Vorlesungsaufzeichnung Theoretische Physik II: Elektrodynamik

Theoretische Physik II: Elektrodynamik
Studentische Mitschrift in LATEXvon Felix Kemeth
nach Vorlesung von Prof. Weise
19. Juni 2012
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1.1 Ladungen und Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ladungs- und Stromdichte von Punktladungen . . . . . . .
1.3 Elektrische und magnetische Felder . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Die Grundgleichungen der Elektrodynamik: MAXWELLsche
1.5 Kontinuitätsgleichung für Ladungs- und Stromdichte . . . .
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Gleichungen
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1
1
2
3
3
4
2 Elektrostatik
2.1 Integralsätze von Gauß und Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 LAPLACE- und POISSON-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Poisson-Gleichung und Potential einer Punktladung . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Potential und elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel . . . . . . . .
2.6 Potential und elektrisches Feld einer beliebigen (lokalisierten) Ladungsverteilung
2.7 Potential und Feld eines elektrischen Dipols . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Elektrische Energie und Energiedichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Gradient, Divergenz und LAPLACE-Operator in Kugelkoordinaten . . . . . .
2.10 LAPLACE-Gleichung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 LEGENDREsche Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Explizite Lösung der LAPLACE-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Green-Funktion der LAPLACE/POISSON-Gleichung in Kugelkoordinaten . .
2.15 Multipolentwicklung des Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Multipolentwicklung der Energie einer Ladungsverteilung in einem äußeren Feld
5
5
7
8
9
11
14
15
17
18
19
20
21
23
24
25
27
3 Magnetostatik
3.1 Das Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 BIOT-SAVARTsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Magnetisches Moment einer lokalisierten Stromverteilung . . . .
3.4 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Energie eines magnetischen Dipols in einem äußeren Magnetfeld
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29
29
31
32
35
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38
39
40
41
42
46
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4 Elektrische und magnetische Felder in polarisierbarer Materie
4.1 Elektrostatik in Materie: Dipol-Polarisation . . . . . . . . . . . .
4.2 Dielektrische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Elektrische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Randbedingungen an Grenzflächen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Beispiel: Dielektrische Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Elektrostatische Energie im polarisierbaren Medium . . . . . . .
4.7 Magnetostatik im makroskopischen polarisierbaren Medium . . .
4.8 Magnetische Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a
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4.9
Magnetisierbare Kugel im äußeren Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Zeitabhängige elektrodynamische Felder
5.1 FARADAY’S Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Eichinvarianz und Eichtransformation . . . . . . . . . .
5.4 Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Mathematischer Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 GREENsche Funktion der Wellengleichung . . . . . . . .
5.7 Lösung der inhomogenen Wellengleichung . . . . . . . .
5.8 Energiedichte und Energiestrom des elektromagnetischen
. . . .
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Feldes
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6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
6.1 Homogene Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Ebene elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Polarisationsrichtungen ebener elektromagnetischer Wellen . . . . . .
6.4 Reflexion und Brechung von Wellen an Grenzflächen . . . . . . . . .
6.5 Beispiel: Reflexion und Brechung an einer Grenzfläche mit Dämpfung
6.6 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Streuung elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Beispiel: Streuung an einer dielektrischen Kugel . . . . . . . . . . . .
6.9 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Gruppen- und Phasengeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie
7.1 Newtonsche Mechanik und Galilei-Transformation . . . . . . . . . .
7.2 Das Einsteinsche Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Ereignisse in der Raum-Zeit; Minkowski-Raum . . . . . . . . . . .
7.4 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Lorentz-Kontraktion und Zeit-Dilatation . . . . . . . . . . . . . . .
7.6 Bahnkurve und Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7 Energie und Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8 Kovariante Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Mathematische Eigenschaften der Lorentz-Transformation . . . . .
7.10 Lorentz-kovariante Form der Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . .
7.11 Lorentz-kovariante Darstellung der inhomogenen Wellengleichung .
7.12 Der elektromagnetische Feldtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13 Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form . . . . . . . . . . . . . .
7.14 Lorentz-Transformation der elektromagnetischen Felder . . . . . . .
7.15 Kovariante Form der Wechselwirkung zwischen geladenen Teilchen
tromagnetischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b
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49
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50
50
51
51
52
54
56
59
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62
62
63
64
66
70
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76
77
80
84
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86
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93
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95
97
98
99
100
100
101
102
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und elek. . . . . . 103
1 Grundbegriffe
1.1 Ladungen und Ströme
Ladung q wird ausgedrückt in Einheiten der Elementarladung (Betrag der Ladung des Elektrons)
qe = 1.60219 · 10−19 Coulomb
(1.1)
Summe aller Ladungen qi aller Teilchen ist eine Erhaltungsgröße
X
qi
(1.2)
∆q(~r, t)
∆V →0
∆V
(1.3)
Q=
i
Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Definition 1.1 (Ladungsdichte)
ρ(~r, t) = lim
Gesamtladung(im Volumen V):
ˆ
ˆ
d3 rρ(~r, t) ≡
Q(t) =
V
dxdydzρ(~r, t)
V
1
(1.4)
Bewegte Ladungen erzeugen Ströme. Gegeben sei eine Ladungsdichte ρ(~r, t). Jedem Punkt ~r
wird ein Geschwindigkeitsfeld ~v (~r, t) zugeordnet:
mit
~v (~r, t) =
d~r(t)
dt
(1.5)
Definition 1.2 (Stromdichte)
(1.6)
~j(~r, t) = ρ(~r, t) · ~v (~r, t)
1.2 Ladungs- und Stromdichte von Punktladungen
Ladungsverteilung von Punktladungen
ρ(~r, t) =
X
(1.7)
qi δ 3 (~r − ~ri )
i
Eigenschaften der δ − Distribution:
• δ 3 (~r − ~a) = δ(x − ax )δ(y − ay )δ(z − az ) = 0... ~r 6= ~a
´
• V d3 rδ 3 (~r − ~a) = 1 falls ~a ∈ V
´
• V d3 rf (~r)δ 3 (~r − ~a) = f (~a)
Gesamtladung:
ˆ
ˆ
3
Q=
d rρ(~r) =
V
X
d3 rρ3 (~r − r~i ) =
qi
V
i
X
qi
(1.8)
i
Stromdichte für Ensemble von Punktladungen
~j(~r, t) =
X
qi δ 3 (~r − r~i ) · ~vi (t)
i
2
(1.9)
1.3 Elektrische und magnetische Felder
Ladungsdichten und Stromdichten sind Quellen für elektrische und magnetische Felder:
~ r, t)
• Elektrisches Feld E(~
~ r, t)
• Magnetisches Feld B(~
~ bzw. B
~ zugeordnet.
Begriff des Vektorfeldes: jedem Raumpunkt ~r wird zur Zeit t ein Vektor E
Differentielle Operationen mit Vektorfeldern:
• Divergenz:
~ ≡∇
~ ·E
~ = ∂Ex + ∂Ey + ∂Ez
div E
∂x
∂y
∂z
• Rotation:
 ∂Ez
~ ≡∇
~ ×E
~ =
rot E
∂y
 ∂E
 x
 ∂z
∂Ey
∂x
−
−
−
∂Ey 
∂z

∂Ez 
∂x 
∂Ex
∂y
~ex ~ey ~ez ∂
∂
∂ = det ∂x ∂y
∂z E E E x
y
z
1.4 Die Grundgleichungen der Elektrodynamik:
MAXWELLsche Gleichungen
Abbildung 1.1: James Clerk Maxwell (1831 - 1879)
3
(1.10)
(1.11)
~ und B
~ stehen mit ihren Quellen über
• Postulat 1: die elektromagnetischen Felder E
folgenden Systemen von partiellen Differentialgleichungen in Beziehung:
~ · E(~
~ r, t) = 4πρ(~r, t)
∇
~
~ × B(~
~ r, t) − 1 ∂ E(~r, t) = 4π ~j(~r, t)
∇
c
∂t
c
~ r, t)
∂
B(~
1
~ × E(~
~ r, t) +
=0
∇
c
∂t
~ · B(~
~ r, t) = 0
∇
(1.12)
(1.13)
(1.14)
(1.15)
• Postulat 2: die Wirkung der elektromagnetischen Felder äußert sich in der Kraft, die
ein Probeteilchen mit der Ladung q erfährt:
~ + ~v × B)
~
F~ = q(E
c
Lorentz − Kraf t
(1.16)
Bewegungsgleichung des Probeteilchens (Masse m)
.
..
F~ = m~v = m~r
(1.17)
Hinweis: wir verwenden das GAUSS-System (wie im Buch von J. D. Jackson)
Lichtgeschwindigkeit
c = 2, 9979 · 108 ms−1
(1.18)
1.5 Kontinuitätsgleichung für Ladungs- und Stromdichte
Aus den Maxwellgleichungen
~ ·E
~ = 4πρ
∇
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
∇
c ∂t
c
~
∂ρ
~ · ∂E
⇒ 4π
=∇
∂t
∂t
~
~ · (∇
~ × B)
~ − 1∇
~ · ∂ E = 4π ∇
~ · ~j
⇒ ∇
|
{z
} c
∂t
c
=0
⇒
∂ρ(~r, t) ~ ~
+ ∇ · j(~r, t) = 0
∂t
Jede zeitliche Veränderung einer Ladungsdichte ist Quelle für einen Strom.
4
(1.19)
2 Elektrostatik
Theorie zeitlich konstanter elektrischer Felder
~
∂ρ
∂E
~ =0
=0,
=0, B
∂t
∂t
⇒ Gleichungen der Elektrostatik:
~ ·E
~ = 4πρ(~r)
∇
(2.1)
~ × E(~
~ r) = 0
∇
(2.2)
2.1 Integralsätze von Gauß und Stokes
Die folgenden Integralsätze gelten allgemein für differenzierbare Vektorfelder


Vx (~r)
~ (~r) = Vy (~r)
V
Vz (~r)
~
insbesondere für das E-Feld.
5
• Sei F: Fläche im R3 , begrenzt durch eine Randkurve C = ∂F
Abbildung 2.1: Flächenelement df~ = ~n df mit Normalenvektor ~n
Satz 2.1 (Integralsatz von Stokes)
˛
ˆ
~
~
~
df · (∇ × V (~r)) =
F
~ (~r)
d~s · V
(2.3)
∂F
• Sei nun V ein Volumen im R3 , S = ∂V die Oberfläche („Rand von V “)
Abbildung 2.2: Oberfläche S = ∂V mit Flächenelement df~ = df~n
~ (~r) wiederum ein differenzierbares Vektorfeld im R3
Sei V
Satz 2.2 (Integralsatz von Gauß)
ˆ
˛
3 ~ ~
d r ∇ · V (~r) =
V
∂V
6
~ (~r)
df~ · V
(2.4)
⇒ Unmittelbare Anwendungen der Integralsätze in der Elektrostatik
i.) Stokes:
ˆ
˛
~ × E(~
~ r)) =
df~ · (∇
F
~ r) = 0
d~s · E(~
(2.5)
∂F
~ über eine beliebige geschlossene Schleife verschwindet.
Das Wegintegral von E
ii.) Gauß:
Beispiel: Feld einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung ρ(r) im Außenraum. Wähle
Kugelfläche V mit Radius r, S = ∂V :
ˆ
˛
2 ~
~
~ · E(~
~ x) = 4πQ
~
d3 x ∇
(2.6)
df · E(~r) = 4πr |E(~r)| =
V
S
~ =
⇒ |E|
Q
~ r) = Q · ~r
bzw. E(~
2
r
r2 r
(2.7)
2.2 Elektrostatisches Potential
~ erlaubt
Definition 2.3 (Elektrisches Potential) Die Rotations- (Wirbel-) Freiheit von E
die Einführung eines Potentials Φ(~r):
 ∂Φ 
∂x
(2.8)

~ r) = −∇Φ(~
~ r) = − 
E(~
 ∂Φ
∂y 
∂Φ
∂z
Es gilt:
(2.9)
~ × E(~
~ r) = −∇
~ × ∇Φ(~
~ r) = 0
∇
~
Betrachte die potentielle Energie eines geladenen Probeteilchens (Ladung q) im Feld E:
Abbildung 2.3: Bahn eines geladenen Teilchens
~
⇒ Kraf t : F~ = q E
ˆ
⇒ Energie/Arbeit : ∆W = −
ˆ
∆W = q
1
2
ˆ
~ r) = q
d~s · ∇Φ(~
d~s · F~
1
2
[dx
1
2
∂Φ
∂Φ
∂Φ
+ dy
+ dz
]=q
∂x
∂y
∂z
7
ˆ
2
dΦ = q[Φ(2) − Φ(1)]
1
Differenz der potentiellen Energien zwischen den Orten 1 und 2.
⇒ für einen beliebigen geschlossenen Weg (siehe auch Theorem von Stokes):
˛
~ =0
d~s · E
(2.10)
Folgende Aussagen sind äquivalent:
~ ×E
~ =0
~ r) ist wirbelfrei: ∇
i.) E(~
~ r) ist ein Potentialfeld: es existiert Φ(~r) mit E
~ = −∇Φ
~
ii.) E(~
¸
~ =0
iii.) Für jeden geschlossenen Weg im R3 gilt: d~s · E
2.3 LAPLACE- und POISSON-Gleichung
~ ·E
~ = 4πρ folgt ∇
~ · ∇Φ(~
~ r) = −4πρ(~r)
Aus ∇
Definition 2.4 (LAPLACE-Operator)
2
2
2
~2 = ∂ + ∂ + ∂
∆≡∇
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(2.11)
Im ladungsfreien Raum (ρ(~r) = 0) gilt:
Definition 2.5 (LAPLACE-Gleichung)
∆Φ(~r) = 0
(2.12)
mit Ladungen:
Definition 2.6 (POISSON-Gleichung)
∆Φ(~r) = −4πρ(~r)
(2.13)
inhomogene partielle Differentialgleichung 2. Ordnung
(
∂2
∂2
∂2
+
+
)Φ(x, y, z) = −4πρ(x, y, z)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Fragestellung: Lösung der Poisson-Gleichung für beliebige Ladungsdichten ρ(~r) und vorgegebenen Randbedingungen.
8
2.4 Poisson-Gleichung und Potential einer Punktladung
Ladungsdichte: ρ(~r) = qδ 3 (~r)
(2.14)
∆Φ(~r) = −4πqδ 3 (~r)
Lösung: Φ(r) =
q
r
mit r = |~r| =
p
x2 + y 2 + z 2
Beweis:
~ (r) = f 0 (r)~er mit ~er = ~r
i.) ∇f
√ r
∂ x2 +y 2 +z 2
∂
0
Zeige: ∂x f (r) = f (r)
= f 0 (r) xr ...usw.
∂x
dann folgt:
~ 2 f (r) = ∇
~ · f 0 (r) ~r = 1 ( d22 rf (r))
ii.) ∇
r
r dr
Zeige nun, dass für den Spezialfall f (r) =
1
r
gilt:
1
∆ = −4πδ 3 (~r)
r
(2.15)
2
d
1
iii.) zunächst r 6= 0: offenbar 1r ( dr
2r · r) = 0
iv.) für r = 0: zunächst nicht definiert.
Betrachte folgenden Grenzprozess:
ˆ
~2
d3 r∇
1
= lim
r a→0
ˆ
⇒ −4π lim 3a
ˆ
∞
2
~ 2√
d3 r∇
1
= −lim
a→0
r2 + a2
r2
d r 2
= −12π
(r + a2 )5/2
ˆ
ˆ
d3 r
∞
3
a→0
0
x3
1
= −12π ·
3 (x2 + 1)3/2
d3 x
0
∞
= −4π
0
Dies ist exakt das Resultat für
ˆ
~ 2 1 = −4π
d r∇
r
3
ˆ
d3 rδ 3 (~r)
Damit ist Gleichung 2.15 für alle r bewiesen.
Potential und elektrisches Feld einer Punktladung am Ort ~r = 0:
Φ(~r) =
q
~ r) = −∇Φ(~
~ r) = q ~r = q ~er
, E(~
r
r3
r2
• Punktladung am Ort ~r0 : ρ(~r)δ 3 (~r − ~r0 )
9
3a2
(r2 + a2 )5/2
x2
=
(x2 + 1)5/2
Φ(~r) =
q
|~r − r~0 |
Coulomb − P otential
(2.16)
1
~r − ~r0
=q
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |3
(2.17)
elektrisches Feld:
~ r) = −∇Φ(~
~ r) = −q ∇
~
E(~
• Potential und elektrisches Feld eines Systems von Punktladungen:
ρ(~r) =
X
qi δ 3 (~r − ~ri )
i
⇒ Φ(~r) =
X
i
qi
|~r − ~ri |
~ r) = −∇Φ(~
~ r) =
⇒ E(~
X ~r − ~ri
qi
|~r − ~ri |3
i
Realisierung des Gaußschen Integralsatzes für Punktladungen:
Zunächst: eine Punktladung q in geschlossenem Volumen V mit Oberfläche S, Flächeninhalt
df~ = ~ndf
Abbildung 2.4: Gaußscher Integralsatz für Punktladungen
Elektrisches Feld
~ = q ~er
E
r2
Betrachte mit dem Flächenelement df~:
~ · df~ = E
~ · ~ndf = q ~er · ~en df = q cos Θ df
E
r2
r2
Raumwinkelelement: r2 dΩ = cos Θdf , das heißt
dΩ =
cos Θ
df
r2
10
(2.18)
mit
˛
dΩ = 4π
S
folglich:
˛
~ = 4πq
df~ · E
(2.19)
S
~ ·E
~ = 4πρ ergibt sich die konkrete Form des Satzes von Gauß:
Mit ∇
ˆ
˛
~ = 4πq
df~ · E
~ ·E
~ =
d3 r∇
V
(2.20)
S
Entsprechend gilt für ein System von Punktladungen, die von einem Volumen V eingeschlossen
werden:
ˆ
˛
~ ·E
~ =
d r∇
~ · ~n = 4πQ
df E
3
V
(2.21)
S
mit der eingeschlossenen Gesamtladung
ˆ
Q=
X
qi =
d3 rρ(~r)
i
ρ(~r) =
X
qi δ 3 (~r − ~ri )
i
2.5 Potential und elektrisches Feld einer homogen geladenen
Kugel
ρ(r) =
Q
Θ(R
4
3
3 πR
− r)
Abbildung 2.5: Ladungsdichte einer homogen geladenen Kugel
11
(2.22)
Poisson-Gleichung:
~ 2 Φ(r) = −4πρ(r)
∇
(2.23)
2
~ 2 Φ(r) = 1 d (rΦ(r)) = 1 (2Φ0 (r) + rΦ00 (r)) = 1 d (r2 dΦ )
∇
r dr2
r
r2 dr
dr
• Außenraum (r > R):
~ 2 Φa = 0
∇
(2.24)
d 2 dΦa
(r
)=0
dr
dr
c1
dΦa
= 2
⇒
dr
r
c1
⇒ Φa (r) = − + c2
r
⇒
Gaußscher Satz:
⇒ Φa (r) =
Q
r
d.h. c1 = −Q, c2 = 0
• Innenraum (r < R):
~ 2 Φi = − 3Q
∇
R3
3Q
d 2 dΦi
(r
) = − 3 r2
dr
dr
R
dΦ
Q
i
⇒ r2
= − 3 r3 + c3
dr
R
dΦi
dr
regulär bei r = 0 ⇒ c3 = 0
dΦi
Q
= − 3r
dr
R
Q 2
⇒ Φi (r) = − 3 r + c4
2R
⇒
Stetigkeit des Potentials bei r = R
Φi (R) = Φa (r)
−
Q 2
Q
R + c4 =
3
2R
R
12
(2.25)
⇒ c4 =
3Q
2R
Potential:
(
Φ(r) =
Q
2R (3
Q
r
−
r2
),
R2
r≤R
r≥R
(2.26)
Abbildung 2.6: Potential einer homogen geladenen Kugel
Elektrisches Feld:
dΦ(r)
~ = −∇Φ(r)
~
E
=−
~er
dr
(
~ =
|E|
Q
r,
R3
Q
r2
r≤R
r≥R
Abbildung 2.7: Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel
13
(2.27)
(2.28)
2.6 Potential und elektrisches Feld einer beliebigen
(lokalisierten) Ladungsverteilung
Ausgangspunkt: Poisson-Gleichung
(2.29)
~ 2 Φ(~r) = −4πρ(~r)
∇
Definition 2.7 (Green’sche Funktion der Poisson-Gleichung)
~ 2 G(~r, ~r 0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r 0 )
∇
Falls G bekannt:
(2.30)
ˆ
d3 r0 G(~r, ~r 0 )ρ(~r 0 )
Φ(~r) =
(2.31)
Beweis:
ˆ
~ 2 Φ(~r) =
∇
r
~ 2 G(~r, ~r 0 ) ρ(~r 0 ) = −4πρ(~r)
d3 r0 ∇
| r {z }
−4πδ 3 (~
r−~
r 0)
⇒ explizite Darstellung der Green-Funktion:
G(~r, ~r 0 ) =
1
+ F (~r, ~r 0 )
|~r − ~r 0 |
(2.32)
~ 2r F (~r, ~r 0 ) = 0 (Laplace-Gleichung).
mit ∇
F (~r, ~r 0 ) kann dazu benutzt werden, um spezielle Randbedingungen für das vorgegebene Problem zu formulieren. Für eine lokalisierte (räumlich begrenzte) Ladungsverteilung ist F ≡ 0.
Es gilt:
ˆ
Φ(~r) =
d3 r0
ρ(~r 0 )
|~r − ~r 0 |
ˆ
d3 r0 ρ(~r 0 )
~ r) = −∇Φ(~
~ r) =
E(~
14
(2.33)
~r − ~r 0
|~r − ~r 0 |3
(2.34)
2.7 Potential und Feld eines elektrischen Dipols
Abbildung 2.8: elektrischer Dipol
~a
~a
ρ(~r) = q δ 3 (~r − ) − δ 3 (~r + )
2
2
ˆ
Φ(~r) =
δ(~r 0 )
=q
d3 r0
|~r − ~r 0 |
=
ˆ
"
d3 r0
δ 3 (~r − ~a2 ) δ 3 (~r + ~a2 )
−
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |
#
q
q
q
q
−
=
−
~a
~a
r1 r2
|~r − 2 | |~r + 2 |
Fernzone: r1,2 >> a:
r
r1,2 =
r2 +
a2
∓ ra cos Θ
4
(2.35)
1 ∼
1
= p
r1,2
r 1 ∓ ar cos Θ
Taylorentwicklung:
√
1∓x
−1
=1±
x
...
2
1
1
1
a
a
−
= (1 +
cos Θ − 1 +
cos Θ) + . . .
r1 r2
r
2r
2r
=
a
~a · ~r
cos Θ = 3
2
r
r
Dipolmoment: d~ = q~a
⇒ Potential:
Φ(~r) =
d~ · ~r
r3
(für r >> a)
15
(2.36)
~ r) = −∇Φ(~
~ r):
elektrisches Feld E(~
~
~
~ r) = 3~er (d · ~r) − d
E(~
r3
~r
~er =
|~r|
(2.37)
in kartesischen Koordinaten: mit ~a = a~ez


3zx
qa
~ =
 3zy 
E
r5
3z 2 − r2
Abbildung 2.9: Dipolfeld
16
(2.38)
2.8 Elektrische Energie und Energiedichte
Betrachte Probeladung q im Potential Φ.
⇒ Energie W = qΦ
Energie eines Systems von Punktladungen:
W =
1 X qi qj
2
|~ri − ~rj |
(2.39)
i6=j
Für kontinuierliche Ladungsverteilungen:
1
W =
2
ˆ ˆ
1
=
2
d3 r d3 r0
ˆ
ρ(~r)ρ(~r 0 )
|~r − ~r 0 |
d3 r ρ(~r)Φ(~r)
1 ~2
∇ Φ(~r):
Setze: ρ(~r) = − 4π
ˆ
1
~ 2 Φ(~r) =
W =−
d3 r Φ(~r)∇
8π
ˆ
ˆ
2
1
1
~ 2
3 ~
=
d r ∇Φ(~r) =
d3 r E(~
r )
8π
8π
Definition 2.8 (Energiedichte)
ω=
1 ~ 2
|E|
8π
17
(2.40)
2.9 Gradient, Divergenz und LAPLACE-Operator in
Kugelkoordinaten
Abbildung 2.10: Kugelkoordinaten
~r = ~r(r, Θ, ϕ)
x = r sin Θ cos ϕ
y = r sin Θ sin ϕ
z = r cos Θ
• Einheitsvektoren:


sin Θ cos ϕ
~r 
~er = = sin Θ sin ϕ 
r
cos Θ
~eΘ =
~eϕ =
∂~er
∂Θ
1 ∂~er
sin Θ ∂ϕ
• Gradient:
~ =
∇Φ
∂Φ
1 ∂Φ
1
∂Φ
~er +
~eΘ +
~eϕ
∂r
r ∂Θ
sin Θ ∂ϕ
• Divergenz:
∂
1 ∂AΘ
~ ·A
~ = 1 ∂ (r2 Ar ) + 1
∇
(sin ΘAΘ ) +
r2 ∂r
r sin Θ ∂Θ
r sin Θ ∂ϕ
18
• Laplace-Operator
2
1
∂
∂Φ
1
∂2Φ
~ 2 Φ = 1 ∂ (rΦ) +
∇
(sin
Θ
)
+
r ∂r2
r2 sin Θ ∂Θ
∂Θ
r2 sin2 Θ ∂ϕ2
2.10 LAPLACE-Gleichung in Kugelkoordinaten
~ 2 Φ(~r) = 0
∇
(2.41)
Ansatz:
Φ(~r) =
Multipliziere Gleichung 2.41 mit
U (~r)
P (Θ)Q(ϕ)
r
r2 sin2 Θ
UP Q :
1
d
1 d2 U
dP
1 d2 Q
+
=0
r sin Θ
(sin
Θ
)
+
U dr2
r2 sin ΘP dΘ
dΘ
Q dϕ2
2
2
(2.42)
i)
⇒
1 d2 Q
= const
Q dϕ2
⇒
d2 Q
= −m2 Q
dϕ2
Eigenwertgleichung: Q(ϕ) heißt Eigenfunktion, m2 ist der Eigenwert.
Lösung: Q(ϕ) = e±imϕ
Eindeutige Lösung im Intervall 0 ≤ ϕ ≤ 2π:
⇒ m ganzzahlig (m = 0, ±1, ±2, . . . )
ii)
r2 d2 U
= const = l(l + 1)
U dr2
⇒
d2 U
l(l + 1)
=
U (r)
2
dr
r2
Lösung: Ul (r) ∝ Al rl + Bl r−l−1
iii)
1
dP
m2
(sin Θ
) + [l(l + 1) −
]P (Θ) = 0
sin Θ
dΘ
sin2 Θ
Separationskonstanten: m, l
19
(2.43)
2.11 LEGENDREsche Differentialgleichung
Mit x = cos Θ in Gleichung 2.43 folgt:
d
m2
2 dP (x)
(1 − x )
+ l(l + 1) −
P (x) = 0
dx
dx
1 − x2
(2.44)
(LEGENDRE’sche Differentialgleichung)
Vereinfachter Fall: m = 0
d
2 dP (x)
(1 − x )
+ l(l + 1)P (x) = 0
dx
dx
(2.45)
Potenzreihen-Ansatz:
P (x) =
∞
X
aj xj
(2.46)
j=0
Eingesetzt in 2.45:
∞
∞
X
X
j(j − 1)aj xj−2 +
[l(l + 1) − j(j + 1)] aj xj = 0
j=2
(2.47)
j=0
Damit diese Gleichung für alle x gilt, müssen die Koeffizienten jeder Potenz von x verschwinden.
⇒ (j + 2)(j + 1)aj+2 = [j(j + 1) − l(l + 1)aj
Rekursionsformel:
⇒ aj+2 =
j(j + 1) − l(l + 1)
aj
j(j + 1) + 2j + 2
Der physikalisch relevante Bereich von x ist −1 ≤ x ≤ +1.
Nun gilt für große j bei festem l: aj+2 ≈ aj
P
Das bedeutet: P (x = 1) = aj → ∞
j
⇒ Die Potenzreiche P (x) ist nur dann nicht divergent bei x = ±1, wenn sie bei endlichem j
abbricht. Dies ist der Fall, wenn l = 0, 1, 2, 3, . . . positive ganze Zahlen.
20
Lösungen (mit x = cos Θ):
Definition 2.9 (LEGENDRE-Polynome Pl (x))
P0 (x) = 1
P1 (x) = x
1
P2 (x) = (3x2 − 1)
2
1
P3 (x) = (5x3 − 3x)
2
1
P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3)
8
·
·
·
Zurück zum allgemeinen Fall m 6= 0
m
d
m2
2 dPl (x)
(1 − x )
+ l(l + 1) −
P m (x) = 0
dx
dx
1 − x2 l
(2.48)
Die Lösungen sind hier für positive m:
Definition 2.10 (assoziierte LEGENDRE-Funktionen)
Plm (x) = (−1)m (1 − x2 )m/2
Pl−m (x) = (−1)m
dm
Pl (x)
dxm
(l − m)! m
P (x)
(l + m)! l
(2.49)
(2.50)
Für festes m bilden die PLm (x) auf dem Intervall −1 ≤ x ≤ +1 einen Satz orthogonaler
Funktionen:
ˆ
+1
−1
m
dx Plm
0 (x) Pj (x) =
2 (l + m)!
δl0 l
2l + 1 (l − m)!
(2.51)
2.12 Kugelflächenfunktionen
Die Zusammenfassung der Funktionen P (Θ)Q(ϕ) geschieht durch die Kugelflächenfunktionen
Definition 2.11 (Kugelflächenfunktionen)
s
r
2l + 1 (l − m)! m
Ylm (Θ, ϕ) =
P (cos Θ)eimϕ
4π
(l + m)! l
21
(2.52)
mit folgenden Eigenschaften:
i)
ii)
∗
Ylm
(Θ, ϕ) = (−1)m Yl,−m (Θ, ϕ)
ˆ
ˆ
2π
dϕ
0
|
(2.53)
π
dΘ sin Θ Yl∗0 m0 (Θ, ϕ) Ylm (Θ, ϕ) = δl0 l δm0 m
{z
}
´
(2.54)
0
dΩ
(Orthogonalität und Normierung)
iii)
∞ X
+l
X
∗
Ylm
(Θ0 , ϕ0 ) Ylm (Θ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 )δ(cos Θ − cos Θ0 )
(2.55)
l=0 m=−l
(Vollständigkeit)
Beispiele:
• l=0
1
Y00 = √
4π
• l=1
r
3
cos Θ
4π
r
3
sin Θeiϕ
Y11 (Θ, ϕ) = −
8π
Y10 (Θ) =
• l=2
1
Y20 (Θ) =
2
r
5
(3 cos2 Θ − 1)
4π
r
15
Y21 (Θ, ϕ) = −
sin Θ cos Θeiϕ
8π
r
1 15
sin2 Θe2iϕ
Y22 (Θ, ϕ) =
4 2π
22
Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen
vorgegeben: zwei Vektoren ~r und ~r 0
Abbildung 2.11: Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen
mit ~r · ~r 0 = rr0 cos γ.
⇒ dann gilt:
Pl (cos γ) =
+l
4π X ∗
Ylm (Θ0 , ϕ0 )Ylm (Θ, ϕ)
2l + 1
(2.56)
m=−l
mit cos γ = cos Θ cos Θ0 + sin Θ sin Θ0 cos (ϕ − ϕ0 )
Hinweis: dieses Additionstheorem kommt zur Anwendung bei der Entwicklung der Greenschen
Funktion der LAPLACE-Gleichung
∞ X
+l
X
1
1
= 4π
0
|~r − ~r |
2l + 1
l=0 m=−l
l
r<
l+1
r>
!
∗
(Θ0 , ϕ0 )Ylm (Θ, ϕ)
Ylm
wobei r< bzw. r> die kleinere bzw. größere der beiden Beträge |~r| und |~r 0 | ist.
2.13 Explizite Lösung der LAPLACE-Gleichung
~ 2 Φ(~r) = 0 in 3-dim. Polarkoordinaten kann folgenderDie allgemeine Lösung der Gleichung ∇
maßen dargestellt werden:
Φ(~r) = Φ(~r, Θ, ϕ) =
∞ X
+l h
i
X
Alm rl + Blm r−l−1 Ylm (Θ, ϕ)
l=0 m=−l
23
(2.57)
Beispiele
a) Potential einer bei r = 0 positionierten Punktladung q:
Φ(r) =
q
r
⇒ nur l = 0 (MONOPOL) trägt bei:
√
4πq
A00 = 0 , B00 =
b) Feld (Potential) eines Dipols (Abstand a) in der Fernzone:
cos Θ
Φ(r, Θ) = qa 2 =
r
r
4π qa
Y10 (Θ)
3 r2
⇒ nur l = 1 (DIPOL) trägt bei:
r
A10 = 0 , B10 =
4π
d
3
mit dem Dipolmoment d = qa.
2.14 Green-Funktion der LAPLACE/POISSON-Gleichung in
Kugelkoordinaten
Ausgangspunkt:
~ 2 Q(~r, ~r 0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r 0 )
∇
~
r
für lokalisierte Ladungen:
1
|~r − ~r 0 |
G(~r, ~r 0 ) =
|~r − ~r 0 | =
p
r2 + r02 − 2~r · ~r 0 ; ~r · ~r 0 = rr0 cos γ
definiere:
(
r
r> =
r0
. . . r > r0
. . . r0 > r
(
r
r< =
r0
. . . r < r0
. . . r0 < r
"
#−1/2
2
2
−1/2
1
r<
1
r<
02
0
⇒
= r + r − 2rr cos γ
=
1+
−2
cos γ
|~r − ~r 0 |
r>
r>
r>
24
(2.58)
Taylorentwicklung der Wurzel und Umordnung der cos γ-Terme ergibt:
∞ 1 X r< l
1
Pl (cos Θ)
=
|~r − ~r 0 |
r>
r>
(2.59)
l=0
mit Legendre-Polynomen Pl .
⇒ mit Additionstheorem für Kugelflächenfunktionen:
!
l
r<
X 4π
1
=
|~r − ~r 0 |
2l + 1
l+1
r>
lm
∗
Ylm
(Θ0 , ϕ0 )Ylm (Θ, ϕ)
(2.60)
2.15 Multipolentwicklung des Potentials
Lösung der POISSON-Gleichung für lokalisierte Ladungsdichte ρ(~r):
ˆ
ˆ
d3 r0 G(~r, ~r 0 )ρ(~r 0 ) =
Φ(~r) =
d3 r0
ρ(~r 0 )
|~r − ~r 0 |
(2.61)
Ylm (Θ, ϕ)
rl+1
(2.62)
Betrachte den Fall r = |~r| = r> , r0 = |~r 0 | = r<
Φ(~r) =
X ˆ
3 0
d r r
∗
(Θ0 , ϕ0 )ρ(~r 0 )
Ylm
0l
lm
MULTIPOLMOMENTE der Ladungsverteilung:
ˆ
qlm =
∗
(Θ0 , ϕ0 )ρ(~r)
d3 r rl Ylm
(2.63)
Beispiele
i) MONOPOL (l = 0):
q00
1
=√
4π
ii) DIPOL (l = 1) ; Dipolmoment d~ =
r
q10 =
3
4π
´
ˆ
1
d3 r ρ(~r) = √ Q
4π
d3 r ~r ρ(~r)
ˆ
r
3
d r r cos Θρ(~r) =
ˆ
q11 =
3
4π
ˆ
ˆ
∗
d3 r r Y11
(Θ, ϕ)ρ(~r) =
r
=−
3
8π
ˆ
3
dz
4π
d3 r r sin Θe−iϕ ρ(~r) −
d r (x − iy)ρ(~r) = −
25
d r zρ(~r) =
r
r
3
r
3
3
1
· √ (dx − idy )
4π
2
3
8π
!
r
q1,−1 = −
3
1
· √ (dx + idy )
4π
2
iii) QUADRUPOL (l = 2): Definition des Quadrupolmoments ( des Quadrupol-TENSORS)
in kartesischen Koordinaten:
ˆ
(2.64)
d3 r (3xi xj − r2 δij )ρ(~r)
Qij =
wobei x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z.
Relation zu den Komponenten in Polarkoordinaten-Darstellung:
q20
1
=
2
r
5
4π
ˆ
1
d3 r (3z 2 − r2 )ρ(~r) =
2
r
5
Q33
4π
(Standard-Definition des Quadrupolmoments)
r
q21 = −
q22
1
=
4
r
15
2π
15
4π
ˆ
ˆ
1
d3 r z(x − iy)ρ(~r) = −
3
1
d3 r (x − iy)2 ρ(~r) =
12
r
r
15
(Q13 − iQ23 )
4π
15
(Q11 − 2iQ12 − Q22 )
2π
Der Quadrupol-Tensor Qij ist ein symmetrischer Tensor 2. Stufe mit Qij = Qji und
δp Qij =
X
Qii = 0
i
Betrachte nun wieder eine beliebige (lokalsierte) Ladungsverteilung ρ(~r):
Abbildung 2.12: Multipol-Entwicklung des Potentials im Außenraum
Φ(~r) =
X 4π
qlm Ylm (Θ, ϕ)r−l−1
2l + 1
(2.65)
lm
mit den Multipolmomenten
ˆ
qlm =
∗
d3 r0 r0l Ylm
(Θ0 , ϕ0 )ρ(~r 0 )
26
(2.66)
Darstellung des Potentials:
Φ(~r) =
xi xj
Q d~ · ~r 1 X
+ 3 +
Qij 5 + . . .
r
r
2
r
(2.67)
i,j
Elektrisches Feld:
~
~2
~ = −∇Φ(~
~ r) = Q ~r + 3~r(d · ~r) − dr + . . .
E
r3
r5
(2.68)
Q Gesamtladung ; d~ Dipolmoment ; Qij Quadrupol-Tensor
2.16 Multipolentwicklung der Energie einer Ladungsverteilung
in einem äußeren Feld
Abbildung 2.13: Ladungsverteilung in einem äußeren Feld
äußeres Feld:
~ r) = −∇Φ(~
~ r)
E(~
~ · E(~
~ r) = 0
∇
Energie:
ˆ
W =
d3 r ρ(~r)Φ(~r)
27
(2.69)
Entwicklung um ~r = 0:
1X
∂ 2 Φ +
+ ...
xi xj
2
∂xi ∂xj ~r=0
~
r=0
~ Φ(~r) = Φ(0) + ~r · ∇Φ
i,j
∂Ej ∂Ej r2 X
1X
2
~
−
Φ(~r) = Φ(0) − ~r · E(0) −
(3xi xj − r δij )
δij
6
∂xi ~r=0
6
∂xi ~r=0
i,j
i,j
|
{z
}
~ E=0
~
∇·
ˆ
⇒W =
d3 r Φ(~r)ρ(~r) =
~ r = 0) −
= 2Φ(0) − d~ · E(~
∂Ej
1X
(~r = 0) + . . .
Qij
6
∂xi
i,j
~
Multipol-Entwicklung der Energie einer Ladungs-Verteilung im äußeren Feld E.
Beispiel: Wechselwirkungsenergie zweier Dipole (siehe Aufgabe)
28
3 Magnetostatik
Zurück zu den Maxwell-Gleichungen
~ · E(~
~ r, t) = 4πρ(~r, t)
∇
~
~ × B(~
~ r, t) − 1 ∂ E(~r, t) = 4π ~j(~r, t)
∇
c
∂t
c
~
~ × E(~
~ r, t) + 1 ∂ B(~r, t) = 0
∇
c
∂t
~ · B(~
~ r, t) = 0
∇
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Kontinuitätsgleichung
∂ρ(~r, t) ~ ~
+ ∇ · j(~r, t) = 0
∂t
(3.5)
~ · ~j = 0 (keine Strom-Quellen), aber stationäre StromBetrachte jetzt den Fall ρ̇ = 0, d.h. ∇
~
dichte j, keine statischen Ladungen (ρ̇ = 0), zeitunabhängiges magnetisches Feld.
Gleichungen der MAGNETOSTATIK:
~ × B(~
~ r) = 4π ~j(~r)
∇
c
~ · B(~
~ r) = 0
∇
(3.6)
(3.7)
3.1 Das Vektorpotential
~ r, t))
Definition 3.1 (Vektorpotential A(~
~ r, t) = ∇
~ × A(~
~ r, t)
B(~
(3.8)
Die Relation
~ ·B
~ =∇
~ · (∇
~ × A)
~ =0
∇
ist dadurch garantiert.
~ = 4π ~j
~ × (∇
~ × A)
~ = ∇(
~ ∇
~ · A)
~ −∇
~ 2A
∇
c
29
(3.9)
~ ist nur bis auf den Gradienten einer skalaren Funktion ψ(~r) bestimmt.
A
Setze
(Eichtransformation)
~→A
~ + ∇ψ
~
A
(3.10)
dann gilt:
~ ×A
~→∇
~ ×A
~+∇
~ × ∇ψ
~
∇
| {z }
=0
Betrachte
~ ·A
~→∇
~ ·A
~+∇
~ 2ψ
∇
~ 2 ψ so, dass
und wähle ∇
(Coulomb-Eichung)
~ ·A
~=0
∇
dann folgt
~ 2 A(~
~ r) = − 4π ~j(~r)
∇
c
(3.11)
Dies sind drei POISSON-Gleichungen:
~ 2A
~ i (~r) = − 4π ~ji (~r)
∇
c
Mit der Green-Funktion der Poisson-Gleichung
~ 2r G(~r, ~r 0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r 0 )
∇
1
|~r − ~r 0 |
G(~r, ~r 0 ) =
folgt für lokalisierte stationäre Ströme
~ r) = 1
A(~
c
ˆ
d3 r0
~j(~r 0 )
~
(+∇ψ)
|~r − ~r 0 |
(3.12)
~r − ~r 0
0
~
d r j(~r ) ×
|~r − ~r 0 |3
(3.13)
Magnetfeld:
~ r) = ∇
~ × A(~
~ r) = 1
B(~
c
ˆ
3 0
30
3.2 BIOT-SAVARTsches Gesetz
Magnetfeld eines (1-dimensionalem) stromdurchflossenen Leiters (stationärer Strom: I =
const.)
Abbildung 3.1: stromdurchflossener Leiter
ˆ
ˆ
3 0
d r ~j(~r 0 ) = I
V
b
d~l
(3.14)
a
~ r): differentielles Magnetfeld, das von dem Leiterelement d~l erzeugt wird.
dB(~
~ r) = 1
dB(~
c
ˆ
d3 r0
V
~j(~r 0 ) × (~r − ~r 0 )
I d~l × ~s
=
|~r − ~r 0 |3
c s3
(~s = ~r − ~r 0 )
Beispiel:
Linearer Leiter (siehe Abb. 3.2) mit I = const.:
IR
~
|B(R)|
=
c
ˆ
a
b
dl
I
b
a
√
=
−√
cR
(R2 + l2 )3/2
R2 + b2
R2 + a2
Somit für einen unendlich langen Leiter (b → ∞ , a → −∞):
~
|B(R)|
=
31
2I
cR
(3.15)
Abbildung 3.2: Magnetfeld eines linearen Leiter
3.3 Magnetisches Moment einer lokalisierten Stromverteilung
Abbildung 3.3: Stromverteilung
~ · ~j(~r) = 0
∇
lokalisiert: ~j verschwindet auf dem Rand eines hinreichend großen Volumens V .
~ r))
Potential: (Vektorpotential A(~
~ r) = 1
A(~
c
ˆ
d3 r0
~j(~r 0 )
|~r − ~r 0 |
Taylor-Entwicklung für |~r| >> |~r 0 |:
1
1 ~r · ~r 0
=
+ 3 + ...
|~r − ~r 0 |
r
r
Beweis:
2
1
1
~r · ~r 0
02
0 −1/2
= r + r − 2~r · ~r
=
1 + 2 + ...
|~r − ~r 0 |
r
r
32
(3.16)
⇒ für jede Komponente Ai (~r):
ˆ
1
Ai (~r) =
cr
~r
d r ji (~r ) + 3 ·
cr
3 0
0
ˆ
d3 r0 ji (~r 0 ) + . . .
Ein Satz über divergenzfreie, lokalisierte Stromdichteverteilungen. Seien f (~r) und g(~r) zwei
reguläre Funktionen im Bereich wo ~j(~r) 6= 0, dann gilt:
ˆ
h
i
~ + g~j · ∇f
~
d3 r f~j · ∇g
=0
(3.17)
Beweis:
ˆ
ˆ
h
i
~ − f∇
~ · (g~j) =
d3 r f~j · ∇g


~ · ~j  = 0
~ − f~j · ∇g
~ − f g∇
d3 r f~j · ∇g
{z
}
| {z }
|
=0
=0
a) Setze: f = 1 , q = xi :
ˆ
⇒
d3 r ji (~r) = 0
(kein Monopol)
b) Setze: f = xi , q = xk :
ˆ
⇒
d3 r [xi jk (~r) + xk ji (~r)] = 0
dann folgt:
ˆ
~r ·
=
d3 r0 ~r 0 ji (~r 0 ) =
Xˆ
d3 r0 x0k ji (~r 0 ) =
k
ˆ
1X
=
d3 r0 x0k ji − x0i jk =
2
k
ˆ
1
3 0
0
0
~
= − ~r × d r ~r × j(~r )
2
i
Definition 3.2 (magnetisches Dipolmoment)
ˆ
h
i
1
m
~ =
d3 r0 ~r 0 × ~j(~r 0 )
2c
33
(3.18)
Dann folgt:
~ × ~r
~ r) = m
A(~
r3
(3.19)
Das Magnetfeld ist die Rotation des Vektorpotentials
~ =∇
~ ×A
~
B
also:
~r
~ =∇
~ × m
~ ~r
~ · ~r − m
B
~ × 3 =m
~ ∇
~
·
∇
r
r3
r3
hier ist
~ · ~r = 1 ∇
~ · ~r + ~r · ∇
~ 1 = 3 − ~r · ~er 3 = 0
∇
3
3
r
r
r3
r3
r4
und
~
m
~ ·∇
~r
1 ~ ~r + ~r m
~ 1 =
=
m
~
·
∇
~
·
∇
r3
r3
r3
3
m
~
~ · ~er ) 4
= 3 − ~r (m
r
r
Somit für das Magnetfeld:
~ · ~er ) − m
~
~ r) = 3~er (m
B(~
r3
mit dem Einheitsvektor ~er = ~rr .
34
(3.20)
3.4 Beispiele
a) Magnetisches Dipolmoment einer geschlossenen Stromschleife (in der Ebene):
Abbildung 3.4: geschlossene Stromschleife
Strom I:
~j(~r)d3 r = Id~l
˛
I
~r × d~l
m
~ =
2c
⇒m
~ steht ⊥ auf der Schleifenebene.
|~r × d~l| = 2df
|m|
~ =
I
F
c
F ist die von der Stromschleife eingeschlossene Fläche.
35
(3.21)
b) Stromdichte und magnetisches Dipolmoment eines Systems von geladenen Teilchen (Ladungen qi , Geschwindigkeiten vi , Massen Mi )
~j(~r 0 ) =
X
qi δ 3 (~r − ~r 0 )~vi
i
X qi
1 X
~i
⇒m
~ =
L
(~ri × ~vi ) =
2c
2Mi c
i
i
mit Drehimpuls
~ i = Mi (~ri × ~vi )
L
Falls alle Teilchen gleiche Ladung und Masse besitzen: qi = e , Mi = M :
m
~ =
e ~
e X~
Li =
Li
2M c
2M c
(3.22)
i
~i =
(L
P~
Li Gesamtdrehimpuls des Systems)
i
Vektorpotential:
e ~
~r
L× 3
2M c
r
(3.23)
~ · ~er ) − L
~
e 3~er (L
3
2M c
r
(3.24)
~ r) =
A(~
Magnetfeld:
~ r) =
B(~
36
3.5 Energie eines magnetischen Dipols in einem äußeren
Magnetfeld
~
~
(. . . in Analogie zum E-Feld:
W = qΦ(0) − d~ · E(0)
+ ...)
Keine magnetischen Monopole ⇒ erster nicht-verschwindender Term in der Entwicklung der
Energie:
~
W = −m
~ · B(0)
(3.25)
Beispiel: Wechselwirkungsenergie zweier magnetischer Dipole (bei großem Abstand |~r|)
m
~1·m
~ 2 − 3(~er · m
~ 1 )(~er · m
~ 2)
=
3
r
X m1i m2j
=−
(3xi xj − r2 δij )
r5
W12 =
i,j
37
4 Elektrische und magnetische Felder in
polarisierbarer Materie
bisher : Felder im Vakuum, ggf. mit Ladungs- und (stationären) Stromquellen
jetzt: Elektrostatik und Magnetostatik in polarisierbarer Materie
4.1 Elektrostatik in Materie: Dipol-Polarisation
Beispiel: Medium mit atomaren Ladungsträgern (Kernen und Elektronen)
~
MIT Feld: → E
Dipolartige Deformation
(POLARISATION) ⇒ induziertes
Dipolmoment ⇒ schwächt äußeres Feld
OHNE Feld: mittlere Ladungsdichte
< ρ >= 0 über Bereiche R >> 0
Induzierte Dipol-Polarisation
∆Ni : Zahl der Dipole (feste i); pro Volumen
∆V
i
Dipoldichte : ni = ∆N
∆V
d~i : Dipolmoment des i-ten Atoms/Moleküls
< d~i > mittleres Dipolmoment; gemittelt über
hinreichend großes Volumen
38
Definition 4.1 (Dipol-Polarisation)
P~ (~r) =
X
ni (~r) < d~i >
(4.1)
i
Jetzt sei vorgegeben: Teilvolumen ∆V an der Stelle ~r 0 mit der Dipoldichte/Polarisation
P~ (~r 0 )
Potential ∆Φ(~r, ~r 0 ) das von diesem Volumenelement ausgeht:
∆Φ(~r, ~r 0 ) =
ρ(~r 0 )
P~ (~r 0 )(~r − ~r 0 )
∆V
∆V
+
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
4.2 Dielektrische Verschiebung
Integration über Gesamtvolumen:
ˆ
Φ(~r) =
(
3 0
d r
ρ(~r 0 )
P~ (~r 0 ) · (~r − ~r 0 )
+
0
|~r − ~r |
|~r − ~r 0 |3
ˆ
=
d3 r0
)
=
~ ~r 0 · P~ (~r 0 )
ρ(~r 0 ) − ∇
|~r − ~r 0 |
(nach partieller Integration unter der Annahme, dass keine Beiträge von ρ und P~ auf dem
Rand des Integrationsvolumens).
⇒ das Potential erfüllt die POISSON-Gleichung
h
i
~ 2 Φ(~r) = −4π ρ(~r) − ∇
~ · P~ (~r)
∇
(4.2)
~ · P~ )
(mit der induzierten (Polarisations-) Ladungsdichte ρpol = ∇
Definition 4.2 (Dielektrische Verschiebung)
~ =E
~ + 4π P~
D
(4.3)
~ · D(~
~ r) = 4πρ(~r)
∇
(4.4)
dann gilt:
zusammen mit
~ ×E
~ =0
∇
39
4.3 Elektrische Suszeptibilität
~ AllgePolarisation P~ beschreibt Rückwirkung des polarisierbaren Mediums auf das Feld E.
~
~
~
mein P = P (E):
Pi =
X
~ j
χeij (E)E
(4.5)
i
~ ist der Tensor der elektrischen Suszeptibilität χij unabhänging von
Für schwache Felder E
~
E.
Für ein isotropes Medium gilt:
~
P~ = χe E
(4.6)
und
~ =E
~ + 4π P~ = (1 + 4πχe )E
~
D
oder
~ = E
~
D
(4.7)
mit der Dielektrizitätskonstante :
= 1 + 4πχe
Feldgleichung für diesen Fall:
~ ·E
~ = 4π ρ
∇
Für > 1: Polarisation, induziert im Medium, reduziert Ladungen um Faktor .
40
(4.8)
4.4 Randbedingungen an Grenzflächen
Ausgangspunkt: zwei isotrope (nichtleitende) Medien mit Dielektrizitätskonstanten 1 , 2 ,
getrennt durch eine Grenzfläche:
Vorgegeben:
Volumen V , das die Grenzfläche einschließt,
Oberfläche F = ∂V mit Normalenvektor ~n auf
beiden Seiten der Grenzfläche.
Gaußscher Integralsatz:
ˆ
˛
˛
~ =
df~ · D
~ ·D
~ =
d3 r∇
V
ˆ
F =∂V
~ · ~n =
df D
∂V
d3 r ρ(~r) = 4π∆Q
4π
v
wobei ∆Q freie Ladungsträger im Volumen V .
Betrachte nun ein scheibenförmiges Volumenelement über der Grenzfläche, mit vernachlässigbaren Seitenflächen. Dann gilt:
˛
~ · ~n = (D
~1 −D
~ 2 ) · ~n∆F = 4π∆Q
df D
∂V
Führe ein: Oberflächen-Ladungsdichte an der Grenzfläche
σ=
∆Q
∆F
~
Bedingung für die normalen-Komponenten des Verschiebungsvektors D:
~1 −D
~ 2 ) · ~n = 4πσ
(D
41
(4.9)
~ ×E
~ = 0 folgt mit dem Stokesschen Integralsatz:
Wegen ∇
˛
ˆ
~ ×E
~ =
df~ · ∇
~ =0
d~s · E
(4.10)
∂F
F
Abbildung 4.1: Stokesscher Integralsatz an Grenzfläche
~ 1 und E
~ 2 auf beiden Seiten der Grenzfläche:
⇒ für die Felder E
ˆ
b
ˆ
~1 =
d~s · E
a
b
~ 2 = − (Φb − Φa )
d~s · E
(4.11)
a
~
Bedingung für die Tangential -Komponenten des E-Feldes:
~1 − E
~ 2 × ~n = 0
E
4.5 Beispiel: Dielektrische Kugel
Abbildung 4.2: Dielektrische Kugel
Kugel mit Radius R, Dielektrizitätskonstanten , keinen freien Ladungen.
~ 0 : (0, 0, E0 )T
• äußeres Feld E
• Rotationssysmmetrie um die z-Achse
⇒ Ansatz für das Potential:
• innen (r ≤ R):
Φi (~r) =
X
l
42
Al rl Pl (cos Θ)
(4.12)
• außen (r ≥ R):
Φa (~r) =
i
Xh
Bl rl + Cl r−l−1 Pl (cos Θ)
l
~ 0 = −∇Φ
~ a)
Randbedingung für z → ∞: (wegen E
Φ → −zE0 = −rE0 cos Θ
z→∞
Randbedingung an der Grenzfläche:
~
a) Tangential -Bedingung für E:
∂Φ
1 ∂Φa
~
~
E = −∇Φ = −
~er +
~eΘ
∂r
r ∂Θ
also
Et = −
1 ∂Φ
r ∂Θ
⇒ bei r = R:
1 ∂Φa 1 ∂Φi =−
−
r ∂Θ r=R
r ∂Θ r=R
(4.13)
~ = E:
~
b) Normalen-Bedingung für D
−
∂Φi ∂Φa =
−
∂r r=R
∂r r=R
Wiederum sind nur die Koeffizienten mit l = 1 von null verschieden:
• Tangential-Bedingung
A1 = −E0 +
C1
R3
A1 = −E0 −
2C1
R3
• Normalen-Bedingung
⇒ 2 Gleichungen für A1 , C1 . Lösung:
A1 =
−3
−1 3
E0 , C1 =
R E0
2+
+2
⇒ Potential:
Φi (~r) = −
3
3
E0 r cos Θ = −
E0 z
2+
2+
Φa (~r) = −E0 r cos Θ +
43
− 1 R3
E0 2 cos Θ
+2
r
(4.14)
"
−1
=− 1−
+2
3 #
R
E0 z
r
⇒ Elektrisches Feld:
~ = −∇Φ
~
E
• innen:
~i =
E
3
E0~ez
+2
~ i | < E0 für > 1)
(|E
• außen:
~ a = E0~ez + − 1 E0 R3 3 cos Θ~er − ~ez
E
+2
r3
Im 2. Term rechts identifiziert man das Induzierte Dipolmoment. Mit dem induzierten
~ 0)
Dipolmoment (in Richtung von E
−1
d~ =
E0 R3~ez
+2
folgt:
~
~
~ a = E0~ez + 3~er (d · ~er ) − d
E
3
r
Polarisation (induzierte Dipoldichte)
d~
3 −1 ~
~
P =
=
E0
V
4π + 2
~ =E
~i =
mit V = 43 πR3 . Andererseits (mit E
3 ~
+2 E0 ):
~
P~ = χe E
das heißt
χe =
−1
4π
Abbildung 4.3: induziertes Polarisationsfeld P~
44
Effekt:
Abbildung 4.4: Polarisation auf dielektrischer Kugel
~ 0 im Innenbereich der Kugel.
Für > 1 Schwächung des Feldes E
⇒ Polarisations-Ladungsdichte (keine freien Ladungsträger):
~ ·D
~ =0=∇
~ · (E
~ + 4π P~ )
∇
~ ·E
~ = −4π ∇
~ · P~ = 4πρP ol
⇒∇
Betrachte ein Volumen in der Umgebung der Grenzfläche:
Abbildung 4.5: Volumen V mit Oberfläche ∆F = ∂V
Gaußscher Satz (mit ∆QP ol induzierte Polarisationsladung):
ˆ
ˆ
~ · P~ = −
d r∇
3
V
˛
d3 r ρP ol ≡ −∆QP ol
v
df~ · P~ = ∆F ~n · P~
=
∆F
∆F = −∆F ~er · P~
~n ist „nach innen“ gerichtet: ~n = −~er
45
Oberflächenladungsdichte, durch Polarisation induziert:
∆QP ol
3 −1
= ~er · P~ =
E0 cos Θ
∆F
4π + 2
σP ol =
Abbildung 4.6: Polarisationsladungsdichte
4.6 Elektrostatische Energie im polarisierbaren Medium
Im Vakuum: Energie einer Ladungsverteilung:
W =
1
8π
ˆ
ˆ
~ = 1 d3 r ρ(~r)Φ(~r)
d r |E|
2
3
2
Im dielektrischen Medium: hier muss zusätzlich noch die Polarisationsladungsdichte berücksichtigt werden. Jetzt ist
ρ=
1 ~ ~
∇·D
4π
also
1
W =
8π
ˆ
1
~ · D)Φ
~
d r (∇
=−
8π
ˆ
3
1
W =
8π
~ · ∇Φ
~
d3 r D
ˆ
(4.15)
~ ·E
~
d3 r D
Für ein homogenes und isotropes Medium gilt:
W =
8π
ˆ
~ 2=
d3 r × |E|
46
1
8π
ˆ
~ 2
d3 r × |D|
4.7 Magnetostatik im makroskopischen polarisierbaren
Medium
Magnetische Polarisation: Betrachte magnetische Dipole
Abbildung 4.7: Magnetische Dipole im Volumen V
Definition 4.3 (Magnetisierung)
(4.16)
~ (~r) = n(~r) hmi
M
~
wobei n(~r) Dichte und hm
~ i i über Volumen V gemittelte magnetische Dipole.
Mit magnetischen Dipolen mehrerer Sorten:
~ (~r) =
M
X
ni (~r)hm
~ ii
i
⇒ Vektorpotential im magnetisch polarisierbaren Medium:
~ r) = 1
A(~
c
ˆ
(
d3 r0
~ (~r 0 ) × (~r − ~r 0 )
~j(~r 0 )
cM
+
|~r − ~r 0 |
|~r − ~r 0 |3
)
(4.17)
Definition 4.4 (Magnetisierungsstrom)
~0×M
~ (~r 0 )
~jM (~r 0 ) = c∇
dann gilt:
~ r) = 1
A(~
c
ˆ
d3 r0
~j(~r 0 ) + ~jM (~r 0 )
|~r − ~r 0 |
Feldgleichungen im Medium:
h
i
~ ×B
~ = 4π ~j + c∇
~ ×M
~ , ∇
~ ·B
~ =0
∇
c
47
(4.18)
4.8 Magnetische Induktion
Definiere Feld
~ =B
~ − 4π M
~
H
~ =E
~ + 4π P~ )
(vgl. Vorzeichen: D
~ ×H
~ = 4π ~j , ∇
~ ·B
~ =0
⇒∇
c
~ ·D
~ = 4πρ , ∇
~ ×E
~ = 0)
(vgl. mit ∇
~ = B(
~ M
~)
Zur vollständigen Beschreibung benötigen wir: Zusammenhang B
Definition 4.5 (Magnetische Suszeptibilität χM ) Für isotrope Substanzen:
~ = χM H
~
M
(4.19)
Definition 4.6 (Magnetische Permeabilität)
~ = µH
~ , µ = 1 + 4πχM
B
Substanzen sind
• paramagnetisch: µ > 1
• diamagnetisch: µ < 1
~ M
~ ):
Ferromagnetische Materialien: nichtlinearer Zusammenhang B(
Abbildung 4.8: Hysterese
48
(4.20)
4.9 Magnetisierbare Kugel im äußeren Magnetfeld
Abbildung 4.9: Magnetisierbare Kugel im äußeren Magnetfeld
Herleitung der Magnetisierung analog zur Herleitung der Polarisation einer dielektrischen
polarisierbaren Kugel.
Ergebnis:
~ = 3 µ − 1B
~0
M
4π µ + 2
(4.21)
~ parallel zu B
~ 0 . Vorhandene Dipole im Medium richten sich im
• Paramagnet: µ > 1, M
äußeren Magnetfeld aus.
~ antiparallel zu B
~ 0 . Induzierte Ströme im Material wirken dem
• Diamagnet: µ < 1, M
äußeren Magnetfeld entgegen.
49
5 Zeitabhängige elektrodynamische Felder
Maxwell-Gleichungen im Vakuum:
~ · E(~
~ r, t) = 4πρ(~r, t)
∇
~
~ × B(~
~ r, t) − 1 ∂ E(~r, t) = 4π ~j(~r, t)
∇
c
∂t
c
~ r, t)
∂
B(~
1
~ × E(~
~ r, t) +
=0
∇
c
∂t
~ · B(~
~ r, t) = 0
∇
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
5.1 FARADAY’S Induktionsgesetz
~ r, t)
Geschlossene Leiterschleife in einem zeitabhängigen Magnetfeld B(~
Abbildung 5.1: Leiterschleife im Magnetfeld
Integration der 3. Maxwell Gleichung:
ˆ
df~ ·
F
~
~ × E(~
~ r, t) + 1 ∂ B(~r, t)
∇
c
∂t
!
=0
(5.5)
⇒ Stokes:
˛
∂F
~ r, t) + 1
d~l · E(~
c
ˆ
df
F
∂Bn (~r, t)
=0
∂t
~
(Bn = ~n · B)
Definition 5.1 (Faraday’s Induktionsgesetz)
˛
~ = −1
d~l · E
c
50
ˆ
df
F
~ · ~n
∂B
∂t
(5.6)
⇒ Stromproduktion
⇒ Analog: Bewegung einer Leiterschleife in einem statischen Magnetfeld.
5.2 Potentiale
~ ·B
~ = 0 folgt:
Wegen ∇
~ r, t))
Definition 5.2 (Vektorpotential A(~
(5.7)
~ r, t) = ∇
~ × A(~
~ r, t)
B(~
⇒ in der dritten Maxwell-Gleichung:
~ ×
⇒∇
~
~ r, t) + 1 ∂ A(~r, t)
E(~
c ∂t
!
=0
(5.8)
Definition 5.3 (Skalares Potential Φ(~r, t))
~
~ + 1 ∂ A = −∇Φ(~
~ r, t)
E
c ∂t
(5.9)
5.3 Eichinvarianz und Eichtransformation
i.) Eichtransformation des Vektorpotentials:
~ r, t) → A(~
~ r, t) + ∇Λ(~
~ r, t)
A(~
(5.10)
Lässt Maxwell-Gleichung invariant!
~ =∇
~ ×A
~ invariant (wegen ∇
~ × ∇Λ(~
~ r, t) = 0)
⇒ lässt B
ii.) Eichtransformation des skalaren Potentials:
Φ(~r, t) → Φ(~r, t) −
1 ∂Λ(~r, t)
c ∂t
~
~ = −∇Φ
~ − 1 ∂ A invariant
⇒ F eld E
c ∂t
~
~ → −∇Φ
~ + 1 ∂ ∇Λ
~ − 1 ∂ A − 1 ∂ ∇Λ
~
E
c ∂t
c ∂t
c ∂t
51
(5.11)
5.4 Wellengleichungen
~ r, t), Φ(~r, t)
Partielle Differentialgleichungen für Potentiale A(~
~ ·E
~ = 4πρ ⇒ ∇
~ 2 Φ(~r, t) + 1 ∂ (∇
~ · A(~r, t)) = −4πρ(~r, t)
∇
c ∂t
(5.12)
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
∇
c ∂t
c
(5.13)
~
~ × (∇
~ × A(~
~ r, t)) − 1 ∂ (−∇Φ(~
~ r, t) − 1 ∂ A(~r, t) ) = 4π ~j(~r, t)
⇒∇
c ∂t
c ∂t
c
(5.14)
1 ∂2 ~
~ ∇
~ · A(~
~ r, t) + 1 ∂Φ(~r, t) ) = − 4π ~j(~r, t)
A(~r, t) − ∇(
c2 ∂t2
c ∂t
c
(5.15)
~ r, t) −
~ 2 A(~
⇒∇
~→A
~ + ∇Λ,
~
Freiheit der Eichtransformation: A
Φ→Φ−
1 ∂Λ
c ∂t
Definition 5.4 (Lorentz-Eichung)
2
~ 2 Λ(~r, t) − 1 ∂ Λ(~r, t) = 0
∇
c ∂t2
(5.16)
Λ kann mit der Lorentz-Eichung so gewählt werden, dass
~ ·A
~+
⇒∇
1 ∂Φ
=0
c ∂t
(5.17)
Durch eine Eichtransformation soll erreicht werden, dass der Term
~ ·A
~ + 1 ∂Φ
∇
c ∂t
(5.18)
0
~ ·A
~ 0 + 1 ∂Φ = 0
∇
c ∂t
(5.19)
verschwindet. Fordere:
2
~ ·A
~+∇
~ 2 Λ + 1 ∂Φ − 1 ∂ Λ
=∇
c ∂t
c2 ∂t
d.h. die Begingung lautet:
2
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = −(∇
~ 2Λ − 1 ∂ Λ )
⇒∇
c ∂t {z
c2 ∂t }
|
LOREN T Z−Bedingung
⇒ Lorentz-Eichung ist speziell
52
2
~ 2Λ − 1 ∂ Λ = 0
∇
c2 ∂t
(5.20)
Diese erfüllt offensichtlich die Lorent-Bedingung. Mit dieser Wahl der Eichung werden die
Gleichungen entkoppelt:
1 ∂2Φ ~ 2
− ∇ Φ = 4φρ(~r, t)
c2 ∂t2
~
1 ∂2A
~ = 4π ~j(~r, t)
~ 2A
−∇
2
2
c ∂t
c
(5.21)
(5.22)
Definition 5.5 (d’Alembert-Operator)
≡
1 ∂2
~2
−∇
c2 ∂t2
(5.23)
Damit ergibt sich:
Φ(~r, t) = 4πρ(~r, t)
4π
Ai (~r, t) =
ji (~r, t)
c
(5.24)
(5.25)
...zusammen mit der Lorentz-Eichung1
~ ·A
~ + 1 ∂Φ = 0
∇
c ∂t
1
(5.26)
Historischer Hinweis: diese Eichbedingung geht auf den dänischen Physiker L. Lorenz - einen Zeitgenossen von J.C. Maxwell - zurück, wird aber in der Literatur häufig nach dem holländischen Physiker H.
Lorentz benannt. Dieser hat den Zusammenhang zwischen den Maxwell-Gleichungen und der speziellen
Relativitätstheorie von A. Einstein systematisiert.
53
5.5 Mathematischer Anhang
(a) Definition 5.6 (Integralformel von Cauchy) Sei f (z) eine holomorphe (analytisch,
d.h. beliebig oft differenzierbar) Funktion der komplexen Variablen z = <(z) + i=(z).
Abbildung 5.2: Integralsatz von Cauchy
Dann gilt:
˛
dz
f (z)
= 2πif (a)
z−a
(5.27)
falls a innerhalb des geschlossenen Weges S; = 0, falls a außerhalb von S.
(b) Definition 5.7 (Heavyside-Funktion/Stufen-Funktion)
1
lim (−
)
→0
2πi
ˆ
+∞
dω
−∞
e−iωτ
>0
= Θ(τ ) = {1...τ
0...τ <0
ω + i
Beweis: betrachte geschlossene Wege
Abbildung 5.3: geschlossene Wege
i.) Fall τ < 0:
ˆ
+∞
−∞
e+iω|τ |
dω
=
ω + i
˛
dz
(1)
54
e+iz|τ |
=0
z + i
(5.28)
ii.) Fall τ > 0:
ˆ
+∞
−∞
e−iωτ
dω
=
ω + i
˛
dz
e−izτ
= −2πieτ
z + i
(2)
(c) Darstellung der δ-Distribution
dΘ(τ )
1
δ(τ ) =
= lim (−
)
→0
dτ
2πi
ˆ
+∞
dω
−∞
−iωe−iωτ
ω + i
(5.29)
⇒ δ(τ ) = 0...τ 6= 0
ˆ +∞
⇒
dτ δ(τ ) = 1
−∞
Definition 5.8 (δ-Distribution)
1
δ(τ ) =
2π
ˆ
+∞
dωe−iωτ
(5.30)
−∞
(d) Definition 5.9 (Fourier-Transformation) Gegeben sei eine (integrierbare) Funtkion
f (t). Dann ist die Fourier-Transformierte von f (t):
ˆ
f˜(ω) = F [f ] =
+∞
dteiωt f (t)
(5.31)
−∞
Inverse Transformation:
ˆ
+∞
f (t) =
−∞
dω −iωt ˜
e
f (t)
2π
(5.32)
Beweis:
ˆ
+∞
f (t) =
−∞
ˆ
+∞
=
0
dω −iωt
e
2π
ˆ
+∞
dt
−∞
ˆ
−∞
+∞
=
ˆ
+∞
0
dt0 eiωt f (t0 )
−∞
dω −iω(t−t0 )
e
f (t0 )
2π
dt0 δ(t − t0 )f (t0 ) = f (t)
−∞
55
5.6 GREENsche Funktion der Wellengleichung
Ausgangspunkt: Wellengleichung vom Typ
1 ∂ 2 ψ(~r, t) ~ 2
− ∇ ψ(~r, t) = 4πf (~r, t)
c2 ∂t2
(5.33)
Fourier-Transformation von Ψ und f :
ˆ +∞
1
ψ(~r, t) =
dωe−iωt ψ̃(~r, ω)
2π −∞
ˆ +∞
1
f (~r, t) =
dωe−iωt f˜(~r, ω)
2π −∞
(5.34)
(5.35)
einsetzen in die Wellengleichung 5.33:
ω2 ~ 2
− ∇ )ψ̃(~r, ω) = 4π f˜(~r, ω)
c2
(5.36)
~ 2 + k 2 )ψ̃(~r, ω) = −4π f˜(~r, ω)
(∇
(5.37)
(−
oder
mit ω = c · k, wobei c = Lichtgeschwindigkeit und ω = 2πν mit der Frequenz ν.
Hinweis: der Zusammenhang ω = ω(k) heißt Dispersionsbeziehung.
Hier: lineare Relation ω = c · k (Wellenzahl k = 2π
λ , λ: Wellenlänge)
Definition 5.10 (Green’sche Funktion)
~ 2 + k 2 )Gk (~r, ~r 0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r 0 )
(∇
~
r
(5.38)
⇒ Lösung der Wellengleichung:
ˆ
ψ̃(~r, ω) =
d3 r0 Gk (~r, ~r 0 )f˜(~r 0 , ω)
(5.39)
In Abwesenheit weiterer Randbedingungen gilt Gk (~r, ~r 0 ) = Gk (~r − ~r 0 ). Weiterhin hängt Gk
offenbar nur von |~r − ~r 0 | ab.
Betrachte die Gleichung
~ 2 + k 2 )Gk (r) = −4πδ 3 (~r)
(∇
(5.40)
1 d2
(rGk ) + k 2 Gk = −4πδ 3 (~r)
r dr2
(5.41)
bzw.
56
⇒ für r 6= 0:
d2
(rGk ) + k 2 (rGk ) = 0
dr2
(5.42)
⇒ rGk (r) = Aeikr + Be−ikr
(5.43)
Für kleine r mit kr << 1 folgt
Gk (r) →
kr<<1
A+B
r
(unabhängig von k)
(5.44)
Andererseits:
~ 2 ( 1 ) = −4πδ 3 (~r)
∇
r
(5.45)
⇒ vollständige Lösung für alle r:
(+)
(−)
Gk (r) = AGk (r) + BGk (r)
(5.46)
mit
(±)
Gk (r) =
e±ikr
r
(Kugelwellen)
(5.47)
und
(5.48)
A+B =1
Betrachte nun die zeitabhängige GREEN-Funktion G(±) (~r, t; ~r 0 , t0 ), definiert durch folgende
Differentialgleichung:
~2−
(∇
~
r
1 ∂2
)G(±) (~r, t; ~r 0 , t0 ) = −4πδ 3 (~r − ~r 0 )δ(t − t0 )
c2 ∂t2
(5.49)
⇒ Lösung:
G
(±)
1
(~r, t; ~r , t ) =
2π
0
0
ˆ
0
∞
e±ik|~r−~r | −iω(t−t0 )
dω
e
|~r − ~r 0 |
−∞
mit k = ωc .
Beweis: nach Ausführung der zweifachen Differentiation nach der Zeit folgt:
ˆ
0
dω ~ 2 ω 2 e±ik|~r−~r | −iω(t−t0 )
(∇ + 2 ) ·
e
2π r
c
|~r − ~r 0 |
=k2
57
(5.50)
ˆ
=
0
dω ~ 2
e±ik|~r−~r | −iω(t−t0 )
]e
[(∇r + k 2 ) ·
2π
|~r − ~r 0 |
|
{z
}
−4πδ 3 (~
r−~
r 0)
ˆ
= −4πδ 3 (~r − ~r 0 )
dω −iω(t−t0 )
e
2π
|
{z
}
δ(t−t0 )
= −4πδ 3 (~r − ~r 0 )δ(t − t0 )
Zurück zur Green’schen Funktion:
mit k = ωc folgt:
G
(±)
1
(~r, t; ~r , t ) =
|~r − ~r 0 |
0
0
ˆ
∞
−∞
dω
|~r − ~r 0 |
0
· exp −iω(t − t ∓
2π
c
0
r |
δ(t − t0 ∓ |~r−~
c )
=
|~r − ~r 0 |
(5.51)
G(+) heißt retardierte Green-Funktion.
Interpretation: G(+) beschreibt die räumliche und zeitliche Entwicklung (PROPAGATION)
eines Signals, das von einer punktförmigen Quelle (δ-Funktions-Quelle) zur Zeit t0 am Ort ~r 0
r 0|
erzeugt wird und zu einer späteren Zeit t = t0 + |~r−~
> t0 im Abstand R = |~r − ~r 0 | von
c
0
der Quelle gemessen wird. Die Bedingung t > t heißt KAUSALITÄT: ein Signal, das von
einer Quelle ausgeht, zeigt seine messbare Wirkung an einem entfernten Ort zu einer späteren
Zeit.
Abbildung 5.4: Kausalität
Die Geschwindigkeit der Ausbreitung des Signals ist offenbar:
v=
G(−) =
|~
r −~
r 0|
δ(t−t0 + c
|~
r−~
r 0|
)
|~r − ~r 0 |
=c
t − t0
(Lichtgeschwindigkeit)
heißt entsprechend avancierte Green-Funktion.
58
(5.52)
5.7 Lösung der inhomogenen Wellengleichung
(
1 ∂2
~ 2 )ψ(~r, t) = 4πf (~r, t)
−∇
c2 ∂t2
(5.53)
(Dabei steht ψ für das Potential Φ falls f = ρ und für das Vektorpotential Ai falls f = ji )
• Partikuläre Lösungen der Wellengleichung:
ˆ
ψ
(±)
ˆ
3 0
(~r, t) =
dt0 G(±) (~r, t; ~r 0 , t0 )f (~r 0 , t0 )
d r
(5.54)
• Vollständige Lösung: addiere die allgemeine Lösung der homogenen Wellengleichung
(
1 ∂2
~ 2 )ψ (0) (~r, t) = 0
−∇
c2 ∂t2
(5.55)
Grenzfälle und Rand-/Anfangsbedingungen
(a) für t → −∞ einfallende Welle ψein (~r, t) mit
2
~ 2 − 1 ∂ )ψein = 0
(∇
c2 ∂t2
ˆ
ˆ
3 0
⇒ ψ(~r, t) = ψein (~r, t) + d r
dt0 G(+) (~r, t; ~r 0 , t0 )f (~r 0 , t0 )
|
{z
}
(5.56)
verschwindet für t→−∞
(b) Spezialfall: keine Welle für t → −∞. Gesamte Welle wird durch Quelle f erzeugt (d.h.
ψein ≡ 0)
ˆ
ψ(~r, t) =
r
3 0 f (~
d r
0
r |
= t − |~r−~
c )
|~r − ~r 0 |
0 , t0
(5.57)
Retardierte Potentiale:
Potential einer zeitlich veränderlichen Ladungsverteilung:
ˆ
Φret (~r, t) =
r
3 0 ρ(~
d r
0
r |
= t − |~r−~
c )
|~r − ~r 0 |
0 , t0
(5.58)
⇒ Vektorpotential einer zeitlich veränderlichen Stromdichteverteilung:
~ ret (~r, t) = 1
A
c
ˆ
~
r
3 0 j(~
d r
0
0, t
0
r |
= t0 − |~r−~
c )
|~r − ~r 0 |
(5.59)
r |
(avancierte Potentiale analog, mit t = t0 + |~r−~
c . Sind jedoch von geringer praktischer Bedeutung).
59
Elektromagnetische Strahlungsfelder:
~ r, t) =
E(~
~
~ r, t) − 1 ∂ A(~r, t)
−∇Φ(~
c ∂t
!
(5.60)
ret
(5.61)
~ r, t) = ∇
~ × A(~
~ r, t)ret
B(~
5.8 Energiedichte und Energiestrom des elektromagnetischen
Feldes
~ r, t), B(~
~ r, t).
Betrachte eine Punktladung q im zeitabhängigen elektromagnetischem Feld E(~
~+
• Kraft: F~ = q(E
• Leistung:
Arbeit
Zeit
~v
c
~
× B)
~ (kein Beitrag vom Magnetfeld)!
= F~ · ~v = q~v · E
q~v ist der Strom des Punktteilchens. Allgemein gilt für die auf das Teilchen pro Zeit übertragene Energie:
ˆ
Leistung =
(5.62)
~ r, t)
d3 r ~j(~r, t) · E(~
V
andererseits gilt aus den Maxwell-Gleichungen:
~
~ ×B
~ − 1 ∂E
~j = c ∇
4π
4π ∂t
ˆ
⇒
~ =− 1
d3 r ~j · E
4π
ˆ
~ · (∇
~ × B)
~ −E
~·
d3 r[cE
(5.63)
~
∂E
]
∂t
verwende
~ · (E
~ × B)
~ =B
~ · (∇
~ × E)
~ −E
~ · (∇
~ × B)
~
∇
ˆ
⇒
~ =− 1
d r ~j · E
4π
3
ˆ
~
~
~ · (E
~ × B)
~ +E
~ · ∂E + B
~ · ∂B ]
d3 r[c∇
∂t
∂t
60
Definition 5.11 (Energiedichte)
ω=
1 ~2
~ 2 (~r, t))
(E (~r, t) + B
8π
(5.64)
Definition 5.12 (Energiestromdichte)
~ = c (E(~
~ r, t) × B(~
~ r, t))
S
4π
(5.65)
(Poynting-Vektor)
Dann gilt offenbar die Kontinuitätsgleichung für den Energiestrom:
∂ω ~ ~
~
+ ∇ · S = −~j · E
∂t
(5.66)
∂ω ~ ~
+∇·S =0
∂t
(5.67)
im Vakuum:
61
6 Ausbreitung elektromagnetischer Wellen
6.1 Homogene Maxwell-Gleichungen
Propagation im Vakuum oder im homogenen und isotropen makroskopischen Medium:
~
~ = 1B
H
µ
~ = E
~
D
~
~ ×H
~ − 1 ∂D = 0
∇
c ∂t
Homogene Maxwell-Gleichungen
~ ·E
~ =0
∇
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
~
~ ×B
~ − µ ∂ E = 0
∇
c ∂t
~ ·B
~ =0
∇
Bilde:
~ × (∇
~ × E)
~ + 1 ∂ (∇
~ × B)
~ =
∇
c ∂t
2~
~ 2E
~ + µ ∂ E = 0
= −∇
c2 ∂t2
analog:
~ × (∇
~ × B)
~ − µ ∂ (∇
~ × E)
~ =
∇
c ∂t
2~
~ 2B
~ + µ ∂ B = 0
= −∇
c2 ∂t2
~ und B
~ folgt eine Wellengleichung vom Typ
Für jede Komponente von E
1 ∂2
2
~
∇ − 2 2 u(~r, t) = 0
v ∂t
62
(6.1)
mit Ausbreitungsgeschwindigkeit v =
c
µ .
Lösung ist ebene Welle:
~
u(~r, t) = eik·~r−iωt
(6.2)
Einsetzen in 6.1:
ω2
−~k 2 + 2 = 0
v
Wellenvektor ~k:
√ ω
k = |~k| = µ
c
Wähle zum Beispiel ~k = k~ez = (0, 0, k)
⇒ u(z, t) = eikz−iωt
offenbar ist auch k → −k eine Lösung.
Fundamental-(Basis-) Lösung:
uk (z, t) = Aeikz−iωt + Be−ikz−iωt
= Aeik(z−vt) + Be−ik(z+vt)
Lineare, homogene Differentialgleichung: Jede Superposition dieser Lösung ist wieder eine
Lösung der Wellengleichung:
ˆ
∞
u(z, t) =
−∞
i
dk h
A(k)eik(z−vt) + B(k)e− ik(z + vt)
2π
(6.3)
Wellenpaket: Überlagerung von Wellen verschiedener Frequenzen bzw. Wellenlängen.
Allgemeine Struktur der Lösung der homogenen Wellengleichung:
u(z, t) = f (z − vt) + g(z + vt)
(6.4)
6.2 Ebene elektromagnetische Wellen
monochromatische Wellen:
~ r, t) = E
~ 0 ei~k·~r−iωt
E(~
(6.5)
~ r, t) = B
~ 0 ei~k·~r−iωt
B(~
(6.6)
63
~k = k~n mit ~n Einheitsvektor in Ausbreitungsrichtung.
~ ·E
~ = 0 und ∇
~ ·B
~ = 0 folgt:
Mit ∇
~k · E
~ =0
~k · B
~ =0
~ 0 = ~n · B
~0 = 0
~n · E
⇒ Elektromagnetsiche Wellen (in Abwesenheit von Quellen) sind transversal.
~
1 ∂B
iω ~
~
~
~
~
~
∇×E+
= ik × E0 − B0 eik·~r−iωt = 0
c ∂t
c
~ ~
~ = √µ k × E
B
k
~ 0 = √µ ~n × E
~0
B
(6.7)
(6.8)
~ B
~ und ~k bilden Orthogonalsystem.
E,
Poynting-Vektor und Energiedichte:
zeitlich gemittelte Größen:
c
~ × =Hi
~ T
h<E
4π
r
c ~∗ ~
c
~ 2
v ~ 2
=
E0 × B0 =
|E0 | ~n =
|E0 | ~n
8πµ
8π µ
8π
~ T =
hSi
Energiedichte:
1 ~∗ ~
~∗ · H
~0
E0 · D0 + B
hwi
~ T =
0
16π
1
~ 0 |2 + 1 |B
~ 0 |2 = |E
~ 0 |2
=
|E
16π
µ
8π
6.3 Polarisationsrichtungen ebener elektromagnetischer Wellen
~
Führe ein: Koordinatensystem {~e1 , ~e2 , ~n} mit ~n = kk .
~e1 · ~e2 = 0, ~e1 · ~n = 0, ~e2 · ~n = 0
~ r, t) = (E1~e1 + E2~e2 ) ei~k·~r−iωt
E(~
E1 = |E1 |eiϕ1 , E2 = |E2 |eiϕ2
(a) Lineare Polarisation:
E1 und E2 in Phase: ϕ = ϕ1 = ϕ2 (z.B. E1 , E2 reell)
64
(6.9)
(b) Elliptische Polarisation:
realisiert für ϕ1 6= ϕ2 ; Beispiel: ϕ1 = 0, ϕ2 = π/2
~ r, t) = (|E1 |~e1 + i|E2 |~e2 ) ei~k·~r−iωt
⇒ E(~
wähle E1,2 reell, ~e1 = ~ex , ~e2 = ~ey , ~n =
~ =
<E
~k
k
= ~ez
Ex
E1 cos (kz − ωt)
E1 cos (ωt − kz)
=
=
Ey
−E2 sin (kz − ωt)
E2 sin (ωt − kz)
~ eine Ellipse in der xy-Ebene:
⇒ am Ort z = 0 beschreibt der Vektor <E
Abbildung 6.1: Ellipse in der xy-Ebene
(c) Zirkulare Polarisation:
Spezialfall mit ϕ1 = 0, ϕ2 = ±π/2, Kreis mit Radius E0 :
Ex2 + Ey2 = E02
~ = E0
⇒ <E
cos(ωt − kz)
± sin(ωt − kz)
Helizität:
Drehsinn der Polarisation relativ zu Ausbreitungsrichtung
Drehsinn
~ ± (~r, t) = E0 ~e± ei~k·~r−iωt
E
65
mit
1
~e± = √ (~ex ± i~ey )
2
~e+ · ~e∗+ = ~e− · ~e∗− = 1
(
+ rechts-zirkular
⇒ Helizität
− links-zirkular
6.4 Reflexion und Brechung von Wellen an Grenzflächen
Ausgangspunkt: Grenzfläche zwischen zwei Medien mit verschiedenen Materialkonstanten.
Abbildung 6.2: Reflexion an Grenzfläche
Thema: Verständnis der Reflexions- und Brechunsgesetze der Geometrischen Optik :
⇒ Führe Brechungsindizes ein:
• Wellenvektor im Vakuum ~k0 mit :
ω
k0 = |~k0 | =
c
• Wellenvektor im Medium ~k mit:
ω
k = |~k| = n
c
mit dem Brechungsindex
n=
√
µ
(6.10)
θ = ϕ0
(6.11)
Zu zeigen:
• Reflexionsgesetz:
66
• Snellius’sches Brechungsgesetz
sin θ
n0
=
=
sin ϕ
n
s
0 µ0
µ
(6.12)
(1) Einfallende Welle
~ ~
~ =E
~ 0 ei~k·~r−iωt , B
~ = √µ k × E
E
k
(2) Gebrochene Welle
~0 = E
~ 0 ei~k0 ·~r−iωt , B
~0 =
E
0
~k 0 × E
~0
p
µ0 0
k0
(3) Reflektierte Welle
~ 00 ~ 00
~ 00 = E
~ 000 ei~k00 ·~r−iωt , B
~ 00 = √µ k × E
E
k 00
Randbedingungen an der Grenzfläche (z = 0):
⇒ Stetigkeit (kein Phasensprung) der Wellen entlang der Grenzflächenebene (i.e. tangential)
⇒ ~k · ~r
z=0
= ~k 0 · ~r
z=0
= ~k 00 · ~r
z=0
das heißt
kx x = kx0 x = kx00 x ⇒ kx = kx0 = kx00
daraus folgt:
k sin θ = k 0 sin ϕ = k 00 sin ϕ0
aber auch k 00 = k
Definition 6.1 (SNELLIUS-Gesetze)
k0
sin θ
n0
=
=
und θ = ϕ0
k
sin ϕ
n
(6.13)
Reflexions- und Transmissions-Koeffizient: Untersuche zeitlich gemittelte Energiestromdichte
(POYNTING-Vektor) in den verschiedenen Materialien:
~ =
hSi
c
~ × <Hi
~ = c E
~∗ × B
~0
h<E
4π
8πµ 0
hier ist
~ r, t) = E
~ 0 ei~k·~r−iωt
E(~
~ r,~ t) = 1 B
~ 0 ei~k·~r−iωt
~ r,~ t) = 1 B(
H(
µ
µ
67
Abbildung 6.3: Reflexion und Transmission
~ ~
~ 0 = √µ k × E0
B
k
zunächst: Brechungsindex n =
√
µ reell.
~k = n~k0 , |~k0 | = ω ≡ k0
c
~ = c E
~ ∗ × √µ
⇒ hSi
8πµ 0 |{z}
~k0
~0
×E
k0
!
n
√
für ein Medium mit µ = 1 (n =
):
c ~ 2 ~k0
n|E0 |
8π
k0
~ =
hSi
(6.14)
...kann verallgemeinert werden für komplexen Brechungsindex: n = nR + inI
~ =
hSi
~
c −2nI ~k0 ·~r
~ 0 |2 k 0
e
nR |E
8π
k0
(6.15)
Verhältnis der zeitgemittelten POYNTING-Vektoren ⇒ Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.
bei senkrechtem Einfall:
• REFLEXIONS-Koeffizient
~ 00 i|
~ 00 |2
|E
|hS
= 0
~
~ 0 |2
|hSi|
|E
(6.16)
~ 0 i|
~ 0 |2
|hS
n0 |E
0
=
~
~ 0 |2
n |E
|hSi|
(6.17)
R=
• TRANSMISSIONS-Koeffizient
T =
68
woebi n und n0 reell.
Falls z.B. n reell und n0 = n0R + in0I komplex, dann gilt mit Gleichung 6.15 bei z = 0:
T =
~ 0 |2
n0R |E
0
~ 0 |2
n |E
Siehe Beispiel im nächsten Abschnitt.
Zusammenfassung:
Randbedingungen für Felder an Grenzflächen:
i) Bedingung für NORMAL-Komponenten:
~ · ~en stetig auf G
– D
~ · ~en stetig auf G
– B
ii) Bedingung für TANGENTIAL-Komponenten:
~ × ~en stetig auf G
– E
~ × ~en stetig auf G
– H
Spezialfall bei senkrechtem Einfall vom Vakuum in ein polarisierbares Medium mit Dielektrizitätskonstante (magnetische Permeabilität µ = 1)
~ stetig bei z = 0
• E
~
• ∂ E/∂z
stetig bei z = 0
69
6.5 Beispiel: Reflexion und Brechung an einer Grenzfläche mit
Dämpfung
Medium (II) besitze Leitfähigkeit σ, es gelte das Ohmsche Gesetz
(6.18)
~
~j = σ E
Maxwell-Gleichungen:
~
~ ×B
~ − 1 ∂ D = 4π ~j = 4π σ E
~
∇
c ∂t
c
c
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
⇒
2
~ 2E
~− ∂
∇
c2 ∂t2
⇒
~
~ = 4πσ ∂ E
E
2
c ∂t
2
~ 2E
~− 1 ∂
∇
c2 ∂t2
~ =0
E
(Region II)
(Region I)
• Region I:
~i = E
~ +E
~ 00 = E
~ 0 eikz−iωt + E
~ 00 e−ikz−iωt
E
0
mit k = ω/c
• Region II
~ II = E
~0 = E
~ 00 eik0 z−iωt
E
eingesetzt:
⇒ k0 2 =
2
4πσ
ω +i 2 ω
c2
c
70
komplex
Brechungsindex
n2 =
k 0 2 c2
=
ω2
k0
k
2
=+i
4πσ
ω
n = nR + inI
• Rand- und Anschlussbedingungen:
Feld und 1. Ableitung stetig bei z = 0;
(1)
~0 + E
~ 000 = E
~ 00
E
(2)
~ ∂E
∂z stetig
z=0
~0 − E
~ 00 ) = ik 0 E
~0
ik(E
0
0
~ 0 = (E0 , 0, 0) linear polarisiert in x-Richtung
Wähle E
⇒ E0 + E000 = E00
⇒ E0 − E000 = nE00
n = nR + inI
Berechne
(a) Reflexionsvermögen
(b) Transmissionsvermögen
00 2
E R = 0 E0
0 2
E T = 0 nR
E0
aus den Anschlussbedingungen:
E000
1−n
=
,
E0
1+n
71
E00
2
=
E0
1+n
Es folgt:
1 − n 2 (1 − nR )2 + n2I
=
R = 1 + n
(1 + nR )2 + n2I
4nR
4nR
=
T =
|1 + n|2
(1 + n2R ) + n2I
(6.19)
(6.20)
Summe von Reflexions- und Transmissionskoeffizienten:
R+T =
(1 − nR )2 + n2I + 4nR
=1
(1 + nR )2 + n2I
Reflektierte und gebrochene Welle:
1−n
E000 e−ikz−iωt (ref lektierteW elle)
E (z, t) =
1+n
2
0
E (z, t) =
E00 e+inkz−iωt (transmittierteW elle)
1+n
00
Merke: Leitfähigkeit bewirkt Dämpfung der Welle in Region II:
n = nR + inI
einkz = einR kz e−nI kz
Beispiele:
• Wasser:
Hat im sichtbaren Bereich des Frequenzspektrums den Brechungsindex nR ≈ 1.33,
nI << nR .
⇒T ≈1
Wasser ist transparent.
• Leiter bzw. dissipatives Medium
Hier:
4πσ
n = 1+i
ω
2
bei hoher Leitfähigkeit:
4πσ
>> 1
ω
72
(µ = 1)
nR
nI
r
=
s

1+
2
4πσ
ω
1/2
2
± 1
r 4πσ 1/2
⇒n≈
(1 + i)
2 ω
das heißt nR ≈ nI ≡ κ.
Wellenzahl:
k≈
1 + i√
2πωσ
c
Falls auch κ >> 1:
R≈
(1 − κ)2 + κ2
2
≈1−
2
2
(1 + κ) + κ
κ
T ≈
2
<< 1
κ
Metalle sind gute „Spiegel“.
6.6 Dispersion
Ein Medium ist charakterisiert durch Dielektrizitäts-“Konstante“ , magnetische Permeabilität
√
µ, Brechungsindex n = µ.
und µ sind allgemein frequenzabhängig:
• Dielektrische Funktion (ω)
• Permeabilität µ()
⇒ nicht-linearer Zusammenhang zwischen Wellenzahl k und Frequenz ω:
k(ω) = n(ω)
ω p
ω
= µ(ω)(ω)
c
c
⇒ DISPERION
73
(6.21)
Abbildung 6.4: Dispersion in Wasser
Ein Modell für (ω) (klassische Elektronentheorie; Drude-Modell):
• System von Elektronen, durch harmonische Kräfte gebunden + Dämpfungssystem.
..
.
~ r, t)
F~ = m[~r + γ~r + ω02~r] = eE(~
• Harmonische Welle
~ r, t) = E
~ 0 ei~k·~r−iωt
E(~
⇒ ~r(t) =
~ 0 e−iωt
e
E
m ω02 − ω 2 − iωγ
~
(hier ausgenommen: kleine Amplituden, Entwicklung um ~r = 0, d.h. e−ik·~r ≈ 1. (Dipolnäherung))
Induziertes Dipolmoment eines Elektrons bei Auslenkung aus seiner Ruhelage:
~
e2
E
~
= χE (ω)E
d~ = e~r =
m ω02 − ω 2 − iωγ
wobei χE (ω) elektrische Suszeptibilität.
⇒ (ω) = 1 + 4πχE (ω) = 1 +
4πe2
1
2
m ω0 − ω 2 − iωγ
(einzelnes Elektron, harmonisch am Kern gebunden)
Für N Moleküle pro Volumen mit jeweils fi Elektronen pro Molekül, Bindungsfrequenzen
ωi :
(ω) = 1 +
4πN e2 X
fi
2 − ω 2 − iωγ
m
ω
i
i
i
74
(6.22)
Kleine Dämpfung (γi << ωi )
< (ω) = 1 +
= (ω) =
4πN e2 X
ω2 − ω2
fi 2 i 2 2
m
(ωi − ω ) + ω 2 γi2
i
4πN e2 X
ωγi
fi 2
m
(ωi − ω 2 )2 + ω 2 γi2
i
Abbildung 6.5: Dispersion
< (ω) ↔ Dispersion
= (ω) ↔ Absorption
Wellenzahl
k = kR + ikI = (nR + inI )
k2 = ω
c
ω2
ω2
2
2
⇒
k
−
k
=
< (ω)
R
I
c2
c2
2kR kI =
ω2
= (ω)
c2
Hochfrequenz-Verhalten von (ω); PLASMA-Frequenz:
Falls Frequenz ω groß im Vergleich zu allen ωi , also ω oberhalb aller Resonanzen:
⇒ (ω) ≈ 1 −
ω 2
4πN e2 X fi
P
=
1
−
2
m
ω
ω
i
mit der PLASMA-Frequenz
75
Definition 6.2 (Plasma-Frequenz)
r
ωP = e
4πN Z
m
(6.23)
Falls für ein dielektrisches Medium ω 2 >> ωP2 , dann folgt (ω) ≈ 1.
Verhalten von elektro-magnetischen Wellen im elektronischen PLASMA (z.B. Ionosphäre):
⇒ hohe Elektronendichten, quasifreie Elektronen.
⇒ Modell: freie Elektronen im elektrischen Wellenfeld:
..
m~r = eE0 e−iωt
⇒ Wellenzahl k =
q
√ ω
c = 1c ω 2 − ωP2
⇒ falls ω < ωP , dann ist k rein imaginär. Totalreflexion der elektro-magnetischen Welle am
Plasma.
6.7 Streuung elektromagnetischer Wellen
Problemstellung:
Abbildung 6.6: Streuung
Annahme: langwellige Strahlung, k · R << 1
• Einfallende Welle
~ i = ~ei E0 ei~k·~r−iωt
E
~ i = ~ez × E
~i
B
• Gestreute (auslaufende) Welle
. . . wird erzeugt von induzierten Dipolmomenten
~ = χE E
~i
d(t)
(Dipolnäherung)
⇒ gestreute Welle:
~ S = k2 e
E
ikr
r
h
i
~ × ~er e−iωt (in der Fernzone)
(~er × d)
~ S = ~er × E
~S
B
76
(kR << 1)
In Richtung ~er in ein Flächenelement
dF = r2 dΩ
emittierte Strahlungsleistung:
dP (Θ)
c 2 ~ 2
=
r |ES |
dΩ
8π
Mit Polarisationsfilter: wir interessieren uns z.B. für bestimmte Polarisation, dargestellt durch
„links“ beziehungsweise „rechts“-Helizität.
~P = a+~e+ + a−~e−
1
~e± = √ (~ex ± i~ey )
2
dP (~, Θ)
c 2 ∗ ~ 2
=
r ~P · ES dΩ
8π
(6.24)
Definition 6.3 (Differentieller Wirkungsquerschnitt) In einem vorgegebenen Raumwinkel Θ bzw. dΩ emittierte Strahlungsleistung, normiert auf den einlaufenden Energiestrom:
~ S |2
r2 |~P∗ · E
dσ
1 dP (~, Θ)
=
=
~i | dΩ
~ i |2
dΩ
|S
|E
~ i = c (E
~ i∗ × B
~ i ) = c ~ez |E
~ i |2
wegen S
8π
8π
6.8 Beispiel: Streuung an einer dielektrischen Kugel
Kugel mit Radius R:
Abbildung 6.7: Einlaufende und gestreute Welle
Induziertes Dipolmoment:
~i
~ i = − 1 R3 E
d~ = χE E
+2
77
(6.25)
~ S = k2
⇒E
i − 1
eikr h
~ i ) × ~er
R3
(~er × E
r
+2
mit
~ i (~r, t) = ~ei E0 ei~k·~r e−iωt
E
⇒ ~P∗
~ S = k2 e
·E
ikr
− 1
∗ ~
R3
~P · Ei
r
+2
2
2 ∗
dσ(~, Θ)
4 − 1
~ i |2
⇒
= (kR) R |~P · E
dΩ
+ 2
(6.26)
Merke: Benutzt wurde die Dipolnäherung kR << 1.
{~ez , ~er } definiert die Streuebene:
Abbildung 6.8: Streuebene
Polarisationsfreiheitsgrade der einfallenden Welle:
~ei = α~e⊥ + β~ek
√
~e⊥ senkrecht, ~ek parallel zur Streuebene. Unpolarisiertes Licht: α = β = 1/ 2
dann folgt: (wähle ~P = ~e⊥ oder ~P = ~ek )
a) Polarisation in der Streuebene
Abbildung 6.9: Polarisation in der Streuebene
Differentieller Wirkungsquerschnitt (für vollständig in Richtung ~ek polarisierte Welle)
2
dσk
4 6 − 1
=k R cos2 Θ
dΩ
+ 2
78
b) Polarisation senkrecht zur Streuebene
Abbildung 6.10: Polarisation senkrecht zur Streuebene
Differentieller Wirkungsquerschnitt (für vollständig in Richtung ~e⊥ polarisierte Welle)
2
dσ⊥
4 6 − 1
=k R dΩ
+ 2
c) für unpolarisiertes Licht, (~ei =
√1 (~
e
2 ⊥
+ ~ek ))
dσ
1 4 6 − 1 2
1 dσk dσ⊥
= k R (1 + cos2 Θ)
=
+
dΩ
2 dΩ
dΩ
2
+ 2
(6.27)
Polarisation (Asymmetrie) für Streuung mit unpolarisiertem Licht:
Π(Θ) =
dσ⊥
dΩ
dσ⊥
dΩ
+
+
dσk
dΩ
dσk
dΩ
=
sin2 Θ
1 + cos2 Θ
(6.28)
Bemerkung: k 4 -Abhängigkeit des differentiellen Streuquerschnitts
⇒ kurzwelliges Licht (violett) wird stärker gestreut als langwelliges Licht (rot) ⇒ „blauer
Himmel“ (Rayleigh’s ω 4 -Gesetz)
Maximum der Polarisation bei Θ = π2 : unter 90◦ gestreutes Licht ist 100◦ polarisiert (senkrecht
zur Streuebene). Auch in der Umgebung von Θ = π2 ist das Streulicht noch in starkem Maße
polarisiert.
79
6.9 Wellenpakete
Bisher stets: monochromatische Wellen (festes ω).
Jetzt: Betrachte Superposition solcher Wellen (eindimensionale Darstellung o.B.d.A.)
Definition 6.4 (Wellenpaket)
ˆ
+∞
u(z, t) =
−∞
dk
A(k)eikz−iωt
2π
Allgemein: ω(k) (im Vakuum: ω = ck, in Materie: ω =
√ck )
µ
Spektrum des Wellenpakets:
ˆ
+∞
dz u(z, 0)e−ikz =
A(k) =
ˆ
−∞
−∞
+∞
=
−∞
+∞
dz
=
ˆ
ˆ
+∞
−∞
dk 0
0
A(k 0 )eik z e−ikz =
2π
ˆ +∞
√
0
A(k 0 )
dz ei(k −k)z = A(k)
2π
| −∞ {z
}
dk 0
=2πδ(k0 −k)
monochromatische Welle:
A(k) = 2πδ(k − k0 )
80
(6.29)
Beispiel eines Wellenpakets: Lokalisierte Welle
Abbildung 6.11: Lokalisierte Welle
(
eik0 z
u(z, 0) =
0
|z| ≤ ∆z
sonst
Dann gilt:
ˆ
+∞
A(k) =
ˆ
dz u(z, 0)e−ikz =
−∞
+∆z
=
dz ei(k0 −k)z =
−∆z
=
i
h
1
ei(k0 −k)∆z − e−i(k0 −k)∆z =
i(k0 − k)
2i sin[(k0 − k)∆z]
sin[(k0 − k)∆z]
= 2∆z
i(k0 − k)
(k0 − k)∆z
Abbildung 6.12: Wellenpaket
81
Weiteres Beispiel: GAUSS’sche Wellenpakete
ˆ
+∞
u(z, 0) =
−∞
dk
A(k)eikz
2π
mit
2
(k−k0 )
1
−
√ e 2(∆k)2
∆k 2π
A(k) =
Abbildung 6.13: Gausssches Wellenpaket
Setze im Folgenden k − k0 = k 0 . Es gilt:
u(z, 0) =
=
ˆ
1
√
∆k 2π
−
dk 0 e
0
√k
2∆k
2
0
ei(k +k0 )z =
−∞
eik0 z
∆k(2π)3/2
=
+∞
ˆ
+∞
−
dk 0 e
k0 2
2(∆k)2
0
eik z =
−∞
1 ik0 z − (∆k)2 z2
2
e e
2π
Das Produkt aus den Breiten der Wellenzahl, ∆k, und der Ortsverteilung, ∆z, ist beschränkt!
Allgemein kann gezeigt werden:
82
∆k · ∆z ≥
1
2
(6.30)
Dabei ist ∆k bzw. ∆z mit den Distributionen A(x) folgendermaßen verknüpft:
Mittelwert:
´
dx × A(x)
x̄ = ´
dx A(x)
Mittlere quadratische Abweichung (vom Mittelwert)
´
2
(∆x) =
(x − x̄)2 A(x)
´
dx A(x)
(∆x steht hier entweder f+r ∆k oder für ∆z)
Ein räumlich lokalisiertes Wellenpaket impliziert eine endliche spektrale Verteilung A(k). Eine
monochromatische Welle ist notwendig über den gesamten Raum verteil.
Hinweis: in der Quantenmechanik wird der Impuls eines Teilchens identifiziert mit p = ~k,
h
~ = 2π
(Plancksches Wirkungsquantum).
Definition 6.5 (Heisenbergsche Unschärferelation)
∆p · ∆x ≥
83
~
2
(6.31)
6.10 Gruppen- und Phasengeschwindigkeit
Angenommen: Wellenpaket mit lokalisiertem Spektrum A(k).
Abbildung 6.14: Lokalisiertes Wellenpaket
ˆ
+∞
u(z, t) =
−∞
dk
A(k)eikz−iω(k)t
2π
dabei sei k = n(ω) ωc durch Lösung dieser Dispersionsgleichung übersetzt in eine Funktion
ω(k).
Entwicklung um k = k0 mit ω0 = ω(k0 ):
dω ω(k) = ω0 + (k − k0 ) + ...
dk k=k0
Definition 6.6 (Gruppengeschwindigkeit)
vg =
dω(k)
dk
(6.32)
Zu unterscheiden von der Phasengeschwindigkeit:
Definition 6.7 (Phasengeschwindigkeit)
vP =
c
ω(k)
=
k
n
Mit der Entwicklung von ω(k) folgt:
ˆ
+∞
u(z, t) ≈
−∞
dk
A(k) eikz−iω0 t−i(k−k0 )vg t
2π
mit
dω vg =
dk k=k0
Dies kann umgeschrieben werden in:
84
(6.33)
u(x, t) ≈ ei(k0 vg −ω0 t)t u(z − vg t, 0)
Ein Signal zur Zeit t am Ort z ist verknüpft mit einem Signal zur Zeit t = 0 am Ort
0
z = z − vg t
!
dω vg =
dk k=k0
Für ein Wellenpaket ist die Gruppengeschwindigkeit zu identifizieren mit der Geschwindigkeit
der Ausbreitung eines Signals.
85
7 Elektrodynamik und Spezielle
Relativitätstheorie
7.1 Newtonsche Mechanik und Galilei-Transformation
Zur Erinnerung: Klassische (nicht-relativistische) Mechanik:
1) Es existiert eine absolute Zeit, die unabhängig vom physikalischen Geschehen gleichförmig abläuft.
2) Es gibt einen absoluten Raum, dargestellt durch den R3 (3 dimensionaler Euklidischer
Raum)
Abstand zweier Punkte


 
x1
x2
~r1 =  y1  und ~r2 =  y2 
z1
z2
s = |~r1 − ~r2 | =
p
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
• Ist K ein Inertialsystem (Bezugssystem, in dem sich ein kräftefreies Teilchen geradlinig
und gleichförmig bewegt) und K 0 ein zweites Bezugssystem, das sich relativ zu K mit
konstanter Geschwindigkeit bewegt, so ist auch K 0 ein Inertialsystem.
Relativitätsprinzip der klassischen Mechanik:
Die Newtonschen (bzw. Lagrange-/Hamilton-) Bewegungsgleichungen besitzen in allen Inertialsystemen die gleiche Form.
Galilei-Transformation:
Abbildung 7.1: Galilei-Transformation



 
x
d~r 
K : ~r = y  , ~v =

dt 
z
86

 0
x
0
d~r 
K 0 : ~r 0 = y 0  , ~v 0 =

dt 
z0


Dann gilt:
~
~v 0 = ~v − V
(7.1)
~t
~r 0 = ~r − V
(7.2)
Transformation von Impulsen:
p~ = m~v , p~ 0 = m~v
0
~
p~ 0 = p~ − mV
(7.3)
Transformation der Energie:
E=
E0 =
p~ 2
+ E0 , E0 = E(~
p = 0)
2m
p~ 02
p~ 2
~ + mV
~
+ E0 =
+ E0 − p~ · V
2m
2m
2
~ +
E 0 = E − p~ · V
m~
V
2
2
2
(7.4)
7.2 Das Einsteinsche Relativitätsprinzip
Es existiert eine absolute Maximalgeschwindigkeit (Grenzgeschwindigkeit) für die Ausbreitung
von Signalen/Wirkungen:
Definition 7.1 (Lichtgeschwindigkeit)
c = 2, 998 · 108 m/s
(7.5)
Die Lichtgeschwindigkeit c ist in allen Inertialsystemen gleich (Einsteinsches Relativitätsprinzip).
⇒ Zeit t verliert ihren absoluten Charakter!
87
7.3 Ereignisse in der Raum-Zeit; Minkowski-Raum
Definition 7.2 Ein EREIGNIS wird beschrieben durch einen Vektor (t, ~r) im 4-dimensionalen
Raum.
Betrachte zwei Inertialsysteme K, K 0 :
Abbildung 7.2: Weltlinie
Beispiel: Ereignis = Lichtsignale, ausgesendet am Punkt (t1 , x1 , y1 , z1 ) und empfangen am
Punkt (t2 , x2 , y2 , z2 )
• Im System K:
c(t2 − t1 ) = [(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 ]1/2
| {z }
| {z }
| {z }
| {z }
∆t
∆x
∆y
∆z
• Im System K 0 :
1(2
c(t02 − t01 ) = (x02 − x01 )2 + (y20 − y10 )2 + (z20 − z10 )2
Für Ereignisse, die sich mit Lichtgeschwindigkeit c bewegen, gilt
c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 = 0
(7.6)
in allen Inertialsystemen.
Definition 7.3 (Abstand zwischen zwei Ereignissen)
s2 = c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2
(7.7)
Forderung: Der so definierte Abstand ist eine INVARIANTE, d.h. in allen Inertialsystemen
gleich.
88
a) zeitartiger Abstand
s2 = c2 (∆t)2 − (∆~r)2 > 0
(7.8)
s2 = c2 (∆t)2 − (∆~r)2 < 0
(7.9)
b) raumartiger Abstand
Abbildung 7.3: Weltlinie eines geradlinig und gleichförmig bewegten Teilchens
Licht: Bewegt sich auf dem Lichtkegel mit v = dx/dt = c , |∆x| = c|∆t|
MINKOWSKI-Raum:
4-dimensionaler Raum mit Vektoren (ct, x, y, z)
x0 = ct , x1 = x , x2 = y , x3 = z
xµ = (x0 , x1 , x2 , x3 ) = (x0 , ~x) , µ = 0, 1, 2, 3
Metrik: Länge des Vektors xµ ↔ Definition des Skalarprodukts:
Definition 7.4 (Skalarprodukt)
|x|2 ≡ x · x = (x0 )2 − (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2
• Kontravariante Darstellung:
• Kovariante Darstellung:
(7.10)
x µ = (x0 , ~x)
(7.11)
xµ = (x0 , −~x) , x0 = x0
(7.12)
(xµ und xµ sind zueinander DUAL).
89
3
X
|x|2 =
xµ x µ =
µ=0
3
X
x µ xµ
µ=0
Skalarprodukt zweier Vektoren:
a·b=
X
aµ b µ =
X
a µ bµ
µ
µ
Metrik-Tensor

gµν

1 0
0
0
0 −1 0
0
µν

=
0 0 −1 0  = g
0 0
0 −1
es gilt:
xµ =
X
gµν x ν
ν
Skalarprodukt:
a·b=
X
aµ bν g µν =
µν
X
aµ bν g µν
µν
Definition 7.5 (Minkowski-Raum) Der 4-dimensionale Raum
M 4 = {x µ }
heißt Minkowski-Raum
7.4 Lorentz-Transformation
Galilei-Transformation
x = x0 + V t
t = t0
genügt offenbar nicht dem Einsteinschen Relativitätsprinzip: „Lichtgeschwindigkeit“ transformiert sich wie
c = c0 + V
90
im Widerspruch zum Michelson-Morley-Experiment.
Gesucht: Transformation, die den Abstand
s=
p
c2 (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2
zweier Ereignisse bei festem c in jedem Inertialsystem invariant lässt, also
c2 t2 − x2 = c2 t0 2 − x0 2
invariant.
Ansatz für lineare Transformation:
0
ct
a11 a12
ct
=
x
a21 a22
x0
⇒ c2 t2 − x2 = (a11 ct0 + a12 x0 )2 − (a21 ct0 + a22 x0 )2 =
= c2 t0 2 − x0 2
⇒ a211 − a221 = 1 ; a212 − a222 = −1 ; a11 a12 = a21 a22
Parametrisierung:
a11 = a22 = cosh α
a12 = a21 = sinh α
mit
1
cosh α = (eα + e−α ) = cos iα
2
1
sinh α = (eα − e−α ) = −i sin iα
2
und
cosh2 α − sinh2 α = 1
91
Bestimme α: Untersuche Bewegung des Punktes x0 = 0 im K 0 -System vom Standpunkt eines
Beobachters im K-System
ct = ct0 cosh α
x0 = ct0 sinh α = V t
⇒
x0
V
sinh α
=
=
= tanh α
ct
c
cosh α
Beziehungen:
β≡
γ=
1−
V2
c2
V
c
−1/2
= 1 − β2
−1/2
Dann gilt offenbar:
sinh α = βγ ; cosh α = γ
(7.13)
. . . wegen tanh α = β , cosh2 α − sinh2 α = γ 2 (1 − β 2 ) = 1
Lorentz-Transformation in kompakter Form:
  0
  
ct
γ βγ 0 0
ct
 x  βγ γ 0 0  x0 
 
 =
y  0
0 1 0  y 0 
z0
0
0 0 1
z
Dies sind die speziellen Lorentz-Transformationen.
Explizit:
ct0 + Vc x0
q
ct =
2
1 − Vc2
(7.14)
x0 + V t 0
x= q
2
1 − Vc2
(7.15)
Galilei-Transformation: im Grenzfall v/c << 1
92
7.5 Lorentz-Kontraktion und Zeit-Dilatation
Gegeben sei ein Längenmaßstab l0 = ∆x im K-System, in dem der Maßstab ruht.
∆x = x1 − x2
Dazu bewegtes K 0 -System (Relativgeschwindigkeit V ). Wie ändert sich l0 in K 0 ?
x0 + V t 0
x0 + V t 0
x1 − x2 = q1
− q2
2
2
1 − Vc2
1 − Vc2
also
∆x0
= ∆x0 · γ
∆x = q
V2
1 − c2
Definition 7.6 (Lorentz-Kontraktion)
r
l0 = l0
1−
V2
c2
(7.16)
Die zur Bewegungsrichtung senkrechten Abmessungen bleiben unverändert.
Abbildung 7.4: Lorentz-Kontraktion
Zeitdilatation: Gegeben seien zwei Uhren, die sich relativ zueinander mit der Geschwindigkeit
V bewegen. Messung eines Zeitintervalls in den Systemen K und K 0 .
Uhr Nr. 1: fest mit Beobachter verbunden, der sich mit dem System K 0 (Geschwindigkeit V )
bewegt:
t01 − t02 = ∆τ
Eigenzeit
(Uhr 1 fixiert bei x0 = 0).
Ein im System K ruhender Beobachter misst Zeitintervall ∆t = t1 − t2 :
93
c(t0 − t02 )
c(t1 − t2 ) = q 1
2
1 − Vc2
(x01,2 = 0)
Definition 7.7 (Zeitdilatation)
∆τ
∆t = q
2
1 − Vc2
(7.17)
Zeitintervall ∆t erscheint einem relativ zur Uhr bewegten Beobachter länger als die Eigenzeit
∆τ .
7.6 Bahnkurve und Eigenzeit
Betrachte eine Weltlinie
Abbildung 7.5: Weltlinie
Eigenzeit: Zeit τ , die von einer mit dem Teilchen (d.h. in dessen Ruhesystem) mitlaufenden
Uhr angezeigt wird. Die im ruhenden System angezeigte Zeit sei t.
x µ (1) = x µ (τ1 ) , x µ (2) = x µ (τ2 )
entlang der Bahnkurve im Minkowski-Raum.
„Vierer-Geschwindigkeit“:
uµ =
dx µ
dx µ dt
=
= (u0 , u1 , u2 , u3 )
dτ
dt dτ
also:
u0 = c
dt
c
=q
dτ
1−
mit
94
v2
c2
= γc
(7.18)
2
2
dx
dt
2
2
ui =
dxi dt
vi
·
=q
dt dτ
1−
v = ẋ + ẏ + ż =
2
v2
c2
+
dy
dt
= γvi
2
+
dz
dt
2
(i = 1, 2, 3)
es gilt:
3
X
Uµ uµ = |u|2 = γ 2 (c2 − v 2 ) = c2
µ=0
7.7 Energie und Impuls
Definition 7.8 (Vierer-Impuls)
(7.19)
p µ = muµ = (p0 , p~)
mc
p0 = q
1−
v2
c2
m~v
, p~ = q
1−
v2
c2
pµ ist Vierer-Vektor, da uµ nach Konstruktion Vierer-Vektor.
Beispiel: Zerfall von Teilchen a → b + c
Ea =
p
m2a c4 + p~a2 c2
,
Eb =
q
m2b c4 + p~b2 c2
, etc.
Teilchen a sei in Ruhe: p~a = 0
• Impulserhaltung:
p~b + p~c = 0 ,
p~b = −~
pc ≡ p~
• Energieerhaltungssatz:
Ea = ma c2 =
q
p
m2b c4 + p~ 2 c2 + m2c c4 + p~ 2 c2
Beispiel: Zerfall eines Pions in ein Myon und ein Neutrino:
π + → µ+ + ν
95
mπ c2 = 139, 6 M eV = 273, 1 · me c2
mµ c2 = 105, 7 M eV = 206, 8 · me c2
mν ≈ 0
Energiebilanz:
Eπ = mπ c2 = Eµ + Eν =
⇒ |~
p| =
q
m2µ c4 + p~ 2 c2 + |~
p|c
m2π − m2µ
c = 29, 8M eV /c
2mπ
Spezielle Relativitätstheorie besagt: Masse ist Form von Energie und kann in andere Energieformen umgewandelt werden.
Vierer-Impuls
p µ = (E/c, p~)
mit
|p2 | =
X
pµ p µ =
µ
E=
e2
− p~ 2 = m2 c2 > 0
c2
p
m2 c4 + p~ 2 c2
Vierer-Impuls ist zeitartig für Wechselwirkung von freiem Teilchen der Masse m. Insbesondere:
E 2 = p~ 2 c2
beziehungsweise
E = |~
p|c
für masselose („lichtartige“) Teilchen.
96
(7.20)
Punkte (p0 = E/c, p~) liegen auf der oberen Schale eines Hyperboloids
(p0 )2 − p~ 2 = m2 c2
Abbildung 7.6: Hyperboloid
7.8 Kovariante Differentialoperatoren
a) Vierer-Gradient
∂
=
∂x µ
∂
=
∂xµ
∂
∂
∂
∂
,
,
,
∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
∂
∂
∂
∂
,
,
,
∂x0 ∂x1 ∂x2 ∂x3
T
=
T
=
1∂ ~
,∇
c ∂t
T
1∂
~
, −∇
c ∂t
≡ ∂µ
T
≡ ∂µ
. . . ab sofort: Einsteinsche Summations-Konvention:
3
X
(7.21)
aµ b µ ≡ aµ b µ
µ=0
b) D’Alembert-Operator
∂µ ∂ µ =
2
∂2
~ 2 = 1 ∂ −∇
~ 2
−
∇
c2 ∂t2
∂x20
(Lorentz-Invariante)
c) Vierer-Divergenz eines Vierer-Vektorfeldes
a µ (x) = (a0 (x), ~a(x))
97
∂µ a µ (x) =
1 ∂a0 ~
+ ∇ · ~a(x)
c ∂t
(Lorentz-Invariante)
7.9 Mathematische Eigenschaften der Lorentz-Transformation
Betrachte allgemeine lineare Transformation

   
ct0
ct̄
ct
 x0 
 x   x̄ 
  = A  +  
 y0 
 y   ȳ 
z̄
z
z0

Die Lorentz-Gruppe O(3, 1) besteht aus allen Matrizen der Gestalt
A = SD1 Lv D2
mit

γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0

Lv = 
 0
0
1 0
0
0
0 1

,
r
v
β=
c
,
γ=
0
0
1
0

0
0

0
1
und Drehungen


1 0
0
0
0 d11 d12 d13 

D=
0 d21 d22 d23 
0 d31 d32 d33
mit

1

0
DD T = D T D = E = 
0
0
0
1
0
0
und det D = 1 sowie Spiegelungen


s0 0 0 0
 0 s1 0 0 

S=
 0 0 s2 0 
0 0 0 s3
98
1−
v2
c2
mit sα = ±1. S = E für sα = +1 ∀ α.
Räumliche Spiegelungen:


1 0
0
0
0 −1 0
0

S = (g µν ) = 
0 0 −1 0 
0 0
0 −1
Zeit-Spiegelungen:

−1

0
S = −(g µν ) = 
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1
• A ∈ O(3, 1) heißt allgemein Poincaré-Transformation
⇒ Poncaré-Gruppe
• Poincaré-Transformationen mit t̄ = x̄ = ȳ = z̄ = 0 heißten Lorentz-Transformationen.
⇒ eigentliche Lorentz-Transformationen:
det A = +1
⇒ uneigentliche Lorentz-Transformationen:
det A = −1
7.10 Lorentz-kovariante Form der Kontinuitätsgleichung
Ladungsdichte ρ(~r, t) ; Stromdichte ~j(~r, t), erfüllen die Kontinuitätsgleichung:
∂ρ ~ ~
+∇·j =0
∂t
Definition 7.9 (Vierer-Stromdichte)
J µ (x) =
cρ(x)
~j(x)
Dann gilt:
∂µ J µ (x) = 0
(Lorentz-Invariante)
99
(7.22)
7.11 Lorentz-kovariante Darstellung der inhomogenen
Wellengleichung
~ r, t) mit Lorentz-Eichung
Potentiale Φ(~r, t) , A(~
1 ∂Φ ~ ~
+∇·A=0
c ∂t
Wellengleichungen:
~
1 ∂2A
~ = 4π ~j
~ 2A
−∇
2
2
c ∂t
c
1 ∂2Φ ~ 2
− ∇ Φ = 4πρ
c2 ∂t2
Definition 7.10 (Vierer-Potential)
~
Aµ (x) = Φ(x), A(x)
(7.23)
Dann gilt:
Aµ (x) =
4π µ
J (x)
c
mit
= ∂ν ∂ ν =
1 ∂2
~2
−∇
c2 ∂t2
und der kovarianten Eichbedingung
∂µ Aµ (x) = 0
7.12 Der elektromagnetische Feldtensor
Elektromagnetische Felder aus Potentialen:
~
~ = − 1 ∂ A − ∇Φ
~
E
c ∂t
~ =∇
~ ×A
~
B
z.B. x-Komponenten:
Ex = −
1 ∂Ax ∂Φ
−
= −(∂ 0 A1 − ∂ 1 A0 )
c ∂t
∂x
100
(7.24)
Bx =
∂Ay
∂Az
−
= −(∂ 2 A3 − ∂ 3 A2 )
∂y
∂z
Definition 7.11 (Feldtensor)
F µν (x) = ∂ µ Aν (x) − ∂ ν Aµ (x)
(7.25)
Tensor 2. Stufe mit Sp(F ) = 0 (antisymmetrisch)

F µν

0 −Ex −Ey −Ez
Ex
0
−Bz By 

=
Ey Bz
0
−Bx 
Ez −By Bx
0
7.13 Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form
a) Inhomogene Maxwell-Gleichungen:
~ ·E
~ = 4πρ
∇
~
~ ×B
~ − 1 ∂ E = 4π ~j
∇
c ∂t
c
dann gilt:
∂µ F µν (x) =
4π ν
J (x)
c
(7.26)
b) Homogene Maxwell Gleichungen
~ ·B
~ =0
∇
~
~ ×E
~ + 1 ∂B = 0
∇
c ∂t
führe ein:
Definition 7.12 (Dualer Feldtensor)
1
F̃ µν (x) = µναβ Fαβ (x)
2
mit dem antisymmetrischen Tensor 4. Stufe
µναβ


+1 jede gerade Permutation (z.B. (µ, ν, α, β) = (0, 1, 2, 3))
= −1 jede ungerade Permutation


0
sonst
101
(7.27)
~ →B
~ ,B
~ → −E.
~ Das
Dualer Feldtensor ist mit Fµν verknüpft duch dei Transformation: E
heißt

0 −Bx −By −Bz
Bx
0
Ez −Ey 

=
By −Ez
0
Ex 
Bz Ey −Ex
0

F̃ µν
Homogene Maxwellgleichungen werden dargestellt durch
(7.28)
∂µ F̃ µν (x) = 0
Ausgedrückt durch F µν :
∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0
(Jacobi-Identität)
. . . automatisch erfüllt für F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ .
Invarianten aus Feldtensoren:
~2 − E
~ 2)
F µν Fµν = 2(B
~ ·B
~
F µν F̃µν = −4E
(Lorentz-Invariante)
(Lorentz-Invariante)
7.14 Lorentz-Transformation der elektromagnetischen Felder
Zur Erinnerung: Darstellung und Transformation von Vektoren
• kontravariante Form:
  
x0
ct



x1   x 

x = (xµ ) = 
x2  ≡  y 
z
x3

transponiert: xT = (x0 , x1 , x2 , x3 )
• kovariante Form:
xµ = gµν xν
E10 = E1
B10 = B1
E20 = γ(E2 − βB3 )
B20 = γ(B2 + βE3 )
E30 = γ(E3 + βB2 )
B30 = γ(B3 − βE2 )
Beispiel: allgemeine Lorentz-Transformation K → K 0 mit β~ = ~v /c:
102
2
~ β~ · E)
~
~ 0 = γ(E
~ + β~ × B)
~ − γ β(
E
γ+1
2
~ β~ · B)
~ 0 = γ(B
~ − β~ × E)
~ − γ β(
~
B
γ+1
7.15 Kovariante Form der Wechselwirkung zwischen geladenen
Teilchen und elektromagnetischen Feldern
~ Vierer-Impuls:
Teilchen mit Ladung e, Impuls p~ und Energie E.
pµ =
E
, p~
c
Invariante:
E 2 − p~ 2 c2 = pµ p µ = m2 c4
Wechselwirkung mit äußerem elektromagnetischem Feld. Lorentz-Kraft
~v
dp2
~
~
=e E+ ×B
dt
c
Leistung:
~ = dE
e~v · E
dt
Vierer-Geschwindigkeit
pµ
u =
=
m
µ
E p~
,
mc m
mit
m~v
p~ = q
1−
v2
c2
= γm~v
mc2
E=q
= γmc2
v2
1 − c2
Differentielles Zeitintervall dt und Eigenzeitintervall dτ : dt = γdτ
du µ
e µν
=
F uν
dτ
mc
Kovariante Form der Bewegungsgleichung.
103
(7.29)