Präsenzübung 1. Komplexe Zahlen 2. Eigenwerte und Eigenvektoren
Werbung
Institut für Theoretische Physik der Universität zu Köln — SS 2016 Prof. Dr. Joachim Krug Dr. Stefan Nowak Theoretische Physik in 2 Semestern II Präsenzübung http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/ 1. Komplexe Zahlen a) Bringen Sie folgende Ausdrücke eπi/4 (4 + 2i)(3 + 3i) 4 + 2i 3 + 3i ii in die Form a + ib (wobei a, b ∈ R) und berechnen Sie die Beträge. b) Bestimmen sie die Lösungsmenge von z 2 − 4z + 5 = 0. c) Verwenden Sie die Eulersche Formel exp(ix) = cos(x) + i sin(x) um die Additiontheoreme sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) und cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) herzuleiten. Hinweis: Auch für komplexe Zahlen x und y gilt die Rechenregel exp(x+y) = exp(x) exp(y). 2. Eigenwerte und Eigenvektoren Sei M eine n × n-Matrix. Eine Zahl λ ∈ C heißt “Eigenwert” von M, wenn es ein ~v ∈ Cn (mit ~v = 6 ~0) gibt, sodass M~v = λ~v . Der Vektor ~v heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ. a) Zeigen Sie, dass λ genau dann ein Eigenwert von M ist, wenn det(M − λ1) = 0 gilt (1 ist die Einheitsmatrix). b) Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen: 2 0 1 −1 A= B= 1 −1 2 −1 c) Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren von A und B. d) Das Konzept lässt sich auch auf andere Vektorräume als den Cn übertragen. In der Quantenmechanik sind dies insbesondere Funktionenräume. Können Sie z.B. Eigenwerte und Eigend vektoren (bzw. Eigenfunktionen) zum Differentialoperator dx finden, also eine Funktion f d mit dx f (x) = λf (x) für alle x?
