Lösungsansätze

Aufgabensammlung zur Übung
„Einführung in die Mikroökonomik II:“
Lösungsansätze
(für Studierende der Politik-, der Regionalund der Verwaltungswissenschaften
sowie des Lehramtes Politische Bildung)
Allgemeiner Hinweis:
Auf den nachfolgenden Blättern werden Lösungsansätze für einen Teil der bezeichneten Sammlung
von Übungsaufgaben skizziert. Diese Skizzen sollen die Mitarbeit in der Übung (bzw. deren Vorund Nachbereitung) erleichtern – mehr nicht!
Dipl.-Volksw. Albrecht Kauffmann
Karl-Marx-Str. 67
Zimmernr.: 203
Tel.: (0331) 977-4671
[email protected]
Aufgabe 1)
Welche Annahmen konstituieren die Marktform
„Vollkommene Konkurrenz“?
•
Atomistische Marktstruktur (Mengenanpasser,
Preisnehmer)
•
Homogener Markt – genau ein Preis:
− Homogenes Gut (Sachlich, physikalisch
gleichartig)
− Keine persönlichen Präferenzen zwischen
Akteuren
− Keine räumliche Preisdiskriminierung (nur
Transportkosten)
− Keine zeitliche Preisdiskriminierung
− Vollständige Markttransparenz (vollständige
Information für alle)
1–1
Aufgabe 2)
Das Angebot und die Nachfrage auf einem Markt
seien beschrieben durch die Funktionen
xA(p) = ap − b
und xN (p) = m − np.
Die Koeffizientenwerte seien
a = 100,
b = 200,
m = 1000,
n = 100.
Ermitteln Sie bitte den Preis, die Menge, den
Marktumsatz und die Preiselastizität der Nachfrage im Marktgleichgewicht.
2–1
Algebraische Lösung:
Preis und Menge:
xA := xN := x∗
ap∗ − b = m − np∗
(a + n)p∗ = m + b
m+b
p =
a+n
∗
p∗ =
1000 + 200
100 + 100
p∗ = 6
x∗ = 400
2–2
Graphische Lösung:
p
m
n
p∗ = 6
E
b
a
−b
0
x∗ = 400
m
x
2–3
Umsatz (Erlös) E:
E = x∗p∗ = 2400
Preiselastizität εx,p:
εx,p
dx p
p∗
=
= −n ∗
dp x
x
εx,p =
−100 ∗ 6
400
εx,p = −1.5
Der Gleichgewichtspunkt befindet sich im elastischen Bereich der Nachfragefunktion.
2–4
Aufgabe 3)
Auf einem Markt mögen die Angebots- und Nachfragefunktionen
xA(p) = ap − bl
und xN (p) = mB − np
gelten. a, b, m und n sind positive Funktionsparameter.
a) Wie ändert sich der Gleichgewichtspreis und
die Gleichgewichtsmenge, wenn entweder der
Lohnsatz l bei den Unternehmen oder die
Kaufkraft B bei den Haushalten steigt?
Argumentieren Sie bitte graphisch.
3–1
Ausgangslage:
p
mB
n
p∗
bl
a
−bl
0
x∗
mB
x
3–2
Erhöhung des Lohnsatzes um ∆l:
)
b
a ∆l
p
mB
n
E1
p∗1
p∗0
E
bl
a
| {z }
−bl
−b∆l
0
x∗1
x∗0
mB
x
3–3
Erhöhung der Kaufkraft umd ∆B:
p
mB
n
E1
p∗1
p∗0
E
)
m
n ∆B
bl
a
−bl
z m∆B
}| {
0
x∗0
x∗1
mB
x
3–4
b) Die Koeffizientenwerte seien
a = 100,
b = 50,
l = 4,
m = 2,
n = 100,
B = 500.
Existiert bei der genannten Konstellation ein
Marktgleichgewicht? Wenn ja: Welches sind
Gleichgewichtspreis und -menge?
Lösung:
xA := xN := x∗
100p∗ − 200 = 2 ∗ 500 − 100p∗
200p∗ = 1200
p∗ = 6
x∗ = 400
3–5
c) Welches ist der höchste Wert von l, bei dem
gerade noch ein Gleichgewicht existiert?
Lösung:
mB
bl
≥
n
a
50l
1000
≥
100
100
10 ≥ 0.5l
l ≤ 20
3–6
Aufgabe 4)
Zeigen Sie bitte graphisch, in welchen Fällen kein
(eindeutiges) Marktgleichgewicht existiert. Nennen
Sie zu diesen Möglichkeiten Beispiele.
Ausgangspunkt: Stabiles Gleichgewicht (normales
Gut, positive Preise und Mengen)
a) Angebotsüberschuß infolge Preisanstiegs: nach
Reaktion der Unternehmen geht überschüssiges
Angebot zurück
p
XA
∆X A
p > p∗
p∗ > 0
E
XN
0
x∗ > 0
x
4–1
b) Nachfrageüberschuß infolge Preisrückgangs:
nach Reaktion der Unternehmen Ausgleich von
Angebot und Nachfrage
p
XA
p∗ > 0
E
p < p∗
∆X N
XN
0
x∗ > 0
x
4–2
Kein Gleichgewicht bei positiver Menge:
p
XA
XN
x
Beispiele:
•
•
veraltete Technologien
Produktinnovationen mit hohen Fixkosten und
unsicherem Absatz
Kein Gleichgewicht bei positivem Preis
p
XN
XA
x
z.B. Freie Güter (Luft, Meerwasser)
4–3
Instabiles Gleichgewicht bei anomaler, flacher
Nachfragefunktion:
p
XA
XN
p∗
x
Ist eine anomale Nachfragefunktion steiler als die
Angebotsfunktion, stellt sich ein Gleichgewicht ein:
p
p∗
XN
XA
x
Für ein durchgängig anomales Preis-NachfrageVerhalten dürften sich in der Praxis keine Beispiele
finden lassen.
4–4
Empirisch bedeutsam: Multiple Gleichgewichte bei
S-förmiger Preis-Absatz-Funktion
p
XN
XA
p3
E3
E2
p1
E1
x1
x3
x
E1 und E3 sind stabile Gleichgewichte, E2 ist
instabil.
4–5
Aufgabe 5)
geg.:
ges.:
Marktnachfrage: X N (p) = m − np
Unternehmen i = 1 . . . I mit identischer
Produktionstechnik
ident. Kostenfkt.: Ki(xi) = cx2i + F
Bedingungen vollkommener Konkurrenz
seien auf dem X-Markt erfüllt
a) Gleichgewichtspreis p∗
b) Bei Verdoppelung der Anbieterzahl: p∗|i=1...2I
Lösung:
1. Angebotsfunktion der Firma i:
Preis = Grenzkosten
dKi
= 2cxi = p
dxi
xA
i
p
=
2c
XA =
I
X
xA
i = Ixi
i=1
XA =
I
p
2c
5–1
2. Marktgleichgewichtspreis p∗:
X A := X N := X ∗
I ∗
p = m − np∗
2c
2cm
p =
I + 2cn
∗
3. Marktgleichgewichtspreis bei doppelter
Firmenzahl:
∗
p |i=1...2I
2cm
cm
=
=
2I + 2cn I + cn
4. Verhältnis der Preise zueinander:
2cm I + 2cn
I + 2cn
p∗|i=1...2I
=
=
p∗|i=1...I
I + 2cn 2cm
2I + 2cn
5–2
Aufgabe 7)
geg.:
ges.:
Marktnachfrage: xt = apt + b,
a < 0, b > 0
Marktangebot: yt = cpt−1 + d,
c > 0, d < 0
1. Konkurrenzgleichgewicht
2. Bedingung für Konvergenz
Lösungsansatz: Aus yt := xt bzw.
cpt−1 + d = apt + b
folgt als Gleichgewichtspreis für die jeweilige Periode pt, bezogen auf den Preis der vorige Periode
pt−1:
d−b
c
,
pt = pt−1 +
a
a
bzw.
pt −
c
d−b
pt−1 =
.
a
a
Dies ist eine inhomogene Differenzengleichung
1. Grades der Form
c1yt + c0yt−1 = a,
mit c1 = 1,
c0 = − ac ,
a=
d−b
a .
7–1
Exkurs: Inhomogene Differenzengleichungen erster
Ordnung mit konstantem Absolutglied
Die inhomogene Differenzengleichung erster Ordnung
c1 yt + c0 yt−1 = a
(1)
kann anhand des nachfolgend aufgestellten Schemas 1 leicht gelöst werden. Der
Lösungsansatz kann auch auf andere Differenzengleichungen erster Ordnung der
Form
c1 yt + c0 yt−1 = g(t)
(2)
übertragen werden. Hierbei steht das Zeichen t für die Zeit; c0 , c1 und a sind Parameter und yt = y(t) ist eine Funktion der Zeit.
• Finde eine spezielle Lösung ȳt für den inhomogenen Teil!
Versuche als erstes, einen Koeffizienten µ aus dem Ansatz
(c1 + c0 )µ = a
µ=
(3)
a
c1 + c0
(4)
zu finden. Ist dies möglich, dann ist µ die gesuchte spezielle Lösung, bzw.
ȳt =
a
.
c1 + c0
(5)
Beachte: Ist c1 + c0 = 0, kann µ so nicht ermittelt werden. In diesem Fall ist
c1 = −c0 = c, bzw.
a
yt − yt−1 = .
(6)
c
Versuche dann, µt anstelle von yt und µ(t − 1) anstelle von yt−1 einzusetzen:
µt − µ(t − 1) =
a
c
a
c
a
ȳt =
c
µ=
(7)
(8)
(9)
• Ermittle die allgemeine Lösung yt|a≡0 = A (− cc10 )t des homogenen Teils von (1)
unter Verwendung der gefundenen speziellen Lösung:
Mit A = y0 − ȳ0 und b =
c0
c1
wird
yt|a≡0 = (y0 − ȳt )(−b)t
(10)
1. Nach Gandolfo (1997) Kap. 1–3.
7–2
• Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzengleichung (1) ergibt sich
als Summe der Lösungen für den homogenen Teil und spezieller Lösung,
yt = (y0 − ȳt ) (−b)t + ȳt .
(11)
Literatur
Gandolfo, G. (1997): Economics Dynamics. Dritte Auflage. Berlin, Heidelberg:
Springer.
7–3
Da die Bedingung c1 6= −c0 erfüllt ist, ergibt sich
als spezielle Lösung ȳt für den inhomogenen Teil
d−b
a
d−b
a
ȳt =
=
=
.
c1 + c0 1 − ac
a−c
Die allgemeine Lösung des homogenen Teils
yt|a≡0 = A(− cc10 )t lautet: (mit A = y0 − ȳ0)
yt|a≡0
c t d − b c t
0
= (y0 − ȳ0) −
= p0 −
.
c1
a−c a
Die allgemeine Lösung für pt ergibt sich als Summe der allgemeinen Lösung des homogenen Teils
und der speziellen Lösung für den inhomogenen
Teil (yt = yt|a≡0 + ȳt):
d − b c t d − b
.
pt = p0 −
+
a−c a
a−c
Wie wird sich pt in der Folge der Perioden t =
1, 2, . . . entwickeln?
c
a
•
< 0 alterniert das Vorzeichen des
t
d−b
Ausdrucks p0 − a−c ac
•
pt oszilliert um den (stets positiven) Wert des
d−b
Ausdrucks a−c
wegen
7–4
•
Drei Fälle:
| ac | > 1: pt entfernt sich immer mehr vom Zentrum – kein stabiles Gleichgewicht
c
d−b
d−b
| a | = 1: pt schwankt mit ± p0 − a−c um a−c
d−b
werden im| ac | < 1: Die Schwankungen um a−c
mer kleiner ⇐⇒ pt konvergiert gegen
d−b
.
den Gleichgewichtspreis p∗ = a−c
•
Die Bedingung für Konvergenz | ac | < 1 besagt:
− Es hängt vom Verhältnis der Steigungsparameter von Angebots- und Nachfragefunktion c und a ab, ob ein stabiles Gleichgewicht erreicht wird
− Nur wenn die Steigung der Angebotsfunktion (in Bezug auf den Preis) flacher ist als
die der Nachfragefunktion, kommt es zur
Konvergenz
7–5
a = −1,
pt
c = 0.7
yt = cpt−1 + d
p1
E1
E3
p3
p∗
p4
p2
E
E4
E2
p0
xt = apt + b
0
x1
x3
x∗ x4 x2
xt , yt
7–6
a = −1,
pt
c = 1.2
yt = cpt−1 + d
p3
E3
E1
p1
p∗
E
p0
E2
p2
E4
p4
xt = apt + b
0
x3
x1
x∗
x2
x4
xt , yt
7–7
a = −1,
pt
c = 1.0
yt = cpt−1 + d
p1
E1
p∗
E
E2
p0 = p2
xt = apt + b
0
x1
x∗
x2
xt , yt
7–8
Aufgabe 8)
Ausgangssituation:
•
2 Wirtschaftssubjekte A, B verfügen über ihre
Erstaustattungen EAA = (x̄A, ȳA), EAB =
(x̄B , ȳB ) der Güter x und y
•
Unter Anerkennung der durch die Erstausstattung gegebenen Ausgangsverteilung versuchen
sie, sich durch Tausch eines Teils ihrer Güter
besser zu stellen
a) Definieren Sie und erläutern Sie bitte graphisch
folgende Begriffe:
•
Tauschkurve
•
Kontraktkurve
•
Nutzenmöglichkeitenkurve
8–1
Schachteldiagramm (Edgeworth-Box)♥
yB
EAB
ȳB
yA
EAA
ȳA
0A
x̄A
xA
xB
0B
x̄B
x̄B
xB
0B
yA
ȳA
EAA
EAB
ȳB
yB
0A
xA
x̄A
xB
x̄B
y...
0A
0B
EAA
EAB
♥
x̄A
xA
Menge des Gutes x, dem A gehörend bzw. von A gewünscht
Erstaustattung des A mit dem Gut x
Menge des Gutes x, dem B gehörend bzw. von B gewünscht
Erstaustattung des B mit dem Gut x
analog für y
Ursprung des (xA , yA )-Diagramms
Ursprung des (xB , yB )-Diagramms
Ort der Erstausstattung des A im (xA , yA )-Diagramm
Ort der Erstausstattung des B im (xB , yB )-Diagramm
Francis Ysidro Edgeworth, engl. Ökonom u. Philosoph
(1845–1926)
8–2
xB
x̄B
0B
yA
V
∆y
ȳA
ȳB
∆x EA
P
0A
EA
V
∆x, ∆y
P
x̄A
yB
xA
Durch die Erstausstattungen bedingte
Güterverteilung
Irgendeine durch Tausch entstandene Verteilung
Getauschte Mengen, die EA nach V überführen
∆x und ∆y entsprechende Preislinie
Tauschresultat und Preislinie
∆y
Der Anstieg ∆x
der Preislinie P entspricht dem
umgekehrten Preisverhältnis ppxy .
8–3
xB
0B
ŪA
yA
V
EA
P
yB
ŪB
0A
ŪA
ŪB
xA
Die EA enthaltende Nutzenindifferenzkurve des A
Die EA enthaltende Nutzenindifferenzkurve des B
Für den Tausch relevanter Bereich
Freiwillig wird jedes Wirtschaftssubjekt nur solche
Mengen tauschen, bei denen es keine Verschlechterung seiner Nutzenposition hinnehmen muß.
8–4
xB
ŪA0
0B
ŪA1
yA
VB
V
VA
EA
P
ŪB1
yB
ŪB0
xA
0A
ŪA1
ŪB1
Eine höherem Nutzen als ŪA0 entsprechende
Indifferenzkurve des A
Dgl. für B
Gewünschtes Tauschresultat bei gegebenem Preis
Um seinen Nutzen zu maximieren, strebt jedes
Wirtschaftssubjekt i eine Güterverteilung (xi, yi)
an, bei der Betrag der Grenzrate der Substitution
(=Anstieg der Nutzenindifferenzkurve) mit dem
umgekehrten Preisverhältnis übereinstimmt,
dyi
px
= .
dxi py
8–5
xB
0B
P3
P4
TA
P2
yA
P1
VA4
VA3
ŪA4
ŪA3
VA2
P0
ŪA2
VA1
ŪA1
VA0 = EA
ŪA0
yB
xA
0A
P0 –P4
ŪA0 –ŪA4
VA0 –VA4
TA
Fünf zufällig ausgewählte Preislinien
Die P0 –P4 tangierenden Indifferenzkurven
des A mit steigendem Nutzen
Bei den geg. Preisen von A gewünschte
Tauschresultate
Tauschkurve des A
Tauschkurve des
A: Gewünschte
Tauschresultate bei alternativen Preisen
Da die Erstausstattung des A besonders viel vom
Gut x enthält, wird A insbesondere für eine kleinere Menge des y-Gutes eine relativ große Menge
des x-Gutes anbieten.
8–6
xB
0B
ŪB0
yA
VB3
VB4
ŪB5
VB5
VB0 = EA
TB
yB
xA
0A
ŪB0 –ŪB5
VB0 –VB5
TB
Indifferenzkurven des B mit steigendem
Nutzen
Bei den geg. Preisen von B gewünschte
Tauschresultate
Tauschkurve des B
Tauschkurve des
B
Auch B möchte zu einem für ihn möglichst günstigen Preisverhältnis tauschen. Im dargestellten
Beispiel bietet er das y-Gut im Austausch gegen
Gut x an.
8–7
Die Tauschkurve ist das Kontinuum der von einem
Wirtschaftssubjekt angestrebten – da nutzenmaximierenden – (x, y)-Güterkombinationen, die es –
ausgehend von seiner Erstausstattung mit diesen
Gütern und der eines Tauschpartners – bei Variation des gegebenen Güterpreisverhältnisses im
freiwilligen Tausch erwerben möchte.
Werden die Erstausstattungen zweier Wirtschaftssubjekte A und B in einem x, ySchachteldiagramm zusammengeführt (sog.
Edgeworth-Box) und in dessen (x, y)-Ebene die
Höhenlinien der Nutzengebirge (Nutzenindifferenzkurven) übertragen, ergeben sich die Tauschkurven
des A und des B als Tangentialpunkte aller durch
den Punkt der Erstausstattungen EA hindurchgehender Preislinien mit jeweils einer Nutzenindifferenzkurve.
8–8
xB
0B
TA
yA
ŪBmax
Vopt
ŪAmax
TB
EA
Popt
xA
0A
Vopt
ŪAmax
ŪBmax
TA
TA
Popt
yB
Pareto-optimales Tauschresultat
Von A im Paretooptimum maximal erreichbares
Nutzenniveau
Von B im Paretooptimum maximal erreichbares
Nutzenniveau
Tauschkurve des A
Tauschkurve des B
Preislinie bei Pareto-optimalem Tausch
Pareto-optimaler Tausch
Im Schnittpunkt der Tauschkurven des A und des
B berührt eine Indifferenzkurve des A eine Indifferenzkurve des B. Beide Indifferenzkurven tangieren
in diesem Punkt die gemeinsame Preislinie Popt.
Die Verteilung Vopt ist optimal im Hinblick auf
die Tauscheffizienz bei gegebenen Erstaustattungen und Nutzenfunktionen.
8–9
xB
0B
yA
yB
xA
0A
Nutzenindifferenzkurven des A
Nutzenindifferenzkurven des B
Kontraktkurve
Max. Nutzenniveau des A im vorigen Beispiel
Max. Nutzenniveau des B im vorigen Beispiel
Preislinie des vorigen Beispiels
Erstausstattung(en) des A u. des B im vor. Bsp.
Kontraktkurve: Kontinuum Paretooptimaler Verteilungen im
x-y -Raum
Die Indifferenzkurvenscharen (Höhenlinien der
Nutzenfunktionen des A und des B) wurden in der
gezeigten Anordnung lotrecht auf die x-y-Ebene
der Edgeworthbox übertragen. Achtung: Den Berührungspunkten von Indifferenzkurven des A und
des B entsprechen nicht notwendig (sd. allenfalls
zufällig) Berührungspunkte der Nutzenfunktionen!
8–10
Liegen die Scharen der Indifferenzkurven des A
und des B dicht, muß es ein Kontinuum von Tangentialpunkten geben, von denen jeder einzelne
ein Tauschgleichgewicht beschreibt, in dem das
Nutzenniveau des A nicht weiter gehoben werden
kann, ohne die Position des B zu schwächen, et
vice versa.
Jeder möglichen Erstaustattungskombination –
also jedem Punkt in der x-y-Ebene der Edgeworthbox – entspricht genau ein solcher Tangentialpunkt, den beide Parteien beim Tausch zu realisieren versuchen.
Die ununterbrochene Folge dieser Punkte wird
daher als Kontraktkurve bezeichnet.
Jeder auf der Kontraktkurve gelegene Punkt zeichnet sich gegenüber den übrigen Punkten der x-yEbene dadurch aus, daß jeder weitere Tausch die
Nutzenposition zumindest eines Wirtschaftssubjekts verschlechtert.
Umgekehrt kann der Nutzen zumindest eines Subjekts gesteigert werden, solange eine Güterverteilung realisiert ist, der kein Punkt auf der Kontraktkurve entspricht.
Ausschließlich in diesem Sinne (der Tauscheffizienz) sind die auf der Kontraktkurve gelegenen
Güterverteilungen optimal.
8–11
Wird das Verteilungsergebnis anhand anderer Kriterien beurteilt (z.B. Gerechtigkeit), wird man z.B.
durch staatliche Umverteilung zu einer anderen
Güterverteilung gelangen. Liegt diese außerhalb
der Kontraktkurve, werden die Tauschpartner ihre
Nutzenposition durch bilaterale Aktionen zu verbessern trachten.
8–12
Aufgabe 10)
Was besagt das Walras’sche Theorem?
Sind n interdependente Märkte gegeben, so impliziert ein Gleichgewicht auf n − 1
Märkten, daß auch auf dem n-ten Markt Angebot und Nachfrage übereinstimmen.
Daraus folgt, daß der Preis auf einem Markt exogen gesetzt werden darf; die übrigen Preise ergeben sich dann als Relativpreise.
Beweis (für 2 Märkte):
Geg. sei ein Modell mit 2 Individuen (A, B) und 2 Gütern (x, y). Die Erstaustattungen seien (x̄A , ȳA ) sowie (x̄B , ȳB ), daraus ergeben sich die Güterbestände
(x, y). Die individuellen Güternachfragemengen seien mit (xA , yA , xB , yB ), die
Preise der Güter mit (px , py ) bezeichnet.
Die individuelle Budgetrestriktion des A lautet:
px x̄A + py ȳA
=
px xA + py yA
|
{z
}
|
{z
}
Wert des Angebots Wert des Konsums
Eine einfache Umformung ergibt:
(1)
px (xA − x̄A ) + py (yA − ȳA ) = 0.
Analog kann die Budgetrestriktion des B umgeformt werden zu:
(2)
px (xB − x̄B ) + py (yB − ȳB ) = 0;
d.h., für alle Haushalte gilt:
Die mit Preisen bewerteten Überschußnachfragen des Haushalts addieren sich zu Null.
Bei allen Transaktionen zwischen den Haushalten gilt die gesamtwirtschaftliche
Restriktion der Identität von Angebot und Nachfrage. Die Gleichgewichtsbedingungen auf den einzelnen Märkten lauten somit:
x̄A + x̄B = xA + xB ,
ȳA + ȳB = yA + yB ;
somit:
(3)
(xA − x̄A ) + (xB − x̄B ) = 0,
(4)
(yA − ȳA ) + (yB − ȳB ) = 0;
d.h., für alle Güter gilt:
Die Überschußnachfragen aller Haushalte nach dem einzelnen Gut addieren sich zu Null.
Summation der Gleichungen (1) und (2) ergibt:
px (xA − x̄A ) + py (yA − ȳA ) + px (xB − x̄B ) + py (yB − ȳB ) = 0,
px (xA − x̄A ) + px (xB − x̄B ) + py (yA − ȳA ) + py (yB − ȳB ) = 0,
10–1
(5)
px (xA − x̄A + xB − x̄B ) +py (yA − ȳA + yB − ȳB ) = 0.
|
{z
}
|
{z
}
(3)
(4)
Da der Ausdruck (3) jedoch Null ergibt, sofern sich der x-Markt im Gleichgewicht
befindet, muß auch der Ausdruck (4) Null ergeben, bzw. es muß sich auch der yMarkt im Gleichgewicht befinden, damit Gl. (5) erfüllt werden kann – et vice versa.
Verbale Interpretation von (5):
Gesetz von Walras:
Die (über alle Güter) aggregierten,
mit ihren Preisen bewerteten (über alle Haushalte) aggregierten
Überschußnachfragen betragen identisch Null.
Konsequenzen:
1. Sind n − 1 Märkte eines interdependenten Marktsystems im Gleichgewicht, so
gilt dies auch für den n-ten (d.h. letzten) Markt dieses Systems.
2. In einem System von n interdependenten Märkten kann es nur n − 1 voneinander unabhängige Preise geben. Der Preis genau eines Gutes muß als Numéraire
festgelegt werden – z.B. p1 = 1 –, alle übrigen Preise ergeben sich dann als
Relativpreise.
10–2
Aufgabe 11)
geg.: 2 Haushalte i ∈ (G, K); 2 Güter xij (x1, x2)
0,5
Nutzenfkt.: ui (xi1 , xi2 ) = x0,5
i1 + xi2
x̄G1 = x1 = 9,
x̄G2 = 0,
x̄K1 = 0,
x̄K2 = x2 = 4,
p1 = 1.
a) Überschußnachfragefunktionen xi1 , xi2 :
ges.:
Ziel: Max. ui =
p
p
x̄i1 + x∗i1 + x̄i2 + x∗i2
bzw.
Max. uG =
p
p
9 + x∗G1 + x∗G2 ,
Max. uK =
p
p ∗
xK1 + 4 + x∗K2 , u. d.
∗
j pj xij
NB.:
P
bzw.
x∗G1 + p2 x∗G2 = 0 (Restriktion des Gerd)
= 0 (Einzelwirtschaftliche Restriktionen der Subjekte i),
x∗K1 + p2 x∗K2 = 0 (Restriktion des Klaus)
Lagrange-Ansatz des G:
LG (x∗G1 , x∗G2 , λG ) =
p
9 + x∗G1 +
√
xG2∗ − λ(x∗G1 + p2 x∗G2 )
∂LG
∂x∗G1
= √ 0,5 ∗ − λ = 0 ⇔ λ = √ 0,5 ∗
∂LG
∂x∗G2
= √0,5∗ − λp2 = 0 ⇔ λ =
9+xG1
xG2
9+xG1
p2
0,5
√
∗
xG2
p ∗
p
xG2 p2 = 9 + x∗G1
x∗G2 =
9+x∗G1
p22
11–1
Einsetzen in
∂LG
∂λG
= 0:
∗
∗
G
− ∂L
∂λG = xG1 + p2 xG2 = 0
x∗G1 +
p2 (9+x∗G1 )
p22
x∗G1 +
9
p2
+
x∗G1
p2
=0
=0
x∗G1 = − p92
(1 +
1
p2 )
p2 +1
p2
x∗G1 = − p92
9p2
x∗G1 = − p2 (p
2 +1)
x∗G1 = − p29+1
x∗G2 =
9+x∗G1
p22
x∗G2 =
9(p2 +1)−9
p2 +1
p22
x∗G2 =
9
(1+p2 )p2
=
9
2 +1
p22
9− p
=
9p2
(p2 +1)p22
Lagrange-Ansatz des K:
LK (x∗K1 , x∗K2 , λK ) =
p
x∗K1 +
√
4 + xK2∗ − λ(x∗K1 + p2 x∗K2 )
∂LK
∂x∗K1
= √0,5∗ − λ = 0 ⇔ λ = √0,5∗
∂LK
∂x∗K2
= √ 0,5 ∗ − λp2 = 0 ⇔ λ =
xK1
4+xK2
xK1
p2
√0,5
4+x∗K2
p22 (4 + x∗K2 ) = x∗K1
4p22 + p22 x∗K2 = x∗K1
11–2
x∗K2 =
xK1 −4p22
p22
Einsetzen in
∂LK
∂λK
= 0:
∗
∗
K
− ∂L
∂λK = xK1 + p2 xK2 = 0
x∗K1 + p2
x∗K1 +
(1 +
x∗K1 −4p22
p22
x∗K1
p2
=0
− 4p2 = 0
1
∗
p2 )xK1
= 4p2
x∗K1 =
4p22
p2 +1
x∗K2 =
x∗K1 −4p22
p22
x∗K2 =
4−4(p2 +1)
p2 +1
=
4p2
2
2
p2 +1 −4p2
2
p2
2
x∗K2 = − p4p
2 +1
Anmerkung:
Es ist auch möglich, die Gesamtnachfragen in die zu maximierende Nutzenfunktion und die Gesamtnachfragen abz. der Erstausstattungen in die Restriktionen
einzusetzen. Der Lagrangeansatz z.B. des G lautet dann
LG (xG1 , xG2 , λG ) =
√
xG1 +
√
xG2 − λG (xG1 − 9 + p2 xG2 ).
Dieser Ansatz führt zum gleichen Ergebnis.
11–3
b) Geben Sie die Bedingungen des allgemeinen Gleichgewichts der Tauschwirtschaft an, und ermitteln Sie die Gleichgewichtspreise. Wie hängen diese vom Verhältnis der Gesamtgüterbestände ab?
Angebot eines Gutes = Nachfrage nach diesem Gut
Für Gut 1: −x∗G1 = x∗K1
Für Gut 2: x∗G2 = −x∗K2
Einsetzen der Überschußnachfragefunktionen
Gut 1:
9
p2 +1
9
4
=
4p22
p2 +1
= p22
p2 =
3
2
Zur Probe – Gut 2:
9
(1+p2 )p2
=
4p2
1+p2
9
4
= p22
q
p2 = 94 =
3
2
– stimmt.
Der Relativpreis des Gutes 2 beträgt 23 . Die Beziehung zum gesamten Güterbeq
stand wird in der Relation pp21 = xx12 ausgedrückt. Sie ist auf die Erstaustattungen und Nutzenfunktionen des Gerd und des Klaus zurückzuführen.
11–4
c) Skizzieren Sie bitte die Situation in einer Edgeworth-Box. Bestimmen Sie bitte
auch die Kontraktkurve.
Steigung der Kontraktkurve:
Kontraktkurve: = Kontinuum aller Punkte, für welche gilt:
GRSG = GRSK ,
hier (da beide ein und dieselbe Nutzenfunktion haben) muß gelten:
GRS =
∂U
∂x1
∂U
∂x2
=
0,5
√
x1
0,5
√
x2
xK2
xK1
=
=
√
x
√ 2,
x1
somit
q
xG2 !
xG1 =
xG2
xG1
=
q
q
x2 −xG2
x1 −xG1 ,
x2 −xG2
x1 −xG1 ,
xG2 x1 − xG2 xG1 = xG1 x2 − xG1 xG2 ,
xG2 x1 = xG1 x2 ,
xG2 = xG1 xx21 ,
xG2 = 49 xG1 .
Die Kontraktkurve ist somit linear; sie ist eine gerade Linie, die die beiden Nullpunkte der Edgeworthbox verbindet.
18
5
x1K
1
Preislinie
x2G
0K
1
12
5
8
5
yK2
1
0G
Kontraktkurve
1
27
5
xG1
EA
11–5
Erweiterung der Aufgabe 11:
Um das Verständnis der Wirkungsweise des allgemeinen Gleichgewichtsmodells
zu erleichtern, wollen wir einige Parameter der Aufgabenstellung verändern und
den Einfluß dieser Änderungen auf die Ergebnisse – also die Überschußnachfragen,
Relativpreise und die Kontraktkurve – untersuchen.
1. Einfluß der Erstausstattung
1.1. Variation der zu verteilenden Menge eines Gutes
Seien x2 = x̄K2 = 6.25,
alle übrigen Parameter bleiben wie in der Aufgabenstellung gegeben.
Die Ableitungen des Lagrangeansatzes des Gerd nach x∗G1 und x∗G2 , deren
Gleichsetzung, Umstellung nach z.B. x∗G2 (x∗G1 ) und Einsetzen in die NebenbeG
dingung ∂L
∂λG = 0 ergeben dieselben Überschußnachfragefunktionen wie in der
ursprünglichen Aufgabe.
Die entsprechenden Ableitungen des Lagrangeansatzes des Klaus etc. ergeben
x∗K1 =
6.25p22
p2 +1
sowie
2
x∗K2 = − 6.25p
p2 +1 .
Aufgabe: Zeige dies!
Beträgt der Bestand bzw. die Erstausstattung des Klaus mit Gut 2 16 Einheiten,
x2 = x̄K2 = 16,
ergeben sich als Überschußnachfragefunktionen des Klaus entsprechend
x∗K1 =
16p22
p2 +1
sowie
2
x∗K2 = − p16p
.
2 +1
Die Relativpreise p2 ergeben sich durch Einsetzen in z.B.
−x∗G1 = x∗K1
für x2 = 6.25
9
p2 +1
=
mit den Umformungen
6.25p22
p2 +1
9 = 6.25p22
zu
11–6
p2 =
3
6
2.5 (= 5 )
< 32 .
Für x2 = 16 ergibt sich p2 entsprechend zu 34 . Je reichlicher die beiden Tauschpartner mit Gut 2 ausgestattet sind, um so niedriger wird der Preis des Gutes 2,
ausgedrückt in Einheiten des Gutes 1.
Aufgabe: Zeige dies!
Wie in der ursprünglichen Konstellation,
beträgt der Relativpreis des Gutes 2 in
q
x1
allen betrachteten Fällen p2 =
x2 . Dies ist in den Nutzenfunktionen des Gerd
und des Klaus begründet. Dies wird später noch deutlicher werden, wenn wir die
Nutzenfunktionen modifizieren.
Die Ergebnisse der Variation des Bestands von Gut 2 faßt die folgende Tabelle
zusammen:
x2
4
6.25
16
p2
2
3
6
5
3
4
xG1
27
5
54
11
27
7
xG2
12
5
75
22
48
7
xK1
18
5
45
11
36
7
xK2
8
5
125
44
64
7
Die Transformationskurve bleibt linear.
Frage: Warum?
Es ändern sich jedoch die Abmessungen der Edgeworthbox. Die Abbildung auf
der nächsten Seite zeigt die ineinandergestellten Schachteldiagramme für x2 = 4
(schwarz), x2 = 6.25 (grün) und x2 = 16 (rot). Es sind nur die Preislinien und
die Kontraktkurven eingezeichnet – Indifferenzkurven würden hier nur Verwirrung
stiften! Es sollte jedoch klar sein, daß auf jedem Punkt der Kontraktkurven je eine
Indifferenzkurve des Gerd und des Klaus sich berühren.
11–7
36
7
xK1
1
xG2
0K
1
Preislinie
48
7
45
11
xK1
xG2
1
1
Preislinie
18
5
xK1
1
Kontraktkurve
Preislinie
75
22
xG2
12
5
0K
125
44
1
8
5
xK2
Kontraktkurve
1
0G
64
7
0K
Kontraktkurve
1
27
7
54 27
11 5
xG1
EA
11–8
2. Variation der Verteilung der Güter
a) Umkehrung der Erstausstattung
x̄K1 = x1 = 9,
Sei
x̄G2 = x2 = 4,
d.h., vor Beginn des Tauschs verfüge Klaus über den Gesamtbestand des Gutes 1,
Gerd über alle Einheiten des Gutes 2.
Da sich an den Güterbeständen und Nutzenfunktionen nichts geänder hat im Vergleich zur ursprünglichen Aufgabenstellung, werden auch die Überschußnachfragefunktionen die ursprünglichen sein, allerdings vertauscht für die Güter und deren
Besitzer. Entsprechend bleibt auch der Relativpreis p2 = 23 unverändert. Es ändert
sich – aufgrund der unterschiedlichen Ausgangsverteilung – das Tauschergebnis,
wie die nachstehende Edgeworthbox zeigt.
EA
xK1
27
5
1
Preislinie
xG2
0K
1
Kontraktkurve
8
5
12
5
1
xK2
0G
1
18
5
xG1
b) Erstaustattung im Inneren der Edgeworthbox
Es seien nun die Erstausstattungen so auf Gerd und Klaus verteilt, daß jeder von
Ihnen in der Ausgangslage von jedem Gut etwas hat, doch bestehe weiterhin ein
Anreiz zum Tausch.
Frage: In welchem Fall bestünde kein Anreiz zum Tausch?
Auch in allen hier möglichen Fällen muß die Gleichsetzung von Angebot und
Nachfrage zum Relativpreis von p2 = 32 führen.
11–9
Frage: Warum?
In allen hier möglichen Fällen ergibt sich das Tauschergebnis als Schnittpunkt der
durch die Erstausstattung gehenden Preislinie und der Kontraktkurve. Das nachfolgende Schachteldiagramm zeigt den Fall x̄G1 = 5, x̄K1 = 4, x̄G2 = 1, x̄K2 = 3.
xK1
5.1
1
Preislinie
xG2
0K
1
Kontraktkurve
26
15
34
15
EA
1
0G
3, 9
1
xK2
xG1
3. Variationen der Nutzenfunktion des Klaus
Wir hatten bereits festgestellt, daß der Relativpreis p2 bei gegebenen Nutzenfunktionen des Gerd und des Klaus vom Verhältnis der Güterbestände abhängt. In
diesem Abschnitt wollen wir nun untersuchen, welcher Relativpreis sich einstellt,
wenn hinsichtlich der Nutzenfunktion des Klaus andere Annahmen getroffen werden. Alle übrigen Gegebenheiten sollen denen der Ausgangssituation in Aufgabe
11 entsprechen.
Es soll zunächst das Gewicht des Gutes 2 in der Nutzenfunktion des Klaus erhöht werden:
UK = x10.5 + 2x0.5
2
Während der Langrangeansatz des Gerd wieder unverändert aus Aufgabe 11
übernommen werden kann, muß der des Klaus neu aufgestellt werden:
LK (x∗K1 , x∗K2 , λK ) =
p
√
x∗K1 + 2 4 + xK2∗ − λ(x∗K1 + p2 x∗K2 )
∂LK
∂x∗K1
= √0,5∗ − λ = 0 ⇔ λ = √0,5∗
∂LK
∂x∗K2
=√
1 2
4 p2
xK1
1
4+x∗K2
xK1
− λp2 = 0 ⇔ λ =
p2
√1
4+x∗K2
(4 + x∗K2 ) = x∗K1
11–10
p22 + 14 p22 x∗K2 = x∗K1
x∗K2 =
xK1 −p22
1 2
4 p2
Einsetzen in
∂LK
∂λK
= 0:
∗
∗
K
− ∂L
∂λK = xK1 + p2 xK2 = 0
x∗K1 + p2
x∗K1 +
1
x∗K1 −p22
1 2
4 p2
4 ∗
p2 xK1
=0
− 4p2 = 0
p +1
( 4 12p )x∗K1 = 4p2
4 2
x∗K1 =
p22
1
4 p2 +1
x∗K2 =
x∗K1 −p22
1 2
4 p2
x∗K2 =
4−p2 −4
1
4 p2 +1
=
p2
2
2
1 p +1 −p2
4 2
1 2
4 p2
x∗K2 = − 1 pp2+1
4 2
Im Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage z.B. nach Gut 1,
−x∗G1 = x∗K1
ergeben nach Einsetzen der entsprechenden Überschußnachfragen
9
p2 +1
=
P22
1
4 p2 +1
.
Nach einigen Umformungen
9( 41 p2 + 1) = p22 (p2 + 1),
9
4 p2
+ 9 = p32 + p22
erhält man die Gleichung 3. Grades
p32 + p22 − 49 p2 − 9 = 0.
Sie besitzt genau eine positive reelle Lösung, die mit Hilfe numerischer Verfahren
näherungsweise bestimmt werden kann:
p2 = 2, 103551245 . . .,
11–11
d.h., der relative Preis des Gutes 2 in Einheiten des Gutes 1 ist gestiegen.
Wie verläuft nun, nachdem die Symmetrieannahme hinsichtlich der Nutzenfunktionen des Gerd und des Klaus aufgegeben wurde, die Kontraktkurve?
Werden aus den partiellen Grenznutzen des Gerd
∂UG
∂x1
=
0,5
√
x1 ;
∂UG
∂x2
=
0,5
√
x2
∂UK
∂x2
=
√1
x2
und des Klaus
∂UK
∂x1
=
0,5
√
x1 ;
die Grenzraten der Substitution bestimmt und gleichgesetzt,
∂UG
∂x1
∂UG
∂x2
!
=
∂UK
∂x1
∂UK
∂x2
;
√0,5
xG1
√0,5
xG2
!
=
√0,5
xK1
√ 1
xK2
führen einige Umformungen
√
√
!
x
x
√ G2 = √ K2
xG1
xK1
xG2
xG1
=
=
√
1 √x2 −xG2
2 x1 −xG1 ,
1 x2 −xG2
4 x1 −xG1 ,
4xG2 (x1 − xG1 ) = xG1 (x2 − xG2 ),
4(xG2 x1 − xG2 xG1 = xG1 x2 − xG1 xG2 ,
4xG2 x1 − 3xG1 xG2 = xG1 x2 ,
(4x1 − 3xG2 )xG2 = xG1 x2 ,
z.B. zur Form xG2 = f (xG1 ):
xG2 =
4
36−3xG1 xG1
Diese Funktion ist offensichtlich nicht linear; die ihr entsprechend Kontraktkurve
wird in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.
11–12
xK1
1
Preislinie
xG2
Kontraktkurve
1
xK2
1
0G
0K
xG1
1
EA
Wird das Gewicht des Gutes 1 in Klaus’ Nutzen erhöht (bei ansonsten unveränderten Gegebenheiten der in Aufgabe 11 geschilderten Situation), z.B.
UK = 3x10,5 + x0,5
2 ,
fällt der Relativpreis von Gut 2 auf
p2 = 1, 148535272 . . .,
was durch Einsetzen der geänderten Nutzenfunktion in den Lagrangeansatz des
Klaus und Lösen der in Verbindung mit dem Lagrangeansatz des Gerd resultierenden kubischen Gleichung ermittelt werden kann. Kontraktkurve, Preislinie und
Tauschergebnis sind in der nachfolgenden Abbildung dargestellt.
xK1
1
Preislinie
xG2
0K
1
Kontraktkurve
xG2 (xG1 ) =
36
9+8xG1 xG1
xK2
1
0G
1
xG1
EA
11–13
Aufgabe 15)
2
d U
dU
geg.: Ui (yir ) ∀i mit dy
r > 0, dy r2 < 0 (Nutzenfkt.)
Ȳ r =
yir
Yr
a) ges.:
r
i yi
P
(gesamtes Realeinkommen)
∀i (Einkommensverteilung)
i. Nutzenfunktion nach J. Bentham:
P
Ziel: Maximiere U = i Ui (yir )
P
unter der Nebenbedingung Ȳ r = i yir .
Lagrange-Ansatz:
L(~y , λ) =
r
r
i Ui (yi ) + λ(Ȳ
P
−
r
i yi )
P
Die Ableitungen nach den Einkommen aller i ergeben
∂L
∂yir
=
⇐⇒
dUi
dyir
dU1
dy1r
− λ = 0 ∀i;
=
dU2
dy2r
= ... =
dUi
dyir ,
d.h., die Benthamsche gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion impliziert die
Gleichheit der Grenznutzen aller Individuen. Weisen jedoch – wie in unserer
Aufgabe unterstellt – alle Individuen übereinstimmende Nutzenfunktionen auf,
stimmen die Grenznutzen genau dann überein, wenn die Realeinkommen in
unserer angenommenen Nutzenfunktion übereinstimmen. Es wird also Gleichverteilung der Einkommen gefordert.
ii. Wohlfahrtsfunktion nach Rawls:
Die Wohlfahrtsfunktion nach Rawls impliziert gleichen Nutzen aller Individuen. In unserem Falle übereinstimmender Nutzenfunktionen führt bedeutet dies
auch die Gleichverteilung der Realeinkommen.
.
b) ges.: Einkommensverteilung bei abweichender Nutzenfunktion eines
Individuums
r )
geg.: U13 = 0, 5Ui (y13
Die Konsequenz einer abweichenden Nutzenfunktion soll anhand der folgenden
Abbildungen gezeigt werden: Ausgleich der Grenznutzen bedeutet Gleichheit des
Anstiegs der an die Nutzenfunktionen gelegten Tangenten. Im Bentham-Fall muß
15–1
somit der 13te Bewohner unseres fiktiven Landes soviel abgeben an seine Mitbewohner, bis sein Grenznutzen dem der Mitbewohner entspricht. Ist die Zahl der
Einwohner des Landes groß, wird sich am Grenznutzen der Mitbewohner fast
nichts ändern. (Warum?)
Ui
Ui (yir )
Ui∗
r
U13 (y13
)
∗
U13
r∗
y13
0
yir∗
yir
Konsequenzen der Wohlfahrtsfunktion vom Bentham-Typ
Das Rawlssche Kriterium fordert, daß alle Glieder der Gesellschaft den gleichen
Nutzen (in unserem Fall aus dem Realeinkommen) ziehen. Dies bedeutet, daß alle
Mitbewohner dem 13ten soviel von ihrem Realeinkommen abgeben müssen, bis
dessen Nutzen das gleiche Niveau erreicht hat, wie ihr eigener.
Ui
Ui (yir )
r
U13 (y13
)
Ui∗
0
yir∗
r∗
y13
yir
Konsequenzen der Wohlfahrtsfunktion vom Rawls-Typ
15–2
Aufgabe 17)
Ermitteln Sie bitte für die im folgenden genannten
Preis-Absatz-Funktionen die zugehörigen Grenzerlösfunktionen:
a)
p(x) = n − mx
Exkurs: Grenzerlös
Wählt ein Anbieter mit (z.B. monopolistischer) Marktmacht die Absatzmenge als
Aktionsparameter, bewirkt eine Ausweitung der Absatzmenge eine Preisänderung
entsprechend der Preis-Absatz-Funktion. Diese kann als Inverse der Nachfragefunktion aufgefaßt werden, sofern es sich bei dieser um eine streng monoton fallende Funktion handelt. Dies trifft auf alle normalen Güter mit
εx,p =
dx
x
dp
p
<0
zu. Während eine marginale Ausweitung der Absatzmenge zum Ansteigen des Erlöses E(x),
E(x) = p(x) x
(um p dx) führt, wirkt der Preisrückgang – der ja die gesamte verkaufte Menge
dp
betrifft – in entgegengesetzter Richtung ( dx
x < 0).
Der Grenzerlös bezeichnet die Auswirkung der letzten (bzw. einer zusätzlich) verkauften Einheit auf den Gesamterlös und ist als Resultat von Preis- und Mengeneffekt zu verstehen. Die Grenzerlösfunktion GE(x) ist die Ableitung der Erlösfunktion,
dE
dp
GE(x) =
=
x + p.
dx
dx
Das Vorzeichen eines Funktionswertes wird davon bestimmt, welcher Effekt überwiegt.
17–1
Zurück zur gegebenen Preis-Absatz-Funktion:
Wegen E(x) = p(x) x = (n − mx)x = −mx2 + nx wird
GE(x) = −2mx + n.
Der Schnittpunkt mit der Mengenachse (GE(x) = 0) bestimmt sich zu x =
n
2m .
p
n
p(x) = n − mx
GE(x)
0
n
2m
n
m
x
Fazit: Wird eine lineare Preis-Absatz-Funktion angenommen, so hat die zugehörige Erlösfunktion die Form einer Parabel. Die Grenzerlösfunktion ist linear und
schneidet die Mengen-Achse in der Mitte von Nullpunkt und Sättigungsmenge; ihr
Anstieg ist doppelt so steil wie bei der Preis-Absatz-Funktion.
b)
p(x) = (n − mx)2
Mit p(x) = m2 x2 − 2mnx + n2 wird
E(x) = m2 x3 − 2mnx2 + n2 x;
somit
GE(x) = 3m2 x2 − 4mnx + n2 .
Als relevant ist nur der fallende Ast der parabelförmigen Preis-Absatz-Funktion
n
).
anzusehen (0 ≤ x ≤ m
17–2
Die Schnittpunkte der Erlös- und Grenzerlösfunktion mit der Mengenachse können durch Nullsetzen und Lösen der entsprechenden Polynomgleichung ermittelt
werden; im vorliegenden Fall schneidet die Grenzerlösfunktion die Mengenachse im
n
Punkt x = 3m
.
p
n
p(x) = (n − mx)2
GE(x)
0
n
3m
n
m
x
Fazit: Wird eine quadratische Preis-Absatz-Funktion angenommen, so folgt als
Erlösfunktion ein Polynom 3. Grades. Die Grenzerlösfunktion ist ein Polynom
2. Grades und steiler als die Preis-Absatz-Funktion (für Polynome n-ten Grades
kann leicht eine entsprechende Regel abgeleitet werden). Der Schnittpunkt von
Grenzerlösfunktion und Mengenachse befindet sich nun nicht mehr in der Mitte
von Null- und Sättigungspunkt. Diese Eigenschaft ist Polynomen 1. Grades vorbehalten.
c)
In diesem Falle wird
somit
p(x) = n − mx2
E(x) = nx − mx3 ;
GE(x) = n − 3x2 .
Die Nichtnegativitätsbedingung wird nur vom fallenden Ast der Parabel E(x) erfüllt. Die Schnittpunkte von Erlös- und Grenzerlösfunktion mit der Mengenachse
sind in der folgenden Abbilldung eingezeichnet.
17–3
p
n2
p(x) = n − mx2
GE(x)
0
p
n
3m
pn
x
m
Fazit: Die beim Lösen von Aufgabe 17b) gewonnenen Einsichten finden auch in
diesem Beispiel Bestätigung.
17–4
Aufgabe 18)
p
α
tan α =
dE
dx
K(x)
Πmax
pM
E(x)
p(x)
Kf
pP
0
GK(x)
xM
xP
x
GE(x)
Gewinnmaximale Preis-Mengen-Kombination des Monopolisten
Legende:
Menge – x
Preis – p
Preis-Absatz-Funktion – p(x)
Erlösfunktion – E(x)
Grenzerlösfunktion – GE(x)
Kostenfunktion – K(x)
Grenzkosten (hier konstant angenommen) – GK(x)
Fixkosten – Kf
Monopolpreis – pM
Abgesetze Menge im Monopolfall – xM
Polypolpreis – pP
Abgesetze Menge im Polypolfall – xP
Gewinnmaximum – Πmax
Anstieg der Erlösfunktion im Cournotschen Punkt – tan α
18–1
p
α
tan α =
dE
dx
E(x)
p5

..
.
p0
p(x)
0


GK5



 .
..




GK
0
x
| {z }
x5 . . . x0
GE(x)
Lage des Cournotschen Punkts bei alternativen Grenzkosten
Die (hier nicht eingezeichnete) Kostenfunktion
ist – bei unterstellten konstanten Grenzkosten –
eine lineare Funktion. Ihr Anstieg entspricht den
Grenzkosten und ist gleich dem Anstieg der Erlösfunktion im Gewinnmaximum.
18–2
p
KRP
p(x)
pP
GK(x)
0
xP
x
Konsumentenrente im Polypol bei konstanten Grenzkosten
Im Polypol fließt bei konstanten Grenzkosten die
gesamte aus dem Nachfrageverhalten resultierende
Rente den Konsumenten zu (Konsumentenrente –
KRP ).
18–3
p
KRM
pM
p(x)
P RM
W VM
pP
0
GK(x)
xM
x
GE(x)
Konsumentenrente im Monopol bei konstanten Grenzkosten
Der Monopolist stellt dem Markt nur die – geringere – Menge xM zur Verfügung, entsprechend
der Preis-Absatz-Funktion bildet sich am Markt
der Preis pM . Damit sichert er sich die Produzentenrente P RM ; der Nachfrageseite verbleibt nur
noch die Konsumentenrente KRM . Da weniger
produziert und verbraucht wird, entsteht ein „toter“ Wohlfahrtsverlust W VM .
18–4
p
KRP
p(x)
GK(x)
pP
P RP
0
xP
x
Konsumentenrente im Polypol bei steigenden Grenzkosten
Bei steigenden Grenzkosten entfällt auch auf die
Anbieter im polypolistischen Markt eine Produzentenrente P RP .
18–5
p
KRM
pM
p(x)
pP
0
P RM
GK(x)
W VM
xM
xP
x
GE(x)
Konsumentenrente im Monopol bei steigenden Grenzkosten
Das Marktergebnis im Monopolfall wird auch bei
steigenden Grenzkosten von der „Grenzerlös =
Grenzkosten“-Regel bestimmt. Es verringert sich
jedoch der „tote“ Wohlfahrtsverlust.
18–6
Aufgabe 20)
a) geg.: q = 10 − 3p (Nachfragefunktion q in Abh. v. Preis p)
C = 2q + Cf (Kostenfunktion mit variablen und fixen Kosten)
ges.: gewinnoptimale Preis-Mengen-Kombination (p∗ , q ∗ )
Lösung:
Max. Π = E(q(p)) − C(q(p)) = (10 − 3p)p − 2 ∗ (10 − 3p) − Cf
Π = 10p − 3p2 − 20 + 6p − Cf = −3p2 + 16p − 20 − Cf
dΠ
= −6p + 16 = 0
dp
8
p=
3
Einsetzen in die Nachfragefunktion ergibt:
q = 10 − 3 ∗
8
3
q=2
Das Gewinnmaximum des Monopolisten ist erreicht, wenn er die Menge 2 zum
Preis von 38 anbietet.
b) Was versteht man unter perfekter Preisdiskriminierung im Monopol? Wie ändern sich die Ergebnisse gegenüber a), und wie ist diese Veränderung
zu beurteilen?
Exkurs: Preisdiskriminierung
Definition: Aufspaltung eines Marktes in Teilmärkte mit unterschiedlicher Preissetzung (= Diskriminierung, wertneutraler Begriff!) mit dem Ziel, Teile
der Konsumentenrente abzuschöpfen.
20–1
p
ppr
KRM
pM
P RM
W VM
pP
0
GK(x)
xM
xS
x
GE(x)
Wohlfahrt im Monopol ohne Preisdiskriminierung
20–2
p
ppr
p2
KR
KR
pM
PR
WV
pP
0
GK(x)
x2
xM
Aufspaltung in zwei Teilmärkte (p2
xS
x
> pM )
20–3
p
ppr
KR
pM
p1
KR
PR
WV
pP
0
xM
x1
Aufspaltung in zwei Teilmärkte (p1
GK(x)
xS
x
< pM )
20–4
p
ppr
p2
KR
KR
pM
p1
PR
KR
WV
pP
0
x2
xM
x1
GK(x)
xS
x
Aufspaltung in drei Teilmärkte
20–5
Voraussetzungen:
•
monopolistische oder oligopolistische Marktmacht
• fallende Preis-Absatz-Funktion, die eine Konsumentenrente hervorruft
• Aufspaltung des Marktes anhand von praktikablen Kriterien (Heterogenität der Güter)
• Verhinderung von Arbitragegeschäften seitens
der Marktteilnehmer
Kriterien für die Marktseparierung:
•
•
•
•
sachlich
zeitlich
räumlich
personell
20–6
Aufgabe: Finde Beispiele für die genannten Kriterien!
Perfekte Preisdiskriminierung liegt vor, wenn es
dem Monopolisten gelingt, von jedem Nachfrager
einen Preis entsprechend seiner Zahlungsbereitschaft zu verlangen. In diesem Fall erhält er die
gesamte Konsumentenrente; die abgesetzte Menge
entspricht der des Polypolfalles und kann anhand
der „Preis = Grenzkosten“-Regel bestimmt werden.
Ist die Anzahl der Nachfrager groß und ihre Zahlungsbereitschaft entsprechend der Preis-AbsatzFunktion annähernd gleichverteilt, entspricht
die Produzentenrente im Beispiel auf Folie 20–
8 (mit konstanten Grenzkosten) der halben Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen xP P d und
pP r − pmin.
20–7
p
ppr
PR
pmin
GK(x)
xP P d xS
0
x
Perfekte Preisdiskriminierung
20–8
Vergleich mit der Monopollösung im Beispiel a):
Es wird die doppelte Menge abgesetzt (q = 4);
der Nachfrager mit der geringsten Zahlungsbereitschaft muß den Grenzkosten-Preis p = 2 zahlen.
Die Konsumentenrente beträgt Null, die Wohlfahrt
erhöht sich jedoch im Vergleich zur Monopollösung (kein „toter“ Wohlfahrtsverlust). Die gesamte Fläche zwischen der Grenzkosten-Horizontale
und der Preis-Absatz-Funktion geht als Rente an
den Produzenten.
20–9
Aufgabe 21)
1 2
geg.: K = 50
x + 600 (Kostenfunktion, x: Anz. Telefonate)
2
P (x) = 20 − 25
x (Preis-Absatz-Funktion)
ges.: a) P ∗ (Gewinnmax. Preis des Monopolisten)
x∗ (Gewinnmax. Angebot des Monopolisten)
Lösung:
Max.: Π = E(x) − K(x)
(Π(x): Gewinnfunktion, E(x): Erlösfunktion)
1
2
x)x − x2 − 600
25
50
4 2
1
Π = − x + 20x − x2 − 600
50
50
1 2
Π = − x + 20x − 600
10
1
dΠ
= − x + 20 = 0
dx
5
1
x = 20
5
x = 100
2 ∗ 100
P ∗ = 20 −
= 12
25
Kann das Telekommunikationsunternehmen seinen Preis monopolistisch setzen,
wird es 100 Gespräche zum Preis von 12 anbieten.
Π = (20 −
21–1
ges.: b) PGK (Preis in Höhe der Grenzkosten)
x|P =GK(x) (Menge bei Grenzkosten-Preissetzung)
Lösung:
1 2
x + 600
50
dK
1
= x
GK(x) =
dx
25
P (x) = GK(x)
2
1
20 − x = x
25
25
3
20 = x
25
500
x|p=GK(x) =
3
500 · 2
40
PGK = 20 −
= 20 −
3 · 25
3
20
PGK =
3
K(x) =
Würde man den Monopolisten veranlassen, seinen Preis in Höhe der Grenzkosten
20
festzulegen, böte er 500
3 Gespräche zum Preis von 3 an.
21–2
ges.: c) DB|P =PM
DB|P =GK
KR|P =PM
KR|P =GK
(Deckungsbeitrag bei monop. Preissetzung)
(Deckungsbeitrag bei GK-Preissetzung)
(Konsumentenrente bei monop. Preissetzung)
(Konsumentenrente bei GK-Preissetzung)
Lösung:
DB(x) = E(x) − Kv (x)
1 2
Kv (x) = 50
x
(Kv (x): Variable Kosten)
DB|P =PM = 100 · 12 −
1002
50
DB|P =PM = 1000
500 20
5002
10000 5000
·
−
=
−
2
3
3
50 · 3
9
9
5000
DB|P =GK =
9
Der Deckungsbeitrag (=Produzentenrente) des Telekommunikationsunternehmens
beträgt bei monopolistischer Preissetzung 1000, bei Festlegung des Preises in Höhe
der Grenzkosten 5000
9 Geldeinheiten. Während bei monopolistischer Preissetzung
ein Gewinn verbleibt, erreicht der bei Grenzkosten-Preissetzung zu erzielende
Deckungsbeitrag für eine Deckung der Fixkosten in Höhe von 5400
9 nicht aus.
DB|P =GK =
KR(x) = 12 (Ppr − P )x
(Ppr : Prohibitivpreis)
1
KR|P =PM = (20 − 12) · 100
2
KR|P =PM = 400
20 500
1
KR|P =GK = · (20 − ) ·
2
3
3
10000
KR|P =GK =
≈ 1111
9
Die Konsumentenrente beträgt bei monopolistischer Preissetzung 400 Geldeinheiten; bei Grenzkostenpreissetzung würde sie sich auf ca. 1111 erhöhen.
21–3
p, E, K
ppr = 20
pM
Wohlfahrtsverlust bei P = PM
p(x)
GK(x)
p0R = DK
DKmin
DK(x)
pR = GK
0
xM
x0r xr
xs = 250
x
GE(x)
Wohlfahrtsverlust bei monopolistischer Preissetzung
Legende:
Menge – x
Preis – p
Preis-Absatz-Funktion – p(x)
Grenzerlösfunktion – GE(x)
Grenzkostenfunktion – GK(x)
Durchschnittskostenfunktion – DK(x)
Monopolpreis – pM
Abgesetze Menge im Monopolfall – xM
Regulierter Preis (P = GK) – pR
Regulierter Preis (P = DK) – p0R
Abgesetzte Menge bei GK-Preissetzung
– xR
Abgesetzte Menge bei DK-Preissetzung
– x0R
21–4
ges.: d) Was versteht man unter einem natürlichen Monopol?
(hier: nur Ein-Produkt-Unternehmung.)
• Aufgrund fallender Durchschnittskosten im relevanten Bereich der Nachfrage
kann ein Anbieter die gesamte nachgefragte Menge kostengünstiger produzieren, als dies bei Erstellung von Teilmengen durch mehrere Firmen möglich
wäre
• Aus einem angenommenen Wettbewerb ginge ein Unternehmen als Sieger hervor, bzw. ein eingesessener Monopolist würde (potentielle) Wettbewerber im
Preis unterbieten
• Fallende Durchschnittskosten werden i.d.R. durch hohe Fixkosten begründet
und (jedoch nicht notwendig) durch steigende Skalenerträge begünstigt
• Typische Beispiele: Energie- und Wasserversorger (nur Netzbereich), TelekomFestnetzbetreiber
• Verbesserung der gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrt erfordert Regulierung des
Monopolbereichs durch eine staatliche Behörde
• Preissetzung in Höhe der Grenzkosten ist bei Setzung nur eines Preises nicht
möglich (Monopolist erleidet Verlust – s. Abb.)
• Abhilfe: z.B. Preissetzung in Höhe der Durchschnittskosten, Preisdiskriminierung
• Im Falle von Mehrproduktunternehmen ergeben sich weitere Probleme und
Möglichkeiten der Regulierung
21–5
p, E, K
ppr = 20
pM
Verlust bei P = GK
p(x)
GK(x)
p0R = DK
DKmin
DK(x)
pR = GK
0
xM
x0r xr
xs = 250
x
GE(x)
Verlust des Monopolisten bei Preissetzung in Höhe der Grenzkosten
21–6
Aufgabe 23)
Nennen Sie Ihnen bekannte Oligopoltypen und
ihre jeweiligen Charakteristika.
a. Homogen:
•
Cournot-Oligopol:
− Menge ist strategische Variable
− Konjekturale Reaktionen:
dqj
dqi
=
dqi
dqj = 0 (symmetrisch)
•
Bertrand-Oligopol:
− Preis ist strategische Variable
− Konjekturale Reaktionen:
dpj
dpi
=
dpi
dpj = 0 (symmetrisch)
•
Stackelberg-Oligopol:
− Menge ist strategische Variable
− Konjekturale Reaktionen:
dqj
dqi
=
6
0,
dqi
dqj = 0 (asymmetrisch,
Mengenführerschaft des i,
Abhängigkeitsposition des j)
23–1
b. Inhomogen:
•
Launhardt-Hotelling-Oligopol:
− Preis ist strategische Variable
− Konjekturale Reaktionen:
dpj
dpi
=
dpi
dpj = 0 (symmetrisch)
•
Monopolistische Konkurrenz
(Chamberlain-Modell):
− Atomistische Marktstruktur
− Güter sind unterschiedlich, aber substituierbar
− Konjekturale Reaktionen:
dqj
dqi = 0 ∀(i, j) (symmetrisch)
23–2
Aufgabe 24)
Betrachten Sie einen Markt mit der Preis-Absatz-Funktion p(x) = u − vx, wobei
u und v positive Parameter, p der Preis und x die Menge des Gutes sind. Das Gut
wird produziert, ohne daß Kosten anfallen.
a) Wie hoch ist die produzierte Menge und wie hoch der Preis des Gutes, wenn
die Nachfrage durch einen Monopolisten bedient wird?
Herangehensweise:
1. Aufstellen der gegebenen und gesuchten Größen und ihrer Symbole
2. Formalisieren des Lösungsansatzes: Gewinnfunktion des Monopolisten aufstellen, Preis-Absatz-Funktion in die Erlösfunktion
einsetzen, ausmultiplizieren und zusammenfassen, erste Ableitung bilden und nullsetzen, s.o.c. überprüfen
3. Menge ermitteln
4. Menge in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen, Preis ermitteln
5. Antwortsatz formulieren
geg.: p(x) = u − vx, (u, v) > 0
K(x) = 0 (Kostenfunktion)
ges.: xM , pM
Lösung von Teilaufgabe a:
Π(x) = E(x)
keine Kosten: Gewinn ist Erlösfunktion!
E(x) = p(x)x = (u − vx)x
E(x) = −vx2 + ux
Max.:
dE(x)
dx
2
d E
dx2
= −2vx + u
= −2 < 0
s.o.c.: Max.
−2vx + u = 0
xM =
u
2v
u
pM = u − v 2v
pM = u −
Menge in Preis-Absatz-Fkt. einsetzen
u
2
pM = 12 u
Unter den gegebenen Annahmen wird der Monopolist die gewinnmaximale Menge
u
x = 2v
zum Preis von p = 21 u bereitstellen.
24–1
b) Ein anderes Unternehmen (2) entdeckt die erforderliche Geheimformel und ist
ab sofort ebenfalls in der Lage, das Gut ohne Kosten zu produzieren. Jedes der
beiden Unternehmen hält die angebotene Menge des jeweils anderen für gegeben
(Cournot-Wettbewerb).
Bestimmen Sie die gewinnmaximierende Menge des Unternehmens 1 in Abhängigkeit der Menge von Unternehmen 2.
Zeichnen Sie die Reaktionsfunktionen.
Herangehensweise:
1. Aufstellen der gegebenen und gesuchten Größen und ihrer Symbole
2. Der Monopolist in Teilaufgabe a) ist nun Unternehmen 1
3. Beachte die dem Cournot-Wettbewerb zugrundeliegende Annahme
hinsichtlich der konjekturalen (d.h.: vermuteten) Reaktionen:
Symmetrische Reaktion von Null, d.h., jeder vermutet vom anderen, dieser werde auf seine Aktionen (d.h.: Mengenänderungen)
nicht reagieren
4. Formalisieren des Lösungsansatzes: Aufgrund der symmetrisch angenommenen konjekturalen Reaktionsfunktion reicht ein Lösungsansatz für „das“ Unternehmen i: Gewinnfunktion des Unternehmens
aufstellen, Preis-Absatz-Funktion in die Erlösfunktion einsetzen
Beachte: 1. Menge beider Unternehmen bestimmt den Preis,
2. Die in das Gewinnmaximierungskalkül des Unternehmens i eingehende Vermutung über das Verhalten des Unternehmens j (d.h., die
konjekturale Reaktion) muß im Cournot-Fall nicht berücksichtigt
dx werden, da ja φi,j = dxji = 0 gilt
vermutet
5. Ausmultiplizieren und zusammenfassen, erste Ableitung bilden,
nullsetzen, s.o.c. überprüfen
6. Um die gewinnoptimale Menge zu produzieren, muß jedes Unternehmen seinen Output an das Gesamtangebot -- das vom anderen
Unternehmen mit bestimmt wird -- anpassen: Es reagiert auf die
Gesamtmarktsituation und damit auf das Angebot des Anderen, daher die Bezeichnung Reaktionsfunktion (xi (xj ))
7. Reaktionsfunktion ermitteln und in die Form a − bxj bringen
8. i und j einsetzen -- Bestimmung der Reaktionsfunktionen des 1
und auch des 2 (wird für Zeichnung benötigt)
9. Antwortsatz formulieren
geg.: Unternehmen (i, j) mit φi,j =
ges.: xi (xj ), xj (xi )
dxj dxi vermutet
= 0 (konjekturale Reaktion)
24–2
Lösung von Teilaufgabe b:
Πi (xi , xj ) = Ei (xi , xj )
keine Kosten: Gewinn ist Erlösfunktion!
Ei = p(xi + xj )xi
Ei = (u − v(xi + xj ))xi
Max.:
dEi
dxi
d2 Ei
dx2i
Ei = −vx2i + (u − vxj )xi
= −2vxi + u − vxj
= −2 < 0
s.o.c.: Max.
−2vxi + u − vxj = 0
xi (xj ) =
u−vxj
2v
xi (xj ) =
u
2v
− 12 xj
x1 (x2 ) =
u
2v
− 12 x2
x2 (x1 ) =
u
2v
− 12 x1
Unter den Annahmen des Cournot-Wettbewerbs ergibt sich die gewinnmaximale
Menge des Unternehmens 1 in Abhängigkeit der Menge des Unternehmens 2 zu
u
x1 (x2 ) = 2v
− 12 x2 .
24–3
Zeichnen der Reaktionsfunktionen:
1. Die beiden ermittelten Reaktionsfunktionen können im x1 − x2 Diagramm dargestellt werden
2. Es handelt sich um lineare, fallende Funktionen
3. Größte Menge wird angeboten, wenn der Konkurrent nichts anbieu
tet: die Monopolmenge 2v
4. Bietet der Konkurrent j die Menge uv an (dies ist genau die
Sättigungsmenge entsprechend der Preis-Absatz-Funktion), zieht
sich Unternehmen i aus dem Markt zurück (xi = 0)
5. Wir legen zuerst die Sättigungsmenge und dann die Monopolmenge
(= halbe Sättigungsmenge) auf jeder Achse fest
6. Die Verbindungslinie des Monopolpunktes des i oder j mit dem gegenüberliegenden Sättigungspunkt ist die Reaktionsfunktion dieses Unternehmens
7. Der Monopolpunkt eines Unternehmens ist Ausgangspunkt seiner
Reaktionsfunktion -- daran läßt sich die Zugehörigkeit der Kurven unverwechselbar erkennen
8. Unter den getroffenen Verhaltensannahmen ist es für jedes Unternehmen am günstigsten, wenn es bei gegebenem Verhalten des
Anderen einen Produktionspunkt auf seiner Reaktionsfunktion
sucht (siehe auch Exkurs unten), daher ist das Gleichgewicht
(Schnittpunkt beider Geraden) stabil
24–4
x2
x1 (x2 )
xM
2
xC−O
2
E
x2 (x1 )
0
xC−O
1
xM
1
x1
Reaktionsfunktionen der Unternehmen 1 und 2 im Cournot-Oligopol
Legende: xM
i – Monopolmenge des i
C-O
xi
– Menge des i im Cournot-O.
E – Gleichgewichtspunkt im Cournot-O.
24–5
Exkurs: Reaktionsfunktionen
• Die Reaktionsfunktion des Unternehmens 1 x1 (x2 ) zeigt an, welche Menge Unternehmen 1 bei gegebener Menge des Unternehmens 2 anbietet und dabei seinen eigenen Gewinn maximiert
• vice versa zeigt x2 (x1 ) die gewinnmaximale Produktionsmenge des Unternehmens 2 bei gegebener Menge des Unternehmens 1 an
• Daß alle auf der Reaktionsfunktion eines im Cournot-Dyopol operierenden Unternehmens dessen Gewinn maximieren, kann anhand der Isogewinnlinien im
x1 –x2 –Diagramm leicht nachvollzogen werden: Produziert Unternehmen 1 z.B.
eine höhere Menge als die – bei unveränderter Menge des 2 – aus der Reaktionsfunktion folgende, so gelangt es durch Drosselung der Menge so lange auf
höhere Isogewinnlinien, bis es den entsprechenden Punkt auf seiner Reaktionsfunktion erreicht hat. Weiteres Zurücknehmen der Menge würde indes den
Gewinn des 1 schmälern (Verlassen der höchstmöglichen Isogewinnlinie).
Was sind Isogewinnlinien?
− Isogewinnlinien eines Unternehmens i im Dyopol sind das Kontinuum aller (xi , xj )-Kombinationen, bei denen der Gewinn des Unternehmens i den
selben Betrag aufweist
− Die Gewinnfunktion des Unternehmens 1 im Beispiel (mit Kosten = Null)
lautet
Π1 = p(x1 + x2 )x1
Π1 = (u − v(x1 + x2 ))x1
Π1 = −vx21 + ux1 − vx2 x1
Für alle (p, x1 )-Kombinationen mit Π1 = px1 (d.h., mit konstantem Gewinn
Π1 ) gilt somit
bzw.
vx2 x1 = −Π1 − vx21 + ux1 ,
−Π1
u
− x1 +
(24 − 1)
1
vx1
v
− Die fallende lineare Funktion −x1 + uv verbindet die beiden Punkte (S1 , S2 ),
welche den Sättigungsmengen auf der x1 - und der x2 -Achse entsprechen
(Vgl. Abb. nächste Seite).
x2 |Π =
Π
− Die Hyperbel h(Π1,k ) = vx1,k1 schneidet die Strecke S1 S2 in höchstens 2
u u
Punkten, bzw. tangiert sie im Monopolfall im Punkt ( 2v
, 2v ) (der Index k
bezeichnet unterschiedliche Gewinniveaus).
Aufgabe: Zeige dies!
− Dem vertikalen Abstand zwischen h(Π1,k ) und S1 S2 entspricht der vertikale
Abstand zwischen den entsprechenden Punkten auf der x1 -Achse und der
Isogewinnlinie Π1,k , die auf diese Weise konstruiert werden kann
− Der Punkt des Gewinnmaximums im Monopolfall entspricht dem Anfangspunkt der Reaktionsfunktion xM
1
24–6
x2
S2
x1 (x2 )
h(Π1,M )
Π1,1
0
xM
1
h(Π1,1 )
S1
x1
Herleitung der Isogewinnkurve
− Die Isogewinnfunktion Gl. (24-1) weist ein Maximum auf, wie leicht gezeigt
werden kann:
dx2
dx1
Π1
x1
=
Π1
vx21
−1=0
(Ableitung v. Gl. (24-1) Null setzen)
= vx1
Beachte: Wegen K(x) = 0 gilt Π1 = px1 , somit:
vx1 = p
Wird u − v(x1 + x2 ) für p eingesetzt, folgt
vx1 = u − v(x1 + x2 ),
x1 =
u
v
2x1 =
− x1 − x2 ,
u
v
− x2 ,
x1 = − 12 x2 +
u
2v
d.h., jede Isogewinnlinie des Unternehmens 1 hat ein Maximum, das auf
seiner Reaktionsfunktion liegt. (Gleiches gilt natürlich auch für Unternehmen 2.)
24–7
− x2 |Π = 0 in Gl. (24-1) eingesetzt,
1
0=−
u
Π1
− x1 + ,
vx1
v
führt zu der quadratischen Gleichung
u
Π1
x21 − x1 +
=0
v
v
mit den Lösungen
x1,2 =
u
∓ Θ,
2v
s
u 2 Π
1
Θ=
−
;
2v
v
d.h., die Isogewinnlinien beginnen und enden symmetrisch links und rechts
der Monopolmenge xM
1 .
− Es kann keine Isogewinnlinie außerhalb des Intervalls (0, Si ) beginnen oder
enden.
Aufgabe: Zeige dies!
− Außerdem ist leicht ersichtlich, daß für Π1 = 0 und x1 > 0 die Isogewinnlinie auf der Strecke S1 S2 liegt. Alle weiteren Isogewinnlinien (außer P1M )
liegen somit innerhalb des Dreiecks S2 0S1 .
− Eine freihändig gezeichnete Isogewinnlinie sollte somit symmetrisch um PiM
beginnen und enden, bis zum Erreichen des Maximums auf der Reaktionsfunktion des i stetig steigen und anschließend stetig fallen; sie darf weder
andere Isogewinnlinien noch die xj -Achse oder die Strecke S1 S2 berühren.
24–8
x2
S2
0
xM
1
S1
x1
S1
x1
Einige Isogewinnlinien des Unternehmens 1
x2
S2
xM
2
0
xM
1
Einige Isogewinnlinien der Unternehmen 1 und 2
24–9
x2
B
A
Π1,2
Π1,1
0
xM
1
x1
Optimale und suboptimale Menge im Cournot-Modell
• Produziert Unternehmen 1 jenseits seiner Reaktionsfunktion (z.B. auf Punkt
A der Abbildung oben), kann es seinen Gewinn steigern (in der Abbildung von
Π1,2 auf Π1,1 ). Hierfür muß es den der gegebenen Menge des Unternehmens
2 entsprechenden Punkt auf seiner Reaktionsfunktion wählen (Übergang auf
Punkt B in derselben Abbildung).
24–10
c) Wie lauten Absatz eines Unternehmens und Preis und des Gutes im Gleichgewicht?
Herangehensweise:
1. Aufstellen der gesuchten Größen und ihrer Symbole
2. Es wird das Unternehmen i betrachtet, das auf die Menge des j
reagiert, dessen Verhalten ebenfalls von einer Reaktionsfunktion beschrieben wird (die Reaktionsfunktionen wurden in Teilaufgabe b) hergeleitet)
3. Einsetzen der Reaktionsfunktion des j in die Reaktionsfunktion
des i
4. Aus der Abbildung der Reaktionsfunktionen wurde bereits ersichtlich, daß der gewinnoptimale Punkt für beide im Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen liegt -- aufgrund dieser Symmetrie gilt das Ergebnis einer Firma auch für die andere
5. Gesamten Absatz (1+2) in die Preis-Absatz-Funktion einsetzen
6. Antwortsatz formulieren.
ges.: x∗i , P ∗
Lösung von Teilaufgabe b:
x∗i =
u
2v
− 12 x∗j
x∗i =
u
2v
u
− 12 ( 2v
− 21 x∗i )
u
2v
u
4v
+ 14 x∗i
−
3 ∗
4 xi
=
x∗i =
(Reaktionsfunktion des i)
(Reaktionsfunktion des j einsetzen)
u
4v
u
3v
x∗j = x∗i
(Symmetrie des Modells)
p∗ = u − v(x1 + x2 )
(Preis-Absatz-Funktion)
p∗ = u − v 2u
3v
p∗ = 31 u
Jedes der Unternehmen setzt die Menge
u
3v
zum Preis von 13 u ab.
24–11