Folien 57 - Fakultät Informatik/Mathematik

Bestimmung eines Konfidenzintervalls (Vertrauensintervalls) für
die unbekannte Varianz σ 2 einer Normalverteilung
Grundlage: Die Zufallsvariable Z =
S2
(n − 1) 2
σ
genügt einer Chi-Quadrat-
Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
Vorgehensweise:
1) Festlegung eines Konfidenzniveaus γ (üblicherweise: γ = 0.95 od. γ = 0.99);
α = 1 − γ ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit.
2) Berechnung der Konstanten c1 und c2 aus den Bedingungen
F (c1 ) =
1
(1−γ)
2
=
α
2
und F (c2 ) =
1
(1+γ)
2
α
2
= 1− , wobei F die Verteilungs-
funktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden ist.
α
α
Die Zahlen c1 bzw. c2 werden als das -Quantil bzw. das 1 −
-Quantil
2
2
der Chi-Quadrat-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden bezeichnet.
3) Berechnung der Varianz s2 der konkreten Stichprobe x1 , x2 , . . . , xn
4) Das gesuchte Konfidenzintervall ist dann:
(n − 1)s2
(n − 1)s2
2
≤σ ≤
.
c2
c1
Mathematik III - Folie 57
Bestimmung eines Konfidenzintervalls (Vertrauensintervalls) für
den unbekannten Parameter p einer Binomialverteilung
Grundlage: Approximation der Binomialverteilung (mit den Param.: n, p)
durch eine NV (mit den Param.: µ = np und σ 2 = np(1 − p)).
Vorgehensweise:
1) Festlegung eines Konfidenzniveaus γ (üblicherweise: γ = 0.95 od. γ = 0.99);
α = 1 − γ ist dann die Irrtumswahrscheinlichkeit.
2) Berechnung der Konstanten c aus der Bedingung 2Φ(c) − 1 = γ,
1
α
α
d.h. Φ(c) = (γ + 1) = 1 − . Die Zahl c wird als das 1 −
-Quantil
2
2
2
der Standard-Normalverteilung bezeichnet.
3) Berechnung des Schätzwertes p̂ = k/n aus der konkreten Stichprobe
(”k Erfolge bei insgesamt n Ausführungen des Bernoulli-Experiments”)
4) Wenn die Bedingung ∆ = np̂(1 − p̂) > 9 für eine umfangreiche Stichprobe
erfüllt ist, lautet das gesuchte Konfidenzintervall:
c√
c√
∆ ≤ p ≤ p̂ +
∆.
p̂ −
n
n
Mathematik III - Folie 58
Planung und Durchführung eines Parametertests
Voraussetzung: Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der ZV sei vom Typ her
bekannt, der Parameter ϑ der Verteilung sei unbekannt.
Vorgehensweise:
1) Formulierung der Nullhypothese H0 : ϑ = ϑ0 sowie der
Alternativhypothese H1 : ϑ 6= ϑ0 (zweiseitiger Parametertest)
2) Festlegung der Signifikanzzahl (Signifikanzniveau, Irrtumswahrscheinlichkeit) α (0 < α < 1); diese entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür,
dass die Nullhypothese H0 abgelehnt wird, obwohl sie richtig ist.
3) Bestimmung einer geeigneten Prüfvariablen (Stichprobenfunktion) T ,
die noch von den n unabhängigen Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . , Xn abhängt:
T = g(X1 , X2 , . . . , Xn )
4) Bestimmung des nicht-kritischen Bereichs cu ≤ T ≤ co derart, dass
die Testvariable T mit der Wahrscheinlichkeit γ = 1 − α Werte aus dem
Intervall [cu , co ] annimmt
5) Berechnung des Wertes der Testvariablen T aus der konkreten Stichprobe
x1 , x2 , . . . , xn (Einsetzen dieser Werte für die ZV X1 , X2 , . . . , Xn ); der
erhaltene Funktionswert t̂ = g(x1 , x2 , . . . , xn ) heißt Test- oder Prüfwert von T .
6) Testentscheidung: Ablehnung oder Nichtablehnung der Nullhypothese?
1. Fall: Testwert t̂ fällt in den nicht-kritischen Bereich der Testvariablen T ,
d.h. cu ≤ t̂ ≤ co ⇒ Nullhypothese wird nicht abgelehnt
2. Fall: Testw. t̂ fällt in den kritischen Bereich ⇒ Nullhyp. wird abgelehnt
Mathematik III - Folie 59
Zweiseitiger Test für den unbekannten Mittelwert µ
einer Normalverteilung bei bekannter Varianz σ 2
Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x1 , x2 , . . . , xn vom Umfang n soll die
Nullhypothese H0 : µ = µ0
gegen die
Alternativhypothese H1 : µ 6= µ0
getestet werden.
Vorgehensweise:
1) Auswahl einer Signifikanzzahl α (meist α = 0.05 oder α = 0.01)
2) Berechnung des kritischen Wertes c aus der
Bedingung 2Φ(c) − 1 = 1 − α,
α
α
-Quantil der Standard-NV)
d.h. Φ(c) = 1 − (entspricht dem 1 −
2
2
3) Berechnung des Mittelwertes x d. Stichpr. sowie des Test- oder Prüfwertes:
û =
x − µ0
√ .
σ/ n
4) Testentscheidung: Falls −c ≤ û ≤ c ⇒ Nullhypothese H0 : µ = µ0 wird
nicht abgelehnt, anderenfalls wird sie abgelehnt.
Beispiel 15.7.: 10 Nägel aus einem bestimmten Sortiment haben folgende Längen:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
xi /mm
20
22
19
22
18
21
18
19
21
20
Sie stammen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit der Varianz
σ 2 = 9 mm2 . Auf einem Signifikanzniveau von α = 0.01 ist die Hypothese
zu testen, dass der Mittelwert µ0 dieser NV gleich 22 mm ist.
Mathematik III - Folie 60