlich? Tipp zur Berechnung des Flächeninhaltes: Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt AΔ = 12 ab sin (γ ) . b) Lässt sich das Resultat durch ein Puzzle illustrieren? Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 26 Ergebnis a) A = 3r 2 . Erstaunlich ist der ganzzahlige Faktor 3. b) Es gibt natürlich verschiedene Lösungen. Hier ein Beispiel. Gibt es eine Lösung mit weniger als 9 Puzzle-Teilen? 1 6 7 2 3 4 5 8 9 6 2 3 5 8 7 9 1 4 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 28 Regelmäßiges Zwölfeck und Dreiecke Sind die eingezeichneten Dreiecke regelmäßig? Regelmäßige Dreiecke? Ergebnis Ja. Beweis durch Winkelüberlegung. 27 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 28 29 Regelmäßiges Zwölfeck und Diagonalen Schneiden sich die vier eingezeichneten Diagonalen des regelmäßigen Zwölfeckes alle im selben Punkt? Gehen die Diagonalen durch denselben Punkt? Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 29 Ergebnis Ja Lösungsweg Winkel- und Seitenüberlegungen in den eingezeichneten Dreiecken. Überlegungsfigur 30 Unterteilung des Zwölfeckes Wie lässt sich ein regelmäßiges Zwölfeck in kongruente gleichseitige Dreiecke und Quadrate unterteilen? Lösung Unterteilung in gleichseitige Dreiecke und Quadrate Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 31 Zwölfeck-Puzzle Wie lassen sich die 24 Dreiecke zu einem regelmäßigen Zwölfeck zusammensetzen? Bauteile Ergebnis Zerlegung des Zwölfeckes 30 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 32 Zwölfeck-Puzzle Wie lassen sich die 48 Dreiecke zu einem regelmäßigen Zwölfeck zusammensetzen? Bauteile 31 Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 32 Ergebnis Zerlegung des Zwölfeckes 33 Konstruktion des regelmäßigen 15-Eckes Wie kann das regelmäßige 15-Eck konstruiert werden? Bearbeitung Die Zahl 15 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 3 und 5. Also probieren wir es mit dem regelmäßigen Dreieck und dem regelmäßigen Fünfeck. Wir zeichnen diese in denselben Umkreis mit der gemeinsamen Ecke A. Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 33 A C 72° M 48° B Dreieck und Fünfeck Das regelmäßige Dreieck hat den Zentriwinkel BMA = 120° , das regelmäßige Fünfeck den Zentriwinkel CMA = 72° . Daraus ergibt sich der Differenzwinkel BMC = 48° . Denkpause: Für das 15-Eck brauchen wir einen Zentriwinkel von 24°. Wir können also den Winkel BMC = 48° halbieren und sind über dem Berg. Eleganter geht es so: Wir spiegeln B an MC, den Spiegelpunkt nennen wir D. Dann ist DMA = 72° − 48° = 24° . Daher ist die Strecke AD die Seitenlänge des 15-Eckes. A D 24° C M B 15-Eck Durch fortlaufendes Halbieren des 24°-Winkels erhalten wir das 30-Eck, 60-Eck, 120Eck und so weiter. 34 Wechselseitiges Abtragen Gegeben sind zwei Kreise k0 und k1 mit dem gemeinsamen Radius r. Beginnen Sie mit einem Startpunkt P0 auf k0 zeichnen Sie einen Zickzackzug P0 P1P2 … von Strecken der Länge r, so dass die Punkte P0 , P1 , P2 und so weiter abwechslungsweise auf den Kreisen k0 und k1 liegen. Feststellung? Lässt sich die Feststellung beweisen? Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 34 k1 M1 k0 M0 Wechselseitiges Abtragen Ergebnis Es ist P6 = P0 (Schließungsfigur). Das Sechseck P0 P1P2 P3P4 P5 ist gleichseitig, aber nicht gleichwinklig und daher nicht regelmäßig. Es ist aber punktsymmetrisch. Lösungsweg Verbinden mit den Mittelpunkten hilft zum Nachdenken. Es entsteht ein „Würfel“. Hans Walser: Modul 206, Regelmäßige Vielecke. Lernumgebung 35 P5 k1 M1 P0 P4 k0 P1 M0 P3 P2 Figur zum Nachdenken
