Zusammenfassung: Mechanische Schwingungen

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Ph 12 4-stündig
18.09.2011
Zusammenfassung: Mechanische Schwingungen
Zusammenfassung: Sinus- und Kosinusfunktion
Hooke’sches Gesetz
Eine Feder sei an einem Ende befestigt. Wirkt auf das andere Ende
der Feder eine Kraft F, dann wird die Feder um eine Strecke s
verlängert oder zusammengedrückt. Für den Zusammenhang dieser
Größen gilt näherungsweise, solange die Feder nicht überdehnt wird:
F
s
Hooke’sches Gesetz: Die Auslenkung s einer Feder (gegenüber dem entspannten Zustand) und die
Kraft F, die auf die Feder wirkt, sind proportional zueinander.
Definition: Die Federkonstante (Federhärte) D ist der Quotient aus der Kraft F und der
Auslenkung s:
F
D= .
s
N
Einheit: 1
m
Die Rückstellkraft F einer Feder ist der Auslenkung s entgegengesetzt gerichtet. Legt man eine
Richtung fest, in der s und F positiv gerechnet werden, dann gilt also das lineare Kraftgesetz
F = −D ⋅ s .
Harmonische Schwingungen
Wir betrachten als Beispiel einen horizontalen Federschwinger: An
einer auf Zug und Druck belastbaren Feder ist ein Körper befestigt,
der sich horizontal bewegen kann. Ohne Einwirkung einer äußeren
Kraft befindet sich der Körper in einer stabilen Gleichgewichtslage.
Wird der Körper aus dieser Lage ausgelenkt und losgelassen, dann wirkt auf ihn eine Rückstellkraft.
Er beschleunigt also in Richtung auf die Gleichgewichtslage hin. Wegen der Trägheit der Masse des
Körpers bewegt er sich über die Gleichgewichtslage hinaus. Nun bremst ihn die Rückstellkraft, bis
er im Umkehrpunkt zur Ruhe kommt, und das Spiel beginnt von Neuem.
Wir betrachten nur ungedämpfte Schwingungen, d. h. wir nehmen stets an, dass keine Reibungskräfte wirken, so dass kein Energieverlust auftritt.
Charakteristische Größen einer Schwingung sind
• die Auslenkung (oder Elongation) s aus der Gleichgewichtslage;
• die Amplitude s , d. h. der Betrag der maximalen Auslenkung;
• die Periodendauer T, d. h. die Zeit für eine vollständige Hin- und Herbewegung;
2π
• die Winkelgeschwindigkeit (oder Kreisfrequenz) ω =
.
T
Vereinbarung:
1. Man legt eine Richtung fest, in der die Auslenkung s,
die Geschwindigkeit v, die Beschleunigung a und die
Rückstellkraft F positiv gerechnet werden.
2. In der Gleichgewichtslage ist s = 0 .
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s
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In der Gleichgewichtslage ist
• die Auslenkung s = 0 ;
•
•
•
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In den Umkehrpunkten ist
• die Auslenkung maximal: s = ± s ;
• die Geschwindigkeit v = 0 ;
die Geschwindigkeit maximal: v = ±v ;
die Beschleunigung a = 0 ;
die Rückstellkraft F = 0 .
•
•
die Beschleunigung maximal: a = ± a ;
die Rückstellkraft maximal: F = ± F .
Definition: Eine Schwingung heißt harmonisch, wenn die Auslenkung sinusförmig von der Zeit
abhängt, wenn also das Weg-Zeit-Gesetz folgende Form hat:
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ ) .
Bekanntlich gilt für das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz einer beliebigen Bewegung
•
v (t ) = s (t ) ,
und für das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz gilt
•
••
a (t ) = v (t ) = s (t ) .
Für eine harmonische Schwingung ergibt sich:
1. Das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz ist
•
v ( t ) = s ( t ) = s ⋅ cos (ω t + ϕ ) ⋅ ω = ω s ⋅ cos (ω t + ϕ ) ,
also
v ( t ) = v ⋅ cos (ω t + ϕ ) mit v = ω s .
2. Das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz ist
•
a ( t ) = v ( t ) = −v ⋅ sin (ω t + ϕ ) ⋅ ω = −ω v ⋅ sin (ω t + ϕ ) ,
also
a ( t ) = −a ⋅ sin (ω t + ϕ ) mit a = ω v = ω 2 s .
3. Wir leiten das Kraftgesetz für eine harmonische Schwingung her, d. h. den Zusammenhang
zwischen der Rückstellkraft und der Auslenkung:
Für den Zusammenhang zwischen der Beschleunigung und der Auslenkung gilt
a ( t ) = −a ⋅ sin (ω t + ϕ ) = −ω 2 ⋅ s ⋅ sin (ω t + ϕ ) ,
also
a ( t ) = −ω 2 ⋅ s ( t )
bzw. mit a statt a ( t ) und s statt s ( t ) :
a = −ω 2 ⋅ s .
Multiplikation beider Seiten mit m ergibt
ma = − mω 2 ⋅ s .
Nach der Grundgleichung der Mechanik ist die linke Seite gleich F, und man erhält
F = − mω 2 ⋅ s .
Für die Rückstellkraft gilt also ein lineares Kraftgesetz, d. h. die Rückstellkraft F ist
proportional zur Auslenkung s.
Insbesondere haben wir gezeigt: Führt ein Körper eine harmonische Schwingung aus, dann gilt für
die Rückstellkraft ein lineares Kraftgesetz.
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Wir betrachten nun einen schwingungsfähigen Körper der Masse m, für dessen Rückstellkraft ein
lineares Kraftgesetz gilt:
F = −D ⋅ s .
Im Fall eines horizontalen Federschwingers ist D die FederD
m
konstante; im allgemeinen Fall heißt D die Richtgröße.
Aus der Grundgleichung der Mechanik folgt
•
••
F = m⋅a = m⋅v = m⋅ s ,
und einsetzen in das Kraftgesetz F = − D ⋅ s ergibt
••
m ⋅ s = −D ⋅ s
••
••
bzw. mit s ( t ) statt s und s ( t ) statt s:
••
m ⋅ s (t ) = −D ⋅ s (t )
Division beider Seiten durch m ergibt die Differenzialgleichung einer harmonischen Schwingung:
••
D
s (t ) = − ⋅ s (t ) .
m
Eine Lösung dieser Differenzialgleichung ist „die“ Funktion s (eigentlich: die Funktionenschar ss , ϕ )
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ ) mit ω =
D
m
und beliebigem s und beliebigem ϕ , denn es ist (vergleiche obige Rechnungen)
••
D
s ( t ) = −ω 2 ⋅ s ⋅ sin (ω t + ϕ ) = −ω 2 ⋅ s ( t ) = − ⋅ s ( t ) .
m
Man kann mathematisch beweisen, dass „die“ Funktion s die einzige Lösung der Differenzialgleichung ist.
Also haben wir gezeigt: Gilt für die Rückstellkraft ein lineares Kraftgesetz, dann führt der Körper
eine harmonische Schwingung aus.
Zusammengefasst ergibt sich der
Satz: Ein Körper führt genau dann eine harmonische Schwingung aus, d. h. es gilt
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ ) ,
wenn für die Rückstellkraft ein lineares Kraftgesetz gilt, d. h. wenn gilt
F = −D ⋅ s .
Dann gilt für die Winkelgeschwindigkeit
D
ω=
m
und für die Periodendauer
2π
2π
m
T=
=
= 2π
ω
D
D
m
T = 2π
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.
D
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Standardaufgabe: Untersuche, ob die periodische Bewegung eines Körpers eine harmonische
Schwingung ist.
Lösung:
1. Prüfe, ob es eine stabile Gleichgewichtslage gibt.
2. Prüfe, ob das Kraftgesetz linear ist, d. h. ob die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung
aus der Gleichgewichtslage ist.
Im Weg-Zeit-Gesetz
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ )
hängt der Phasenwinkel ϕ davon ab, an welchem Ort sich der Körper zum Zeitpunkt t = 0 befindet.
Es gibt vier Standardfälle; im Beispiel eines
horizontalen Federschwingers sind dies:
also ϕ = 0 .
2. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Körper im
.
2
3. Zum Zeitpunkt t = 0 geht der Körper von
rechts nach links durch die Gleichgewichtslage, d. h. es ist s = 0 , und s wechselt von
positiven zu negativen Werten.
Dann ist
s ( t ) = − s ⋅ sin (ω t ) = s ⋅ sin (ω t + π ) ,
also ϕ = π .
4. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Körper im
linken Umkehrpunkt, d. h. es ist s = − s .
Dann ist
s ( t ) = − s ⋅ cos (ω t ) ,
π
s
−s
T
4
T
2
3
T
4
T
t
T
4
T
2
3
T
4
T
t
T
4
T
2
3
T
4
T
t
T
4
T
2
3
T
4
T
t
s
π
also ϕ = −
s
s
rechten Umkehrpunkt, d. h. es ist s = s .
Dann ist
π

s ( t ) = s ⋅ cos (ω t ) = s ⋅ sin  ω t +  ,
2

also ϕ =
s
0
1. Zum Zeitpunkt t = 0 geht der Körper von
links nach rechts durch die Gleichgewichtslage, d. h. es ist s = 0 , und s wechselt von
negativen zu positiven Werten.
Dann ist
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t ) ,
−s
s
s
−s
s
s
.
−s
2
Bemerkung: In Aufgaben schreibt man das Weg-Zeit-Gesetz immer in der Form
s ( t ) = s ⋅ sin (ωt ) bzw. s ( t ) = s ⋅ cos (ω t ) bzw. s ( t ) = − s ⋅ sin (ωt ) bzw. s ( t ) = − s ⋅ cos (ω t )
und nicht in der Form s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ ) !
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Beispiele für harmonische Schwingungen
1. Horizontaler Federschwinger an einer Feder:
An einer auf Zug und Druck belastbaren Feder mit der
Federkonstanten D ist ein Körper der Masse m befestigt, der
sich horizontal bewegen kann.
0
s
Nach dem Hooke’schen Gesetz gilt das lineare Kraftgesetz F = − D ⋅ s .
Energiebetrachtung:
Die konstante Energie W des Systems setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie Wkin des
Körpers und der Spannenergie WSp der Feder:
2
2
1
1
m ( v (t )) + D ( s (t )) .
2
2
1 2
In der Ruhelage ist WSp = 0 und W = Wkin = mv ,
2
1 2
und in den Umkehrpunkten ist Wkin = 0 und W = WSp = Ds .
2
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt die bereits bekannte Beziehung
1 2 1 2
mv = Ds
2
2
2
D 2
v = s
m
D
v=
s
m
W = Wkin ( t ) + WSp ( t ) =
v = ωs .
2. Federpendel (Feder-Schwere-Pendel):
An einer Feder mit der Federkonstanten D hängt ein
Körper der Masse m, der sich vertikal bewegen kann.
D
m
0
s
Herleitung des Kraftgesetzes:
Rechne Auslenkungen und Kräfte nach unten positiv.
In der Gleichgewichtslage wirkt die Gewichtskraft G nach unten. (Da die Gewichtskraft nach
unten wirkt, wird sie positiv gerechnet.) Dadurch wird die Feder um eine Strecke s0 verlängert;
rechne diese Strecke positiv. Die Feder wirkt mit der Kraft F0 = − D ⋅ s0 nach oben. (Da die Kraft
nach oben wirkt, wird sie negativ gerechnet.) Da Kräftegleichgewicht herrscht, gilt
F0 = −G bzw. F0 + G = 0 .
Wird der Körper um s > 0 (also nach unten) ausgelenkt, dann wirkt weiterhin die Gewichtskraft
G nach unten. Die Feder ist jetzt um die Strecke s0 + s verlängert und wirkt mit der Kraft
FF = − D ⋅ ( s0 + s ) nach oben. (Da die Kraft nach oben wirkt, wird sie negativ gerechnet.)
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Die resultierende Kraft auf den Körper ist
Fres = FF + G = − D ⋅ ( s0 + s ) + G = − D ⋅ s0 − D ⋅ s + G = F0 − D ⋅ s + G = − D ⋅ s .
Bei einer Auslenkung des Körpers um s < 0 (also nach oben) erhält man dasselbe Ergebnis, da
das Vorzeichen von s in den Rechnungen keine Rolle spielt.
Also gilt das lineare Kraftgesetz
F = −D ⋅ s .
3. Horizontaler Federschwinger zwischen zwei Federn:
Ein Körper der Masse m ist zwischen zwei nur auf
Zug belastbaren Federn mit den Federkonstanten D1
und D2 befestigt und kann sich horizontal bewegen.
D1
m
0
D2
s
Herleitung des Kraftgesetzes:
Rechne Auslenkungen und Kräfte nach rechts positiv.
In der Gleichgewichtslage sind die linke Feder um eine Strecke s1, 0 und die rechte Feder um
eine Strecke s2, 0 verlängert; rechne diese Strecken positiv.
Die linke Feder wirkt mit der Kraft F1, 0 = − D1 ⋅ s1, 0 nach links (da die Kraft nach links wirkt,
wird sie negativ gerechnet), und die rechte Feder wirkt mit der Kraft F2, 0 = D2 ⋅ s2, 0 nach rechts
(da die Kraft nach rechts wirkt, wird sie positiv gerechnet). Da Kräftegleichgewicht herrscht, gilt
F1, 0 = − F2, 0 bzw. F1, 0 + F2, 0 = 0 .
Wird der Körper um s > 0 (also nach rechts) ausgelenkt, dann ist die linke Feder um die Strecke
s1 = s1, 0 + s verlängert und wirkt mit der Kraft F1 = − D1 ⋅ ( s1, 0 + s ) nach links (da die Kraft nach
links wirkt, wird sie negativ gerechnet), und die rechte Feder ist um die Strecke s2 = s2, 0 − s
verlängert und wirkt mit der Kraft F2 = D2 ⋅ ( s2, 0 − s ) nach rechts (da die Kraft nach rechts
wirkt, wird sie positiv gerechnet). Die resultierende Kraft auf den Körper ist
Fres = F1 + F2
.
= − D1 ⋅ ( s1, 0 + s ) + D2 ⋅ ( s2, 0 − s )
= − D1 ⋅ s1, 0 − D1 ⋅ s + D2 ⋅ s2, 0 − D2 ⋅ s
= F1, 0 − D1 ⋅ s + F2, 0 − D2 ⋅ s
= − D1 ⋅ s − D2 ⋅ s
= − ( D1 + D2 ) ⋅ s
Bei einer Auslenkung des Körpers um s < 0 aus der Gleichgewichtslage (also nach links) erhält
man dasselbe Ergebnis, da das Vorzeichen von s in den Rechnungen keine Rolle spielt.
Also gilt das lineare Kraftgesetz F = − D ⋅ s mit der Richtgröße
D = D1 + D2 .
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4. Flüssigkeit in einem U-Rohr:
In einem U-Rohr mit der Querschnittsfläche A befindet sich eine Flüssigkeit mit
der Dichte ρ.
Gleichgewichtslage:
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Auslenkung um s > 0
s
0
2s
Herleitung des Kraftgesetzes:
Rechne Auslenkungen und Kräfte im rechten Schenkel nach oben positiv.
Wird die Flüssigkeit um s (mit beliebigem Vorzeichen) ausgelenkt, dann ist das (im linken oder
rechten Schenkel) überstehende Flüssigkeitsvolumen V = A ⋅ 2 s = 2 A s . Dieses Flüssigkeitsvolumen erfährt die Gewichtskraft vom Betrag
G = m ⋅ g = ρV ⋅ g = ρ ⋅ 2 A s ⋅ g = 2 A ρ g ⋅ s
Ist s > 0 (d. h. die Flüssigkeit steht im rechten Schenkel höher), dann wirkt auf das überstehende
Volumen die Kraft F = − G = −2 Aρ g ⋅ s nach unten. (Da die Kraft im rechten Schenkel nach
unten wirkt, wird sie negativ gerechnet.)
Ist s < 0 (d. h. die Flüssigkeit steht im linken Schenkel höher), dann wirkt auf das überstehende
Volumen die Kraft F = G = 2 Aρ g ⋅ s = −2 Aρ g ⋅ s nach unten. (Da die Kraft im linken
Schenkel nach unten, also im rechten Schenkel nach oben wirkt, wird sie positiv gerechnet, und
da s < 0 ist, ist s = − s .)
Also gilt das lineare Kraftgesetz F = − D ⋅ s mit der Richtgröße
D = 2 Aρ g .
Die Flüssigkeit schwingt also harmonisch mit der Periodendauer
Al
m
m
ρV
V
l
1
T = 2π
= 2π
= 2π
= 2π
= 2π
= 2π
= 2π
D
2 Aρ g
2 Aρ g
2 Ag
2 Ag
2g
2
l
,
g
wobei l die Länge der Flüssigkeitssäule ist.
= 2π
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l
g
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Fadenpendel
An einem Faden der Länge l (mit vernachlässigbarer Masse) hängt ein (punktförmiger) Körper der
Masse m (sog. mathematisches Pendel).
Herleitung des Kraftgesetzes:
Lenkt man das Pendel um den Winkel ϕ aus, dann kann man
die Gewichtskraft G , die der Körper erfährt, in zwei
Komponenten zerlegen:
• Die Komponente FF , die in Verlängerung des Fadens
wirkt und von der Spannkraft des Fadens aufgehoben
wird, und
• die Komponente FR , die tangential zur Kreisbahn wirkt
und den Körper in Richtung auf die Gleichgewichtslage
hin beschleunigt. Diese Komponente ist die Rückstellkraft.
Für den Betrag FR der Rückstellkraft gilt sin ϕ =
ϕ
l
m
s
FR ϕ
G
FF
ϕ
G
FF
FR
FR
, also
G
FR = G ⋅ sin ϕ = mg ⋅ sin ϕ . (*)
Für den Zusammenhang zwischen dem Auslenkungswinkel ϕ und der Auslenkung s, also der Länge
des vom Pendelkörper zurückgelegten Kreisbogens, benötigen wir folgende Überlegung:
In einem Kreis mit dem Radius r gilt für einen Winkel ϕ im Bogenmaß und für die Länge s des
zugehörigen Kreisbogens:
ϕ
s
=
r
s
2π 2π r
ϕ
s
ϕ= .
r
Merke: Winkel im Bogenmaß =
Länge des Kreisbogens
Radius
Bemerkung: Als Sonderfall folgt die bekannte Tatsache, dass im Einheitskreis (also Radius 1) ein
Winkel im Bogenmaß gleich der Länge des zugehörigen Kreisbogens ist.
Setzt man diese Beziehung in die Gleichung (*) ein, dann erhält man für den Betrag der Rückstellkraft
s
FR = mg ⋅ sin .
l
Man rechnet (wie üblich) den Auslenkungswinkel ϕ entgegen dem Uhrzeigersinn positiv; dann
rechnet man auch die Auslenkung s in dieser Richtung positiv. Da die Rückstellkraft entgegengesetzt zur Auslenkung gerichtet ist, lautet das Kraftgesetz
s
FR = − mg ⋅ sin .
l
Dieses Kraftgesetz ist nicht linear; also führt ein Fadenpendel keine harmonische Schwingung aus.
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1
Für kleine Winkel ϕ (im Bogenmaß!) gilt
sin ϕ ≈ ϕ .
ϕ im Bogenmaß
ϕ
sin ϕ
1
Also gilt für kleine Auslenkungen näherungsweise das Kraftgesetz
s
mg
FR = −mg = −
⋅s.
l
l
Dieses angenäherte Kraftgesetz ist linear; also schwingt ein Fadenpendel bei kleinen Auslenkungen
näherungsweise harmonisch.
•
ii
Es ist F = m ⋅ a = m ⋅ v = m ⋅ s , und Gleichsetzen mit dem angenäherten Kraftgesetz ergibt (wie
üblich) die Differenzialgleichung
ii
mg
m⋅s = −
⋅s
l
ii
g
s = − ⋅s.
l
Diese Differenzialgleichung hat (wie üblich) die „allgemeine Lösung“
s ( t ) = s ⋅ sin (ω t + ϕ ) .
ii
Es ist s ( t ) = −ω 2 ⋅ sin (ω t + ϕ ) = −ω 2 ⋅ s ( t ) , und Einsetzen in die Differenzialgleichung ergibt
−ω 2 ⋅ s ( t ) = −
ω=
g
⋅ s (t )
l
g
.
l
Also ist die Periodendauer
T=
2π
ω
=
2π
= 2π
l
.
g
g
l
Ergebnis: Bei kleinen Auslenkungen schwingt ein Fadenpendel näherungsweise harmonisch mit der
Periodendauer
l
T = 2π
.
g
Für große Auslenkungen gilt dies nicht.
Für alle Winkel ϕ > 0 (im Bogenmaß!) gilt
sin ϕ < ϕ .
Also ist für große Auslenkungen der tatsächliche
Betrag mg ⋅ sin ϕ der Rückstellkraft kleiner als der
angenäherte Betrag mg ⋅ ϕ , so dass die tatsächliche
Periodendauer größer als 2π
l
ist.
g
1
ϕ im Bogenmaß
ϕ
1
ϕ
sin ϕ
1
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sin ϕ
1
ϕ
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Energiebetrachtung:
Die konstante Energie W des Fadenpendels
setzt sich zusammen aus kinetischer
Energie Wkin und Lageenergie WL . Legt
man (wie üblich) das Nullniveau der Lageenergie in den tiefsten Punkt, dann gilt in
der Gleichgewichtslage
1 2
W = Wkin = mv ,
2
und im Umkehrpunkt gilt
W = WL = mgh .
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Gleichgewichtslage:
m
Umkehrpunkt:
Nullniveau von WL
h
v
Aus dem Energieerhaltungssatz folgt
1 2
mv = mgh .
2
Dies gilt bei beliebigen Auslenkungen (ohne Verwendung einer Näherung).
Die Größen
• Auslenkungswinkel ϕ,
• Auslenkung s und
• Höhe h über dem tiefsten Punkt
rechnet man bei gegebener Pendellänge l (ohne Verwendung
einer Näherung) folgendermaßen um:
s
l
ϕ ↔ s:
ϕ=
ϕ ↔ h:
cos ϕ =
ϕ
l−h
h
l
s
(Winkel ϕ im Bogenmaß!)
l−h
l
Kraft auf den Faden:
Ist der Pendelkörper in Ruhe, dann ergibt die Zerlegung der Gewichtskraft (vgl. oben): Auf den
Faden wirkt die Kraft FF , für die gilt:
F
cos ϕ = F
G
FF = G ⋅ cos ϕ = mg ⋅ cos ϕ .
Bewegt sich der Pendelkörper, dann muss der Faden zusätzlich die Zentripetalkraft aufbringen, um
den Pendelkörper auf der Kreisbahn zu halten. (Im Bezugssystem des Pendelkörpers wirkt
zusätzlich die Zentrifugalkraft auf den Faden.) Also wirkt auf den Faden die Kraft
mv 2
F = FF + FZ = mg ⋅ cos ϕ +
.
l
Diese Kraft ist im tiefsten Punkt am größten.
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