Algebraische Geometrie -

Algebraische Geometrie
gehalten von Prof. Dr. U. Görtz
an der Universität Duisburg-Essen im Wintersemester 2012 / 2013
Stand: 5. Februar 2013
Aufgeschrieben von Johannes Hölken ([email protected])
Bei diesem Dokument handelt es sich um eine Mitschrift, daher kann Fehlerfreiheit nicht garantiert werden.
Insbesondere ist dieses Dokument kein offizielles Lehrmaterial der Fakultät für Mathematik der Universität
Duisburg-Essen.
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
I
3
Varietäten
1
Affine algebraische Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Affine algebraische Mengen und Radikalideale . . . . . . . . . . . . . . . .
Irreduzible topologische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quasi-kompakte und noethersche topologische Räume . . . . . . . . . . . .
2
Morphismen zwischen affinen algebraischen Mengen . . . . . . . . . . . . .
Der affine Koordinatenring einer affinen algebraischen Menge . . . . . . . .
Funktorialität des affinen Koordinatenrings . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Räume mit Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Raum mit Funktionen zu einer irreduziblen affinen algebraischen Menge
4
Prävarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Offene Unterprävarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgeschlossene Unterprävarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Projektive Varietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homogene Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der projektive Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Abgeschlossene Unterprävarietäten des projektiven Raums . . . . . . . . . .
Morphismen zwischen quasi-projektiven Varietäten . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Unterräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadriken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Das Spectrum eines Rings
7
Zariskitopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Funktorialität des Spectrums I . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der direkte (oder: induktive) Limes . . . . . . . . . . . . . . . .
Halme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Garbifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Direktes und inverses Bild von Garben unter stetigen Abbildungen
10 Lokal geringte Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Spektrum eines Rings als lokal geringter Raum . . . . . . . .
11 Funktorialität des Spectrums II . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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7
7
10
13
17
20
22
25
28
30
35
36
40
42
42
44
49
52
54
56
63
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83
85
87
89
93
III Schemata
12 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 offene Unterschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 Verklebesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verkleben von Morphismen und Morphismen in affine Schemata
Verkleben von Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Der projektive Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nullstellenschema homogener Polynome . . . . . . . . . . . . .
16 Generische Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 Reduzierte und Integre Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 Schemata und Prävarietäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schemata lokal von endlichem Typ . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich von Schemata und Prävarietäten . . . . . . . . . . . .
IV Faserprodukte
19 Schemata als Funktor . . . . . . . . . . . . .
Das Yoneda-Lemma . . . . . . . . . . . . . .
20 Faserprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition und Eigenschaften . . . . . . . . .
Faserprodukte in der Kategorie der Schemata
Fasern von Morphismen von Schemata . . . .
A Lizenz
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98
99
103
103
106
109
111
113
115
118
118
122
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124
124
126
129
129
133
136
139
B Register
140
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Bildnachweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2
1. Vorlesung - 15.10.2012
3
Einleitung
Was ist algebraische Geometrie?
Wir können die algebraische Geometrie in eine Linie von Vorlesungen einordnen:
Vorlesung
Lineare Algebra
Algebra
Algebraische Geometrie
Gegenstand der Betrachtung
Systeme von linearen Gleichungen in mehreren Unbestimmten.
Zum Beispiel Ax = b
Polynomgleichungen in einer Unbestimmten.
Zum Beispiel X 2 − 2 = 0
Systeme von Polynomgleichungen in mehreren Unbestimmten.
Zum Beispiel X 2 − 2Y = 0 ∧ Y 2 + X(XY − 1) = 0
Das Ziel dieser Vorlesung ist das Verständnis von Lösungsmengen solcher Systeme unter geometrischen Gesichtspunkten. Zum Beispiel werden wir eine Lösungsmenge, die aus einzelnen (diskreten)
Punkten besteht 0-dimensional, eine Lösungsmenge in Form einer Kurve aber 1-dimensional nennen wollen. Ebenso wird uns die „lokale“ Struktur der Lösungsmengen interessieren. Bevor wir aber
genauer über diese lokale Struktur reden können brauchen wir eine erste Definition.
Definition 0.1 (Verschwindungsmenge)
Sei k ein Körper und seien f1 , . . . , fm ∈ k[T1 , . . . , Tn ] Polynome in n Unbestimmten. Wir nennen
V(f1 , . . . , fm ) :=
(x1 , . . . , xn ) ∈ k n ∀i fi (x1 , . . . , xn ) = 0
die „gemeinsame Nullstellenmenge der fi “ oder die „Verschwindungsmenge“.
Beispiel 1 (Lokale Eigenschaften)
Für k := R und f = Y 2 − X 2 (X + 1) ∈ k[X, Y ] betrachte die Verschwindungsmenge
V(f ) = (x, y) ∈ R2 f (x, y) = 0 ⊂ R2
Wenn wir die Lösungsmenge im R2 aufzeichnen, erhalten wir eine „Kurve mit Knoten im
Ursprung“. Der aus der reellen Analysis bekannte Satz über die implizite Funktion (genauer der Satz über die inverse Funktion) liefert, dass V(f ) lokal (im Sinne der reellen
Metrik auf R2 ) bei (x, y) ∈ V(f ) aussieht wie
eine Gerade, falls gilt
∂f
∂f
(x, y) ,
(x, y)
6= (0, 0)
(∗)
∂X
∂Y
In unserem Beispiel gelten
∂f
∂X
∂f
∂Y
= −3X 2 − 2X = −X (3X + 2)
= 2Y
4
1. Vorlesung - 15.10.2012
Wann ist also (∗) für (x, y) ∈ V(f ) nicht erfüllt? Es gelten
∂f
2 (x, y) = 0 ⇔ (x, y) ∈ (0, t), (− , t) t ∈ R
∂X
3
∂f
(x, y) = 0 ⇔ (x, y) ∈ (t, 0) t ∈ R
∂Y
Der Fall (0, − 23 ) kann hierbei aber nicht auftreten, da dieser Punkt nicht in der Verschwindungsmenge von f liegt. Damit ist (0, 0) die einzige Stelle, an der die Kurve lokal nicht aussieht wie eine
Gerade. Dies stimmt mit unserer geometrischen Vorstellung überein, da sich, egal wie weit wir auch
„hineinzoomen“, im Ursprung immer zwei Geraden kreuzen.
Das im obigen Beispiel gefundene Prinzip haben wir aus der reellen Analysis geschöpft. Wir wollen
dieses Kriterium im laufe der Vorlesung ohne analytische Hilfsmittel formulieren um dieses Prinzip
zum Beispiel auch auf endliche Körper etc. anwenden zu können.
Der Satz von Bézout
Eine weitere interessante Frage wird uns der Satz von Bézout beantworten. Sei k ein nicht endlicher
Körper und seien f, g ∈ k[X, Y ] zwei Polynome. Wie kann die Anzahl der Elemente im Schnitt
der beiden Verschwindungsmengen bestimmt werden, sofern dieser Schnitt endlich ist? Also in
Formeln
] V(f ) ∩ V(g) = ?
Zunächst benötigen wir auch hier noch einge kurze
Definition 0.2 (Grad von Polynomen in mehreren Veränderlichen)
Sei k in Körper und f ∈ k[T1 , . . . , Tn ] ein Polynom. Etwa
X
f =
ai1 ,...,in · T1i1 · · · Tnin
i1 ,...,in ≥0
Wir setzen den Grad von f als
deg(f ) := max i1 + . . . + in i1 , . . . , in £eq0 ∧ ai1 ,...,in 6= 0
Beispiel 2 (Grad von Polynomen)
Nach obiger Definition ist der Grad von einem Polynom in mehreren Veränderlichen der höchste Grad
der einzelnen Monome. Dabei ist aber zu beachten, dass das zu betrachtende Polynom auch in der
entsprechenden Form vorliegt:
deg X 3 Y 4 − X 2 (Y 2 + XY 4 ) + XY 2 = deg X 3 Y 4 − X 3 Y 4 − X 2 Y 2 + XY 2 = 4
Nun können wir einge vereinfachte Spezialfälle des Satzes von Bézout betrachten:
Beispiel 3 Sei g = Y und f = Y − h(X) mit einem nicht konstanten Polynom h ∈ k[X]. Dann
ist
V(g) die X-Achse und V(f ) ist der Funktionsgraph von h. In diesem Fall ist ] V(f ) ∩ V(g) also
nichts anderes als die Nullstellenmenge von h. Wir wissen bereits, dass dann
] V(f ) ∩ V(g) ≤ deg(h)
1. Vorlesung - 15.10.2012
5
gelten muss. Ebenfalls wissen wir bereits, dass wir, falls k algebraisch abgeschlossen ist und wir die
Nullstellen von h mit ihrer Vielfachheit zählen, anstelle von „≤“ sogar „=“ schreiben dürfen.
Mit der oben gemachten Definition 0.2 können wir die obige Formel auch passender zur Fragestellung
aufschreiben:
] V(f ) ∩ V(g) ≤ deg(h) = deg(g) · deg(f )
Beispiel 4 Seien nun die Polynome f, g linear, also gelte deg(f ) = deg(g) = 1 und seien f, g verscheiden. Wir wissen, für zwei verschiedene Geraden in der reellen Ebene gilt, dass sie sich entweder
in einem Punkt schneiden, oder parallel sind. Damit erhalten wir direkt
] V(f ) ∩ V(g) ≤ 1 = deg(g) · deg(f )
Nach Übergang zur projektiven Ebene P2 (R) können wir auch in diesem Fall ein „=“ in der obigen
Formel erreichen. Was die projektive Ebene ist, und wieso parallele Geraden in der projektiven Ebene
einen Schnittpunkt haben, werden wir im Laufe dieser Vorlesung erklären.
Wie angekündig sind dies Beispiele eines allgemeinen Satzes, der da lautet
Theorem 0.3 (Satz von Bézout)
Sei k ein Körper mit unendlich vielen Elementen und seien f, g ∈ k[X, Y ] Polynome über k. Ist weiter
der Schnitt der Verschwindungsmengen von f und g endlich, dann gilt
] V(f ) ∩ V(g)
≤ deg(g) · deg(f )
Unter zusätzlichen Voraussetzungen (siehe Beispiel 3) und durch Erweiterung der Theorie (siehe Beispiel 4) lässt sich dieser Satz sogar mit „=“ beweisen.
Moderne algebraische Geometrie
In der aktuellen Forschung basieren viele Beweise auf der Verbindung von Algebra und Geometrie,
deren Grundlagen wir uns in dieser Vorlesung erarbeiten wollen.
Geometrie
Polynome f1 , . . . , fm ∈ k[T1 , . . . , Tn ]
„geometrische Eigenschaften“
!
Algebra
Der Ring k[T1 , . . . , Tn ](f . . . f )
1
m
„Ring Eigenschaften“
Aus dieser Verbindung erhalten wir die Leitsätze
„Studiere geometrische Eigenschaften mit algebraischen Methoden“
sowie
]
„Studiere beliebige kommutative Ringe in diesem Sinne, nicht nur Ringe der Form K[T
¯ (f1 . . . fm )“
Dadurch erhalten wir zum Einen einen machtvollen Zugang zur Geometrie und zum Anderen eine
weitere Möglichkeit zahlentheoretische Fragen (unter anderem) zu untersuchen. Als Beispiel für eine
solche Verbindung von Algebra und Geometrie kann der in diesem Sommer von M OCHIZUKI angekündigte Beweis der „abc-Vermutung“ gelten.
6
2. Vorlesung - 16.10.2012
Vermutung 0.4 (abc-Vermutung)
Sei ε > 0. Dann existieren nur endlich viele Tripel (a, b, c) von positiven ganzen Zahlen mit
i)
a und b sind teilerfremd
ii)
a + b = c

iii)
1+ε
 Y 
c > 
p


p Primzahl
p | abc
Beispiel 5 (abc-Vermutung)
• Wir betrachten das Tripel (72, 35, 107). Die Primzahlen 2 und 3 teilen 72, die Primzahlen 5
und 7 teilen 35. Die Zahlen 72 und 35 sind also Teilerfremd. Die Zahl 72 + 35 = 107 ist selbst
wieder eine Primzahl. Es ist sofort einsichtig, dass für alle ε > 0 gilt
1+ε
107 < 107 · 7 · 5 · 3 · 2
• Wir betrachten das Tripel (3, 125, 128). Die 3 ist eine Primzahl und 125 ist eine Potenz der
Primzahl 5. Die Zahlen 3 und 125 sind also Teilerfremd. Die Zahl 3 + 125 = 128 wird noch
von der Primzahl 2 geteilt. Es gilt
128 > 30 = 3 · 5 · 2
Für kleines ε haben wir hiermit eines der endlich vielen Tripel gefunden. Genauer gilt
128 ≈ 301,42 = 301+0,42
damit erfüllt das Tripel spätestens für ε > 0, 42 die Bedingung (iii) nicht mehr.
• Für ε = 1 ist kein Tripel bekannt, das alle Bedingungen der Vermutung erfüllt.
Vorkenntnisse
Diese Vorlesung setzt große Teile der Vorlesung „Algebra II (kommutative Algebra)“ aus dem vergangenen Sommersemester 2012 voraus. Sie finden die Notizen zur Vorlesung unter [L3]. Besonders
wichtig sind für uns
Kapitel 1 insbesondere Ringe, Moduln, lokalisierung und das Tensorprodukt
Kapitel 2 insbesondere die Ergebnisse über noethersche Ringe
Später benötigen wir auch das Wissen über ganze und endliche Homomorphismen aus Kapitel 3,
sowie das Wissen über Funktoren aus Kapitel 2. Bereits in der heutigen Vorlesung werden wir den
Hilbertschen Nullstellensatz verwenden, der in der vorgenannten Vorlesung bewiesen wurde und daher hier ohne Beweis angegeben wird.
Kapitel I
Varietäten
Im gesamten Kapitel I bezeichne k einen algebraisch abgeschlossenen Körper. Standartbeispiele sind
hierfür wie immer die komplexen Zahlen C oder der algebraische Abschluss Q von Q in den komplexen Zahlen. Sie können aber auch an einen algebraisch abgeschlossenen Körper mit positiver Charaktheristik Fp denken.
1
Affine algebraische Mengen
Notation 1.1 Da wir häufig über Polynomringe in endlich vielen Variablen und Tupel mit endlich
vielen Komponenten reden werden, füren wir die folgende Kurznotation ein. Sei (X1 , . . . , Xn ein
beliebiges n-Tupel, dann schreiben wir, wann immer die Anzahl der endlich vielen Einträge klar oder
nicht wichtig ist, dafür auch X.
¯
Definition 1.2 (Verschwindungsmenge, affine algebraische Menge)
Sei M ⊆ k[T1 , . . . , Tn ] eine Teilmenge des Polynomrings in n Veränderlichen über k, dann nennen
wir
V (M ) :=
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ k n ∀ f ∈ M : f (x) = 0
die gemeinsame Nullstellenmenge der Elemente aus M oder die Verschwindungsmenge von M .
Teilmengen von k n von der Form V (M ), mit M ⊆ k[T], nennen wir affine algebraische Mengen.
¯
Betrachten wir einzelne Polynome f1 , . . . , fm ∈ k[T], dann schreiben wir verkürzt
¯
V (f1 , . . . , fm ) := V {f1 , . . . , fm }
Bemerkung 1.3 (Eigenschaften affiner algebraischer Mengen) In der Situation von Definition 1.2
gelten
(1) Ist a = (M ) das von M in k[T] erzeugte Ideal, dann gilt
¯
V (M ) = V (a)
(2) Ist M 0 ⊆ M eine Teilmenge, dann gilt
V (M ) ⊆ V (M 0 )
Die „Operation“ V () ist also inklusionsumkehrend.
7
8
2. Vorlesung - 16.10.2012
(3) Jede affine algebraische Menge ist Verschwindungsmenge von nur endlich vielen Polynomen.
Beweis. Sei Z ⊆ k n eine affine algebraische Menge, dann gibt es nach Teil (1) ein Ideal a k[T]
¯
mit Z = V (a). Nach dem Hilbertschen Basissatz ist der Ring k[T] noetersch, also ist a ein
¯
endlich erzeugtes Ideal, das heißt es gibt endlich viele Polynome f1 , . . . , fm ∈ k[T] mit a =
¯
(f1 , . . . , fm ). Mit Teil (1) gilt dann wieder
Z = V (a) = V (f1 , . . . , fm )
Satz 1.4 Die affinen algebraischen Mengen von k n , das sind die Mengen der Form V (M ), mit M ∈
k[T], bilden die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf k n , das heißt es gelten
¯
(i) ∅ und k n sind affine algebraische Mengen.
(ii) Jeder beliebige Durchschnitt von affinen algebraischen Mengen ist selbst wieder eine affine algebraische Menge.
(iii) Jede endliche Vereinigung affiner algebraischer Mengen ist selbst wieder eine affine algebraische
Menge.
Beweis. Um zu zeigen, dass Z ⊆ k n eine affine algebraische Menge von k n ist, müssen wir eine Teilmenge von M ⊂ k[T1 , . . . , Tn ] finden mit Z = V (M ). Der Teil (i) macht hierbei keine Probleme,
denn es gelten
∅ = V k[T] = V (1) und k n = V (∅) = V (0)
¯
Für Teil (ii) sei I eine Menge und seien für i ∈ I Mengen Mi ⊆ k[T] gegeben, dann gilt
¯
[ \
V (Mi ) =
x ∈ k n ∀ i ∈ I ∀ f ∈ Mi : f (x) = 0
Mi
= V
i∈I
i∈I
Zum Nachweis des letzten Teils genügt es die Aussage für zwei Ideale von k[T] zu zeigen, dann
¯
erhalten wir die gewünschte Aussage aus der vorangegangenen Bemerkung und per Induktion. Zeige
also, dass für a, b k[T] gilt
¯
V (a) ∪ V (b) = V (a ∩ b)
Nach dem zweiten Teil der vorangegangenen Bemerkung gelten
V (a) ⊆ V (a ∩ b) ⊇ V (b)
damit ist die erste Inklusion V (a)∪V (b) ⊆ V (a ∩ b) klar. Für die andere Inklusion sei x ∈ V (a ∩ b).
Gilt nun x ∈ V (a), so ist nichts weiter zu zeigen. Andernfalls gibt es ein f ∈ a mit f (x) 6= 0. Sei nun
g ∈ b beliebig, dann liegt f · g wegen der Idealeigenschaften sowohl in a, als auch in b, und damit im
Durchschnitt a ∩ b. Nach Voraussetzung ist dann (f · g)(x) = f (x) · g(x) = 0. Da dieses Produkt in
einem Körper gebildet ist, und f (x) 6= 0 gilt, muss g(x) = 0 gelten. Da g aber beliebig aus b gewählt
war folgt insgesamt x ∈ V (b) und damit die Behauptung.
2
Definition 1.5 (Topologische und geometrische Grundbegriffe)
Sei X ein topologischer Raum, das heißt eine Menge X zusammen mit einer Familie von Teilmengen,
die die Bedingungen (i), (ii) und (iii) des vorangegangenen Satzes erfüllen. Die Elemente dieser Familie nennen wir die abgeschlossenen Teilmengen von X. Aus dieser Definition erhalten wir weitere
geometrische Begriffe:
2. Vorlesung - 16.10.2012
9
• Eine Teilmenge U ⊆ X heißt offen, falls X \ U abgeschlossen ist.
• Ist Y ⊆ X eine Teilmenge, dann ist die Familie
F Y :=
Z ∩ Y Z ⊂ X abgeschlossen
die Familie der abgeschlossenen Mengen einer Toplogie auf Y . Wir nenne Diese Topologie, die
von X auf Y induzierte Topologoe oder auch die Teilraumtopologie.
Die offenen Mengen von Y unter der Teilraumtopologie, sind genau die Mengen V ⊆ Y für die
es eine offene Menge U ⊆ X gibt, die V = U ∩ Y erfüllt.
• Der topologische Raum X heißt zusammenhängend, falls die einzigen Teilmengen von X, die
zugleich offen und abgeschlossen sind, die Mengen ∅ und X sind.
Eine Teilmenge Y ⊆ X heißt zusammenhängend, falls Y bezüglich der Teilraumtopologie
zusammenhängend im obigen Sinne ist.
• Ist Y ∈ X so ist
Y :=
\
Z ⊆ X
Z⊆X abges.
Y ⊆Z
die kleinste abgeschlossene Teilmenge von X, die Y enthält. Wir nennen Y den abschluss von
Y in X
• Sind sowohl X als auch Y topologische Räume und f : X → Y eine Abbildung (der zugrundeliegenden Mengen), dann heißt f stetig , falls für alle abgeschlossenen Teilmengen Z ⊆ Y
gilt
f −1 (Z) ⊆ X ist abgeschlossen
Äquivalent ist die Forderung, für alle offenen Teilmengen V ⊆ Y gelte, dass f −1 (V ) ⊆ X
ebenfalls offen ist. In Worten heißt das: Die Urbilder abgeschlossener [offener] Mengen unter
stetigen Abbildungen sind abgeschlossen [offen].
Definition 1.6 (Zariskitopologie, affiner Raum)
Wir nennen die durch die affinen algebraischen Mengen auf k n definierte Topologie die ZariskiTopologie, und bezeichnen den so definierten topologischen Raum auf k n mit An (k) und reden vom
affinen Raum der Dimension n über k.
Beispiel 6 (affine Räume)
• Sei x ∈ k n , dann ist mx := (T1 − x1 , . . . , Tn − xn ) k[T] ein maximales Ideal, denn der
¯
Einsetzungshomomorphismus Ti 7→ xi faktorisiert im folgenden Sinne:
k[T]
¯
Ti 7→ xi
#
/
=k
∼
=
k[T]
¯ mx
Weiter ist V (mx ) = V (T1 − x1 , . . . , Tn − xn ) = {x}. Also sind alle einelementigen Teilmengen (Punkte) abgeschlossen. Es folgt sofort auch die Abgeschlossenheit aller endlicher Teilmengen von An (k).
10
2. Vorlesung - 16.10.2012
• Betrachte den affinen Raum der Dimension n = 1, also A1 (k). Alle Ideale von k[T ] sind Hauptideale, also von der Form (f ) mit f ∈ k[T ]. In diesem Fall sind die abgeschlossenen Teilmengen
von A1 (k) genau ∅, A1 (k) und die endlichen Teilmengen, es gibt keine weiteren.
Theorem 1.7 (Der Hilbertsche Nullstellensatz)
(1) Die maximalen Ideale in k[T1 , . . . , Tn ] sind genau die Ideale der Form
mx := (T1 − x1 , . . . , Tn − xn )
für x ∈ k n
(2) Ist a k[T] ein Ideal, so gilt
¯
√
a :=
f ∈ k[T] ∃ n ≥ 0 : f n ∈ a
\ ¯
\
=
p =
m =
p∈Spec(k[ T ])
m∈Spm(k[ T ])
a⊆p
a⊆m
\
mx
x∈V (a)
Beweis. Siehe [L3]
Affine algebraische Mengen und Radikalideale
Bisher haben wir einem Ideal a des Polynomrings eine abgeschlossene Menge V (a) im entsprechenden affinen Raum über k zugeordnet. Jetzt wollen wir einen Weg suchen, einer Teilmenge des affinen
Raums ein Ideal im Polynomring zuzuordnen.
Definition 1.8 (Radikalideal)
√
Ein Ideal a k[T] heißt Radikalideal, falls a = a gilt.
¯
Beispiel 7 Primideale sind Radikalideale.
Definition 1.9 (Zugehöriges Ideal)
Sei Z ⊂ An (k) eine Teilmenge, dann heißt
I(Z) :=
f ∈ k[T] ∀ z ∈ Z : f (z) = 0 ⊆ k[T]
¯
¯
das zu Z gehörige Ideal in k[T]
¯
Bemerkung 1.10 Für die Wohldefiniertheit der obigen Definition ist noch die Idealeigenschaft von
I(Z) zu zeigen. Diese ist aber leicht nachzurechnen, alternativ betrachte die stärkere Aussage
\
I(Z) =
mz
z∈Z
Denn f (z) = 0 genau dann, wenn f ∈ mz gilt.
Wir haben nun also einen Weg vom affinen Raum in den Polynomring gefunden. Nun wollen wir
die Frage beantworten, wass passiert wenn wir beide Schritte hintereinander ausführen. Da diese
Zuordnungen in der Regel nicht „invers“ zueinander sind, gibt es darauf zwei Antworten:
3. Vorlesung - 22.10.2012
11
Satz 1.11 Es gelten
(1) Eine endliche Menge beliebiger Polynome f1 , . . . , fm ∈ k[T] haben genau dann mindestens eine
¯
gemeinsame Nullstelle in k n , das heßt die Verschwindungsmenge V (f1 , . . . , fm ) ist nicht leer,
wenn (f1 , . . . , fm ) 6= (1) = k[T] gilt, also wenn das von ihnen erzeugte Ideal nicht bereits der
¯
ganze Ring ist.
(2) Sei a k[T] ein Ideal, dann gilt
¯
√
I V (a) =
a
Beweis. Für den Nachweis der ersten Aussage nimm zunächst an, das Ideal (f1 , . . . , fm ) wäre bereits
der ganze Ring, dann gibt es insbesondere eine Darstellung der 1, etwa
1 =
m
X
mit hi ∈ k[T]
¯
hi fi
i=1
hätten die fi eine gemeinsame Nullstelle, dann gäbe es ein x ∈ k n mit
1 = 1(x) =
m
X
hi (x) fi (x) = 0
i=1
was offensichtlich nicht sein kann.
Gelte nun (f1 , . . . , fm ) 6= (1), dann gibt es ein maximales Ideal m ∈ Spm(k[T]) das dieses Ideal ent¯
hält. Mit Teil (1) des Hilbertschen Nullstellensatzes 1.7 gibt es ein x ∈ k n mit mx = m. Insbesondere
gelten
fi ∈ mx ∀ i = 1, . . . , m also f (x) = 0 ∀ i = 1, . . . , m
Zu (2) betrachte die Gleichungen
I V (a) =
\
mz =
\
mz =
√
a
a⊆mz
z∈V (a)
Die letzte Gleichheit erhalten wir aus dem Nullstellensatz von Hilbert 1.7. Wegen
z ∈ V (a) ⇒ f (z) = 0 ∀ f ∈ a
⇒
f ∈ mz ∀ f ∈ a
a ⊂ mz ⇒ V (a) ⊇ V (mz ) = {z}
gilt z ∈ V (a) ⇔ a ⊆ mz und damit auch die mittlere Gleichung. Die erste Gleichung haben wir
bereits in Bemerkung 1.10 gezeigt.
2
√
Alternativbeweis zu (2) Die Inklusionsrichtung a ⊆ I V (a) ist klar, denn wenn x ∈ k n die Nullstelle einer Polynompotenz ist, also f l (x) = 0 gilt, dann gilt auch f (x) = 0. Für die
Gegenrichtung
schreibe a = (f1 , . . . , fm ) mit geeigneten Polynomen fi ∈ k[T] und sei g ∈ I V (a) .
¯
Behauptung Es gibt eine natürliche Zahl l ∈ N und Polynome h1 , . . . , hm ∈ k[T] mit
¯
m
X
gl =
hi fi
i=1
Beweis. Fasse f1 , . . . , fm und g als Elemente im Polynomring k[T][X] = k[T1 , . . . , Tn , X] auf und
¯
definiere in diesem Ring ein Ideal durch
b := f1 , . . . , fm , 1 − Xg k[T, X]
¯
12
3. Vorlesung - 22.10.2012
Wäre b nicht der ganze Ring, also gülte b 6= (1), dann hätten die erzeugenden Polynome von b nach
Teil (1) eine gemeinsame Nullstelle, etwa (t1 , . . . , tn , x) ∈ k n+1 . Dann folgte aber zum Einen für alle
i = 1, . . . , m
fi (t1 , . . . , tn ) = 0
und damit wäre (t1 , . . . , tn ) ∈ V (a) und zum Anderen wäre
1 − x · g(t1 , . . . , tm ) = 0
Also wäre insbesondere g(t1 , . . . , tm ) 6= 0, also g ∈
/ I(V (a)), was ein Widerspruch ist.
Wegen b = (1) erhalten wir eine Darstellung der 1, etwa
1 =
m
X
Setze für X nun
Gleichung
h̃i (T, X) fi (T) + h̃m+1 (T, X) · 1 − X · g(T)
¯
¯
¯
¯
i=1
1
g
mit h̃i ∈ k[T, X]
¯
∈ k(T, X), dann rechnen wir zwar nicht mehr im Polynomring, erhalten aber die
¯
1 =
m
X
m
X
1
hi (T)
h̃i (T, ) fi (T) + 0 =
¯ fi (T)
g l (T)
¯ g
¯
¯
i=1
i=1
¯
Wobei die hi ∈ k[T] durch das Gleichnahmigmachen der Brüche aus den h̃i hervorgehen. Multipli¯
ziere nun beide Seiten der Gleichung mit g l und erhalte die behauptete Formel.
2
Anmerkung Der vorangegangene Satz 1.11 ist eine direkte Folgerung aus dem Hilbertschen Nullstellensatz. Insbesondere der erste Teil des Satzes kann deutlich machen, warum der Satz von Hilbert
„Nullstellensatz“ heißt, weil er auf die im Beweis zu (1) beschriebene Weise Nullstellen erzeugt.
Seinerseits impliziert der zweite Teil dieses Satzes die zweite (technische) Formulierung des Hilbertschen Nullstellensatzes.
Wir wollen nun betrachten was passiert, wenn wir im affinen Raum starten, zum Polynomring übergehen und dann zum affinen Raum zurückkehren, die Operationen also genau andersherum ausführen:
Satz 1.12 Sei Z ⊆ An (k) eine Teilmenge, dann gilt
V I(Z) = Z
hierbei bezeichne Z den Abschluss von Z in An (k) nach Definition 1.5.
Beweis. Wir beweisen zunächst, dass Z in der Verschwindungsmenge des Ideals von Z liegt, und
anschließend, dass diese Mengen gleich sind.
Ganz offensichtlich ist Z ⊆ V (I(Z)), denn I(Z) enthält per Definition alle Polynome, die mindestens
auf Z verschwinden. Weiter sind die Mengen der Form V (M ), mit M ∈ k[T], genau die abgeschlos¯
senen Mengen auf An (k). Da der Abschluss von Z als die kleinste abgeschlossene Menge, die Z
enthält, definiert ist, muss bereits
Z ⊆ V I(Z)
gelten. Sei nun V (a) ⊆ An (k) eine abgeschlossene Teilmenge, mit a k[T] und Z ⊆ V (a). Offen¯
sichtlich ist dann a ⊆ I(Z) und wegen der Inklusionsumkehrung beim Übergang zur Verschwindungsmenge gilt
V (a) ⊆ V I(Z)
3. Vorlesung - 22.10.2012
13
Also ist V I(Z) die kleinste abgeschlossene Teilmenge von An (k), die Z enthält, und damit bereits
der Abschluss von Z.
2
Folgerung 1.13 Wir haben zwei zueinander inverse inklusionsumkehrende Bijektionen
V
√ a k[T] a = a
m
¯
-
Z ⊆ An (k) Z abges.
I
Beweis. Beachte, dass I(Z) stets ein Radikalideal ist, dann folgt die Aussage unmittelbar aus den
vorangestellten Sätzen.
2
Welche der (algebraischen) Eigenschaften von (Radikal-)Idealen übertragen sich zu (geometrischen)
Eigenschaften abgeschlossener Mengen und umgekehrt? Als erste Antwort auf diese Frage betrachte
das folgende
Beispiel 8 Sei m ∈ Spm(k[T]) ein Maximalideal, dann gibt es nach dem Hilbertschen Nullstellensatz
¯
ein x ∈ k n mit m = mx . Es gelten
V (mx ) = {x} und
I({x}) = mx
Damit folgt, dass sich die Bijektionen einschränken lassen zu Bijektionen vom maximalen Spektrum
des Polynomrings, auf die einelementigen Mengen (Punkte) des affinen Raums. Damit können wir den
affinen Raum An (k) mit dem maximalen Spektrum des Polynomrings k[T] identifizieren.
¯
Irreduzible topologische Räume
Motiviert durch das vorangegangene Beispiel wollen wir untersuchen, was passiert, wenn wir nur die
Primideale des Polynomrings betrachten. Wir wissen schon, das Primideale Radikalideale sind. Nun
wollen wir Zeigen, dass wir die Bijektionen einschränken können zu
V
Spec(k[T]) l
¯
- Z ⊆ An (k) Z irred.
I
Definition 1.14 (Irreduzibler Raum)
Ein topologischer Raum X 6= ∅ heißt irreduzibel, falls sich X nicht als Vereinigung zweier abgeschlossener echter Teilmengen schreiben lässt.
Eine Teilmenge Z ⊆ X heißt irreduzibel, falls Z bezüglich der Teilraumtopologie irreduzibel ist.
Beispiel 9 ((Nicht) irreduzible Varitäten)
Wir können das Achsenkreuz in A2 (k) als Nullstellenmenge V (XY ) darstellen, aber diese Menge ist
nicht irreduzibel, denn wir können sie als die Vereinigung der X-Achse V (X) mit der Y -Achse V (Y )
schreiben und beide Mengen sind abgeschlossen aber keine für sich ist bereits das ganze Achsenkreuz.
Die einzelnen Achsen sind jedoch irreduzibel, denn wir wissen bereits, dass die abgeschlossenen Teilmengen von zum Beispiel V (X) entweder endliche Mengen von Punkten, leer oder bereits die gesamte
Achse sind.
14
3. Vorlesung - 22.10.2012
Satz 1.15 Sei Z ⊆ An (k) eine abgeschlossene Teilmenge, dann gilt: Z ist genau dann irreduzibel,
wenn das zugehörige Ideal I(Z) ein Primideal ist.
Insbesondere gelten (1) An (k) ist irreduzibel, denn I(An (k)) = (0) und (2) Die Bijektion aus Folgerung 1.13 schränkt sich ein zu einer Bijektion zwischen Primidealen und irreduziblen Teilmengen.
Beweis. Für den Fall, dass Z leer ist, ist die Behauptung klar, denn zum Einen ist I(∅) = k[T] = (1)
¯
und (1) ist kein Primideal und zum anderen ist die leere Menge nicht Irreduzibel. Für den Fall, dass
Z nicht leer ist, beweisen wir die Äquivalenz der folgenden Aussagen
(i) Z ist irreduzibel.
(ii) Z ist nicht die Vereinigung zweier echter abgeschlossener Teilmengen.
(iii) Für alle Polynome f, g ∈ k[T] mit Z ⊆ V (f ) ∪ V (g) = V (f g) gilt Z ⊆ V (f ) oder Z ⊆ V (g).
¯
(iv) Für alle Polynome f, g ∈ k[T] mit f g ∈ I(Z) gilt f ∈ I(Z) oder g ∈ I(Z).
¯
(v) I(Z) ist ein Primideal.
Hierbei sind sogut wie alle Schlüsse leicht, lediglich der Schritt von (iii) nach (ii) bedarf einer Erklärung: Angenommen (iii) gelte und (ii) gelte nicht, dann gäbe es also zwei abgeschlossene Teilmengen V (a) und V (b) mit entsprechenden Idealen a, b im Polynomring, welche die Bedingungen
Z = V (a) ∪ V (b) und V (a), V (b) ( Z erfüllen. Wir können diese abgeschlossenen Mengen auch
schreiben als
\
\
V (a) =
V (f )
und
V (b) =
V (g)
f ∈a
g∈b
Nach unserer Annahme gibt es sowohl ein f ∈ a als auch ein g ∈ b mit Z 6⊆ V (f ) beziehungsweise
Z 6⊆ V (g). Andererseits gelten aber V (a) ⊆ V (f ) und V (b) ⊆ V (g) wodurch wir wegen
Z = V (a) ∪ V (b) ⊆ V (f ) ∪ V (g)
einen Widerspruch zur Annahme erhalten.
Satz 1.16 Sei X ein nicht-leerer topologischer Raum, dann sind äquivalent
(i) X ist irreduzibel.
(ii) Jede nicht-leere offene Teilmenge von X liegt dicht in X.
(iii) Jede offene Teilmenge von X ist zusammenhängend.
(iv) Je zwei nicht-leere Teilmengen von X haben nicht-leeren Durchschnitt.
Beweis. Übung!
2
4. Vorlesung - 23.10.2012
15
Folgerung 1.17 Sei f : X → Y eine stetige Abbildung topologischer Räume und Z ⊆ X eine irreduzible Teilmenge, dann ist auch f (Z) irreduzibel.
Äquivalent gilt: Ist U ⊆ X eine zusammenhängende Teilmenge, dann ist auch f (U ) zusammenhängend.
Beweis. Seien U, U 0 ⊆ f (Z) offen und nicht leer, dann gibt es offene Mengen V, V 0 ∈ Y , so dass
U = V ∩ f (Z) und U 0 = V 0 ∩ f (z) gelten. Die Urbilder dieser Mengen sind ebenfalls nicht leer,
denn es gelten
f −1 (V ) ⊇ f −1 (U ) 6= ∅ 6= f −1 (U 0 ) ⊆ f −1 (V 0 )
Genauer gelten sogar
A := Z ∩ f −1 (V ) 6= ∅ 6= Z ∩ f −1 (V 0 ) =: A0
und die Mengen A, A0 sind offen bezüglich der Teilraumtopologie auf Z. Da Z nach Voraussetzung
irreduzibel ist, gilt A ∩ A 6= ∅ nach dem vorangegangen Satz. Durch Anwenden von f auf A und
A0 erhalten wir hieraus
U ∩ U 0 6= ∅
2
Anmerkung Diese Folgerung liefert uns in der „zusammenhängend“ Formulierung eine gewisse Absicherung, dass zwei Punkte, die „nahe“ beeinander liegen, auch nach Anwendung einer stetigen
Funktion noch relativ „nahe“ beieinander sind. Ähnlich wie es das viel stärkere ε-δ-Kriterium der
reellen Analysis tut. Damit bestätigt diese Folgerung unsere geometrische Intuition.
2
Beispiel 10 Wir betrachten den affinen Raum An (k) mit n ≥ 1 und dem zugehörigen Polynomring
k[ Tij | i, j = 1, . . . , n ]. Wir können diesen Raum mit den n × n-Matrizen über k identifizieren und
die Determinante als ein allgemeines Polynom det ∈ k[T] auffassen.
¯
Beispiel. Für n = 2 ist det = T11 T22 − T12 T21 ∈ k[T11 , T12 , T21 , T22 ]
2
n
Die Menge V (det) ist per
p Definition eine abgeschlossene Teilmenge in A (k) und das zugehörige
Ideal ist I V (det) = (det)
Fakt det ist ein irreduzibles Polynom
Da det irreduzibel ist, ist (det) ein Primideal und somit insbesondere ein Radikalideal. Weiter gilt
2
dann mit den Bijektionen I und V , dass V (det) irreduzibel in An (k) ist.
Alternative (geometrische) Begründung dafür, dass V (det) irreduzibel ist:
2
Wenn wir die Identifizierung An (k) = Matn×n (k) betrachten, ist V (det) die Menge aller n × nMatrizen, deren Determinante verschwindet, also die nicht vollen Rang haben. Eine Matrix A ist aber
genau dann nicht von vollem Rang, wenn ihr Bild kleinere Dimension hat als n, dass heißt wenn die
Matrix als lineare Abbildung über k n−1 faktorisiert
/ kn
<
A
kn
B
"
C
k n−1
16
4. Vorlesung - 23.10.2012
Das heißt wir können die Matrix A als das Produkt der Matrizen B und C schreiben. Damit erhalten
wir eine Charakterisierung von V (det) als
v(det) = Im µ0 : Matn×(n−1) (k) × Mat(n−1)×n (k) → Matn×n (k)
2
= Im µ : A2n(n−1) (k) → An (k)
Wobei µ0 die standart Matrizenmultiplikation bezeichne und µ gegeben ist durch
!
n−1
X
µ (rij , sij ) :=
ril slj
l=1
i,j
Da der ganze affine Raum immer irreduzibel ist, ist mit Folgerung 1.17 Im(µ) irreduzibel, wenn µ
stetig ist. Der Beweis, dass µ tatsächlich stetig ist, folgt später.
p
Aus dieser Begründung können wir nun noch schließen, dass (det) ein Primideal ist. Wir erhalten
also ein nicht so starkes Ergebnis wie auf dem ersten Weg, haben aber mehr über die Struktur gelernt.
Lemma 1.18 Sei X ein topologischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge. Dann ist Y genau dann
irreduzibel, wenn der Abschluss Y von Y irreduzibel ist.
Beweis. Wir haben in Satz1.16 gesehen, dass eine Teilmenge Z ⊆ X genau dann irreduzibel ist, wenn
für alle U, U 0 ⊆ X mit Z ∩ U 6= ∅ 6= Z ∩ U 0 gilt, dass auch Z ∩ U ∩ U 0 6= ∅ ist. Hieraus folgt bereits
das Lemma, weil für jede offene Teilmenge U ⊆ X gilt
Y ∩ U 6= ∅ ⇔ Y ∩ U 6= ∅
2
Folgerung 1.19 Sei X ein topologischer Raum und U ⊆ X eine offene Teilmenge. Dann haben wir
zueinander inverse Bijektionen
Y ⊆ U abges., irred.
↔
Z ⊆ X abges., irred. mit Z ∩ U 6= ∅
Y
7→
Y
Z ∩U
←[
Z
Beweis. Ist Y ⊆ U irreduzibel, dann ist auch Y ⊆ X irreduzibel. Mit Lemma 1.18 ist dann auch Y
irreduzibel.
Ist Z ⊆ X irreduzibel und abgeschlossen mit Z ∩ U 6= ∅, dann ist Z ∩ U abgeschlossen in U
aber offen in Z. Weil Z irreduzibel ist, ist Z ∩ U dicht in Z nach Satz 1.16, das heißt Z ∩ U = Z.
Insbesondere ist also Z ∩ U irreduzibel und damit nach dem Lemma auch Z ∩ U selber.
Dass die beiden Abbildungen invers zueinander sind, ist nun trivial.
2
Definition 1.20 (Irreduzible Komponente)
Sei X ein topologischer Raum. Eine irreduzible Komponente von X ein eine (bezüglich der Inklusion)
maximale irreduzible Teilmenge von X.
Folgerung 1.21 Irreduzible Komponenten sind stets abgeschlossen.
Beweis. Lemma 1.18.
2
4. Vorlesung - 23.10.2012
17
Beispiel 11 (Irreduzible Komponente)
Behauptung Die irreduziblen Komponenten von V (T1 · · · Tn ) sind V (T1 ), . . . , V (Tn ).
Beweis. Die Mengen V (Ti ) sind offensichtlich abgeschlossen und irreduzibel, da die zugehörigen
Ideale (Ti ) k[T] prim sind. Weiter ist
¯
n
[
V (T1 · · · Tn ) =
V (Ti )
i=1
Ist nun Z ⊆ X eine abgeschlossene und irreduzible Teilmenge, also von der Form Z = V (℘) mit
einem Primideal ℘ k[T], dann gilt wegen der Inklusionsumkehreung
¯
I V (T1 · · · Tn ) ⊆ I(Z) = ℘
Nach Übungsaufgabe 2 vom zweiten Blatt ist aber
I V (T1 · · · Tn ) = (T1 · · · Tn )
Also gilt Tj ∈ ℘ für ein j ∈ {1, . . . , n} und damit gilt
(Tj ) ⊆ ℘
⇒
V (Tj ) ⊇ Z = V (℘)
2
Quasi-kompakte und noethersche topologische Räume
Wir wollen als nächstes zeigen, dass jede abgeschlossene Teilmenge von An (k) nur endlich viele
irreduzible Komponenten besitzt.
Definition 1.22 (quasi-kompakt)
Ein topologischer Raum X heißt quasi-kompakt, falls jede offene überdeckung von X eine endliche
Teilüberdeckung besitzt.
Das heißt, ist
[
X =
Ui mit Ui ⊆ X offen
i∈I
so gibt es eine endliche Teilmenge J ⊆ I, so dass gilt
[
X =
Ui
i∈J
Definition 1.23 (noetherscher topologischer Raum)
Ein topologischer Raum X heißt noethersch, falls jede absteigende Kette von abgeschlossenen Teilmengen stationär wird, das heißt wenn es zu jeder Kette
X ⊇ Z1 ⊇ Z2 ⊇ . . .
einen Index n ∈ N gibt, so dass für alle m, m0 ≥ n gilt Zm = Zm0 = Zn
Anmerkung Beachte, dass diese Definition „umgekehrt“ zur noethersch Eigenschaft von Ringen ist,
wo wir verlangen, dass aufsteigende Idealketten stationär werden.
Beispiel 12 Der Raum R mit der gewöhnlichen Abstandsmetrik ist nicht noethersch, denn die Kette
R ⊃ [−1, 1] ⊃ [− 21 , 21 ] ⊃ . . . ⊃ [− n1 , n1 ] ⊃ . . . wird nicht stationär.
18
4. Vorlesung - 23.10.2012
Bemerkung 1.24 Ein topologischer Raum X ist genau dann noethersch, wenn jede nicht-leere Familie von abgeschlossenen Teilmengen von X ein (bezüglich der Inklusion) minimales Element besitzt.
2
Beweis. Lemma von Zorn
Lemma 1.25 Sei X ein noetherscher topologischer Raum.
(i) Dann ist auch jede Teilmenge von X noethersch.
(ii) Jede offene Teilmenge von X ist quasi-kompakt, also insbesondere ist X selbst quasi-kompakt.
(iii) Jede abgeschlossene Teilmenge von X hat nur endlich viele irreduzible Komponenten.
Beweis. Den Beweis der Teilaussage (ii) finden Sie als Aufgabe auf dem zweiten Übungszettel. Für
den Nachweis von (i) sei Y ⊆ X eine Teilmenge und sei Zii∈N eine absteigende Kette abgeschlossener Teilmengen von Y . Betrachte die Abschlüsse Z i der Mengen Zi in X. Nach Voraussetzung wird
die Kette der Z i in X stationär. Wegen Zi = Z i ∩ Y muss auch die Kette der Zi in Y stationär
werden.
Für (iii) genügt es zu zeigen, dass X die Vereinigung von endlich vielen irreduziblen Teilmengen ist.
Sei dazu
M :=
Z ⊆ Y abges. | Z ist nicht Vereinigung von endlich vielen irred. Teilm.
die Familie von Mengen, für die die Aussage des Satzes nicht gilt. Angenommen M wäre nicht
leer, dann besäße M ein minimales Element Z. Diese Menge Z kann nicht irreduzibel sein, denn
sonst wäre Z die Vereinigung einer einzigen irreduziblen und abgeschlossenen Menge, also gibt es
abgeschlossene Teilmengen Z 0 , Z 00 ( X mit Z = Z 0 ∪ Z 00 . Wegen der Minimalität von Z sind Z 0
und Z 00 nicht in M enthalten, also sind diese Mengen Vereingung von endlich vielen abgeschlossenen
und irreduzibler Mengen. Aber damit ist auch Z Verinigung von endlich vielen solcher Mengen, also
gilt Z ∈
/ M, was ein Widerspruch ist. Somit muss M leer sein.
2
Satz 1.26 Sei X eine Teilmenge von An (k), dann ist X noethersch.
Beweis. Nach Lemma 1.25 genügt es nachzuweisen, dass An (k) diese Eigenschaft hat. Sei also
An (k) ⊇ Z1 ⊇ Z2 ⊇ . . .
eine Kette abgeschlossener Teilmengen, dann ist
(0) ⊆ I(Z1 ) ⊆ I(Z2 ) ⊆ . . .
eine aufsteigende Kette von Radikalidealen in k[T1 , . . . , Tn ]. Nach dem Basissatz vonHilbert ist
dieser Ring noethersch1 und damit wird diese Idealkette stationär. Weil Zi = V I(Z1 ) gilt, wird
dann auch die Kette der Zi in Af n (k) stationär.
2
1
Beachte, dass hier die noethersch-Eigenschaft für Ringe gemeint ist
5. Vorlesung - 29.10.2012
19
Bemerkung 1.27 Sei a k[T1 , . . . , Tn ] ein Radikalideal, dann ist X := V (a) ein noetherscher topologischer Raum. Sei etwa
X =
r
[
Zi
mit Zi ⊆ X irreduzible Komponente von X
i=1
Dann sind die Zi auch in An (k) abgeschlossen und irredutzibel. Wir können also Primideale pi ∈
Spec(k[T]) finden, mit
¯
V (pi ) = Zi
Es folgt unmittelbar
V (a) =
r
[
V (pi ) = V
i=1
damit erhalten wir
r
\
pi
i=1
r
r
\
\
a = I(V (a)) = I V
pi
=
pi
i=1
i=1
denn Schnitte von Primidealen sind Radikalideale. Wir sehen damit insbesondere: Jedes Radikalideal
im Polynomring in endlich vielen Variablen über k ist Durchschnitt von endlich vielen Primidealen.
Diese Primideale sind, bis auf die Reihenfolge, eindeutig bestimmt, wenn zwischen ihnen keine Inklusionen gelten2 .
Beispiel 13 Was sind die irreduziblen Teilmengen der affinen Ebene A2 (k)?
• A2 (k) ist irreduzibel, denn das zugehörige Ideal (0) ist prim.
• Einpunktmengen { (x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ k } sind irreduzibel, denn die zugehörigen Ideale
m(x1 ,x2 ) = (T1 − x1 , T2 − x2 ) sind maximal, also insbesondere prim.
• Mengen der Form V (f ) mit einem irreduziblen Polynom f ∈ k[T1 , T2 ] sind irreduzibel, denn
die zugehörigen Ideale (f ) sind prim.
Diese Liste ist vollständig, das heißt insbesondere: Jedes Primideal in k[T1 , T2 ], das weder das Nullideal noch maximal ist, ist ein Hauptideal. Diese Tatsache wollen wir hier nicht beweisen.
2
Vergleiche „Primärzerlegung in noetherschen Ringen“
20
2
5. Vorlesung - 29.10.2012
Morphismen zwischen affinen algebraischen Mengen
In allen Bereichen der Mathematik betrachten wir zu speziellen Strukturen auch spezielle Abbildungen, welche die Besonderheiten der jeweiligen Struktur erhalten. Zum Beispiel interessieren uns zu
Vektorräumen hauptsächlich die linearen Abbildungen. Auch im Falle von affinen Varietäten gibt es
bestimmte strukturerhaltende Abbildungen, die wir näher untersuchen wollen:
Definition 2.1 (Morphismus affiner algebraischer Mengen)
Seien X ⊆ An (k) und Y ⊆ Am (k) zwei in ihren jeweiligen Räumen abgeschlossene Teilmengen.
Dann nennen wir eine Abbildung f : X → Y einen Morphismus affiner algbraischer Mengen, falls
Polynome f1 , . . . , fm ∈ k[T1 , . . . , Tn ] existieren, so dass
f (x1 , . . . , xn ) =
f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn )
für alle (x1 , . . . , xn ) ∈ X gilt.
Die Menge aller Morphismen von X nach Y bezeichnen wir mit Hom(X, Y ).
Bemerkung 2.2 Ist f : X → Y ein Morphismus nach obiger Definition, so ist f stetig bezüglich der
beiden Teilraumtopologien auf X und Y .
Beweis. Seien f1 , . . . , fm ∈ k[T1 , . . . , Tn ] die zu f gehörigen Polynome. Sei weiter a k[T1 , . . . , Tm]
ein Ideal mit V (a) ⊆ Y , dann ist V (a) abgeschlossen in Y . Wir wollen nun zeigen, dass f −1 V (a)
abgeschlossen in X ist. Betrachte dazu die Abbildung
ϕ : k[T1 , . . . , Tm ] → k[T1 , . . . , Tn ]
Ti
7→
fi
Sei nun x ∈ X, dann gilt
x ∈ f −1 V (a) ⇔ f (x) ∈ V (a)
⇔ ∀ g ∈ a : g f1 (x), . . . , fm (x) = 0
⇔ ∀ g ∈ a : ϕ(g)(x) = 0
⇔ ∀ h ∈ ϕ(a) : h(x) = 0
⇔
x ∈ V ϕ(a)
Also ist f −1 V (a) = V ϕ(a) und damit folgt die Behauptung.
2
Bemerkung 2.3 Die affinen algebraischen Mengen zusammen mit den oben definierten Morphismen
bilden die Kategorie der affinen algebraischen Mengen. Das heißt es gelten:
(1) Ist X ⊆ An (k) eine abgeschlossene Teilmenge, so ist idX ein Morphismus und die zugehörigen
Polynome sind fi := Ti für i = 1 . . . n.
(2) Sind f : X → Y und g : Y → Z Morphismen affiner algebraischer Mengen, dann ist auch
g◦f : X → Z
ein Morphismus affiner algebraischer Mengen.
5. Vorlesung - 29.10.2012
21
Definition 2.4 (Isomorphismus)
Ein Morphismus affiner algebraischer Mengen f : X → Y heißt Isomorphismus, falls es einen
Morphismus g : Y → X gibt, so dass
g ◦ f = idX
und
f ◦ g = idY
gelten.
Anmerkung. Ist f ein Isomorphismus, so ist f bijektiv. Aber wenn f bijektiv ist, dann muss f trotzdem kein Isomorphismus sein (nämlich wenn f −1 kein Morphismus ist). Ein Beispiel für einen solchen Fall betrachten Sie auf dem dritten Übungsblatt.
Bemerkung 2.5 Aus der Definition der Morphismen folgt sofort, dass sich jeder Morphismus affiner
algebraischer Mengen f : X → Y zu einem Morphismus
f˜ : An (k) → Am (k)
fortsetzen lässt, denn die zu f gehörigen Polynome f1 , . . . , fm ∈ k[T1 , . . . , Tn ] sind auf dem ganzen
Raum definiert.
Allerdings ist die Fortsetzung für X 6= An (k) nicht eindeutig, da sich die Polynome fi immer um auf
X verschwindende Polynome abändern lassen.
Beispiel 14 (Standartbeispiele für Morphismen)
• Die Determinante von n × n-Matrizen ist offensichtlich ein Morphismus:
2
An (k)
→
A1 (k)
(xi,j )i,j=1...n 7→ det (xi,j )i,j=1...n
• Das Matrixprodukt von m × n-Matrizen mit n × r-Matrizen ist ebenfalls ein Morphismus
Amn+nr (k) →
Amr (k)
n
X
xij , yjl
7→
xi,j · yj,l
j=1
i,l
• Ein wichtiges aber weniger offensichtliches Beispiel ist
2
An (k) →
A
An (k)
7→ (γ0 , . . . , γn−1 )
wobei X n +
n−1
X
γi X i = chpolA (X)
i=0
Es gelten γ0 = det(A) und γ1 = Spur(A). Auch die anderen γi sind durch Polynome gegeben
(ohne Beweis). Also ist auch diese Abbildung ein Morphismus.
• Wie ist es mit der Abbildung
GLn (k) →
A
A1 (k)
7→ det(A)−1
22
5. Vorlesung - 29.10.2012
Hierbei stellen sich vor allem zwei Fragen: Ist GLn (k) überhaupt eine affine Menge? Und ist
det(A)−1 als ein Polynom schreibbar?
2
Wir können GLn (k) als eine offene Teilmenge des affinen Raums An (k) schreiben, denn es gilt
2
GLn (k) = An (k) \ V (det)
Andererseits haben wir eine eindeutige Bijektion
2
1:1
GLn (k) −→ V det (Ti,j )i,j=1...n · Tn2 +1 − 1 ⊆ An +1 (k)
A
7→
(A, det(A)−1 )
2
Wir können GLn (k) also mit einer abgeschlossenen Teilmenge in An +1 (k) identifizieren. Von
dieser Teilmenge können wir leicht einen Morphismus angeben, denn
f : V det (Ti,j )i,j=1...n · Tn2 +1 − 1
→ A1 (k)
(A, det(A)−1 )
7→ det(A)−1
ist ein Morphismus mit zugehörigem Polynom f1 := Tn2 +1
Eines unserer nächsten Ziele wird es sein einen allgemeinen Ansatz zu finden, offene Teilmengen des
affinen Raums An (k) in unserem Kontext zu untersuchen.
Der affine Koordinatenring einer affinen algebraischen Menge
Sei X ⊆ An (k) eine abgeschlossene Teilmenge des affinen Raums, dann ist Hom(X, A1 (k)) eine
k-Algebra. Hierbei sind die Addition (+) und die Multiplikation (·) gegeben durch die Addition und
Multiplikation von Abbildungen, also
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
und
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
und die Abbildung k → Hom(X, A1 (k)) ist gegeben durch die Zuordnung
λ 7→
X 3 x 7→ λ ∈ A1 (k)
Zu jeder k-Algebra gibt es eine Surjektion aus einem Polynomring in endlich vielen Variablen in die
k-Algebra. In unserem Fall können wir eine solche Surjektion leicht angeben:
Hom(X, A1 (k))
ϕ : k[T1 , . . . , Tn ] →
Ti
7→
X 3 (x1 , . . . , xn ) 7→ xi ∈ A1 (k)
Für alle Polynome f erhalten wir dann die Zuordnung
f 7→ X 3 x 7→ f (x) ∈ A1 (k)
Wir sehen dann leicht, dass der Kern von ϕ genau das zu X gehörige Ideal I(X) ist, und erhalten das
folgende kommutative Diagramm
ϕ
k[T1 , . . . , Tn ]
/ Hom(X, A1 (k))
6
(
k[T1 , . . . , Tn ]
I(X)
Insbesondere gilt
1
k[T1 , . . . , Tn ]
∼
I(X) = Hom(X, A (k))
6. Vorlesung - 30.10.2012
23
Definition 2.6 (Affiner Koordinatenring)
Sei X ⊆ An (k) eine abgeschlossene Teilmenge, dann nennen wir die k-Algebra
Γ(X) := k[T1 , . . . , Tn ]I(X) ∼
= Hom(X, A1 (k))
den affinen Koordinatenring von X.
Bemerkung 2.7 Offensichtlich gilt Γ(An (k)) = k[T1 , . . . , Tn ].
Bemerkung 2.8 Sei X ⊆ An (k) eine abgeschlossene Teilmenge, dann ist Γ(X) als k-Algebra endlich erzeugt. Weiter ist Γ(X) ein reduzierter Ring, das heißt es gibt in Γ(X) keine nilpotenten Elemente ungleich Null.
Beweis. Endlich erzeugte k-Algebren sind von der Form
k[T1 , . . . , Tm ]
a
mit a k[T1 , . . . , Tm ]
genau diese Form hat Γ(X) per Definition. Reduziert ist Γ(X), da I(X) ein Radikalideal ist und die
Behauptung ist ein Ergebnis der kommutativen Algebra.
2
Wir wollen nun einige Begriffe und Ergebnisse von den affinen Mengen in die Sprache der affinen
Koordinatenringe übersetzen. Zunächst betrachten wir dafür die Maximalideale. Wir erinnern uns für
x ∈ X ⊆ An (k) ist
malt
:= mx := (T1 − x1 , . . . , Tn − xn )
x
das zugehörige Maximalideal in k[T]. Wir wollen nun ein Maximalideal zu x im affinen Koordinaten¯
ring angeben und setzen
mneu
:=
f ∈ Hom(X, A1 (k)) f (x) = 0 Γ(X)
x
Dann ist
Γ(X) neu ∼
= k
mx
denn die Abbildung
Γ(X) 3 f 7→ f (x) ∈ k
neu insbesondere ein maximales Ideal.
ist surjektiv mit Kern mneu
x . Also ist mx
n
n
Im Falle von X = A (k) stimmen mneu
und malt
x
x überein. Allgemeiner gilt für X ⊆ A (k), dass sich
die Ideale mneu
und malt
x
x unter der typischen Idealkorrespondenz für Faktorringe
1:1 a k[T] I(X) ⊆ a
←→
b Γ(X)
¯
entsprechen. Wir lassen daher die Notationen alt und neu wieder weg.
24
6. Vorlesung - 30.10.2012
Als nächstes wollen wir die Zariskitopologie auf abgeschlossenen Mengen X ⊆ An (k) betrachten.
Wir können diese nun auf zwei unterschiedliche Arten einführen:
1. Ansatz Versehe X mit der Teilraumtopologie, welche von An (k) induziert wird. Das heißt die
abgeschlossenen Mengen von X sind genau die Mengen der Form V (a) ⊆ X mit a k[T].
¯
2. Ansatz Für b Γ(X) setze
VX (b) :=
x ∈ X ∀ f ∈ b : f (x) = 0
hierbei fasse die f : X → A1 (k) aus b als Morphismen auf. Versehe X nun mit der Topologie,
deren abgeschlossene Mengen genau die Mengen der Form Vx (b) sind.
Behauptung Beide Ansätze liefern die selbe Topologie auf X.
Beweis. Betrachte die natürliche Projektion
π : k[T] → k[T¯]I(X) = Γ(X)
¯
Für b Γ(X) gilt I(X) ⊆ π −1 (b) und damit gilt V π −1 (b) ⊆ V I(X) = X. Es folgt
VX (b) = V π −1 (b) ∩ X = V π −1 (b)
√
Andererseits gilt I(X) ⊆ I V a) = a für a k[T] mit V (a) ⊆ X. Deswegen ist
¯
√
√ V (a) = V ( a) = VX π( a)
2
Im Folgenden lassen wir, wegen der Gleicheit der Topologien, den Index X an den Verschwindungsmengen wieder weg.
Definition 2.9 (Ausgezeichnete offene Mengen)
Sei X ⊆ An (k) abgeschlossen und f ∈ Γ(X) ein Morphismus. Wir setzen
D(f ) := X \ V (f ) =
x ∈ X f (x) 6= 0
Dann ist D(f ) offensichtlich offen in X. Wir nennen Mengen der Form D(f ) die ausgezeichneten
offenen Teilmengen oder standart offene Mengen von X.
Definition und Lemma 2.10 (Basis einer Topologie)
(1) Endliche Durchschnitte von ausgezeichneten offenen Mengen sind ebenfalls wieder ausgezeichnete offene Mengen.
(2) Die ausgezeichneten offenen Teilmengen bilden eine Basis der Topologie, das heißt jede offene
Teilmenge lässt sich als Vereinigung ausgezeichneter offener Mengen schreiben.
Beweis. Für (1) gebnügt es den Durchschnitt von zwei solcher Mengen zu betrachten. Seien also
f, g ∈ Γ(X), dann gilt
D(f ) ∩ D(g) = X \ V (f ) ∩ X \ V (g) = X \ V (f g) = D(f g)
6. Vorlesung - 30.10.2012
25
Für den Nachweis von (2) sei U ⊆ X eine offene Teilmenge, etwa
mit a Γ(X)
U := X \ V (a)
Dann ist offensichtlich
V (a) =
\
V (f )
f ∈a
damit erhalten wir sofort
U = X \ V (a) =
[
D(f )
f ∈a
2
n
Anmerkung Da die Räume X ⊆ A (k) noethersch sind, sind sie insbesondere quasi-kompakt. Daher
lässt sich jede offene Teilmenge bereits als Vereinigung von endlich vielen ausgezeichneten offenen
Mengen schreiben.
Beispiel 15 Setze X := A2 (k) und betrachte U := X \ {(0, 0)}.
Die Menge U ist offen in X, aber keine ausgezeichnete offene Menge, denn sonst gäbe es ein Polynom,
das nur im Punkt (0, 0) eine einzige Nullstelle hat. Ein solches Polynom kann es aber nicht geben
(klar). Jedoch gilt
U = D(T1 ) ∪ D(T2 )
Satz 2.11 Sei X ⊆ An (k) abgeschlossen, dann gilt: X ist genau dann irreduzibel, wenn Γ(X) ein
integritätsring ist.
Beweis. Wir wissen schon, dass X genau dann irreduzibel ist, wenn das zugehörige Ideal I(X) ein
Primideal ist.
2
Bemerkung 2.12 Sei R eine reduzierte endlich erzeugte k-Algebra, dann gibt es einen surjektiven
Homomorphismus
ϕ : k[T1 , . . . , Tn ] R
von k-Algebren. Da R reduziert ist, ist der Kern von ϕ ein Radikalideal und wir erhalten somit
R ∼
= k[T1 , . . . , Tn ]Ker ϕ = Γ V (Ker ϕ)
Funktorialität des affinen Koordinatenrings
Seien X ⊆ An (k) und Y ⊆ Am (k) zwei in ihren jeweiligen Räumen abgeschlossene Mengen und sei
f : X → Y ein Morphismus affiner algebraischer Mengen. Dann ist
Γ(f )
Γ(Y ) ∼
= Hom(Y, A1 (k)) −→ Hom(X, A1 (k)) ∼
= Γ(X)
g
7→
g◦f
ein Homomorphismus von k-Algebren. Alternativ können wir die Koordinatenringe auch als Quotienten von Polynomringen nach einem Ideal auffassen und erhalten dann Γ(f ) als
Γ(f )
Γ(Y ) = k[T1 , . . . , Tm ]I(Y ) −→ k[T1 , . . . , Tn ]I(X) = Γ(X)
g
7→
g(f1 , . . . , fm )
wobei die fi ∈ k[T1 , . . . , Tn ] die f beschreibenden Polynome sind.
26
7. Vorlesung - 5.11.2012
Damit wird Γ zu einem „kontravariantem Funktor“, das heißt wir können mit Γ von affinen algebraischen Mengen zu reduzierten endlich erzeugten k-Algebren übergehen. Ebenso können wir mit
Γ von Morphismen affiner algebraischer Mengen zu Homomorphismen von k-Algebren übergehen,
dabei „drehen“ sich jedoch die Abbildungsrichtungen um.
Satz 2.13 Γ ist eine „Äquivalenz von Kategorien“, das heißt es gelten
i) Γ ist volltreu, das heißt für alle affinen algebraischen Mengen X, Y ist die Abbildung
Hom(X, Y ) −→ Hom Γ(Y ), Γ(X)
bijektiv.
(ii) Γ ist essentiell surjektiv, das heißt für alle endlich erzeugten reduzierten k-Algebren R gibt es
eine affine algebraische Menge X mit R ∼
= Γ(X)
Folgerung 2.14 Seien X, Y affine algebraische Mengen. Weil Γ volltreu ist, gilt dann
X∼
=Y
Γ(X) ∼
= Γ(Y )
⇔
Beispiel 16 A1 (k) und A2 (k) sind nicht isomorph, denn die Koordinatenringe Γ A1 (k) = k[T1 ]
und Γ A2 (k) = k[T1 , T2 ] sind als k-Algebren nicht isomorph. Denn zum Beispiel ist k[T1 ] ein
Hauptidealring, k[T1 , T2 ] aber nicht. Ebenso haben die rationalen Funktionenkörper beider Polynomringe einen unterschiedlichen Transzendenzgrad über k ...
Beweis des Satzes. Teil (ii) folgt sofort aus Bemerkung 2.12. Zu Teil (i) seien X ⊆ An (k) und
Y ⊆ Am (k) affine algebraische Mengen, dann wollen wir eine Umkehrabbildung
Ψ : Hom Γ(Y ), Γ(X) −→ Hom(X, Y )
angeben. Zu ϕ : Γ(Y ) → Γ(X) betrachte
k[T1 , . . . , Tm ]
ϕ̃
ϕ
Γ(Y )
/ k[T1 , . . . , Tn ]
/ Γ(X)
Es ist leicht ein ϕ̃ zu finden, so dass dieses Diagramm kommutiert (Allerdings ist diese Wahl nicht
eindeutig). Setze nun fi := ψ(Ti ) für i = 1 . . . m, dann sind die fi ∈ k[T1 , . . . , Tn ] Polynome. Wir
erhalten damit eine Abbildung
f : An (k) →
x 7→
Am (k)
f1 (x), . . . , fm (x)
Ist nun f (X) ⊆ Y , so ist f ein Morphismus
von X nach Y . Es genügt nun zu Zeigen, dass für alle
g ∈ I(Y ) und alle x ∈ X gilt g f (x) = 0, denn Y = V (I(Y )). Es gilt
g f (x) = g f1 (x), . . . , fm (x) = g f1 , . . . , fm (x)
= g ϕ̃(T1 ), . . . , ϕ̃(Tm ) (x) = ϕ̃ f (x) = 0
7. Vorlesung - 5.11.2012
27
Denn es ist ϕ̃ I(Y ) ⊆ I(X) nach Konstruktion.
Der Morphismus f ist unabhängig von der Wahl von ϕ̃, denn sei ϕ̃0 eine weitere Wahl, dann gilt
ϕ̃(Ti ) − ϕ̃0 (Ti ) ∈ I(X)
Wir müssen nun noch zeigen, dass die Abbildungen Γ und Ψ invers zueinander sind. Es gelten
1. (Ψ ◦ Γ = id) Sei g : X → Y gegeben durch die Polynome g1 , . . . , gm ∈ k[T1 , . . . , Tn ], dann
erhalten wir das Diagramm
k[T1 , . . . , Tm ]
Γ(Y )
ϕ̃
/ k[T1 , . . . , Tn ]
/ Γ(X)
ϕ = Γ(g)
mit ϕ̃(Ti ) = gi , also Ψ(ϕ) = Ψ(Γ(g)) = g.
2. (Γ ◦ Ψ = id) Sei ϕ : Γ(Y ) → Γ(X) ein k-Algebra-Homomorphismus dann betrachte
k[T1 , . . . , Tm ]
Γ(Y )
ϕ̃
/ k[T1 , . . . , Tn ]
ϕ
/ Γ(X)
und wähle ϕ̃ gerade so, dass das Diagramm kommutiert. Konstruiere nun g : X → Y wie oben,
dann wird g beschrieben durch die Polynome gi := ϕ̃(Ti ) ∈ k[T1 , . . . , Tn ] und für f ∈ Γ(Y )
ist
f (g1 , . . . , gm ) = ϕ̃(f )
und damit folgt Γ Ψ(ϕ) = Γ(g) = ϕ̃ was uns, wegen der Unabhängigkeit von der Wahl von
ϕ̃, genügt.
2
Damit haben wir die Äquivalenz der Kategorien
Affine algebraische Mengen
Endlich erzeugte reduzierte
∼
−→
über k
k-Algebren
Diese können wir in natürlicher Weise einschränken zu einer Äquivalenz von
Irreduzible affine algebraische
Integre endlich erzeugte reduzierte
∼
−→
Mengen über k
k-Algebren
Wir wollen nun noch das Verhalten der Maximalideale unter Γ betrachten und eine nützliche Beschreibung von Morphismen in Termen von k-Algebra-Homomorphismen zu erhalten. Es gilt der folgende
Satz 2.15 Sei f : X → Y ein Morphismus affiner algebraischer Mengen, dann gilt für alle x ∈ X
Γ(f )−1 (mx ) = mf (x)
28
7. Vorlesung - 5.11.2012
Beweis. Für g ∈ Γ(Y ) gilt
g ∈ mf (x) ⇔ 0 = g f (x) = g ◦ f (x) = Γ f (g) (x)
⇔ Γ f (g) ∈ mx
⇔ g ∈ Γ(f )−1 (mx )
2
Bemerkung 2.16 Mit der Identifizierung X = Spm Γ(X) und dem obigen Satz lässt sich ein
Morphismus f : X → Y in Termen von Γ(f ) : Γ(Y ) → Γ(X) beschreiben ohne die Einbettungen
von X und Y in irgendwelche affinen Räume A? (k) zu betrachten.
3
Räume mit Funktionen
Definition 3.1 (Raum mit Funktionen über K)
Sei K ein (nicht notwendig algebraisch abgeschlossener) Körper. Ein Raum mit Funktionen über K
ist gegeben durch
• einen topologischen Raum X
• eine Familie von K-Unteralgebren
OX (U ) ⊆ Abb(U, K)
für U ⊆ X offen und nicht-leer
so dass gelten
(1) Für U 0 ⊆ U ⊆ X offen und für alle f ∈ OX (U ) gilt f|U 0 ∈ OX (U 0 )
(2) Sind Ui ⊆ X für i ∈ I offene Teilmengen und gibt es fi ∈ OX (Ui ) mit fi|U ∩ U = fj|U ∩ U
i
j
i
j
für alle i, j ∈ I so gilt für die eindeutig bestimmte Abbildung
[
f:
Ui → K
i∈I
u 7→
fi (u) falls u ∈ Ui
dass
!
f ∈ OX
[
Ui
i∈I
Wir nennen die zweite Bedingung auch das „Verkleben von Funktionen“. Hierfür können wir auch
eine alternative aber offensichtlich äquivalente Formulierung wählen:
Sind Ui ⊆ X für i ∈ I offene Teilmengen, dann gelte für alle
!
[
f ∈ Abb
Ui , K
i∈I
die folgende Äquivalenz
!
f ∈ OX
[
i∈I
Ui
⇔ ∀ i ∈ I : f|U ∈ Ox (Ui )
i
7. Vorlesung - 5.11.2012
29
Notation 3.2 Erfüllt das Tupel (X, OX ) die obenstehende Definition, so sagen wir (X, OX ) ist ein
Raum mit Funktionen (über K) und schreiben abkürzend RF/K. Für eine offene Teilmenge U ⊆ X
heißen die Elemente aus OX (U ) auch „Schnitte auf U “.
Definition 3.3 (Morphismus von Räumen mit Funktionen)
Ein Morphismus f : (X, OX ) → (Y, OY ) von Räumen mit Funktionen ist eine stetige Abbildung
f : X → Y der topologischen Räume mit der Zusatzbedingung, dass für alle offenen V ⊆ Y und alle
s ∈ OY (V ) gilt
s ◦ f|f −1 (V ) ∈ OX f −1 (V )
Anmerkung Mit den beiden vorangegangenen Definitionen können wir auch hier wieder von einer
Kategorie reden. Wir betrachten hier die Kategorie der Räume mit Funktionen über K.
Beispiel 17 (Räume mit Funktionen)
1. Sei X ein topologischer Raum. Für offene Mengen U ⊆ X setze
OX (U ) :=
f : U → R f ist stetig
dann ist (X, OX ) ein Raum mit Funktionen über R.
2. Sei X ⊆ Rn eine offene Teilmenge. Für offene Mengen U ⊆ X setze
OX (U ) :=
f : U → R f ist ∞-oft differenzierbar
=: C ∞ (U, R)
dann ist (X, OX ) ein Raum mit Funktionen über R. In diesem Fall erhalten wir auch leicht die
folgende Charakterisierung:
Für X ⊆ Rn und Y ⊆ Rm und eine Abbildung f : X → Y gilt: f ist genau dann ein
Morphismus von Räumen mit Funktionen über R, wenn f ∈ C ∞ (X, Y ) ist.
3. Gegenbeispiel (verletzt Bedingung (1))
Sei X = R. Für offene Mengen U ∈ X setze
OX (U ) :=
f U → R f ist stetig und max f (x) = 5
x∈U
Dann ist X, OX ) kein Raum mit Funktionen, denn wir können aus jeder Menge U eine Teilmenge auswählen, so dass es eine Funktion gibt, deren Maximum nun kleiner als 5 ist (Weil wir
das Maximum „ausgestanzt“ haben).
4. Gegenbeispiel (verletzt Bedingung (2))
Sei X = R. Für offene Mengen U ∈ X setze
OX (U ) :=
f U → R f ist konstant
Dann ist X, OX ) kein Raum mit Funktionen, denn betrachte zum Beispiel die offenen Intervalle
U1 := (0, 1) und U2 := (2, 3) sowie f1 = 0 und f2 = 1, dann ist die Funktion
0
falls x ∈ U1
f (x) :=
1
falls x ∈ U2
nicht konstant und damit gilt f ∈
/ OX (U1 ∪ U2 ).
30
8. Vorlesung - 6.11.2012
Definition und Bemerkung 3.4 (Einschränkung von Räumen mit Funktionen)
Sei X, OX ein Raum mit Funktionen über einem Körper K und sei U ⊆ X eine offene Teilmenge.
Dann ist (U, OX|U ) mit
OX|U (V ) := OX (V )
für offene Mengen V ⊆ U
ebenfalls ein Raum mit Funktionen und heißt die Einschränkung von (X, OX ) auf U .
Der Raum mit Funktionen zu einer irreduziblen affinen algebraischen Menge
Wir betrachten nun wieder ausschließlich algebraisch abgeschlossene Körper k. Wir haben bereits
im Beispiel 14 anhand von GLn (k) gesehen, dass der Umgang mit offenen Mengen im Kontext der
affinen algebraischen Mengen oftmals schwierig ist, zumindest aber umständlich ist. Im Kontext der
Räume mit Funktionen ist der Umgang mit offenen Mengen jedoch leicht. Wir wollen nun versuchen
die beiden Theorien miteinander zu verknüpfen.
Sei X eine irreduzible affine algebraische Menge, dann ist der zugehörige affine Koordinatenring Γ(X) ein Integritätsbereich. Wir wollen in diesem Abschnitt für offene Mengen U ⊆ X eine
Bestimmte Teilmenge
OX (U ) ⊆ Quot Γ(X)
des Quotientenkörpers des Koordinatenrings zusammen mit einer Injektion OX (U ) ,→ Abb(U, k)
konstruieren, so dass (X, OX ) ein Raum mit Funktionen über k wird.
Definition 3.5 (Rationaler Funktionenkörper)
Sei X eine irreduzible affine algebraische Menge. Der Quotientenkörper
K(X) := Quot Γ(X)
des affinen Koordinatenrings Γ(X) heißt der (Rationale-)Funktionenkörper von X.
Bemerkung 3.6 In der Situation der vorangegangen Definition sei h ∈ K(X). Wir scheiben
h =
f
g
D(g) =
mit f, g ∈ Γ(X) und g 6= 0
und erhalten eine Abbildung
x ∈ X g(x) 6= 0
→
x
Ist weiter
f
g
= h =
f˜
g̃ ,
7→
k
f (x)
g(x)
so gilt f g̃ = f˜g in Γ(X) und damit ist auch
f (x)
f˜(x)
=
g(x)
g̃(x)
für alle x ∈ D(gg̃) = D(g) ∩ D(g̃).
8. Vorlesung - 6.11.2012
31
Lemma 3.7 Sei X eine irreduzible affine algebraische Menge und seien f1 , f2 , g1 , g2 ∈ Γ(X) Morphismen. Existiert ein U ⊆ D(g1 g2 ) offen und nicht-leer, mit
f1 (u)
f2 (u)
=
g1 (u)
g2 (u)
so gilt bereits
f1
g1
=
f2
g2
für alle u ∈ U
in K(X).
Beweis. Nach Voraussetzung stimmen die Morphismen f1 g2 und f2 g1 auf U überein. Das heißt jedoch
nichts anderes als das U ⊆ V (f1 g2 − f2 g1 ) ist. Weiter ist ebenfalls nach Voraussetzung X irreduzibel,
also ist U eine offene nicht-leere Teilmenge eines irreduziblen Raums und damit dicht. Weil alle
Mengen der Form V (a) abgeschlossen sind und der Abschluss von U die kleinste abgeschlossene
Menge ist, die U enthält, gilt also
X = U ⊆ V (f1 g2 − f2 g1 ) ⊆ X
und somit stimmen f1 g2 und f2 g1 auf ganz X überein. Also f1 g2 − f2 g1 = 0 in Γ(X).
2
Auf unserem Weg, eine sinnvolle Teilmenge von K(X) anzugeben, wollen wir nun die im affinen
Kontext so wichtigen Maximalideale in den Kontext der Räume mit Funktionen übertragen. Sei also
X ein irreduzibler affiner Raum, dann haben wir zu x ∈ X das Maximalideal
mx := f ∈ Γ(X) f (x) = 0 Γ(X)
Jedes Maximalideal ist insbesondere prim, also können wir die Lokalisierung3 des Rings Γ(X) nach
dem Primideal mx betrachten. Es ist
Γ(X)mx =
nf
g
o
∈ K(X) g(x) 6= 0
Wir sehen direkt die Gleicheit der Teilmengen von K(X)
Γ(X)mx =
[
Γ(X)g
g ∈ Γ(X)
g(x) 6= 0
wobei natürlich
Γ(X)g
o
nf
∈
K(X)
t
∈
N
=
0
gt
die Lokalisierung von Γ(X) nach dem Element g ist. Mit dieser Betrachtung über Lokalisierungen
erhalten wir schnell die Idee für unsere gesuchte Definition
Definition 3.8 (Funktionenfamilie zu X)
Sei X eine irreduzible affine algebraische Menge und U ⊆ X eine nicht-leere offene Teilmenge. Wir
setzen
\
OX (U ) :=
Γ(X)mx ⊆ K(X)
x∈U
3
Vergleiche Vorlesung zur Kommutativen Algebra [L3]
32
8. Vorlesung - 6.11.2012
Bemerkung 3.9 In der Situation der obigen Definition fassen wir UX (U ) stets als Teilmenge von
Abb(U, k) auf. Dies vermöge der Abbildung
OX (U ) ,→
Abb(U, k)
h
f (u) i
u 7→
g(u)
7→
h
wobei natürlich h = fg und g(u) 6= 0 gelten. Solche Elemente f, g ∈ Γ(X) gibt es, denn h ∈ Γ(X)mu
für alle u ∈ U nach Konstruktion von OX (U ).
Die Injektivität der obigen Abbildung folgt unmittelbar aus dem Lemma 3.7.
Warnung. Im Allgemeinen müsssen wir die Elemente f, g in der obigen Abbildung in Abhängigkeit
von u wählen, das heißt die Darstellung h = fg muss möglicherweise für jedes u neu gewählt werden.
Satz 3.10 Sei X eine irreduzible affine algebraische Menge, dann ist das Tupel (X, OX ) ein Raum
mit Funktionen über k.
Beweis. Nach der vorangegangen Bemerkung können wir OX (U ) als Teilmenge von Abb(U, k) auffassen4 . Die Menge OX (U ) ist als Schnitt von Lokalisierungen offensichtlich abgeschlossen unter
Addition und Multiplikation und Γ(X) ist in jeder Lokalisierung enthalten. Damit ist OX (U ) eine
k-Unteralgebra. Wir müssen nun die Bedingungen (1) und (2) von Definition 3.1 nachprüfen.
Zu (1) Für U 0 ⊆ U offen ist
OX (U ) ⊆ OX (U 0 )
in K(X)
denn wir schneiden bei OX (U 0 ) weniger Lokalisierungen als bei OX (U ). Diese Inklusion entspricht aber genau der Einschränkung von Abbildungen f : U → k auf f |U 0 : U 0 → k.
Zu (2) Seien Ui ⊆ X für i ∈ I offene Mengen. Betrachte
[ \
\
OX
Ui =
Γ(X)mx =
OX (Ui )
i∈I
x∈
S
i∈I
Ui
2
Satz 3.11 Sei X eine irreduzible affine algebraische Menge und (X, OX ) der zugehörige Raum mit
Funktionen über k. Sei weiter f ∈ Γ(X). Dann gilt
OX D(f )
= Γ(X)f ⊆ K(X)
Insbesondere sehen wir mit f = 1
OX (X) = OX D(1) = Γ(X)1 = Γ(X)
Beweis. Die Inklusion
Γ(X)f ⊆ OX D(f )
4
Streng genommen betrachten wir das Bild von OX (U ) unter der in der Bemerkung angegebenen Injektion.
8. Vorlesung - 6.11.2012
33
gilt offensichtlich, denn wir können zu h ∈ Γ(X)f stets eine Darstellung h = fgt mit g ∈ Γ(X) auf
D(f ) finden. Die andere Inklusion ist weniger offensichtlich. Für Ihren Beweis
werden wir auch den
Hilbertschen Nullstellensatz implizit verwenden. Sei also g ∈ OX D(f ) dann setze
a = h ∈ Γ(X) h · g ∈ Γ(X) Γ(X)
Es genügt nun f ∈
√
a zu zeigen. Denn ist f t ∈ a, so ist f t g ∈ Γ(X) und damit gilt dann
ft g
∈ Γ(X)f
ft
√
Wegen a = I V (a) genügt es sogar zu zeigen, dass f (x) = 0 ist für alle x ∈ V (a). Sei hierzu
x ∈ X mit f (x) 6= 0, dann ist x ∈ D(f ). Also existieren r, s ∈ Γ(X) mit
g =
r
s
und s(x) 6= 0
Denn g ∈ Γ(X)mx für alle x ∈ D(f ). Dann ist aber s ∈ a und wir haben ein Element s in a, das bei
x nicht verschwindet, also ist x ∈
/ V (a).
2
Satz 3.12 (Verträglichkeit von Morphismen)
Seien X, Y zwei irreduzible affine algebraische Mengen und (X, OX ) und (Y, OY ) die zugehörigen
Räume mit Funktionen. Sei weiter
f: X → Y
eine Abbildung zwischen den Mengen, dann sind äquivalent
(1) f ist ein Morphismus affiner algebraischer Mengen.
(2) Für alle g ∈ Γ(Y ) gilt g ◦ f ∈ Γ(X).
(3) f ist ein Morphismus von Räumen mit Funktionen über k.
Beweis. Wir vergegenwärtigen uns die Definition eines Morphismus von affinen algebraischen Mengen 2.1 und die eines Morphismus von Räumen mit Funktion 3.3 und beweisen die Aussage dann
Schrittweise.
(1) ⇒ (2) Dies ist genau die Funktorialität von Γ.
(2) ⇒ (1) Gilt (2), so erhalten wir einen k-Algebra-Homomorphismus
Γ(Y ) →
g
Γ(X)
7→ g ◦ f
und der zugehörige Morphismus X → Y ist gerade f , denn Γ ist volltreu nach Satz 2.13.
(3) ⇒ (2) Diese Implikation ist klar, denn (2) ist ein Spezielfall von (3).
(2) ⇒ (3) Sei g ∈ Γ(Y ), dann ist
f −1 D(g)
= f −1 {y ∈ Y |g(y) 6= 0} = x ∈ X g f (x) 6= 0 = D(f ◦ g)
34
9. Vorlesung - 12.11.2012
Dann ist f stetig, das heißt Urbilder offener Mengen sind offen, denn die Mengen der Form
D(g) bilden eine Basis der Topologie nach Lemma 2.10. Setze ϕ : Γ(Y ) 3 g 7→ g ◦f ∈ Γ(X),
dann haben wir das Diagramm
OY D(g)
/ O X D ϕ(g)
Γ(Y )g
ϕ̃
/ Γ(X)ϕ(g)
O
ϕ
/ Γ(X)
O
Γ(Y )
wobei ϕ̃ von ϕ induziert wird, das heißt wende ϕ getrennt auf Zähler und Nenner
an.
Da ϕ durch Verkettung gegeben ist, dilt dies auch für die Abbildung OY D(g) 99K OX D(ϕ(g))
ganz oben im Diagramm. Wir haben nun für eine Basis der Topologie gezeigt, dass die Behauptung gilt. Dass dies ausreichend ist, zeigt das folgende Lemma.
Lemma 3.13 Seien (X, OX ) und (Y, OY ) ein Raum mit Funktionen und sei f : X → Y eine stetige
Abbildung. Sei dazu die Familie der Vi ⊆ Y für i ∈ I eine Basis der Topologie auf Y , so dass für alle
Vi und alle g ∈ OY (Vi ) gilt
g ◦ f |f −1 (Vi ) (Vi ) ∈ OX f −1 (Vi )
(∗)
Dann ist f ein Morphismus von Räumen mit Funktionen, das heißt (∗) gilt für alle offenen Teilmengen.
Beweis. Sei V ⊆ Y offen, dann gibt es eine Teilmenge J ⊆ I mit
V =
[
Vi
i∈J
Sei g ∈ OY (V ). Dann gilt nach Voraussetzung
g|Vi ◦ f |f −1 (Vi ) ∈ OX f −1 (Vi )
Es gilt
g|Vi ◦ f |f −1 (Vi ) = g| ◦ f |f −1 (Vi ) =
Weil nun aber auch
[
f −1 (Vi ) = f −1 (V )
und
g ◦ f |f −1 (V ) |f −1 (Vi )
g ◦ f |f −1 (V ) |f −1 (Vi ) ∈ OX f −1 (Vi )
i∈J
gelten, folgt durch „Verkleben von Funktionen“ für die gewählte Überdeckung
g| ◦ f |f −1 (V ) ∈ OX f −1 (V )
2
9. Vorlesung - 12.11.2012
35
Satz 3.14 Wir haben einen Funktor
irred. affine algebraische
Raum mit Funktionen
→
Mengen über k
über k
X
7→
(X, OX )
Dieser Funktor ist volltreu, das heißt für alle irreduziblen affinen algebraischen Mengen X, Y ist die
Abbildung
Ψ : Hom(X, Y ) → Hom (X, OX ), (Y, OY )
bijektiv. Wegen dieser Bijektivität von Ψ lassen wir in Zukunft auch oft den Hinweis auf OX zu X
weg.
Achtung. Dieser Funktor liefert keine Äquivalenz von Kategorien, denn längst nicht alle Räume mit
Funktionen über k kommen von affinen algebraischen Mengen über k. (klar.)
4
Prävarietäten
Definition 4.1 (Affine Varietät, Prävarietät, Morphismen)
(1) Eine affine Varietät über k ist ein Raum mit Funktionen über k, der als Raum mit Funktionen
zu einem Raum mit Funktionen (X, OX ), der zu einer affinen algebraischen Menge X gehört,
isomorph ist.
(2) Eine Prävarietät über k ist ein Raum mit Funktionen (X, OX ) über k, so dass X zusammenhängend ist und dass es eine endliche Überdeckung
X =
n
[
Ui
mit n ∈ N und Ui ⊆ X offen
i=1
derart gibt, dass für alle i = 1, . . . , n der Raum mit Funktionen Ui , OX|Ui ) eine affine Varietät
ist.
(3) Morphismen von Prävarietäten (X, OX ) → (Y, OY ) sind Morphismen der entsprechenden Räume mit Funktionen.
Bemerkung 4.2 Wir erhalten durch diese Definition die Kategorie der Prävarietäten über k sowie
den Funktor
Prävarietät
Raum mit Funktionen
→
über k
über k
(X, OX )
7→
(X, OX )
Dieser Funktor ist per Definition volltreu, den die Morphismen sind zu beiden Kategorien gleich. Wir
können die uns bekannte Äquivalenz von Kategorien nun erweitern zu
X 7→ (X,OX )
irred. affine algebraische
affine Varietät
/
Mengen über k
über k
X 7→ Γ(X)
)
v
integre endl. erzeugte
k-Algebren
(X,Ox ) 7→ OX
36
9. Vorlesung - 12.11.2012
Bemerkung 4.3 Ist (X, OX ) eine Prävarietät, dann ist der topologische Raum X irreduzibel.
Lemma 4.4 Ist (X, OX ) eine Prävarietät, dann ist der topologische Raum X noethersch.
Beweis. Sei
X ⊇ Z1 ⊇ Z2 ⊇ . . .
eine absteigende Kette abgeschlossener Teilmengen von X und sei
X =
n
[
Ui
mit n ∈ N und Ui ⊆ X offen
i=1
eine endliche Überdeckung von X mit affinen Varietäten. Dann sind alle Ui noethersch und die Ketten
X ∩ Ui ⊇ Z1 ∩ Ui ⊇ Z2 ∩ Ui ⊇ . . .
2
werden für alle i = 1, . . . , n stationär.
Offene Unterprävarietäten
Lemma 4.5 Sei X eine affine Varietät und f ∈ Γ(X), dann ist D(f ), OX|D(f ) eine affine Varietät
mit affinem Koordinatenring
OX|D(f ) D(f ) = OX D(f ) = Γ(X)f
Beweis. Der Raum X kommt von einer affinen algebraischen Menge, etwa X ⊆ An (k) mit zugehörigem Koordinatenring
Γ(X) = k[T1 , . . . , Tn ]I(X)
Setze nun a := I(X) + (f · Tn+1 − 1) k[T], dann ist die Abbildung
¯
k[T1 , . . . , Tn ]
I(X) → Γ(X)f
Ti falls i ≤ n
Ti
7→
1
falls i = n + 1
f
ein Isomorphismus. Da Γ(X)f insbesondere ein Integritätsring ist, ist a ein Primideal. Daher können
wir die Abbildung
An+1 (k)
→
An (k)
(x1 , . . . , xn+1 ) 7→ (x1 , . . . , xn )
zu einer bijektiven Abbildung
j : V (a)
(x1 ,...,xn+1 ) 7→ (x1 ,...,xn )
−→
D(f ) ⊆ X
einschränken. Als Einschränkung einer stetigen Abbildung ist auch j selbst stetig. Da j bijektiv ist,
gibt es eine Umkehrfunktion. Diese ist genau dann stetig, wenn j offen ist, das heißt wenn j offene
Mengen auf offene Mengen abbildet.
Tatsächlich genügt es, dies auf einer Basis der Topologie zu zeigen. Sei dazu
g
∈ Γ V (a) = Γ(X)f
N
f
9. Vorlesung - 12.11.2012
37
Dann ist
g j D N
= j D(gf ) = D(f g) ⊆ D(f )
f
Um zu erkennen, dass j ein Isomorphismus von Räumen mit Funktionen ist, müssen wir noch betrachten, was mit Systemen von Funktionen passiert. Um die in Definition 3.2 geforderte Eigenschaft,
für alle offenen V ⊆ Y und alle s ∈ OY (V ) gilt
s ◦ f|f −1 (V ) ∈ OX f −1 (V )
zu erfüllen, genügt es nach Lemma 3.13 die Eigenschaft auf einer Basis der Topologie zu erfüllen.
Für g ∈ Γ gilt
g 7→ s◦g
/ O V (a) D(f g)
OX D(f g)
Γ(X)f g
Γ(X)f
fg
2
2
Beispiel 18 Fasse An (k) erneut als Raum der (n × n)-Matrizen über k auf. Wir kennen bereits die
Identifikation GLN (k) = D(det). Mit dem vorangegangen Lemma erhalten wir die Isomorphie
∼
GLn (k), OAn2 (k)| GL (k)
= (Y, OY )
n
wobei Y eine irreduzible affine algebraische Menge zu
k[Ti,j , Tn+1 ]
(Tn2 +1 · det −1) = k[Ti,j ]det
ist. Damit erhalten wir im Nachhinein die Heuristik geliefert, die wir schon zuvor im Beispiel 13
angewand haben.
Beispiel 19 (Satz von Cayley-Hmilton)
Wie oben setzen wir auch hier
2
Matn×n (k) = An (k)
wir betrachten die Menge der diagonalisierbaren Matrizen D in Matn×n (k) und darin die Teilmenge
E :=
A ∈ Matn×n (k) chpolA hat nur einfache Nullstellen ⊆ D
Es gilt das folgende
2
Theorem. Die Menge E liegt offen in An (k).
Diesen Satz wollen wir in dieser Vorlesung nicht beweisen. Wenn wir diesen Satz jedoch voraussetzen
2
erhalten wir sofort, dass E und damit auch D dicht in An (k) sind. Und damit folgt sehr leicht
Korollar (Satz von Cayley-Hamilton)
Für alle A ∈ Matn×n (k) gilt
chpolA (A) = 0
Beweis. Es ist zu zeigen, dass die n2 -Einträge der Matrix chpolA (A) gleich Null sind. Diese Einträge
2
sind aber Polynome in den Koeffizienten von A, also bestimmte fi,j ∈ Γ An (k) für i, j = 1, . . . , n.
Wenn wir das zu zeigende in unseren Kontext übersetzen erhalten wir, dass wir die Gleichung
2
V = V fi,j i, j = 1, . . . , n = An (k)
38
10. Vorlesung - 13.11.2012
zeigen müssen. Nach dem Theorem genügt es D ⊂ V zu zeigen, das heißt wir müssen das Korollar
für Diagonalmatrizen zeigen und das ist offensichtlich.
2
Definition 4.6 (affine offene Teilmenge)
Ist X eine Prävarietät, dann verstehen wir unter einer affinen offenen Teilmenge von X eine offene
Teilmenge U ⊆ X mit der Eigenschaft, dass U, OX|U ) eine affine Varietät ist.
Satz 4.7 Sei X eine Prävarietät und U ⊆ X offen. Dann ist auch (U, OX|U ) eine Prävarietät (und
die Inklusion U ,→ X ist ein Morphismus von Prävarietäten).
Beweis. Falls U die leere Menge ist, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls gelten
(i) U ist irreduzibel, denn X ist irreduzibel und somit ist U dicht in X, das heißt also U = X. Weiter
gilt für alle Z ⊆ X die folgende Äquivalenz:
Z ist irreduzibel
⇔
Z ist irreduzibel
(ii) U ist endliche Vereinigung affiner offener Teilmengen
Zum Nachweis schreibe
X =
n
[
Ui
mit n ∈ N und Ui ⊆ X offen
i=1
wobei die Ui die nach Definition vorhandenen affin offenen Teilmengen sind. Für jede dieser
affinen Varietäten Ui gilt dann
U ∩ Ui =
[
(i)
D(fj ) ⊆ Ui
j∈J
(i)
mit einer geeigneten nicht notwendig endlichen Menge J ⊆ N und Morphismen fj
Damit sehen wir
n [
[
(i)
U =
D(fj )
∈ Γ(Ui ).
i=1 j∈J
(i)
und alle D(fj ) sind affine Varietäten. Weil U als Teilmenge des noetherschen topologischen
Raums X selbst wieder noethersch und damit quasi-kompakt ist, genügt bereits eine endliche
(i)
Vereinigung dieser D(fj ) um U zu Überdecken.
2
Beispiel 20 Betrachte den topologischen Raum X := A2 (k) und darin die offene Menge U :=
A2 (k) \ {(0, 0))}, dann ist
U = D(T1 ) ∪ D(T2 )
wobei k[T1 , T2 ] den Polynomring zu A2 (k) bezeichne. Also ist U eine Prävarietät. Wir werden in den
Übungen sehen, dass U nicht affin ist.
Bemerkung 4.8 Ist X eine Prävarietät, so bilden die affinen offenen Teilmengen U ⊆ X eine Basis
der Topologie.
10. Vorlesung - 13.11.2012
39
Definition und Bemerkung 4.9 (Der rationale Funktionenkörper einer Prävarietät)
Ist X eine irreduzible affine algebraische Menge, dann haben wir den rationalen Funktionenkörper
definiert als
K(X) = Quot(Γ(X))
dies war möglich, da bei irreduziblen affinen algebraischen Mengen der zugehörige Koordinatenring
integer ist.
Sei nun X eine Prävarietät und seien U, V ⊆ X affin offene nicht-leere Teilmengen, dann ist
OX (U ) ⊆ OX (U ∩ V )
als Teimengen von K(U )
Wähle für den Übergang von OX (U ∩ V ) nach K(U ) ein f ∈ Γ(U ) mit D(f ) ⊆ U ∩ V , dann
erhalte die Inklusionskette
OX (U ) ⊆ OX (U ∩ V ) ⊆ OX (D(f )) ⊆ Γ(U )f ⊆ K(U )
Da wir dieses Argument genau so auch für OX (V ) betrachten können gilt
Quot OX (U ) = Quot OX (U ∩ V ) = Quot OX (V )
Wir wählen also eine affin offene Teilmenge U ∈ X und nennen
K(X) := Quot OX (U ) = K(U )
den rationalen Funktionenkörper der Prävarietät X.
Anmerkung. Die Zuordnung von X zu seinem rationalen Funktionenkörper K(X) ist, selbst im
affinen Fall, nicht funktoriell. Denn die Abbildung Γ(Y ) → Γ(X) die wir für affine algebraische
Mengen X, Y zur Abbildung X → Y aus der oben genannten Zuordnung gewinnen ist nicht injektiv.
Satz 4.10 Sei X eine Prävarietät.
• Ist U ⊆ X offen und nicht leer, so gilt
OX (U ) ⊆ K(X)
• Sind U 0 ⊆ U ⊆ X offen und nicht leer, so ist
OX (U ) ⊆ OX (U 0 ) ⊆ K(X)
• Für alle U, V ⊆ X offen und nicht leer gilt
OX (U ∪ V ) = OX (U ) ∩ OX (V )
Beweis. Alle offenen und nicht-leeren Teilmengen in X sind irreduzibel. Sind U 0 ⊆ U ⊆ X offen
und nicht leer, so ist die Einschränkung
OX (U ) → OX (U 0 )
injektiv. Durch verkleinern von U und U 0 kann ohne Einschränkung angenommen werden, dass U
affin und U 0 = D(g) mit g ∈ Γ(U ) ist. Dann ist die betrachtete Einschränkung gleich der Abbildung
Γ(U ) → Γ(U )g
40
10. Vorlesung - 13.11.2012
Sei nun U ⊆ X offen und nicht leer, dann gibt es ein U 0 ⊆ U derart, dass U 0 offen und affin ist und
es gilt
OX (U ) ⊆ OX (U 0 ) ⊆ K(U 0 ) = K(X)
Damit sind die ersten beiden Aussagen bewiesen und es bleibt nurnoch die letzte nachzuweisen. Seien
dafür U, V ⊆ X offen und nicht leer, dann folgt aus dem obigen Teil
OX (U ∪ V ) ⊆ OX (U )
Ebenso gilt dies aber auch für OX (V ) und damit folgt die erste Inklusion
OX (U ∪ V ) ⊆ OX (U ) ∩ OX (V )
Für die andere Inklusion sei f ∈ OX (U ) ∩ OX (V ). Dann ist wegen
OX (U ), OX (V ) ⊆ OX (U ∩ V )
als Teilmengen von K(X)
die Einschränkung von f , aufgefasst als Abbildung U → k oder V → k, nach U ∩ V die selbe. Die
Abbildungen U → k und V → k, die durch f gegeben sind, „verkleben“ sich also auf natürliche
Weise zu einem Element aus OX (U ∪ V ), welches notwendigerweise mit f übereinstimmt.
2
Definition 4.11 (offene Unterprävarietät)
Ist X eine Prävarietät und U ⊆ X offen, dann ist auch U, OX|U eine Prävarietät und wir nennen
dieses Tupel eine offene Unterprävarietät von (X, OX ).
Abgeschlossene Unterprävarietäten
Sei X eine Prävarietät und Z ⊆ X eine abgeschlossene Teilmenge. Wir wollen nun nicht nur im
Falle offener Teilmengen von Unterprävarietäten reden können, sondern auch in der Lage sein die
abgeschlossenen Mengen, die ja in der Kategorie der affinen algebraischen Mengen eine besonders
wichtige Rolle spielen, in der Kategorie der Räume mit Funktionen brauchbar zu betrachten.
Wir müssen also zunächst einmal für offenen Teilmengen Familien von Funktionen nach k angeben, die der Definition eines Raumes mit Funktionen 3.1 genügen. Sei U ⊆ Z eine offene Teilmenge,
dann setze zunächst für alle u ∈ U die Hilfsfamilie
M(u) := V ⊆ X V ist offen und u ∈ V
Damit können wir den folgenden Ansatz formulieren:
n
o
O0Z (U ) :=
f : U → k ∀ u ∈ U ∃ V ∈ M(u) ∃g ∈ OX (V ) so dass f|U ∩V = g|U ∩V
Wir wollen nun zeigen, dass wir mit diesem Ansatz tatsächlich aus Z einen Raum mit Funktionen
machen können, der dann eine Prävarietät ist.
Leicht zu sehen ist, dass (Z, OZ ) ein Raum mit Funktionen über k ist. Weiter ist klar, dass wir nur
hoffen können bei unserer Konstruktion auf eine Prävarietät zu stoßen, wenn Z irreduzibel ist.
Es gibt bereits einen Fall, indem das Symbol OZ belegt ist. Mit dem folgenden Lemma zeigen wir,
dass unsere neue Definition mit der bereits vorhandenen verträglich ist. Dann können wir anschließend
den Strich an unserem soeben eingeführten Zeichen wieder weglassen.
11. Vorlesung - 19.11.2012
41
Lemma 4.12 Sei X eine affine Varietät und Z ⊆ X eine irreduzible agbeschlossene Teilmenge von
X. Wie oben konstruiere (Z, O0Z ). Andererseits entspricht X einer irreduziblen affinen algebraischen
Menge, also gilt das auch für Z und wir können von der zugehörigen affinen Varietät (Z, OZ ) sprechen. Es gilt
(Z, O0Z ) = (Z, OZ )
das heißt für alle offenen U ⊆ Z gilt: OZ (U ) = O0Z (U ).
Beweis. In beiden Fällen trägt Z die Teilraumtopologie bezüglich der Inklusion Z ⊆ X. Sei nun
U ⊆ Z bezüglich dierser Topologie offen in Z. Wir zeigen zwei Inklusionen:
• „O0Z (U ) ⊆ OZ (U )“ Sei f ∈ O0Z (U ) und seien u, V, g wie in der Definition von O0Z (U ), etwa
g =
h
∈ OX (V ) ⊆ K(X)
s
mit s, h ∈ Γ(X) und s(u) 6= 0
bezeichne mit s, h die Bilder von s, h unter der natürlichen Projektion von Γ(X) nach Γ(Z),
so lässt sich die Einschränkung von f auf die Menge V ∩ D(s) ∩ U beschreiben durch die
Zuordnung
h(z)
z 7→
s(z)
Aus der Definition von OZ folgt damit
f|V
∩ D(s) ∩ U
∈ OZ (V ∩ D(s) ∩ U )
Für jedes u ∈ U finden wir eine solche Umgebung und durch das Verkleben der Funktionen
folgt
f ∈ OZ (U )
• „O0Z (U ) ⊇ OZ (U )“ Sei nun f ∈ OZ (U ), dann haben wir bereits gezeigt, dass
\
OZ (U ) =
Γ(Z)mx ⊆ K(X)
u∈U
Sei nun u ∈ U , dann schreibe
f =
h
s
mit h, s ∈ Γ(Z) und s(u) 6= 0
Seien ṡ und ḣ zwei Urbilder von s und h unter der natürlichen Projektion von Γ(X) nach Γ(Z).
Setze
ḣ
V := D(ṡ) ⊆ X und g :=
∈ K(X)
ṡ
Dann gilt f|U ∩ V = g|U ∩ V , also f ∈ O0Z (U ).
2
Also ist in dem Fall, wo das Symbol OZ bereits belegt war, die neue Definition tatsächlich äquivalent
zur alten. Also lassen wir den Strich nun wieder weg, da wir nicht weiter unterscheiden müssen.
42
11. Vorlesung - 19.11.2012
Folgerung 4.13 Sei X eine Prävarietät und Z ⊆ X eine irreduzioble abgeschlossene Teilmenge.
Dann ist (Z, OZ ) ebenfalls eine Prävarietät.
Beweis. Ist etwa
n
[
X =
Ui
i=1
eine offene Überdeckung von X durch affine Varietäten. Dann ist
Z =
n
[
Ui ∩ Z
i=1
eine offene Überdeckung von Z und die Ui ∩ Z sind affine Varietäten, denn für jedes i = 1, . . . , n gilt
• Ui ∩ Z ⊆ Z ist offen.
• Ui ∩ Z ⊆ Ui ist abgeschlossen.
• Ui ∩ Z, OUi ∩ Z ist affine Varietät nach Lemma 4.12, denn
4.12
OUi ∩Z = O0Ui ∩Z = O0Z|Ui ∩Z
2
5
Projektive Varietäten
Homogene Polynome
Den Großteil dieses technischen Einschubs können wir sehr allgemein für Ringe machen. Sei also im
Folgenden R immer ein kommutativer Ring.
Definition 5.1 (Homogenes Polynom)
Ein Polynom f ∈ R[X0 , . . . , Xn ] heißt homogen vom Grad d, falls f die Summe von Monomen vom
Grad d ist. Also von der Form
X
f =
ai0 ,...,in X0i0 · · · Xnin
|i|=d
wobei |i| := i0 + . . . + in .
Beispiel 21 (Homogene Polynome)
f = X03 + X0 X1 X2 + X1 X22
ist ein homogenes Polynom vom Grad d = 3.
Bemerkung 5.2 Ist R ein Integritätsring mit unendlich vielen Elementen, so gilt:
f ∈ R[X0 , . . . , Xn ] ist genau dann homogen vom Grad d, wenn für alle λ ∈ R \{0} und alle
(x0 , . . . , xn ) ∈ Rn+1 gilt
f (λx0 , . . . , λxn ) = λd · f (x0 , . . . , xn )
In den Übungen zeigen wir diese Aussage für den Fall, dass R = k ein algebraisch abgeschlossener
Körper ist.
11. Vorlesung - 19.11.2012
43
Definition und Bemerkung 5.3 (Homogener Untermodul vom Grad d)
Wir bezeichnen die Menge aller homogenen Polynome vom Grad d mit
R[X0 , . . . , Xn ]d ⊆ R[X0 , . . . , Xn ]
Diese Menge ist offensichtlich ein R-Untermodul und wir können den Polynomring als direkte Summe
über alle diese Untermoduln schreiben
M
R[X0 , . . . , Xn ] =
R[X0 , . . . , Xn ]d
d≥0
Notation 5.4 Wir wollen in Zukunft aus Polynomringen eine Variable „auslassen“. Wir benutzen die
Schreibweise
R[T0 . . . Tbi . . . Tn ] := R[T0 , . . . , Ti−1 , Ti+1 , . . . , Tn ]
für i ∈ {0, . . . , n}.
Lemma 5.5 Seien i ∈ {0, . . . , n} und d ≥ 0 fest gewählt. Dann ist
(d)
φi = φi
: R[X0 , . . . , Xn ]d →
f
7→
g ∈ R[T0 . . . Tbi . . . Tn ] deg(g) ≤ d
f (T0 , . . . , Ti−1 , 1, Ti+1 , . . . , Tn )
eine bijektive R-lineare Abbildung.
Beispiel 22
(3)
φ2 (X03 + X0 X1 X2 + X1 X22 ) = X03 + X0 X1 + X1
(d)
Beweis. Konstruiere eine Umkehrabbldung ψi . Sei dazu g ∈ R[T0 . . . Tbi . . . Tn ] mit deg(g) ≤ d.
Schreibe g als Summe seiner homogenen Komponenten, etwa
g =
d
X
gj
wobei gj ein homogenes Polynom vom Grad j ist.
j=0
und setze
(d)
ψi (g) :=
d
X
Xid−j · gj (X0 , . . . , Xi−1 , Xi+1 , . . . Xn )
j=0
Wegen der offensichtlichen R-linearität beider Abbildungen, genügt es auf Monomen zu zeigen, dass
ψi und φi invers zueinander sind. Das ist aber klar.
2
Bemerkung 5.6 Sind f ∈ R[X]d und g ∈ R[X]e mit d, e ≥ 0, so ist f · g ∈ R[X]d+e und es gilt
¯
¯
¯
(d)
(e)
(d+e)
φi (f ) · φi (g) = φi
(f g)
Sei nun R = K ein Körper. Wir setzen
F :=
nf
o
∈ K(X) f, g ∈ K[X] mit g 6= 0 und f, g homogen vom selben Grad
g
¯
¯
(5.1)
44
11. Vorlesung - 19.11.2012
Nach der vorangegangenen Bemerkung ist F ein Teilkörper von K(X). Genauer gilt sogar
K
X i
i, j = 0, . . . , n = F ⊆ K(X)
Xj
¯
Das heißt F ist die kleinste Körpererweiterung von K in K(X), die sowohl K als auch alle Brüche der
¯
Xi
Form X
enthält. Dass alle Brüche dieser Form in F liegen ist klar. Für die andere Inklusion schreibe
j
K
X
X Xn 0
i
= K
...
i, j = 0, . . . , n
Xj
Xi
Xi
für ein festes i ∈ {0, . . . , n}
und es ist klar, dass F in der rechten Seite liegt. Mit dieser zweiten Schreibweise erhalten wir weiter
einen Isomorphismus
K
X
0
Xi
...
Xn ∼
−→ K(T0 . . . Tbi . . . Tn )
Xi
Xj
Xi
7→
Tj
Allgemein gilt dann die folgende
(d)
Bemerkung 5.7 Die Abbildung φi
F
f
g
induziert einen Isomorphismus
∼
−→ K(T0 . . . Tbi . . . Tn )
deg(f )
7→
φi
(f )
deg(g)
φi
(g)
Beweis. Die Aussage folgt aus Gleichung (5.1) und aus dem Lemma 5.5.
2
Der projektive Raum
Sei nun wieder k ein algebraisch abgeschlossener Körper und n ≥ 0. In diesem Abschnitt wollen wir
die Prävarietät
Pn (k), OPn (k)
einführen und werden diese den „n-dimensionalen projektiven Raum über k“ nennen.
1. Schritt Wir definieren Pn (k) als Menge. Setze dazu
Pn (k) :=
Eindimensionale Untervektorräume von k n+1
Anschaulich gesprochen ist Pn (k) also die Menge aller Geraden in k n+1 durch den Ursprung. Fassen
wir die Geraden durch den Ursprung als Äquivalenzklassen der Punkte, die auf ihr liegen, auf, so
erhalten wir die Identität
n+1
\ {0} Pn (k) = (x0 , . . . , xn ) ∈ k
∼
wobei die Äquivalenzrelation ∼ definiert ist durch
(x0 , . . . , xn ) ∼ (x00 , . . . , x0n ) :⇔ ∃ λ ∈ k × ∀ i = 1, . . . n : xi = λx0i
12. Vorlesung - 20.11.2012
45
Bezeichne die Äquivalenzklasse von (x0 , . . . , xn ) bezüglich dieser Relation mit (x0 : · · · : xn ) dann
erhalten wir die Abbildungen
U ⊂ k n+1
(x0 , . . . , xn )
7→
(x0 : · · · : xn )
←[
(x0 : · · · : xi )
mit {(x0 , . . . , xn )} ist Basis von U
Diese Indentifikation heißt „Beschreibung von Pn (k) durch homogene Koordinaten“.
Anmerkung Beachte, dass der Nullpunkt nicht im Projektiven Raum enthalten ist, denn < 0, . . . , 0 >
ist kein eindimensionaler Unterraum von k n+1 .
2. Schritt Topologie und Funktionenfamilie. Wähle ein i ∈ {0, . . . , n} und setze
Ui := (xo : · · · : xn ) ∈ Pn (k) xi 6= 0
Auf natürliche Weise erhalten wir eine bijektive Abbildung von Ui auf An (k) durch die Zuordnungen
αi :
Ui
An (k)
(xo : · · · : xn ) 7→
(z1 : · · · : zi−1 : 1 : zi+1 : · · · : zn ) ←[
c
xi
xn ...
xi
xi
xi
(z1 , . . . , zn )
x
0
...
Mittels dieser Bijektion fassen wir αi als affine Varietät auf, das heißt wir definieren via αi eine
Topologie auf Ui :
V ⊆ Ui ist offen :⇔ αi (V ) ⊆ An (k) ist offen
(5.2)
Und für in diesem Sinne offene Teilmengen V ⊆ Ui setzen wir
f
∼
OUi (V ) := OAn (k) αi (V ) =
f : V → k αi (V ) −→ V −→ k ∈ OAn (k) αi (V )
Mit diesen beiden Definitionen wird (Ui , OUi ) ein Raum mit Funktionen über k und die Bijektion αi
ist gerade bi-stetig und somit ein Isomorphismus von Räumen mit Funktionen.
Ziel 1 Definiere eine Topologie auf Pn (k), so dass für alle i = 0, . . . , n die oben definirten Mengen
Ui ⊆ Pn (k) offen sind und die von Pn (k) induzierte Teilraumtopologie auf Ui mit der Topologie aus
Gleichung (5.2) übereinstimmt.
Ziel 2 Definiere eine Familie von Funktionen OPn (k) , so dass für alle i = 0, . . . , n gilt
PPn (k)|Ui = OUi
mit den oben definierten Mengen OUi .
Mit diesen beiden Vorgaben gibt es - wenn überhaupt - nur eine Möglichkeit dies zu erreichen. Wir
definieren die Topologie auf dem Projektiven raum via
Definition 5.8 (Topologie auf dem projektiven Raum)
Eine Teilmenge V ⊆ Pn (k) heißt genau dann offen, wenn V ∩ Ui ⊆ Ui für alle i = 0, . . . , n offen ist.
Für im Sinne dieser Topologie offenen Mengen V ⊆ Pn (k) setze nun
OPn (k) (V ) =
f : V → k ∀ i = 0, . . . , n : f|V ∩Ui ∈ OUi (V ∩ Ui )
46
12. Vorlesung - 20.11.2012
Sicherlich ist das so definierte Tupel (Pn (k), OPn (K) ) ein Raum mit Funktionen über k. Die Teilraumtopologie auf Ui ist genau die Topologie aus Gleichung (5.2), denn sei V ⊆ Ui , dann sind die
folgenden Äquivalenzen zu zeigen:
∀ j = 0, . . . , n V ∩ Uj offen ⇔ V ⊆ Pn (k) offen ⇔ V ⊆ Ui offen
Die Äquivalenz von links nach rechts ist hierbei trivial, aber der Schritt von ganz rechts nach ganz links
muss erklärt werden. Offensichtlich ist Ui ∩Uj sowohl in Ui als auch in Uj offen für alle j = 1, . . . , n.
Weiter ist
V ∩ Uj = V ∩ Uj ∩ Ui ⊆ Uj
Wir können auf dem Durchschnitt Ui ∩Uj jeweils zu den Teilraumtoplogien bezüglich der Inklusionen
nach Ui und nach Uj übergehen. Diese Topologien sind aber gleich, denn bezüglich Ui können wir
den Durchschnitt schreiben als
(x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k) xi 6= 0 ∧ xj 6= 0 = (z1 , . . . , zn ) ∈ k n zj 0 6= 0 = D(Tj 0 )
und bezüglich Uj gilt
(x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k) xi 6= 0 ∧ xj 6= 0 = (z1 , . . . , zn ) ∈ k n zi0 6= 0 = D(Ti0 )
Vermöge der Abbildung
αij :
D(Tj 0 )
→
D(Ti0 )
z
zn 1
(z1 , . . . , zn ) →
7
,...,
zj 0
zj 0
sehen wir, dass sich die Topoligien genau entsprechen, denn auch αij ist ein Isomorphismus von
Prävarietäten.
Wir müssen also nun noch zeigen, dass für alle i = 0, . . . , n die Einschränkung OPn (k)|Ui = OUi
gilt. Dazu beweisen wir den folgenden
Satz 5.9 Sei U ⊆ Pn (k) offen, dann ist

Für alle u ∈ U gibt es ein offenes V ⊆ U mit u ∈ V


OPn (k) (U ) =
f : U → k und g, h ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogen vom selben Grad,

g(z)

so dass für alle z ∈ V gilt: f (z) = h(z) und h(z) 6= 0





Die z ∈ V , die in der Bedingung vorkommen, sind Äquivalenzklassen. Wähle in Zähler und Nenner
immer je den selben Representanten von z ∈ V ⊆ Pn (k), dann ist die Zuordnung oben wohldefiniert.
Aus diesem Satz folgt sofort die zu zeigende Eigenschaft. Dies zu sehen ist noch zu zeigen, dass
für V ⊆ Ui und f ∈ OUi (V ) stets f ∈ OPn (k) (V ) gilt. Wende die Beschreibung von f als Bruch
homogener Polynome an. Sei dazu x ∈ V Etwa x ∈ D(h̃) ⊆ V ⊆ Ui mit h̃ ∈ k[T1 , . . . , Tn ]. Auf
D(h̃) hat f die Form
g̃(z)
mit r ∈ N
f (z) =
h̃r (z)
Durch homogenisieren, also Anwenden von ψi auf g̃ und h̃r , erhalte die homogenen Polynome g, h
wie in der Beschreibung nach dem Satz.
12. Vorlesung - 20.11.2012
47
Beweis. Zur Wohldefiniertheit: Die Polynome g, h sind nach Voraussetzung Homogen vom selben
Grad, das heißt wir können Skalare oben und unten mit der selben Potenz aus dem Polynom ziehen.
Die Representanten der Äquivalenzklassen unterscheiden sich jeweils um eine skalare Konstante. Wir
zeigen nun die beiden Inklusionen
• Sei f ∈ OPn (k) (U ). Dann ist f|U ∩Ui ∈ OUi (U ∩ Ui ). Wie oben sehen wir durch Homogenisieren, dass f lokal eine Beschreibung mit homogenen Polynomen g, h, wie in der Bedingung
der rechten Menge, hat.
• Sei andererseits f aus der rechten Menge und i ∈ {0, . . . , n}. Wir müssen zeigen, dass dann
f|U ∩Ui ∈ OUi (U ∩ Ui ) gilt. Lokal auf U ∩ Ui hat f eine Beschreibung der Form
z 7→
g(z)
h(z)
mit homogenen Polynomen g, h. Nach Anwenden der in Schritt zwei definierten Abbildung
∼
αi : Ui −→ An (k) erhalten wir daraus
φi (g) αi (z)
f (z) =
φi (h) αi (z)
und damit gehört f lokal zur Familie OUi ∩U ∩V mit φi (h) 6= 0 auf V . Diese Mengen V überdecken aber U und durch verkleben erhalten wir die zu zeigende Aussage.
2
Folgerung 5.10 Pn (k) ist eine Prävarietät
Beweis. Es ist nur noch zu zeigen, dass Pn (k) irreduzibel ist. Dies lassen wir als eine Übungsaufgabe.
Bemerkung 5.11 (Koordinatenwechsel)
Im affinen Raum (An (k)): Ist A ∈ GLn (K) eine invertierbare Matrix, so sind die Abbildungen
An (k)
An (k)




x1
x1
 .. 
 . 
 .  7→ A ·  .. 
xn
xn




x1
x1




A−1 ·  ...  ←[  ... 
xn
xn
zueinander inverse Isomorphismen vin Prävarietäten. (klar, denn diese sind durch die n-Polynome,
die wir durch das standart Matrizenprodukt erhalten, gegeben.)
Im projektiven Raum (Pn (k)): Ist A = (aij )i,j=0,...,n ∈ GLn+1 (k) eine invertierbare Matrix, so
ist
ϕA :
Pn (k)
Pn (k)
→
(x0 : · · · : xn ) 7→
n
X
j=0
a0j xj : · · · :
n
X
j=0
anj xj
48
13. Vorlesung - 26.11.2012
Ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung ϕA−1 . (Hierbei ist noch zu zeigen, dass ϕA ein Morphismus von Räumen mit Funktionen ist.)
Genaugenommen liefern A und λA für λ ∈ k × den selben Isomorphismus, also hängt ϕA sogar
nur vom Bild von A in
PGLn+1 (k) := GLn+1 (k){diag(λ)|λ ∈ k × } = GLn+1 (k)k ×
ab, wobei diag(λ) die Diagonalmatrix mit nur λ-Einträgen auf der Diagonalen sei.
Bemerkung 5.12 (Der rationale Funktionenkörper von Pn (k))
Wir haben bereits gesehen, dass Pn (k) eine Prävarietät ist, also ist
X
Xn 0
K Pn (k) = K(Ui ) = k
,...,
Xi
Xi
nf o
= F :=
f, g ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogen vom selben Grad
g
In natrürlicher Weise ist Γ(Ui ) ⊆ K(Ui ) = K Pn (k) . Genauso gut gilt aber auch
X
Xn 0
K Pn (k) = K(Uj ) = k
,...,
Xj
Xj
für i 6= j und in ebenso natürlicher Weise ist Γ(Uj ) ⊆ K(Uj ) = K Pn (k) .
Anmerkung Die Koordinatenringe Γ(Ui ) und Γ(Uj ) sind für i 6= j deutlich verschieden.
Satz 5.13 Es gilt
OPn (k) Pn (k)
= k
Insbesondere ist für n ≥ 1 die Prävarietät Pn (k) nicht affin.
Beweis. Nach Satz 4.10 gilt für eine Prävarietät X und offene Teilmengen U, V ⊆ X
OX (U ∩ V ) = OX (U ) ∩ OX (V )
in K(X). Mit der vorangegangenen Bemerkung zum rationalen Funktionenkörper von Pn (k) gilt
damit
OPn (k) Pn (k)
= OPn (k)
n
[
i=0
Ui
=
n
\
OPn (k) (Ui )
i=0
n
hX
\
Xn i
0
,...,
=
k
= k
Xj
Xj
i=0
2
13. Vorlesung - 26.11.2012
49
Abgeschlossene Unterprävarietäten des projektiven Raums
Seien f1 , . . . , fm ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogene Polynome, dann ist
V+ (f1 , . . . , fm ) :=
(x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k) fi (x0 , . . . , xn ) = 0 für alle i
eine abgeschlossene Teilmenge, denn für alle j = 0, . . . , n gilt
V+ (f1 , . . . , fm ) ∩ Uj = V φj (f1 ), . . . , φj (fn )
und diese Menge ist abgeschlossen in Uj und insgesamt dann auch in Pn (k).
Notation 5.14 Wir bezeichnen mit V+ (f1 , . . . , fm ) auch die zu dieser abgeschlossenen Teilmenge
gehörige abgeschlossene Unterprävarietät
Wir wollen nun zeigen, dass jede abgeschlossene Unterprävarietät von Pn (k) genau diese Form hat.
Definition 5.15 (projektive Varietät)
Abgeschlossene Unterprävarietäten von Pn (k), das heißt diejenigen Prävarietäten, die wir zu abgeschlossenen Teilmengen Z ⊆ Pn (k) erhalten, nennen wir projektive Varietät.
Beispiel 23 Sind f1 , . . . , fm ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogene Polynome, dann ist
V := V+ (f1 , . . . , fm ) :=
(x0 : · · · : xn ) ∈ Pn (k) fi (x0 , . . . , xn ) = 0 für alle i
eine abgeschlossene Teilmenge von Pn (k). Ist V irreduzibel, so ist V eine Prävarietät. in diesem Fall
ist
n
n
[
[
V =
V ∩ Uj =
VUj φj (f1 ), . . . , φj (fm )
j=0
j=0
eine Überdeckung durch affine Varietäten.
Beispiel 24 (Einige Beispiele für V+ -Mengen)
Den projektiven Raum P1 (k) können wir als disjunkte Vereinigung
P1 (k) = U0 ∪˙ (0 : 1) = A1 (k) ∪˙ {pt}
schreiben wobei wir {pt} den „Punkt im Unendlichen“ nennen. Berachte
V+ (X0 − X1 ) = (1 : 1)
V+ (X02 − X12 ) = (1 : 1), (1 : −1)
Den projektiven Raum P2 (k) können wir als disjunkte Vereinigung
P1 (k) = U0 ∪˙ (0 : 1 : x2 ) ∪˙ (0 : 0 : 1) = A2 (k) ∪˙ A1 (k) ∪˙ {pt}
schreiben wobei wir A1 (k) ∪˙ {pt} die „Gerade im Unendlichen“ nennen. Berachte
V+ (X1 X2 ) = VU0
X
1
X0
·
X2 ∪ (0 : 0 : 1) ∪ (0 : 1 : 0)
X0
50
13. Vorlesung - 26.11.2012
„Hyperbel“ (V+ (X1 X2 − X02 ))
„Achsenkreuz“ (V+ (X1 X2 ))
Wir wollen nun zeigen, dass alle abgeschlossenen Teilmengen des projektiven Raums als solche V+ Mengen auftreten. Dazu betrachten wir zunächst affine Kegel
Definition 5.16 (affiner Kegel)
Eine Teilmenge X ⊆ An+1 (k) heißt affiner Kegel, falls für alle x ∈ X und alle λ ∈ k gilt λx ∈ X.
Betrachte die Abbildung
f : An+1 (k) \ {0} Pn (k)
(x0 , . . . , xn ) 7→ (x0 : · · · : xn )
Dies ist ein Morphismus, weil offenbar für alle i = 0, . . . , n die Abbildung
f −1 (Ui )
f|f −1 (U
−→ i
DAn+1 (Xi )
→
(x0 , . . . , xn )
7→
)
Ui
An (k)
x
xn 0
,...,
x1
x1
ein Morphismus ist.
Definition und Bemerkung 5.17 (Kegel zu einer abgeschlossenen Menge)
Sei Z ⊆ Pn (k) abgeschlossen, dann setze
C(Z) := f −1 (Z)
wobei f −1 (Z) den Abschluss von f −1 (Z) in An+1 (k) bezeichne. Falls Z 6= ∅, dann gilt
C(Z) = f −1 (Z) ∪ {0}
und C(Z) ist ein affiner Kegel und heißt der Kegel (coen) zu Z.
13. Vorlesung - 26.11.2012
51
Satz 5.18 Sei X ⊆ An+1 (k) abgeschlossen, dann sind äquivalent
(1) X ist affiner Kegel
(2) I(X) k[T1 , . . . , Tn ] wird von homogenen Polynomen erzeugt.
(3) Es gibt eine abgeschlossene Teilmenge Z ⊆ Pn (k) mit X = C(Z).
Sind diese äquivalenten Bedingungen erfüllt, so gilt: Die Menge Z aus (3) ist eindeutig bestimmt und
sind f1 , . . . , fm homogene Polynome, die I(X) erzeugen, dann ist
Z = V+ (f1 , . . . , fm ) ⊆ P(k)
Insbesondere sind also alle abgeschlossenen Teilmengen von Pn (k) von dieser Form.
Beweis. Per Ringschluss
„(3) ⇒ (1)“ Diesen Schritt haben wir schon in der vorangestellten Bemerkung gesehen.
„(1) ⇒ (2)“ Es genügt zu zeigen, dass für g ∈ I(X) etwa
g =
N
X
gj
mit gj homogen vom Grad j
j=0
gilt gj ∈ I(X) für alle j = 0, . . . , N .
Sei also g ∈ I(X) mit einer Zerlegung in homogene Komponenten wie oben. Angenommen es
gäbe ein ĵ ∈ {0, . . . , N } mit gĵ ∈
/ I(X), dann gäbe es ein x ∈ X mit gĵ 6= 0. Das Polynom
n
X
gj (x) T j
j=0
ist also nicht das Nullpolynom, also gibt es λ ∈ k × mit
0 6=
n
X
gj (x) λj
j=0
Da die gj homogene Polynome von Grad j sind, gilt also
0 6=
n
X
j=0
gj (x) λ
j
=
n
X
gj (xλ) = g(x) = 0
j=0
Also muss die Annahme falsch gewesen sein, und die Implikation ist bewiesen.
„(2) ⇒ (3)“ Da wir (2) voraussetzen ist I(X) erzeugt von homogenen Polynomen5 , etwa
I(X) = (f1 , . . . , fm )
Setze
Z := V+ (f1 , . . . , fm )
dann ist offenbar X = C(Z).
Für den Zusatz müssen wir nurnoch zeigen, dass Z eindeutig bestimmt ist. Dies ist aber wegen der
Surjektivität von f klar.
2
5
Es genügen endlich viele Polynome, denn der Ring k[T1 , . . . , Tn+1 ] ist noethersch.
52
14. Vorlesung - 27.11.2012
Morphismen zwischen quasi-projektiven Varietäten
Definition 5.19 (quasi-projektive Varietät)
Eine Prävarietät heißt quasi-projektive Varietät, wenn sie zu einer offenen Untervarietät einer projektiven Varietät isomorph ist.
Beispiel 25 (quasi-projektive Varietäten)
• Projektive Varietäten sind quasi-projektiv, denn offensichtlich ist
Z
offen
⊆ Z
abges.
⊆
Pn (k)
• Affine Varietäten sind quasi-projektiv, denn sei
abges.
⊆
X
offen
An (k) ⊆ Pn (k)
eine affine Varietät, dann gibt es wegen der Teilraumtopologie eine abgeschlossene Teilmenge
Z ∈ Pn (k) mit
X = An (k) ∩ Z
offen
⊆ Z
abges.
Pn (k)
⊆
• Die Prävarietät An (k) \ {0} ist quasi-projektiv, denn
offen
An (k) \ {0} ⊆ Pn (k)
abges.
⊆
Pn (k)
Anmerkung Für n ≥ 2 haben wir in den Übungen gesehen, dass diese Prävarietät nicht affin
ist und das OAn (k)\{0} (An (k)\{0}) = k[T1 , . . . , Tn ] ist. Wir werden später zeigen, dass - falls
Z eine projektive Varietät ist - gilt OZ (Z) = k und damit ist An (k) \ {0} auch nicht projektiv.
Im Folgenden sagen wir nur noch, dass eine Menge Y ⊆ Pn (k) quasi-projektiv sei und unterschlagen
die Menge, in der Y offen enthalten ist, denn per Definition sind äquivalent
• Y ⊆ Pn (k) ist quasi-projektiv.
• Y ⊆ Pn (k) liegt offen in einer abgeschlossenen Teilmenge Z ⊆ Pn (k).
• Y ⊆ Pn (k) ist der durchschnitt einer offenen und einer abgeschlossenen Teilmenge von Pn (k).
• Y ⊆ Pn (k) ist lokal abgeschlossen
Satz 5.20 Sei Y ⊆ Pn (k) quasi-projektiv, dann gelten
(1) Seien f0 , . . . , fm ∈ k[X0 , . . . , Xn ] homogen vom selben Grad, derart dass für alle y ∈ Y ein
j ∈ {0, . . . , m} existiert mit fj (y) 6= 0. Dann ist die Abbildung
h: Y
→
y 7→
Pn (k)
f0 (y) : · · · : fm (y)
ein Morphismus von Prävarietäten.
Eine Familie von Polynomen (gi )i=0,...,m , die die gleichen Bedingungen wie die Familie (fj )j
erfüllt, definiert genau die gleiche Abbildung, wenn für alle i, j = 0, . . . , m und alle y ∈ Y gilt
fi (y)gj (y) = fj (y)gi (y)
14. Vorlesung - 27.11.2012
53
(2) Sei umgekehrt h : Y → Pn (k) ein Morphismus von Prävarietäten, dann gibt es für alle y ∈ Y
eine offene Teilmenge U ⊆ Y mit y ∈ U , derart dass h|U die Form wie in (1) hat.
Beweis. Die Eigenschaft einer Abbildung, Morphismus von Räumen mit Funktionen zu sein, lässt
sich lokal auf einer offenen Überdeckung des Zielraums prüfen. Im konkreten Fall betrachte
Pn (k) =
m
[
Ui
mit Ui = αi (An (k))
i=0
Es genügt also für alle i = 0, . . . , m zu zeigen, dass die Abbildung
h−1 (Ui )
→
∩
Y
Ui
∩
h
−→ Pm (k)
ein Morphismus ist. Fixiere dazu ein i ∈ {0, . . . , m}. Die Abbildung h−1 (Ui ) → Ui = Am (k) hat
die Form
f (y)
fd
fn (y) 0
i (y)
y = (y0 : · · · : yn ) 7→
,...,
,...,
fi (y)
fi (y)
fi (y)
Es ist also zu zeigen: Diese Abbildung
(i) ist stetig, das heißt, dass für alle f ∈ k[T1 , . . . , Tm ] ist h−1 D(f ) ⊆ h−1 (Ui ) offen
(ii) erfüllt die Bedingung: Für alle f ∈ k[T1 , . . . , Tm ] und alle g ∈ OA(k) D(f ) = k[T1 , . . . , Tm ]f
gilt
g ◦ h|h−1 (D(f )) ∈ OPm (k) h−1 (D(f ))
Zu i) Es gilt
f (y)
fd
fn (y) i (y)
0
,...,
,...,
6= 0
y ∈ h−1 D(f ) ⇔ f
fi (y)
fi (y)
fi (y)
Schreibe
f
f
0
fi
,...,
c
fi
fn ϕ1
,...,
=
fi
fi
ϕ2
∈F
mit Polynomen ϕ1 , ϕ2 , die homogen vom selben Grad sind. Insbesondere ist ϕ2 (y) 6= 0 für alle
y ∈ h−1 (Ui ), denn ϕ2 ist eine Potenz von fi . Weiter ist aber auch ϕ1 (y) 6= 0 auf h−1 (D(f )). Wir
erhalten
h−1 D(f ) = h−1 (Ui ) \ V+ (ϕ1 )
und diese Menge ist trivialerweise offen, denn Mengen der Form V+ (. . .) sind abgeschlossen.
Zu ii) Mit dem gleichen Argument wie in (i) sehen wir, dass g ◦ h die Form
y 7→
ϕ1 (y)
ϕ2 (y)
mit ϕ1 , ϕ2 homogen vom selben Grad
hat. Diese Abbildungsvorschrift bezeichnet einen Morphismus
h−1 D(f ) ⊆ Pn (k) \ V+ (ϕ2 ) → A1 (k)
54
14. Vorlesung - 27.11.2012
denn die oben genannte Abbildungsvorschrift entspricht der Beschreibung Elementen aus OPn (k) (U )
für offene Mengen U ∈ Pn (k) nach Satz 5.9. Dann ist die Einschränkung dieses Morphismus auf
h−1 (D(f )) aber erst recht ein Morphismus.
Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen. Für den Nachweis des zweiten Teils betrachte das Diagramm
/ Pm (k)
O
h
YO
?
?
/ Ui = Am (k)
h−1 (Ui )
πj
A1 (k)
Es genügt die Aussage für h|h−1 (Ui ) zu zeigen. Damit genügt es aber, die Morphismen
πj
h
h−1 (Ui ) −→ Ui = Am (k) −→ A1 (k)
für alle j = 1, . . . , m zu betrachten. Diese Morphismen sind Elemente von OY h−1 (Ui ) und haben
daher (...) lokal auf h−1 (Ui ) die Form
y 7→
ϕ1 (y)
ϕ2 (y)
mit ϕ1 , ϕ2 homogen vom selben Grad und ϕ2 (y) 6= 0
2
Lineare Unterräume
Beispiel 26 (Lienare Unterräume)
Sei m ≥ 0 und sei
ϕ : k m+1 ,→ k n+1
ein injektiver k-Vektorraum-Homomorphismus, dann induziert ϕ eine injektive Abbildung
ψ : Pm (k) ,→ Pn (k)
Bei gewählten Koordinaten gilt: Ist ϕ von der Form x 7→ Ax für eine Matrix A = (aij ) ∈ Mat(n+1)×(m+1) (k),
so hat ψ die Form
m
m
X
X
(x0 : · · · : xn ) 7→
a0j xj : · · · :
anj xj
j=0
j=0
ist also ein Morphismus, der durch lineare homogene Polynome beschrieben wird.
Ist B = (bij ) ∈ Matl×(n+1) (k) eine Matrix mit Im(ϕ) = Ker(B), so setze
fi :=
n
X
bij xj
für i = 1, . . . , l
j=0
und wir erhalten einen Isomorphismus
Pm (k) 
ψ
∼
=
/ Pn (k)
O
)
?
V+ (f1 , . . . , fl )
14. Vorlesung - 27.11.2012
55
Andererseits tritt jede abgeschlossene Teilmenge V+ (g1 , . . . , gs ) ⊆ Pn (k) mit linearen homogenen
Polynomen gi auf diese Art und Weise auf, wenn sie nicht leer ist.
Dieses Beispiel gibt uns Anlass zu einigen Definitionen und der Einführung einiger Sprechweisen
Definition 5.21 (lineare Unterräume) Nicht leere Abgeschlossene Untervarietäten der Form V+ (g1 , . . . , gs ) ⊆
Pn (k) mit linearen homogenen Polynomen gi heißen lineare Unterräume von Pn (k). Gilt
∼
Pm (k) −→ V+ (g1 , . . . , gs )
so heißt m die Dimension des Raums.
Definition und Bemerkung 5.22 Es gelten
• Die leere Menge betrachten wir als linearen Unterraum der Dimension −1
• Lineare Unterräume von Pn (k) der Dimension 0 sind genau die einelementigen Teilmengen.
• Lineare Unterräume von Pn (k) der Dimension 1 heißen Geraden.
• Lineare Unterräume von Pn (k) der Dimension 2 heißen Ebenen.
• Lineare Unterräume von Pn (k) der Dimension n − 1 heißen Hyperebenen.
• Pn (k) ist der eizige lineare Unterraum der Dimension n von Pn (k).
Definition und Bemerkung 5.23 Es gelten
(1) Zu zwei verschiedenen Punkten p, q ∈ Pn (k) (also p 6= q) gibt es eine eindeutig bestimmte Gerade
in Pn (k), die p und q enthält. Wir schreiben pq für diese Gerade.
(2) Je zwei verschiedene Geraden im P2 (k) schneiden sich in genau einem Punkt.
Beweis. Übung!
Beispiel 27 (Projektion auf einen linearen Unterraum)
Sei Λ = {λ} ⊆ Pn (k) ein 0-Dimensionaler linearer
Unterraum und Ψ ⊆ Pn (k) eine n − 1-Dimensionale
Hyperebene mit λ ∈
/ Ψ. Betrachte die Abbildung
pΛ : Pn (k) \ Λ → Ψ
x 7→ pΛ (x)
wobei gelte
{pΛ (x)} = Ψ ∩ xλ
Nach einem Koordinatenwechsel hat pΛ die Form
(x0 : · · · : xn ) 7→ (0 : x1 : · · · : xn )
und dies ist trivialer Weise ein Morphismus.
56
15. Vorlesung - 3.12.2012
Bemerkung 5.24 Ist X eine projektive Varietät, dann gibt es einen surjektiven Morphismus X Pm (k) mit endlichen Fasern.
Beweis. Wir wenden die Konstruktion aus dem Vorangegangenen Beispiel an. Sei etwa X ⊆ Pn (k),
dann gibt es ein λ ∈ Pn (k) \ X. Wähle nun eine Hyperebene Ψ ∼
/ Ψ. Dann
= Pn−1 (k) mit λ ∈
beschränkt sich die Abbildung pΛ aus dem vorangegangenen Beispiel auf
pΛ|X : X → Ψ ∼
= Pn−1 (k)
Diese Abbildung hat endliche Fasern, weil jede Faser für z ∈ Ψ die Form hat
pΛ|X
−1
⊆
−1
∼ 1
(z) = pΛ|X
(z) ∩ X abges. p−1
Λ|X (z) = A (k)
Die Fasern sind also abgeschlossene Teilmengen in A1 (k). Also entweder eine endliche Teilmenge,
die leere Menge oder ganz A1 (k). Den letzten Fall möchten wir gerne noch ausschließen und tatsächlich würde wegen
−1
p−1
Λ (z) = pΛ ∪ {λ}
und
X ⊆ Pn (k) abgeschl.
aus p−1
Λ (z) ⊆ X folgen, dass λ ∈ X wäre. Dies haben wir aber ausgeschlossen.
Fact. pΛ (X) ist eine abgeschlossene Teilmenge in Ψ, also wieder eine projektive Varietät.
Betrachte nun die projektive Varietät X (1) := pΛ (X) ⊆ Pn−1 (k). Induktiv sehen wir: Es gibt einen
surjektiven Morphismus f : pΛ (X) Pm (k) mit endlichen Fasern. Damit ist aber die Abbildung
f
X → pΛ −→ Pm (k)
von der gewünschten Form.
2
Anmerkung Die benutzte Tatsache ist nicht offensichtlich und wird von uns auch erst später eingesehen.
Quadriken
In diesem Abschnitt sei k ein (algebraisch abgeschlossener) Körper der Charakteristik 6= 2.
Definition 5.25 (Quadrik)
Eine angeschlossene Teilmenge der Form V+ (q) ⊆ Pn (k), mit einem homogenen Polynom q ∈
k[X0 , . . . , Xn ]2 \ {0} vom Grad 2, heißt eine Quadrik
Beispiel 28 (Quadriken)
Für n = 1: Die V+ -Mengen bestehen aus einzelnen Punkten. Beispielsweise
√
√
V+ (X02 + X12 ) = {(1 : −1), (1 : − −1)}
V+ (X02 )
=
{(0 : 1)}
Für n = 2: Es gibt im Grunde nur zwei Arten von V+ -Mengen. 1. irreduzible (Geraden und Ellipsen oder, je nach affinem Anteil, Hyperbeln bzw. Parabeln) 2. nicht irreduzible (Geraden, die sich
schneiden). Diese V+ -Mengen sind nur zum Teil skizzierbar.
15. Vorlesung - 3.12.2012
57
• q = −X02 + X12 + X22
Wegen (0 : 0 : 0) ∈
/ P2 (k) können nicht alle Einträge zugleich Null sein. Dann muss
aber insbesondere x1 von Null verscheiden
sein. Daher können wir die erste Koordinate auf 1 normieren und erhalten die nach
X0 -dehomogenisierte Gleichung
X 2
1
X0
+
X 2
2
X0
= 1
• q = X02 − X12 + X22
Wie oben können wir die erste Koordinate
auf 1 normieren und erhalten die nach X0 dehomogenisierte Gleichung
1 =
=
X 2
1
X0
X
−
X 2
2
X0
X2 X2 X2 −
·
+
X0 X0
X0 X0
2
Im affinen Teil erhalten wir eine „um 45
gekippte“ Hyperbel, sowie zwei Punkte auf
der Geraden im Unendlichen.
Vorstellung: Wenn wir nach einem anderen affinen Anteil de-homogenisieren wird die Ellipse
von oben in zwei Hälften geteilt und die „Klebestellen“ sind die Punkte auf der Geraden im
Unendlichen.
• q = −X22 + X0 X1
Wenn wir eine Nullstelle mit X1 = 0 suchen, so muss auch X2 = 0 sein. Damit die
Nullstelle im Projektiven Raum liegen kann,
muss die Nullstelle also (1 : 0 : 0) sein. Wir
können also wie in den vorherigen Beispielen die affine Gleichung betrachten
X 2
X1
2
=
X0
X0
Im affinen Teil erhalten wir eine „um 90
gekippte“ Parabel und einen Punkt auf der
Geraden im Unendlichen.
Vorstellung: Wenn wir nach einem anderen affinen Anteil de-homogenisieren wird die Ellipse
von oben längs einer Tangente aufgeschnitten. und die „Klebestelle“ ist der Punkt auf der
Gerade im unendlichen.
• q = X12 Die V+ -Menge ist eine Gerade in Pn (k).
58
15. Vorlesung - 3.12.2012
• q = X12 + X22 Die V+ -Menge ist die Vereinigung zweier Geraden in Pn (k), dies ist keine
irreduzible Menge.
Für n = 3: Auch hier gibt es nur diese beiden Arten von Beispielen. Wenn wir die Projektion auf einen
lienaren Unterraum „rückwerts“ durchführen, können wir Dimensionen „aufsteigen“. Wir erhalten
aus der Ellipse, der Geraden und den gekreuzten Geraden:
V+ (X02 + X12 + X22 )
V+ (X02 + X12 )
V+ (X02 )
Es gibt noch ein Beispiel, dass wir mit dieser Methode nicht bekommen:
V+ (X02 + X12 + X22 + X32 )
Wir wollen nun Begründen, warum dies genau die Arten von Beispielen sind, die wir für V+ -Mengen
bekommen. Dazu benötigen wir zunächst etwas wissen aus der linearen Algebra.
15. Vorlesung - 3.12.2012
59
Bemerkung 5.26 (Quadratische Formen)
Aus der linearen Algebra kennen wir die Bijektion
1:1
{ Quadratische Formen } ←→ { symmetrische Bilinearformen }
1
q
7→ β(v, w) := q(v + w) − q(v) − q(w)
2
q(x) := β(x, x)
←[
β
Quadratische Formen können wir un unserer Terminologie auch als homogene Polynome vom Grad 2
auffassen, also
{ Quadratische Formen } ∼
= k[X0 , . . . , Xn ]2 \ {0}
Symmetrische Bilinearformen können wir hingegen als Matrix bezüglich eienr gewählten Basis, zum
Beispiel der Standartbasis {e0 , . . . , en } ausdrücken durch
A := β(ei , ej ) i,j=0,...,n ∈ Matn+1×n+1 (k)
Mit dieser darstellung ung der oben angegebenen Bijektion erhalten wir
q =
n
X
β(ei , ej ) · Xi Xj
i,j=0
Mit dieser Terminologie können wir nun die Behauptung beweisen. Es gilt der folgende
Satz 5.27 Sei q ∈ k[X0 , . . . , Xn ]2 \ {0} eine Homogenes Polynom vom Grad 2, dann gibt es einen
Koordinatenwechsel von Pn (k) unter dem q übergeht in ein Polynom der Form
2
X02 + . . . + Xr−1
mit 0 < r ≤ n + 1
und r ist unabhängig von der Wahl des Koordinatenwechsels.
Beispiel 29 Wir wollen die Idee hinter dem Satz an einem Beispiel darstellen. Sei also


1 2 1
A := (aij )ij=0,1,2 =  3 4 0 
0 0 1
eine Matrix. A ist invertierbar und liefert einen Koordinatenwechsel
Pn (k)
→
Pn (k)
(x0 : x1 : x2 ) 7→ (x0 + 2x1 + x2 : 3x0 + 4x1 : x2 )
Unter diesem Wechsel gilt der folgende Übergang von V+ -Mengen:
∼
V+ (3X0 + 4X1 )2 + X22 −→ V+ X12 + X22
Mit einem weiteren Koordinatenwechsel (einer Drehung) erhalten wir dann
∼
V+ (3X0 + 4X1 )2 + X22 −→ V+ X02 + X12
60
15. Vorlesung - 3.12.2012
Für den Beweis des Satzes verwenden wir im Grunde nur lineare Algebra: Wir wissen, der Übergang
unter Koordinatenwechsel beschreibt sich durch einen Basiswechsel auf k n+1 für eine quadratische
Form q : k n+1 → k. Nach Bemerkung 5.26 können wir dies auch durch den Basiswechsel für eine
Bilinearform beschreiben:
A 7→ t S A S
Damit folgt der Satz aus dem nächsten
Lemma 5.28 Jede symmetrische Bilinearform über einem Körper K mit char(K) 6= 2 ist diagonalisierbar
Mit anderen Worten: Zu jeder symmetrischen Matrix A gibt es eine invertierbare Matrix S, so dass
t S A S Diagonalgestalt hat. Ist K sogar algebraisch abgeschlossen, so lässt sich zudem erreichen,
dass gilt


1


..


.




1
t


S AS = 

0




..


.
0
Beweis. Wir betrachten zunächst den Zusatz. Sei also K algebraisch Abgeschlossen und A diagonalisierbar, etwa t S A S = diag(α0 , . . . , αn ), dann sortiere die Einträge αi = 0 nach „unten“. Für die
Normierung auf 1 betrachte


 1
  √1
√
α0
α0
α0




..
..
..





.
.
.











√1
√1
α



r
α
α


r
r





0




0
0






.



..
..
..

.
.




0
0
0





= 





1
..









.
1
0
..
.
0
Denn, da wir K als algebraisch abgeschlossen vorausgesetzt haben existieren all diese Wurzeln.
Im allgemeinen Fall kennen wir die folgende Charaktarisierung von symmetrischen Bilinearformen:
Definition (nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform)
Sei β eine symmetrische Bilinearform mit Strukturmatrix A, dann heißt β genau dann nicht ausgeartet, falls für alle v ∈ k n+1 \ {0} ein w ∈ k n+1 existiert mit β(v, w) 6= 0
Aus der linearen Algebra wissen wir: β ist genau dann nicht ausgeartet, wenn A invertierbar ist. Wir
beweisen das Lemma nun unter Zuhilfenahme von Ergebnissen aus der linearen Algebra für nicht
15. Vorlesung - 3.12.2012
61
ausgeartete symmetrische Bilinearformen und zweigen anschließend, dass der Allgemeine Fall sich
auf diesen zurückführen lässt.
Lemma Sei β eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform, etwa β : V × V → K mit einem
endlich-dimensionalen K-Vektorraum V . Sei weiter W ⊆ V ein Unterraum, dann ist
W ⊥ :=
v ∈ V ∀ w ∈ W : β(v, w) = 0
Es gilt der Dimensionssatz
dim W + dim W ⊥ = dim V
Beweis (Skizze)6 . Bezeichne V ∗ = Hom(V, K) den Dualraum von V , dann betrachte das Diagramm

W
/V
W∗ o o
∼
=
V∗
Wonei die Identifizierung von V mit seinem Dualraum durch
∼
V
−→
v
7→
V∗
x 7→ β(v, x)
gegeben ist. Es lässt sich mit diesem Diagramm zeigen, dass
∼
W ⊥ = Ker V −→ V ∗ W ∗
gilt und dann folgt die Behauptung aus dem Dimensionssatz:
dim W ⊥ = dim V − dim W ∗ = dim V − dim W
Lemma Sei β eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform, etwa β : V × V → K mit einem
endlich-dimensionalen K-Vektorraum V . Dann gibt es ein v ∈ V mit β(v, v) 6= 0, also ein v ∈ V mit
< v > ∩ < v >⊥ = {0}
Beweis. Die zu β gehörige quadratische Form q ist ungleich Null.
2
Für eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform β folgt aus diesen Lemmata die Diagonalisierbarkeit durch Induktion.
Ist β hingegen eine ausgeartete symmetrische Bilinearform, so zerlege V wie folgt:
V =
v ∈ V ∀ w ∈ V : β(v, w) = 0 ⊕ U
Wobei U ein komplement der ersten Teilmenge ist. Dann ist die Einschränkung β : U × U → K nicht
ausgeartet. Es gibt einen Basiswechsel, so dass die Strukturmatrix von β in die Stukturmatrix von β|U
und die Nullmatrix zerfällt.
2
6
Der vollständige Beweis mit Hilfe der Dualraumtheorie findet sich in der linearen Algebra
62
16. Vorlesung - 4.12.2012
Im vorangegangenen Satz haben wir gezeigt, dass wir jedes q ∈ k[X0 , . . . , Xn ]2 \ {0} in der Form
2
X02 + . . . + Xr−1
mit eindeutigem r > 0 darstellen können. dies motiviert uns zu der folgenden
Definition 5.29 Ist q ∈ k[X0 , . . . , Xn ]2 \ {0} homogen vom Grad 2 mit eindeutiger Darstellung
2
X02 + . . . + Xr−1
Dann heißen n − 1 die Dimension und r der Rang von V+ (q).
Bemerkung 5.30 Seien q, q ∈ k[X0 , . . . , Xn ]2 \ {0} so gilt
V+ (q) = V+ (q) ⇔ q = λq für λ ∈ k ∗
Beweis. Übungsblatt 8, Aufgabe 4
Lemma 5.31 Sei r ≥ 1, dann gelten
2
ist genau dann irreduzibel, wenn r > 2 ist.
(1) Das Polynom X02 + . . . + Xr−1
2 ) ⊆ Pn (k) für n ≥ r − 1 ist genau dann
(2) Die abgeschlossene Teilmenge V+ (X02 + . . . + Xr−1
irreduzibel, wenn r 6= 2 ist.
Beweis. Zur ersten Aussage ist nicht zu sagen, denn die Fälle r = 1, 2 sind klar (siehe Beispiel 28)
die Fälle r > 2 sind durch eine einfache Rechnung zu sehen. Auch die zweite Aussage ist klar für
r = 1, 2, denn
√
√
V+ (X02 ) = V+ (X0 ) und V+ (X02 + X12 ) = V+ (X0 − −1X1 )(X0 + −1X1 )
Für den allgemeinen Fall folgt die Behauptung aus (1) durch folgende Überlegung
(Skizze) Wäre
V+ (q) = V+ (f1 , . . . , fm ) ∪ V+ (g1 , . . . , gl ) ⊆ V+ (f1 ) ∪ V+ (g1 ) = V+ (f1 g1 )
so könnte (q) kein Primideal sein.
Entweder muss dieses Argument nun für den affinen Fall wiederholt, oder die Behauptung muss durch
Übergang zum affinen Kegel auf den affinen Fall zurück geführt werden. Für die zweite möglichkeit
betrachte
n+1 \ {0} ⊃ π −1 V (q)
⊆ C V+ (q) = V (q) ⊂ n (k)
+
↓π
↓
Pn (k)
⊃
V+ (q)
Und wir wissen, dass der Kegel C(V+ (q)) = V (q) irreduzibel ist für ein irreduzibles Polynom q.
Es kann gezeigt werden, dass zwei irreduzible Quadriken genau dann als projektive Varietäten isomorph sind, wenn ihre Dimension und ihr Rang gleich sind. Wenden wir dieses Wissen auf das Beispiel 28 an, so sehen wir:
(n = 1): Rang und Dimension von V+ (X02 + X12 ) und V+ (X02 ) sind je 1, also sind diese isomorph
16. Vorlesung - 4.12.2012
63
(n = 2): Der Rang der Geraden V+ (X12 ) ist 1 und ihre Dimension ist 2, aber Ellipse (V+ (−X02 +
X12 + X22 )), Hyperbel (V+ (X02 − X12 + X22 )) und Parabel (V+ (−X22 + X0 X1 )) haben gleichen
Rang 3 und gleiche Dimension 2, damit sind diese drei Fälle tatsächlich isomorph.
(n = 3): Die Dimension aller Beispiele ist 3, die Ebene (V+ (X02 )) hat Rang 1, die Fläche der aufeinanderstehenden Kegel (V+ (X02 + X12 + X22 )) hat Rang 3 und das letzte Beispiel (V+ (X02 +
X12 + X22 + X32 )) hat Rang 4.
Dies werden wir nach mehr Theorie auch beweisen können.
6
Schema
Im Kontext von Prävarietäten lässt sich die sogenannte „klassische algebraische Geometrie“ betreiben.
Dabei gibt es aber zwei besondere Defizite:
1. Die Durchschnitte von bestimmten V -Mengen lassen sich nicht unterscheiden, zum Beispiel
V (X) ∩ V (Y ) = V (X, Y ) = {0} = V (Y, X 2 ) = V (Y ) ∩ V (Y − X 2 )
Dabei ist der erstere der Schnittpunkt zweier Geraden und der zweitere der Berührpunkt einer
Parabel mit der Y -Achse. Diese speziellen eigenschaften gehen verloren und in beiden Fällen
erhalten wir dieselbe Prävarietät.
2. Um mit Prävarietäten zu arbeiten müssen wir einen (algebraisch abgeschlossenen) Grundkörper
fixieren. Es wäre interessant, mit unserem bisherigen Wissen aber nicht möglich, zum Beispiel
ganzzahlige Lösungen von Systemen von Polynomgleichungen zu betrachten, oder die durch
ganzzahlige Polynome (das heißt Polynome aus Z[X1 , . . . , Xn ]) definierte Prävarietät über verschiedenen Körpern zu betrachten
Daher wollen wir nun den allgemeineren Begriff des „Schemas“ Verwenden
Bisher
irreduzible affine algebraische Mengen
ko
integre, endl. erz. k-Algebra
ko
affine Varietäten
∩
Prävarietät
∩
Räume mit Funktionen über k
X topol. Raum und Funktionenfamilie OX (U )
für offene Teilmengen U ⊆ X
Neu
Primspektren von Ringen
ko Ringe
ko
affine Schemata
∩
Schemata
∩
geringte Räume
X topol. Raum und Ring OX (U )
für offene Teilmengen U ⊆ X
Damit haben wir den „Fahrplan“ für den zweiten Hauptabschnitt der Vorlesung.
Kapitel II
Das Spectrum eines Rings
In diesem Hauptteil bezeichne R stets einen kommutativern Ring. Wir wollen nun zunächst einige
(topologische) Begriffe aus der kommutativen Algebra wiederholen und sie im Kontext des ersten
Kapitels eventuell noch neu beleuchten.
7
Zariskitopologie
Definition 7.1 (Spectrum eines Rings)
Dann bezeichnen wir mit Spec(R) die Menge der Primideale von R. Die Menge der Maximalen Ideale
von R bezeichnen wir mit Spm(R).
Definition 7.2 (Verschwindungsmenge eines Ideals)
Ist a R ein Ideal, so setzen wir
V (a) := p ∈ Spec(R) a ⊆ p
Bemerkung 7.3 Ist X eine affine algebraische Menge mit Koordinatenring Γ(X), dann haben im
ersten Kapitel für Ideale a Γ(X) die Bijektion
1:1
X ←→ Spm(R)
x
7→
mx
gesehen wir sehen sofort, dass sich diese Einschränkt zu einer Bijektion
1:1
X ⊇ V (a) ←→
m ∈ Spm(X) a ⊆ m ⊆ Spm(R)
64
16. Vorlesung - 4.12.2012
65
Definition und Lemma 7.4 (Zariskitopologie auf Ringspectren)
Die Mengen der Form V (a) wie in Definition 7.2 sind die abgeschlossenen Mengen einer Topologie
auf Spec(R), der sogenannten Zariskitopologie. Genauer gelten für Ideale a, b, ai R
(1) a ⊆ b ⇒ V (a) ⊇ V (b)
(2) V (0) = Spec(R) und V ((1) = ∅
P S
(3) V
ai =
V (ai )
i∈I
i∈I
(4) V (a) ∪ V (b) = V (a ∩ b) = V (a · b)
Beweis. Die Punkte (2), (3) und (4) genau die Kriterien, die eine Topologie zu erfüllen hat (Vergleiche
Satz 1.4). Die Punkte (1), (2) und (3) sind sofort per Definition klar, einzig (4) ist zu zeigen:
• V (a ∩ b) = V (a · b) ist durch nachrechnen zu zeigen.
• Für V (a) ∪ V (b) = V (a ∩ b) zeige beide Inklusionen:
„⊆“ Diese Inklusion folgt direkt aus Eigenschaft (1).
„⊇“ Sei p ∈ V (a ∩ b) mit p ∈
/ V (a). Wir wollen zeigen, dass p dann in V (b) liegt. Nach
Voraussetzung gibt es ein x ∈ a \ p. Sei y ∈ b, dann ist x · y ∈ a ∩ b ⊆ p. Da wir
ausgeschlossen haben, dass x ∈ p liegt und p aber prim ist, muss also y ∈ p liegen.
2
Notation 7.5 Die Elemente des topologischen Raums Spec(R) heißen Punkte. Zu einem Punkt x ∈
Spec(R) bezeichne px R das „zugehörige“ Primideal in R.
Definition 7.6 Für eine Teilmenge Y ⊆ Spec(R) definieren wir durch
\
I(Y ) :=
py R
y∈Y
das zu Y gehörige Ideal.
Die Definitionen 7.2 und 7.6 kennen wir schon im Kontext der Varietäten. Und tatsächlich gelten die
gleichen Eigenschaften:
Satz 7.7 Seien Y ⊆ Spec(R) und a R ein Ideal.
(1) Für Y 0 ⊆ Y gilt I(Y 0 ) ⊇ I(Y )
(2) I(Y ) ist ein Radikalideal, das heißt I(Y ) =
p
I(Y )
(1) (i) V (I(Y )) = Y ist der Abschluss von Y in Spec(R).
√
(ii) I(V (a)) = a
Beweis. Die Teile (1) und (2) sind direkt aus der Definition klar. Für den ersten Teil von Behauptung
(3) ist zu zeigen, dass V (I(Y )) die kleinste abgeschlossene Teilmenge von Spec(R) ist, die Y enthält.
Sei also V (b) eine beliebige abgeschlossene Teilmenge, dann ist Y genau dann enthalten in V (b),
wenn für alle y ∈ Y gilt b ⊆ py . Dies ist aber äquivalent mit der Bedingung
\
b ⊆
py = I(Y )
y∈Y
66
17. Vorlesung - 10.12.2012
Für den zweiten Teil betrachte die Gleichung
\
px =
I(V (a)) =
x∈V (a)
\
p =
√
a
p∈Spec(R)
a⊆p
2
Folgerung 7.8 V und I induzieren inklusionsumkehrende Bijektionen
V
√ a k[T] a = a
m
¯
-
Z ⊆ Spec(R) Z abges.
I
Unter dieser entsprechen sich
1:1
Spm(R) ←→
{x} x ∈ Spec(R)
Vergleiche auch Folgerung 1.13.
Definition 7.9 (Ausgezeichnete offene Mengen)
Für f ∈ R setzen wir
/p
D(f ) := Spec(R) \ V (f ) =
p ∈ Spec(R) f ∈
Die Mengen der Form D(f ) heißen die ausgezeichneten offenen Mengen von Spec(R).
Bemerkung 7.10 Es gelten
• D(0) =
p ∈ Spec(R) 0 ∈
/p
= ∅
/p
= Spec(R)
• D(1) =
p ∈ Spec(R) 1 ∈
/p
= D(f ) ∩ D(g)
• D(f g) =
p ∈ Spec(R) f, g ∈
Lemma 7.11 Seien für i ∈ J Elemente fi , g ∈ R gegeben. Es gilt
[
D(g) ⊆
D(fi ) ⇔ ∃ n ≥ 0 : g n ∈ (fi |i ∈ J)
i∈J
⇔ g ∈
p
(fi |i ∈ J)
Beweis. Es ist
[
p
(fi |i ∈ J) = I V (fi |i ∈ J) =
p
p ∈ Spec(R)
p ∈ V ((fi |i∈J))
p
/ q gilt, dass q nicht
Damit ist also g ∈ (fi |i ∈ J) äquivalent dazu, dass für alle q ∈ Spec(R) mit g ∈
in V ((fi |i ∈ J)) liegt. Es gilt aber
q ∈
/ V ((fi |i ∈ J)) ⇔ q ∈ Spec(R) \ V ((fi |i ∈ J))
\
⇔ q ∈ Spec(R) \
V ((fi ))
i∈J
⇔ q∈
[
Spec(R) \ V ((fi ))
i∈J
⇔ q∈
[
i∈J
D(fi )
17. Vorlesung - 10.12.2012
67
2
Wenden wir dieses Lemma auf das konstante Polynom g = 1 an, so erhalten wir
[
D(fi ) = Spec(R) ⇔ (fi |i ∈ J) = (1) = R
i∈J
Folgerung 7.12 Die ausgezeichneten offenen Teilmengen bilden eine Basis der (Zariski-) Topologie
auf Spec(R). Alle Mengen der Form D(g), also insbesondere auch Spec(R), sind quasi-kompakt.
Beweis. Ist U ⊆ Spec(R) offen, dann ist Spec(R) \ U abgeschlossen. Es gibt also ein a ∈ R mit
[
V (a) = Spec(R) \ U =
D(f )
f ∈a
Damit ist der erste Teil der Folgerung bereits gezeigt. Für die quasi-Kompaktheit genügt es nun zu
zeigen, dass für alle g ∈ R mit
[
D(g) ⊆
D(fi )
i∈I
eine endliche Teilmenge J ⊆ I existiert, mit
D(g) ⊆
[
D(fi )
i∈J
Sei also g ∈ R mit dieser Eigenschaft, dann gibt es nach dem Lemma ein n ∈ N mit g n ∈ (fi |i ∈ I),
es gibt also eine endliche Teilmenge J ⊆ I mit
X
gn =
ai fi
i∈J
und damit gilt insbesondere g n ∈ (fi |i ∈ J). Nach dem Lemma ist nun aber wiederum
[
D(g) ⊆
D(fi )
i∈J
2
und damit folgt die Behauptung.
Warnung: Im Allgemeinen kann Spec(R) auch offene Teilmengen enthalten, die nicht quasi-kompakt
sind.
Erinnerung Im ersten Kapitel hatten wir für eine affine algebraische Menge X die Korrespondenzen:
1:1 abges. Teilmengen von X
←→
Radikalideale in Γ(X)
∪
irred. Teilmengen von X
∪
1:1
←→
1:1
∪
einpunktige Teilmengen von X
Primideale in Γ(X)
∪
←→
Maximalideale in Γ(X)
Wir wollen nun eine ähnliche Korrespondenz zwischen X = Spec(R) als topologischen Raum und
den Idelaen im Ring R herstellen. Dabei werden wir die unterste Stufe der Maximalideale nicht übersetzen können.
68
17. Vorlesung - 10.12.2012
Satz 7.13 Sei Y ⊆ Spec(R) und bezeichne p := I(Y ). Dann ist Y genau dann irreduzibel, wenn p
ein Primideal von R ist. Und in diesem Fall ist gilt für die Abschlüsse in Spec(R): Y = {p}.
Beweis. Sei zunächst Y irreduzibel und sei f · g ∈ p, so gilt
Y ⊆ V (f · g) ⊆ V (F ) ∪ V (g)
Da wir Y als irreduzibel vorausgesetzt haben muss entweder Y ⊆ V (f ) oder Y ⊆ V (g) gelten. Ohne
Einschränkung gelte Y ⊆ V (f ). Dann gilt
p = I(Y ) ⊇ I V (f )
und damit muss also f ∈ p gelten.
Sei andersherum nun p ein Primideal, dann gilt
Y = V I(Y ) = V (p) = {p}
also ist insbesondere Y irreduzibel (denn wir haben es als Abschluss einer einpunktmenge schreiben
können). Damit ist wegen Lemma 1.18 auch Y irreduzibel.
2
Folgerung 7.14 Die Zuordnung p 7→ V (p) induziert eine Bijektion
Spec(R) =
Primideale in R
1:1
←→
irred. abges. Teilmengen von Spec(R)
Unter dieser Bijektion entsprechen die (bzgl. der Inklusion) minimalen Primideale in R den (bzgl. der
Inklusion maximalen) irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen, also den irreduziblen Komponenten,
von Spec(R).
Definition 7.15 (abgeschlossene und generische Punkte, Generalisierung)
Sei X ein topologischer Raum.
(i) x ∈ X heißt ein abgeschlossener Punkt, falls {x} abgeschlossen ist.
(ii) η ∈ X heißt generischer Punkt von X, falls X = {η}.
(iii) Sind x, y ∈ X so heißt x Generalisierung von y und y Spezialisierung von x, falls y ∈ {x}.
(iv) x ∈ X heißt ein maximaler Punkt, wenn {x} eine irreduzible Komponente ist.
Beispiel 30 Wir wollen die Sprechweisen aus Definition 7.15 in unseren Fall übersetzen, sei also
X = Spec(R), dann gelten
(i)
(ii)
x ∈ Spec(R) ist abgeschlossener Punkt
η ∈ Spec(R) ist generischer Punkt
⇔
⇔
⇔
⇔
px ∈ Spm(R)
V (pη ) = Spec(R))
pη ist eind. bestimmtes minimales
T Primideal
Das Nilradikal nil(R) :=
p ist prim
(iii)
(iv)
x, y ∈ Spec(R) mit y ∈ {x}
x ∈ Spec(R) ist maximaler Punkt
⇔
⇔
px ⊆ py
px ist (bzgl. Inklusion) ein maximales Primideal
p∈Spec(R)
Eine weitere Annäherung an Bijektionen, wie wir sie in Kapitel 1 gefunden haben, erhalten wir, in
dem wir einen naheliegenden Spezialfall betrachten:
17. Vorlesung - 10.12.2012
69
Beispiel 31 Sei X eine affine algebraische Menge und bezeichne R := Γ(X). Dann ist
X = Spm(R) ⊆ Spec(R)
und das Maximalspektrum Spm(R) trägt die von Spec(R) induzierte Teilraumtopologie. Diese entspricht genau der Zariskitopologie, die wir in Kapitel 1 auf X eingeführt haben. Für die Menge
Spec(R) \ X der nicht maximalen Primideale erhalten wir die folgende Korrespondenz aus Folgerung 7.14
irred. abges. Teilmengen von Spec(R)
1:1
Spec(R) \ X ←→
mit mehr als einem Element
Nach Kapitel 1 haben wir aber auch
1:1
Spec(R) \ X ←→
irred. abges. Teilmengen von X
mit mehr als einem Element
Damit erhalten wir in diesem Spezialfall eine neue Bijektion und zwar
8
irred. abges. Teilmengen von Spec(R)
mit mehr als einem Element
Y
1:1
←→
7→
irred. abges. Teilmengen von X
mit mehr als einem Element
Y ∩X
Funktorialität des Spectrums I
Seien A, B in diesem Abschnitt stets kommutative Ringe mit Einselement.
Definition 8.1 (Assozierte Abbildung)
Sei ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus, dann bezeichnen wir die Abbildung
a
ϕ : Spec(B) → Spec(A)
q 7→ ϕ−1 (q)
als die zu ϕ assozierte Abbildung.
Anmerkung Die assozierte Abbilung ist wohldefiniert, denn ϕ−1 (q) ist für Primideale q ∈ Spec(B)
ein Primideal von A, denn
A −1
B
ϕ (q) ,→ q
und der Faktorring B nach q ist integer.
Satz 8.2 Sei ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus.
(1) Für alle M ⊆ A gilt:
für alle f ∈ A gilt:
aϕ
V (M) = V ϕ(M ) und
a ϕ D(f ) = D ϕ(f ) .
(2) Für alle Ideale b B gilt:
V ϕ−1 (b) =
aϕ
V (b)
70
17. Vorlesung - 10.12.2012
Beweis. Für alle M ⊆ A und alle q ∈ Spec(B) ist
ϕ(M ) ⊆ q ⇔ M ⊆ ϕ−1 (q)
Damit folgen die Aussagen von (1) sofort. Zu (2) betrachte für b B
\
\
a
ϕ−1 (q)
p =
I ϕ V (b)
=
p∈a ϕ(V (b))
= ϕ−1
\
q∈V (b)
q
= φ−1
√ b
q∈V (b)
p
=
ϕ−1 (b)
Wende nun auf beide Seiten den V -Operator an und erhalte
p
a ϕ V (b) = V I a ϕ V (b)
= V
ϕ−1 (b) = V ϕ−1 (b)
2
Insbesondere folgt aus (2), dass Urbilder abgeschlossener Teilmengen unter a ϕ wieder abgeschlossen
sind, also ist a ϕ eine stetige Abbildung. Damit erhalten wir die
Folgerung 8.3 Die Zuordnungen R 7→ Spec(R) und ϕ 7→ a ϕ ergeben zusammen einen kontravariantern Funktor von Ringen mit Ringhomomorphismen zu topologischen Räumen mit stetigen Abbildungen. Das heißt
•
aϕ
ist stetig
• a id = id
• a (ψ ◦ ϕ) =
a ϕ ◦ aψ
Definition und Folgerung 8.4 (a ϕ dominant)
Sei ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus. Wir nennen a ϕ dominant, wenn Im(a ϕ) = Spec(A) ist.
Es gilt: a ϕ ist genau dann dominant, wenn Ker ϕ aus nilpotenten Elementen besteht.
Beweis. Betrachte (2) von Satz 8.2 für b = (0) und erhalte
Im(a ϕ) =
a ϕ(V
(0)) = V ϕ−1 (0)
= V Ker(ϕ)
2
Beispiel 32 Sei ϕ : Z → Q ein Ringhomomorphismus, dann ist a ϕ dominant, denn (o) ist generischer Punkt des Spectrums von Z und Im(a ϕ) = (0).
Beispiel 33 (abgeschlossene Teilmengen von Ringspectren)
• Sei K ein Körper, dann ist Spec(K) einelementig.
• Ist R ein Hauptidealring (Beispielsweise K[T ], Z, . . .) dann ist
Spec R = Spm(R) ∪ {(0)}
Die abgeschlossenen Teimlengen von Spec(R) sind also ∅, Spec(R) und endliche Mengen von
abgeschlossenen Punkten.
18. Vorlesung - 11.12.2012
71
Satz 8.5 Es gelten
(1) Sei ϕ : A B ein surjektiver Ringhomomorphismus und bezeichne I := Ker ϕ. Dann induziert
a ϕ einen Homöomorphismus von Spec(B) auf die abgeschlossene Teilmenge V (I) in Spec(A).
(2) Sei S ⊆ A eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge und sei
ϕ : A → S −1 A =: B
die kanonische Abbildung in die Lokalisierung von A nach S. Dann induziert a ϕ einen Homöomorphismus von Spec(B) auf die Teilmenge { p ∈ Spec(A) | p ∩S = ∅ } in Spec(A).
Beweis. Aus der kommutativen Algebra ist bekannt, dass a ϕ in beiden Fällen injektiv mit den jeweils
angegebenen Bild ist. Damit genügt es also zu zeigen, dass die jeweiligen Umkehrabbildungen sttig
sind. Mit anderen Worten: Es ist zu zeigen, dass Bilder abgeschlossener Teilmengen unter a ϕ abgeschlossen in Im(a ϕ) sind.
In beiden Fällen gilt für ein Ideal b B und ein Primideal q ∈ Spec(B)
b ⊆ q ⇔ ϕ−1 (b) ⊆ ϕ−1 (q)
Denn in (1) ist ϕ als surjektiv vorausgesetzt und in (2) ist ϕ die kanonische Abbildung in die Lokalisierung. Deshalb ist in beiden Fällen
a
ϕ V (b) = V ϕ−1 (b) ∩ Im(a ϕ)
2
Und diese Menge ist jeweils abgeschlossen.
Beispiel 34 Ist A ein Ring und f ∈ A ein Element, dann sind
D(f ) ∼
= Spec(Af )
homöomorph. Dabei betrachten wir links die Teilraumtopologie auf D(f ) und rechts die Zariskitopologie auf dem Spektrum der Lokalisierung.
9
Garben
Wir wollen nun ein Analogon zum Konstrukt der Räume mit Funktionen über einem Körper k konstruieren. Wir erinnern uns: Ist X eine affine algebraische Menge, dann haben wir das folgende kommutative Diagramm
evx : f 7→ f (x)
Γ(X)
π
$
</ k
∼
=
Γ(X)
mx
Weil also die Evaluationsabbildung evx über das zu x gehörige Maximalideal mx faktorisiert erhalten
wir eine Beschreibung der Einbettung von Γ(X) nach Abb(X, k) als
Γ(X) = Ox (X) ,→
f
Abb(X, k)
7→ [x 7→ f modulo mx ]
72
18. Vorlesung - 11.12.2012
Betrachten wir nun den Fall für einen Ring R und f ∈ R sowie x ∈ Spec(R). Die Elemente aus
R sind nicht im eigentlichen Sinne Funktionen, schon gar nicht auf den Elementen des Spektrums.
Trotzdem wollen wir analog zur obigen Beschreibung das Bild von f im Restklassenkörper κ(px ) mit
f (x) bezeichnen:
Definition 9.1 Sei x = px ∈ Spec(R) dann bezeichne
κ(px ) := κ(x) := Quot Rpx
den Restklassenkörper zu x. Wir können Elemente f ∈ R auffassen als „Funktion“ auf Spec(R),
derart, dass zu x ∈ Spec(R) der Funktionaswert von f in κ(x) liegt.
Beispiel 35 (Ringelemente als „Funktion“)
• Sei R = Z und f = 6 ∈ Z, dann fassen wir 6 als „Funktion“ auf Spec(Z) auf, vermöge der
Zuordnung
6∈Q
falls p = (0)
p 7→
6 ∈ Fp
falls p = (p) für eine Primzahl p ∈ Z
• Sei k ein akgebraisch abgeschlossener Körper und R = k[T ] der Polynomring in einer Variablen über k. Wir fassen f ∈ R als „Funktion“ auf Spec(R) auf, vermöge der Zuordnung
(
f ∈ k(T )
falls p = (0)
p 7→
R
f ∈ (T − α)
falls p = (T − α) für ein α ∈ k
In diesem Fall können wir natürlich via
∼
R
(T − α) −→ k
T
7→
α
f
7→
f (α)
Die Bildbereiche für die Fälle p 6= (0) miteinander identifizieren und erhalten so tatsächlich
eine Funktion auf dem Maximalspektrum.
In den folgenden Abschnitten wollen wir das Konstrukt der Räume mit Funktionen durch das Konstrukt der geringten Räume ersetzen. Dabei werden wir die k-Algebra OX durch Garben ersetzen.
Die entscheidenden Methoden, die wir bei der Definition von OX für Räume mit Funktionen gefordert haben sind „Verkleben“ und „Einschränken“ von Funktionen. Die Grundidee ist nun eine Familie
zu definieren, die genau diese Methoden in das neue Konstrukt herüberrettet. Zunächst die Einschränkung:
Definition 9.2 (Prägarbe)
Sei X ein topologischer Raum. Eine Prägarbe F auf X ist gegeben durch
• eine Menge F(U ) für jede offene Teilmenge U ⊆ X
• Eine Abbildung resU
V : F(U ) → F(V ) für je zwei offene Mengen V ⊆ U ⊆ X so dass gelten
(1) Für alle offenen Mengen U ⊆ X ist resU
U = idF (U )
V
U
(2) Für alle offenen Mengen W ⊆ V ⊆ U ⊆ X gilt resU
W = resW ◦ resV
Die Elemente von F(U ) nennnen wir auch Schnitte von F auf U und anstelle von resU
V (f ) verwenden
wir auch oft die, aus dem Umgang mit Funktionen geläufige, Schreibweise f|V für f ∈ F(U ).
18. Vorlesung - 11.12.2012
73
Bemerkung 9.3 Genauer sprechen wir in Definition 9.2 von einer Prägarbe von Mengen. Analog
definieren wir Prägarben von (abelschen) Gruppen, Ringen, R-Moduln, . . . indem wir zusätzlich
fordern, dass alle F(U ) nicht nur irgendwelche Mengen, sondern (abelsche) Gruppen, Ringe oder
R-Moduln, etc. sind und für alle Restriktionsabbldungen res, dass sie Homomorphismen der entsprechenden Objekte sind.
Definition 9.4 (Morphismus von Prägarben)
Sei X ein topologischer Raum und seien F und G Prägarben auf X. Ein Morphismus
f: F → G
von Prägarben ist gegeben durch eine Abbildung f (U ) : F(U ) → G(U ) für alle offenen Mengen
U ⊆ X derart, dass das folgende Diagramm für alle offenen Teilmengen V ⊆ U kommutiert:
F(U )
resU
V
f (U )
/ G(U )
resU
V
F(V )
f (V )
/ G(V )
Anmerkung Analog sprechen wir von Morphismen von Prägarben von (abelschen) Gruppen, Ringen,
usw. und fordern zusätzlich, dass auch alle f (U ) Homomorphismen der entsprechenden Objekte sind.
Mit dem Konstrukt der Prägarbe können wir nun also Elemente von R auf Teilmengen von Spec(R)
einschränken. Nun wollen wir solche „lokalen Funktionen“ auch verkleben können. Dafür betrachte
die folgende
Definition 9.5 (Garbe)
Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe auf X. Wir nennen F eine Garbe, wenn die
folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:
(1) Seien Ui ⊆ X für i ∈ I offen und U die Vereinigung dieser Ui . Sind s, t ∈ F(U ) Schnitte, so dass
s|Ui = t|Ui für alle i ∈ I gilt, so gilt auch global s = t
(2) Seien Ui ⊆ X für i ∈ I offen und U die Vereinigung dieser Ui . Sind für i ∈ I Schnitte si ∈ F(Ui )
derart gegeben, so dass für alle i, j ∈ I gilt
si|Ui ∩Uj = sj|Ui ∩Uj
Dann gibt es ein globales s ∈ F(U ) mit s|Ui = si für alle i ∈ I.
Diese Punkte heißen auch erstes und zweites Garbenaxiom.
Anmerkung Wenn (1) aus der obigen Definition in Geltung ist, dann ist das globale s aus (2) durch
diese Eigenschaften eindeutig bestimmt.
74
18. Vorlesung - 11.12.2012
Bemerkung 9.6 Wir nennen ein Diagramm der Form
A
ϕ
/B
ψ1
ψ2
/
/C
exakt, falls ϕ injektiv und Im(ϕ) = b ∈ B ψ1 (b) = ψ2 (b) ist. Mit dieser Sprechweise können
wir die Definition der Garben auch umformulieren zu:
Seien Ui ⊆ X für i ∈ I offen und U die Vereinigung dieser Ui , dann gelten erstes und zweites
Garbenaxiom genau dann, wenn für alle Ui das Diagramm
F(U )
/
Q
/ Q
/
F(Ui )
i∈I
s
/ (si )i∈I
F Ui ∩ Uj
i,j∈I
(si )i∈I (si )i∈I / (si|U ∩U )i,j∈I
i
j
/ (sj|U ∩U )i,j∈I
i
j
exakt ist.
Bemerkung 9.7 Sei X ein topologischer Raum und F eine Garbe auf X, dann ist F(∅) = {pt.}
eine einpunktige Menge.
Betrachte dazu die Indexmenge I = ∅, dann ist
[
∅ = U =
Ui
i∈I
für offenen Mengen Ui .Nach dem zweiten Garbenaxiom gibt es ein Element in F(∅) und nach dem
ersten Garbenaxiom ist dieser eindeutig.
Beispiel 36 (Garben)
1. Sei (X, OX ) ein Raum mit Funktionen über k, dann ist OX eine Garbe (von k-Algebren) auf
X.
2. Sei X ein topologischer Raum und M eine Menge, dann definiert F(U ) := Abb(U, M ) eine
Garbe wobei die Restriktionsabbildung das Einschränken von Abbildungen ist.
3. Sei X, Y topologische Räume und für U ⊆ X offen sei F(U ) := Hom(U, Y ) mit Einschränken von Abbildungen als Restriktionsabbildung. Dann ist F eine Garbe auf X.
4. Sei X ein topologischer Raum und für U ⊆ X offen setze
F(U ) := { f : U → R | f (U ) ist beschränkt }
Zusammen mit Einschränken von Abbildungen als Restriktionsabbildung ist F eine Prägarbe,
aber im allgemeinen keine Garbe auf X.
5. Sei X ein topologischer Raum und F eine Garbe auf X. Für U ⊆ X offen ist F |U eine Garbe
auf U mit F |(U ) (V ) = F(V ) fÜr V ⊂ U offen.
19. Vorlesung - 17.12.2012
75
Bemerkung 9.8 Sei X ein topologischer Raum und B eine Basis der Topologie auf X.
• Ist F eine Garbe auf X, dann ist F durch die F(U ) mit U ∈ B und resU
V für U, V ∈ B eindeutig
bestimmt und für alle W ∈ X offen gilt dann
o
n
Y
F(U ) sU |V = sV für alle V ⊆ U ⊆ W mit U, V ∈ B
(9.1)
F(W ) = (sU )U ∈
U ⊆W
U ∈B
• Ist für jedes U ∈ B eine Menge F 0 (U ) und für je zwei U, V ∈ B mit V ⊆ U eine Abbildung
0
0
resU
V : F (U ) → F (V )
W
U
W
mit den Eigenschaften resU
U = id und resV = resV ◦ resU für V, U, W ∈ B mit V ⊆ U ⊆ W
gegenen, so dass F 0 mit res die Garbenaxiome für alle Ui , i ∈ I und U der Vereinigung dieser
Ui , wobei Ui , U ∈ B für alle i ∈ I, erfüllen.
Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Garbe F auf X mit
(1) F(U ) = F 0 (U ) für alle U ∈ B
U
(2) resU
V. F = resV. F 0 für alle U, V ∈ B mit V ⊂ U
Beweisskizze. Nur zum zweiten Punkt der Bemerkung: Definieren F 0 durch die Gleichung (9.1) und
rechne die Garbenaxiome nach.
Der direkte (oder: induktive) Limes
Wir wollen für x ∈ X einen sogenannten „Halm“ definieren. Damit meinen wir eine Menge F x der
„Abbildungen“ (Schnitte) die in irgendeiner (kleinen) Umgebung (Also offene Mengen U ⊂ X mit
x ∈ U ) von x definiert sind.
Im Fall von affinen Varietäten, etwa (X, OX ), ist diese Konstruktion leicht, denn für offene Teilmengen U ⊆ X kann OX (U ) immer als Teilmenge des rationalen Funktionen körpers K(X) betrachtet
werden und für je zwei offene Mengen V, U ⊆ X mit V ⊆ U ist die Restriktionsabbildung
resU
V : O X (U ) → O X (V )
die natürliche Inklusion innerhalb des rationalen Funktionenkörpers. Wir können damit F x = OX,x
definieren als
[
F x = OX,x :=
OX (U )
U ⊂ X of f en
x∈U
Im allgemeineren Fall der Garben können wir F x nicht auf diesem Wege definieren, denn die Restriktionsabbildungen sind nicht notwendig injektiv. Deswegen müssen wir die Vereinigung durch
eine allgemeinere Konstruktion, die des induktiven Limes, ersetzen.
Bezeichne in diesem Abschnitt C stets eine Kategorie, zum Beispiel die Kategorie der Mengen (Mengen mit Abbildungen) oder Gruppen (Gruppen mit Gruppenhomomorphismen). Wir schreiben dann
Obj(C) für die Objekte (also im Beispiel die Mengen oder Gruppen) und M or(C) für die zugehörigen
Morphismen (also Abbildungen oder Homomorphismen) der betreffenden Kategorie.
76
19. Vorlesung - 17.12.2012
Definition 9.9 (partiell geordnet, induktives System, induktiver Limes)
Sei (I, ≤) eine partiell geordnete Menge, das heißt es gelten
• Für alle i ∈ I ist i ≤ i
• Für alle i, j, k ∈ I mit i ≤ j und j ≤ k gilt i ≤ k
• Für alle i, j ∈ I mit i ≤ j und j ≤ i gilt i = j
Sei weiter (Ai )i∈I , (ϕij )i≤j ein induktives System, das heißt es gelten
• Für alle i ∈ I ist Ai ∈ Obj(C)
• Für alle i, j ∈ I mit i ≤ j ist ϕ : Ai → Aj ein Morphismus in C, so dass gelten
– Für alle i ∈ I ist ϕii = idAi
– Für alle i, j, k ∈ I mit i ≤ j ≤ k ist ϕik = ϕjk ◦ ϕij
Ein Objekt L ∈ Obj(C) zusammen mit Morphismen ψi :Ai → L für i ∈ I heißt induktiver (oder:
direkter) Limes des induktiven Systems (Ai )i∈I , (ϕij )i≤j und wir schreiben
L = lim Ai
−→
I
Falls gelten
• Für alle i, j ∈ I mit i ≤ j ist ψj ◦ ϕi,j = ψi . Das heißt das folgende Diagramm kommutiert:
ϕij
Ai
ψi
/L
?
ψi
Aj
• Die folgende universelle Eigenschaft:
Ist T ∈ Obj(C) zusammen mit Morphismen ηi : Ai → T mit ηj ◦ ϕij = ηj für alle i ≤ j, so
gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus ξ : L → T mit ξ ◦ ψi = ηi für alle i ∈ I. Mit
anderen Worten, das folgende Diagramm kommutiert
ψi
Ai
ηi
T

/L
∃! ξ
Bemerkung 9.10 Falls der induktive Limes eines induktiven Systems (Ai , φij ) existiert, so ist er wegen der universellen Eigenschaft, bis auf eindeutige Isomorphie, eindeutig bestimmt.
Im Allgemeinen existiert der induktive Limes nicht1 .
1
Wir werden später noch ein Beispiel eines induktiven Systems ohne induktiven Limes in der Kategorie der endlich
dimensionalen Vektorräume über einem Körper sehen.
19. Vorlesung - 17.12.2012
77
Definition 9.11 (gerichtete Menge)
Eine partiell geordnete Menge (I, ≤) heißt gerichtet, falls es für alle i, j ∈ I ein k ∈ I gibt, mit i ≤ k
und j ≤ k.
Beispiel 37 (gerichtete Menge)
Sei I = N>0 , dann definieren wir eine partielle Ordnung auf I durch
i ≤ j :⇔ i | j
Dann ist (I, ≤) gerichtet, denn für alle i, j ∈ I gibt es ein k ∈ I, Beispielsweise k = i · j oder
k = kgv(i, j), mit i ≤ k und j ≤ k.
Anmerkung (I, ≤) ist im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen mit der Standartordnung nicht total
geordnet, denn i, j mit i - j und j - i sind mit der oben definerten Ordnung nicht verglechbar.
Im Folgenden betrachten wir nurnoch gerichtete Indexmengen (I, ≤).
Beispiel 38 Sei C die Kategorie der Mengen und X eine Menge. Seien (I, ≤) Teilmengen Ai ⊆ X
mit Ai ⊆ Aj für i ≤ j gegeben und sei ϕij : Ai ,→ Aj die natürliche INklusion. Dann ist
L :=
[
⊆X
Ai
i∈I
zusammen mit den Inklusionen ψi : Ai ,→ L „der“ induktive Limes des Systems (Ai , ϕij )
Beweis. Es ist in diesem Fall nur noch die universelle Eigenschaft zu prüfen. Sei also (T, ηi ) ebenfalls
ein Tupel, dass die Eigenschaften des induktiven Limes erfüllt, dann ist zu zeigen, dass ein eindeutiges
ξ existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
ψi
Ai
ηi
T

/L
ξ
Für a ∈ Ai ist ξ durch ξ(a) := ηi (a) bereits eindeutig bestimmt. Wir müssen nun noch betrachten,
was passiert, falls auch a ∈ Aj gilt. Nach Voraussetzung ist I gerichtet, also gibt es ein k ∈ I mit
Ai ⊆ Ak ⊇ Aj . Es gelten
ηi (a) = ηk|Ai (a)
und
ηj (a) = ηk|Aj (a)
und damit ist ξ eindeutig angegeben.
Obwohl wir oben bemerkt haben, dass der induktive Limes im Allgemeinen nicht existiert, ist es kein
Sonderfall, dass es einen solchen Limes gibt. Dies zeigen die folgenden Sätze
Satz 9.12 Sei (I, ≤) eine gerichtete Menge und sei (Ai , ϕij ) ein induktives System in der Kategorie
der Mengen. Dann existiert der induktive Limes
lim Ai =: L
−→
I
78
19. Vorlesung - 17.12.2012
Beweis. Betrachte auf der disjunkten Vereinigung
a
Ai
i∈I
die folgende Äquivalenzrelation
a ∼ b :⇔ a ∈ Ai , b ∈ Aj ∃ k ∈ I : i ≤ k, j ≤ k mit ϕik (a) = ϕjk (a)
Offensichtlich ist ∼ reflexiv und symmetrisch. Zur Transitivität betrachte a ∈ Ai , b ∈ Aj , c ∈ Al
mit a ∼ b und b ∼ c das heißt es gibt k1 , k2 ∈ I mit ϕik1 (a) = ϕjk1 (b) und ϕjk2 (b) = ϕlk2 (c) Da I
gerichtet ist, gibt es ein n ∈ I mit k1 , k2 ≤ n und es gilt
ϕin (a) = ϕk1 n ϕik1 (a) = ϕk1 n ϕjk1 (b)
= ϕjn (b) = ϕk2 n ϕjk2 (b) = ϕk2 n ϕlk2 (c)
= ϕln (c)
Setze dann
a
L :=
i∈I
Ai
∼
ψi : Ai → L
a 7→ [a]∼
und
Es bleibt nurnoch zu zeigen, dass (L, ψi ) die universelle Eigenschaft des induktiven Limes erfüllt. Sei
also auch (T, ηi ) ein Tupel, dass die Eigenschaften des induktiven Limes erfüllt, dann ist zu zeigen,
dass ein eindeutiges ξ existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
ψi
Ai
ηi
T

/L
ξ
Wir verkürzen [a] := [a]∼ . Für [a] ∈ L mit a ∈ Ai ist die Abbildung ξ([a]) := ηi (a) klar. Betrachte
nun einen weiteren Repräsentanten, etwa [a] = [b] mit b ∈ Aj . Dann ist ηi (a) = ηj (b), denn
ηi (a) = ηk ϕik (a) = ηk ϕik (b) = ηj (b)
denn a ∼ b.
2
Satz 9.13 Sei C die Kategorie der (abelschen) Gruppem, Ringe oder R-Modul für einen festen Ring
R. Sei weiter (I, ≤) eine gerichtete Menge und (Ai , ϕij ) ein induktives System in C. Dann existiert
der Induktive Limes L ∈ Obj(C) des Systems (Ai , ϕij ).
Beweis. Sei L als Menge der induktive Limes des Systems (Ai , ϕij ) in der Kategorie der Mengen
(„vergessen“ wir für den Moment die Strukturen auf den Mengen, dann erhalten wir die Existens von
L aus dem vorangegangenen Satz). Wir müssen nun die Strukturen auf der Menge L neu erklären:
Addition auf L: Seien [a], [b] ∈ L, etwa a ∈ Ai unf b ∈ Aj . Sei k ∈ I mit i, j ≤ k, dann setze
[a] + [b] := ϕik (a) + ϕjk (b)
Durch Nachrechnen der Wohldefiniertheit (also der Unabhängigkeit von jedweder Vertreterwahl) und
der Additionsaxiome der jeweilige Kategorie sehen wir, dass damit (L, +) eine (abelsche) Gruppe mit
neutralem Element [0] ist.
19. Vorlesung - 17.12.2012
79
Analog definiere die (eventuell Vorhandenen) anderen Strukturen auf L. Dann wird L zu einem Objekt
in der betrachteten Kategorie. Die Abbildungen ψi : Ai → L sind dann „automatisch“ Morphismen
in der Kategorie C. Es bleibt also nur noch die universelle Eigenschaft zu zeigen. Sei dazu (T, ηi )
ein weiteres Tupel, dass die Eigenschaften des induktiven Limes erfüllt, dann ist zu zeigen, dass ein
eindeutiges ξ existiert, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
ψi
Ai
ηi
T

/L
ξ
Allerdings haben wir bereits das eindeutig bestimmte ξ aus der Kategorie der Mengen, denn L und T
sind induktive Limites in der Kategorie der Mengen (s.o.). Damit ist ξ der einzige Kandidat und wir
müssen nur zeigen, dass ξ ein Morphismus der betrachteten Kategorie ist. Dies ist aber, wie bei den
ψi automatisch der Fall (Nachrechnen!).
2
Beispiel 39 (Kein induktiver Limes)
Sei C die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume über einem Körper K und I = N0 mit
der üblichen „≤“-Ordnung. Setze Ai = K i für i ∈ I und ϕij : Ai ,→ Aj die natürliche Inklusion auf
die ersten i-Einträge. Der einzige Kandidat für einen induktiven Limes ist
[
[
Ai =
Ki
i∈I
i∈N
und dies ist kein endlich dimensionaler Vektorraum, also kein Objekt von C. Und damit existiert der
induktive Limes nicht.
Halme
Sei X ein topologischer Raum und F eine (Prä-)Garbe auf X und x ∈ X ein Punkt. Setze
I := U ⊆ X offen x ∈ U
Eine Ordnung „≤“ auf I definieren wir durch
U ≤ V
:⇔
V ⊆ U
Dann erhalten wir ein induktives System
F(U ) U ∈I , resU
V U ≤V
Definition 9.14 (Halm)
Der induktive Limes des oben definierten Systems heißt der Halm der (Prä-)Garbe F im Punkt x Wir
schreiben
F(U ) → F x
F x = lim F(U )
und
−→
s 7→ sx
U 3x
80
20. Vorlesung - 18.12.2012
Bemerkung 9.15 Ist f : F → G ein Morphismus von Prägarben auf dem topologischen Raum X
und x ∈ X ein Punkt, so erhalten wir einen Morphismus (Also eine Abbildung)
fx : F x → G x
von Halmen. Genauer gilt sogar: Die Zuordnung F 7→ F x zusammen mit f 7→ fx bilden einen
Funktor von der Kategorie der Prägarben (von Mengen / Gruppen / abelschen Gruppen / . . .) in die
Kategorie der Mengen / Gruppen / abelschen Gruppen / . . .
Denn der induktive Limes lim ist ein Funktor.
−→
Konkret: Sind ein Morphismus von Garben f : F → G und ein Punkt x ∈ X gegeben, so definiere
F x = lim F(U ) → lim G(U ) → G x
−→
−→
x∈U
x∈U
unter Zuhilfenahme der universellen Eigenschaft des induktiven Limes:
/ lim F(U )
F(U )
−→
x∈U
"
G(U )
∃!
#
lim G(U )
−→
x∈U
Noch konkreter können wir auch für jedes s ∈ F x offene Mengen U ⊆ X mit x ∈ U und sU ∈ F(U )
finden, so dass (sU )x = s. Dann wird die gesuchte Abbildung durch die Zuordnung
s 7→ f (U )(sU )x
gegeben.
Bemerkung 9.16 Sei X ein topologischer Raum, F eine Prägarbe auf X und x ∈ X ein Punkt.
Dann gelten
• Jedes Element von F x hat die Form sx wobei s 7→ sx für ein U ⊆ X offen mit x ∈ U und
s ∈ F(U ) geeignet.
• Für s ∈ F(U ) und t ∈ F(V ) gilt genau dann sx = tx , wenn es ein offenes W ⊆ V ∩ U mit
x ∈ W und s|W = t|W gibt.
20. Vorlesung - 18.12.2012
81
Satz 9.17 Sei X ein topologischer Raum und F, G Prägarben auf X sowie f : F → G ein Morphismus von Prägarben.
(1) Ist F eine Garbe, dann sind die folgenden Punkte äquivalent:
(i) Für alle U ⊆ X offen ist f (U ) : F(U ) → G(U ) injektiv.
(ii) Für alle Punkte x ⊆ X ist fx : F x → G x injektiv.
(2) Sind F und G Garben, dann gilt (1) entsprechend mit „bijektiv“ anstelle von „injektiv“.
Beweis. Zu (1) betrachte für U ⊆ X offen die Abbildung
Y
F(U ) →
Fx
x∈U
s 7→ (sx )x∈U
Behauptung Die oben definierte Abbildung ist injektiv, weil F eine Garbe ist.
Begründung. Seien s, t ∈ F(U ) mit sx = tx für alle x ∈ U , dann gibt es für alle x ∈ U eine offene
Menge Vx ⊆ U mit x ∈ Vx und s|Vx = t|Vx . Diese Mengen Vx bilden eine offene Überdeckung von
U und damit gilt s = t nach dem ersten Garbenaxiom aus Definition 9.5.
Betrachte nun das Diagramm
F(U ) 
/
Q
x∈U
Fx
_
f (U )
/
G(U )
Q
Gx
x∈U
Wir sehen, dass damit „(ii) ⇒ (i)“ folgt.
Für den Nachweis der Gegenrichtung betrachte ein x ∈ X und f, s ∈ F x mit fx (s) = fx (t) in G x .
Wir müssen diesmal zeigen, dass bereits s = t in F x gilt.
Es gibt offene Mengen U, V ⊆ X mit x ∈ V ∩ U sowie sU ∈ F(U ) und tV ∈ F(V ), so dass
(sU )x = s
und
(tV )x = t
gelten. Damit erhalten wir sofort
f (U )(sU )x = fx (s) = fx (t) = f (V )(tv )x
Also existiert nach der vorangegangen Bemerkung ein W ⊆ U ∩ V mit x ∈ W und f (V )(tV )|W =
F (U )(sU )|W . Wir dürfen die Restriktionsabbildung auf F(W ) mit f vertauschen und erhalten so
f (W )(sU |W ) = f (V )(tV )|W = F (U )(sU )|W = f (W )(tV |W )
Da aber f (W ) nach Voraussetzung injektiv ist, muss also sU |W = tV |W gelten. Damit erhalten wir
aber
s = (SU )x = (tV )x = t
Zu (2) Ist f (U ) bijektiv, für alle offenen Mengen U ⊆ X, so ist f ein Isomorphismus von Garben.
Wegen der Funktorialität von f 7→ fx sind dann auch alle F x → G x bijektiv. Wir müssen also
nurnoch die andere Behauptungsrichtung zeigen. Dafür genügt es aber zu Zeigen: Wenn fx für alle
82
20. Vorlesung - 18.12.2012
x ∈ X bijektiv ist, dann ist f (U ) für alle U ⊆ X offen surjektiv, denn die injektivität gilt bereits nach
(1).
Sei also s ∈ G(U ). Für alle x ∈ U sei tx ∈ F x mit fx (tx ) = sx . Um zu zeigen, dass f (U ) surjektiv
ist, müssen wir ein Urbild t zu den tx finden. Wir wissen: Zu jedem x ∈ U gibt es eine Umgebung
Vx ⊆ U von x mit t̃x ∈ F(Vx ) derart, dass tx = (t̃x )x ist. Dann gilt aber doch für alle x ∈ U
f (Vx )(t̃x )x = fx (tx ) = sx
Damit gibt es zu jedem x ∈ U eine (eventuell noch kleinere) offene Umgebung Wx ⊆ Vx mit x ∈ Wx
und
f (Vx )(t̃x )|Wx = s|Wx
und die Wx überdecken U . Damit verkleben sich die Elemente t̃x|Wx ∈ F(Wx ) zu einem globalen
t ∈ F(U ), denn
t̃x|Wx ∩Wy = t̃y|Wx ∩Wy
da die Abbildungen f (Wx ∩ Wy ) injektiv sind nach Voraussetzung und
f (Wx ∩ Wy )(t̃x|Wx ∩Wy ) = sWx ∩Wy = f (Wx ∩ Wy )(t̃y|Wx ∩Wy )
gilt. Es bleibt nun zu zeigen, dass dieses t ein Urbild von s ist, dies folgt aber aus dem ersten Garbenaxiom vom Definition 9.5 für G, denn
f (U )(t)|Wx = f (Wx )(tWx ) = f (Wx )(t̃x|Wx ) = s|Wx
2
Folgerung 9.18 Mit den obigen Bezeichnungen für X, F, G und f gilt:
Falls F und G die Garbenaxiome erfüllen und falls g : F → G ein weiterer Morphismus von Garben
ist, so ist genau dann f = g, wenn für alle x ∈ X die Gleichung fx = gx erfüllt ist.
Beweis. Dass unter der Voraussetzung f = g für alle x ∈ X gilt fx = gx ist klar, interessant ist
die Gegenrichtung. Wir haben im Beweis zum vorangegangenen Satz das folgende Diagramm bereits
gesehen:
Q

/
F(U ) Fx
x∈U
G(U ) 
/
Q
Gx
x∈U
Und damit folgt die Aussage sofort.
2
20. Vorlesung - 18.12.2012
83
Garbifizierung
Satz 9.19 Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe auf X. Dann gibt es eine eindeutig
e zusammen mit einem Morphismus
bestimmte Garbe F
e
ιF : F → F
von Prägarben, so dass für jede Garbe G zusammen mit einem Morphismus ϕ : F → G von Prägrae → G von Garben existert, so dass das folgende Diagramm
ben ein eindeutiger Morphismus ψ : F
kommutiert.
ιF
e
/F
F
ϕ
ψ
G
So dass also ψ ◦ ιF = ϕ ist. Weiterhin gelten
e x bijektiv.
(1) Für alle x ∈ X ist ιF ,x : F x → F
(2) Für alle Morphismen ϕ : F → G von Prägarben gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus
e →G
e von Garben, so dass das Diagramm
ϕ
e:F
ϕ
F
ιF
/G
ιG
e
F
e
/G
ϕ
e
e ein Funktor von Prägarben nach Garben.
kommutiert. Insbesondere ist die Zuordnung F 7→ F
e und den Morphismus ιF zur gegebenen Prägarbe
Beweis. Wir konstruieren nun zunächst die Garbe F
F. Setze dazu für U ⊆ X offen
(
Y
∀ x ∈ U ∃ V ⊆ U offen mit x ∈ V
e
(sx )x∈U ∈
Fx F(U ) :=
(9.2)
∃ t ∈ F(V ) ∀z ∈ V : sz = tz
x∈U
Weiter sei für offene Teilmengen
U0
⊆ U ⊆ X die Restriktionsabbildung
e
e 0
resU
U 0 : F(U ) → F(U )
durch die Projektionen (sx )x∈U 7→ (sx )x∈U 0 gegeben.
e ist eine Garbe.
Behauptung F
e ) mit
Beweisskizze. Das erste Garbenaxiom ist klar, denn für (sx )x∈U , (s0x )x∈U ∈ F(U
(sx )x∈U |U 0 = (s0x )x∈U |U 0
gilt sx = s0x für alle x ∈ U 0 . Für den Nachweis des zweiten Garbenaxioms seien für i ∈ I offenen
e i ) mit
Mengen Ui ∈ X gegeben und sei U die Vereinigung dieser Ui . Seien weiter (si,x )x∈Ui ∈ F(U
si,x = sj,x
für alle x ∈ Ui ∩ Uj
Dann ist
(sx )x∈U ∈
Y
Fx
x∈U
und die Bedingung in Gleichung (9.2) lässt sich lokal auf den Ui überprüfen.
84
21. Vorlesung - 7.01.2013
Wir wollen nun ιF definieren. Sei dazu U ⊆ X offen und s ∈ F(U ), dann setze
ιF (U ) (s) := (sx )x∈U
dann ist ιF der gewünschte Morphismus. (Die Wohldefiniertheit ist klar.)
Zur Hauptaussage des Satzes fehlt nun nur noch die universelle Eigenschaft. Wir werden aber zunächst
die beiden Zusaätze beweisen, da anschließend die universelle Eigenschaft leicht folgt.
e induzoert eine Abbildung ιF .x : F x → F
e x . Diese ist
zu (1) Der Morphismus ιF : F → F
e x , dann gibt es eine offene Umge• injektiv, denn seien s, t ∈ F x mit gleichem Bild in F
bung U ⊆ X mit x ∈ U und su , tu ∈ F(U ) derart, dass
s = (sU )x
t = (tU )x
und
gelten. dann gilt aber doch
ιF (U ) (sU ) = ιF (U ) (tU )
damit erhalten wir, dass dann schon s = (sU )x = (tu )x = t gilt.
• surjektiv, denn nimm ein Element aus dem Halm und finde ein Urbild, wie beim Nachrechnen des zweiten Garbenaxioms für die obige Behauptung.
e ) → G(U
e ) durch die Zuordnung
zu (2) Definiere die Abbildung ϕ
e (U ) : F(U
(sx )x∈U 7→ ϕx (sx ) x∈U
Es ist leicht zu sehen, dass die so definierte Abbildung ϕ
e ein Morphismus von Garben ist. Die
Eindeutigkeit folgt sofort mit (1) und Folgerung 9.18.
Wir wollen nun die universelle Eigenschaft beweisen. Seien dazu eine Garbe G und ein Morphismus
e = G und ιG = idG . Betrachte das folgende
ϕ : F → G gegeben. Wei G bereits eine Garbe ist, gelten G
Diagramm:
F
ιF
ϕ
e
F
/G
ϕ
e
idG
e
/G
Mit den Zusätzen gilt dann, dass ψ := (idG )−1 ◦ ϕ
e die gesuchte eindeutig bestimmte Abbildung ist.
2
Beispiel 40 (Konstante Garben)
Sei X ein topologischer Raum, E eine Menge und F eine Prägarbe mit F(U ) := E für alle offenen
Mengen U ⊆ X und den Einschränkungsabbildungen
resU
V = idE
für V ⊆ U ⊆ X offen
Diese Konstruktion ist im Allgemeinen keine Garbe, denn gibt es disjunkte offene Teilmengen U, V ⊆
X, dann lassen sich die Elemente e ∈ F(U ) und e0 ∈ F(V ) mit e 6= e0 nicht zu einem Schnitt
verkleben.
21. Vorlesung - 7.01.2013
85
e die Garbifizierung.
Sei F
e die konstante Garbe auch X mit Wert E und schreiben dafür auch E oder
Definition Wir nennen F
EX .
Es gilt konkret
e ) = E(U ) =
F(U
f : U → E f ist lokal Konstant
Beispiel 41 Man benutzt die Garbifizierung um Konstruktionen für Mengen, Gruppen, Ringe oder
Moduln auf Garben zu übertragen.
• Sei ϕ : F → G etwa ein Morphismus von Garben, so setze
ϕ(U )
H(U ) := Im F(U ) −→ G(U )
e die GarbifizieDann ist H eine Prägarbe (im Allgemeinen aber keine Garbe). Sei nun aber H
rung von H, dann setze
e
Im(ϕ) := H
Es kann gezeigt werden (und in den Übungen haben wir dies auszugsweise getan), dass das so
definierte Im(ϕ) tatsächlich die erwarteten Eigenschaften des Bildes hat.
• Für Garben von R-Moduln über einem Ring R können auf
Lähnliche Weise die Konstruktionen
Tensorprodukt (⊗), direkter Limes (lim), direkte Summe ( ), etc. übertragen werden.
−→
Direktes und inverses Bild von Garben unter stetigen Abbildungen
In diesem Unterabschnitt seien X, Y, Z stets topologische Räume, F bezeichne immer eine Prägarbe
auf X und f : X → Y sowie g : Y → Z seien stetige Abbildunen.
Definition und Bemerkung 9.20 (direktes Bild einer Garbe)
Wir bezeichnen die Prägarbe f∗ F, die durch
f∗ F (V ) := F f −1 (V )
für offene Mengen V ∈ Y
sowie
resVV
0
f −1 (V 0 )
:= resf −1 (V )
für offene Mengen V 0 ⊆ V ∈ Y
auf Y beschrieben wird, als das direkte Bild der Prägarbe F unter f . Es gelten:
1. Ist F eine Garbe, so ist auch das direkte Bild f∗ F von F eine Garbe.
2. Die Konastruktion ist Funktoriell in F, das heißt ist ϕ : F → G ein Morphismus von Prägarben, so ist auch
f∗ ϕ : f∗ F → f∗ G
ein Morphismus von Prägarben, denn für V ⊆ Y offen gilt
f∗ F (V )
F f −1 (V )
f∗ (ϕ)
/ f∗ G (V )
/ G f −1 (V )
ϕ f −1 (V )
Die Verträglichkeit mit Kompositionierung und Identität ist leicht zu sehen.
86
21. Vorlesung - 7.01.2013
3. Es gilt
g∗ (f∗ F) = (g ◦ f )∗ F
Beispiel 42 Sei mit {pt} der topologische Raum bezeichnet, der nur aus einem Punkt besteht, und sei
f : X → {pt} stetig. Der Einpunktraum hat nur zwei offene Mengen, nämlich ∅ und {pt}. Die leere
Menge ist für die Betrachtung mit Garben nicht interessant, identifiziere daher eine Garbe G auf {pt}
mit der Menge G({pt}). Dann gilt für Garben F auf X
f∗ F =
ˆ f∗ F ({pt}) = F(X)
Definition und Bemerkung 9.21 (Inverses Bild einer Garbe)
Sei G eine Prägarbe auf Y , dann definieren wir eine Prägarbe F auf X durch
F(U ) :=
lim
−→
G(V )
für offene Mengen U ⊆ X
(∗)
V ⊆Y offen
f (U ) ⊆ V
wobei der direkte Limes bezüglich der Restriktionsabbildungen von G und der Halbordnung (V 0 ≥ V ,
e die Garbifizierung von F, dann heißt f −1 G := F
e
falls f (U ) ⊆ V 0 ⊆ V ) genommen werde. Sei F
das inverse Bild von G unter f . Es gelten
1. Selbst wenn G eine Garbe ist, ist F nach Konstruktion (∗) nicht notwendig eine Garbe.
2. Genau wie ·∗ funktoriell in F ist, ist auch ·−1 funktoriell in G.
3. Ist H eine Garbe auf Z, so gilt
f −1 g −1 (H)
∼
= (f ◦ g)−1 (H)
Und diese Isomorphie wird durch die universellen Eigenschaften der direkten Limites bestimmt.
21. Vorlesung - 7.01.2013
10
87
Lokal geringte Räume
Ziel dieses Abschnittes ist die Verallgemeinerung des Begriffs des Raums mit Funktionen auf eine
Weise, die auf alle Spektren von Ringen „anwendbar“ ist. Wir wollen uns zwei wichtige Eigenschaften
von Räumen mit Funktionen noch einmal vergegenwärtigen und dabei bereits versuchen, sie in die
neue Terminologie der Garben zu übersetzen:
(1) Mit der Garbenterminologie ist ein Raum mit Funktionen über einem Körper K ein topologischer
Raum mit einer Garbe OX auf X, so dass
Ox 
/ Abb(U, K)
OX (U 0 ) / Abb(U 0 , K)

für alle offenen Mengen U 0 ⊆ U ⊆ X kommutiert.
(2) Ein Morphismus von Räumen mit Funktionen (X, OX ) → (Y, OY ) ist gegeben durch
• Eine stetige Abbildung f : X → Y zwischen den Räumen.
• Die Verkettung von Elementen aus OY mit f induziert einen Morphismus den wir in der
neuen Terminologie als OY → f∗ OX beschreiben.
Sind A und B Ringe, so sollen Morphismen von Spec A nach Spec B im Sinne der noch zu definierenden Struktur bijektiv den Ringhomomorphismen von B nach A entsprechen.
Definition 10.1 (Geringter Raum, Morphismen von geringten Räumen)
Ein geringter Raum ist ein Paar (X, OX ) wobei X ein topologischer Raum und OX eine Garbe von
Ringen auch X ist.
Ein Morphismus X, OX ) → (Y, OY ) von geringten Räumen ist gegeben durch
• Eine stetige Abbildung f : X → Y zwischen den Räumen.
• Einen Garbenhomomorphismus f b : OY → f∗ OX
In diesem Zusammenhang heißt Ox auch die Strukturgarbe von (X, OX ) und anstelle des Tupels
schreiben wir, wie bei ähnlichen Strukturen ebenso üblich, oft auch nur X.
Bemerkung 10.2 Wir erhalten die Kategorie der geringten Räume.
Beweis. Wir können Morphismen verketten, denn für Morphismen geringter Räume
f
g
(X, OX ) −→ (Y OY ) −→ (Z, OZ )
gibt es Ringhomomorphismen
f b : OY → f∗ OX
und
g b : O Z → g∗ O Y
und es gilt
gb
g∗ f b
Oz −→ g∗ OY −→ g∗ f∗ OX
= (g ◦ f )∗ OX
Damit ist g◦f zusammen mit (g∗ f b )◦g b ein Morphismus geringter Räume von X, OX ) nach (Z, OZ ).
2
88
21. Vorlesung - 7.01.2013
Definition und Bemerkung 10.3 Sei f : X → Y ein Morphismus geeringter Räume und ist x ∈ X
ein Punkt, so setze y := f (x). Sei nun V ⊆ Y eine offene Umgebung von y, so erhalte
f b (V )
OY (V ) −→ OX f −1 (V ) → OX,x
Durch Übergang zum direkten Limes also
OY,y =
lim OY (V ) → OX,x
−→
V ⊆Y offen
y∈V
Für die so erhaltene Abbildung schreiben wir
fx] : OY,f (x) → OX,x
Beispiel 43 Ist X eine Prävarietät, so können wir (X, OX ) als geringten Raum auffassen. Ist x ∈ X
ein Punkt, so können wir den Halm als Teilmenge des rationalen Funktionenkörpers K(X) explizit
beschreiben als
OX,x = f f ist auf einer Umgebung von x definiert
Für eine affine Varietät U ⊆ X mit x ∈ U gilt genauer sogar
ng o
OX,x =
g, h ∈ Γ(U ) ∧ h(x) 6= 0 = Γ(U )mx
h
Sei f : U → V ein Morphismus affiner Varietäten, dann gilt mit der vorangegangenen Bemerkung
die Abbildung
fx]
Γ(U )mf (x) = OV,f (x) −→ OU,x = Γ(U )mx
• ist gegen durch die Verkettung s 7→ s ◦ f wenn wir die Sichtweise der Funktionen einnehmen
• wird als Homomorphismus zwischen den Lokalisierungen vom Homomorphismus Γ(V ) →
Γ(U ) induziert.
In diesem Speziealfall treten Eigenschaften auf, die im Allgemeinen nicht zu erwarten sind
1. Alle Halme OX,x sind lokale Ringe (sie besitzen alse genau ein maximales Ideal).
2. Für alle Homomorphismen der Form fx] : OY,f (x) → OX,x gilt
fx] (mf (x) ) ⊆ mx
Wir nennen Homomorphismen von Lokalen Ringen mit dieser Eigenschaft (die also das Maximalideal des einen in das Maximalideal des anderen Rings abbilden) lokale Homomorphismen.
Im nächsten Schritt wollen wir unse Struktur so anpassen, dass Sie die beiden besonderen Eigenschaften aus dem Beispiel berücksichtigt.
22. Vorlesung - 8.01.2013
89
Definition 10.4 (Lokal geringter Raum)
Ein lokal geringter Raum ist ein geringter Raum (X, OX ) derart, dass für alle Punkte x ∈ X der
zugehörige Halm OX,x ein lokaler Ring ist.
Ein Morphismus von lokal geringten Räumen
f : (X, OX ) → (Y, OY )
ist ein Morphismus geringter Räume, also eine stetige Abbildung f : X → Y zusammen mit einem
Ringhomomorphismus f b : OY → f∗ OX , welcher zudem die Eigenschaft, dass für alle x ∈ X der
Homomorphismus
fx] : OY,f (x) → OX,x
lokal ist, also
fx] (mf (x) ) ⊆ mx
mf (x) =
bzw. äquivalent
fx]
−1
(mx )
gelten, erfüllt.
Bemerkung 10.5 Dieser Morphismusbegriff erlaubt die Verkettung von Morphismen, wir erhalten
also die Kategorie der lokal geringten Räume.
Beweis. Analog zu Bemerkung 10.3.
Das Spektrum eines Rings als lokal geringter Raum
Sei A ein Ring und bezeichne X := Spec A das Primspektrum von A versehen mit der Zariskitopologie (Definition 7.4). Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es eine Garbe OSpec A zu definieren, so dass
Spec A mit dieser Garbe ein lokal geringter Raum wird.
Im affinen Fall (Y eine affine Varietät) haben wir die Beobachtung OY (D(f )) = Γ(Y )f gemacht.
Aus dieser Beobachtung erhalten wir die Idee für den Definitionsansatz der gesuchten Garbe. Für alle
f ∈ A setzen wir:
OSpec A D(f ) := Af
Damit haben wir auf der Basis B = D(f ) | f ∈ A der Topologie und damit für alle offenen Mengen
von Spec A eine Prägarbe definiert, sofern wir zeigen können, dass
1. OSpec A wohldefiniert ist, das heißt für D(f ) = D(g) erhalten wir den gleichen Ring.
2. Restriktionsabbildungen existieren.
Wir wissen: Sind f, g ∈ A, so gilt
p
(g)
g
⇔ ∃ n ∈ N : f n ∈ (g) ; ⇔
∈ (Af )×
1
D(f ) ⊆ D(g) ⇔ V (f ) ⊇ V (g) ⇔ f ∈
Dass g1 eine Einheit in Af ist, heißt aber nichts anderes, als dass die Abbildung von A nach Af über
Ag faktorisiert, also dass das Diagramm
/ Af
>
A
ρf,g
Ag
90
22. Vorlesung - 8.01.2013
kommutiert. Dies können wir weiter fortsetzen zu einem kommutativen Diagramm für f, g, h ∈ A
mit D(f ) ⊆ D(g) ⊆ D(h) und erhalten
/ Af
> K
A
ρf,g
ρg,h
>
Ag
ρf,h
Ah
Weiterhin gilt offensichtlich ρf,f = idAf und damit gelten insgesamt:
1. Ist D(f ) = D(g) für Elemente f, g ∈ A, so erhalte natürliche Isomorphismen
∼
ρf,g : Ag −→ Af
ρg,f : Af
∼
−→ Ag
Damit ist der Definitionsansatz von Oben also wohldefiniert. (Formal gesehen reicht Isomorphie
hier nicht aus, wir können aber
OSpec A := { Ag | D(g) ⊇ D(f ) } ∼
= Af
als Definition verwenden und erhalten eine kanonische Isomorphie zu unserem Ursprünglichen
Ansatz.)
2. Für D(f ) ⊆ D(g) erhalten wir Restriktionsabbildungen aus
/ O Spec A (D(f ))
OSpec A (D(g))
Ag
ρf,g
/ Af
Wir wollen nun aus dieser Prägarbe zu der gesuchten Garbe kommen. Zeigen wir den folgenden
Satz 10.6 Die Prägarbe OSpec A erfüllt die Garbenaxiome bzüglich Überdeckung „innerhalb von B“,
das heißt für Überdekungen der Form
[
D(f ) =
D(fi )
mit fi , f ∈ A
i∈I
dann erhalten wir mit Bemerkung 9.8 sofort die
Folgerung 10.7 Es gibt eine eindeutig bestimmte Garbe OSpec A auf Spec A mit OSpec A (D(f )) =
Af für f ∈ A und den vorgegebenen Restriktionsabbildungen.
22. Vorlesung - 8.01.2013
91
Beweis des Satzes. Wir müssen die beiden Garbenaxiome für Überdekungen dieser speziellen Form
zeigen. Da wir hier Garben von Ringen betrachten können wir diese etwas vereinfachen:
(1) Ist s ∈ OSpec A (D(f )) mit s|D(fi ) = 0 für alle i ∈ I, so ist auch s = 0.
(2) Sind si ∈ OSpec A (D(fi )) für i ∈ I so gegeben, dass für alle i, j ∈ I gilt
si|D(fi ,gi ) = sj|D(fi ,gi )
so gibt es ein s ∈ OSpec A (D(f )) mit s|D(fi ) = si für alle i ∈ I.
Weil Mengen der Form D(f ) quasi-kompakt sind, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass
die Indexmenge I endlich ist.
Indem wir von A zur Lokalisierung von A nach f übergehen und D(f ) mit Spec Af identifizieren
können wir weiterhin ohne Einschränkung f = 1 und D(f ) = D(1) = Spec A annehmen.
Nach diesen Reduktionen sind wir also in der Situation
m
[
D(fi ) = Spec A
i=1
n ) = (1) und wir
also ist (f1 , . . . , fm ) = (1). Wegen D(fi ) = D(fin ) gilt ebenfalls (f1n , . . . , fm
erhalten eine Zerlegung der Eins, etwa
m
X
bi,n f n = 1
(∗)
i=1
Für den Nachweis des ersten Garbenaxioms sei s ∈ OSpec A (D(1)) = A mit 1s = 0 in Afi für
alle i = 1, . . . , m. Nach der Äquivalenzrealtion für „Brüche“ in Lokalisierungen gibt es also für alle
i = 1, . . . , m ein ni ∈ N mit
fini (s · 1 − 0 · 1) = fini · s = 0
wähle n ≥ max{n1 , . . . , nm } dann gilt für bi,n wie in (∗) also
s =
m
X
m
X
bi,n fin · s =
bi,n fin · s = 0
i=1
i=1
Für den Nachweis des zweiten Garbenaxioms seien si ∈ OSpec A (D(fi )) = Afi gegeben. Wähle ein
n ∈ N aus, so dass wir für alle i = 1, . . . , m Elemente ai erhalten mit
si =
ai
fin
Nach Voraussetzung gibt es dann für alle i, j ∈ {1, . . . , m} ein Ni,j ∈ N mit
(fi fj )Ni,j · (fjn · ai − fin · aj ) = 0
Wähle nun wieder ein N ≥ maxi,j {Ni,j }, dann gilt
fjn+N (fiN ai ) = fin+N (fjN aj )
(∗∗)
92
22. Vorlesung - 8.01.2013
und somit ist
si =
ai
fiN ai
=
fin
fin+N
Ersetze nun ai durch fiN ai und n durch n + N , so gilt wieder
si =
ai
fin
mit neuen ai und n. Durch dieses Vorgehen können wir sukzessive durch Abändern der Ausgangsbrüche die Vorfaktoren in Gleichung (∗∗) weglassen und wir erhalten
fin aj = fjn ai
für alle i, j ∈ {1, . . . , m}
Mit bj,n wie in (∗) setze
s :=
m
X
bj,n aj
j=1
Dann gilt
s
= si
1
in Afi für alle i = 1, . . . , m
denn
fin
·s =
m
X
bj,n aj fin = ai
j=1
2
Wir haben nun eine Garbe von Ringen auf Spec A konstruiert, nun gilt es zu überprüfen, ob damit
Spec A, wie gewünscht, zu einem lokal geringten Raum geworden ist. Hierfür müssen wir die Halme
der konstruierten Garbe betrachten:
Bemerkung 10.8 Sei x ∈ Spec A, dann korrespondiert der Punkt x zu einem Primideal ℘x A und
es gilt
OSpec A,x =
OSpec A (U )
lim
−→
U ⊆Spec A offen
x∈U
lim OSpec A (D(f ))
−→
=
f ∈A
x ∈ D(f )
=
lim
−→
Af
∼
=
A℘ x
f ∈ A\℘x
Insbesondere ist (Spec A, OSpec A ) ein lokal geringter Raum.
Definition 10.9 (affines Schema)
Ein affines Schema ist ein lokal geringter Raum (X, OX ), so dass ein Ring A existiert mit
(X, OX )
∼
=
(Spec A, OSpec A )
Morphismen affiner Schemata sind Morphismen der entsprechenden lokal geringten Räume.
Wir erhalten die Kategorie (Af f ) der affinen Schemata.
Anmerkung Wegen A = OSpec A (Spec A) ∼
= OX (X) ist die Auswahl an möglichen Kandidaten für
passende Ringe A zu gegebenen lokal geringten Räumen (X, OX ) begrenzt.
22. Vorlesung - 8.01.2013
11
93
Funktorialität des Spectrums II
In diesem Abschnitt betrachten wir erneut die Funktorialität von Spec und wollen Zeigen, dass Spec
ein (kontravarianter) Funktor von der Kategorie der Ringe in die Kategorie der lokal geringten Räume
ist. Dabei gilt auf den Objekten der Kategorie der Ringe
7→
A
(Spec A, OSpec A )
wie im vorangegangenen Abschnitt konstruiert. Was passiert aber auf den Morphismen der Kategorie
der Ringe? Sei ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus. Setze
f :=a ϕ : Spec B → Spec A
wobei f (q) =a ϕ(q) = ϕ−1 (q) die übliche zu ϕ assoziierte stetige Abbildung ist. Wir wollen nun
f b : OSpec A → f∗ OSpec B definieren. Dazu genügt es für alle s ∈ A Homomorphismen
OSpec A (D(s)) → f∗ OSpec B (D(s))
anzugeben, die mit den Restriktionsabbildungen verträglich sind. Weil
f −1 (D(s)) = D(ϕ(s)) ⊆ Spec B
gilt, können wir die natürliche Abbildung, die von
OSpec A (D(s)) = As → Bϕ(s) = OSpec B (D(ϕ(s)) =
a
a
7→
sn
ϕ(s)n
f∗ OSpec B (D(s))
induziert wird, verwenden. Insbesondere ist
A
= OSpec A (Spec A) → OSpec B (Spec B) = B
dann wieder der ursprüngliche Ringhomomorphismus ϕ (Betrachte, um dies zu sehen, die obige Abbildung für s = 1). Damit erhalten wir einen Morphismus geringter Räume
(Spec B, OSpec B ) −→ (Spec A, OSpec A )
Betrachten wir nun das Verhalten des Funktors Spec auf Halmen:
Für x ∈ Spec B mit korrespondierendem Primideal ℘x B kommutiert das folgende Diagramm
OSpec A (Spec A)
ϕ
/ O Spec B (Spec B)
OSpec A,f (x)
/ O Spec B,x
fx]
also, mit den obigen Ergebnissen umgeschrieben, kommutiert
A
A℘f (x)
ϕ
/B
/ B℘
x
Weil nun ℘f (x) = ϕ−1 (℘x ) ist, folgt, dass der Homomorphismus
A℘f (x) −→ B℘x
aus dem obigen Diagramm lokal ist. Also gilt die Funktoriealität von Spec wie behauptet.
94
23. Vorlesung - 14.01.2013
Wir haben affine Schemata als eine spezielle Unterklasse von lokal geringten Räumen definiert. Wir
bezeichnen diejenigen lokal geringten Räume (X, OX ) als affine Schemata, für die es einen Ring A
mit
(X, OX ) ∼
= (Spec A, OSpec A )
gibt. Dies legt eine Einschränkung des Bildbereichs unseres Funktors Spec auf die Kategorie (Af f )
der affinen Schemata nahe und tatsächlich erhalten wir damit eine Äquivalenz von Kategorien, denn
es gilt der folgende
Satz 11.1 Die beiden Funktoren
Spec
Ringe
−→
A
7→
(Spec A, OSpec A )
7→
a
ϕ
(A → B)
Af f
ϕ : Spec B → Spec A
ϕb : OSpec A → a ϕ∗ OSpec B
und
Af f
Γ
(X, OX )
(f,f b )
X, OX ) −→ (Y, OY )
−→
Ringe
7→
OX (X)
f b (Y )
7→
OY (Y ) −→ (f∗ OX )(Y ) = OX (X)
sind zueinander quasi-inverse Äquivalenzen von Kategorien. Das heißt es gelten
• Ist A ein Ring, so sind A und OSpec A (Spec A) als Ringe isomorph.
• Ist (X, OX ) ein affines Schema dann sind (X, OX ) und Spec OX (X), OSpec OX (X) ) als lokal
geringte Räume isomorph.
• Sind A, B Ringe, dann ist die Abbildung
Hom(A, B)
ϕ
→
7→
Hom (Spec B, OSpec B ), (Spec A, OSpec A )
a
ϕ
bijektiv mit der Umkehrabbildung
Hom (Spec B, OSpec B ), (Spec A, OSpec A )
(aϕ, ϕb )
→
Hom(A, B)
7→
ϕb (Spec B)
Beweis. Die Äquivalenzen auf den Objekten sind bereits im vorangegangenen Abschnitt gezeigt worden, es ist also nur noch die letzte Aussage über die Morphismen zu zeigen.
Ist ϕ ∈ Hom(A, B) ein Ringhomomorphismus, so ist Γ(aϕ) = ϕ nach Konstruktion des Funktors,
diese Richtung war also leicht.
Sei nun (f, f b ) : (Spec B, OSpec B ) → (Spec A, OSpec A ) ein Morphismus lokal geringter Räume, so
ist
a
Γ(f ) = f
(∗)
23. Vorlesung - 14.01.2013
95
zu zeigen. Sie dazu ℘x B ein Primideal korrespondierend zu einem x ∈ Spec B, dann ist
OSpec B (Spec B)
OSpec A (Spec A)
f b (Spec A)
A
A℘f (x)
fx]
/B
/ B℘
x
OSpec B,x
OSpec A,f (x)
kommutativ und fx] ist ein lokaler Ringhomomorphismus, das heißt
(fx] )−1 (℘x B℘x ) = ℘f (x) A℘f (x)
Schreibe ϕ := Γ(f ) = f b (Spec A) so folgt aus der lokalität von fx]
ϕ−1 (℘x ) = ℘f (x)
Damit ist die Abbildung a Γ(f ) eine stetige Abbildung topologischer Räume von Spec B nach Spec A
und hat für die Halme die gewünschte Form
℘ 7→ ϕ−1 (℘)
Es bleibt zu zeigen, dass (∗) auch auf Garbenniveau richtig ist. Es genügt dafür eine Basis der Topologie zu betrachten. Wir wollen also zeigen, dass die Garbenmorphismen auf allen D(s) mit s ∈ A
übereinstimmen. Betrachte dazu das kommutatigve Diagramm
A
ϕ
As
ψ
/B
/ Bϕ(s)
Den Morphismus ψ erhalten wir einerseits aus f b und andererseits aus a ϕ. In beiden Fällen kommutiert das Diagramm aber und dadurch ist ψ bereits eindeutig bestimmt.
2
Definition 11.2 (affiner Raum)
Sei R ein Ring, dann heißt
AnR := Spec R[T1 , . . . , Tn ]
der affine Raum über R von relativer Dimension n.
96
23. Vorlesung - 14.01.2013
Beispiel 44 Mit der oben gezeigten Äquivalenz von Kategorien erhalten wir die Möglichkeit bestimmte Sachverhalte aus der Welt der Ringe in die die lokal geringten Räume zu übertragen: Sei A ein Ring
und X = Spec A
(a) Zu f ∈ A erhalte den Ringhomomorphismus A → Af und eine stetige Abbildung Spec Af →
Spec A. Dies induziert einen Isomorphismus
∼
(Spec Af , OSpec Af ) −→ D(f ), OSpec A|D(f )
von lokal geringten Räumen.
(b) Zu einem Ideal a A erhalte Ringhomomorphismus und stetige Abbildung
A Aa
und dazu
Spec Aa → Spec A
Auf topologischen Räumen ist dieser Morphismus ein Homöomorphismus
∼
Spec Aa −→ V (a)
Mittels dieses Homöomorphismus können wir V(a) mit einer Garbe von Ringen versehen und
so auch die abgeschlossenen Menge V (a) als affines Schema begreifen.
Beispiel 45 Im Gegensatz zu dem vorangegangen Beispiel wollen wir mit diesem Beispiel zeigen, dass
sich der mühsame Übergang zu den affinen Schemata wirklich lohnt, da wir in dieser Kategorie oft
mehr Informationen über die zu betrachtenden Objekte haben.
Sei B ein Ring und b B ein Ideal. Die Abgeschlossenen Teilmengen
V (b), V (b2 ), V (b3 ), . . .
sind (als topologische Räume) alle gleich2 . Die affinen Schemata
V (bn ) ∼
= Spec Bbn
für n ∈ N
die wir nach Beispiel 44.b aus diesen Räumen erzeugen können, sind es im Allgemeinen nicht.
Konkret I Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und A := k[T ], so betrachte
Spec k = Spec k[T ](T )
und
Spec k[T ](T n ) für n ∈ N>1
Bei den topologischen Räumen können wir, da sie alle aus einem Punkt bestehen, keinen Unterschied
sehen. Betrachten wir aber die Garben von Ringen, die wir in der Kategorie der affinen Schemata zur
verfügung haben, so gilt: Die „Funktionen“ auf
• Spec k sind die konstanten Funktionen =
ˆ Funktionswert bei 0
• Spec k[T ](T n ) sind die Polynome vom Grad n − 1 =
ˆ Funktionswert bei 0 sowie die erste bis
n − 1-te Ableitung der Funktion bei 0.
Heuristisch stellen wir uns Spec k[T ](T n ) als infinitesimal verdickten Punkt vor, so dass wir, analytisch gesprochen, Grenzwertprozesse wie Ableitungen betrachten können.
2
Denn wegen der Primidealeigenschaft gilt für ein Primideal ℘ und n ∈ N: b ⊆ ℘ ⇔ bn ⊆ ℘.
23. Vorlesung - 14.01.2013
97
Konkret II Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und A := k[T, S] betrachte zwei Ideale
a, b k[T, S]. Es gilt
V (a) ∩ V (b) = V (a + b)
als topologische Räume. Nach Beispiel 44.b konstruiere ein affines Schema
V (a + b) ∼
= Spec k[T, S](a + b)
Wir können nun zwischen verschiedenen Situationen unterscheiden.
Schnittpunkte: Seien beispielsweise a = (T ) und b = (S) so ist
V (a + b) ∼
= Spec k[T, S](T, S) = Spec k
der Schnittpunkt der S- und T -Achsen in der affinen Ebene.
Berührpunkte: Seien beispielsweise a = (S − T 2 ) und b = (S) so ist
V (a + b) ∼
= Spec k[T, S](S − T 2 , S) = Spec k[T ](T 2 )
der Berührpunkt der Normalparabel mit der S-Achse.
Wir haben in beiden Fällen wieder nur einpunktige topologische Räume, die affinen Schemata erhalten
aber die unterschiedliche Art und Weise der geometrischen Konstruktion.
Notation 11.3 Sei X ein topologischer Raum und F eine Prägarbe auf X. Ist U ⊆ X offen so
schreiben wir
Γ(U, F) = F(U )
Kapitel III
Schemata
Am Ende des ersten Kapitels haben wir gesehen, dass die Möglichkeiten bei der Arbeit mit Varietäten und Räumen mit Funktionen begrenzt sind, und haben begonnen die Theorie zu erweitern. Wir
erinnern an dieser Stelle noch einmal an die geplante Erweiterung der Begriffe
Varietäten
irreduzible affine algebraische Mengen
ko
integre, endl. erz. k-Algebren
ko
affine Varietäten
∩
Prävarietät
∩
Räume mit Funktionen über k
Schemata
Primspektren von Ringen
ko Ringe
ko
affine Schemata
∩
Schemata
∩
geringte Räume
X topol. Raum und Funktionenfamilie OX (U )
für offene Teilmengen U ⊆ X
12
X topol. Raum und Ring OX (U )
für offene Teilmengen U ⊆ X
Definitionen
Definition 12.1 (Schema)
Ein Schema ist ein lokal geringter Raum (X, OX ), so dass eine offene Überdeckung
X =
[
Ui
i∈I
existiert, derart dass alle (Ui , OUi ) affine Schemata sind.
Anmerkung Im Vergleich zur analogen Konstruktion der Prävrietäten fordern wir hier nicht, dass die
Überdekung endlich sei. Daher sind Schemata im Allgemeinen nicht quasi-kompakt, nicht irreduzibel,
nicht zusammenhängend, . . .
Definition 12.2 (Morphismen von Schemata)
Ein Morphismus von Schemata ist ein Morphismus der lokal geringten Räume.
98
23. Vorlesung - 14.01.2013
99
Definition und Bemerkung 12.3 (Kategorie der Schemata)
Da dieser Morphismusbegriff wie gesehen Verkettung zulässt erhalten wir auch hier eine Kategorie,
wir bezeichnen die Kategorie der Schemata mit (Sch).
Erinnerung Zu einem festen Ring R haben wir in der kommutativen Algebra für einen Ring A die
Begriffe R-Algebra sein und Ringhomomorphismus R → A sein miteinander identifiziert. Mit dieser
Auffassung ist dann ein R-Algebra Homomorphismus ein kommutatives Diagramm
/B
?
A_
R
von Ringhomomorphismen. Diese Betrachtungsweise können wir auch auf Schemata anwenden. Da
der wichtige Funktor aus dem letzten Kapitel kontravariant ist, drehen wir auch hierbei die Pfeile um
und erhalten:
Definition und Bemerkung 12.4 (S-Schema)
Sei S ein Schema. Ein S-Schema ist ein Morphismus X → S von Schemata. Ein Morphismus von
S-Schemata
f
g
X → S −→ Y → S
ist ein kommutatives Diagramm
/Y
X
f
S

g
Hieraus erhalten wir die Kategorie (Sch/S ) der S-Schemata.
13
offene Unterschemata
Definition und Bemerkung 13.1 (offenes Unterschema)
Sei X ein Schema und U ⊆ X eine offene Teilmenge des topologischen Raums. Dann ist (U, OX|U )
ebenfalls ein Schema. Schemata dieser Form heißen offene Unterschemata von X und die Inklusion
j : U ,→ X
ist ein Morphismus von Schemata.
Beweis. Wir zeigen zunächst, dass (U, OX|U ) ein Schema ist. Sei dazu
X =
[
Ui
i∈I
eine offene Überdeckung durch affine Schemata, dann ist für alle i ∈ I die Menge U ∩ Ui ⊆ Ui offen
und lässt sich durch ausgezeichnete offene Teilmengen (der Form D(s)) von Ui überdecken. Diese
sind mit Einschränkungen von OUi affine Schemata nach Beispiel 44.a. Damit haben wir insgesamt
eine Überdeckung von U durch affine Schemata gefunden.
100
24. Vorlesung* - 15.01.2013
Wir wollen nun zeigen, dass die Inklusion ein Morphismus von Schemata ist. Die benötigte Abbildung
j b ist hierbei gegeben durch
res
OX (V ) −→ OX (U ∩ V ) = (j∗ OU )(V )
2
für offene Mengen V ⊆ X.
Definition 13.2 (affine offene Teilmenge)
Sei X ein Schema und U ⊆ X eine offene Teilmenge des topologischen Raums. Ist das offene Unterschema (U, OX|U ) ein affines Schema, so heißt U eine affine offene Teilmenge von X.
Entsprechend heißt eine Überdeckung von X durch solche affinen offenen Teilmengen eine affine offene Überdeckung von X.
Bemerkung 13.3 Ist X ein Schema, dann bilden die affinen offenen Teilmengen von X eine Basis
der Topologie.
* Die Vorlesung 24. wurde in Vertretung gehalten von Dr. Christian Kappen.
Lemma 13.4 Sei A ein Ring dann bezeichne X = Spec A das zugehörige affine Schema. Sei U ⊆ X
eine ausgezeichnete offene Teilmenge in X, das heißt von der Form DX (f ) für ein f ∈ A. Sei weiter
U ⊆ V eine ausgezeichnete offene Teilmenge in U , das heißt von der Form DU (g) für ein g ∈ Af .
Dann ist V auch eine ausgezeichnete offene Teilmenge von X.
Beweis. Es ist zu zeigen, dass ein h ∈ A existiert mit DX (h) = V . Wir haben bereits V = DU (g) für
ein g ∈ Af . wähle nun ein h̃ ∈ A mit
h̃
g = n
f
dann ist
V = DX (f ) ∩ DX (h) = DX (f h̃)
damit ist h := f h̃ ∈ A das gesuchte Element.
2
Lemma 13.5 Sei X ein Schema und seien U, V ⊆ X offene affine Teilmengen von X, dann gilt:
Für alle x ∈ U ∩V gibt es eine offene Umgebung x ∈ W ⊆ V ∩U derart, dass W eine ausgezeichnete
offene (also insbesondere eine offene affine) Teilmenge ist.
Beweis. Die ausgezeichneten offenen Mengen von V bilden eine Basis der Topologie auf V und
U ∩ V ⊆ V ist offen. Demnach gibt es eine ausgezeichnete offene Teilmenge V 0 ⊆ V ∩ U mit
x ∈ V 0.
Nach dem vorangegangen Lemma 13.4 dürfen wir also V durch V 0 ersetzen und ohne Einschränkung
annehmen, dass V ⊆ U gilt.
Die ausgezeichneten offenen Mengen von U bilden eine Basis der Topologie auf U , damit gibt es ein
f ∈ OX|U (U ) = Γ(U, OX|U ) mit DU (f ) ⊆ V und x ∈ DU (f ).
In dieser Situation genügt es nun zu zeigen, dass DU (f ) ⊆ V eine in V ausgezeichnete offene Teilmenge ist. Es gilt nun
DU (f ) = DV (f|V )
wobei f|V ∈ OX|V (V ) die Restriktion von f nach V ist.
2
24. Vorlesung* - 15.01.2013
101
Definition und Bemerkung 13.6 Sei X ein Schema und x ∈ X ein Punkt.
• Wähle eine offene affine Umgebung U ⊆ X von x. Es ist U = Spec A für einen Ring A und die
Abbildung
jx
(/
/ Spec A = U
Spec OX,x
X
res
die durch die Restriktion OX,x ←− OX (U ) = A gegeben ist, unabhängig vom gewählten U .
Denn Sei U 0 eine weitere offene Umgebung von x, dann können wir ohne Einschränkung annehmen, dass U 0 ⊆ U gilt und das Diagramm
res
OX (U )
res
*
/ O X (U 0 )
res
/ O X,x
kommutiert.
• Sei y ein abgeschlossener Punkt in Spec OX,x , dann gilt
jx (y)
=
x
Denn das Diagramm
res
OX (U )
o
/ O X,x
A
loc
o
/ A℘
x
mit loc−1 (℘x A℘x ) = ℘x kommutiert.
• Definiere den Restklassenkörper von x als
κ(x) := OX,xmx
Die kanonische Abbildung OX,x → κ(x) korrespondiert zu
can : Spec κ(x) → Spec OX,x
pt 7→ abges. pt
Zusammen mit der Abbildung jx aus dem ersten Punkt erhalten wir damit eine Abbildung
ix : Spec κ(x)
can
/ Spec O X,x jx
pt /X
/x
Satz 13.7 Seien X ein Schema und K ein Körper. Die kanonische Abbildung
(x, ι) x ∈ X ∧ ι : κ(x) ,→ K Körperhom.
→ Hom(Spec K, X)
(x, ι)
ist bijektiv.
7→
ix ◦ Spec(Im ι)
102
24. Vorlesung* - 15.01.2013
Beweis. Sei f : Spec K → X gegeben. Setze x := f (pt), dann ist die Abbildung fxb mit
OX,x
*
fxb
/8 K
ι
κ(x)
die gesuchte Umkehrabbildung. Zum Nachweis dieser Behauptung wollen wir auf offenen affinen
Umgebungen von x arbeiten. Dies ist möglich nach
Lemma Seien X, Y Schemata, U ⊆ X offen und f : Y → X ein Morphismus von Schemata mit
f (Y ) ⊆ U . Dann faktorisiert f eindeutig über Y → U ⊆ X.
In der affinen Situation ist X = Spec A für einen Ring A und es ist
∼ A → K −→ (x, ι) ℘x A prim ∧ ι : A℘x℘x A℘ → K
x
und damit folgt die Aussage aus dem Homomorphiesatz.
2
24. Vorlesung* - 15.01.2013
14
103
Verklebesätze
Verkleben von Morphismen und Morphismen in affine Schemata
Satz 14.1 (Verklebesatz für Morphismen)
Seien X, Y lokal geringte Räume. Dann wird durch die Zuordnung
U 7→ Hom(U, Y )
für U ⊂ X offen
(∗)
eine Garbe von Mengen auf X beschrieben. Hierbei bezeichne Hom(·, ·) die Menge der Morphismen
von lokal geringten Räumen. Das heißt ist
X =
[
Ui
i∈I
eine offene Überdeckung von X, so gelten die Garbenaxiome
(1) Seien ϕ, ψ ∈ Hom(X, Y ) mit ϕ|Ui = ψ|Ui für alle i ∈ I, so gilt bereits ϕ = ψ.
(2) Seien für i ∈ I Morphismen ϕi ∈ Hom(Ui , X) so gegeben, dass für alle i, j ∈ I
ϕi|Ui ∩Uj = ϕj|Ui ∩Uj
gilt, dann existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus ϕ ∈ Hom(X, Y ) mit ϕi = ϕ|Ui .
Beweis. Für offene Mengen V ⊆ U ⊆ X erhalten wir die Restriktionsabbildungen
resU
V : Hom(U, Y ) → Hom(V, Y )
ϕ
7→
ϕ|V
geschenkt, da wir einschränkung von Funktionen gut verstehen. Damit ist klar, dass wir mit (∗) eine
Prägarbe definiert haben. Der rest des Beweises erfolgt Stufenweise. Führe die Konstruktion zunächst
für Mengen X, Y durch (in diesem Fall ist die Garbeneigenschaft trivial). Anschließend beweise die
Garbeneigenschaft für topologische Räume X, Y (dies ist leicht möglich da Stetigkeit eine lokale
Eigenschaft ist). Zum Schluss betrachte lokal geringte Räume X, Y . Auch in desem Fall ist der Nachweis der Garbeneigenschaft nicht schwer, da der Morphismus von Garben
ϕ∗ OY −→ OX
lokal auf X definiert werden kann, da OX eine Garbe ist.
Satz 14.2 Sei X ein lokal geringter Raum und sei A ein Ring. Bezeichne Y = Spec A das zugehörige
affine Schema, dann ist die natürliche Abbildung
Φ : Hom (X, OX ), (Y, OY )
−→ Hom OY (Y ), OX (X)
(f, f b )
7→
bijektiv. (Wir haben bereits gezeigt, dass OY (Y ) = A gilt.)
f b (Y )
104
24. Vorlesung* - 15.01.2013
Beweis I [Für den Fall, dass X ein Schema ist]
Wähle eine offene affine Überdeckung
X =
[
Ui
i∈I
von X. Wir wissen mit Satz 11.1 bereits, dass die Abbildungen
Hom (Ui , OX|Ui ), (Y, OY )
−→ Hom OY (Y ), OX|Ui (Ui )
(fi , fib )
7→
fib (Y )
für i ∈ I bijektiv sind. Die Behauptung ist also insbesondere für den Fall, dass X selber affin ist,
bereits gezeigt. Für i, j ∈ I und eine offene affine Teilmenge V ⊆ Ui ∩ Uj ist das kanonische
Diagramm
Hom (Ui , OX|Ui ), (Y, OY )
res
/ Hom O Y (Y ), O X|U (Ui )
i
res
/ Hom O Y (Y ), O X|U ∩U (Ui ∩ Uj )
i
j
Hom (Ui ∩ Uj , OX|Ui ∩Uj ), (Y, OY )
res
res
/ Hom O Y (Y ), O X|V (V )
Hom(V, Y )
bijektiv. Damit folgt die Behauptung aus dem Verklebungssatz für Morphismen 14.1, denn
• Φ ist injektiv: Für (f, f b ), (g, g b ) mit f b (Y ) = g b (Y ) gilt wegen
b
b
(Y )(h)
(Y )(h) = f b (Y )(h) = g b (Y )(h) = g|U
f|U
i
i
für h ∈ OY (Y ) = A
die Gleichheit
b
b
(Y )
(Y ) = g|U
f|U
i
i
und damit gilt aber bereits f|Ui = g|Ui für alle i ∈ I, was f = g impliziert.
• Φ ist surjektiv, der Beweis verläuft analog mit obigen Diagramm.
2
Beweis II [Für den allgemeinen Fall]
Wir wollen zeigen, dass die Abbildung
Φ : Hom (X, OX ), (Y, OY )
−→ Hom OY (Y ), OX (X)
(f, f b )
7→
f b (Y )
bijektiv ist. In diesem allgemeinen Fall können wir keine offene affine Überdeckung für X benutzen, daher konstruieren wir eine Umkehrabbildung Ψ zu Φ. Sei also ϕ : OY (Y ) → OX (X) ein
Ringhomomorphismus, dann definiere
f : X −→ Y durch x 7→ ϕ−1 Ker OX (X) → κ(x)
24. Vorlesung* - 15.01.2013
105
wobei
κ(x) := OX,xmx
den Restklassenkörper des Halms von x bezeichne. Es wird sinvoll sein, dem in der Definition von
f verwendeten Kern einen Namen zu geben, da wie ihn im Beweis oft brauchen werden. Wir führen
also die Bezeichnung
℘(x) := Ker OX (X) → κ(x) OX (X)
ein. Die so definierte Abbildung f ist stetig, denn für g ∈ OY (Y ) gilt
/ ϕ−1 (℘(x))
=
x ∈ X g ∈
f −1 D(g) =
x ∈ X f (x) ∈ D(g)
=
x ∈ X ϕ(g)(x) 6= 0
Hierbei bezeichne ϕ(g)(x) ∈ κ(x) das Bild von ϕ(g) unter
OX (X) → OX,x → κ(x)
s
7→
sx
7→ s(x)
Die Menge f −1 D(g) ist also offen, da aus ϕ(g)(x) 6= 0 folgt, dass ϕ(g)x eine Einheit im Halm von
x ist. Damit gibt es aber (nach Konstruktion als Limes) eine offene Menge U ⊆ X mit x ∈ U und
ϕ(g)|U ∈ OX (U )×
Dann ist aber auch ϕ(g)(y) 6= 0 für alle y ∈ U und somit
U ⊆ f −1 D(f )
Definiere nun f b : OY → f∗ OX . Es genügt dazu f b auf den ausgezeichneten offenen Mengen zu
definieren Wegen OY (Y ) = A betrachte das Diagramm für g ∈ A
Ag
f b (D(g))
/ O X f −1 (D(g))
O
O
res
A
ϕ
/ O X (X)
Nach obiger Rechnung gilt: res(ϕ(g)) ist eine Einheit von OX f −1 (D(g)) und es gebit genau ein
ein f b (D(g)), so dass das Diagramm kommutiert.
Wir haben nun einen Morphismus
(f, f b ) : (X, OX ) −→ (Y, OY )
von geringten Räumen konstruiert. Dieser ist lokal, denn für x ∈ X mit y = f (x) gib es ein hy ∈ OY,y
derart, dass dass Bild von hy in κ(y) Null ist. hy ein Urbild in OY (Y ). Es gibt ein g ∈ A, so dass
0
h ∈ OY (D(g)) = Ag ist. Wir finden also ein h0 ∈ A mit h = ghn . Auch h0 wird in κ(y) auf Null
abgebildet, also ist
ϕ(h0 ) ∈ ℘(x) und damit ϕ(h0 )x ∈ mx
Erhalte
h0 ϕ(h0 )x
=
ϕ
= f b (D(g))(h) ∈ mx
ϕ(g)nx
gn
106
24. Vorlesung* - 15.01.2013
Wir haben nun eine wohldefinierte Abbildung
Ψ : Hom OY (Y ), OX (X) −→ Hom (X, OX ), (Y, OY )
konstruiert. Wir müssen noch zeigen, dass dies eine Umkehrabbildung zu Φ ist. Es ist dabei bereits
klar, dass Φ ◦ Ψ = id ist, denn genau so haben wir Ψ konstruiert. Für die andere Reihenfolge sei ein
Morphismus (f, f b ) gegeben. Setze
ϕ := Φ (f, f b )
= f b (Y )
Für x ∈ X setze wieder y := f (x) und erhalte ein kommutatives Diagramm
ϕ
A
A℘y
f b (Y )
/ O X (X)
/ O X,x
Dann gilt ℘y = ϕ−1 ℘(x) und damit ist f = Ψ(ϕ) als Abbildung topologischer Räume. Andererseits haben wir nach der vorangegangenen Konstruktion auch ϕ℘y : A℘y → OX,x so, dass das voranstehende Diagramm kommutiert. Damit folgt f b (Y ) = ϕ℘y und somit insgesamt (f, f b ) = Ψ(ϕ).
2
Verkleben von Schemata
Definition 14.3 (Verklebedatum von Schemata)
Ein Verklebedatum von Schemata ist
• eine Indexmenge I
• für alle i ∈ I ein Schema Ui
• für alle (i, j) ∈ I 2 ein offenes Unterschema Ui,j ⊆ Ui
• für alle (i, j) ∈ I 2 ein Isomorphismus
∼
ϕi,j : Ui,j −→ Uj,i
so dass gelten
(a) Ui,i = Ui für alle i ∈ I
(b) Für alle (i, j, k) ∈ I 3 gilt: Der Isomorphismus ϕi,j beschränkt sich zu einem Isomorphismus
∼
(k)
ϕi,j : Ui,j ∩ Ui,k −→ Uj,i ∩ Uj,k
(j)
(i)
(k)
mit ϕi,k = ϕj,k ◦ ϕi,j .
Diese Eigenschaft nennen wir auch die Kozykelbedingung.
24. Vorlesung* - 15.01.2013
107
Grafische Darstellung der Kozykelbedingung
Satz 14.4 (Verklebesatz für Schemata)
Sei ein Verklebedatum nach Definition 14.3 gegeben, dann gibt es ein Schema X mit Morphismen
ψi : Ui −→ X
mit
• Für alle i ∈ I ist ψ ein Isomorphismus auf das offene Unterschema ψ(Ui ) von X.
• Die offenen Unterschemata ψi (Ui ) bilden eine offene Überdeckung von X.
• Für alle i, j ∈ I gilt ψj ◦ ϕi,j = ψi .
• Für alle i, j ∈ I gilt ψj (Uj ) ∩ ψi (Ui ) = ψi (Uij ) = ψj (Uji ).
Diese Eigenschaften bestimmten das Tupel X, (ψi )i∈I bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig.
Beweis. Es sind ähnlich wie bei Übungsaufgabe 4 von 4. Blatt (Konstruktion topologischer Räume
durch verkeleben) zwei Dinge zu zeigen.
Eindeutigkeit Der Verklebesatz für Morphismen 14.1 zeigt, dass das Tupel X, (ψi )i∈I die folgende
universelle Eigenschaft besitzt:
Sei T ein weiteres Schema, dass zusammen mit Morphismen ψi0 : Ui → T die obigen Eigenschaften
erfüllt, dann gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus ξ : X → T mit ξ ◦ ψi = ψi0 für alle
i ∈ I. Mit anderen Worten: Das folgende Diagramm kommutiert
∃! ξ
X`
/T
?
ψi0
ψi
Ui
108
25. Vorlesung - 21.01.2013
Existenz Definiere auf dem Coprodukt der Ui eine Äquivalenzrelation wie folgt: Zwei Elemente
xi ∈ Ui und xj ∈ Uj stehen genau dann in Relation ∼, wir schreiben xi ∼ xj , wenn gelten
• xi ∈ Uij
• xj ∈ Uji
• ϕi,j (xi ) = xj
Mithilfe der Kozykelbedingung lässt sich nachrechnen, dass diese Relation tatsächlich reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Setze
a Ui
X :=
∼
i∈I
Für alle i ∈ I gibt es eine kanonische Abbildung
ι
ψi : Ui −→
a
π
Ui −→
i∈I
a
Ui
i∈I
∼ = X
Versehe nun X mit der feinsten Topologie, derart dass all diese ψi stetig sind. Dann sind die Abbildungen ψi Isomorphismen auf ihre offenen Bilder (Begründung analog zur Übungsaufgabe) und
erfüllen die im Satz geforderten Bedingungen. Wir müssen nun noch eine Garbe von Ringen definieren, so dass wir X als ein Schema auffassen können. Definiere dazu OX auf offenen Teilmengen
U ⊆ ψi (Ui ) durch
OX (U ) := OUi ψi−1 (U )
Für offene Teilmengen U ⊆ ψi (Ui )∩ψj (Uj ) identifiziere die Ringe OUi ψi−1 (U ) und OUj ψi−1 (U )
mittels ϕi,j . Die Wohldefiniertheit folgt auch hier wieder aus der Kozykelbedingung. Für beliebige
U ⊆ X offen wähle eine Überdeckung von U durch (Vj )j∈J mit
Vj ⊆ ψi(j) Ui(j)
und setze
OX (U ) := Ker
Y
OX (Vj ) ⇒
Y
OX (Vj ∩ Vj 0 )
j,j 0 ∈J
j∈J
2
Beispiel 46 (Disjunkte Vereinigung / Coprodukt von Schemata)
Sei (Ui )i∈I eine Familie von Schemata mit
Uii := Ui
und
Uij := ∅
für alle i, j ∈ I dann haben wir ein vollständiges Verklebedatum für Schemata und das Ergebnis
dieses Verklebens bezeichnen wir mir
a
Ui
i∈I
da dieses verklebte Schema die universelle Eigenschaft der Coproduktes in der Kategorie der Schemata besitzt.
25. Vorlesung - 21.01.2013
109
Beispiel 47 (Vereinigung von zwei Schemata)
Seien U1 , U2 Schemata und U12 ⊆ U1 sowie U21 ⊆ U2 je offene Unterschemata. Sei weiter
∼
ϕ : U12 −→ U21
ein Isomorphismus, dann erhalten wir ein vollständiges Verklebedatum, da alle Anforderungen an
Verträglichkeit automatisch erfüllt sind.
Konkret Sei k ein Körper. Dann seien
U1 := A1k = Spec k[T ]
U2 := A1k = Spec k[S]
und
Setze weiter
∼
= Spec k[T ]T
∼
= Spec k[S]S
U12 := D(T )
U21 := D(S)
Wir haben nun die Möglichkeit zwischen verschiedenen Isomorphismen zwischen U12 und U21 zu
wählen:
∼
(i) Wenn wir nach dem Isomorphismus U12 −→ U21 , welcher durch
k[S]S → k[T ]T
S 7→ T
induziert wird, verkleben, so erhalten wir die „affine Gerade mit verdoppeltem Ursprung“. Dieses Schema verhält sich nicht gutartig. Zum Beispiel
haben Folgen, die gegen den Ursprung konvergieren, keinen eindeutigen
Grenzwert mehr. Es lässt sich zeigen, dass dieses Schema nicht affin ist.
∼
(ii) Wenn wir nach dem Isomorphismus U12 −→ U21 , welcher durch
k[S]S → k[T ]T
S 7→ T −1
induziert wird, verkleben, so erhalten wir eine Verallgemeinerung der projektiven Geraden. Wir können uns das Schema als eine zu einem Kreis gebogene Gerade vorstellen, wobei wir den Zusätzlichen Punkt benutzen um die
−∞ und ∞ Enden zu verkleben.
Das zweite Beispiel wollen wir nun auf beliebige Dimension verallgemeinern um den projektiven
Raum zu konstruieren.
15
Der projektive Raum
Bei Prävarietäten haben wir Pn (k) über einem algebraisch abgeschlossenem Körper k als
Pn (k)
:=
k n+1 \ {0} ×
k
konstruiert. Eine solche direkte Beschreibung ist im Fall von allgemeinen Ringen nicht möglich, stattdessen werden wir auf die soeben erabeitete Technik des Verklebens von Schemata zurückgreifen.
110
25. Vorlesung - 21.01.2013
Sei R ein Ring und sei n ≥ 0. Für i = 0, . . . , n setze
Ui := AnR = Spec R
hX
0
Xi
,...,
Xn i
Xi
Diese Setzung ist wohldefiniert, denn es ist
hX
Xn i
0
R[T1 , . . . , Tn ] ∼
,...,
⊆ R[X0 , . . . , Xn ]X0 ···Xn
= R
Xi
Xi
e
= R[X0 , X0−1 , . . . , Xn , Xn−1 ] =: R
Weiter setze für alle i, j ∈ {0, . . . , n}
(
Uij :=
D
Xj
Xi
D(1) = Ui
falls i 6= j
falls i = j
∼
Zu diesen seien Isomorphismen ϕji : Uij −→ Uji gegeben durch
R
hX
0
Xj
,...,
Xn i
Xi
Xj X
j
=
−→ R
hX
0
Xi
,...,
Xn i
X
Xi Xji
e beschreiben ist die Abbildung genau die IdentiDa beide Seiten genau den selben Unterring von R
tät. Mit der Identität als Grundlage der Isomorphismen ϕji ist die Kozykelbedingung trivialerweise
Erfüllt.
Definition 15.1 (Der projektive Raum)
Das Schema, dass wir aus dem obigen Verklebedatum durch Verkleben erhalten, nennen wir den
projektiven Raum der relativen Dimension n über R. Wir bezeichnen dieses Schema mit PnR .
Bemerkung 15.2 Der projektive Raum PnR ist in natürlicher Weise ein Spec R-Schema (im Sinne von
Definition 12.4), das heißt es gibt einen Morphismus
PnR −→ Spec R
dieser wird durch verkleben aus den Morhismen
Ui −→ Spec R
gebildet. Es gilt: Der Induzierte Ringhomomorphismus
R −→ OPnR (PnR )
ist ein Isomorphismus.
Insbesondere folgt für n ≥ 1 und R 6= 0, dass PnR nicht affin ist.
Beweis. Nur zum Insbesondere, den Hauptteil lassen wir als Übungsaufgabe.
Wäre PnR für n ≥ 1 und R 6= 0 affin, so gülte PnR ∼
= Spec R. Dies kann aber nicht sein, da jedes Ui
(wegen n ≥ 1 gibt es mindestens 2) bereits das Spektrum eines Polynomrings in n-Variablen enthält.
2
25. Vorlesung - 21.01.2013
111
Nullstellenschema homogener Polynome
In desem Abschnitt wollen wir die analoge Konstruktion zu den V+ -Mengen in Pn (k) finden. Sei dazu
M ⊆ R[X0 , . . . , Xn ] eine Menge homogener Polynome, dann setze
I := (M) E R[X0 , . . . , Xx ]
Wir wollen nun das Schema V+ (I) zusammen mit η : V+ (I) → PnR zu dem von M erzeugten Ideal
konstruieren.
Bezeichne φi die Dehomogenisierungsabbildung bezüglich Xi , also
φi : R[X0 , . . . , Xn ]d → R
7→
f
hX
0
Xi
Xi−d
,...,
Xn i
Xi
·f
(Vergleiche Lemma 5.5 ff.)
Beispiel 48
φ0 X0 X1 + X22
= X0−2 · (X0 X1 + X22 ) =
X1 X2 2
+
X0
X0
Da wir die Dehomogenisierung nur auf homogenen Polynomen defineirt haben setzen wir nun
hX
Xn i
0
⊆ R
φi (f ) f ∈ I homogen
,...,
Xi
Xi
und damit definieren wir Vi := V φi (I) ⊆ Ui im Schema-Sinne, das heißt
φi (I) :=
Vi
∼
=
Spec
[R
hX
0
Xi
,...,
Xn i
Xi φ (I)
i
bi )
( =: Spec R
Weiter bezeichne
Vij := D
X j
Xi
bi )
(bezüglich des Rings R
∼
Die Verklebeabbildungen Uij −→ Uji , mit denen wir den projektiven Raum konstruiert haben,
schränken sich ein zu Isomorphismen
∼
Vij = Vi ∩ Uij −→ Vj ∩ Uji = Vji
denn für ein homoegenes Polynom f ∈ I von Grad d gilt
Xid · φi (f ) = Xjd · φj (f )
und das Element
Xi
Xj
⇔
X d
i
Xj
· φi (f ) = φj (f )
ist eine Einheit in Γ(Uij , OUi ) = OUi (Uij ).
Da wir also nur einschränkungen betrachten, folgt die Kozykelbedingung für die Schemata Vi , Vij aus
der Kozykelbedingung für die Schemata Ui , Uij .
112
25. Vorlesung - 21.01.2013
Definition und Bemerkung 15.3 (Nullstellenschema homogener Polynome)
Durch verkleben nach obigen Verklebedatum erhalten wir V+ (I) als das Nullstellenschema der Homogenen Polynome M mit I = (M). Die Morphismen Vi → Ui → PnR induzieren einen Morphismus
η : V+ (I) → PnR
und die zugrundeliegende stetige Abbildung topologischer Räume ist ein Homöomorphismus von
V∗ (I) auf eine abgeschlossene Teilmenge von PnR , denn dies gilt lokal auf PnR , das heißt auf allen
Ui .
Beispiel 49 Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper. In der projektiven Ebene P2 (k) haben wir
die drei verschiedenen Fälle von Quadriken bestimmt:
• V+ (X0 ) = V+ (X02 ) - „Gerade“
• V+ (X02 − X12 ) - „Zwei Geraden, die sich schneiden“
• V+ (X02 + X12 + X22 ) - „Kreis, Hyperbel, . . . “
Vergleiche dazu auch Beispiel 28. Im neu konstruierten projektiven Raum, haben wir eine bessere
Unterscheidungsmöglichkeit, denn wegen
k
hX
0
X1
,
X2 i
X1 X0 X1
6=
k
hX
0
X1
,
X2 i
X1 X0 2 X1
gilt auch
V+ (X0 ) 6= V+ (X02 )
Definition 15.4 (zusammenhängend, irreduzibel, quasi-kompakte Schemata)
Ein Schema heißt zusammenhängend, irreduzibel oder quasi-kompakt, wenn der zugrunde liegende
topologische Raum die entsprechende Eigenschaft hat.
Definition 15.5 (injektive, surjektive, bijekive Morphismen)
Sein Morphismus von Schemata heißt injektiv, surjektiv oder bijektiv, wenn die zugrunde liegende
stetige Abbildung zwischen den topologischen Räumen die entsprechende Eigenschaft hat.
Definition 15.6 (Monomorphismus, Epimorphismus)
Sei C eine Kategorie und f : X → Y ein Morphismus in dieser Kategorie. Wir sagen
• f ist genau dann ein Monomorphismus, wenn für alle Morphismen g, h : Z → X gilt
f ◦g =f ◦h ⇒ g =h
Wir nennen f dann auch „links kürzbar“ und verbildlichen die Situation mit dem Diagramm
g
Z
h
//
X
f
/Y
26. Vorlesung* - 22.01.2013
113
• f ist genau dann ein Epimorphismus, wenn für alle Morphismen g, h : Y → Z gilt
g◦f =h◦f ⇒ g =h
Wir nennen f dann auch „rechts kürzbar“ und verbildlichen die Situation mit dem Diagramm
f
X
g
/Y
h
//
Z
Bemerkung 15.7 Sei f : X → Y ein Morphismus von Schemata, dann gelten
f Isomorphismus ⇒ f bijektiv
f Monomorphismus ⇒ f injektiv
f Epimorphismus 6⇒ f surjektiv
aber
aber
und
f bijektiv 6⇒ f Isomorphismus
f injektiv ⇒
6
f Monomorphismus
f surjektiv ⇒
6
f Epimorphismus
Beweis. Wir zeigen hier nur, dass die Warnung bezüglich der nicht geltenden Implikationen richtig
ist. Als Gegenbeispiel für alle Fälle auf der rechten Seite betrachte
Spec k[T ](T 2 ) −→ Spec k
für einen Körper k. Diese Abbildung ist offensichtlich bijektiv, denn die topologischen Räume sind
jeweils einpunktig.
2
* Die Vorlesung 26. wurde in Vertretung gehalten von Dr. Christian Kappen.
16
Generische Punkte
Wir wissen, dass in topologischen Räumen eine Menge Y genau dann irreduzibel ist, wenn Y irreduzibel ist (Lemma 1.18). Insbesondere gilt dies natürlich auch für Einpunktmengen {x}.
Für die Zariskitopologie auf Spec R (für einen Ring R) haben wir die Zuordnung
Spec(R) =
Primideale in R
1:1
←→
irred. abges. Teilmengen von Spec(R)
Diese Beobachtungen wollen wir nun für Schemata verallgemeinern.
Satz 16.1 Sei X ein Schema, dann ist die Abbildung
X →
Z ⊆ X irred. und abges.
x 7→
{x}
ist bijektiv. Mit anderen Worten: Jede irreduzible abgeschlossene Teilmenge von X besitzt genau einen
generischen Punkt.
Beweis. Falls X ein affines Schema ist, haben wir dies bereits in Aufgabe 4 der 9-ten Übung gesehen.
Diesen Spezialfall werden wir nun im Beweis verwenden. Sei Z ⊆ X irreduzibel und abgeschlossen.
Ist ∅ 6= Z so gibt es ein U ⊆ X offen und affin mit U ∩ Z 6= ∅ und es gilt
U ∩Z = Z
114
26. Vorlesung* - 22.01.2013
Die Inklusion „⊆“ ist hierbei klar, für die andere Richtung sei Z 0 ⊆ Z eine abgeschlossene Teilmenge
mit
Z ∩ U ⊆ Z0
Betrachte nun die abgeschlossene Teilmengen Z 0 und Z \ (Z ∩ U ) von Z. Da Z irreduzibel ist, gilt
entweder Z = Z 0 oder Z = Z \ (Z ∩ U ). Im zweiten Fall wäre aber Z ∩ U = ∅ und dies ist
widersprüchlich. Also kann dieser Fall nicht auftreten und wir erhalten Z 0 = Z.
Insbesondere ist also Z ∩ U eine irreduzible und abgeschlossene Teilmenge im affinen Schema U .
Damit gibt es einen generischen Punkt η ∈ Z ∩ U mit
{η}
U
= Z ∩U
⇒
X
{η}
= Z
Damit haben wir die Existenz eines generischen Punktes η von Z gezeigt. Wir müssen nun noch die
Eindeutigkeit beweisen, diese folgt aber auch aus der bereits bekannten Eindeutigkeit im affinen Fall,
denn ist η ein generischer Punkt von Z, dann ist η ∈ U 0 für alle offenen affinen Teilmengen U 0 ⊆ X
mit U 0 ∩ Z 6= ∅ denn für alle diese gilt
U
{η}
X
= {η} ∩ U 0 = Z ∩ U 0
In jedem dieser U 0 gibt es genau einen generischen Punkt, also ist η in X der einzige generische
Punkt.
2
Anmerkung (Fakten, die wir nicht beweisen werden)
Sei X ein Schema und x ∈ X, dann gibt es einen maximalen Punkt η so dass x ∈ {η}, also x ≺ η,
gilt. Im Allgemeinen gibt es aber keinen abgeschlossenen Punkt y ∈ X mit x y bzw. y ∈ {x}. Ist
X allerdings quasi-kompakt oder von lokal endlichem Typ über einem Körper, so gibt es ein solches
y.
Satz 16.2 Sei f : X → Y ein offener Morphismus von Schemata1 und Y irreduzibel mit generischem
Punkt η. Es gilt
X ist irreduzibel
⇔ f −1 (η) ist irreduzibel
Beweis. Wir wollen zeigen, dass aus der Offenheit von f die Gleichung
(∗)
{f −1 (η)} = f −1 {η} = f −1 (Y ) = X
gilt, denn dann folgt
f −1 (η) irreduzibel
⇔
{f −1 (η)} irreduzibel
⇔
X irreduzibel
und wir sind fertig. Es ist Nur die mit (∗) beschriebene Gleichung zu zeigen, dies erfolgt wie üblich
durch Nachweis der beiden Inklusionen:
„⊆“: Wegen η ∈ {η} gilt auch f −1 (η) ⊆ f −1 {η} Wegen der Stetigkeit von f folgt die gewünschte
Inklusion.
1
Bilder offener Mengen unter offenen Morphismen sind wieder offen. Vergleiche mit Stetigkeit: Urbilder offener Mengen unter stetigen Morphismen sind wieder offen.
26. Vorlesung* - 22.01.2013
115
„⊇“: Da f offen ist, ist auch
f X \ {f −1 (η)} ⊆ Y
offen. Das Komplement dieser Menge Z := Y \ f X \ {f −1 (η)} ist dann natürlich abgeschlossen in Y . Wäre nun η ∈
/ Z, so gäbe es ein x ∈ X \ {f −1 (η)} mit f (x) = η. Dies ist aber
widersprüchlich und somit muss η ∈ Z sein. Da Z abgeschlossen ist, gilt dann auch {η} ⊆ Z
und damit erhalten wir
f −1 {η} ⊆ f −1 (Z) = X \ f −1 f {f −1 (η)}
⊆ X \ X \ {f −1 (η)}
= {f −1 (η)}
2
Definition und Satz 16.3 (T0 -Raum)
Sei X ein Schema, dann ist X ein T0 -Raum, das heißt für x, y ∈ X mit x 6= y gibt es eine offene
Menge U ⊆ X mit
x ∈ U und y ∈
/ U oder x ∈
/ U und y ∈ U
Beweis. Wir dürfen ohne Einschränkung annehmen, dass X affin ist, denn wenn es keine affine offene
Teilmenge U ⊂ X mit x, y ∈ U gibt, ist nichts zu zeigen.
Also ist X = Spec A für einen Ring A und x, y korrespondieren zu Primidealen ℘x , ℘y . Ohne Einschränkung gelte ℘x * ℘y . Wähle ein f ∈ ℘y \ ℘x , dann gilt y ∈
/ D(f ) 3 x.
2
17
Reduzierte und Integre Schemata
Definition 17.1 (Reduziertes, Integres Schema)
Sei X ein Schema, dann heißt X
(a) reduziert, falls für alle x ∈ X der Halm OX,x ein reduzierter Ring ist.
(b) integer, falls X reduziert und irreduzibel ist.
Da die Begriffe reduziert und integer in der Kategorie der Ringe schon besetzt sind müssen wir
erklären, warum diese Definition hier sinnvoll ist, und wie diese Begriffe zusammen hängen. Dieses
tut der folgende
Satz 17.2 Sei X ein Schema, dann gelten die folgenden Äquivalenzen
(1) X ist reduziert ⇔ Für alle offenen Mengen U der Ring Γ(U OX ) reduziert ist.
(2) X ist integer
⇔ Für alle offenen und nicht-leeren Mengen U der Ring Γ(U OX ) integer ist.
(3) X ist integer
⇒ Für alle x ∈ X ist der Halm OX,x ein Integritätsring.
Beweis. Sei x ∈ X und f ∈ Γ(U OX ) für ein U ⊆ X offen mit x ∈ U , dann bezeichnen wir mit fx
das Bild von f unter der Abbildung OX (U ) → OX,x
(1) „⇒“: Sei U ⊆ X offen und sei f ∈ Γ(U, OX ) mit f n = 0 für ein n ∈ N. Wäre f 6= 0 so gäbe
es ein x ∈ U mit fx 6= 0. Wegen f n = 0 gilt dann
0 6= (fx )n = (f n )x = 0
also muss bereits f = 0 sein und damit ist Γ(U, OX ) reduziert.
116
26. Vorlesung* - 22.01.2013
(1) „⇐“: Seien x ∈ X und fx ∈ OX,x mit fxn . Es gibt eine offene Umgebung U ⊆ X von x so
dass fx das Bild von f ∈ Γ(U, OX ) ist. Wegen (f n )x = 0 gilt (nach eventuellem Verkleinern
von U ) auch f n = 0. Nach Voraussetzung ist Γ(U OX ) aber reduziert also gilt bereits f = 0
und somit auch für Bild fx = 0.
(2) „⇒“: Es genÜgt zu zeigen, dass Γ(X, OX ) ein integritätsring ist. Betrachte also f, g ∈ OX (X)
mit f · g = 0 dann ist
X = V (f ) ∪ V (g)
Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass X = V (f ) gilt, denn X ist nach Voraussetzung irreduzibel. Es genügt nun f = 0 zu zeigen. Hierfür sei X ohne Einschränkung affin, also
X = Spec A. Nach (1) ist OX (X) = A reduziert und es gilt V (f ) = Spec(A) also
\
f ∈
℘ = nil(A) = (0)
℘∈Spec A
(2) „⇐“: Nach voraussetzung sind nun alle Γ(U, OX ) integritätsringe, also insbesondere reduziert.
Nach (1) ist dann auch X reduziert. Bleibt noch zu zeigen, dass X irreduzibel ist.
Angenommen X wäre nicht irreduzibel, dann gäbe es offene affine nicht-leere Mengen U1 , U2 ⊆
X mit U1 ∩ U2 = ∅ und es ist
Γ(U1 ∪ U2 , OX )
=
Γ(U1 , OX ) × Γ(U2 , OX )
Das Produkt von zwei Ringen ist jedoch nie integer, betrachte etwa (1, 0) · (0, 1) = (0, 0).
(3): Dieser Punkt folgt aus (2), denn zu x ∈ X betrachte eine offene affine Umgebung U ⊆ X
von x, dann ist U = Spec A für einen Ring A. Nach (2) ist A ein Integritätsring und es gilt
OX,x ∼
2
= A℘x .
Definition 17.3 (Funktionenkörper)
Sei X ein integres Schema und η ∈ X der generische Punkt, dann nennen wir
κ(X)
:=
OX,η
den Funktionenkörper von X.
Beispiel 50 Im Affinen Fall kennen wir schon Beispiele, etwa
• X = Spec Z. Es ist η = (0) und
OSpec Z,(0) = Z(0) Quot(Z) = Q
• X = Spec Z[T ]. Auch hier ist η = (0) und wir erhalten
OSpec Z[T ],(0) = Z[T ](0) Quot(Z[T ]) = Q(T )
• ...
26. Vorlesung* - 22.01.2013
117
Satz 17.4 Sei X ein integres Schema. Bezeichne η ∈ X den generischen Punkt und κ(X) den Funktionenkörper.
(1) Sei U ⊆ X eine affine offene nicht-leere Teilmenge von X, etwa U = Spec A, dann ist
κ(X) = Quot(A)
Insbesondere für x ∈ X gilt κ(X) = Quot(OX,x ).
(2) Seien U ⊆ V ⊆ X offene nicht-leere Teilmengen, dann sind die Abbildungen
f 7→fη
/ Γ(U, O X )
res
Γ(V, OX )
/ κ(X)
injektiv.
(3) Sei U ⊆ X offen und nicht-leer. Sei die Famile (Ui )i∈I eine offene Überdeckung von U , so gilt im
Funktionenkörper κ(X)
[
(a) \
(b) \
Γ
Ui , O X
=
Γ(Ui , OX ) =
OX,x
i∈I
i∈I
x∈U
Beweis. Zu (1) Sei x ∈ U = Spec A. Es gilt
OX,η
A℘η
A℘x
A(0)
A℘x
℘ η A ℘x
Quot(A)
Quot(A℘x )
(0)
Für (2) genügt es zu zeigen, dass aus fη = 0 stets f = 0 folgt. Hierfür sei ohne Einschränukung U
affin, etwa U = Spec A mit einem Ring A, dann kommutiert das Diagramm
OX (U )
f 7→fη
/ κ(X)
o
A
o

f 7→ f1
/ A(0) = Quot(A)
Zu (3a) betrachte das Garbendiagramm
9
/
Γ(U, OX )
Q
i∈I
+

Γ(Ui , OX ) 
κ(X)
f
//
3S
Γ(Ui ∩ Uj , OX )
Wegen der Injektivität der Restriktionsabbildungen gilt
Y
Γ(U, OX ) = Ker
Γ(Ui , OX ) ⇒ Γ(Ui ∩ Uj , OX )
i∈I
=
\
Γ(Ui , OX )
i∈I
Für Teil (b) überdecke U offen affin mit Teil (a) und verwende die zu zeigende Aussage im affinen
Fall (Diese haben wir auf Übungsblatt 11 gezeigt).
2
118
18
27. Vorlesung - 28.01.2013
Schemata und Prävarietäten
Wir wollen nun den Begriff des Schemas mit unserem Ursprünglichen Begriff der Prävarietäten vergleichen. Stellen wir die beiden Konstruktionen nebeneinander sehen wir einige Unterschiede
Schemata
Prävarietäten
Fixiere einen alg. abges. Körper k
Sei R ein beliebiger Ring
Sei R eine endl. erz. integre k-Algebra
U ⊂ An (k) affine Varietät
U := Spec R affines Schema
Durch Verkleben affiner Schemata Ui
erhalte ein Schema
S
X :=
Ui
Durch Verkleben affiner Varietäten Ui
erhalte eine Prävarietät
m
S
Ui
X :=
i=0
i∈I
Damit wir Schemata und Prävarietäten sinnvoll vergleichen können, sollten wir also insbesondere nur
quasi-kompakte irreduzible Schemata betrachten. Weiter müssen wir die Auswahlmöglichkeiten für
die Ringe sinnvoll begrenzen.
Schemata lokal von endlichem Typ
Sei k ein (nicht notwendig algebraisch abgeschlossener) Körper.
Definition 18.1 ([lokal] von endlichem Typ)
Sei X ein k-Schema, also ein Morphismus X → Spec k von Schemata. Wir sagen X ist ein k-Schema
lokal von endlichem Typ über k, falls eine Überdeckung
[
X =
Ui mit Ui ⊆ X affin offen
i∈I
so existiert, dass für alle i ∈ I die k-Algebra Γ(Ui , OX ) über k endlich erzeugt ist.
Wir sagen weiter X ist ein k-Schema von endlichem Typ (über k), falls X lokal von endlichem Typ
und quasi-kompakt ist.
Anmerkung Das Γ(Ui , OX ) eine k-Algebra ist, ist klar, denn wir erhalten für alle i ∈ I die Abbildung
Ui ,→ X → Spec k
und damit auch eine korrespondierende Abbildung k → Γ(Ui , OX ) auf dem Niveau der Ringe.
Satz 18.2 Sei X ein k-Schema, dann sind äquivalent:
(1) X ist lokal von endlichem Typ über k.
(2) Für alle affinen offenen Teilmengen U ⊆ X gilt: Γ(U, OX ) ist eine endlich erzeugte k-Algebra.
Beweis. Der Schluss von (2) auf (1) ist trivial, denn wenn alle affin offenen Teilmengen diese Eigenschaft haben, dann sicherlich auch jede beliebige Überdeckung mit affin offenen Teilmengen. Für
die Gegenrichtung sei U ⊆ X eine affin offene Teilmenge. Wir wollen zeigen, dass Γ(U, OX ) eine
27. Vorlesung - 28.01.2013
119
endlich erzeugte k-Algebra ist. Nach Voraussetzung ist X lokal von endlichem Typ, also gibt es eine
Überdeckung
[
X =
Ui
i∈I
mit affin offenen Teilmengen, derart dass alle Γ(Ui , OX ) als k-Algebren endlich erzeugt sind.
• Für f ∈ Γ(Ui , OX ) ist auch Γ(Ui , OX )f eine endlich erzeugte k-Algebra, denn
Γ(Ui , OX )f
∼
−→ Γ(Ui , OX )[T ](1 − f T )
f −1
7→
T
ist ein Isomorphismus.
• Für jedes x ∈ U gibt es ein i ∈ I mit x ∈ Ui . Weiter gibt es f ∈ Γ(Ui , OX ) und g ∈ Γ(U, OX )
mit
x ∈ DUi (f ) = DU (g) ⊆ U ∩ Ui
Damit gibt es eine Überdeckung
U =
[
Vj
j∈J
durch ausgezeichnete offene Teilmengen von U , so dass für alle j ∈ J der Ring Γ(Vi , OX ) eine
endlich erzeugte k-Algebra ist.
Da U als affines Schema insbesondere quasi-kompakt ist, kann ohne Einschränkung noch angenommen werden, dass J endlich ist.
Mit dieses Überlegungen genügt es nun das folgende allgemeine Lemma zu zeigen.
Lemma 18.3 Sei A ein Ring2 und B eine A-Algebra. Seien weiter f1 , . . . , fm ∈ B Elemente mit
(f1 , . . . , fm ) = (1) also mit anderen Worten
Spec B =
m
[
D(fi )
i=1
Falls für alle i = 1, . . . , m die A-Algebra Bfi endlich erzeugt ist, so ist auch B als A-Algebra endlich
erzeugt.
Beweis. Nach Voraussetzung gibt es Elemente g1 , . . . , gm ∈ B mit
m
X
gi fi = 1
i=1
Außerdem existieren zu jedem i endlich viele Elemente bij ∈ Bfi mit Bfi = A[bij ]. Etwa
cij
= bij
fin
mit cij ∈ B
Setze nun
C := A fi , gi cij ⊆ B
2
Für den Beweis des Satzes nimm A = k.
120
27. Vorlesung - 28.01.2013
Behauptung Es gilt C = B also ist B insbesondere endlich erzeugt über A.
Begründung. Sei b ∈ B, dann gilt
X
b
=
aij bij
1
in Bfi
i,j
Also gibt es ein N 0 mit
fiN b ∈ A[fi , cij ] ⊆ C
Nun gilt aber auch (f1 , . . . , fm ) = (1) in C, denn die gi liegen nach Konstruktion ebenfalls in C.
Also gilt auch
m
X
N
f1N , . . . , fm
= (1)
etwa
ai fiN = 1
i=1
Damit erhalten wir aber offensichtlich
m
m
X
X
N
b =
ai fi b =
ai fiN b ∈ C
i=1
i=1
2
Satz 18.4 Sei X ein k-Schema lokal von endlichem Typ und sei x ∈ X ein Punkt. Es sind äquivalent:
(1) x ist ein abgeschlossener Punkt von X, das heißt {x} ⊆ X ist abgeschlossen.
(2) Die Körpererweiterung κ(x)/k ist endlich.
(3) Die Körpererweiterung κ(x)/k ist algebraisch.
Beweis. per Ringschluss
„(1)⇒(2)“ Sei U ⊆ X eine affin offene Umgebung von x, dann ist Γ(U, OX ) eine endlich erzeugte
k-Algebra nach Satz 18.2. Da x nach Voraussetzung ein abgeschlossener Punkt von X ist,
korresponiert x zu einem maximalen Ideal m Γ(U, OX ) und insbesondere ist
κ(x) = Γ(U, OX )m
und dies ist nach Hilberts Nullstellensatz 1.7 ein endlicher Erweiterungskörper von k.
„(2)⇒(3)“ klar.
„(3)⇒(1)“ Sei U ⊆ X eine affin offene Umgebung von x, etwa U = Spec A für einen Ring A. Dann
ist A nach Satz 18.2 eine endlich erzeugte k-Algebra. Erhalte die folgende Abbildung
/ A 
/ Quot A
/A
k
℘x
℘x = κ(x)
8
ξ
Nach Voraussetzung ist κ(x)/k algebraisch und somit ist ξ ein injektiver ganzer Ringhomomorphismus. Damit ist der Faktorring A /℘x ein Körper und somit ist ℘x ein maximales Ideal in A
und x ein abgeschlossener Punkt von U .
Da U eine beliebige offene affine Teilmenge von X mit x ∈ U war, ist x nach obiger Rechnung in allen affin offenen Teilmengen, die x enthalten, ein abgeschlossener Punkt. Da die affin
offenen Teilmengen X überdecken ist x auch ein abgeschlossener Punkt von X.
2
27. Vorlesung - 28.01.2013
121
Folgerung 18.5 Sei X ein Schema lokal von endlichem Typ über k. Seien weiter U ⊆ X eine offene
Teilmenge und x ∈ U ein Punkt. Genau dann ist x ein abgeschlossener Punkt von U , wenn x ein
abgeschlossener Punkt von X ist.
Anmerkung Dies ist wirklich eine Besonderheit. Betrachte zum Beispiel die folgende Situation:
Sei R ein diskreter Berwertungsring, dann ist Spec R = {(0), m}. Sei U = {(0)} und x = (0), so ist
x abgeschlossen in U , aber nicht in Spec R.
Definition und Lemma 18.6 (sehr dicht)
Sei X ein topologischer Raum und Y ⊆ X eine Teilmenge. Wir sagen Y liegt sehr dicht in X, falls
die folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt sind:
(i) Die Abbildung
U ⊆ X offen
→
7→
U
V ⊆ Y offen
U ∩Y
ist bijektiv.
(ii) Die Abbildung
F ⊆ X abgeschlossen
→
7→
F
G ⊆ Y abgeschlossen
F ∩Y
ist bijektiv.
(iii) Für alle abgeschlossenen Teilmengen F ⊆ X gilt: F ∩ Y
X
= F
(iv) Für alle nicht-leeren lokal abgeschlossenen Teilmengen Z ⊆ X, das heißt Z = U ∩ F ⊆ X mit
einer offenen Menge U und einer abgeschlossenen Menge F , gilt: Z ∩ Y 6= ∅
Beweis. Die Äquivalez von (i), (ii) und (iii) ist klar (gehe jeweils zum Komplement über), den Rest
lassen wir als Übungsaufgabe.
Satz 18.7 Sei X ein k-Schema lokal von endlichem Typ, dann gilt
x ∈ X | x abges. Punkt
⊆ X
liegt sehr dicht in X.
Beweis. Wir Prüfen den Punkt (iv) der vorangegnangenen Definition nach. Sei also Z ⊆ X lokal
abgeschlossen und nicht leer. Durch eventuelles verkleinern von Z kann ohne Einschränkung angenommen werden, dass
abges.
Z
⊆
U
offen affin
⊆
X
etwa mit U = Spec A für einen Ring A. Dann ist Z ⊆ V (a) für ein echtes Ideal a A. Jedes echte
Ideal von A ist in einem Maximalen Ideal enthalten, so also etwa a ⊆ m für ein maximales Ideal
m A. m korrespondiert zu einem abgeschlossenen Punkt von U , welcher wegen a ⊆ m in Z liegt.
Nach Folgerung 18.5 ist dieser Punkt dann auch abgeschlossen in X, da wir X als Schema lokal von
endlichem Typ über k vorausgesetzt haben.
2
122
27. Vorlesung - 28.01.2013
Folgerung 18.8 Sei k hier ein algebraisch abgeschlossener Körper und X ein k-Schema lokal von
endlichem Typ, dann gelten
x ∈ X x abges. Pkt.
=
x ∈ X κ(x) = k
= Homk (Spec k, X) =: X(k)
wobei genau dann ϕ ∈ Homk (Spec k, X) ist, wenn dass Diagramm
ϕ
Spec k
/X
$
id
|
! k-Schema Morph.
Spec k
kommutiert. Diesem Diagramm entspricht auf übliche Weise
ko
? _ κ(x)
=
k
Vergleich von Schemata und Prävarietäten
Sei k nun wieder ein algebraisch abgeschlossener Körper. In den letzten Abschnitten haben wir uns
die folgenden Äquivalenzen von Kategorien erarbeitet:


integre affine
 k Schemata von 
endlichem Typ
X
X
/
/
o
Spec R
∼
integre endlich
erzeugte k Algebren
Γ(X, OX )
Γ(X)
∼
/
affine Varietät
über k
o
X
R
/
X(k)
Für den nicht affinen Fall können wir nun formal argumentieren, dass diese Äquivalenzen für die affinen „Bausteine“ gilt und wir durch Verkleben eine Äquivalenz von Kategorien erhalten, wir können
aber auch konstruktiv vorgehen und einen Funktor angeben, der uns eine Äquivalenz von Kategorien
liefert: Konstruiere also
integre k Schemata
Prävarietäten
−→
lokal von endlichem Typ
über k
Bilde dazu ein integres k Schema lokal von endlichem Typ (X, OX ) auf einen Raum mit Funktionen
über k gegeben durch den topologischen Raum X(k) und ein zugehöriges System von Funktionen
OX(k) (U ) := OX (V ), mit U = V ∩ X(k) für eine eindeutig bestimmte offene Teilmenge V ⊆ X,
ab.
27. Vorlesung - 28.01.2013
123
Bemerkung 18.9 Die Abbildung
j : OX (V ) →
7→
f
Abb(U, k)
U 3 u 7→ fu ∈ κ(u) = k
wobei fu das Bild von f im Restklassenkörper von u unter der Abbildung
OX (V )
/ O X,u
/ κ(u)
f / fu / fu
sei, ist injektiv.
Beweis. Der Kern der Abbildung j ist
Ker(j) =
\
max
m OX (V )
(1)
m =
\
(2)
p = (0)
prim
p OX (V )
denn (1) ist OX (V ) als endlich erzeugte k-Algebra ein Jacobsen Ring und (2) ist X reduziert.
2
Weiter können wir einen quasi-inversen Funktor angeben:
integre k Schemata
Prävarietäten
−→
lokal von endlichem Typ
über k
Hierbei werde eine Prävarietät (X, OX ) vermöge der Abbildung
e
X ,→
Z ⊆ X irred. und abges. =: X
x 7→ {x}
e aller irreduziblen abgeschlossenen Teilmengen von X (sobrification) abgebildet. In den
die Menge X
e liegt. Die Strukturgarbe setze als
Übungen haben wir gesehen, dass X sehr dicht in X
OXe (U ) := OX (U ∩ X)
wie auch bei der Gegenrichtung.
Kapitel IV
Faserprodukte
19
Schemata als Funktor
Sei R ein Ring und seien f1 , . . . , fm ∈ R[T1 , . . . , Tn ] Polynome. In der Einleitung haben wir das Ziel
erklärt, dass wir die Lösungsmenge von f1 = . . . = fm = 0 verstehen wollen. Bisher haben wir dies
für Punkte aus dem affinen Raum betrachtet. Dieses wollen wir nun och allgemeiner betrachten, denn
wir würden gerne diese Menge unabhängig vom affinen Raum untersuchen, betrachte dazu für eine
R-Algebra A den Übergang
x ∈ AnR f1 (x) = . . . = fm (x) = 0
= HomR R[T¯](f ), A
i
= HomSpec R Spec A, Spec R[T¯](f )
i
Definition 19.1 (Gegenüberliegende Kategorie)
Sei C eine Kategorie, dann definieren wir die gegenüberliegende Kategorie C opp durch
Ob C opp := Ob C
HomC opp (X, Y ) := HomC (Y, X)
und
Anmerkung Mit diese Definition werden kontravariante Funktoren F : C 1 → C 2 zu kovarianten
Funktoren F : C 1 opp → C 2 .
Definition 19.2 (Funktor der T wertigen Punkte)
Sei X ein Schema. Wir definieren den Funktor der T wertigen Punkte
hX : (Sch)opp → (Sets)
für ein Schemata T durch
hX (T ) := Hom(Sch) (T, X)
und für Morphismen f :
T0
→ T von Schemata durch
hX (f ) : Hom(Sch) (T, X) → Hom(Sch) (T 0 , X)
7→
g
g◦f
Wir sagen auch hX (T ) sind die T -Wertigen Punkte von X. Verkürzt schreiben wir auch oft:
X(T ) := hX (T )
X(A) := X(Spec A)
124
für einen Ring A
28. Vorlesung - 29.01.2013
125
Ist S ein Schema und X ein S-Schema, dann haben wir analog den Funktor
hX/S : (Sch/S)opp → (Sets)
mit
hX/S (T ) := Hom(Sch) (T, X)
für ein S-Schemata T und
hX/S (f ) : Hom(Sch) (T, X) → Hom(Sch) (T 0 , X)
g
7→
g◦f
für Morphismen f : T 0 → T von S-Schemata. Auch hier schreiben wir oft kürzer
X(T ) := XS (T ) = hX/S (T )
wobei wir den Hinweis auf das Schema S nur weglassen, wenn klar ist, dass wir uns im Kontext der
S-Schemata bewegen. Weiter haben wie für Ringe A, B und S-Schemata T die Kurzschreibweisen
X(A) := XS (T ) := hX/S (Spec A)
XR (T ) := XSpec R (T )
Im Sinne dieser neuen Definition können wir die adhoc-Definition von X(k) aus dem letzten Abschnitt von Kapittel III auch verstehen als
X(k) = hX/ Spec k (Spec k) = HomSpec k (Spec k, X)
Beispiel 51 Seien X = An := AnZ = Spec Z[T1 , . . . , Tn ] und Y ein Schema, dann ist
X(Y ) = Hom(Y, X) = Hom Z[T], Γ(Y, OY )
¯
= Γ(Y, OY )n
Speziell ist also X(A) = An falls A ein Ring ist. Ähnliche Ergebnisse erhalten wir für
]
X = Spec R[T
¯ a
mit a R[T]
¯
und X-Schemata
Beispiel 52 Sei X = R[T, T −1 ] = R[T ]T , dann ist für ein Schema Y
XR (Y ) = Γ(Y, OY )×
Um nun das naheliegende nächste Beispiel X = Pn betrachten zu können benötigen wir noch mehr
Theorie.
126
28. Vorlesung - 29.01.2013
Das Yoneda-Lemma
Das Yoneda-Lemma können wir in unserem Fall mit dem Slogan „Ein Schema X ist durch den Funktor hX eindeutig bestimmt.“ parafrasieren. Das Lemma gilt aber allgemein für alle Kategorien. Dazu
verallgemeinern wir den Funktor hX wie folgt:
Sei C eine Kategorie und X ein Objekt von C, dann definiere
hX : C opp → C
durch
hX (T ) = HomC (T, X)
für T ∈ Ob C und
hX (f ) : HomC (T, X) → HomC (T 0 , X)
g
7→
g◦f
für einen Morphismus f : T 0 → T in der Kategorie C.
Definition 19.3 (Morphismus von Funktoren)
Seien C und D Kategorien und seien F, G : C → D Funktoren der Kategorien. Ein Morphismus
F → G von Funktoren ist gegeben durch Morphismen
F (S) → G(S)
für alle S ∈ Ob C
in D, so dass für alle Morphismen S 0 → S in C das Diagramm
F (S 0 )
/ G(S 0 )
/ G(S)
F (S)
kommutiert.
Beispiel 53 Sei K ein Körper und bezeichne (V R/K) die Kategorie der Vektorräume über K. Sei
D : (V R/K)opp → (V R/K)
der Funktor, der jedem Vektorraum seinen Dualraum zuordnet. Sei nun V ein beliebiger K-Vektorraum,
dann ist
V →
D D(V )
v 7→ λ 7→ λ(v)
damit haben wir einen Morphismus von Funktoren
id(V R/K) → D ◦ D
Schränken wir uns auf endliche Vektorräume über K ein, ist dies sogar ein eindeutiger Isomorphismus.
28. Vorlesung - 29.01.2013
127
Mit dieser Definition erhalten wir eine neue Kategorie
b := Fun C opp , (Sets)
C
wobei die Objekte dieser Kategorie Funktoren C opp → (Sets) sind und die Morphismen die soeben
definierten Morphismen von Funktoren. Damit erhalten wir auch einen Funktor
h:
C
b
→ C
X
7→
(f : X → Y )
7→
hX
(hX → hY ) gegeben durch
hX (T ) → hY (T )
g
7→ f ◦ g
Wir werden im weiteren verlauf sehen, dass dieser Funktor volltreu ist, das heißt für alle X, Y ∈ Ob C
ist
HomC (X, Y ) → HomCb (hX , hY )
bijektiv. Genau so wollen wir auch den eingangs erwähnten Slogan „Ein Schema X ist durch den
Funktor hX eindeutig bestimmt.“ verstehen, das heißt X und Y sind genau dann isomorph, wenn hX
und hY isomorph sind:
Lemma 19.4 (Yoneda-Lemma)
b dann ist die Abbildung
Seien X ∈ Ob C und F ∈ Ob C,
HomCb (hX , F ) → F (X)
(α : hX → F ) 7→ α(X)(idX )
mit α(X) : hX → F (X)
bijektiv und funktoriell in X, das heißt für Morphismen X → Y in C kommutiert das Diagramm
HomCb (hX , F )
O
/ F (X)
O
HomCb (hY , F )
/ F (Y )
Wenden wir das Lemma auf den Fall F = hY an, dann erhalten wir
∼
HomCb (hX , hY ) −→ hY (X) = HomC (X, Y )
Im Beweis des Lemmas werden wir sehen, dass dies auch die richtige Abbildung ist.
Beweis. Definiere die Umkehrabbildung wie folgt: Sei ξ ∈ F (X), dann definiere einen Morphismus
von Funktoren hX → F durch
hX (T ) → F (T ) mit (f : T → X) 7→ F (f )(ξ)
Überprüfe nun, dass dies tatsächlich die gewünschte Umkehrabbildung liefert.
Wir führen dies nur im Spezialfall F = hY aus, in diesem Fall ist F (X) = hY (X) und damit ist ξ ein
Morphismus von X nach Y in C. Für f ∈ hX (T ) ist nun
hY (f ) : Hom(X, Y ) → Hom(T, Y )
g
und damit ist hY (f )(ξ) = ξ ◦ f .
7→
g◦f
2
128
28. Vorlesung - 29.01.2013
Folgerung 19.5 Sei S ein Schema und seien X, Y zwei S-Schemata. Dann ist die Vorgabe von Daten
der folgenden Arten äquivalent:
1. Ein Morphismus f : X → Y von S-Schemata.
2. Für alle S-Schemata T eine Abbildung
XS (T ) → YS (T )
die funktoriell in T ist.
3. Für alle affinen S-Schemata T eine Abbildung
XS (T ) → YS (T )
die funktoriell in T ist.
Beweis. Die Äquivalenz von 1. und 2. liefert das Yoneda-Lemma 19.4 für die Kategorie C = (Sch/S).
Der Schritt von 2. auf 3. ist klar, nur der Schluss von 3. auf 2. bedarf noch einer Erklärung: Sei dazu
T ein S-Schema, dann gibt es eine Überdeckung mit affin offenen Mengen (Ti )i∈I . Aus 3. erhalte
Abbildungen XS (Ti ) → YS (Ti ) für alle i. Verklebe Diese zu einer Abbildung XS (T ) → YS (T ).
2
29. Vorlesung - 04.02.2013
20
129
Faserprodukte
Definition und Eigenschaften
Sei C eine Kategorie und X, Y zwei Objekte dieser. Dann ist das Produkt X × Y charakterisiert durch
eine universelle Eigenschaft: Für alle T ∈ Ob C zusammen mit Abbildungen T → X und T → Y
existiert eine eindeutig bestimmte Abbildung T → X × Y so, dass das Diagramm kommutiert (wo es
kommutieren kann).
T
∃!
#
/& X
X ×Y
Y
Diese Konstruktion wollen wir nun etwas verallgemeinern:
Definition 20.1 (Faserprodukt)
Sei C eine Kategorie und S ein Objekt in C sowie f : X → S und g : Y → S Morphismen in C. Dann
heißt ein Objekt Z in C zusammen mit Morphismen p : Z → X und q : Z → Y Faserprodukt von X
und Y (wir schreiben Z = X ×S Y oder genauer Z = X ×f,S,g Y ) bezüglich f und g über S, wenn
gilt
• Es gilt f ◦ p = g ◦ q, das heißt, dass das untere Quadrat kommutiert.
• Für alle T ∈ Ob C zusammen mit Morphismen p0 : T → X und q 0 : T → Y mit f ◦ p0 = g ◦ q 0
existiert ein eindeutig bestimmter Morphismus h : T → Z mit p0 = p ◦ h und q 0 = q ◦ h
T
p0
h
Z
q0
#
p
/X
q
Y
g
/S
f
Anmerkung Das Faserprodukt von X und Y in der Kategorie C ist, sofern es existiert, bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig durch die universelle Eigenschaft bestimmt.
Bemerkung 20.2 Alternative Sichtweisen des Faserproduktes
(i) Die Objekte X, Y, X ×S Y, . . . sind via f, g, f ◦ p, . . . Objekte in der relativen Kategorie (C /S),
die gegeben ist durch
• Objekte von (C /S) sind Morphismen A → S in C.
• Morphismen in (C /S) sind kommutative Dreiecke
A
(
S
v
/B
130
29. Vorlesung - 04.02.2013
Dann ist das Faserprodukt in C das selbe wie das bereits bekannte Produkt in der relativen
Kategorie (C /S).
(ii) Ist X ×S Y das Faserprodukt von X und Y über S bezüglich f und g, so gilt
0 0
Hom(T, X ×S Y ) ∼
(p , q ) ∈ Hom(T, X) × Hom(T, Y ) f ◦ p0 = g ◦ q 0
=
Die Bijektion zwischen diesem Mengen ist gegenen durch
h 7→ (p ◦ h, q ◦ h)
Mit anderen Worten: Wir können die universelle Eigenschaft des Faserproduktes als Beschreibung des Funktors hX×S Y verstehen.
Beispiel 54 (Faserprodukt von Mengen)
Sei C = (Sets) die Kategorie der Mengen und seien f : X → S und g : Y → S Abbildungen von
Mengen. Wir suchen ein kommutatives Diagramm
Z
/X
Y
g
/S
f
Setze dazu
X ×S Y
:=
(x, y) ∈ X × Y f (x) = g(y)
dann ist diese Menge zusammen mit den Abbildungen
p : X ×S Y → X
mit
(x, y) 7→ x
q : X ×S Y → Y
mit
(x, y) 7→ y
ein Faserprodukt von X und Y (und als solches bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig).
Beweis. Wir müssen zeigen, dass X ×S Y zusammen mit p und q die universelle Eigenschaft besitzt.
Sei dazu T eine Menge mit zugehörigen Abbildungen
p0 : T → X
q0 : T → Y
und
so dass f ◦ p0 = g ◦ q 0 gilt. Dann setze
→
h:T
X ×S Y
p0 (t), q 0 (t)
t 7→
dann kommutiert
T
p0
h
#
q0
X ×S Y
q
p
Y
/& X
f
g
/S
29. Vorlesung - 04.02.2013
131
2
Wir erhalten also eine Bijektion
∼
=
X ×S Y
a
f −1 (s) × g −1 (s)
s∈S
und damit auch eine Erklärung des Namens „Faserprodukt“, da es sich um das Produkt der Fasern
von f und g handelt. Insbesondere gilt für beliebige Faserprodukte in einer beliebigen Kategorie C:
HomC (T, X ×S Y )
=
HomC (T, X) ×HomC (T,S) HomC (T, Y )
bezüglich der Abbildungen p0 7→ f ◦ p0 und q 0 7→ g ◦ q 0 .
Bemerkung 20.3 (Rechenregeln für Faserprodukte)
Sei C eine Kategorie und S ein Objekt von C. Seien weiter X, Y, Z Objekte von C zusammen mit
Morphismen nach S. Wir haben natürliche Isomorphismen
∼
•
X ×S Y
−→
•
X ×S Y
−→
∼
X
Y ×S X
∼
• (X ×S Y ) ×S Z −→ X ×S (Y ×S Z)
Beweis. Entweder konstruiere Morphismen und Umkehrmorphismen mittels der universellen Eigenschaft des Faserproduktes, oder führe alternativ die Aussage mit Hilfe des Yoneda-Lemmas auf den
Fall C = (Sets) zurück.
Definition 20.4 (kartesisches Quadreat)
Sei C eine Kategorie und seien X, Y, Z, S Objekte von C. Ein Diagramm
Z
q
Y
p
2
g
/X
f
/S
heißt kartesisch oder kartesisches Quadrat, falls es kommutativ ist und Z zusammen mit den gegebenen Morphismen p : Z → X und q : Z → Y ein Faserprodukt bezüglich der gegebenen Morphismen
f : X → S und g : Y → S in C ist.
Wir kennzeichnen kartsische Quadrate mit einem kleinen Quadrat im innern.
Bemerkung 20.5 Ein Diagramm wie in Definition 20.4 ist genau dann kartesisch, wenn für alle Objekte T von C das Diagramm
HomC (T, Z)
/ HomC (T, X)
/ HomC (T, S)
HomC (T, Y )
kartesisch in der Kategorie der Mengen ist.
132
29. Vorlesung - 04.02.2013
Folgerung 20.6 Sei C eine Kategorie und sei
A
/B
/C
2
/E
D
/F
ein kommutatives Diagramm in C, dessen rechtes Quadrat kartesisch ist, dann gilt: Das linke Quadrat
mit den Eckpunkten A, B, D und E ist genau dann kartesisch, wenn das äußere Rechteck mit den
Eckpunkten A, C, D und F kartesisch ist.
Beweis. Nach der vorangegangen Bemerkung genügt es die Aussage für die Kategorie der Mengen
zu beweisen. Dort ist sie (leicht) nachzurechnen.
Beispiel 55 (Spezialfälle von Faserprodukten)
• Sei C = (Sets) die Kategorie der Mengen und sei f : X → S eine Abbildung in C. Die
Quadrate
/X
/X
f −1 (s)
und allgemeiner
f −1 (S 0 )
2
s
/S
S0
2
/S
sind für s ∈ S und S 0 ⊆ S kartesisch.
• Sei C = (Sets) die Kategorie der Mengen und sei S eine Menge. Sind X, Y Teilmengen von S,
dann ist das Quadrat der natürlichen Inklusionen
X ∩ _ Y 
/ X
_
2

Y
/S
kartesisch.
• Sei C die Kategorie der Gruppen, der R-Moduln (für einen Ring R) etc. und sei f : G → H ein
Gruppenhomomorphismus, dann ist
/G
Ker(f )
{e} 2

f
/H
ein kartesisches Quadrat.
• Sei C eine beliebige Kategorie und seien X, Y Objekte von C. Das kartesische Produkt X × Y
ist ein Faserprodukt, denn
/X
X ×Y
Y
ist ein kartesisches Diagramm.
2
/ {pt}
29. Vorlesung - 04.02.2013
133
Faserprodukte in der Kategorie der Schemata
Wir wollen nun zeigen, dass in der Kategorie (Sch) der Schemata alle Faserprodukte existieren. Damit
können wir dann in sinnvoller Weise über Durchschnitte, Produkte und Urbilder in der Kategorie der
Schemata sprechen.
Erinnerung. Das Tensorprodukt in der Kategorie der Ringe wird durch die folgende universelle
Eigenschaft Charakterisiert: Sei R ein Ring und seien A, B zwei R-Algebren, dann existiert für alle
R-Algebren C zusammen mit Abbildungen p0 : A → C und q 0 : B → C genau eine Abbildung
h : A ⊗R B → C mit h(a ⊗ b) = p0 (a) · q 0 (b). Mit anderen Worten, das folgende Diagramm
kommutuert:
CV cl
0
p
h
q0
A ⊗O R B o
AO
Bo
R
Wir konstruieren das Faserprodukt zunächst im affinen Fall über das Tensorprodukt. Dies ist in sofern
vielversprechend, da sich bei Anwendung des Spec-Funktors alle Pfeilrichtungen umkehren.
Satz 20.7 Sei R ein Ring und seien A, B zwei R-Algebren, dann ist Spec(A ⊗R B) zusammen mit
den Abbildungen
Spec(A ⊗R B) → Spec(A)
Spec(A ⊗R B) → Spec(B)
und
die induziert werden von
A → A ⊗R B
mit
a 7→ a ⊗ 1
B → A ⊗R B
mit
b 7→ b ⊗ 1
ein Faserprodukt von Spec(A) und Spec(B) über Spec(R), also
Spec(A) ×Spec R Spec(B) ∼
= Spec(A ⊗R B)
in der Kategorie der Schemata.
Beweis. Sei T ein affines Schema mit Abbildungen nach Spec(A) und Spec(B) so folgt die universelle Eigenschaft aus der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes. Ist T nun ein beliebiges Schema
mit Abbildungen nach Spec(A) und Spec(B) so gilt
Hom T, Spec(A ⊗R B) = Hom A ⊗R B, Γ(T, OT )
Hom B, Γ(T, OT )
= Hom A, Γ(T, OT ) ×
Hom R,Γ(T,OT )
= Hom T, Spec A ×
Hom T,Spec R
in der Kategorie der Mengen.
Hom T, Spec B
2
134
29. Vorlesung - 04.02.2013
Satz 20.8 Sei S ein Schema und seien f : X → S und g : Y → S Morphismen von Schemata, dann
existiert das Faserprodukt X ×S Y in der Kategorie der Schemata.
Beweis. (Skizze) Versuche Rückführung auf den affinen Fall. Sei dazu
[
S =
Si
mit Si ⊆ S affin offen
i∈I
eine Überdeckung von S durch affine Schemata. Setze für alle i ∈ I
Xi := f −1 (Si )
und
Yi := g −1 (Si )
Zu jedem Schema Xi und Yi finden wir wieder eine Familie affin offener Mengen (Xij )j∈J beziehungsweise (Yik )k∈K , welche Xi bzw. Yi überdecken. Konstruiere nun X ×S Y durch verkleben der
affinen Schemata Xij ×Si Yik . Hierzu erhalte die Verklebe-Morphismen aus den universellen Eigenschaften der affinen Faserprodukte.
Das Ergebnis dieses Verklebens ist ein Schema X ×S Y mit einer affin offenen Überdeckung der Form
[
X ×S Y =
Xij ×Si Yik
Beispiel 56 Die Inklusion R ,→ C liefert eine Abbildung Spec C → Spec R und es gilt:
Spec C ×Spec R Spec C = Spec(C ⊗R C)
= Spec R[X](X 2 ∗ 1) ⊗R C
C[X]
= Spec
(X + i)(X − i)
= Spec(C × C)
= Spec C q Spec C
Beispiel 57 Ist f : R → R0 ein Ringhomomorphismus und AnR = Spec R[T1 , . . . , Tn ], dann gilt
AnR ×Spec R Spec R0 = AnR0
ist weiter a R[T] ein Ideal, dann gilt
¯
0
R0 [T]
]
Spec R[T
¯ a ×Spec R Spec R = Spec ¯ (f (a))
Allgemein gilt für einen Morphismus S 0 → S von Schemata und ein S-Schema X → S:
X ×S S 0 → S 0
ist ein S 0 -Schema
Damit erhalte den Basiswechsel-Funktor
(Sch/S) → (Sch/S 0 )
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135
Beispiel 58 (Schnitte von Schemata)
(1) Sei S ein Schema und seien U, V ⊆ S offene Teilmengen, des zugrunde liegenden topologischen
Raums S, dann können wir, durch einschränken der Strukturgarbe, U und V als offene Unterschemata verstehen. In diesem Sinne ist auch V ∩ U mit OS|V ∩U ein Schema. Mit unserer
neuen Theorie können wir diesen Schnitt aber auch als ein Faserprodukt von U und V über S
und damit ebenfalls als ein Schema verstehen, denn das Quadrat
U ∩ _ V 
/ U
_
2

/S
V
ist kartesisch.
(2) Sei k ein Körper und S = Spec k[x, y] ein affines Schema. Wir wollen nun wieder das Schema,
welches wir als Schnittpunkt des Achsenkreuzes erhalten mit dem Schema, welches wir als den
Berührpunkt der Normalparabel mit einer Achse erhalten, vergleichen. (Vergleiche Beispiel 45)
(i) Bezeichne Z1 = Spec k[y], dann induziert der Ringhomomorphismus
k[x, y] → k[y]
y
7→
y
x
7→
0
einen Morphismus Z1 → S von Schemata. Sei weiter Z2 := Spec k[X] und erhalte einen
Morphismus nach S wie oben. Wir definieren den Schnittpunkt des Achsenkreuzes Z1 ∩ Z2
als Schema durch
Z1 ∩ Z2 := Z1 ×S Z2 = Spec k[y] ⊗k[x,y] k[x]
=
Spec k
(ii) Bezeichne weiter
Z3 = Spec k[x, y](y − x2 )
und erhalte wie oben einen Morphismus Z3 → S von Schemata. Den Berührpunkt der
Normalparabel definieren wir ebenfalls als Faserprodukt:
Z1 ∩ Z2 := Z1 ×S Z2 = Spec k[y] ⊗k[x,y] k[x, y](y − x2 )
=
Spec k[x](x2 )
An diesem Beispiel sehen wir zum einen, dass uns die Konstruktion des Faserproduktes Verallgemeinerungen bestimmter Konstruktionen erlaubt (Bsp. Durchschnitte) und zum anderen, dass wir mit den
Schnittpunkten als Faserprodukt tatsächlich Informationen behalten, die uns bei anderen Konstruktionen (z.B. nur auf Grundlage der topologischen Räume) verloren gingen.
136
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Fasern von Morphismen von Schemata
In Beispiel 55 haben wir Spezialfälle von Faserprodukten betrachtet. Insbesondere haben wir in der
Kategorie der Mengen das Urbild eines Punktes als Faserprodukt ausgewiesen: Seien S, X Mengen
und s ∈ S, dann gilt
/X
f −1 (s)
2
/S
s
Mit einer analogen Konstruktion wollen wir nun Fasern von Morphismen von Schemata definieren.
Dazu benötigen wir noch einmal ein paar Begriffem, die wir uns bereits erarbeitet haben:
Sei S ein Schema. Zu jedem Punkt s ∈ S des topologischen Raums haben wir einen Halm OS,s .
Dieser ist ein lokaler Ring. Wenn wir das maximale Ideal ms in diesem Ring heraus teilen erhalten
wir den Restklassenkörper von s
κ(s) := OS,sms
Wir erhalten einen natürlichen Morphismus
Spec κ(s) → S
pt
7→ s
Damit definieren wir:
Definition 20.9 (Faser von Morphismen)
Sei f : X → S ein Morphismus von Schemata und s ∈ S ein Punkt im topologischen Raum. Dann
heißt
Xs := f −1 (s) = X ×S Spec κ(s)
die Schema-theoretische Faser von f in s.
Satz 20.10 In der Situation der vorangegangen Definition ist der zugrunde liegende topologische
Raum Xs gerade die Faser der stetigen Abbildung f : X → S topologischer Räume über s ∈ S.
Beweis. Wir reduzieren zunächst auf den Fall, dass sowohl X als auch S affine Schemata sind:
• Die Faser der stetigen Abbildung f ändert sich beim Übergang zu einer offenen s-Umgebung
V ⊆ S und gleichzeitigem ersetzen von X durch f −1 (V ) nicht. Außerdem gilt
X ×S Spec κ(s)
∼
=
f −1 (V ) ×V Spec κ(s)
Benutze zum Nachweis die universelle Eigenschaft des Faserproduktes und die Projektionen
p : f −1 (V )×V Spec κ(s) → f −1 (V ) ⊆ X
und
q : f −1 (V )×V Spec κ(s) → Spec κ(s)
Wir können also ohne Einschränkung annehmen, dass S ein affines Schema ist.
• Sei (Ui )i∈I eine Familie (affin) offener Mengen, die X überdecken. Dann gilt
[
X ×S Spec κ(s) =
Ui ×S Spec κ(s)
i∈I
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ist eine (affin) offene Überdeckung. Daher genügt es, den Satz für alle Morphismen
Ui ,→ X → S
z zu zeigen. Damit können wir ebenfalls ohne Einschränkung annehmen, dass auch X ein affines Schema ist.
Seien also etwa S = Spec A und X = Spec B für Ringe A und B und sei ϕ : A → B der zu f
gehörige Ringhomomorphismus, das heißt
f : Spec B → Spec A
7→ ϕ−1 (q)
q
Sei weiter p A das zu s korrespondierende Primideal, dann gelten
κ(s) = App Ap
X ×S Spec κ(s) = Spec B ⊗A App Ap
und
Dieses Tensorprodukt können wir ausrechnen und erhalten
B ⊗A App Ap
−1
ϕ(A \ p) B
ϕ(p)
=
Damit erhalten wir nun einen Homöomorphismus
n
o
Spec B ⊗A App Ap ∼
q B prim q ∩ ϕ(A \ p) = ∅ ∧ ϕ(p) ⊆ q
=
Diese Menge charakterisiert aber, da f die zu ϕ assoziierte Abbildung und p das zu s gehörige Primideal ist, gerade die Faser von f in s.
2
Anmerkung Eine analoge Aussage lässt sich auch für die, nur im Beispiel angerissene, Verallgemeinerung des Schnittes von Schemata formulieren und Beweisen.
Philosophie (Grothendiek)
Ein Morphismus f : X → S von Schemata liefert eine Familie Xs von κ(s)-Schemata, also von
Schemata über einem Körper.
Beispiel 59 Es gibt Morphismen von Varietäten, über deren Fasern wir nur mit Hilfe der Sprache von
Schemata sinnvoll sprechen können. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper.
(i) Betrachte den Morphismus
X := Spec k[S, T, U ](U T − S) −→ Spec k[S] = A1k =: Y
Sei s ∈ k, dann ist das korrespondierende Primideal ein maximales Ideal und da k algebraisch
abgeschlossen ist von der Form (S − s) k[S]. Es gilt in dieser Situation also
κ(s)
=
k[S]
(S − s)
und damit für die Schema-theoretische Faser von f in s:
Xs = Spec k[S, T, U ](U T − S) ⊗k[S] k[S](S − s) = Spec k[U, T ](U T − s)
Die Fasern für s 6= 0 entsprechen Hyperbeln und sind irreduzibel. Die Faser für s = 0 ist
(sozusagen der „Grenzwert“ der Hyperbeln) die Vereinigung der U -Achse mit der T -Achse
und somit insbesondere nicht irreduzibel.
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(ii) Betrachte den Morphismus
X := Spec k[S, T, U ](U 2 − ST 2 ) −→ Spec k[S] = A1k =: Y
Sei wieder s ∈ k, dann erhalten wir, sofern die Charakteristik von k nicht 2 ist, wie oben
Xs = Spec k[U, T ](U 2 − sT 2 )
Für s 6= 0 erhalte hier die Vereinigung zweier sich schneidender Geraden und für s = 0
entspricht die Faser der Vereinigung zweier aufeinander liegender Geraden. Die Fasern für
s 6= 0 sind reduziert, die Faser für s = 0 ist es nicht.
Beispiel 60 Sei X ein Schema und X → Spec Z ein Morphismus von Schemata. Erhalte eine Familie
von Schemata über den Körpern Q und Fp für Primzahlen p ∈ Z.
Als Motivation wollen wir hier noch einen Satz angeben, der zum einen zeigt, dass wir mit der Sprache
der Fasern tatsächlich etwas gewonnen haben und zum anderen Anknüpfpunkte zum Beispiel an die
Zahlentheorie nahe legt:
Satz 20.11 Sei f : X → S ein Morphismus von Schemata mit einem integren Schema S, das heißt S
ist reduziert und irreduzibel und besitzt insbesondere genau einen generischen Punkt η.
Ist S = Spec R das Spectrum eines noetherschen Rings R und f : X → S ein S-Schema von
endlichem Typ, dann gilt:
Xη ist genau dann reduziert, wenn es eine nicht-leere offene Teilmenge U ⊆ S so gibt, dass für alle
s ∈ U die Faser Xs reduziert ist.
Beispiel 61 Sei S = Spec Z und X = V (f1 , . . . , fm ) ⊆ AnZ oder X = V∗ (f1 , . . . , fm ) ⊆ PnZ dann
ist + η = (0) und der Satz übersetzt sich zu:
X ×Spec Z Spec Q ist genau dann reduziert, wenn X ×Spec Z Spec Q und fast alle X ×Spec Z Spec Fp
reduziert sind.
Anhang A
Lizenz
Dieses Dokument wird unter der Creative Commons License (by-nc-nd 3.0) zur Verfügung gestellt.
Für Informationen besuchen Sie bitte die Webseite:
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Die jeweils aktuelle Version dieses Dokuments kann stets von meiner Homepage
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bezogen werden. Für Rückfragen aller Art erreichen Sie mich unter der eMail-Adresse:
johannes.hoelken @ stud.uni-due.de
139
Anhang B
Register
Literaturverzeichnis
[L1] Görtz, Wedhorn, Algebraic Geometry I, Vieweg
[L2] Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer
[L3] Görtz, Notizen zur Vorlesung Algebra II (kommutative Algebra), elektronisch verfügbar
http://www.uni-due.de/∼hx0050/ss12/kommutative_algebra.pdf
Bildnachweise
Sofern nicht anders angegeben sind alle Zeichnungen in diesem Dokument von mir mit GIMP erstellt
worden. Ausnahmen hiervon bilden:
Bsp. 1
Funktionsplot mit Maple, Johannes Hölken
Dank
Wie in fast all meinen Mitschriften möchte ich auch diesemal wieder Jann Behrendt danken, der mir
seine Notizen von der 16. Vorlesung vom 4.12.12 zur Verfügung gestellt (Ab Seite 62) und mich auf
einige (Tipp-)Fehler hingewiesen hat.
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Stichwortverzeichnis
Geringter Raum, 87
Äquivalenz von Kategorien, 26
T0 -Raum, 115
Halm, 75, 79
Homogenes Polynom, 42
abc-Vermutung, 5
abgeschlossene Menge, 8
Abgeschlossene Unterprävarietät, 40
abgeschlossener Punkt, 68
Abschluss einer Menge, 9
affine algebraische Menge, 7
affine offene Teilmenge, 38, 100
affiner Kegel, 50
Affiner Koordinatenring, 23
affiner Raum, 9, 95
Assozierte Abbildung, 69
dominante, 70
Ausgezeichnete offene Mengen, 24, 66
induktiver Limes, 76
induktives System, 76
induzierte Topologie, siehe Teilraumtopologie
Integres Schema, 115
inverses Bild, 86
irreduzibel, 112
irreduzible Komponente, 16
Kartesisches Quadrat, 131
Konstante Garbe, 85
Koordinatenwechsel, 47
Kozykelbedingung, 106
Basiswechsel-Funktor, 134
Bilinearform
symmetrisch, nicht ausgeartet, 60
lineare Unterräume, 55
lokal geringter Raum, 89
lokaler Homomorphismus, 88
Coprodukt von Schemata, 108
Monomorphismus, 112
Morphismus, 20, 29
Morphismus von Funktoren, 126
Morpismus
Isomorphismus, 21
direktes Bild, 85
Einschrankung, 30
Epimorphismus, 112
essentiell surjektiv, 26
Nullstellenschema, 112
Faserprodukt, 129
Faserprodukt von Mengen, 130
Funktionenkorper, 116
Funktor
kontravarianter, 26
offene Menge, 9
offene Unterprävarieät, 40
offenes Unterschema, 99
Garbe, 73
gemeinsame Nullstellenmenge v. Polynomen, siehe Verschwindungsmenge
Generalisierung, 68
generischer Punkt, 68
gerichtete Menge, 77
partiell geordnet, 76
Polynomgrad, 4
Prägarbe, 72
Primideal, 13
Primspectrum, 64
Projektiver Raum, 44
projektiver Raum, 110
141
142
quadratische Formen, 59
Quadrik, 56
quasi-kompakt, 112
Radikalideal, 10
Rationaler Funktionenkörper, 30
Raum mit Funktionen, 28
Reduziertes Schema, 115
Satz
Hilbertscher Nullstellensatz, 10
Satz von Bézout, 4–5
Satz von Cayley-Hamilton, 37
Verklebesatz für Morphismen, 103
Verklebesatz für Schemata, 107
Yoneda-Lemma, 127
Schema, 98
Schnitte, 29, 72
sehr dicht, 121
Spezialisierung, 68
stetige Abbildung, 9
Strukturgarbe, 87
Teilraumtopologie, 9
Topologie, 8
Basis, 24
topologischer Raum, 8
irreduzibel, 13
noethersch, 17
quasi-kompakt, 17
Varietät
affine V., 35
Prävarietät, 35
projektive, 49
quasi-projektive, 52
Verklebedatum, 106
Verschwindungsmenge, 3, 7, 64
volltreu, 26
von endlichem Typ, 118
Zariskitopologie, 9, 24, 65
zusammenhängend, 9, 112
STICHWORTVERZEICHNIS