Lösungen zur 9. Übung - an der Universität Duisburg

Universität
DUISBURG
ESSEN
PD Dr. L. Strüngmann
———
Dipl.-Math. S. Friedenberg
Campus Essen, Mathematik
SS 09
Übungsmaterial sowie andere Informationen zur Veranstaltung unter:
http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml
Lösungen zur 9. Übung zur Vorlesung GRUNDLAGEN
DER ANALYSIS für LGr/LHRGe
Aufgabe 33 Es ist tan(x) =
sin(x)
cos(x)
für x ∈ [0; Π2 ]. Also folgt:
tan(x)
tan(x)
tan(x)
tan(x)
q
q
=q
=
=
=
sin2 (x)
cos2 (x)+sin2 (x)
1
1 + tan2 (x)
1 + cos2 (x)
cos2 (x)
cos2 (x)
p
=
tan(x)
1
cos(x)
= sin(x).
Für Teil b folgern wir
sin(x)
+ sin(y)
tan(x) + tan(y)
cos(x)
cos(y)
=
=
sin(x)sin(y)
1 − tan(x)tan(y)
1 − sin(y)cos(y)
=
sin(x)co(y)+sin(y)cos(x)
cos(x)cos(y)
cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y)
cos(x)cos(y)
=
sin(x + y)
sin(x)cos(y) + sin(y)cos(x)
=
= tan(x + y)
cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y)
cos(x + y)
nach den Additionstheoremen. Teil c folgt aus
cos(2x) = cos(x + x) = cos2 (x) − sin2 (x) =
sin2 (x)
cos2 (x)
1
cos2 (x)
1−
=
1−
=
1+
sin2 (x)
cos2 (x)
sin2 (x)
cos2 (x)
=
1 − tan2 (x)
1 + tan2 (x)
Aufgabe 34 Wir benutzen die bekannten Rechenregeln für Logarithmen. Es ist
log4 (x2 + 2x − 8) = log2 (x)
⇐⇒
ln(x2 + 2x − 8)
ln(x)
=
ln(4)
ln(2)
⇐⇒
ln(x2 + 2x − 8)
2ln(x)
=
2ln(2)
2ln(2)
1
⇐⇒ ln(x2 + 2x − 8) = ln(x2 )
⇐⇒ x2 + 2x − 8 = x2
⇐⇒ x = 4
Bei Teil b substituieren wir z = lg(x − 90) und erhalten als Gleichung
3z 2 − 6z = −3
woraus z = 1 folgt. Es ist 1 = lg(x − 90) genau dann wenn 10 = x − 90 ist, also
x = 100.
Teil c folgt nun aus
x1+lg(x) = 102
⇐⇒ lg(1 + x1+lg(x) ) = 2
⇐⇒ (1 + lg(x))lg(x) = 2
⇐⇒ lg 2 (x) + lg(x) = 2.
Substitution z = lg(x) liefert z 2 + z − 2 = 0 und somit z = −2 oder z = 1. Nun ist
lg(x) = 1, falls x = 10 ist und lg(x) = −2, falls x =
1
.
100
Aufgabe 35 Eine einfache Rechnung zeigt, dass das Kind −9 Monate alt ist.
Aufgabe 36 Wir müssen berechnen, wie weit das Auto gefahren ist. Benennen
wir diesen Weg mit t, so folgt, dass die Geschwindigkeit gerade
s
t
ist, wobei s die
benötigte Zeit ist. Aus den Daten erhalten wir also ein Dreieck mit Seiten t, 15 und
25 und dem eingeschlossenen Winkel von 60 Grad. Aus dem Cosinussatz folgt nun
t2 = 152 + 252 − 2 ∗ 15 ∗ 25 ∗ cos(60)
2
und somit t =
p
152 + 252 − 30 ∗ 25 ∗ cos(60). Wir wollen uns noch überlegen,
warum der Cosinussatz gilt:
Wir fällen das Lot h vom Startpunkt des Autos auf die Seite der Länge 25. Vom
Radar aus teilt dieses Lot also die Seite mit Länge 25 in die Stücke x und y. Dann
gilt
x = cos(60) ∗ 15 und h = sin(6) ∗ 15
sowie
h2 + y 2 = t2
Folglich gilt
y = 25 − x = 25 − cos(60) ∗ 15
und somit
h2 + y 2 = sin2 (60) ∗ 152 + (25 − cos(60) ∗ 15)2 =
= sin2 (60) ∗ 152 + 252 − 2 ∗ 25 ∗ 15 ∗ cos(60) + cos2 (60) ∗ 152 =
= 152 + 252 − 2 ∗ 15 ∗ 25 ∗ cos(60) = t2 .
3