Präsenzübung 1. Komplexe Zahlen 2. Eigenwerte und Eigenvektoren

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Institut für Theoretische Physik
der Universität zu Köln — SS 2016
Prof. Dr. Joachim Krug
Dr. Stefan Nowak
Theoretische Physik in 2 Semestern II
Präsenzübung
http://www.thp.uni-koeln.de/~sn/ss16/
1. Komplexe Zahlen
a) Bringen Sie folgende Ausdrücke
eπi/4
(4 + 2i)(3 + 3i)
4 + 2i
3 + 3i
ii
in die Form a + ib (wobei a, b ∈ R) und berechnen Sie die Beträge.
b) Bestimmen sie die Lösungsmenge von z 2 − 4z + 5 = 0.
c) Verwenden Sie die Eulersche Formel
exp(ix) = cos(x) + i sin(x)
um die Additiontheoreme
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
und
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
herzuleiten.
Hinweis: Auch für komplexe Zahlen x und y gilt die Rechenregel exp(x+y) = exp(x) exp(y).
2. Eigenwerte und Eigenvektoren
Sei M eine n × n-Matrix. Eine Zahl λ ∈ C heißt “Eigenwert” von M, wenn es ein ~v ∈ Cn
(mit
~v =
6 ~0) gibt, sodass M~v = λ~v . Der Vektor ~v heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ.
a) Zeigen Sie, dass λ genau dann ein Eigenwert von M ist, wenn det(M − λ1) = 0 gilt (1 ist
die Einheitsmatrix).
b) Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen:
2 0
1 −1
A=
B=
1 −1
2 −1
c) Berechnen Sie die zugehörigen Eigenvektoren von A und B.
d) Das Konzept lässt sich auch auf andere Vektorräume als den Cn übertragen. In der Quantenmechanik sind dies insbesondere Funktionenräume. Können Sie z.B. Eigenwerte und Eigend
vektoren (bzw. Eigenfunktionen) zum Differentialoperator dx
finden, also eine Funktion f
d
mit dx f (x) = λf (x) für alle x?
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