Unterlagen für das Physikalische Praktikum für Chemiker, Ökologen
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Unterlagen für das Physikalische Praktikum für Chemiker, Ökologen und Bautechniker SS98 Inhaltsverzeichnis M6 – PHYSIKALISCHES PENDEL............................................................................................................. 1 1. GRUNDLAGEN ............................................................................................................................................... 1 1.1) Vorbereitungsgegenstände..................................................................................................................... 1 1.2) Literatur................................................................................................................................................ 1 2. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG .............................................................................................. 1 2.1) Ermittlung des Trägheitsmomentes aus der Schwingungszeit ................................................................. 1 2.2) Berechnung des Trägheitsmomentes aus der Geometrie der Körper....................................................... 2 M10 – DREHPENDEL................................................................................................................................... 4 1 GRUNDLAGEN ................................................................................................................................................ 4 1.1) Vorbereitungsgegenstände..................................................................................................................... 4 1.2) Literatur................................................................................................................................................ 4 2. VERSUCHSDURCHFÜHRUNG UND AUSWERTUNG .............................................................................................. 4 2.1) Untersuchung der freien, gedämpften Schwingung; Messung des Abklingkoeffizienten .......................... 5 2.2) Erzwungene Schwingung, Resonanzkurve .............................................................................................. 6 E2_1 - OHMSCHES GESETZ..................................................................................................................... 8 1. GRUNDLAGEN ............................................................................................................................................... 8 2. EXPERIMENT ................................................................................................................................................. 8 2.1) Widerstandmessung ............................................................................................................................... 8 2.2) Widerstandswürfel ................................................................................................................................. 9 3. AUSWERTUNG ............................................................................................................................................... 9 3.1) Vergleichen Sie die gemessenen Innenwiderstände mit den Werten im Digitalblatt................................ 9 3.2) Theoretischer Wert des Widerstandswürfels........................................................................................... 9 E2_2 - WHEATSTONESCHE BRÜCKE...................................................................................................10 1. GRUNDLAGEN ..............................................................................................................................................10 2.1) Widerstandswürfel ................................................................................................................................10 2.2) Zwei unbekannte Widerstände ..............................................................................................................10 3. AUSWERTUNG ..............................................................................................................................................10 3.1) Berechnung der Widerstände und Vergleich mit den Messungen...........................................................10 3.2) Bewertung der Widerstandsmeßmethoden.............................................................................................10 4. HINWEISE .....................................................................................................................................................10 E3_1 – HOCH- UND TIEFPAß ....................................................................................................................12 1. LERNZIELE ...................................................................................................................................................12 2. VORBEREITUNGSGEGENSTÄNDE ....................................................................................................................12 3. LITERATUR...................................................................................................................................................12 4. MEßAUFGABEN ZUR RL-SCHALTUNG .............................................................................................................12 4.1) Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz ...................................................................................13 4.2) Stromstärke als Funktion der Frequenz.................................................................................................14 5. MEßAUFGABEN ZUR RC-SCHALTUNG.............................................................................................................14 5.1) Stromstärke als Funktion der Frequenz.................................................................................................15 5.2) Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz ...................................................................................16 6 ANHANG .......................................................................................................................................................16 6.1) Komplexe Zahlen..................................................................................................................................16 6.2) Wechselstrom .......................................................................................................................................17 6.3) Kondensator .........................................................................................................................................18 6.4) Spule ....................................................................................................................................................19 6.5) Spannungsteiler....................................................................................................................................20 6.6) Erste RC-Schaltung ..............................................................................................................................21 6.7) Zweite RC-Schaltung ............................................................................................................................22 Universität - GH Essen Stand: 1.4.97 Fachbereich 7 - Physik PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR CHEMIKER UND ÖKOLOGEN M6 – Physikalisches Pendel 1. Grundlagen 1.1) Vorbereitungsgegenstände Grundbegriffe der harmonischen (d.h. sinusförmigen) Schwingung: Schwingungszeit oder Periodendauer, Frequenz, Kreisfrequenz, Amplitude. Anschauliche Bedeutung des Begriffes Schwerpunkt; Massenträgheitsmoment, Drehimpuls, Winkelbeschleunigung, Drehmoment; Schwingungsgleichung des ungedämpften physikalischen Pendels, zugehörige Kreisfrequenz und Schwingungszeit, Ermittlung des Trägheitsmomentes aus der Schwingungszeit. Trägheitsmoment eines homogenen Quaders und eines langen, dünnen Stabes bezüglich einer Achse durch seinen Schwerpunkt, Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders bezüglich der Zylinderachse, Steinerscher Satz. 1.2) Literatur Dobrinski, Krakau, Vogel: Physik für Ingenieure Kap. 1.3.2.3; 1.5.2, 1.5.2.1, 1.5.2.2, 1.5.2.4, 1.5.3.3, 1.5.3.4 5.1, 5.1.1, 5.1.2, 5.1.2.1, 5.1.3.2; Hering, Martin, Stohrer: Physik für Ingenieure Kap. 5.1.1, 5.1.2.3 (Physikalisches Pendel); 2.8.1, 2.8.2.1, 2.8.2.2, 2.8.4.1, 2.9.3, 2.9.5 W. Walcher: 2. Praktikum der Physik Kap. 7.1; 2.7.0, 2.7.0.1, 2.7.0.2 Versuchsdurchführung und Auswertung Geräte: Reibungsarm aufgehängtes physikalisches Pendel, bestehend aus: einer langen, quaderförmigen Metallstange und einer zylindrischen, auf der Metallstange verschiebbaren Metallscheibe. Stoppuhr, Bandmaß, Schieblehre. 2.1) Ermittlung des Trägheitsmomentes aus der Schwingungszeit 1) Bestimmen Sie die Masse des physikalischen Pendels mit der elektrischen Waage; dabei müssen Sie die Metallstange und die verschiebbare Metallscheibe einzeln wiegen, da die Gesamtmasse den Meßbereich der Waage überschreitet. Da die Waage auf 1/100 g genau mißt, ist der Meßfehler der Massenbestimmung als vernachlässigbar klein anzusehen. 2) Befestigen Sie die Scheibe so am unteren Ende der Stange, daß dieses Ende und der Rand der Scheibe bündig sind, und ermitteln Sie den Schwerpunkt dieser Anordnung, indem Sie das Pendel - z.B. auf der Schneide eines Lineals - ausbalancieren. Messen Sie den Abstand Seite 1 s des Schwerpunktes vom Aufhängepunkt des Pendels. Überlegen Sie sich, mit welcher Genauigkeit (Angabe in mm) Sie den Schwerpunkt bestimmen und den Abstand s messen können. Diese Überlegung liefert so den Fehler δs der Meßgröße s. 3) Hängen Sie das Pendel auf, versetzen es in Schwingung, wobei eine kleine Amplitude nicht größer als ca. 50 - erwünscht ist, und messen Sie mit der Stoppuhr die Zeit für 20 Schwingungen. Wählen Sie als Anfangs- und Endpunkt ihrer Messung jeweils einen Nulldurchgang der Schwingung. Schätzen Sie ab, welchen zeitlichen Fehler Sie beim Ingangsetzen und Anhalten der Stoppuhr insgesamt machen; dieser geschätzte Wert, dividiert durch 20, ist der Fehler δT der Schwingungszeit T. 4) Messen Sie den Abstand s2 des Mittelpunktes der Scheibe vom Aufhängepunkt. 5) Wiederholen Sie die Punkte 2) bis 4) nach Anweisung des Assistenten für eine andere Position der Scheibe auf der Stange. 6) Bestimmen Sie das Trägheitsmoment des Pendels für jede der beiden geometrischen Anordnungen mit Hilfe der Gleichung T = 2π J , mgs wobei T die Schwingungszeit, J das Trägheitsmoment, m die Masse, s der Schwerpunktsabstand und g = 9,81 ms2 die Erdbeschleunigung ist. 7) Schätzen Sie den größtmöglichen relativen Fehler von J ab gemäß δJ δs δT = +2 , J s T und berechnen Sie daraus den absoluten Fehler δJ. Geben Sie Ihr Endergebnis in der Form J ± δJ an. Sinnvoll runden! 2.2) Berechnung des Trägheitsmomentes aus der Geometrie der Körper 1) Messen Sie mit einem Bandmaß die Länge der Metallstange. Da ihre Masse m1 aus dem vorigen Abschnitt schon bekannt ist, können Sie nun das Trägheitsmoment bezüglich einer Achse, die senkrecht zur Längsrichtung der Stange und durch ihren Schwerpunkt verläuft, gemäß J 1S = 1 m 1 L2 12 berechnen. Solange die Querabmessungen der Stange sehr klein gegenüber ihrer Länge sind (D<<L, siehe Abbildung), ist es unerheblich, ob der Querschnitt der Stange rund oder - wie im vorliegenden Fall - rechteckig ist. 1 Stab (D<<L) J S = m L2 12 2) Da die Stange homogen ist, liegt ihr Schwerpunkt in ihrer Mitte. Ermitteln Sie den Abstand s1 dieses Schwerpunktes vom Aufhängepunkt des Pendels. Berechnen Sie mit Hilfe des Steinerschen Satzes J 1 = J 1 S + m 1 s 12 das Trägheitsmoment der Stange bezüglich der Aufhängeachse. 3) Messen Sie den Durchmesser D = 2R der Scheibe. Da die Massenverteilung innerhalb Seite 2 des Volumens nicht gleichmäßig ist, gilt die Formel für das Trägheitsmoment eines homogenen Zylinders (siehe Abbildung) nur näherungsweise: J 2S ≈ JS = 4) 1 m 2R 2 2 1 m R 2 Vollzylinder 2 Der Abstand s2 des Schwerpunktes der Scheibe vom Aufhängepunkt des Pendels wurde bereits unter Punkt 4) des vorigen Abschnitts gemessen. Berechnen Sie jetzt mit Hilfe des Steinerschen Satzes J 2 = J 2 S + m 2s 22 das Trägheitsmoment der Scheibe bezüglich der Aufhängeachse des Pendels. Vergleichen Sie die Größe der beiden Summanden auf der rechten Seite der letzten Gleichung, und begründen Sie, weshalb die Näherung für J2S keinen nennenswerten Fehler des Zahlenwertes von J2 verursacht. 5) Berechnen Sie das gesamte Trägheitsmoment des Pendels: J = J1 + J 2 . Eine Fehlerabschätzung für diesen berechneten Wert wird nicht verlangt. 6) Vergleichen Sie den berechneten Wert mit dem vorher aus der gemessenen Schwingungszeit ermittelten Wert. Seite 3 Universität - GH Essen Stand: 1.4.97 Fachbereich 7 - Physik PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR CHEMIKER UND ÖKOLOGEN M10 – Drehpendel 1 Grundlagen 1.1) Vorbereitungsgegenstände Freie gedämpfte Schwingung bei geschwindigkeitsproportionaler Reibung, Abklingkoeffizient (auch Abklingkonstante oder Dämpfungskonstante genannt), Dämpfungsverhältnis, logarithmisches Dekrement, Kreisfrequenz der ungedämpften und der gedämpften Schwingung. Erzwungene Schwingung bei sinusförmiger Erregung, Erregerfrequenz, qualitative Vorstellung vom Einschwingvorgang und vom stationären Zustand, Resonanz, Resonanzfrequenz, Resonanzkurve (auch Amplitudenresonanzfunktion oder Frequenzgang der Amplitude genannt), qualitative Abhängigkeit des Maximums und der Halbwertsbreite der Resonanzkurve vom Abklingkoeffizienten, Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator bei niedrigen und bei hohen Frequenzen sowie bei der Resonanzfrequenz. Drehpendel, rücktreibendes Drehmoment der Schneckenfeder, Richt- oder Direktionsmoment Bitte mitbringen: Millimeterpapier, Kurvenlineal. 1.2) Literatur Dobrinski, Krakau, Vogel: Hering, Martin, Stohrer: W. Walcher: 2. Physik für Ingenieure Kap. 5.1.4.1, 5.1.6, 5.1.6.1, 5.1.6.2. Physik für Ingenieure Kap. 5.1.2.6, 5.1.3. Praktikum der Physik Kap. 7.2, 7.3; 2.7.4.1. Versuchsdurchführung und Auswertung Geräte: Drehpendel mit Wirbelstrombremse und Kurbeltrieb, Digitalmultimeter und Stoppuhr. Das Drehpendel besteht aus einem Kupferrad und einer Schneckenfeder, die mit ihrem einen Ende an der Radnabe und mit dem anderen Ende an einem (zunächst) festen Punkt neben dem Rad befestigt ist. Wenn die Feder ungespannt ist, befindet sich das Pendel in seiner Gleichgewichtslage (auch Ruhelage oder Nullage genannt). Wird das Pendel aus seiner Gleichgewichtslage ausgelenkt, so wird die Feder elastisch verformt, wodurch ein rücktreibendes Drehmoment wirksam wird, das das Pendel in seine Ruhelage zurückbringt, sobald man es losläßt. Dabei schwingt das Pendel jedoch aufgrund seiner Massenträgheit über seine Gleichgewichtslage hinaus und führt eine freie Schwingung aus. Seine Frequenz ist im ungedämpften Fall gegeben durch Seite 4 ω0 = D J (1) wobei J das Trägheitsmoment des Kupferrades und D das Direktionsmoment (Richtmoment, Winkelrichtgröße) der Schneckenfeder ist. Wird das zunächst als feststehend angenommene Ende der Schneckenfeder periodisch hin- und herbewegt, so wird das Pendel zu einer erzwungenen Schwingung angeregt. Eine technische Anwendung solch eines Drehpendels ist die Unruhe einer mechanischen Uhr. Bei dem im Praktikum benutzten Drehpendel läuft das Kupferrad mit seinem äußeren Bereich zwischen den Polschuhen eines Elektromagneten und damit durch ein Magnetfeld hindurch. Infolgedessen werden in dem Kupferrad Wirbelströme induziert, und die Kraftwirkung zwischen diesen Strömen und dem Magnetfeld ist so, daß ein bremsendes Drehmoment ausgeübt wird. Dieses ist der momentanen Winkelgeschwindigkeit des Drehpendels proportional. Die Kreisfrequenz ω = 2π/T der gedämpften Schwingung ist gegeben durch ω = ω 02 − β 2 (2) wobei β der Abklingkoeffizient ist. 2.1) Untersuchung der freien, gedämpften Schwingung; Messung des Abklingkoeffizienten 1) Bei allen Messungen zur freien, gedämpften Schwingung bleibt der Kurbeltrieb ausgeschaltet. Justieren Sie die Ruhelage des Drehpendels: Stellen Sie hierzu durch Drehen am Exzenter des Kurbeltriebes von Hand den Pfeil am Pendel genau auf den Nullpunkt der Winkelskala ein. Dieser Skala liegt eine willkürliche Einheit, die man einfach Skalenteil (abgekürzt 1 Skt) nennt, zugrunde. Die Amplitude der Schwingung wird also in Skt gemessen. 2) Stellen Sie die Spannungsversorgung UD der Wirbelstrombremse mit einem Voltmeter nach Anweisung des Assistenten ein. Dabei sollte ein Wert von 8 V nicht über längere Zeit überschritten werden, um die Wicklung des Elektromagneten nicht mit einem zu großen Strom zu belasten. Für die Versuchsdurchführung wird eine Spannung UD zwischen 2,5 V und 3 V empfohlen. 3) Durch Auslenken des Pendels aus seiner Gleichgewichtslage und Loslassen wird die Schwingung in Gang gebracht. Messen Sie mit der Stoppuhr die Zeit für zehn Schwingungen. Beginnen Sie mit der Zeitmessung beim ersten Nulldurchgang, und zählen Sie die Zahl gleichsinniger Nulldurchgänge (Zählbeginn mit Null!). Schätzen Sie ab, welchen zeitlichen Fehler Sie beim Ingangsetzen und Anhalten der Stoppuhr insgesamt machen; dieser geschätzte Wert, dividiert durch 10, ist der Fehler δT der Schwingungszeit T. 4) Messen Sie die zeitliche Amplitudenabnahme der gedämpften Schwingung. Lenken Sie zu diesem Zweck das Pendel genau um die Anfangsamplitude A0 = 19 Skt aus und lassen es los. Konzentrieren Sie sich auf die Stelle, an der auf der gleichen Seite der Winkelskala die nächste Maximalauslenkung gleichen Vorzeichens A1 zu erwarten ist, lesen Sie den Meßwert A1 ab und notieren ihn. Zur Ermittlung von A2 beginnen Sie wieder genau mit A0 = 19 Skt, konzentrieren sich auf A2 (wieder auf der gleichen Seite der Winkelskala) und lesen A2 ab. So fahren Sie fort, bis Sie alle Amplituden bis A8 gemessen haben. 5) Berechnen Sie das Dämpfungsverhältnis Seite 5 kn = A n −1 = e βT An (3) für alle vorkommenden n und tragen diese k-Werte in Ihre Meßtabelle ein. Wenn dabei starke zahlenmäßige Schwankungen vorkommen, haben Sie nicht sorgfältig genug gemessen und müssen eventuell einzelne Amplitudenwerte durch nochmalige Messung überprüfen. In obiger Gleichung ist ? der Abklingkoeffizient und T die Periodendauer. 6) Aus Gleichung (3) kann man das logarithmische Dekrement Λ = βT = ln A n −1 An (4) berechnen, und daraus könnte man gemäß β = Λ/T den gesuchten Dämpfungskoeffizienten bestimmen. Wir wollen jedoch eine Methode anwenden, die eine höhere Auswertegenauigkeit erlaubt. Es gilt A 0 A 0 A1 A = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n −1 = k n = e nΛ . (5) A n A1 A 2 An Daraus folgt: Λn = 1 A ⋅ ln 0 . n An (6) Berechnen Sie jetzt alle Zahlenwerte Λ1 bis Λ8 und dann den Mittelwert Λ= 1 N ∑ Λn N n =1 (7) (N = 8) und den Standardfehler des Mittelwertes N δΛ = 6) ( ∑ Λ − Λn n =1 ) N(N − 1) 2 (8) Bestimmen Sie den Dämpfungskoeffizienten β= Λ T (9) und schätzen Sie den relativen Fehler von β ab gemäß δβ δΛ δT = + β T Λ (10) Berechnen Sie daraus den absoluten Fehler δβ, und geben Sie Ihr Endergebnis in der Form β ± δβ an. Sinnvoll runden! 2.2) Erzwungene Schwingung, Resonanzkurve 1) Erregen Sie das System mit Hilfe des Rotors und Kurbeltriebes zu erzwungenen Schwingungen. Nehmen Sie die Resonanzkurve auf, indem Sie die Amplitude in Abhängigkeit von der Erregerfrequenz fE messen. Diese ist gleich der Umdrehungsfrequenz des Rotors. Beginnen Sie mit einer kleinen Frequenz, bei der die Amplitude etwa 1 Skt beträgt. Die Amplitudenmessung erfolgt durch Ablesen der Maximalauslenkung auf beiden Seiten der WinkelSeite 6 skala und anschließende Mittelung. Die Schwingungszeit TE ist ein Zehntel der Zeit, die Sie mit der Stoppuhr für zehn Umdrehungen des Rotors messen. Für die Frequenz gilt dann fE = 1/TE. Steigern Sie schrittweise die Erregerfrequenz, und warten Sie jedesmal, bis der Einschwingvorgang abgeklungen ist und das Pendel mit konstanter Amplitude schwingt. Wählen Sie sehr kleine Frequenzschritte, sobald sich die Umdrehungszeit des Rotors der im vorigen Abschnitt gemessenen Periodendauer der freien Schwingung nähert. Die Amplitude wird bei der Resonanzfrequenz ωR = (ω 2 0 − 2β β2 ) (11) maximal, und Sie müssen sicher sein, daß Sie aus Gründen der späteren Auswertegenauigkeit dieses Maximum auch wirklich „erwischen“. Nach Überschreiten des Maximums steigern Sie die Frequenz zunächst in kleinen, dann in größeren Schritten weiter, bis die Amplitude wieder auf 1 Skt abgenommen hat. 2) Tragen Sie die Amplitude als Funktion der Erregerfrequenz auf Millimeterpapier auf, und zeichnen Sie mit einem Kurvenlineal die Resonanzkurve. Ermitteln Sie in Ihrer graphischen Darstellung diejenigen Frequenzen f1 und f2, bei denen die Amplitude genau die Hälfte des Maximalwertes beträgt, und berechnen Sie die Halbwertsbreite ∆f = f2 - f1. Die Gestalt der Resonanzkurve hängt von der Größe des Abklingkoeffizienten ab. Für kleines β, d.h. für schwache Dämpfung ist die Kurve schmal und hoch, während sie für stärkere Dämpfung eine größere Halbwertsbreite, aber kein so hohes Maximum besitzt. Die Größen β und ∆f sind zueinander proportional. 3) Berechnen Sie β aus der Gleichung β= π ⋅ ∆f 3 . (12) Schätzen Sie ab, wie genau Sie die Resonanzkurve aufgrund der gemessenen Werte zeichnen können und wie genau Sie aus Ihrem Diagramm die Halbwertsbreite ablesen können. Diese Abschätzung führt zu einem Fehler δ(∆f) und auch zum Fehler des Abklingkoeffizienten δβ = π ⋅ δ(∆f ) 3 . (13) Geben Sie Ihr Ergebnis wie üblich in der Form β ± δβ an, und runden Sie sinnvoll. 4) Stellen Sie fest, ob die Zahlenwerte für β, die aus der freien, gedämpften Schwingung und aus der erzwungenen Schwingung bestimmt wurden, innerhalb der Fehlergrenzen übereinstimmen. Seite 7 Universität - GH Essen Stand: 1.4.97 Fachbereich 7 - Physik PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR CHEMIKER UND ÖKOLOGEN E2_1 - Ohmsches Gesetz 1. Grundlagen Das Ohmsche Gesetz als wichtiger Spezialfall (Widerstand und Leitwert); Kirchhoffsche Gesetze; Messung des Innenwiderstandes eines Strom- und Spannungsmessers; Strom- und Spannungsfehlerschaltung bei der Messung eines Widerstandes. Literatur: Walcher: Praktikum der Physik, Kap. 5.0, 5.1.1, 5.1.4. Gerthsen: Physik (12. Auflage), Kap. 6.3.3. Alonso-Finn: Fundamental University Physics II 2. Experiment Geräte: Netzgerät (Semiprofi 5000), 2 Drehspulinstrumente (Multavi 8n), Widerstandswürfel, Widerstände. 2.1) Widerstandmessung - Bestimmung des Widerstandes eines Spannungsmessers (Multavi 8n) für verschiedene Spannungsbereiche 3 Volt bis 30 Volt; - Bestimmung des Widerstandes eines Strommessers für Ströme bis etwa 200 mA unter Verwendung folgender Schaltung. A R V Wählen Sie den Schutzwiderstand R entsprechend dem Meßbereich des Amperemeters. Wie müssen R und die Spannung der Netzversorgung gewählt werden, damit der Schutzwiderstand thermisch nicht zu hoch belastet wird? Seite 8 2.2) Widerstandswürfel Bestimmung des Widerstandes eines Widerstandswürfels durch Strom- und Spannungsmessung unter Berücksichtigung des Innenwiderstandes der Meßgeräte (die Anschlüsse für den Widerstand sollen dabei raumdiagonal gegenüberliegen). Führen Sie die Messung mit zwei unterschiedlichen Schaltungen durch (Stromfehlermessung und Spannungsfehlermessung). Welche Methode ist geeignet? 3. Auswertung 3.1) Vergleichen Sie die gemessenen Innenwiderstände mit den Werten im Digitalblatt. 3.2) Theoretischer Wert des Widerstandswürfels Vergleichen Sie den gemessenen Meßwert zu 2.2) (Fehlerrechnung!) auch mit dem Wert, der sich durch eine Analyse des Widerstandsnetzwerks bei bekanntem Einzelwiderstand (mittels Farbcode bestimmen!) ergibt. Gehen Sie dazu von folgendem Ersatzschaltbild für den Widerstandswürfel aus (wieso?). Führen Sie auch dazu eine Fehlerrechnung durch (den Fehler eines Einzelwiderstands können Sie aus dem Farbcode ablesen!) 4. Hinweise Die Geräte nicht vor Überprüfung der Schaltung durch den Assistenten einschalten! Seite 9 Universität - GH Essen Fachbereich 7 - Physik Stand: 1.4.97 PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR CHEMIKER UND ÖKOLOGEN E2_2 - Wheatstonesche Brücke 1. Grundlagen Ohmsches Gesetz in anderer Form (Zusammenhang zwischen den Vektoren Stromdichte und elektrische Feldstärke); Kirchhoffsche Gesetze; Messung eines Widerstandes mit Hilfe einer Wheatstone-Brücke (Spannungsteilerschaltung); Messung unbekannter Widerstände. Literatur: Walcher: Praktikum der Physik, Kap. 5.0, 5.1.1, 5.1.4. Gerthsen: Physik (12. Auflage), Kap. 6.3.3. Alonso-Finn: Fundamental University Physics II 2. Experiment Geräte: Netzgerät (Semiprofi 5000), 2 Drehspulinstrumente (Multavi 8n), Wheatstone-Brücke, Widerstandswürfel, Widerstände. 2.1) Widerstandswürfel Bestimmen Sie den Widerstand eines Widerstandswürfels mit Hilfe einer Wheatstone-Brücke. Verwenden Sie dazu zwei Widerstandsdekaden und einen festen Widerstand. 2.2) Zwei unbekannte Widerstände Bestimmen Sie zwei unbekannte Widerstände mit Hilfe einer Wheatstone-Brücke. 3. Auswertung 3.1) Berechnung der Widerstände und Vergleich mit den Messungen Führen Sie auch dazu eine Fehlerrechnung durch (den Fehler eines Einzelwiderstands können Sie aus dem Farbcode ablesen!) 3.2) Bewertung der Widerstandsmeßmethoden Welche Meßmethode (Stromfehlermessung, Spannungsfehlermessung, <s. CE01> Wheatstonesche-Brücke) ist für welchen Widerstand besser geeignet? 4. Hinweise Die Geräte nicht vor Überprüfung der Schaltung durch den Assistenten einschalten! Seite 10 Universität - GH Essen Stand: 1.4.97 Fachbereich 7 - Physik PHYSIKALISCHES PRAKTIKUM FÜR CHEMIKER E3_1 – Hoch- und Tiefpaß 1. Lernziele Verständnis von Wechselstromwiderständen und Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Verständnis und Dimensionierung von Hoch- und Tiefpaß. 2. Vorbereitungsgegenstände Wechselstrom, Momentanwert und Scheitelwert von Strom und Spannung, kapazitiver Widerstand, induktiver Widerstand, Hochpaß, Tiefpaß. 3. Literatur Trautwein: Harten: Haase: Gerthsen, Kneser, Vogel: 4. XIV. 9.1 – 6. 5.12, 18 – 20 Physikalische Grundlagen; AVG, 1973. Physik; Springer, 1974. Meßaufgaben zur RL-Schaltung Bestimmen Sie an folgender Schaltung die Stromstärke I durch Messung des Spannungsabfalls Ua am Widerstand R=100 Ω. Wählen Sie Û 0 = 3 V (Amplitude). Messen Sie die Phasenverschiebung ∆ϕ von I zu U0 und die Stromstärke I bei den Frequenzen 0.1, 0.3, 1, 3, 10, 30 und 100 kHz mit Hilfe eines Oszillographen. Beachten Sie, daß die Eingangsspannung U0 durch Veränderung der Last nicht konstant bleibt. Regeln Sie U0 so nach, Seite 11 daß bei jeder Messung Û 0 = 3 V beträgt. Achten Sie darauf, daß die Signale U1 und U0 am Oszillosgraphen in der Stellung „AC“ eingekoppelt werden und die Null-Linien der Eingänge deckungsgleich sind. Ermitteln Sie die Grenzfrequenz fg der Schaltung. Darunter versteht man diejenige Frequenz, 1 (also das ungefähr 0,7-fache) der Eingangsspanbei der die Ausgangsspannung U1 das 2 nung U0 beträgt. Messen Sie auch die zu fg gehörende Phasenverschiebung ∆ϕg. fg ∆ϕg = f in kHz U1 in V = ∆ ϕ in Skt I=U1/R 3600 in Skt ∆ ϕ in Grad I in mA 0,1 0,3 1 3 10 30 100 4.1) Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz 90,00 in Grad 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0,00 100 10000 in Hz Die Phasenverschiebung ∆ϕ ist positiv, wenn die Spannung U0 dem Strom I voreilt, d. h. wenn die Spannung U0 ihr Maximum früher erreicht als der Strom I. Seite 12 Der Phasenwinkel ∆ϕ ist als Funktion der Frequenz graphisch darzustellen. Schätzen Sie den Fehler ab, den Sie bei der Bestimmung der Phasenverschiebung bei 1 und 100 kHz machen und tragen Sie diesen Fehler als festen Balken in Ihre graphische Darstellung ein. 4.2) Stromstärke als Funktion der Frequenz Die Stromstärke I ist als Funktion der Frequenz graphisch darzustellen. 30 in mA 20 10 0 100 1000 in Hz 10000 Handelt es sich bei der untersuchten Schaltung um einen Hochpaß oder einen Tiefpaß? Antwort: _____________________ 5. Meßaufgaben zur RC-Schaltung Bestimmen Sie an folgender Schaltung die Stromstärke I durch Messung des Spannungsabfalls U1 am Widerstand R=220 Ω. Wählen Sie Û 0 = 3 V . Messen Sie die Phasenverschiebung ∆ϕ von I zu U0 und die Stromstärke I bei den Frequenzen 100, 30, 10, 3, 1, 0.3, Seite 13 100000 0.1 kHz mit Hilfe eines Oszillographen. Beachten Sie, daß die Eingangsspannung U0 durch Veränderung der Last nicht konstant bleibt. Regeln Sie U0 so nach, daß bei jeder Messung Û 0 = 3 V be0 trägt. ∆ϕg f in kHz U1 in V 360 in Skt ∆ ϕ in Grad I in mA ∆ ϕ in Skt Achten Sie darauf, daß die Signale U1 und U0 am Oszillographen in der Stellung „AC“ eingekoppelt werden und die Null-Linien der Eingänge deckungsgleich sind. 100 30 10 3 1 0,3 0,1 Messen Sie die Grenzfrequenz fg und die dazu gehörende Phasenverschiebung ∆ϕg. fg = und ∆ϕg = Phasenschiebung ∆ϕ ist negativ, wenn die Spannung U0 dem Strom I nacheilt, d. h. wenn die Spannung U0 ihr Maximum später erreicht als der Strom I. I=U1/R 5.1) Stromstärke als Funktion der Frequenz Die Stromstärke I ist als Funktion der Frequenz graphisch darzustellen. 20 in mA 15 10 5 0 100 1000 10000 in Hz 100000 Seite 14 5.2) Phasenverschiebung als Funktion der Frequenz Die Phasenverschiebung ∆ϕ ist als Funktion der Frequenz graphisch darzustellen. Schätzen Sie den Fehler ab, den Sie bei der Bestimmung der Phasenverschiebung bei 1 und 100 kHz machen und tragen Sie diesen Fehler als festen Balken in Ihre graphische Darstellung ein. 100 1000 10000 in Hz 0 in Grad -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80 -90 Handelt es sich bei der untersuchten Schaltung um einen Hochpaß oder einen Tiefpaß? Antwort: _____________________ 6 Anhang 6.1) Komplexe Zahlen Die Wurzel aus -1 kann im Bereich der reellen Zahlen nicht bestimmt werden; man definiert als Ergebnis die Zahl i. i = − 1 und i = -1 2 Die Zahl i nennt man imaginär. Imaginäre Zahlen sind Produkte von reellen Zahlen mit i. Reelle Zahlen stellt man in Form einer Zahlengeraden dar. Imaginäre Zahlen können auf dieser Geraden nicht dargestellt werden; sie benötigen eine eigene imaginäre Zahlengerade. Wenn man die Geraden senkrecht zueinander anordnet, entsteht eine Zahlenebene. Jeder Punkt in der Ebene stellt eine Zahl mit einem reellen Teil a und einem imaginären Teil i·b dar. Eine solche Zahl nennt man komplexe Zahl. Für eine komplexe Zahl Z gilt also: Z=a+bi Verwendet man den Abstand r und den Winkel α (entsprechend den Polarkoordinaten) um die Lage der komplexen Zahl Z in der Zahlenebene zu kennzeichnen, ergibt sich: Z = r cosα + i r sinα Aus der Mathematik ist der sehr wichtige Satz von Moivre bekannt, der besagt: Seite 15 100000 r·cos α + i r·sin α = r·e iα Dabei ist e die Eulersche Zahl (e = 2,7....). Demnach gilt auch: iα Z=re = a+bi Beide Darstellungen der komplexen Zahl sind gleichwertig. In der Darstellung mit Hilfe der Zahl e ergibt sich für α=0 eine rein reelle Zahl (also ohne imaginären Teil) mit dem Wert a: i·0 Z1 = a e = a 0 Für α=90 ergibt sich eine rein imaginäre Zahl mit dem Wert a·i: Z2 = a e i·90 Der Faktor e i·90 = a·i 0 gibt also nur die Drehung um den Winkel 90 bezogen auf die reelle Achse an. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl Z ist gleich dem Abstand r vom Ursprung. Der Zeichnung ist zu ent2 nehmen, daß r = (a2 + b2) ist. Z = a 2 + b 2 wegen r2 = a2 + b2 Man beachte, daß der Absolutbetrag der komplexen Zahl Z reell (d.h. i kommt nicht vor) und gleich dem Radius um den Ursprung r ist. Außerdem kann man sich klar machen, daß der Term eiα lediglich die Drehung von r in der komplexen Zahlenebene um den Winkel α bewirkt. Aus der Abbildung entnimmt man sofort: tan α = b/a Z = a 2 + b 2 und r2 = a2 + b2 v Den Absolutbetrag eines Vektors v berechnet man ähnlich. Ein Vektor in Koordinatendarstellung lautet: v v xe x + y e y 2 2 Die Länge des Vektors r ist gleich Wurzel aus (x + y ). Ist r der Radius eines Kreises um den Koordinatenurr r r sprung gilt: r = r e x cos α + r e y sin α 6.2) Wechselstrom Wechselstrom ändert sich periodisch. Man kann ihn also mit Hilfe einer Sinus oder Kosinus Funktion darstellen. Die Wechselspannung wird auf die gleiche Weise dargestellt. Zwischen Strom und Spannung kann es eine Phasenverschiebung α geben. I ≈ = I 0 sin ωt U ≈ = U 0 sin( ωt + α ) U ≈ und I ≈ sind Momentanspannung und Momentanstrom. U 0 und I 0 sind die Scheitelwerte. Unter Effektivwerten für Spannung und Strom versteht man: I eff = U I0 und U eff = 0 2 2 Seite 16 (Ohne Herleitung! Diese Festlegung liegt nahe, weil der zeitliche Mittelwert der Funktion sin ωt = 2 N = U ≈ ⋅ I ≈ = U eff ⋅ I eff mit U 0 =R I 0 U eff =R I eff 1 ist). 2 U ≈ =R I ≈ Am Widerstand R gilt für Wechselstrom das Ohmsche Gesetz wie bei Gleichstrom. Spannung und Strom sind in Phase. U≈ = R I≈ 6.3) Kondensator Am Kondensator gilt: Q = C·U d.h. wegen I = dQ dU folgt I = C dt dt Der Kondensator soll mit komplexen Zahlen behandelt werden. Für die Wechselspannung wird U ≈ = U 0 e i ( ωt + α u ) angesetzt. Es soll I berechnet werden. I=C dU dt I(t ) = iωCU 0e i ( ωt + α u ) mit I 0 = ω CU 0 I ( t ) = i I 0 e i ( ωt + α u ) Beachtet man, i I 0 = I 0 ⋅ e i I( t ) = I 0 ⋅ e π 2 i⋅ gilt, folgt: π 2 ⋅ e i⋅( α u + ωt ) oder I(t ) = I 0 ⋅ e π i ⋅( + α u + ωt ) 2 Daraus ergibt sich: αi = αu + π 2 Bei Wechselstrom ergibt sich also eine Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung. Die Rechnung mit komplexen Zahlen ermöglicht bei komplexeren Schaltungen die Phasenver- Seite 17 schiebung leichter zu berechnen. Die Phasenverschiebung ∆α = π . 2 Als Wechselstromwiderstand (Scheinwiderstand) definiert man: U( t ) ZC = = I (t ) U 0 ⋅ e i ( ωt + α u ) i π I 0 ⋅ e 2 ⋅ e i ( ωt + α u ) U 0 ⋅ e i ( ωt + α u ) ZC = i π 2 ω C U 0 ⋅ e ⋅ e i ( ωt+ α u ) RC = −i π e 2 −i = RC = = ωC ωC −i ωC mit dem Betrag X C = 1 . ωC Der Wechselstromleitwert ist G C = i ω C und hat den Betrag YC = ω C 6.4) Spule Für die Spule liefert das Induktionsgesetz für den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung: UL = L dI ≈ dt Die komplexe Rechnung liefert mit dem Ansatz I ≈ = I 0 ⋅ e i ( ωt +α i ) : U L = i ωL I 0 ⋅ e i ( ωt +α i ) mit U0 = ω L I0 Wegen i U 0 = U 0 ⋅ e i π 2 folgt: UL = U0 ⋅ e αu = α i + ZL = π i ( ωt+ α i + ) 2 π π bzw. α i = α u − 2 2 U(t ) i ω L I 0e i ( ωt+ α i ) = = RL I( t ) I 0 ⋅ e i ( ωt + α i ) Seite 18 RL = i ω L mit dem Betrag X L = ω L Der Strom hinkt der Spannung um I U π nach. Wegen U eff = 0 und I eff = 0 gilt auch 2 2 2 U eff U 0 = . Bei der Spule hat der Wechselstromwiderstand RL den I eff I0 U ωL I 0 1 1 XL = 0 = = ωL (s.o.) und der Leitwert G L = den Betrag YL = . I0 I0 RL ωL 6.5) Betrag Spannungsteiler U0 = U1 + U2 + U3 Die Spannungen verhalten sich wie die Widerstände; also Ausgangspannung U3 verhält sich zur Eingangsspannung U0 wie R3 zu R1+R2+R3 U3 U3 R3 = = U 0 U1 + U 2 + U 3 R 1 + R 2 + R 3 Seite 19 6.6) Erste RC-Schaltung Darstellung des Tiefpasses als Spannungsteiler und in Normaldarstellung. 1 Ua 1 iωC = = 1 Ue R + iωRC + 1 iωC Die Spannungen müssen sich zueinander verhalten wie ihre Absolutbeträge und die wie die Widerstände. Ua U a 1 = = 2 Ue Ue 1 + ω 2 (RC ) Wenn Ua = Ue 2 ist, nennt man den zugehörigen Wert der Frequenz f Grenzfrequenz fg (Definition!). Ua = Ue 1 2 = 1 1 + ω 2 (RC ) 2 1+ω2 C 2 R 2 = 2 bzw. 1 = ω2 C 2 R 2 ω2 = fg = 1 1 ⇒ 2πf = 2 RC (RC) 1 2π ⋅ RC Klären Sie, ob diese Schaltung ein Tief- oder Hochpaß ist. Seite 20 6.7) Zweite RC-Schaltung R iωC Ua R = = 1 1+ R iωC Ue R + iωC Ua Ue = (ωRC)2 2 1 + (ωRC ) = ωRC 1 + (ωRC ) 2 Zur Abkürzung wird τ = RC gesetzt. Es folgt die Berechnung der Grenzfrequenz: Ua 1 ωτ = = Ue 2 1 + ω2 τ 2 1 + ω2τ 2 2= ⇒ 2ω 2 τ 2 = 1 + ω 2 τ 2 2 2 ω τ ω2 = 1 τ2 Klären Sie, ob diese Schaltung ein Tief- oder Hochpaß ist. Bitte rechnen Sie die LR-Schaltung selber durch! Seite 21
