Computergraphik Grundlagen

Computergraphik
Grundlagen
IV. Koordinatensysteme und
geometrische Transformationen
Prof. Stefan Schlechtweg
Hochschule Anhalt
Fachbereich Informatik
Inhalt – Lernziele
1.  Skalare Punkte und Vektoren
2.  Koordinatensysteme
  Kartesische Koordinaten
  Polarkoordinaten
  Sphärische Koordinaten
3.  Transformationen in 2D
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
5. 
6. 
7. 
Translation
Skalierung
Rotation
Homogene Koordinaten
Transformationsmatrizen
Inverse Transformationen
Zusammengesetzte Transformationen
Weitere Transformationen
Affine Abbildungen
Transformationen in 3D
Koordinatentransformationen
Planare Orojektionen
  Parallelprojektion
  Perspektivische Projektion
  Projektionsmatrizen
8.  Zusammenfassung
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das mathematische Grundgerüst für
Transformationen kennen
Verschiedene Koordinatensysteme
kennen und anwenden können,
Koordinaten zwischen den
Koordinatensystemen umrechnen können
Transformationen als eine Grundlage der
Computergraphik kennen und anwenden
können
Das Konzept der Homogenen
Koordinaten verstehen und beherrschen
Transformationsmatrizen in 2D kennen
und herleiten können
Transformationsmatrizen in 3D kennen
und anwenden können
Weitere Konzepte zu
Koordinatensystemen und
Transformationen überblicksartig
beherrschen
Charakteristika und Arten planarer
Projektionen kennenlernen
Mathematische Grundlagen planarer
Projektionen verstehen
2
1.  Skalare, Punkte, Vektoren
  Mathematisches Grundgerüst für viele
Anwendungen in der Computergraphik
–  Geometrische Modellierung in Koordinatensystemen
–  Rendering ist Transformationskette durch
Koordinatensysteme
–  Geometrische Modelle beschrieben durch Punkte und
Vektoren
–  Transformationen beschrieben durch Punkte,
Vektoren, Skalare, Matrizen
–  Animationen beschrieben durch Punkte, Vektoren,
Skalare, Matrizen
3
1.  Skalare, Punkte, Vektoren
  Skalare, Vektoren und Matrizen
–  Skalare – 0-dimensional
–  Vektoren – 1-dimensional, n Komponenten
–  Matrizen – 2-dimensional, n×m Elemente
  Zusammenhang:
–  Komponenten eines Vektors bzw. Elemente einer
Matrix sind Skalare.
–  Zeilen bzw. Spalten einer Matrix sind Vektoren.
  Warum Matrizen?
–  Beschreibung von Transformationen
(Transformationsmatrizen)
4
1.  Skalare, Punkte, Vektoren
  Skalare, Punkte und „Vektoren“ im 3D-Raum
–  Jeder Vektor (a,b,c) kann eindeutig in eine Linearkombination der
Elemente der Basis des Vektorraumes zerlegt werden:
–  (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)
z
c(0,0,1)
(a,b,c)
a(1,0,0)
b(0,1,0)
x
y
–  Skalare sind reelle Zahlen. Bei Transformationen repräsentieren sie z.B.
Drehwinkel und Skalierungsfaktoren.
5
1.  Skalare, Punkte, Vektoren
  Punkt-Vektor Rechenregeln
–  Punkt + Punkt = undefiniert
–  Vektor ± Vektor = Vektor
–  Punkt ± Vektor = Punkt
–  Punkt - Punkt = Vektor
–  Skalar · Vektor = Vektor
–  Skalar · Punkt = Punkt
6
1.  Skalare, Punkte, Vektoren
  Vektorraum: enthält Vektoren und Skalare. In einem Vektorraum
sind Operationen definiert, die Vektoren v und Skalare s verknüpfen.
Multiplikation: f(v × s) → v
Addition:
f(v1,v2) → v
  Affiner Raum ist ein Vektorraum, der um Punkte p erweitert wird.
Punkte können subtrahiert werden.
Subtraktion: f(p1, p2) → v
  Euklidischer Raum ist ein affiner Raum, in dem skalare Werte
quantifiziert werden, wobei das euklidische Abstandsmaß benutzt
wird. In der CG nutzen wir vorrangig euklidische Räume.
7
1.  Skalare, Punkte, Vektoren
  Implementierung:
–  Graphikbibliotheken enthalten oft vordefinierte
Strukturen bzw. Klassen für Punkte, Vektoren und
Matrizen.
–  Diese enthalten Methoden zum „Rechnen“ mit
Vektoren.
  Beispiele:
–  Überladen von Operatoren zur Addition, Subtraktion
–  Bestimmung von Kreuz- und Skalarprodukt
–  Bestimmung der Größe eines Vektors
8
2.  Koordinatensysteme
z
c(0,0,1)
(a,b,c)
a(1,0,0)
x
b(0,1,0)
y
Interpretation:
  Ein Vektor hat keine Position.
  Ausgehend von einem festen
Punkt (z.B. o) definiert ein Vektor
einen Punkt.
  Vektor (a,b,c) kann als Punkt im
Raum dargestellt werden, der
dem Endpunkt eines Vektors (a,
b, c) ausgehend vom
Koordinatenursprung (0,0,0)
entspricht.
  Äquivalentes gilt für
andersdimensionale Vektorräume
ℜn
9
2.  Koordinatensysteme
  Eine Menge (o, e1, e2, ..., en) bestehend aus einem
Punkt o ∈ An und der Basis (e1, e2, ...,en) von An heißt
Koordinatensystem.
  Für jeden Punkt p ∈ An ist
Ortsvektor von p
  Komponenten von v heißen Koordinaten bezüglich
(e1, e2, ..., en) d.h. p besitzt die Koordinaten
(x1, x2, ..., xn):
  Punkt o heißt Koordinatenursprung
10
2.  Koordinatensysteme
2.1. Kartesische Koordinaten
  zweidimensional
y
x
  dreidimensional
y
y
z
x
z
rechtshändiges
Koordinatensystem
x
linkshändiges
Koordinatensystem
X- Richtung des Daumens
Y- Zeigefinger
Z- Mittelfinger
Die beiden Koordinatensysteme sind spiegelbildlich
und nicht durch Drehung
ineinander zu überführen.
11
2.  Koordinatensysteme
2.2. Polarkoordinaten
  Punkte einer Ebene werden in Bezug auf einen
Ursprung und eine Richtung angegeben
  Umrechnung kartesische ↔ Polarkoordinaten
x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
Quelle: Wikipedia
12
2.  Koordinatensysteme
2.3. Sphärische Koordinaten
  Polarkoordinaten
erweitert um dritte
Dimension
  Position des Punktes
eindeutig bestimmt durch
einen Ursprung und zwei
Winkel
  Umrechnung:
Quelle: Wikipedia
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
z = r cos θ
13
3.  Transformationen in 2D
  Fragestellung:
–  Wie werden Bewegungen beschrieben?
–  Wie berechnet man die Position von Objekten nach
Bewegungen?
  Bewegungen = Transformationen
– 
– 
– 
– 
– 
Veränderung der Position von Punkten
Verschiebung
= Translation
Größenveränderungen = Skalierung
Drehung
= Rotation
Weitere affine Transformationen:
•  Spiegelung
•  Scherung
14
3.  Transformationen in 2D
3.1. Translation
(x‘,y‘)
  Punkt (x,y) wird auf gerader Linie
nach (x’, y’) verschoben.
  komponentenweise Addition von
Vektoren
dy
v’
= v+ t
(x,y)
dx
x’ = x + dx
y’ = y + dy
15
3.  Transformationen in 2D
3.1. Translation
  Komponentenweise Addition
Y
v’ = v + t
6
5
4
dx = 4
dy = 4
3
x’ = x + dx
y’ = y + dy
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
X
  Polygone verschieben: Eckpunkte
verschieben (Vektoren) und dann
Kanten dazwischen neu zeichnen
  erhält Länge ( isometrisch )
  erhält Winkel ( konformal )
16
3.  Transformationen in 2D
3.2. Skalierung
(x‘,y‘)
v’ =
S . v
x’ =
y’ =
Sx . x
Sy . y
  Zentrum der Skalierung ist o
  Uniforme Skalierung
Sx = Sy
(x,y)
o
  Nicht-uniforme Skalierung
Sx <> Sy
17
3.  Transformationen in 2D
3.2. Skalierung
Y
v’ =
S . v
x’ =
y’ =
Sx . x
Sy . y
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
(9,2)
(6,2)
(3,1)
(2,1)
5
6
Sx = 3
Sy = 2
7
8
9
10
X
  Längen werden nicht erhalten
  Winkel werden nicht erhalten
(nur bei uniformer Skalierung)
18
3.  Transformationen in 2D
3.3. Rotation
(x‘,y‘)
(x,y)
  Rotationszentrum ist o.
  Punkt (x,y) wird um den
Winkel θ um o gedreht, so
dass sich der Punkt (x‘,y‘)
ergibt.
  Positive Werte von θ
ergeben eine Drehung
entgegen dem
Uhrzeigersinn.
θ
o
19
3.  Transformationen in 2D
3.3. Rotation
  Herleitung der Berechnungsvorschrift:
Entfernung r vom Ursprung zu (x,y) bzw. (x‘,y‘) bleibt
unverändert. Nutzung von Additionstheoremen für
Winkelfunktionen.
(I) x = r cos φ (II) y = r sin
y
(III) x’
(x‘,y‘)
φ
= r cos (θ + φ )
= r cos φ cos θ - r sin
φ sinθ
(IV) y’ = r sin (θ + φ )
= r cos φ sin θ + r sin φ cosθ
(I) in (III) und (IV) sowie
(II) in (III) und (IV) einsetzen:
r
θ
r
φ
r cos(θ + φ)
(x,y)
r cosφ
x
x’ = x cosθ – y sinθ
y’ = x sinθ + y cosθ
20
3.  Transformationen in 2D
3.3. Rotation
v’ =
Y
Rθ . v
6
5
4
3
x’ = x cosθ – y sinθ
y’ = x sinθ + y cosθ
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
  Rotationen um negative Winkel
erfolgen mit dem Uhrzeigersinn
  ausnutzen: cos(-θ) = cos(θ) und
sin(-θ) = -sin(θ)
  Längen und Winkel werden
erhalten
21
3.  Transformationen in 2D
3.3. Rotation
  Was, wenn Objekt nicht im Ursprung liegt?
  Lösung: in den Ursprung verschieben, rotieren, zurück verschieben.
  Skalierung erfordert ähnliche Behandlung, da außerhalb des
Ursprungs zusätzlich eine Translation erfolgt
22
3.  Transformationen in 2D
3.4. Homogene Koordinaten
  Translation: v’ = v + t
  Skalierung: v’ = S v
  Rotation:
v’ = Rθ v
  Zusammenfassung schwierig auszudrücken, da
Translation keine Matrixmultiplikation
  Schwierig bei zusammengesetzten Transformationen!
  Einheitliche Repräsentation von Transformationen
gesucht → Homogene Koordinaten
23
3.  Transformationen in 2D
3.4. Homogene Koordinaten
  Ein Koordinatensystem wird in ein homogenes Koordinatensystem
überführt, indem eine zusätzliche Dimension eingeführt wird: n →
n+1 Dimensionen.
  Ein Punkt (x, y) wird in homogenen Koordinaten durch das Tripel
(x·w, y·w, w) repräsentiert, mit w≠0.
  Normalisierte Darstellung: w = 1 ⇒ (x, y, 1)
  Jeder Punkt hat unendlich viele äquivalente Repräsentationen in
homogenen Koordinaten.
  Achtung: Homogene Koordinaten von 2D-Punkten nicht mit
„normalen“ 3D-Koordinaten verwechseln!
24
3.  Transformationen in 2D
3.4. Homogene Koordinaten
  Veranschaulichung in 2D
–  Punkt P=(x,y) wird erweitert zu P‘=(x,y,1)
–  Homogene Koordinaten von P ergeben Gerade in „3D“, da alle
Punkte P‘=(x,y,w) den gleichen Punkt P in 2D repräsentieren
w
P‘‘
w=1
P
‘
P
y
x
25
3.  Transformationen in 2D
3.4. Homogene Koordinaten
  Vorteile:
–  Repräsentation aller Punkte in homogenen Koordinaten ermöglicht
einheitliche Behandlung der Transformationen
  Fragen:
?
–  Was steht für das Fragezeichen?
–  Welche Operation ist * ?
  Antwort:
–  Transformationen werden als Matrizen repräsentiert
–  Verknüpfung durch Multiplikation
26
3.  Transformationen in 2D
3.5. Transformationsmatrizen
  Translation
–  Vorher: Addition eines Vektors
–  Jetzt:
Multiplikation mit einer Translationsmatrix
  Skalierung
–  Vorher: komponentenweise Multiplikation mit
Skalierungsfaktoren
–  Jetzt:
Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix
27
3.  Transformationen in 2D
3.5. Transformationsmatrizen
  Rotation
–  Vorher:
–  Jetzt:
komplexe Gleichung oder Matrixmultiplikation
Multiplikation mit einer Rotationsmatrix
  Allgemeine 2D-Transformationsmatrix
Skalierung
Rotation
Translation
28
3.  Transformationen in 2D
3.6. Inverse Transformationen
  Inverse Transformationen:
–  Frage: Wie macht man Transformationen rückgängig (was sind die
inversen Transformationen)?
–  Bsp.: Benutzer betätigt Undo-Taste
–  Für elementare Transformationen einfach:
•  Translation:
Verschiebung um den negativen
Verschiebungsvektor T-1(dx,
dy) = T(-dx, -dy)
•  Skalierung:
Skalierung mit dem reziproken
Skalierungsfaktor S-1( θ) = S
(1/ θ)
•  Rotation:
Rotation um den negativen Rotationswinkel.
Da aber Rotationsmatrizen orthogonal sind,
gilt R-1 = RT.
29
3.  Transformationen in 2D
3.7. Zusammengesetzte Transformationen
  Nacheinanderausführung zweier Translationen
⇒
–  Translation ist additiv, d.h. Ergebnis ist eine Verschiebung um
die Summe beider Vektoren
  Nacheinanderausführung zweier Skalierungen
⇒
–  Skalierung ist multiplikativ, d.h. Ergebnis ist eine Skalierung um
das Produkt der beiden Faktoren.
30
3.  Transformationen in 2D
3.7. Zusammengesetzte Transformationen
  Nacheinanderausführung zweier Rotationen
–  Rotation ist additiv.
  Allgemein: Homogene Koordinaten
–  Ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller
geometrischen Transformationen
  Schreibweise
–  Transformationen werden in der Reihenfolge T1, T2, ..., Tn
ausgeführt ⇒ P‘=Tn·...·T2·T1·P
31
3.  Transformationen in 2D
3.7. Zusammengesetzte Transformationen
  Zusammensetzen von Transformationen
–  Rotation eines Punktes um einen beliebigen Punkt P1 in der
Ebene
–  Ausführung in drei Schritten
1.  Translation, so dass P1 im Ursprung liegt
2.  Rotation um den Ursprung
3.  Rück-Translation von P1
P1
P1
32
3.  Transformationen in 2D
3.7. Zusammengesetzte Transformationen
  Zerlegung von komplizierten Transformationen in
elementare Transformationen
  Repräsentation der Gesamt-Transformation durch
eine Matrix möglich
33
3.  Transformationen in 2D
3.7. Zusammengesetzte Transformationen
  Aber: Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ!
  Das bedeutet: Reihenfolge der Transformationen ist
ausschlaggebend für das Ergebnis
  also: Tn...T2T1P ≠ T1T2...TnP ≠ T2Tn...T1P wenn die Ti
voneinander verschiedene Transformationen sind
  Allerdings in einigen Fällen besteht Kommutativität:
–  Nacheinanderausführung von Translationen
–  Nacheinanderausführung von Skalierungen
–  Nacheinanderausführung von Rotationen
34
3.  Transformationen in 2D
3.8. Weitere Transformationen
  Spiegelung
–  an der x-Achse
–  an der y-Achse
–  wird implementiert als
Skalierung mit dem
Faktor -1
35
3.  Transformationen in 2D
3.8. Weitere Transformationen
  Scherung
–  Versatz parallel zur xAchse, proportional zur yPosition (bzw. umgekehrt)
–  in x-Richtung
a=1, y=4
(x,y)
(x‘,y‘)
–  in y-Richtung
a=1, y=1
36
4.  Affine Abbildungen
  Jede Sequenz von Rotation, Translation und Skalierung erhält die
Parallelität von Linien, aber nicht Längen und Winkel.
  Solche Transformationen heißen affine Transformationen / Abbildungen.
  Eine affine Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen (oder
affinen Räumen), die Kollinearitäten (Bilder von Punkten, die auf einer
Geraden liegen, liegen wieder auf einer Geraden) und
Abstandsverhältnisse paralleler Strecken bewahrt.
  mathematisch ausgedrückt:
Eine Abbildung Φ: ℜ³ → ℜ³ heißt affin, falls
für alle λi∈ℜ mit Σλi=1
  Die affinen Abbildungen umfassen alle linearen Abbildungen (z. B.
Rotation, Skalierung, Scherung) und ergänzen diese um die Translationen.
37
4.  Affine Abbildungen
  Affine Abbildungen sind:
–  Geradentreu.
Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade.
–  Parallelentreu.
Parallele Geraden haben parallele Bildgeraden.
–  Teilverhältnistreu. Dem Teilverhältnis auf einer Geraden entspricht das Teilverhältnis
auf der Bildgeraden.
–  Bsp: Wenn Punkt C Strecke AB im Verhältnis 1:2 teilt, dann liegt C´auf A´B´und teilt
A´B´im gleichen Verhältnis.
  Affine Abbildungen sind:
–  nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen
–  Bsp: Wenn ein Punkt D das Dreieck ABC in drei gleich große Dreiecke ABD, ACD
und BCD teilt, dann ist das Verhältnis der Flächen von A´B´D´zu A´C´D´zu B´C´D´im
allgemeinen nicht 1:1:1.
C
–  nicht längentreu
–  nicht winkeltreu
D
–  nicht flächentreu.
A
B
38
4.  Affine Abbildungen
  Jede affine Abbildung läßt sich in homogenen
Koordinaten mit einer Matrix darstellen:
  Transformationsmatrizen als Werkzeug in der
Computergraphik
39
5.  Transformationen in 3D
  Vorgehensweise gleich zu 2D
  Repräsentation in homogenen Koordinaten (4D)
  Transformationsmatrizen demzufolge 4×4-Matrizen
40
5.  Transformationen in 3D
  Translation
–  Addition eines Translationsvektors bzw. Multiplikation mit einer
Translationsmatrix
  Skalierung
–  Multiplikation mit Skalierungsfaktoren bzw. Multiplikation mit
einer Skalierungsmatrix
uniforme Skalierung,
wenn sx=sy=sz, sonst
Nicht-uniforme Skalierung
41
5.  Transformationen in 3D
  Rotation
–  Rotationen um die verschiedenen Koordinatenachsen
müssen betrachtet werden.
–  3 verschiedene Rotationsmatrizen (Rotation um positive
Winkel in rechtshändigem Koordinatensystem)
–  Achse, um die gedreht wird, bleibt „Einheitsvektor“ in der
Matrix
42
5.  Transformationen in 3D
  Warum unterschiedliche Vorzeichen bei den Winkeln (Sinus)?
y
x
x
z
z
rechtshändiges
Koordinatensystem
  gegenüber der 2D-Herleitung:
Spiegelung an der x-Achse
  → (x, -y) ⇒ (sin θ = - sin (- θ ), cos (- θ) = cos θ
43
5.  Transformationen in 3D
  Überführung rechtshändiges in linkshändiges
Koordinatensystem (Spiegelung)
44
5.  Transformationen in 3D
  Zusammensetzen von Transformationen
–  auch über Multiplikation der Matrizen
–  generelle Transformationsmatrix in 3D
Skalierung
Rotation
Translation
45
6.  Koordinatentransformationen
 
 
 
Bisher: Transformation von Punkten in neue Punkte bei konstantem
Koordinatensystem („geometrische Transformationen“)
Äquivalente Sichtweise: Wechsel des Koordinatensystems bei konstanten
geometrischen Objekten („Koordinatentransfor-mationen“)
Allgemein gilt:
–  Geometrische Transformationen und entsprechende Koordinatentransformationen sind
invers zueinander!
M21
Quelle: Stefanie Schraufstetter, TU München
46
7.  Planare Projektionen
A painting [the projection plane] is the intersection of a visual pyramid
[view volume] at a given distance, with a fixed center [center of
projection] and a defined position of light, represented by art with lines
and colors on a given surface [the rendering]. (Alberti, 1435)
Hans Vredemann de Vries:
Perspektiv 1604
47
7.  Planare Projektionen
  Albrecht Dürer: Der Zeichner der Laute
48
7.  Planare Projektionen
  Planare Projektionen:
–  Projektionsstrahlen sind Geraden
–  Gerade Linien werden auf gerade Linien abgebildet (es
entstehen keine Krümmungen).
–  Projektionsfläche ist eine Ebene.
49
7.  Planare Projektionen
  Wichtige Begriffe und Abkürzungen:
–  Parallelprojektion ist charakterisiert durch die Richtung der
Projektion (direction of projection, dop)
–  Perspektivische Projektion ist charakterisiert durch das
Projektionszentrum (center of projection, cop)
–  Ebene auf die das Bild projiziert wird: Sichtebene (view plane).
–  Vektor, der senkrecht zur Projektionsebene steht: Normale der
Sichtebene (view plane normal, vpn).
–  Strahlen, die die Projektion charakterisieren: Projektoren. Bei
perspektivischer Projektion gehen sie vom cop aus und
divergieren; bei der Parallelprojektion sind sie parallel.
50
7.  Planare Projektionen
  3D nach 2D
  Wesentliche Klassen von geometrische Projektionen
–  Perspektivische (Center of Projection, COP)
–  Parallele (Projektionsrichtung, DOP)
Quelle: Foley, van Dam, Feiner, Hughes 1990
51
7.  Planare Projektionen
rechtwinklig
Tafelprojektion
Grundriss
axonometrisch
isometrisch
Aufriss
dimetrisch
Seite
trimetrisch
schief
Kavalier
Kabinett
ein Fluchtpunkt
zwei Fluchtpunkte
drei Fluchtpunkte
.....
52
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
  Parallelprojektion
–  Projektionszentrum liegt im
Unendlichen → Projektionsstrahlen verlaufen parallel
–  Keine perspektivische
Verkürzung
–  Parallele Linien bleiben parallel.
–  Unterschiede: Winkel zwischen vpn und dop sowie Winkel zwischen dop
und den Koordinatenachsen
–  Typische Anwendungen:
•  Darstellung von architektonischen Modellen (Gebäuden), die im wesentlichen
durch rechtwinklige Bestandteile charakterisiert sind
•  Darstellung medizinischer Daten
53
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
7.1.1. Rechtwinklige Projektionen
  Seitenansicht, Vorderansicht, Draufsicht
  Tafelprojektionen: Rechtwinklige Parallelprojektion, bei der
Sichtebene parallel zu einer Koordinatenachse ist.
54
7.  Planare Projektionen
7.1 Parallelprojektionen
7.1.2. Axonometrische Projektionen
 
Isometrisch:
–  Winkel zwischen den drei Hauptachsen gleich (120º).
–  Längenverkürzung
 
Dimetrisch:
–  Winkel zwischen zwei der Hauptachsen gleich
 
Trimetrisch:
–  Winkel zwischen den Hauptachsen jeweils
unterschiedlich
55
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
7.1.3. Isometrische Projektion
z
120 º
y
120 º
120 º
x
120 º
120 º
120 º
  iso-metric (griechisch für „gleiches maß“)
–  gleiche Verkürzung aller drei Hauptachsen
–  gleiche Winkel (120º) zwischen den Projektionen der Achsen
  Projektionsebene schneidet jede Hauptachse in 45°
56
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
7.1.3. Isometrische Projektion
Age of Empires II ©Microsoft Corporation
57
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
7.1.4. Schräge (schiefe) Parallelprojektion
  Projektionsstrahlen nicht
senkrecht zur Bildebene
  Typen: Kavalierperspektive,
Kabinettperspektive
58
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
7.1.4. Schräge Parallelprojektion
  Kavalier: Winkel zwischen Projektoren und Projektionsebene:
45°. Keine Längenverkürzung.
Quelle: Foley, van Dam, Feiner,
Hughes ´90
  Kabinett: Winkel zwischen Projektoren und Projektionsebene :
arctan(2) = 63.4º. Verkürzung um 50%.
Quelle: Foley, van Dam, Feiner,
Hughes ´90
59
7.  Planare Projektionen
7.1. Parallelprojektionen
7.1.4. Schräge Parallelprojektion
Rechtwinklige Projektion
Kavalierperspektive
Kabinettperspektive
60
Rechtwinklig
– VPN || einer Hauptkoordinatenachse
–  DOP || VPN
–  zeigt eine Fläche, korrekte Abmessungen
(DOP = Direction of Projection, VPN = View Plane Normal)
Axonometrisch
– VPN || einer Hauptkoordinatenachse
– DOP || VPN
– zeigt mehrere Flächen, keine exakt, einheitliche
Verkürzung (parallele Linien erhalten, Winkel nicht)
Schräg
– VPN || einer Hauptkoordinatenachse
– DOP || VPN
– zeigt mehrere Flächen, eine korrekt,
andere einheitlich verkürzt
61
7.  Planare Projektionen
7.2. Perspektivische Projektion
Quelle: Baugemeinsachft Passiv+
  Betrachter im COP
  Näher an der visuellen Wahrnehmung als
Parallelprojektion
  Unterteilung nach der Anzahl der Fluchtpunkte
(Schnittpunkte parallerer Geraden in x-, y- und zRichtung).
–  1, 2, 3
Quelle: Angel (2000)
62
7.  Planare Projektionen
7.2. Perspektivische Projektion
63
7.  Planare Projektionen
7.2. Perspektivische Projektion
 
1-Punkt-Perspektive:
–  Die Projektionsebene schneidet nur
eine der 3
Koordinatenachsen
 
2-Punkt-Perspektive:
–  Die Projektionsebene schneidet
zwei der 3
Koordinatenachsen
 
3-Punkt-Perspektive:
–  Die Projektionsebene schneidet alle
drei
Koordinatenachsen
64
7.  Planare Projektionen
7.2. Perspektivische Projektion
  Sichtebene in Relation zu den Koordinatenachsen
Quelle: M . Haller, FH Hagenberg, (2002)
65
7.  Planare Projektionen
7.2. Perspektivische Projektion
  Eigenschaften:
–  Bei allen Arten perspektivische Verkürzung
–  Parallelität von Linien und Winkel werden im
allgemeinen nicht erhalten.
–  Unterschiedliche Anzahl der Fluchtpunkte resultiert
aus dem Winkel zwischen Sichtebene und den
Ebenen aus je zwei Koordinatenachsen.
–  3 Fluchtpunkte, wenn die Projektionsebene alle
Ebenen (xy, xz und yz) schneidet. 1 Fluchtpunkt,
wenn Sichtebene parallel zu einer der drei Ebenen.
66
7.  Planare Projektionen
7.3. Projektionsmatrizen
7.3.1. Perspektivische Projektion
  Herleitung der
Transformationsmatrix für die
Zentralprojektion für folgendes
Beispiel:
–  Projektionszentrum liegt im
Ursprung
–  Projektionsebene ist die Ebene z
=d
–  aus der Ähnlichkeit der Dreiecke
(0,0,0), (x,0,z),(x‘,0,d) und (0,0,0),
(0,y,z),(0,y‘,d) ergibt sich für x‘:
–  und analog für y‘:
67
7.  Planare Projektionen
7.3. Projektionsmatrizen
7.3.1. Perspektivische Projektion
68
7.  Planare Projektionen
7.3. Projektionsmatrizen
7.3.1. Perspektivische Projektion
  Herleitung der
Transformationsmatrix für die
Zentralprojektion für folgendes
Beispiel:
–  Projektionszentrum liegt im Punkt
(0,0,-d)
–  Projektionsebene ist die Ebene z
=0
69
7.  Planare Projektionen
7.3. Projektionsmatrizen
7.3.2. Parallelprojektion
  Wie sieht die Projektionsmatrix für die
Parallelprojektion aus?
–  Projektionsrichtung: (0,0,-1)
–  Projektionsebene: z = 0
–  d.h. perspektivische Projektion auf z=0 mit
–  Projektionszentrum (0,0,-d) und „d = ∞“
70
8.  Zusammenfassung
  Geometrische Transformationen sind lineare
Abbildungen vom ℜn in den ℜn
–  für uns von besonderem Interesse ℜ2 → ℜ2 und ℜ3 → ℜ3
  Für Computergraphik relevant:
– 
– 
– 
– 
Translation
Skalierung
Rotation
Scherung, Spiegelung
  Einheitliche Behandlung der Transformationen durch
Übergang zu homogenen Koordinaten und zur
Darstellung der Transformationen durch Matrizen
71
8.  Zusammenfassung
  Zusammengesetzte Transformationen durch
Hintereinanderausführen von elementaren
Transformationen, entspricht Multiplikation der Matrizen.
  Transformation der Objekte oder des Koordinatensystems
  Verschiedene Arten von Projektionen entsprechend des
Darstellungsziels
  Projektionen lassen sich ebenfalls durch homogene
Transformationsmatrizen repräsentieren
72
Video: Geri‘s Game
  Ziel: Realistische Animation
menschlicher Körper und
Bekleidung
  Erstmalig Einsatz von
Subdivision Surfaces zur
Modellierung für Animationen
–  Spezielle Art der Polygonnetze
–  Computergraphik II
  Academy Award for Best
Animated Short Film 1998
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